IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Prof. Saúl QUISPE CHINO

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.

Galileo Galilei

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DEFINICIÓN:

Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.

Demostración de una identidad:

Teniendo que Tgx + Ctg x = Sec x . Cosec xComprobamos que:

Si x = 45º Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º

1 + 1 = √2 . √2

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RECÍPROCAS:

Sen x = 1 Cosec x = 1 .

Cosec x Sen x

Cos x = 1 . Sec x = 1 .

Sec x Cos x

Tg x = 1 . Ctg x = 1 .

Ctg x Tg x

sen x tan x = -------- csc x

cos xctg x = -------

sen x

cos x sen x = -------- ctg x

sen x cos x = ------ tan x

POR COCIENTE:

Pitagóricas

• sen² x + cos² x = 1

sec² x - tan² x = 1

csc² x - ctg² x = 1

Demostración:1. Demostrar que:Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X

Solución:Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos:

1 . – Cos x . Cos x = Sen xSen x Sen x

1 . – Cos² x = Sen xSen x Sen x

1 – Cos ² x = Sen x Sen xPero 1- Cos² x = Sen ² x ; Luego Sen² x = Sen x Sen x

L.q.q.d Sen x = Sen x

Simplificación• Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las

identidades fundamentales y/o auxiliares con transformaciones algebraicas.

Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x Cos x . Sen x + 1 Cos x Cos x . Sen x + Cos x Cos x

Sen x + Cos x = Sen x + Cos x

Tipo Condicional• Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una

expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida.

Si Tg x + Ctg x = 4 ¿Tg² x + Ctg² x ?

Solución:(Tg x + Ctg x) ² = (4) ²

Tg² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg² x = 16

Tg² x + Ctg² x = 16 – 2

Tg² x + Ctg² x = 14

Eliminación Angular• Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas

relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo.

ß de:x = 4 Senß y = 5 Cosß x = 4Cosß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ßy= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß

X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß

X²/16 + y²/25 = 1