Modulo 9 Costos de Producción Parte 1

Módulo 9

Costos de ProducciónCostos de Producción

Minimización de costes

Una firma es minimizadora de costosUna firma es minimizadora de costos si ésta produce cualquier nivel de producto y ≥ 0 al menor costo total.c(y) denota el costo total másc(y) denota el costo total más pequeño posible de la firma para producir y unidades de productoproducir y unidades de producto.c(y) es la fución de costo total de la firma.

Minimización de costes

Cuando la firma enfrenta los preciosCuando la firma enfrenta los precios de los insumos w = (w1,w2,…,wn) la f ó áfunción total de gasto será

c(w1,…,wn,y).( 1 n y)

El Problema de Minimización de C tCostes

Consideremos una firma que utiliza dosConsideremos una firma que utiliza dos insumos para producirL f ió d d ióLa función de producción es

y = f(x1,x2)Tomamos como dado el nivel de producto y ≥ 0Dado los precios de los insumos w1 y w2, el coste de una cesta de insumos (x1,x2) ( 1 2)es

w1x1 + w2x2w1x1 w2x2

El Problema de Minimización de C t

Para dados w w e y el problema de

CostesPara dados w1, w2 e y, el problema de minimización de costes de la firma es

min xwxw + 22110, 21

min xwxwxx

+≥

sujeta a .),( 21 yxxf =


Los niveles x *(w w y) y x *(w w y)

CostesLos niveles x1*(w1,w2,y) y x1*(w1,w2,y) en la cesta de insumos menos costosos son las demandas condicionales para los insumos 1 y 2p yEl (más pequeño) coste total posible para producir y unidades espara producir y unidades es

),,(),,( 21*1121 ywwxwywwc =

).,,( 21*22 ywwxw+

Demandas de insumo condicional

Dados w w e y ¿cómo se halla laDados w1, w2 e y, ¿cómo se halla la cesta de insumos menos costoso?¿Y cómo se computa la función de coste total?coste total?

Líneas de Iso-coste

Una curva que contiene todas lasUna curva que contiene todas las cestas de insumo que cuestan la misma cantidad es una curva de iso-costeEj., dado w1 y w2, la línea de iso-coste $100 tiene la ecuacióncoste $100 tiene la ecuación

1002211 =+ xwxw .1002211 + xwxw


Generalmente dado w y w laGeneralmente, dado w1 y w2, la ecuación de isocostes $c es

es decir,cxwxw =+ 2211

.2

12

12 w

cxwwx +−=

L di t /

22 ww

La pendiente es - w1/w2.


x

c” ≡ w1x1+w2x2

x2

’ +

c ≡ w1x1+w2x2

c’ ≡ w1x1+w2x2

’ ”c’ < c”

x1


x pendientes = w /w

c” ≡ w1x1+w2x2

x2 pendientes = -w1/w2.

’ +

c ≡ w1x1+w2x2

c’ ≡ w1x1+w2x2

’ ”c’ < c”

x1

La isocuanta que genera ’ id d d d ty’-unidades de producto

xx2 Todas las cestas de insumos queResultan en y’ unidades de producto.¿Cuál es la más barata?

f(x1,x2) ≡ y’x1

El Problema de Minimización de C tCostes

xx2 Todas las cestas de insumos queResultan en y’ unidades de producto.¿Cuál es la más barata?

f(x1,x2) ≡ y’x1


x

Costesx2 Todas las cestas de insumos que

Resultan en y’ unidades de producto.¿Cuál es la más barata?

f(x1,x2) ≡ y’x1


x

Costesx2 Todas las cestas de insumos que

Resultan en y’ unidades de producto.¿Cuál es la más barata?

x *f(x1,x2) ≡ y’

x2

x1x1*


x En una cesta de insumos interior queCostes

x2En una cesta de insumos interior que Minimiza costes:(a) yxxf ′=)( **(a) yxxf =),( 21

x *f(x1,x2) ≡ y’

x2

x1x1*


En una cesta de insumos interior que Costes

x2 Minimiza costes :(a) yyxxf ′=),( *

2*1(a) y

(b) pendiente de iso-coste = pendiente de isocuanta

yf ),( 21

de isocuanta

f(x1 x2) ≡ y’x2*

x1

f(x1,x2) ≡ yx1*


En una cesta de insumos interior que Mi i i t

Costesx2

Minimiza costes :(a) y(b) pendiente de iso-coste = pendiente

yxxf ′=),( *2

*1

(b) pendiente de iso-coste = pendiente de isocuanta; es decir

MP ).,( *2

*1

2

1

2

1 xxenMPMPTRS

ww

−==−

f(x1 x2) ≡ y’x2*

x1

f(x1,x2) ≡ yx1*

Un Ejemplo Cobb-Douglas de Mi i i ió d C tMinimización de Costes

La función de producción CobbLa función de producción Cobb-Douglas de una firma es

3/23/1

Los precios de los insumos son w1 y.),( 3/2

23/1

121 xxxxfy ==Los precios de los insumos son w1 y w2.

C ál l f i d¿Cuáles son las funciones de demanda condicional de los insumos?


En la cesta de insumos (x1*,x2*) que minimizael coste de producir y unidades de producto:p y p(a) y3/2*

23/1*

1 )()( xxy =

(b) )())(3/1(/3/1*3/1*

3/2*2

3/2*111 xxxyw

−=−=−−∂∂

)())(3/2(/*

3/1*2

3/1*122 xxxyw −∂∂

.2 *

2

xx

−=2 1x

Un Ejemplo Cobb-Douglas de Mi i i ió d C t

( ) (b)

Minimización de Costes3/2*3/1* )()(

*21 xw

(a) (b)3/2*2

3/1*1 )()( xxy = .

2 *1

2

2

1

xw=


( ) (b)

Minimización de Costes3/2*3/1* )()( xxy

*21 xw

(a) (b)

( )

21 )()( xxy = .2 *

1

2

2

1

xw=

2 *1* wDe (b), .2 *1

2

1*2 x

wwx =


( ) (b)

Minimización de Costes3/2*

23/1*

1 )()( xxy = .*

*21 xw

=(a) (b)

( )

21 )()( xxy .2 *

12 xw2 *1* xwx =De (b),

Ah tit i ( ) t

.12

2 xw

x =

Ahora sustituimos en (a) y tenemos3/2

*13/1* 2)(

= xwxy 12

1 )(

= xw

xy


( ) (b)

Minimización de Costes3/2*3/1* )()(

*21 xw

=(a) (b)

( )

3/22

3/11 )()( xxy = .

2 *12 xw

=

2 *1* wDe (b),

Ah tit i ( ) t

.2 *1

2

1*2 x

wwx =

Ahora sustituimos en (a) y tenemos22)( *

3/2

1

3/2*13/1* ww

.)( 12

11

2

13/11 x

wx

wxy

=

=


( ) (b)

Minimización de Costes3/2*3/1* )()( xxy =

*21 xw

=(a) (b)

D (b)

21 )()( xxy = .2 *

12 xw=

2 *1* wDe (b),

Ahora sustituimos en (a) y tenemos

.12

12 x

wx =

Ahora sustituimos en (a) y tenemos22)( *

3/2

1

3/2*13/1* xwxwxy

=

= .)( 12

12

1 xw

xw

xy

=

=

3/2

Y es la dda. condicionadapara el insumo 1y

wwx

3/2

1

2*1 2

=

para el insumo 1w12


2 w3/2

Dado y*1

2

1*2

2 xwwx = y

wwx

1

2*1 2

=

ywywwx3/1

1

3/2

21*2

22

2

=

=

es la demanda condicionada para el insumo 2

www 212 2

p


Por lo que la cesta de insumos más barataque resulta en y unidades de producto esque resulta en y unidades de producto es

( )),,(),,,( 21*221

*1 ywwxywwx( )

2

),,(),,,(3/1

1

3/2

2

212211

= ywyw

yy

.,2 21

= yw

yw

Curvas de demanda condicionada de l i

Fijando w y w

los insumosFijando w1 y w2

′′y′′′y

′yy


Fijando w1 y w2

los insumosyFijando w1 y w2

′y

x y* ( )′ *xx y2( )′ 2xy

x y2* ( )′ ′′y

′′′y′y

x y1*( )′

′yy y

x y1*( )′ *

1xy1( )

Curvas de demanda condicionada de l ilos insumos

yFijando w1 y w2

′′y′y

x y* ( )′ *x

*x y2* ( )′′

x y2( )′ 2xy

x y2* ( )′′

x y2* ( )′ ′′y

′′′y ′′y′y

x y1*( )′

′yy y

*x y1*( )′ *

1xy1( )x y1*( )′′ x y1

*( )′′


′′′

los insumosy

Fijando w1 y w2′′′y′′y′y

x y* ( )′′′x y* ( )′ *x

x y2* ( )′′′* ′′′y

x y2( )′′′x y2* ( )′′

x y2( )′ 2xy

x y2* ( )′′

x y2* ( )′ ′′y

′′′yy′′y′y

x y1*( )′′′x y1

*( )′′y

y y

x y1*( )′′′

*x y1*( )′ *

1xy1( )y1( )x y1*( )′′ x y1

*( )′′


′′′

los insumosy

Fijando w1 y w2

senda de

′′′y′′ysenda de

expansióndel producto x y* ( )′′′x y* ( )′

′y*x

x y2* ( )′′′*

del producto x y2( )′′′x y2* ( )′′

x y2( )′

′′′y

2xy

x y2* ( )′′

x y2* ( )′ ′′y


x y1*( )′′′x y1

*( )′′y

y

x y1*( )′′′

*x y1*( )′

y*1xy1( )y1( )

x y1*( )′′ x y1

*( )′′


Fij d ′′′

demand cond.para

insumo 2

los insumosy

Fijando w1 y w2.

senda de

′′′y′′y

insumo 2

senda deexpansióndel producto

′y

x y* ( )′′′x y* ( )′ *x

x y2* ( )′′′*

del producto

′′′y

x y2( )′′′x y2* ( )′′

x y2( )′

demanda

2xy

x y2* ( )′′

x y2* ( )′ ′′y


demandacond. para insumo 1

x y1*( )′′′x y1

*( )′′y

y y

x y1*( )′′′

*x y1*( )′

insumo 1

*1xy1( )y1( )

x y1*( )′′ x y1

*( )′′

Un ejemplo Cobb-Douglas dei i i ió d tminimización de costes

Para la función de producción3/2

23/1

121 )( xxxxfy ==la cesta de insumo más barata para obtenery unidades de producto es

2121 ),( xxxxfy

y unidades de producto es( )),,(),,,( 21

*221

*1 ywwxywwx( )

.2,

),,(),,,(3/1

1

3/2

2

212211

= ywyw

yy

.,2 21

yw

yw

Un ejemplo Cobb-Douglas dei i i ió d t

La función de coste total de la firma es

minimización de costesLa función de coste total de la firma es

),,(),,(),,( 21*2221

*1121 ywwxwywwxwywwc += ),,(),,(),,( 2122211121 yyy


La función de coste total de la firma esLa función de coste total de la firma esywwxwywwxwywwc 21

*2221

*1121 ),,(),,(),,( +=

ywwyww3/1

12

3/2

21

2122211121

22

+

=

ww 212


La función de coste total de la firma esLa función de coste total de la firma esywwxwywwxwywwc 21

*2221

*1121 ),,(),,(),,( +=

ywwyww3/1

12

3/2

21

2122211121

22

+

= y

wy

w

3/23/13/13/23/13/2

22

11

1

2

ywwyww 3/22

3/11

3/13/22

3/11 2

21

+

=


La función de coste total de la firma esLa función de coste total de la firma es),,(),,(),,( 21

*2221

*1121 ywwxwywwxwywwc +=

22

3/1

12

3/2

21 y

wwwy

www

+

=

21

2

3/23/13/13/23/13/2

21

ywwyww

ww

+=

22

3/12

2121

ww

ywwyww

+

=

.4

3 21 yww

=

Un ejemplo de minimización de costes l t f tpara complementos perfectos

La función de producción de la firmaLa función de producción de la firma es

}4i {Los precios de los insumos w1 y w2

}.,4min{ 21 xxy =Los precios de los insumos w1 y w2están dados

C ál l d d¿Cuáles son las demandas condicionadas de los insumos 1 y 2?¿Y el coste total de la firma?

Un ejemplo de minimización de costes l t f t

x

para complementos perfectosx2 4x1 = x2

min{4x1,x2} ≡ y’

x1


x ¿Dónde está la cesta de

para complementos perfectosx2 4x1 = x2

¿Dónde está la cesta de Insumos menos costosaque resulta en y’ unidadeque resulta en y unidadede producto?

min{4x1,x2} ≡ y’

x1


x

para complementos perfectos¿Dónde está la cesta dex2 4x1 = x2¿Dónde está la cesta de insumos menos costosaque resulta en y’ unidadesque resulta en y unidadesde producto?

x2* = y min{4x1,x2} ≡ y’

x1x1*= y/4


La función de producción de la firma es

para complementos perfectosLa función de producción de la firma es

l d d di i d d l},4min{ 21 xxy =

y las demandas condicionadas de los insumos son

y4),,( 21

*1

yywwx = .),,( 21*2 yywwx =

4


La función de producción de la firma esLa función de producción de la firma es

l d d di i d d l},4min{ 21 xxy =


y4

),,( 21*1

yywwx = .),,( 21*2 yywwx =

Por lo que la función de coste total es),,(),,( 21

*1121 ywwxwywwc =

),,(),,(),,(

21*22

211121

ywwxw

yy

+


La función de producción de la firma esLa función de producción de la firma es

y las demandas condicionadas de los},4min{ 21 xxy =


* y *y

Por lo que la función de coste total es4

),,( 21*1

yywwx = .),,( 21*2 yywwx =

Por lo que la función de coste total es),,(),,( 21

*1121 ywwxwywwc =

),,(

1

21*22

wyywwxw

+

.44 2

121 ywywyw

+=+=

Coste total promediop

P i l d d t itiPara niveles de producto positivos, el coste total promedio de la firma de producir y unidades es

)( ywwc .),,(),,( 2121 y

ywwcywwAC =y

Retornos a escala y costes totales dipromedio

Las propiedades de los retornos a escala deLas propiedades de los retornos a escala de la tecnología de una firma determina cómo cambia los costes de producción promediocambia los costes de producción promedio cuando cambia el nivel de productoN t fi d t l t ’Nuestra firma produce actualmente y’ unidades de procucto¿Cómo cambia el coste de producción promedio de la firma si produce 2y’ unidades de producto?

Retornos constantes a escala y costes t t l di

Si la tecnología de una firma exhibe

totales promedioSi la tecnología de una firma exhibe retornos constantes a escala entonces duplicando su nivel de producto de y’ a 2y’ requiere p y y qduplicar todos los niveles de insumosinsumos

Retornos constantes a escala y costes t t l ditotales promedio

Si la tecnología de una firma exhibe retornos constantes a escala entonces duplicando su nivel de producto de y’ a 2y’ requiere duplicar todos los niveles de insumosEl coste total de producción se duplicap p

Retornos constantes a escala y costes t t l di


totales promedioSi la tecnología de una firma exhibe retornos constantes a escala entonces duplicando su nivel de producto de y’ aduplicando su nivel de producto de y a 2y’ requiere duplicar todos los niveles de insumosinsumosEl coste total de producción se duplicaEl coste promedio de producción no cambia

Retornos decrecientes a escala y costes t t l di


totales promedioSi la tecnología de una firma exhibe retornos decrecientes a escala entonces duplicando el nivel de producto de y’ a 2y’ requiere más p y y qque duplicar todos los insumos



totales promedioSi la tecnología de una firma exhibe retornos decrecientes a escala entonces duplicando el nivel de producto de y’ a 2y’ requiere más p y y qque duplicar todos los insumosEl coste total de producción cuestaEl coste total de producción cuesta más que el doble



totales promedioSi la tecnología de una firma exhibe retornos decrecientes a escala entonces duplicando el nivel de producto de y’ a 2y’ requiere más p y y qque duplicar todos los insumosEl coste total de producción cuestaEl coste total de producción cuesta más que el dobleSe incrementa el coste promedio de producciónp

Retornos crecientes a escala y costes t t l di


totales promedioSi la tecnología de una firma exhibe retornos crecientes a escala entonces duplicando el nivel de producto de y’ a 2y’ requiere menos p y y qque duplicar todos los insumos



totales promedioSi la tecnología de una firma exhibe retornos crecientes a escala entonces duplicando el nivel de producto de y’ a 2y’ requiere menos p y y qque duplicar todos los insumosEl coste total de producción cuestaEl coste total de producción cuesta menos que el doble



totales promedioSi la tecnología de una firma exhibe retornos crecientes a escala entonces duplicando el nivel de producto de y’ a 2y’ requiere menos p y y qque duplicar todos los insumosEl coste total de producción cuestaEl coste total de producción cuesta menos que el dobleDisminuye el coste promedio de producciónp

Retornos a escala y costes totales dipromedio

$/unid producto$/unid. producto

CTP( ) r.a.e. decrecienteCTP(y)

r.a.e. constante

r.a.e. creciente

y

Retornos a escala y costes totalesy

¿Qué implica esto para las formas de¿Qué implica esto para las formas de las funciones de coste total?

Retornos a escala y costes totales

$Cost. prom. incrementa con y si latecnología de la firma exhibe r.a.e.

y

$

c(2y’) Pend = c(2y’)/2y’decreciente

c(2y ) Pend. = c(2y )/2y= CTP(2y’).

Pend = c(y’)/y’

c(y’)

Pend. = c(y’)/y’= CTP(y’).

c(y )

yy’ 2y’


$

yCost. prom. incrementa con y si latecnología de la firma exhibe r.a.e. $ c(y)

c(2y’) Pend = c(2y’)/2y’decreciente

c(2y ) Pend. = c(2y )/2y= CTP(2y’).

Pend = c(y’)/y’

c(y’)

Pend. = c(y’)/y’= CTP(y’).

c(y )

yy’ 2y’


$

yCost. prom. disminuye con y si latecnología de la firma exhibe r.a.e. $

c(2y’)Pend = c(2y’)/2y’

creciente

c(y’)Pend. = c(2y )/2y

= CTP(2y’).Pend = c(y’)/y’Pend. = c(y’)/y’

= CTP(y’).

yy’ 2y’


$

yCost. prom. disminuye con y si latecnología de la firma exhibe r.a.e. $ c(y)

c(2y’)Pend = c(2y’)/2y’

creciente

c(y’)Pend. = c(2y )/2y

= CTP(2y’).Pend = c(y’)/y’Pend. = c(y’)/y’

= CTP(y’).

yy’ 2y’


$Cost. prom. es constante cuando la tecnología de las firmas exhibe r.a.e.

y

$ c(y)c(2y’)=2c(y’) Pend = c(2y’)/2y’

constante(y ) Pend. = c(2y )/2y

= 2c(y’)/2y’= c(y’)/y’c(y’) = c(y )/y

por lo que, CTP(y’) = CTP(2y’)CTP(y ) = CTP(2y ).

yy’ 2y’

Costes totales de corto y largo plazoy g p

En el largo plazo una firma puedeEn el largo plazo una firma puede variar el nivel de todos sus insumosConsideremos una firma que no puede cambiar el nivel del insumo 2puede cambiar el nivel del insumo 2 de x2’ unidades

Có l d¿Cómo se comparan las curvas de costes totales de corto y largo plazo de producir y unidades de producto?

Costes totales de corto y largo plazo

El problema de minimización de

y g p

El problema de minimización de costes de largo plazo es

i

j t

22110, 21

min xwxwxx

+≥

)(fEl problema de minimización de

sujeto a .),( 21 yxxf =El problema de minimización de costes de corto plazo es

min xwxw ′+

sujeto a221101

min xwxwx

+≥

)( yxxf =′sujeto a .),( 21 yxxf =

Costes totales de corto y largo plazoEl problema de min. de coste de corto

y g pp

plazo es el problema de largo plazo sujeto a la restricción extra x = x ’sujeto a la restricción extra x2 = x2

Si la elección de largo plazo para x2fuera x2’ entonces la restricción extra x2 = x2’ no es en realidad una 2 2restricción y por ello los costes de corto y largo plazo de producir ycorto y largo plazo de producir y unidades de producto son los mismos

Costes totales de corto y largo plazoEl problema de min. de costes de corto

y g pp

plazo es por lo tanto el problema de largo plazo sujeto a la restricción extralargo plazo sujeto a la restricción extra x2 = x2”Pero, si la elección de largo plazo para x2 ≠ x2” entonces la restricción extra x22 2 2= x2” evita que la firma logre en el corto plazo su coste total decorto plazo su coste total de producción de largo plazo de producir y unidades de productoy unidades de producto


x Consideremos 3 niveles de

y g py ′′′

x2Consideremos 3 niveles deproductoy ′′

y′

x1


xEn el largo plazo cuando la

y g py ′′′

x2 firma es libre de elegir tantox1 como x2, la cesta de y ′′

1 2,insumos menos costosaes

y′es ...

x1


xsenda de expansión

y g py ′′′

x2 expansióndel producto de

y ′′producto delargo plazoy′

2x ′′2x ′′′

2x′2

x11x′ 1x ′′ 1x ′′′


xCostes de largo plazo son:

y g psenda de expansión

y ′′′x2 plazo son:expansión

del producto de

2211

)()( xwxwyc

′′′′′′′′+′=′y ′′

producto delargo plazo

2211

2211

)()(

xwxwycxwxwyc′′′+′′′=′′′′′′+′′=′′

y′

2x ′′2x ′′′

2x′2

x11x′ 1x ′′ 1x ′′′


Ahora supongamos que la firma

y g p

Ahora supongamos que la firma tiene la restricción de corto plazo x2 = x2”


xsenda de

ió

y g pCostes de largo plazo son:

y ′′′x2 expansión

del producto d t l

plazo son:y ′′ 2211

)()( xwxwyc

′′′+′′′′′+′=′

de corto plazoy′ 2211

2211

)()(

xwxwycxwxwyc′′′+′′′=′′′′′′+′′=′′

2x ′′2x ′′′

2x′2

x11x′ 1x ′′ 1x ′′′


x

y g psenda de

ióCostes de largo plazo son:


del producto d t l

plazo son:y ′′

2211)( xwxwyc ′+′=′de corto plazo

y′ 2211

2211

)()(

xwxwycxwxwyc′′′+′′′=′′′′′′+′′=′′

2x ′′2x ′′′

2x′2

x11x′ 1x ′′ 1x ′′′


x

y g pCostes de largo plazo son:

senda deió

y ′′′x2 plazo son:expansión

del producto d t l

y ′′2211

2211

)()(

xwxwycxwxwyc′′′+′′=′′′+′=′

Costes de corto plazo

de corto plazoy′ 2211)( xwxwyc ′′′+′′′=′′′

Costes de corto plazoson:

2x ′′2x ′′′

)()( ycyc s ′>′

2x′2

x11x′ 1x ′′ 1x ′′′


x

y g psenda de

ió

Costes de largo plazo son:


del producto d t l

plazo son:y ′′

2211

2211

)()(


de corto plazo

Costes de corto plazoy′ 2211

2211

)()(

xwxwycy

′′′+′′′=′′′


2x ′′2x ′′′

)()( ycyc s ′>′

2x′2

)()( ycyc s ′′=′′

x11x′ 1x ′′ 1x ′′′


x

y g pCostes de largo plazo son:senda de

ióy ′′′

x2plazo son:expansión

del producto d t l

y ′′2211

2211

)()(


Costes de corto plazo

de corto plazoy′ 2211

2211

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+


2x ′′2x ′′′

)()( ycyc s ′>′

2x′2

)()( ycyc s ′′=′′

x11x′ 1x ′′ 1x ′′′


x

y g psenda de

ió

Costes de largo plazo son:y ′′′

x2 expansióndel producto d t l

p

y ′′2211

2211

)()(


de corto plazoCostes de corto plazoy′ 2211)( xwxwyc ′′′+′′′=′′′

son:

2x ′′2x ′′′

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2x′2

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s

s

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x11x′ 1x ′′ 1x ′′′

Costes totales de corto y largo plazoCoste total de corto plazo es

y g p

superior al coste total de largo plazo excepto para el nivel de productoexcepto para el nivel de producto donde la restricción del nivel de insumo de corto plazo es la eleccióninsumo de corto plazo es la elección del nivel de insumo de largo plazoEsto significa que la curva de coste total de largo plazo siempre tiene un tota de a go p a o s e p e t e e upunto en común con cualquier curva de coste total de corto plazode coste total de corto plazo

Costes totales de corto y largo plazo$ En el corto plazo la curva de coste total

siempre tiene un punto en común con

y g p

siempre tiene un punto en común concon la curva de coste total de largo plazo, y es en cualquier otro punto es superior a

cs(y)la curva de coste total de largo plazo

c(y)F

22 xwF

′′=

yy ′′′y ′′y ′

Modulo 9 Costos de Producción Parte 1

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