Universidad Nacional

“José Faustino Sánchez Carrión”

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia Y Ambiental

Escuela Académico Profesional de Ingeniería Metalúrgica.

“SIMULACIÓN DE FLOTACIÓN DE MINERALES POLIMETÁLICOS”

DOCENTE:

Ing. ABARCA RODRIGUEZ, JOAQUIN JOSE

Huacho – Perú.

2007.

SIMULACIÓN DE FLOTACIÓN

Uno de los métodos experimentales normalmente utilizados en la evaluación y

diseño de nuevos circuitos de flotación a escala de laboratorio, es la realización

de pruebas de ciclos en los cuales se pretende simular experimentalmente

mediante pruebas de flotación batch, el comportamiento de una planta de

flotación continua.

Considerando el excesivo trabajo experimental que este tipo de pruebas

involucra, resulta altamente atractiva l posibilidad de simular matemáticamente

dichos resultados.

Presentación

Las técnicas de modelación matemática constituyen una herramienta de cálculo

poderosa para el diseño óptimo de circuitos de flotación, permitiendo al Ingeniero

Metalurgista resolver los siguientes problemas:

a) Selección del circuito de flotación más apropiado para el tratamiento

metalúrgico de una mena en particular.

b) Optimización de los tiempos de flotación y condiciones experimentales

asociados a cada etapa del proceso.

Paralelamente, dichas técnicas proveen al Ingeniero de Procesos de una

metodología adecuada para optimizar eficiencias de circuitos industriales ya

instalados, permitiendo así maximizar recuperaciones globales de especies útiles

y mejorar la calidad de concentrado final.

La resolución de los ítems a y b antes mencionados generalmente debe realizarse

en forma sistemática, lo que implica un largo y costoso trabajo experimental, en el

cual podemos distinguir cuatro etapas fundamentales:

(1) Realización de pruebas batch a escala laboratorio, para determinar y

estandarizar condiciones óptimas de trabajo. Para tal efecto, se estudian

normalmente a nivel laboratorio los efectos de: % de sólidos, pH, grados de

molienda primaria y de remolienda, tipo y dosificación de reactivos, efecto de

areación, etc. sobre la relación “recuperación versus ley” del concentrado final.

En algunos casos se incluye, además un estudio cinético de flotación de

mineral durante cada etapa del proceso, es decir, flotaciones Rougher,

Cleaner, Scavenger, etc.

(2) Simulación experimental de circuitos de flotación continua a nivel laboratorio,

utilizando la conocida técnica de pruebas de ciclo (“locked Cycle Test”) y las

mejores condiciones experimentales determinadas en la etapa anterior.

(3) Realización de pruebas continuas de flotación a escala planta piloto,

tendientes a verificar, complementar y/o extrapolar los resultados metalúrgicos

alcanzando durante las dos etapas previas durante el laboratorio. En general,

se deberá determinar los factores apropiados de escalamiento,

correlacionando empíricamente obtenidos a escala laboratorio y planta piloto.

(4) Realización de campañas experimentales a gran escala, para ajustar en la

planta industrial misma, las condiciones operacionales óptimas de carácter

definitivo. Generalmente, e diseño de circuitos industriales de flotación, se

basa en la información empírica acumulada en las tres etapas anteriores.

De la discusión anterior, resulta evidente que la extrapolación de resultados

metalúrgicos desde las etapas (2) y (3) y (3) a (4), involucra utilizar factores de

escalamiento, los que a su vez, dependen de ciertas variables operacionales y de

diseño, entre las que vale la pena destacar las siguientes: (i) Diseño de

equipamiento (geometría de las celdas de flotación, acondicionadores de

reactivos , etc) y (ii) Factores hidrodinámicos de cierta relevancia (distribución de

tiempos de residencia de las partículas flotantes y no flotantes, en las celdas

continuas de flotación a escala piloto e industrial, etc.)

No obstante las limitaciones anteriores, resulta obvio por otra parte, que las

pruebas de ciclo proporcionan al menos una respuestas anticipada de flotación

continua del mineral a escala laboratorio y planta piloto, suponiendo eso sí, que

las condiciones operacionales y flowsheets de tratamiento se mantengan

relativamente similares, en ambos casos considerados. Lo anterior cobra real

importancia, si consideramos que debido al efecto de reciclado las curvas de

“recuperación global versus ley de concentrado final” obtenidas en pruebas de

ciclo difieren normalmente de aquellas obtenidas durante pruebas batch de

laboratorio, justificando así la realización de la etapa (2) o alternativamente,

simulando matemáticamente dichos resultados.

Debido al esquema de convergencia iteractivo inherente al desarrollo

experimental de las pruebas de ciclos, se generan altas cargas de trabajo sobre el

personal de laboratorio encargado de dichas pruebas. Todo ello viene a

incrementar significativamente e costo y tiempo total de desarrollo del proyecto.

En éste artículo se evalúa la aplicabilidad de un método alternativo de simulación

matemática de pruebas de ciclo conocido como el método de los factores de

distribución, e cual fue originalmente descrito por Agar y Kipkie. En los siguientes

párrafos se presentan los fundamentos teóricos del método con ejemplos de

aplicación.

Descripción de método

El método de simulación matemática basado en los factores de distribución (1),

consiste en asignar un valor numérico (“Split Factor”) a cada componente del

sistema y en cada etapa de separación considerada. Como componentes del

sistema y en cada etapa de separación considerada. Como componentes del

sistema, podríamos citar en el caso típico de un mineral de cobre porfírico: Cu,

Mo, Fe e insolubles. En este contexto, el peso total de sólidos se acostumbra a

considerarlo como un componente adicional del sistema. Como etapas de

separación, las más usuales a ser citadas son: Flotación Rougher, Scavenger,

Cleaner, Recleaner, Cleaner – Scavenger, etc.

El concepto de “Split Factor”, represnta la fracción en peso de cada componente

alimentado a una etapa, que aparece junto con el concentrado en la etapa en

cuestión; es decir, corresponde a la recuperación parcial de dicho componente en

el concentrado obtenido durante cada etapa de separación (expresada dicha

recuperación como fracción en peso).

La magnitud de los factores de distribución depende principalmente de tiempo de

flotación, de las condiciones físico – químicas existentes en la pulpa y las

propiedades de flotación del as partículas (i.e. tamaño de las partículas, grado de

liberación, etc.)

E proceso de separación en cada etapa puede ser caracterizado a través de un

vector del tipo:

S1 = (S1, S2, …, S11, … , Sn1, Sn+1.1)T (1)

Donde:

S11 Factor de distribución de i-ésimo componente en el j- ésimo separador

(i=1,2,…n)

Sn+1.1 Factor de distribución del peso total de sólidos en el j-ésimo separador.

n Número de componentes (siendo e componente (n+1) el peso total de

sólidos.

Existen varias técnicas alternativas para determinar los valores de los S11, pero al

parecer, la más simple y apropiada se basa en los resultados de un solo ciclo

abierto (o prueba de flotación batch), según se discute más adelante. En contadas

excepciones y cuando la carga circulante en el sistema es relativamente alta, la

estimación de los factores de distribución en el equilibrio podría ser inferida

desde los primeros dos o tres ciclos de una prueba de ciclos incompleta, según se

discute también más adelante.

Paralelamente se define el vector:

Wk = (W1k, W2k, …, W11k, … , Wn +1.1)T (2)

W1k Peso (contenido fino1) del componente i en el

flujo k (i=1,2,3,…,n)

Wn+1.k Peso total de sólidos en el flujo k.

Estas simples definiciones permiten simular los siguientes dos tipos de

operaciones comúnmente encontradas en circuitos de flotación:

a) Uniones: Dados los flujos k1 y k2 :

Wk3 = Wk1, Wk2 (3)

b) Separadores: Dado el flujo k1 y el vector S1 de factores de distribución

correspondiente:

Wk3 = S1, * Wk1 (4)

= (S1, * W1k1, S21 * W2k1, , …, S n+1.1, W1)T

Y también:

Wk2 = Wk1, * Wk3 (5)

Figura 1

REPRESENTACIÓN DE UNION Y SEPARACIÓN

La aplicación de estas tres últimas ecuaciones a un circuito de flotación particular,

resulta en un sistema de ecuaciones lineales que pueden ser resuelto mediante

técnicas convencionales.

La determinación de los vectores Wk para cada uno de los flujo, permite calcular a

su vez los siguientes parámetros metalúrgicos de interés:

a. Leyes

Gk = (Wk / Wn+1.k) x 100 (6)

Donde:

Gk = (g1k, g2k, …….. g1k, ……….gnk)T

g1k = Ley del componente i en e flujo k, (%).(i=1,2,3,…n)

b. Distribuciones

R1k = (W1k / W11) x 100 (7)

Donde:

R1k = % de distribución del componente i en e flujo k; siendo i = 1,2,3,

…n

K = 1, corresponde al flujo de cabeza; es decir, a la alimentación

fresca del circuito de flotación.

Nota: S, W: notación de vector; ( )T; notación de vector transpuesta.

En la solución de los problemas que siguen a continuación no

utilizaremos la notación de vector ni la de transpuesta aunque ésta

debe ser sobreentendido.

Problema 1.-

Verificar la aplicabilidad de la simulación matemática por medio de la comparación

de los resultados de la prueba de ciclos completo (c) con aquellos simulados por

el método de los “Split Factors” a partir de las pruebas (a) de flotación batch

(abierto, 1 ciclo) y pruebas (b) de ciclos incompletas. Se sabe que las leyes de

cabeza son 1,62% Cu y 0,022% Mo. Además se tiene la información de la tabla 1

el cual muestra los valores de los “Splits Factors”.

Tabla 1

Split Factors calculados para las pruebas (a), (b) y (c)

Etapa Prueba Cu Mo Peso Total

Rougher

a

b

c

0,9269

0,9273

0,9285

0,8307

0,8664

0,8339

0,1177

0,1118

0,1078

Cleaner

a

b

c

0,9807

0,9721

0,9767

0,9361

0,9238

0,9377

0,5168

0,5064

0,5513

Recleaner

a

b

c

0,9904

0,9878

0,9849

0,9588

0,9563

0,9467

0,8803

0,8767

0,8492

Scavenger

a

b

c

0,4688

0,4933

0,5669

0,5660

0,6324

0,6525

0,1534

0,1589

0,1789

Figura 2

CIRCUITO DE FLOTACIÓN

Solución:

Primeramente desarrollaremos la prueba (a). de la figura 2 establecemos el

siguiente sistema de ecuaciones:

1) Rougher: W2 = S1 * W1

W9 = W1 * W2

2) Unión 2.6 y 7

W3 = W2 + W6 + W7

3) Cleaner

W4 = S2 * W3

W8 = W3 - W4

4) Recleaner

W5 = S3 * W4

W6 = W4 - W5

5) Scavenger

W7 = S4 * W8

W10 = W8 - W7

6) Unión 9,10,11

W11 = W9 + W10

Como se podrá apreciar existen diez ecuaciones con diez incógnitas (el vector

flujo 1, que es la cabeza, es siempre conocido), es decir, es un sistema que tiene

solución. La solución de esta matriz de ecuaciones, según el método de Gauss2,

es la siguiente:

W2 = S1 * W1

W3 = W2 * A-1 * { (1 – S4 ) * A-1 + S2 }-1

A = (S4 – 1 ) S3

W4 = [ W2 - W3 * (1 – S4 ) ] * A-1

W5 = W2 + (W4 - W3 ) * (1 – S4 )

W6 = W4 * S4 + W3 * (1 – S4 ) - W2

W7 = (W3 - W4 ) * S4

W8 = W7 * ( S4 )-1

W9 = W1 - W2

W10 = W8 - W7

W11 = W10 - W9

De los datos del problema conocemos las leyes de cabeza y los Splits Factors. Si

tomamos como base 100 al mineral que ingresa al sistema de flotación, el vector

flujo 1 tomará los siguientes valores de acuerdo a la ecuación 2:

W1 = (100 x 0,016; 100 x 0,00022; 100,0000)

W2 = (1,6200; 0,0220; 100,0000)

Es decir, que en el vector flujo 1 por cada 100 (g, kg, Lb, etc.) de mineral habrá

1,6200 (g, kg, Lb, etc.) de cobre y 0,220 (g, kg, Lb, etc.) de molibdeno. Por otro

lado los Splits Factors de la tabla 1 para la prueba (a) son:

Rougher = S1 = (0,9269; 0,8307; 0,1177)

Cleaner = S2 = (0,9807; 09361; 0,5168)

Recleaner = S3 = (0,9904; 0,9588; 0,8803)

Scavenger = S4 = (0,4688; 0,5660; 0,1534)

Con esta información calculamos los restantes vectores flujos. Por ejemplo W2 ,

W2 = S1 * W1

W2 = (0,9269; 0,8307; 0,1177) * (100 x 0,016; 100 x 0,00022; 100,0000)

W2 = (1,5016; 0,0183; 11,7700)

Los demás vectores flujos son calculados en forma similar:

W3 = (1,5298; 0,0198; 13,6224)

W4 = (1,5004; 0,0185; 7,0408)

W5 = (1,4860; 0,0177; 6,1980)

W6 = (0,0144; 0,0008; 0,8437)

W7 = (0,0138; 0,0007; 1,0096)

W8 = (0,0294; 0,0012; 6,5815)

W9 = (0,1184; 0,0037; 88,2300)

W10 = (0,0156; 0,0005; 5,5719)

W11 =(0,1340; 0,0042; 93,8019)

Algunos cálculos pueden ser realizados con esta información de flujos. Por

ejemplo calculemos las distribuciones usando la ecuación 7:

- % Distribución en peso.

Concentrado recleaner = (W3,5 / W3,1 ) x 100 = (6,1980/100) x 100 = 6,20%

Cola final = (W3,11 / W3,1 ) x 100 = (93,8019/100) x 100 = 93,80%

- % Distribución metálica.

Concentrado (Recuperación).

Cobre = (W1,5 / W1,1 ) x 100 = (1,4860/1,6200) x 100 = 91,73%

Moly = (W2,5 / W2,1 ) x 100 = (0,0177 / 0,022) x 100 = 80,45%

Cola final

Cobre = (W1,11 / W1,1 ) x 100 = (0,1340 / 1,6200) x 100 = 8,27%

Moly = (W2,11 / W2,1 ) x 100 = (0,0042 / 0,022) x 100 = 19,09%

También con los vectores flujos encontrados, podemos calcular sus vectores

leyes. Aplicando la ecuación 6, sea G1 = (a1 ; a2)

a1 = (W1,1 / W3,1 ) x 100 = (1,62 / 100) x 100 = 1,62 % Cu

a2 = (W2,1 / W3,1 ) x 100 = (0,022 / 100) x 100 = 0,022 % Mo

Entonces,

G1 = (1,62 ; 0,022)

Es decir, que el mineral en el punto 1 del circuito de flotación tiene una ley de

1,62% Cu y 0,022% Mo.

Del mismo modo los restantes vectores leyes serán:

G2 = (12,7579 ; 0,1555)

G3 = (11,2300 ; 0,1453)

G4 = (21,3101 ; 0,2628)

G5 = (23,9755 ; 0,2856)

G6 = (1,7068 ; 0,0948)

G7 = (1,3669 ; 0,0693)

G8 = (0,4467; 0,0182)

G9 = (0,1342 ; 0,0042)

G10 = (0,2800 ; 0,0090)

G11 = (0,1429 ; 0,0045)

En la figura 3 se esquematiza todos estos resultados para la prueba (a) de

contenidos metálicos y leyes en cada flujo del circuito de flotación

considerado.

Por otro lado, para la prueba (b) se establece lo siguiente a partir de los datos

de cabeza y de la tabla 1 de Splits Factors:

W1 = (1,62; 0,0220; 100,0000)

S1 = (0,9273; 08664; 0,1118)

S2 = (0,9721; 0,9238; 0,5064)

S3 = (0,9878; 09563; 0,8767)

S4 = (0,4933; 0,6324; 0,1589)

El cálculo de los vectores flujos y vectores leyes se realiza utilizando el mismo

procedimiento usado para la prueba (a). Entonces,

W1 = (1,620; 0,022; 100,00)

W2 = (1,5022; 0,0191; 11,1800)

W3 = (1,5417; 0,0210; 13,0063)

W4 = (1,4987; 0,0193; 6,5865)

W5 = (1,4804; 0,0193; 5,7803)

W6 = (0,0183; 0,0008; 0,8062)

W7 = (0,0138; 0,0007; 1,0096)

W8 = (0,0012; 0,0011; 1,0201)

W9 = (0,1178; 0,0029; 88,8200)

W10 = (0,0218; 0,0006; 5,3997)

W11 =(0,1396; 0,0035; 94,2197)

Con esta información al igual que en la prueba (a), podemos calcular algunos

parámetros:

- % Distribución en peso.

Concentrado = (W3,5 / W3,1 ) x 100 = (5,7803/100) x 100 = 5,78%

Cola final = (W3,11 / W3,1 ) x 100 = (94,2197/100) x 100 = 94,22%

- % Distribución metálica.

Concentrado (Recuperación).

Cobre = (W1,5 / W1,1 ) x 100 = (1,4804/1,620) x 100 = 91,38%

Moly = (W2,5 / W2,1 ) x 100 = (0,0185 / 0,022) x 100 = 84,09%

Cola final

Cobre = (W1,11 / W1,1 ) x 100 = (0,1396 / 1,620) x 100 = 8,62%

Moly = (W2,11 / W2,1 ) x 100 = (0,0035 / 0,022) x 100 = 15,91%

Los vectores leyes en cada uno de los flujos considerados serán:

G1 = (1,62; 0,022)

G2 = (13,436; 0,002)

G3 = (11,853; 0,161)

G4 = (22,754; 0,293)

G5 = (25,611; 0,099)

G6 = (2,270; 0,099)

G7 = (2,078; 0,108)

G8 = (0,670; 0,026)

G9 = (0,133; 0,003)

G10 = (0,404; 0,011)

G11 = (0,148; 0,004)

La tabla 2 muestra las comparaciones entre los valores simulados a partir de

la prueba (a) y (b) y el valor experimental encontrado a partir de la prueba (c).

Tabla 2

Comparación de valores simulados / experimentales

Prueba Producto% Dist. Peso

Mineral

Cobre (%) Molibdeno (%)

Ley % Distr. Ley % Distr.

(a)Conc. Recleaner 6,20/6,03 23,98/24,70 91,73/91,88 0,286/0,290 80,45/81,41

Cola Final 93,80/93,97 0,143/0,140 8,27/8,12 0,005/0,004 19,09/18,59

(b)Conc. Recleaner 5,78/6,03 28,61/24,70 91,38/91,88 0,320/0,290 84,09/81,41

Cola Final 94,22/93,97 0,148/0,140 8,62/8,12 0,004/0,0043 15,91/18,59

Conclusión:

Como se puede observar en la tabla N° 2, el valor simulado no difiere mucho

(en algunos casos es prácticamente igual) al valor experimental (real) por lo

que podemos decir que el método de simulación matemática por medio de los

Splits Factors puede ser utilizado para simular pruebas del tipo (c) a partir de

pruebas experimentales del tipo (a) y (b) ahorrando de esta manera personal y

tiempo de trabajo.

Nota: En la tabla 2, los valores arriba de la barra de división son los simulados

y los valores de abajo son los experimentales según la prueba (c).