Modelsos de Simulacion

113Cuad. Adm. Bogot (Colombia), 21 (36): 113-132, especial de finanzas-julio de 2008

Modelos discretos y continuos para estiMar la densidad de

probabilidad de la volatilidad estocstica de los rendiMientos

de series financieras*Carlos Alexander Grajales Correa**

Fredy Ocaris Prez Ramrez***

* Este artculo se present como ponencia en el IV Simposio Nacional y I Internacional de docentes deFinanzas. Es pro-ducto del proyecto de investigacin Heteroscedstica de Series Financieras, desarrollado entre enero de 2006 y febre-ro de 2007, en la Facultad de Ingenieras de la Universidad de Medelln, Medelln, Colombia. El artculo se recibi el 03-10-2007 y se aprob el 18-03-2008.

** Magster en Matemticas Aplicadas, Universidad EAFIT, Medelln, Colombia (2006); Licenciado en Matemticas y Fsica, Universidad de Antioquia, Medelln, Colombia (2000); Profesor de la Universidad de Medelln, Medelln, Co-lombia.

Correo electrnico: [email protected]*** Magster en Matemticas Aplicadas, Universidad EAFIT, Medelln, Colombia (2003); Matemtico, Universidad de

Antioquia, Medelln, Colombia (1995); Profesor de la Universidad de Medelln, Medelln, Colombia. Correo electrnico: [email protected]

114 Cuad. Adm. Bogot (Colombia), 21 (36): 113-132, especial de finanzas-julio de 2008

Carlos alexander Grajales Correa, Fredy oCaris Prez ramrez

Modelos discretos y continuos para estimar la densidad de probabilidad de la volatilidad estocstica de los rendimientos de series financieras

resuMen

En este artculo se consideran los rendimien-tos diarios de un activo financiero con el propsito de modelar y comparar la densidad de probabilidad de la volatilidad estocstica de los retornos. Para tal fin, se proponen los modelos ARCH y sus extensiones, que son en tiempo discreto, as como un modelo em-prico de volatilidad estocstica desarrollado por Paul Wilmott. Para el caso discreto se muestran los modelos que permiten estimar la volatilidad condicional heterocedstica en un instante t del tiempo, t[1,T]. En el caso continuo se asocia un proceso de difusin de It a la volatilidad estocstica de la serie financiera, esto posibilita discretizar dicho proceso y simularlo para obtener densidades de probabilidad empricas de la volatilidad. Por ltimo, se ilustran y se comparan los resultados obtenidos con las metodologas expuestas para el caso de las series financie-ras S&P 500 de Estados Unidos, el ndice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexica-na de Valores (IPC) y el ndice general de la Bolsa de Colombia (IGBC).

Palabras clave: funcin densidad de pro-babilidad, ARCH, volatilidad, heterosce-dasticidad, procesos de difusin de It, si-mulacin.

A Continuous Model and a Discrete Model for Estimating the Stochastic Volatility Probability Density of Financial Series Yields

abstract

This article considers the daily yield of a fi-nancial asset for the purpose of modeling and comparing its stochastic volatility probability density. To do so, ARCH models and their extensions in discrete time are proposed as well as the empirical stochastic volatility mo-del developed by Paul Wilmott. For the dis-crete case, the models that enable estimating the conditional heterocedastic volatility in an instant t of time, t[1,T] are shown. For the continuous case, an It dissemination process is associated with the stochastic volatility of the financial series; that enables making said process discrete and simulating it, to obtain empirical volatility probability densities. Fi-nally, the results are illustrated and compared to the methodologies discussed in the case of the financial series United Status S&P 500, the Mexican Stock Exchange Price and Quo-te Index (IPC is the Mexican acronym), and the Colombian Stock Exchange General In-dex (IGBC is the Colombian acronym).

Key Words: probability density function, ARCH, volatility, heterocedasticity, It dis-semination processes, simulation


modelos disCretos y Continuos Para estimar la densidad de Probabilidad de la volatilidad estoCstiCa

1. Modelos en tiempo discreto

1.1 Introduccin

A continuacin se presentan los llamados modelos ARCH, GARCH, TGARCH y EGARCH, ideales para capturar fenmenos en los que la varianza condicional es cam-biante en el tiempo. Dichos modelos se uti-lizan con frecuencia en el rea de finanzas, ya que el inversionista est interesado en pronosticar la tasa de retorno y su volatilidad solamente sobre el perodo de tenencia y el emisor en analizar el rendimiento y la vola-tilidad esperados en la vida del instrumento financiero.

Un gran nmero de series de tipo financiero y econmico presentan media no constante, as como perodos de estabilidad seguidos de otros de alta volatilidad, entendiendo por la ltima el hecho de que la variabilidad de la serie en torno a un valor medio, medida por la varianza, es muy alta en determinados tramos de la muestra frente a otros perodos en los que, al menos aparentemente, es menor. En-tre estas series se encuentran los agregados monetarios, la tasa de inflacin, los tipos de cambio y las variaciones porcentuales de los precios de las acciones.

El hecho de que muchas series de tipo eco-nmico y financiero estn sujetas a fuertes cambios en la varianza hizo necesario que este fenmeno se tuviera en cuenta en el pro-ceso de modelacin. Los trabajos iniciales se deben a Engle (1982), quien introduce los modelos ARCH (modelo de heteroscedastici-dad condicional autorregresivo), y Bollerslev (1986), con sus modelos GARCH (ARCH

generalizados). Por GARCH se entiende el modelo de heteroscedasticidad condicional autorregresivo generalizado; la heterosce-dasticidad se toma como la variacin en el tiempo de la varianza. El trmino condicional implica una dependencia en las observacio-nes del pasado inmediato y autorregresivo, describe el mecanismo de retroalimentacin que incorpora las observaciones pasadas en el presente. GARCH, entonces, es un meca-nismo que incluye las varianzas pasadas en la explicacin de las varianzas futuras. Espec-ficamente, es un modelo de series de tiempo que usa las varianzas pasadas y las predic-ciones de las varianzas pasadas para pre- decir las varianzas futuras.

Existen modelos en los que la varianza con-dicional no es constante sino que depende del conjunto de informacin disponible en cada instante; ignorar este hecho conducira a obtener estimadores ineficientes, con las graves consecuencias que ello implica, co-mo intervalos de confianza para la prediccin ms amplios, mayor variabilidad de la propia prediccin puntual, y se reflejara la mayor amplitud del rango de sus posibles valores para un nivel de confianza dado.

Por tanto, si

V Yt | t1( ) = f t( ), es decir, no es constante, se necesitan desarrollar modelos economtricos en los que se permita que la varianza condicional del proceso cambie en el tiempo. Una alternativa son los modelos ARCH y sus extensiones, que se describen a continuacin. Dichos modelos permiten estimar la duracin y la magnitud de la vola-tilidad, hecho crucial para ver si las predic-ciones que se hacen acerca de los precios son confiables o no.



1.2 El modelo univariante ARCH

1.2.1 Modelo ARCH (1)

El proceso ARCH(1) (Engle, 1982) se define por la siguiente expresin

t2 = 0 + 1

2t-1

t =t at, at ~ iidN (0,1), t y at son independientes

donde:

0 y

1 son coeficientes tales que

0 > 0,0 1 < 1.

Ntese que la condicin 0 > 0 corresponde a la mnima varianza condicional a ser obser-vada, mientras que 0 0 < 1 es una condi-cin necesaria y suficiente para la existencia de la varianza incondicional y la condicional. El coeficiente 1 mide la persistencia de la volatilidad; si dicho coeficiente es cercano a 1, se dice que hay una alta persistencia de los shocks de volatilidad.

La distribucin de los errores dado el con-junto de informacin

t1 es una normal con media 0 y varianza t

2, simblicamente,

t | t1 ~ N (0, t2 ),

Var ( t | t1 ) = t2, varian-za condicional heteroscedstica; es decir, la varianza condicional depende de la informa-cin disponible en cada instante t.

1.2.2 Modelo ARCH (p)

Un proceso ARCH generalizado o de orden p (ARCH (p)) tiene la siguiente estructura:

t2 = 0 + 1 t1

2 + 2 t 22 + + p t p

2

= 0 +i=1

p

i t i2 (1)

Donde 0 > 0, i 0, i = 1,2,, p; t =t at , t y at son independientes y at ~ iidN (0,1).

La varianza incondicional de los errores bajo una estructura ARCH (p) es:

2 = 01 (1 + 2 + + p ) (2)

La distribucin de los errores dado el con-junto de informacin

t1 es una normal con

media 0 y varianza

t2 = 0 +

i=1

p

i t i2 .

1.3 El modelo univariante GARCH (modelo ARCH generalizado)

La modelacin del GARCH proviene de avances en la modelacin de la volatilidad en los aos ochenta. Este proceso se introdu-ce en el grupo de anlisis que trata el exceso de curtosis y el agrupamiento de la volatili-dad, dos de las caractersticas ms comunes en las series financieras. Los modelos de volatilidad condicional proporcionan una manera adecuada de modelar y pronosticar las varianzas y covarianzas de los retornos de los activos.

Los modelos GARCH se pueden aplicar en cualquiera de los diversos campos de la ad-ministracin del riesgo, de la administracin de portafolio, en la asignacin de activos, en las opciones de precio, en las tasas de cambio, en la estructura de tasas de inters, etctera.

Se pueden encontrar grandes efectos signi-ficativos del GARCH en mercados acciona-rios, no slo para choques individuales, sino



tambin para stock de portafolios e ndices y para mercados futuros accionarios. Estos efectos son importantes en algunas de las reas de la valoracin del riesgo (VaR) y en otras aplicaciones de la administracin del riesgo concernientes a la eficiencia de la co-locacin del capital. Los modelos GARCH se pueden usar para examinar la relacin en-tre las tasas de inters de corto y largo plazo, debido a la incertidumbre de las tasas. Sir-ven tambin en el anlisis de la variacin del tiempo en el retorno de las tasas.

1.3.1 Modelo GARCH(1,1)

El proceso GARCH (1,1) (Bollerslev, 1986) se define por la siguiente expresin:

t2 = 0 + 1

2t-1 + 1

2t-1

t =t at, at ~ iidN (0,1), t y at son indepen-dientesdonde 0, 1 y 1 son coeficientes tales que

0 > 0 1 ,1 0,0 1 + 1( ) < 1.

De acuerdo con el modelo GARCH (1,1), se tiene que la varianza condicional heterosce-dstica del proceso en el perodo t depende de la perturbacin al cuadrado y de la varianza condicional observados en el perodo t1. El coeficiente 1 captura el efecto ARCH, es de-cir, mide la amplitud con la cual los efectos de volatilidades pasadas alimentan volatilidades presentes; el coeficiente 1 captura el efecto GARCH; (1 + 1) mide la tasa a la cual es-tos efectos van disminuyendo en el tiempo, esto es, mide la persistencia en el tiempo de la volatilidad condicional. Si la suma de los coeficientes (1 + 1) es muy cercana a 1, se dice que hay una elevada persistencia que ocasiona que los efectos del shock tarden en

olvidarse; en tanto que la baja persistencia slo tiene efectos de corta duracin. La con-dicin 0 (1 + 1) < 1 garantiza la existencia de la volatilidad incondicional.

1.3.2 Modelo GARCH (p,q)

Un proceso GARCH generalizado o de or-den p, q (GARCH (p, q)) tiene la siguiente estructura:

t2 = 0 +

i=1

p

i ti2 +j=1

q

j tj2 (3)

0 > 0, i 0, j 0, i = 1,2,,p;

j = 1,2,,q; i=1

p

i +j=1

p

j < 1,

t = t at, t y at son independientes y at ~ iidN (0,1)

La varianza incondicional de los errores bajo una estructura GARCH (p, q) es:

2 = 0

1 i=1

p

i +j=1

q

j

,0 i=1

p

i +j=1

q

j < 1 (4)

Los procesos ARCH y GARCH son modelos simtricos donde los shocks de los retornos, ya sean positivos o negativos, tienen el mis-mo impacto de volatilidad. Ahora, cuando el rendimiento cae por debajo de lo esperado conduce a un escenario en el que las noticias son malas, esto se asocia con que la volatili-dad se incrementa; por otra parte, cuando las noticias son buenas, la volatilidad disminuye. Del desarrollo de modelos con varianza con-dicional asimtrica, dos familias que pueden modelar esta caracterstica son EGARCH y TGARCH, entre muchos otros.



1.4 Modelos ARCH asimtricos

Otra de las principales caractersticas de los mercados financieros es que ante malas no-ticias se producen cadas en las cotizaciones que tienen una volatilidad mayor, es decir, son de mayor magnitud que cuando se pro-ducen alzas en las cotizaciones por buenas noticias, en cuyo caso la volatilidad es de menor magnitud. Para estos casos de volati-lidad asimtrica se desarrollaron los modelos TGARCH, EGARCH, entre otros.

1.4.1 El modelo univariante TGARCH

Un primer modelo que es capaz de producir efectos asimtricos es el modelo TGARCH (Threshold Heteroscedastic Autoregresive Models) (Zakoan, 1994). Este modelo de-pende de un umbral (threshold) por medio del cual definen su reaccin. En los mercados burstiles se observa de forma emprica que los movimientos a la baja generalmente son ms voltiles que los movimientos al alza. En particular, el modelo TGARCH (1,1) o Threshold ARCH propone la siguiente ecua-cin para estimar la varianza condicional:

t2 = 0 + 1 t1

2 + d t1 t12 + 1 t12 (5)

donde

d t1 =0 si t1 01 si t1 < 0

Es decir, valores negativos del residuo de la regresin son interpretados como malas no-ticias para el mercado y los valores positivos representan las buenas noticias. Las malas noticias tendrn un impacto (1 + ) sobre la varianza condicional, mientras que las bue-

nas noticias solo impactarn en 1. Si > 0 se dice que existe el efecto de apalancamiento (leverage effect), que se refiere al hecho de que a rentabilidades negativas correspon-da una mayor volatilidad condicional que a rentabilidades positivas. Si 0, entonces el impacto de las noticias es asimtrico.

1.4.2 El modelo univariante EGARCH

Modelo EGARCH (GARCH exponencial) (Nelson, 1991). En 1991 se defini la curva de impactos asimtricos; en ella se hace no-tar que en el mercado de capitales no reper-cuten igual las buenas noticias que las malas noticias. Los movimientos a la baja en el mercado vienen con mayores volatilidades que al alza.

En 1991, Nelson (1991) trabaj el mode-lo exponencial GARCH, denotado como EGARCH(1,1), el cual propone la siguiente ecuacin para estimar la volatilidad condi-cional:

1n t2 = 0 + 1 t1 t1

+ t1 t1

+ 11n t12 (6)

Por tanto,

t2 = t1( )1 exp 0 + 1 t1 t1

+ t1 t1

(7)

Finalmente, comparando los modelos GARCH y EGARCH se puede decir que un modelo GARCH tiene la limitacin de que trata los efectos de modo simtrico debido a que utiliza los cuadrados de las innovacio-nes. Otra limitacin importante son las res-tricciones que deben cumplir los parmetros, ellas eliminan el comportamiento al azar-



oscilatorio que pueda presentar la varianza condicional. En un modelo EGARCH no hay restricciones en los parmetros.

2. Modelo en tiempo continuo

2.1 Introduccin

Algunos modelos clsicos en el estudio de series de precios financieras asumen que la volatilidad en los retornos permanece cons-tante. En esta direccin puede considerarse el modelo de Black & Scholes (1973), en el cual se concibe que la serie de precios se ajusta a un proceso estocstico lognormal; el pro-ceso de Ornstein-Uhlenbeck con reversin a la media, desde el que se afirma que a largo plazo la serie de precios en el tiempo retorna de manera sucesiva a cierto valor medio, y el modelo de Cox-Ross-Rubinstein (1979), el cual supone que el precio del activo sube o baja en una proporcin especfica con cierta probabilidad asociada en unidades discretas de tiempo.

En los modelos mencionados el supuesto de volatilidad constante en los retornos de la serie de precios del subyacente resulta ser inadecuado, pues un gran nmero de series financieras, no solo colombianas, sino interna- cionales, reflejan presencia de heterocedasti-cidad y curtosis en los retornos, produciendo curvas de distribucin leptocrticas y de co-las anchas. Algunos modelos alternativos que superan esta dificultad han sido propuestos en el campo de las matemticas financieras y la estocstica, incluyendo los modelos de volatilidad estocstica en tiempo continuo. En este contexto se considera que tanto el precio como la volatilidad del activo sub-

yacente siguen un proceso estocstico, cada uno de los cuales viene representado por una ecuacin diferencial estocstica que admiten en conjunto dos ruidos brownianos posible-mente correlacionados. En esta direccin se orientan los modelos seminales de Hull & White (1987); de Scott (1987); de Stein & Stein (1991); de Heston (1993), y un modelo emprico de volatilidad estocstica propuesto por Wilmott y Oztukel (1998). Los siguien-tes apartados estn dirigidos a introducir el concepto de volatilidad implcita, un modelo general de volatilidad estocstica y el modelo emprico de volatilidad estocstica.

2.2 Volatilidad implcita

El modelo de Black & Scholes asume que el precio St de un activo sigue un movimiento browniano geomtrico para proponer una solucin analtica al valor de una opcin de compra o de venta de tipo europeo, V (t, St, K, r, T, ), o de manera simple V (t,St), donde K es el precio de ejercicio convenido y T es la fecha de expiracin de la opcin; la cons-tante r es la tasa de inters libre de riesgo y t [0, T].

La volatilidad implcita, denotada por I, puede definirse como el valor de la volati-lidad para el cual el precio de la opcin ge-nerado por el modelo de Black & Scholes se hace igual al precio de mercado, esto es, V (t,St) = Vmercado

Conociendo en el mercado un conjunto de precios V de una opcin europea sobre un activo fijo, correspondientes a diferentes pre-cios de ejercicio K, a partir del modelo Black & Scholes pueden hallarse los respectivos



valores de I manteniendo fijos los dems parmetros. Este proceso lleva asociado el uso de un algoritmo numrico tal como el de Newton Raphson. En desacuerdo con el mo-delo de Black & Scholes para la valoracin de una opcin europea sobre un subyacente fijo, el valor de la volatilidad I vara con el precio de ejercicio K. En consecuencia, pue-de darse el caso de que en una opcin de di-visas, por ejemplo, la volatilidad sea menor para opciones en el dinero y se haga progre-sivamente mayor para aquellas dentro o fuera del dinero, formando lo que se conoce como sonrisa de la volatilidad (Rubinstein, 1994); (Dupire, 1994); (Derman, 1994); (Wilmott, 2000); (Hull, 2003).

La variacin de I asociada a los cambios en el precio de ejercicio de la opcin, K, forma curvas conocidas como efecto sonrisa (smi-le) o muecas (skew). La presencia de una volatilidad implcita no constante sugiere una distribucin asociada a los precios del activo subyacente, diferente a la distribu-cin lognormal considerada en el conjunto de supuestos del modelo Black & Scholes. La curva de la distribucin de retornos reales con frecuencia es leptocrtica y de colas ms anchas que la distribucin normal.

Por otro lado, la variacin de la volatilidad implcita I tambin se manifiesta con la variacin de la fecha de expiracin T. As, puede contemplarse una superficie de vola-tilidad que se obtiene cuando ambos, precio de ejercicio K y fecha de expiracin T, varan. En el grfico 1 se representa una distribucin lognormal y una posible distribucin emp-rica seguida por los precios para un activo financiero (1a); se muestra el efecto sonrisa

asociado a la distribucin emprica mencio-nada (1b); lo que indica que la distribucin de los retornos para un activo en el merca-do tiene picos ms altos y colas ms anchas respecto de la distribucin normal de retor-nos asociada a la distribucin lognormal de precios (1c).

2.3 Volatilidad estocstica

Uno de los supuestos fuertes en el modelo de Black & Scholes es considerar la volatilidad como un parmetro constante o determins-tico, en tanto puede conocerse como funcin del tiempo y del precio del activo subyacente. Los retornos de los precios de un activo en la realidad exhiben curvas leptocrticas (high peaks) o con una gran desviacin estndar (fat tails) y, por tanto, no siguen una distri-bucin normal como lo sugieren los retornos en el modelo de Black & Scholes.

Un proceso estocstico con volatilidad es-tocstica modela el cambio de la volatilidad implcita en el modelo Black-Sholes cuando cambia la fecha de expiracin T o el precio de ejercicio K. Un proceso de este tipo supone que el precio St de un activo financiero satis-face un sistema de ecuaciones diferenciales estocsticas dado por:

dS t S t t , t( ) = S tdt + tS tdWt(1)

dS t S t t , t( ) = S tdt + tS tdWt(1), (8)

d t S t , t , t( ) = p S t , t , t( )dt + q S t , t , t( )dWt 2( ) (9)

donde la volatilidad t del precio St en (8) es un proceso estocstico descrito por (9) que en general representa un proceso de rever-sin a la media, y el coeficiente

constante es la tendencia en la tasa de crecimiento del



activo. La notacin t se hace para enfatizar que la volatilidad es no constante. Las fun-ciones p y q son la tendencia de la volatilidad y la volatilidad de la volatilidad del precio St, respectivamente, y deben ser determina-das. Por el momento puede considerarse que ambas funciones, p y q, representan proce-sos de reversin a la media (Wilmott, 1998), (Wilmott, 2000). El modelo incorpora dos fuentes de aleatoriedad, Wt(1) y Wt(2), que son procesos de Wiener con correlacin

. De es-

te modo, el proceso de precios {St, 0 t T} no est completamente descrito por la rela-cin (8), y el valor St est condicionado a la informacin S0, 0 y a la trayectoria seguida por la volatilidad {s, 0 s t}.

Las ecuaciones (8) y (9) pueden conducir a la implementacin de un algoritmo que simule o bien la solucin exacta o bien una solucin nu-mrica para el proceso de precios {St, 0 t T} (Kloeden & Platen, 1992). Por otro lado, si

Grfico 1

Distribucin de precios, retornos y volatilidad implcita

f(St)

Sr

(a) Distribucin de precios para un activo financiero

Mercado Lognormal

K - S0

I

(b) Sonrisa de la volatilidad

f(rt)

rt

(c) Distribucin de retornos para un activo financiero

MercadoLognormal

Fuente: elaboracin propia.



se quiere valorar una opcin europea bajo el modelo descrito por (8) y (9), su precio ser V (t, St, t; K, T; r) que denotamos de manera simplificada por V (t, St, t). Con un portafolio libre de riesgo y en condiciones de no arbitra-je, puede verse que V satisface la SDE.

Vt +

12

2S t2 2 VS t2

+ qS t 2 V

S t

+ 12 q2 2 V

2+ rS t

VS t

+ p q( ) V

rV = 0 (10)

para una funcin = (t, St , t), llamada pre-cio en el mercado del riesgo de la volatilidad, que debe ser determinada (Wilmott, 2000). La afinacin de depende de argumentos econmicos, y en Wiggins (1987), por ejem-plo, se considera que debera ser proporcio-nal a la varianza vt = t 2. Otros avances ms recientes en la determinacin del precio en el mercado del riesgo de la volatilidad se han hecho en Doran & Ronn (2004).

2.4 Modelo emprico de volatilidad estocstica

Esta alternativa de trabajo para el estudio de la evolucin de la volatilidad en el precio de un activo financiero fue propuesta por Paul Wilmott y Asli Oztukel (1998) en un estudio que ajusta datos empricos del ndice Dow Jones a lo largo de veinte aos. Este modelo asume que la ecuacin (9), de la volatilidad t, toma la forma

d t t , t( ) = t( )dt + ( t )dWt (11)

donde la tendencia (t) y la volatilidad de la volatilidad (t) son funciones solo de t y no del precio St del activo y del tiempo

t; y donde adems los procesos brownianos asociados con los procesos de volatilidad t y de precios St no tienen correlacin. Este modelo presenta caractersticas compatibles con los datos histricos de la volatilidad del activo subyacente y ha mostrado ser adecua-do en el estudio del comportamiento de la volatilidad en el precio de un activo; solo se requiere la existencia de datos que registren el valor que toma el activo subyacente a tra-vs del tiempo.

Antes de proceder a la descripcin del mo-delo es conveniente definir la densidad de probabilidad en estado estable de un proceso estocstico y la ecuacin de Fokker Planck asociada a dicha densidad.

2.5 Densidad de probabilidad en estado estable

Suponga que se tiene un proceso estocstico X = {xt, t I = [0, ]} descrito por la ecua-cin diferencial estocstica general para la variable x = xt

dx = A x,t( )dt + B x,t( )dW (12)

donde W es un movimiento browniano. Si s, t I con s t y B es un conjunto borelia-no sobre , entonces la probabilidad de que el proceso estocstico x cambie del estado x a un estado y B en el intervalo [s, t], se co-noce como probabilidad de transicin. Esta probabilidad se denota por P (s, x; t, y) y se determina por la siguiente relacin (Kloeden & Platen, 1992):



P s,x; t,B( ) = P X t B X s =x( ) = P w : X t w( ) B{ } X s = x( ) = B p s,x; t,y( )dy

(13)

donde P (s, x; t, y) se denomina densidad de transicin y corresponde a la probabilidad de que la variable X se mueva del estado (S, X) en el tiempo s al estado (t, y) en el tiempo t. As, en la medida de probabilidad P (s, x; t, B) se consideran todas las formas posibles de cmo un fenmeno o sistema puede evo-lucionar hacia un estado y B a partir de un estado anterior X a lo largo de un tiempo finito ts.

La densidad de probabilidad en estado esta-ble, o tambin llamada estacionaria o incon-dicional, (r), en caso de que exista, es una densidad a largo plazo cuando t , y se calcula como

r( ) = x( )p s,x; t,r( )dx (14)

resultando independiente del estado inicial del proceso estocstico X.

2.5.1 Ecuacin de Fokker Planck

La ecuacin de Fokker Planck es una ecua-cin diferencial parcial parablica con con-dicin inicial en el tiempo S que se resuelve para un tiempo t > s. Esta ecuacin toma la forma

pt =

12

2

y 2 B y,t( )2 p( ) y A y,t( )p( ) (15)

En ella se manifiesta el comportamiento probabilstico de la densidad de transicin

P (s, x; t, y) asociada al proceso estocstico X. Dicha ecuacin puede ser utilizada para conocer la distribucin de los valores que el proceso X puede tomar en el tiempo t dado que su estado inicial se conoce en el tiempo S. La forma de esta ecuacin puede deducirse de manera natural a partir de la funcin den-sidad de transicin P (s, x; t, y) y haciendo una aproximacin trinomial de la caminata aleatoria definida por X [20].

2.5.2 Descripcin del modelo emprico de volatilidad estocstica

Conociendo las formas funcionales (t) y (t), la ecuacin (11) queda completamente determinada y con este objetivo el modelo se desarrolla de la siguiente manera:

1. La forma funcional de (t) se asume que es

t( ) = t (16)

con y siendo constantes que se deben hallar a partir de la serie de tiempo de precios St del activo subyacente. La forma funcional para (t) debe ajustarse de la manera ms precisa a los cambios refle-jados a corto plazo por la volatilidad t.

A partir de (11), considerando que dWt =

dWt = dt

dWt = dt con ~ N(0,1) y que si ~ N(0,1) entonces

2 ~ X12, se obtienen las siguien-tes igualdades:

d( ) 2 = t( ) 2 2dtE d( ) 2 = t( ) 2 dtE 2[ ]

=1

= t( ) 2 dt



donde se aplic que dt2 = dtdWt = 0 por tratarse de diferenciales de orden mayor que 1. Ahora, tomando logaritmo natural en ambos lados de la ltima igualdad, se verifica que

1nE d( )2 = 21n t( ) +1ndt

Por otro lado, si a partir de la serie de tiempo de precios del activo subyacente se hace una regresin lineal entre las va-riables

1nE d( )2 y

1n t( ), entonces la recta de regresin puede escribirse para a y b constantes, as:

1nE d( )2 = a + b1n t( ) +

donde

es la perturbacin entre la re-gresin lineal y los datos observados. La expresin anterior puede escribirse de manera equivalente como:

21n t( ) +1ndt = a + b1n t( )

En diversas series de tiempo financieras es frecuente hacer la regresin lineal que se ha indicado y en ellas se confirma em-pricamente un ajuste lineal (Oztukel & Wilmott, 1998), (Wilmott, 2000).

Si de la ltima ecuacin despejamos

t( ), se obtienen las siguientes igualdades:

1n t( ) = 12 a 1ndt( ) +b2 1n t

t( ) = exp 12 a 1ndt( )

t

b /2

Finalmente, comparando la ltima igual-dad con la ecuacin (16) resulta que

= exp 12 a 1ndt( )

(17)

y

= b2 (18)

lo cual justifica el supuesto inicial de que (t) = t.

2. Considere la funcin densidad de pro-babilidad para t, p (t, t). Si la anterior densidad existe en estado estable y la de-notamos por p (t), y si adems se asume que p (t) es una densidad lognormal, entonces a partir del conocimiento p (t) y de (t) puede calcularse la forma fun-cional de (t) a travs de la denominada ecuacin de Fokker Planck.

La ecuacin de Fokker Planck, satisfecha por la densidad de probabilidad p (t, t) asociada a la volatilidad t y que a veces se denomina como ecuacin de Kolmo-gorov hacia delante, se presenta como:

pt =

12

2

2 2p( ) p( )

donde haciendo que t con lo cual

p = p t( ) y as

p /t = 0 se llega a:

d t( )p ( )d t

= 12d 2 t( ) 2 p ( )

d t2

t( ) = 12p

d 2 t( ) 2 p ( )d t2

d t

t( ) = 12p d t( ) 2 p ( )

d t+ cp

La constante de integracin C resulta ser cero de acuerdo con las condiciones de la



distribucin p (t) en estado estable (Oz-tukel & Wilmott, 1998), (Wilmott, 2000). De esta manera se obtiene:

t( ) = 12p d t( )2 p ( )

d t (19)

Ahora, partiendo de que la distribucin de

p es lognormal, su forma es

P t( ) = 12 t

exp 12p2

ln t

2

(20)

donde los coeficientes

y

pueden es-timarse por mxima verosimilitud para una distribucin lognormal a partir de la serie de volatilidades mviles anualiza-das. Cuando se introduce (20) en (19) se obtiene:

t( ) = 2 t2 1 12 1

2p 2 1n t

(21)

En resumen, el modelo emprico de vola-tilidad estocstica establece que el com-portamiento en la volatilidad t de un activo financiero con precio St se des-cribe por

d t t , t( ) = t( )dt + t( )dWt t( ) = ty

= exp 12 a 1ndt( )

= b2

t( ) = 2 t2 y 1 12 1

22 1n t

(22)

donde las constantes a y b se calculan por una regresin lineal entre las variables lnE(d)2 y ln(t); y las constantes

y

resultan de un ajuste lognormal para la funcin densidad de probabilidad en estado estable

p de

t.

3. Resultados

Para el anlisis del S&P 500 de Estados Uni-dos, el IPC de Mxico y el IGBC de Colom-bia, se tom una muestra desde el 2 de enero de 2003 hasta el 19 de abril de 2007. Las ba-ses de datos fueron tomadas de Reuters.

3.1 Resultados en tiempo discreto

En el cuadro 1 se muestran las estimaciones realizadas, a partir de los modelos en tiempo discreto, para las volatilidades de los retornos de las series S&P 500, IPC y el IGBC. Puede verse que para la primera serie el modelo esti-mado fue un EGARCH(2,1), para la segunda un modelo EGARCH(1,1) y para la terce- ra un modelo GARCH(1,1). Los modelos anteriores se estimaron bajo el supuesto de innovaciones gaussianas utilizando el soft-ware EVIEWS.

Cuadro 1

Estimacin de los modelos discretos

Parmetros Estimados

S&P 500 EGARCH (2,1)

IPC EGARCH (1,1)

IGBC GARCH (1,1)

0 -0,152974 -0,773267 8.73E-06

1 -0,176684 0,156517 0,297574

2 0,235608 na na

-0,078257 -0,137086 na

0,989314 0,929084 0,695175

na: no aplica.




En el grfico 2 se muestra la densidad de pro-babilidad simulada de la volatilidad de los re-tornos en un posible escenario para cada una de las series mencionadas. Las simulaciones

fueron corridas en MATLAB. En este gr-fico se muestra un ajuste lognormal a las vo-latilidades de los retornos de las series S&P 500, IPC y el IGBC, como el valor p asocia-

Grfico 2

Volatilidad de los retornos en el modelo discreto para las series financieras S&P 500, IPC, y el IGBC

Volatilidad S&P 500

Data

(a) Volatilidad del S&P 500. valor p = 0.2907

00.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Den

sity

Ajuste Lognormalsigma EGARCH21 data

Volatilidad IPC

Data

(b) Volatilidad del IPC. valor p = 0.1899

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Den

sity

0

2

4

6

8

10

12

Ajuste Lognormalsigma EGARCH11 data

Data

Volatilidad IGBC

(c) Volatilidad del IGBC. valor p = 0.0557

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Ajuste Lognormalsigma GARCH11 data

Den

sity

En los grficos 2a 2b y 2c se muestra el valor

P asociado al test de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para una muestra a un nivel de significancia de 0,05.




do con el test de Kolmogorov Smirnov para una muestra, donde la distribucin hipottica es la distribucin lognormal. En cada caso, el test Kolmogorov Smirnov sugiere que la volatilidad de los retornos de las series finan-cieras descritas siguen una distribucin log-normal, a un nivel de significancia de 0,05, dado que el valor p fue mayor que 0,05 en cada uno de los escenarios simulados.

3.2 Resultados en tiempo continuo

La metodologa de estimacin de los par-metros

,, y

en el modelo continuo de volatilidad estocstica fue implementada en MicrosoftOffice Excel y se describe a continuacin.

3.2.1 Implementacin en Excel de la estimacin del modelo continuo de volatilidad estocstica

Se halla la serie de retornos logartmicos dia-rios a partir de la serie financiera.

Se calcula la serie de volatilidades para los retornos mediante media mvil simple en una ventana de tamao 15, y se anualiza.

Se estiman los parmetros

y

por mxima verosimilitud para una distribucin lognor-mal. Lo anterior se realiza considerando la serie anualizada, t, de volatilidades por me-dias mviles, en ventanas de 15 das, asocia-da a la serie de los retornos logartmicos. Pa-ra anualizar dicha serie pueden tomarse 250 das hbiles de negociacin por ao.

Se calcula la serie anualizada (dt)2, donde

(dt) son diferencias simples calculadas a partir de la serie t definida anteriormente.

Se agrupa en clases la variable t y se calcula su frecuencia relativa en cada una de las clases.

Para dichas clases se calculan las variables ln(t), a partir de las marcas de clase defini-das antes, y

1n E d t( )2[ ], de modo usual, y se hace la regresin entre ellas, sugerida en el numeral 2.5.2.

Se estiman los parmetros

y a partir de la regresin realizada.

En el cuadro 2 se muestran las estimaciones realizadas para la volatilidad de los retornos de las series S&P 500, IPC y el IGBC, a partir del modelo continuo de volatilidad estocs-tica desarrollado.

Cuadro 2

Estimacin del modelo continuo

Parmetros estimados S&P 500 IPC IGBC

0,508400 0,681834 1,133636

0,410700 0,66415 0,838150

0,327664 0,346323 0,554850

0,109319 0,152458 0,171367Fuente: elaboracin propia.

Con las estimaciones mostradas en el cuadro 2 es posible realizar algunas simulaciones de la volatilidad de los retornos para las series establecidas. De esta manera, en el grfico 3 se muestran las funciones densidad de pro-babilidad, real y simulada, para un posible escenario, de cada una de las series financie-ras, S&P 500, IPC y el IGBC. Las simula-ciones fueron corridas en MATLAB. Debe anotarse que la densidad real corresponde a



la densidad de probabilidad para la serie de la volatilidad anualizada de los retornos, me-diante media mvil simple en una ventana de tamao 15, y la simulada corresponde a

la densidad de probabilidad para la serie de datos simulados logrados con las ecuaciones dadas en (22).

Grfico 3

Volatilidad de los retornos en el modelo continuo para las series financieras S&P 500, IPC, y el IGBC

Data


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Den

sity

Real sigmaReal flt

Wilmott sigmaWilmott flt

Data


0

2

4

6

8

10

12

14

Den

sity

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Real sigmaReal flt


Data


0

1

2

3

6

Den

sity

0 0.2 0.8 1.2 1.4

Real sigmaReal flt


4

5

0.4 0.6 1

En los grficos 3a 3b y 3c se muestra el valor p asociado al test de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para dos muestras, real y simulada, a un nivel de significancia de 0,05.




El grfico 3 tambin muestra los ajustes log-normales para las densidades as definidas, dado que la construccin del modelo conti-nuo, desarrollado en el numeral 2.4, conside-ra que la funcin densidad de probabilidad de t existe en estado estable y se asume que en tal estado es lognormal. Por otra parte, El gr-fico 3 muestra el valor p correspondiente al test de bondad de ajuste Kolmogorov-Smir-nov para dos muestras a un nivel de signifi-cancia de 0,05 en cada escenario simulado. La hiptesis nula del test, H0, es que ambas muestras, real y simulada, provienen de una misma distribucin continua; la hiptesis al-ternativa, H1, es que las muestras provienen de diferente distribucin continua. Puede ob-servarse que para los escenarios simulados el test sugiere que las muestras, real y simulada, provienen de una misma distribucin de pro-babilidad continua, dado que el valor p fue mayor que 0,05 en cada caso.

Finalmente, el grfico 4 muestra un ajuste lognormal a las series S&P 500, IPC y el IG-BC, como tambin el valor p asociado con el test de Kolmogorov Smirnov para una mues-tra, donde la distribucin hipottica es la distribucin lognormal. En cada caso, el test Kolmogorov Smirnov sugiere que la volati-lidad de los retornos de las series financieras descritas siguen una distribucin lognormal, a un nivel de significancia de 0,05, dado que el valor p fue mayor que 0,05 en cada uno de los escenarios simulados.

Conclusiones y pasos a seguir

Se estimaron los parmetros para los ndices burstiles S&P 500 de EEUU, IPC de Mxi-co y el IGBC de Colombia, con la familia de modelos ARCH que son en tiempo discre-to y con un modelo emprico de volatilidad estocstica que es en tiempo continuo de-tallado por Paul Wilmott y Asli Oztukel.

Es razonable estimar la volatilidad de estos ndices con los modelos ARCH o con el mo-delo emprico en tiempo continuo. Estos mo-delos pueden ser aplicados posteriormente en la evolucin temporal de la distribucin de la volatilidad y en la valoracin de derivados sobre dichos ndices, puesto que en un gran nmero de escenarios simulados, en ambos casos, se reflejan caractersticas probabilsti-cas comunes de las series simuladas, concre-tamente que la distribucin de la volatilidad de los retornos es lognormal en el test de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov. Este es un resultado significativo a tener en cuenta en diversos tpicos relacionados con las finanzas.

Existen otros modelos de volatilidad estocs-tica en tiempo continuo, como el de Heston, y en tiempo discreto, como el FIGARCH, que proporcionan un mejor ajuste de la vola-tilidad real emprica que dan lugar a futuras aplicaciones.

Es necesario crear un software sencillo en el que se puedan correr y comparar tanto mode-los discretos como continuos y donde pueda reflejarse la distribucin real y simulada de la volatilidad de los retornos.



Grfico 4

Volatilidad de los retornos en el modelo continuo para las series financieras S&P 500, IPC, y el IGBC

Volatilidad S&P 500

Data


0

2

6

4

8

10

12

0 0.05

Den

sity

Ajuste Lognormalsigma data

14

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Volatilidad IPC

Data


0 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4

Den

sity

0

1

2

3

6


4

5

7

8

9

0.15 0.25 0.35

Data

Volatilidad IGBC


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5


Den

sity

En los grficos 4a 4b y 4c se muestra el valor

P asociado al test de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov para una muestra a un nivel de significancia de 0,05.




Lista de referencias

Black, F. and Scholes, M. (1973). The Pricing of

Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, 81(3), 637-654.

Bollerslev, T. (1986). Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity. Journal of Eco-nometrics, 31f, 307-324.

Cox, J., Ross, S. and Rubinstein, M. (1979). Option Pricing: A Simplified Approach. Journal of Fi-nancial Economics, 7, 229-263.

Derman, E. and Iraj, Kani. (1994). Riding on a smile. Risk, 7(2), 32-39.

Doran, J. and Ronn, E. (2004). On the Market Price of Volatility Risk. Florida State University: Uni-versity of Texas at Austin.

Dupire, B. (1994). Pricing with a Smile. Risk Maga-zine, 7(1), 18-20.

Engle, R. (1982). Autoregressive Conditional He-teroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica, 50(4), 987-1007.

Heston, S. (1993). A Closed-Form Solution for Op-tions with Stochastic Volatility with Applica-tions to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 6(2).

Hull, J. and White, A. (1987). The pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities. The Jour-nal of Finance, 42(2), 281-300.

Hull, J. (2003). Options, Futures and other Deriva-tives. Fifth edition. Toronto: University of To-ronto- Prentice Hall.

Kloeden, P. and Platen, E. (1992). Numerical Solu-tion of Stochastic Differential Equations. Sprin-ger-Verlang, second corrected printing edition. Australia: Deakin University-Australian Natio-nal University.

Nelson, D. (1991). Conditional Heteroscedasticity in Asset return: a New Approach. Econometri-ca, 59, 347-370.

Rubinstein, M. (1994). Implied binomial trees. Jo-urnal of Finance, 49(3), 771-818.

Scott, L. O. (1987). Option Pricing when the Varian-ce Changes Randomly: Theory, Estimation, and an Application. The Journal of Financial and Quantitative analysis, 22(4), 419-438.

Stein, E. and Stein, J. (1991). Stock Price Distri-butions with Stochastic Volatility: An Analytic Approach. The Review of Financial Studies, 4(4), 727-752.

Tsay, R. (2005). Analysis of Financial Time Series. Second Edition. Hoboken, New Jersey: John

Wiley & Sons.

Wigging, J. B. (1987). Option Values under Stochas-tic Volatility: Theory and Empirical Estimates. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 19, 351-372.

Wilmott, P. and Oztukel, A. (1998). Uncertain Pa-rameters, an Empirical Stochastic Volatility Model and Confidence Limits. International

Journal of Theoretical and Applied Finance, 1(1), 175-189.

Wilmott, P. (1998). Derivatives: The Theory and Practice of Financial Engineering. West Sus-



sex, England: John Wiley & Sons, LTD, Uni-versity Edition.

Wilmott, P. (2000). Paul Wilmott on Quantitative Finance, vol. 1. West Sussex, England: John Wiley & Sons.

Zakoan, J. (1994). Threshold Heteroscedastic Mo-dels. Journal of Economic Dynamics and Con-trol, 18, 931-944.

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