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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica contiene expresiones trigonométricas. Cada identidad es considerada una ecuación trigonométrica con todos los números (o ángulos) del dominio de la variable como solución de la ecuación. Si una ecuación trigonométrica no es identidad, a menudo se hallan soluciones aplicando técnicas semejantes a las usadas por ecuaciones algebraicas. La diferencia principal es que primero se resuelve la ecuación trigonométrica para Sen x, Cos θ y así sucesivamente, y luego se hallan valores de x y θ que la satisfagan. Las soluciones se pueden expresar como números reales o ángulos. Como afirmamos anteriormente las identidades trigonométricas son ecuaciones que se satisfacen para todo valor en el dominio de la variable, las ecuaciones trigonométricas, son aquellas que contienen funciones trigonométricas que se satisfacen solo para algunos valores o para ningún valor de la variable. El objetivo de resolver una ecuación es encontrar los valores de las variables que la hacen verdadera. Recuerda, los métodos que se emplean para resolver ecuaciones trigonométricas son parecidos a los métodos de solución algebraica, se transforma sucesivamente la ecuación original en otras ecuaciones equivalentes empleando las identidades trigonométricas hasta lograr despejar la variable para Sen α, Cos θ y así sucesivamente. Es importante que una vez hayan encontrado el valor de la variable que puede emplearse como números reales o ángulos, se verifique reemplazando en la ecuación original por dicho valor y se compruebe la igualdad. Existen varias razones para clasificar las ecuaciones como por su número de variables (una, dos, tres o n variables); por el grado (primer grado, segundo grado, n grado); por la forma en que se presentan las variables (enteras, fraccionaria, racionales e irracionales).

Ejemplo 1:

Resolver la ecuación 2 Cos θ + 3 = 0

Solución: Despejar Cos θ

Cos θ = 2

3−

Como sabemos que Cos θ es una función periódica, entonces existen infinitos ángulos x que satisfacen la ecuación anterior, dichos valores son:

x = 6

7 ,

6

5 ππ

¡IMPORTANTE! Las funciones trigonométricas son periódicas, existen infinitos ángulos que hacen verdadera una ecuación; por lo cual es conveniente restringir el conjunto solución a los ángulos comprendidos en un período.

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Si observan con atención basta con restringir el intervalo [0, 2π] ya que las demás soluciones son múltiplos del entero 2π, que es el período de y = Cos θ. Las dos soluciones anteriores se llaman soluciones básicas o fundamentales. Generalizando la solución es:

x = nππ2

6

5 +

x = nππ2

6

7 +

Ejemplo 2:

Resolver la ecuación Sen α = 2

3

Solución: Esta ecuación no tiene solución pues el rango de la función seno está dentro del intervalo [-1, 1], lo cual nos indica que la función no toma valores mayores que 1 ni menores que -1, es decir, no existe

ningún punto en común de y = Sen α con y = 2

3.

Ejemplo 3: Encuentra los valores que satisfacen la siguiente ecuación:

Cos θ = 2

1 para 0 < θ < 2π

Solución: El período de la función coseno es 2π. En el intervalo [0, 2π],

existen dos ángulos, para los cuales Cos θ = 2

1 que son:

3

5y

3

π=θπ=θ

Ejemplo 4: Utilizando la calculadora encuentre el valor de la ecuación trigonométrica:

Sen θ = 0,3 para 0 < θ < 2π

Solución: Fije su calculadora en modo grados (Deg). Tecla:

SHIFT SIN O . 3 = 17.457

El ángulo 17.457 ≈ 17º 27’ 27’’. Si recuerdas el seno de una función trigonométrica solo es positiva en el I y II cuadrante, por lo tanto si:

180º - 17º 27’ 27’’ = 162.254

Es decir, 162.254º ≈ 162º 32’ 32’’

Entonces θ = 17º 27’ 27’’ o θ = 162º 32’ 32’’

Con n ∈ ZZ,

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NOTA IMPORTANTE: Si vas a usar la calculadora debes tener en cuenta que

solo arrojará un valor y que tu debes considerar los demás cuadrantes para los cuales se cumplen los valores dados, localizando los otros ángulos o valores de θ.

Ejemplo 5: Encuentra los valores que satisfacen la siguiente ecuación:

3 Cos θ + 3 = 2 Sen² θ , para 0 < < 2π

Solución: Antes de iniciar, fíjate que la ecuación contiene cosenos y senos, entonces escribiremos esta ecuación en términos de una sola función, por lo tanto expresaremos o utilizaremos la identidad pitagórica para escribir Sen² θ en función de Cos² θ y luego se procederá a hallar el valor de θ así: 3 Cos θ + 3 = 2 Sen² θ

3 Cos θ + 3 = 2 (1 – Cos² θ)

3 Cos θ + 3 = 2 – 2 Cos² θ

3 Cos θ + 2 Cos² θ + 3 – 2 = 0

3 Cos θ + 2 Cos² θ + 1 = 0

2 Cos² θ + 3 Cos θ + 1 = 0 (cuadrática en Cos θ)

(2 Cos θ + 1) (Cos θ + 1) = 0 verificando las soluciones del producto tenemos que: 2 Cos θ + 1 = 0 o Cos θ + 1 = 0

Cos θ = -2

1 Cos θ = -1

Entonces los valores de θ que satisfacen son:

θ = 3

2π θ =

3

4π θ = π

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ACTIVIDAD

1. Encuentra la solución a las siguientes ecuaciones cuando 0 < x < 2

1 π

a. 4 Sen² x – 1 = 0

b. Sen θ - 1 = 0

c. 4 Sen³ θ - 3 Sen θ = 0

d. Sen x . Cos x = 0

e. tg θ - 3 Ctg θ = 2

2. En los siguientes ejercicios determina las soluciones de la ecuación cuando 0 < t < 2π a. 10 Cos² x – 4 Cos x – 5 = 0 b- 3 tg² - tg x – 3 = 0 c. Sen² x + 5 Cos x + 2 = 0 d. 2 tg² x – Sec x = 1