21Álgebra y trigonometría

Presentación

La aritmética viene de la más oscura lejanía. No hay luz para penetrar en ella y saber

a ciencia cierta cuándo el hombre comenzó a contar. Se sospecha que el hombre

primitivo pudo conocer cuántos animales poseía, haciendo corresponder a cada

animal una pequeña piedra. Si, un tiempo después, tenía más piedras que animales,

era porque había perdido algunos de ellos. Este primitivo concepto de cardinalidad

fue el origen del concepto de número como ente abstracto y dio comienzo al difícil

y prolongado parto de una de las ramas más antiguas de las matemáticas, como es

la aritmética, llamada después por Gauss la reina de las matemáticas.

En lo que respecta a la aritmética, en la actualidad el número es una conquista de la

escuela elemental. Allí se enseña la correspondencia entre dos conjuntos y la rela-

ción «tener el mismo cardinal», su transitividad y su reconocimiento como relación

de equivalencia. En esta etapa se evita el concepto de enumerar.

Se ha supuesto comúnmente que la aritmética es la rama más sencilla de las matemá-

ticas. El problema consiste en que las reglas fundamentales y las operaciones de

aritmética son extraordinariamente difíciles de definir. Así por ejemplo, el concepto

de número es un concepto holístico, pero aún más, problemas de aritmética, que

pueden ser expresados de tal modo que un niño pueda comprender su sentido, han

resistido durante siglos cualquier intento de resolución. Ejemplos de «sencillos»

problemas abiertos son la conjetura de Golbach y la existencia de números perfec-

tos impares.

El hombre de Vitrubio, de Leonardo da Vinci. Representación de la divina proporción.

1Elementos de

aritmética

Capítulo 1

Módulo 1

Razones y proporciones

Módulo 2

Sistemas numéricos

Módulo 3

Progresiones aritméticas y geométricas

Módulo 4

Sumatoria y productoria

Ejercicios

Capítulo 1, módulos 1 al 4

Contenido breve

22

De la teoría de números, Bell dice: «Es el último gran continente salvaje de las

matemáticas. Se divide en innumerables regiones, bastante fecundas por sí mismas,

pero todas más o menos indiferentes al bienestar de las demás, y sin ningún vesti-

gio de un gobierno central e inteligente. Si algún joven Alejandro está suspirando

por conquistar un nuevo mundo, éste se extiende ante él. La aritmética no tiene aún

a su Descartes, por no decir su Newton».

La numeración posee un significado muy profundo, puesto que es la aplicación del

conjunto de los números en el conjunto de los objetos numerados y contribuye a

poner en «orden» los objetos que componen el conjunto. Antiguamente, se asocia-

ba a la numeración de objetos la intuición perceptiva en forma de representaciones,

como las fichas de dominó; pero una de las condiciones de la concepción del

número es precisamente su permanencia a través de la diversidad de formas espa-

ciales de los conjuntos a los que se aplica y, por tanto, esto puede entrañar el peligro

de retardar la adquisición de este invariante.

En este capítulo se presentan conceptos básicos de aritmética, como razones y

proporciones, conjuntos numéricos, progresiones aritméticas y geométricas y

sumatoria y productoria.

23Álgebra y trigonometría

Razones y proporciones

Introducción

En este módulo se tratarán conceptos aritméticos íntimamente relacionados entre

sí, a saber: razones, proporciones y regla de tres.

En el medioevo, la regla de tres era una herramienta básica para el comercio de la

época y servía para determinar las proporciones de capital, tierras o cada tipo de

bienes que correspondía a cada persona. El concepto de regla de tres se explica

conociendo el concepto de proporción y, a su vez, éste tiene sentido cuando se

conoce el concepto de razón. Estos sencillos conceptos han permeado la civiliza-

ción humana, hasta el punto de que proporciones famosas se encuentran en los

más disímiles campos del saber humano, como son los casos de la proporción áurea

y el número .

Objetivos

1. Desarrollar los conceptos de razón y proporción.

2. Desarrollar los conceptos de interés simple e interés compuesto.

3. Desarrollar el concepto de regla de tres.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es una razón?

2. ¿Qué es una proporción?

3. ¿Qué es una regla de tres simple?

4. ¿Qué es una razón inversa?

Contenido

1.1 Razón

1.1.1 Razones inversas

1.2 Proporciones

1.2.1 Extremos y medios de una proporción

1.2.2 Magnitudes directamente proporcionales

1.2.3 Magnitudes inversamente proporcionales

1.2.4 Regla de tres

1.3 Cálculo porcentual

Vea el módulo 1 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

Visite el sitio

http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

1

Leonardo da Vinci (1452-1519)

Da Vinci es uno de los grandes artistas del Renacimiento yes famoso no sólo como pintor, sino también como escultor,arquitecto, ingeniero y científico.

24

1.1 Razón

Se llama razón de dos números enteros, al cociente de la división del primero por el

segundo. Por ejemplo: la razón de 15 a 5 es 15

35

! y la de 4 a 20 es 4 1

.20 5

!

Los números que se comparan se llaman términos de la razón.

1.1.1 Razones inversas

Dos razones son inversas cuando los términos de una son los mismos de la otra,

pero dispuestos en orden inverso. Por ejemplo: 5 4

y 4 5

son razones inversas y

2 3 y

3 2 también lo son.

1.2 Proporciones

Se llama proporción la expresión de la igualdad de dos razones. Por ejemplo

15 20 ,

3 4! en que cada razón es igual a 5.

1.2.1 Extremos y medios de una proporción

Dada la proporción ,a c

b d! donde a, b, c, d son números enteros, a y d se llaman

extremos de la proporción y b y c se llaman medios de la proporción. Hay que hacer

notar que en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los

medios. La proporción a c

b d! se puede escribir alternativamente de la forma si-

guiente: a : b :: c : d, y se lee: a es a b como c es a d.

1.2.2 Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes variables son directamente proporcionales cuando haciéndose

una de ellas 2, 3, 4... n veces mayor o menor, la otra se hace también 2 , 3, 4... n veces

mayor o menor. Ejemplos de ello son el salario de un obrero y la duración de su

trabajo, o el camino recorrido por un móvil que marcha siempre con igual velocidad,

y el tiempo.

1.2.3 Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes variables son inversamente proporcionales cuando, haciéndose la

primera 2, 3, 4... n veces mayor o menor, la segunda se hace también 2, 3, 4... n veces

menor o mayor. Por ejemplo: el número de obreros y el tiempo que emplean en

Capítulo 1: Elementos de aritmética

25Álgebra y trigonometría

Módulo 1: Razones y proporciones

Escuche La divinaproporción en su

multimedia de Àlgebra ytrigonometría

ejecutar un trabajo dado, o la velocidad de un tren y el tiempo empleado para

recorrer un espacio dado.

1.2.4 Regla de tres

Se llama regla de tres un problema en que, dados los valores correspondientes de

varias magnitudes directa o inversamente proporcionales, se trata de buscar una de

ellas, cuando se conocen todas las demás.

Es decir, la regla de tres es una operación por medio de la cual se busca el cuarto

término de una proporción, de la cual se conocen los otros tres.

Ejemplo 1

Un ciclista recorre 150 km en 5 horas. ¿Cuántos recorrerá en 7 horas?

Solución

Ya que las horas y los kilómetros son magnitudes directamente proporcionales,

tenemos la proporción150 5 150 7

, o sea 210 km.7 5

xx

"! ! !

Ejemplo 2

Si 12 obreros se tardan 30 días en acabar una obra, ¿cuántos obreros se necesitarán

para acabar la misma obra en 24 días?

Solución

Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, tene-

mos la siguiente proporción: 12 24 12 30

, o sea 15 obreros.30 24

xx

"! ! !

Ejemplo 3

Para hacer 180 m de una obra, 15 obreros han trabajado 12 días, a razón de 10 horas

por día. ¿Cuántos días de 8 horas necesitarán 32 obreros para hacer 600 m de la

misma obra?

Solución

a. Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos 1x los días que

necesitarán los 32 obreros para hacer el trabajo, en el supuesto de que

las demás magnitudes queden fijas. O sea:

15 obreros 12 días

32 obreros 1x

Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales,

se tiene:

11

15 12 15 ; días.

32 12 32

xx

"! !

26

Capítulo 1: Elementos de aritmética

Escuche Razones famosas delnúmero pi en su multimedia de

Àlgebra y trigonometría

b. Conocido el número de días 1x que necesitan 32 obreros para hacer 180 m de

una obra, trabajando 10 horas diarias, consideremos el número de días que

se demorarían haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea 2x el

número de días de 8 horas, entonces

10 horas 1x días

8 horas 2x

Ya que las razones son inversas, se tendrá que:

2

1

10

8

x

x!

2 1 2

10 12 15 10 ; por tanto

8 32 8x x x

"! " ! " días.

c. Por fin, si comparamos los días con la cantidad de trabajo, y sabiendo que 32

obreros hacen 180 m de obra en 2x días de ocho horas, se pregunta en

cuántos días de 8 horas esos 32 obreros harán 600 m de la obra. O sea:

2x 180 m

x 600 m

Ya que las razones son directas, se tendrá:

2 180

600

x

x!

2

600 días.

180x x! "

O sea que 12 15 10 600

días32 8 180

x" " "

!" "

y por tanto 23x ! días más

7

16 de día.

Ejemplo 4

Una partícula con velocidad constante recorre 1.200 m en 80 segundos. Determine:

a. Qué distancia recorrerá en media hora.

b. Qué tiempo tardará en recorrer 1.500 m.

Solución

a. 1.200 m 80 seg

x 1.800 seg

Ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene que:

27Álgebra y trigonometría

Módulo 1: Razones y proporciones

1.200 80 ,

1.800x! 1.200 1.800

m,80

x"

! o sea x = 27.000 m.

b. 80 seg 1.200 m

x 1.500 m

Ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene que:

80 1.200 80 1.500 , seg; o sea = 100 seg.

1.500 1.200x x

x

"! !

Ejemplo 5

Un grupo de 8 obreros, los cuales trabajan todos con la misma eficiencia, ejecuta

una cierta obra trabajando durante 20 días. ¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la

misma obra dos de los obreros del grupo?

Solución

20 días 8 obreros

x 2 obreros

Ya que las magnitudes son inversamente proporcionales, se tiene:

20 2

8x! ,

20 8 días,

2x

"! o sea x = 80 días.

Ejemplo 6

Un grupo formado por 9 hombres que trabajan todos con igual eficiencia ejecuta

una obra trabajando durante 28 días a razón de 6 horas diarias. Determine cuántos

días hubieran tenido que trabajar 7 hombres del mismo grupo para realizar la misma

obra, trabajando a razón de 8 horas diarias. ¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la

misma obra dos de los obreros del grupo?

Solución

a. Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos1

x los días que

necesitan los 7 hombres para hacer el trabajo, en el supuesto de que las

demás magnitudes queden fijas. O sea:

9 hombres 28 días

7 hombres1

x días

Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales,

se tiene:

11

9 9 28 ; días.

7 28 7

xx

"! !

b. Conocido el número de días 1

x que necesitan 7 hombres para hacer la obra

trabajando 6 horas diarias, consideremos el número de días que se demorarían

haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea2

x el número de días

28

Capítulo 1: Elementos de aritmética

Escuche Da Vinci en sumultimedia de Àlgebra y

trigonometría

que necesitarían:

6 horas 1x días

8 horas 2x días

Ya que las razones son inversas, se tendrá:

2

1

6

8

x

x! ; 1

2

6 .

8

xx

"!

O sea

2

6 9 28 27

8 7x

"! " ! días.

1.3 Cálculo porcentual

Las definiciones, fórmulas y métodos de trabajo que son necesarios para la com-

prensión de los ejercicios que se presentan a continuación son una aplicación

específica del concepto de regla de tres.

En problemas de cálculo porcentual, si llamamos p el porcentaje, B el valor de ese

porcentaje, C el valor base sobre el que se calcula el porcentaje, se tendrá que:

100 p

C B

Como estas magnitudes son directamente proporcionales, se tendrá que:

100.

p

C B!

Ejemplo 7

Halle el 12% de 8.000 pesos.

Solución

Si llamamos p al porcentaje, C al capital y B al valor de ese porcentaje, se tendrá:

100 p

C B

Las magnitudes son directamente proporcionales. En nuestro caso, p = 12,

C = 8.000. Se trata de hallar B.

100 C ; .

100

p pB

C B

"! !

O sea que12 8.000

960 pesos.100

B"

! !

29Álgebra y trigonometría

Ejemplo 8

Halle de qué número es 48 el 8%.

Solución

En este caso p = 8, B = 48. Se trata de hallar C.

100 100;

100 48600.

8

p BC

C B p

"! !

"! !

Ejemplo 9

Halle qué porcentaje es 51 de 170.

Solución

Los datos son B = 51 y C = 170. En este caso la incógnita es p.

100 5130%.

170p

"! !

Ejemplo 10

Halle de qué número es 408 el 70% más.

Solución

El 70% más de un número es el 170% de éste. Entonces, en este caso, tenemos que

B = 408 y p = 170.

100 100 408240.

170 170

BC

" "! ! !

El número pedido es 240.

Ejemplo 11

Halle de qué número es 546 el 9% menos.

Solución

El problema equivale a preguntar de qué número es 546 el 91%. Por tanto, p = 91%,

B = 546 y la incógnita es C.

100 100 546600,

91

BC

p

" "! ! ! que es el número pedido.

Módulo 1: Razones y proporciones

30

Ejemplo 12

Se han mezclado 40 g de alcohol con cierta cantidad de agua, de tal modo que el

alcohol utilizado representa el 20% de la mezcla resultante. Calcule la cantidad de

agua que contiene la mezcla.

Solución

Tomemos como valor base la cantidad total de gramos de alcohol y agua que forman

la mezcla, cantidad que designamos por C. Como la cantidad de alcohol es de 40 g,

que representa el 20% de la mezcla, tenemos que p = 20 y B = 40.

Las tres magnitudes p, B y C están ligadas por la fórmula ,100

B C

p! donde en este

caso C es la cantidad total de mezcla.

100 100 40200

20

BC

p

" "! ! ! g.

Sabemos que la mezcla solamente contiene alcohol y agua; como hay 40 g de alco-

hol, los gramos de agua serán 200 – 40 = 160.

Ejemplo 13

Se dispone de dos tipos de acero: el tipo A, que contiene 5% de níquel, y el tipo B,

que contiene 40%. Se desea saber qué cantidad de cada tipo será necesario emplear

para obtener 70 toneladas de un nuevo tipo de acero que contenga el 30% de níquel.

Solución

Sea x la cantidad de toneladas necesarias del tipo A. Entonces serán necesarias

70 x# toneladas del tipo B.

La cantidad de níquel aportada por las x toneladas del tipo A es 5

100x" .

La cantidad de níquel aportada por las 70 x# toneladas del tipo B es $ %40

70 .100

x" #

Por tanto, $ %5 40 30

70 70,100 100 100

x x" & " # ! "

5 2800 40 2.100,

35 700, 20 toneladas.

x x

x x

& # !

! !

En consecuencia, serán necesarias 20 toneladas del tipo A y 50 toneladas del tipo B.

Capítulo 1: Elementos de aritmética

31Álgebra y trigonometría

Ejemplo 14

Entre dos locales A y B hay almacenados un total de 2.000 sacos de azúcar. Si del

local A se transporta el 20% al local B, entonces en los dos locales habrá el mismo

número de sacos. ¿Cuántos sacos había en cada local?

Solución

Sea x el número de sacos en el local A.

Sea 2.000 – x el número de sacos que había en el local B.

Entonces:

20 202.000 ,

100 100

22 2.000,

5

1.250.

x x x x

x x

x

# ! # &

# !

!

Por lo tanto había 1.250 sacos en el local A y 750 en el local B.

Módulo 1: Razones y proporciones