Modelos-P1

Unidad I. Modelos

Principios de formulacin.

Diseo de Procesos II

Bases. Las bases para los modelos matemticos son las leyesfundamentales de la fsica y qumica, tales como la ley de la conservacin dela masa, energa y momento. En el estudio de sistemas dinmicos se usan ensu forma general con su derivada en el tiempo incluida.

Balance de materia:

Acumulacin = Entradas Salidas + Generacin Consumo

Ley de enfriamiento de Newton:

)( aTTSdt

dQ

dTmcdQ Vm

)( aTTSdt

dTVc )( aTTk

dt

dT

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Suposiciones. Posiblemente el rol ms importante que elingeniero juega en el modelado es el ejercicio de su juicio pararealizar las suposiciones que sean vlidas. Un modelo riguroso que incluya cada fenmeno incluso microscpico

podra ser tan complejo que su solucin sera extremadamente tardaday compleja incluso con la capacidad de cmputo actual.

Un modelo demasiado simple, por el contrario podria dejar efectoscruciales de lado y conducir a un erroneo modelamiento de los aspectosbsicos del fenmeno.

El desarrollo de un modelo que incorpore el fenmeno bsico queocurre en el proceso requiere mucha habilidad, ingenio y prctica. Es unrea donde la creatividad e inovacin del ingeniero es un elemento claveen el xito del modelado.

Las suposiciones deben ser cuidadosamente consideradas y listadas, yaque son las limitaciones del modelo.

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Tartakovsky, AM; Meakin, P. 2005. A smoothed particle hydrodynamics model for miscible flow in three-dimensional fractures and the two-dimensional Rayleigh-Taylor instability. JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS 207 (2): 610-624.

A visualization (created by Kwan-Liu Ma's Ultra-Scale Visualization group at UC Davis) of water particles in a 3D porous medium, calculated using PNNL's new parallel SPH code. In the visualization, fluid particles are colored by the local velocity magnitude, with red tones representing high velocity, and solid particles have been removed for visual clarity. This simulation used seven million computational particles and was run on the MPP2 supercomputer at PNNL's Environmental Molecular Sciences Laboratory using 500 processors.

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Computational Fluid Dynamics (CFD)

Mesh-based (e.g., finite volume) numerical methods for simulating fluid flow in complex geometries have been applied to pore-scale flow simulation. Using both commercially-available codes (e.g., StarCD) and our own in-house code (Tethys) to simulate these complex problems on parallel computing systems. Below are some visualizations of streamlines (indicated by particle paths) and velocity distributions (colored plane) in simulated pore-scale flow systems.

Tim Scheibe (Science Application Lead)Pacific Northwest National LaboratoryP.O. Box 999(Courier: 3200 Q Avenue)MS K9-36Richland, WA 99352

5


Modelo de gas

ideal

6


Consistencia matemtica del modelo. Una vez

que todas las ecuaciones del modelo matemtico han

sido escritas, generalmente es una buena idea,

particularmente con sistemas de ecuaciones grandes

y complejos revisar que el nmero de variables sea

igual al nmero de ecuaciones.

Los llamados grados de libertad deben ser cero para poder

obtener una solucin nica (sobre especificacin o sub

especificacin).

Revisar la consistencia de unidades, parece trivial pero es

crucial en la consistencia de los resultados.

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Solucin a las ecuaciones del modelo.

Llevar el modelo a formas estndar para la aplicacin de alguna

tcnica de solucin.

Un modelo sin alternativa de solucin no es de mucha ayuda.

Verificacin.

Comprobar la prediccin del modelo con algo conocido.

bAx 0)( xf

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Problema Real

Abstraccin

Modelo matemticoAnlisis numrico

o

Simulacion

Interpretacin

de

resultados

Variables,

condiciones

Leyes fundamentales

Mtodos

numricos

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Diagrama de proceso, lo que vemos modelos, nos dice como se comporta lo que

vemos


Reactor

F kg/hr

T C

P Pa

xi

Tren de separacin

Pureza

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Diseo de Procesos II11

Problema de motivacin


Variacin de la concentracin sangunea de glucosa.La infusin de glucosa por va intravenosa es una tcnica mdica importante. La concentracin de glucosa en el torrente sanguneo depender de la cantidad de glucosa inyectada y la cantidad de glucosa presente en el paciente, las que variarn en funcin del tiempo transcurrido.Para estudiar este proceso, definimos G (t) como la cantidad de glucosa presente en el torrente sanguneo de un paciente a tiempo t. Suponga que la glucosa se suministra al sistema sanguneo a un ritmo constante de c gramos por minuto. Al mismo tiempo la glucosa se metaboliza y se separa de la sangre a una tasa proporcional a la cantidad de glucosa presente. Entonces la funcin G (t) satisface la ecuacin:

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Problema de motivacin

Un tanque es utilizado para remover una pequea cantidad de partculasslidas (impurezas) de salmuera en un proceso en estado estable.Normalmente, una corriente de salmuera (20% de sal en peso) esbombeada dentro de un tanque a razn de 10 kg/min y una corriente desalida es bombeada del tanque a la misma razn de flujo. La operacinnormal guarda un nivel constante con la masa total en el tanque de 1000 kgque est muy debajo de la capacidad mxima del tanque.

A t=0 un operador, accidentalmente!!, abri una vlvula que causa queagua pura fluya continuamente dentro del tanque a razn de 10 kg/min (enadicin a la salmuera alimentada) y el nivel del tanque comienza a subir.

Determine la cantidad de agua y sal en el tanque como funcin del tiempodurante la primera hora despus que la vlvula fue abierta. Suponga que sesaca la misma cantidad y el contenido esta bien mezclado.

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10 kg/min

20% sal en peso

10 kg/min

10 kg/min

tiempo

Masa

Sal

1 hora!!

14


Hacemos balances de materia

Ac = entradas salidas

dM/dt = existe??

dS/dt= existe??

15


Hacemos balances de materia

Ac = entradas salidas

dM/dt = 10+10-10 = 10 kg/min

dS/dt= 10(0.2) 10 (S/M) kg/min

dM/dt= 10 dS/dt= 2-10(S/M)

Ahora que tenemos las ecuaciones que describen el cambio de sal en el tanque en funcin del tiempo, qu ms sabemos?

La concentracin inicial S= (1000 kg)(0.2)

La masa inicial en el tanque M = 1000 kg

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Modelo

dM/dt= 10dS/dt= 2-10(S/M) kg/min

Condiciones iniciales

@t=0 M=1000 kg, S=200 kg

Ahora como lo resolvemos?

Integracin numrica:

Euler

Runge-Kutta

Adams-Mouler

Etc, etc

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Mtodo de Euler Forma del problema

y(t)=f(t,y(t))

y(0)=y0

Mtodo:

yn+1=yn + h f(tn,yn)

Para calcular el proximo valor de la variable (y), necesito el valor anterior

mediante una proyeccin de la curva tangente con un tamao de paso,

que puede ser fijo o variable.

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Efecto del tamao de paso

195

200

205

210

215

220

225

0 10 20 30 40 50 60

t, min

S, k

g

h=0.1

h= 1

h=2

h=5

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Sin embargo considere la ecuacin:

y(t)=-15y(t), t>=0, y(0)=1

por el metodo de Euler

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

h=0.05

h=0.125

h=0.25

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Balance de materia en una destilacin por lotes


Un destilador pequeo esta separando propano y butano a135C, en un principio contiene 10 kg mol de una mezcla cuyacomposicin es x=0.30 (x=fraccin molar de butano). Sealimenta mezcla adicional (xF=0.3) a razn de 5 kg mol/h. Si elvolumen total del lquido en el destilador es constante y laconcentracin del vapor del destilador (xD) esta relacionadacon xS como sigue:

S

S

Dx

xx

1

Cunto tardar el valor de xS en cambiar de 0.3 a 0.4?

Cul ser el valor de estado estacionario (equilibrio) de xS en el destilador?

condensadordestilador

Flujo 5kg mol/h

xF=0.30

xD

xS

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Suposiciones razonables?

El butano y el propano forman soluciones ideales, entonces no

tenemos por que preocuparnos por cambios en el volumen

por cambios de composicin.

Acumulacin = entradas salidas consumo + generacin

))(5()3.0)(5()(

D

s xdt

Mxd

M= 10 kg mol

)1

)(5()3.0)(5()(

S

Ss

x

x

dt

Mxd

dos variables

una ecuacin, una variable

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Solucin por Euler


Las ecuaciones diferenciales se dice que son Autnomas cuando la funcin f

del lado derecho no depende explcitamente de la variable independiente del

tiempo t. En trminos ms claros, la ecuacin diferencial es autnoma cuando

f(t,x) = g(x).

Cuando f depende de manera explcita de la variable independiente del

tiempo t, la ecuacin diferencial se denomina no autnoma.

Hay dos formas de visualizar el resultado de la integracin numrica de as

ecuaciones diferenciales: las grficas de serie de tiempo y las grficas de

espacio fase. Ambos se basan en interpretar la derivada dx/dt como la

pendiente de una recta tangente o como la velocidad de una partcula.

),( xtfdt

dx

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En un reactor isotrmico tienen lugar las siguientes reacciones:

BY

YYX

XXA

k

k

k

3

2

1

2

2

Donde A es el reactivo inicial, X e Y son especies intermedias y B es el producto

final de la reaccin. El reactivo A se mantiene en un valor constante

comenzando con tal cantidad de A que slo X, Y y B varan con el tiempo.

Deduzca las ecuaciones de balance de materia en estado no estacionario que

predicen el cambio de X e Y en funcin del tiempo para las condiciones iniciales

CX(0)=30 y CY(0)= 90 (C denota concentracin). Los valores de las constantes k

son: k*1=70, k2=1 y k3=70.

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Primero, qu est cambiando?

La concentracin producto de la reaccin.

De quin nos estn preguntando?

De X e Y.

YYXY

Y

YXXAX

X

CkCCkdt

dC

consumogeneracinsaleentradt

dC

CCkCCkdt

dC

consumogeneracinsaleentradt

dC

32

21

00

00

25


Podemos simplificar las ecuaciones a:

YYXY

YXXX

CkCCkdt

dC

CCkCkdt

dC

32

2

*

1

26


CX

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

CY

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

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Espacio fase

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150 200

CX

CY

28


Campo de vectores

M N( )29

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