Prof Carlos Eduardo Pineda

TEMA: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

OBJETIVOS:

1) Hallar puntos crticos de funciones en dos variables sometidas a restricciones 2) Aplicar los multiplicadores de Lagrange a problemas de la vida diaria

Con el fin de encontrar los valores crticos de una funcin f(x,y) sujeta a la restriccin g(x,y)=0, se utiliza una variable para formar una nueva funcin llamada la funcin objetivo: F(x,y,)=f(x,y)+g(x,y)

Los puntos crticos de F(x,y,) satisface la restriccin g y tambin los puntos crticos de f.

PASOS PARA HALLAR MAXIMOS Y MINIMOS APLICANDO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

1. Encontrar el valor mximo o mnimo de z=f(x,y), con la restriccin g(x,y)=0

1.

La funcin es

2.formamos la funcin objetivo F(x,y,)=f(x,y)+g(x,y)

2.la funcin objetivo es

3. hallar las derivadas

Es decir:

3.

4. resolver el sistema de ecuaciones y hallar cada 4. resolviendo el sistemas

MATEMTICAS II

SEMANA 10 TALLER MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

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punto crtico.

Despejamos de a y b.

Igualando

x=0 o x=2y Remplazando x=2y en c tenemos

2y+y=9

3y=9

y=3

as x=2y=2*3=6

5. remplazamos los puntos crticos en nuestra funcin original, f(x,y), los puntos menores son mnimos globales y los mayores son mximos globales. Si hay uno entonces el punto es mximo o mnimo.

Porque cuando x=o, tenemos y=0, y z=0.

RESUMIENDO EL METODO TENEMOS:

1. Forme la funcin objetivo, coloque la funcin que le dan y smele lambda multiplicando la funcin g. F(x,y,)=f(x,y)+g(x,y).

2. Halle las derivadas parciales de F, e igulelas a cero

3. Iguale a cero las derivadas anteriores y resuelva el sistema de ecuaciones para hallar los puntos crticos.

4. Calcule el valor del punto crtico en la funcin original f(x,y) 5. Si quiere puede con estos puntos crticos desarrollar la matriz H

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o simplemente calcular cada valor y observar.

EJERCICIOS

Aplicar el mtodo de multiplicadores de Lagrange, para resolver:

1) f(x,y)= x2+y2 sujeta a 2x+3y=7 2) f(x,y)= x2+y2-3xy sujeta a 2x+3y=31 3) f(x,y)= 3x+2y sujeta a x2+y2=13 4) f(x,y,z)= x2+y2 +z2 sujeta a 2x+3y+4z=29 5) f(x,y,z)= xyz sujeta a xy+yz+2zx=24 (xyz0) 6) El costro de producir x modelos regulares y y modelos de lujo del producto de una

empresa esta dada por la funcin conjunta de costos C(x,y)= x2+1.5y2+300 Cuntas unidades de cada tipo se producir con el fin de minimizar los costos totales si la empresa decide producir 200 unidades?

7) Una empresa puede elaborar su producto en dos plantas. El costo de producir x unidades de su planta 1 y y unidades de su planta 2 esta dada por la funcin conjunta de costos C(x,y)= x2+2y2+5xy+700 Cuntas unidades de cada tipo se producir en cada planta con el fin de minimizar los costos totales si la empresa decide producir 500 unidades?

8) Suponga que una compaa tiene la funcin de produccin de Cobb-Douglas z=f(x,y)=400x0.6y0.4 donde x es el nmero de unidades de mano de obra y y es el nmero de unidades de capital. Suponga que la mano de obra cuesta $150 por unidad, el capital cuesta $100 por unidad y el costo total de mano de obra y capital esta limitado por $100.000. Calcular el nmero de unidades de mano de obra y capital que maximizan la produccin

9) Un empresa produce dos tipos de artculos x, y suponga que la funcin de utilidad de esta dada por U(x,y)=x2y2 sujeta a la restriccin de presupuesto 2x+4y=40. Determine el nmero de unidades que debe producir la empresa de los artculos x, y con el fin de obtener la utilidad mxima.

10) La funcin de produccin de una empresa esta dada por P(L,K)=800(3L2+1.5K2)1/2 los costos unitarios de la mano de obra y del capital son $250 y $50 respectivamente si la empresa dispone de $6750 para gastar en produccin, determine el nmero de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear con el fin de obtener la produccin mxima.