CONGRESO NACIONALDE

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESY

SISTEMAS

LIMA – PERU21 AL 25 OCTUBRE2002

TEORIA DE LAS DECISIONES CON:

FACULTAD: CIENCIAS MATEMATICAS

ESCUELA:INVESTIGACION OPERATIVA

1. DECISIÓN EN CONDICION DE CERTEZA1.1. ANÁLISIS INSUMO-PRODUCTOEJEMPLO 1: INTERACCION DE INDUSTRIAS Se tiene la tabla de transacciones intersectoriales, que muestran cómo se interrelacionan todas las industrias, en el sentido de que cada una adquiere productos fabricados por los demás a fin de llevar a cabo su propio proceso. Por ejemplo, los sectores productivos pueden ser; agropecuario (A), industria (B) y servicios (C). La interacción entre estas industrias se da en la tabla, en millones de dólares en productos:

Supongamos que la Oficina de Planeación ha determinado en la demanda final para el próximo periodo de 50 unidades el sector agropecuario, 10 la industria y 100 los servicios, y se pregunta:

90 150 225 135 150 300 270 200 300

COMPRA \ VENTA

DEMANDA INTERMEDIA A B C

DEMANDA FINAL

PRODUCCION

TOTAL A B C

75 15 130

540 600 900

INSUMO PRIMARIO

45 100 75

FORMULACIONTransacciones intersectoriales entre los sectores:

AGROPECUARIO:•Prod. Hortalizas•Prod. Cereales•Ganado lechero•Ganado engorde•Ganado lanar•Avicola, forrajes,etc

INDUSTRIA•Textil•Energéticos•Farmaceutica•Alimentos•Bebidas•Plásticos,Maquinqria, etc

SERVICIOS•Bancos•Transporte de pasajeros•Transporte de carga•Profesionales diversos•Públicos diversos, etc.

a. Cuál es la nueva producción total de cada sector?b.   Cuales son las nuevas participaciones, de cada sector?

X: MATRIZ DE PRODUCCIÓN. D: MATRIZ DEMANDA FINAL.

B : MATRIZ DE VENTAS.

900

600

540

3

2

1

X

X

X

X =

130

15

75

3

2

1

d

d

d

D =

300200270

300150135

22515090

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbbB =

P: MATRIZ INSUMOS PRIMARIOS

7510045P =

A: MATRIZ INSUMO PRODUCTO

333.0333.0500,0

333.0250.0250.0

250.0250.0166.0

900/300600/200540/270

900/300600/150540/135

900/225600/150540/90

A =

MATRIZ DE LEONTIEF

667.0333.0500.0

333.0750.0250.0

250.0250.0834.0

100

010

001

AI – A =

( I - A )-1 =

454.4186.3630.3

694.2408.3639.2

140.2981.1075.3MATRIZ INVERSA DE LEONTIEF

)(*1)()( iDAIiX

MATRIZ DE PRODUCCION : PROXIMO PERIODO

 

X(1) = ( I - A )-1 =

100

10

50

45.659

96.435

62.388

MATRIZ DE NUEVAS PARTICIPACIONERS

Sector A:0.166(388.62) = 64.510.250(388.62) = 97.150.500(388.62) = 194.31

Sector B:0.250(435.96) = 108.990.250(435.96) = 108.990.333(435.96) = 145.17

59.21917.14531.194

59.21999.10815.97

86.16499.10851.64

C

B

A

CBA

A =

VECTOR DE NUEVOS INSUMOS PRIMARIOS

SECTOR A: ( 45/540)0.083 = 32.25SECTOR B: (100/600)0.166 = 72.36SECTOR C: ( 75/900)0.083 = 54.73

1.2. ANÁLISIS PUNTO DE EQUILIBRIO 1.2.1. ANÁLISIS PUNTO DE EQUILIBRIO LINEALEJEMPLO 2: CAMARA DE COMERCIOLa Cámara de Comercio esta considerando patrocinar un programa de un día para mejorar las comunicaciones entre organizaciones. El programa sería puesto por “ Sistemas de aprendizaje Creativo” que cobraría a la Camara una cuota fija de $400. La cuota de inscripción para los asistentes es de $20/persona. La Cámara tendría que cubrir gastos de $100 por una sala de conferencias en un hotel local, $25 de gastos postales para el programa de propaganda y $5/persona para descansos con café y pastel. Talvez la Cámara éste dispuesta a patrocinar el programa, aun cuando no promete ganancias, pero quiere saber el punto de equilibrio. 

FORMULACION:VARIABLE:X: Número de participantes

INGRESOS:•Cuota de inscripción $20/persona

Yt(X) = 20 X

COSTOS FIJOS:•Sistemas de aprendizaje $400.0•Sala de conferencia $100.0•Gastos postales $25.0

$525.0

COSTO VARIABLES:•Cargo café y pastel $5/persona

PUNTO DE EQUILIBRIO:

eu = X = 525 / ( 20 - 5 ) = 35 personas

Ct(X) = 525 + 5 X

1.2.2. ANÁLISIS PUNTO DE EQUILIBRIO NO LINEALEJEMPLO 3: PRODUCCION DE CARAMELOSUna Cia de dulces vende sus cajas de chocolates a $ 2 cada una. Si X es el número de cajas producidos (en miles) a la semana, entonces el administrador sabe que los costos de producción están dados por:

Ct(X) = 100X2 + 1300X + 1000determinar el nivel de producción en que la Cia no obtiene utilidades ni pérdidas (punto de equilibrio)

FORMULACION

INGRESOS: Yt(X) = 2000 X

VARIABLE:X : Miles de cajas a $2/caja

COSTOS: Ct(X) = 100X2 + 1300X + 1000

PUNTO DE EQUILIBRIO: 20 X = X2 + 13 X + 10 X2 - 7 X + 10 = 0 X = 2, X = 5

•Fabricar 2000 cajas semana con ingresos y costos de $4,000•Fabricar 5000 cajas semana con ingresos y costos de $10,000

1.2.3. ANÁLISIS PUNTO DE EQUILIBRIO DE MULTIPLES PRODUCTOSEJEMPLO 4: VENTA DE RAQUETAS La Recquet Sport produce una variedad de raquetas para la industría deportiva: Hace raquetas para tenis, fronton y squash, la tabla presenta los siguientes datos:

Precio de Costo variable Contribución Porcentaje del PRODUCTO Venta Promedio por Marginal Total de

Promedio Unidad Promedio $ vendidos

R.de tenis $40 $30 $10 %50R.de frontón 25 15 10 40R.de Squash 25 15 10 10

Costos fijos anuales = $ 200,000 Capacidad de producción = $ 1´000,000

Cuál es el punto de equilibrio para la Recquet Sport?, Cuál es la ganancia( o pérdida) si se opera al 70% de la capacidad?

Cálculo por producto del:

ponderado

vendidossdetotaldeloncontribucideoncontribucide

$%%

%

FORMULACION

El punto de equilibrio 385,615325.0000,200

de

Ganancia con 70% de capacidad de planta:Ganancia = Ingresos - Costos

= ingresos – ( Costos fijos + costo variable) = 0.70(1000000)-200000-(1- 0.325)(0.70)(1000000) = $27, 500

Porcentaje de Porcentaje del Porcentaje de Producto contribución total de dólares contribución vendidos ponderado

R. Tenis 25 0.50 12.5 R. Frontón 40 0.40 16.0 R. Squash 40 0.10 4.0

32.5

TABLA:

1.2.4. ANÁLISIS DE HACER / COMPRAREJEMPLO 5: PROCESO DE SELECCION La Russell Company tiene la necesidad de una componente para uno de los productos que fabrica y vende. Hasta ahora ha comprado el articulo de un vendedor, pero una información reciente sobre un aumento en el precio hará que cueste $4.0 por unidad.La gerencia de la Russell esta considerando la posibilidad de hacer la componente en la fabrica se tiene dos procesos disponibles; El primero es un proceso automático que implica costos fijos de $30 000 y costos variables por unidad de $2.75. El segundo es un proceso semiautomático que tendría costos fijos y variables por unidad de $20 000 y $3.0 respectivamente.

FORMULACION:Expresiones para cada alternativa: Precio de compra: Ct = 4X Proceso automático: Ct = 2.75 X + 30 000 Proceso semiautomático Ct = 3 X + 20 000

X1

CompraSemiautomática

Automático

X

u.m.

X2

Graficando estas rectas:

Resolviendo las ecuaciones para las rectas donde se cruzan 4X = 3X + 20 000 3X + 20 000 = 2.75X + 30 000 X = 20 000 0.25X = 10 000sea X1 = 20 000 y X2 = 40 000

Las opciones menos costosas:1. Hasta X1 debe comprarse2. Entre X1 y X2 el proceso semiautomático es el mejor.3. Después de X2 artículos el proceso automático es el mejor.

2.DECISIONES EN CONDICIONES DE RIESGO-INCERTIDUMBRE

2.1. DECISIONES SIN EXPERIMENTACIÓN

2.1.1 EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE EJEMPLO 6: DECISION DE ADQUIRIR UNA MAQUINAEl gerente de una empresa esta considerando en expandir o no la capacidad de la fábrica, comprando una de dos máquinas. Una de las cuales tiene el doble de capacidad y de precio. La capacidad existente de la fábrica no es suficiente para satisfacer la demanda actual. Las ventas por experiencia tienen una alta correlación con las condiciones económicas del paísA: Si las condiciones económicas mejoran en el futuro, la máquina de alta capacidad se requerirá.B. Si las condiciones permanecen estables, la maquina de baja capacidad será la adecuadaC. Si está a la vista una recesión, la capacidad actual bastará

Se tiene la matriz de pagos, que considera el gerente en términos de ganancias(Millones de soles):

0.8

0.0

-1.0

3

1.2

2.0

1.5

2

1.2A3

1.6A2

2.5A1

1 A / j

Alternativas:A1 : Comprar máquina de alta capacidadA2 : Comprar máquina de baja capacidadA3 : No comprar ninguna máquina

Estados de la naturaleza1: Prosperidad2: Estabilidad3: Recesión

2.1.1.A. CRITERIO DE MAXIMIN ( WALD)

)},({min jiArjiMax

r (A1, j) = -1 r(A2, j) = 0.0 r(A3, j) = 0.8 

Luego; Maxmin { -1.0, 0.0, 0.8} = 0.8

Elegir la alternativa A3.

Determinando el mínimo de cada alterantiva:

)1()( CjirMinCjirMaxiAH

2.1.1.B. CRITERIO DEL COEFICIENTE DE OPTIMISMO (HURWITZ)

Determinando el maximo y mínimo de cada alterantiva:

Donde: 0 C 1

Max rij 2.5 2.0 1.2 Min rij -1.0 0.0 0.8

Si el decisor es cauteloso y pesimista asigna C = 0.25H(A1) = 2.5(0.25) - 1.0 (0.75) = - 0.125

H(A2) = 2.0(0.25) + 0.0(0.75) = 0.500 H(A3) = 1.2 (0.25) + 0.8(0.75) = 0.900

Luego: Max { - 0.125, 0.500, 0.900 } = 0.9,

Elegir alternativa A3.

2.1.1.C. CRITERIO DE LAPLACECada evento tiene la misma probabilidad:

Donde: Pj= 1 y Pj equiprobables

jPjiriAE )( i= 1, 2, 3,...,m

Para nuestro ejemplo, calculando:E(A1) = 2.5(0.333) + 1.5(0.333) + (-1.0)(0.333) = 0.999E(A2) = 1.6(0.333) + 2.0(0.333) + 0.0 (0.333) = 1.198E(A3) = 1.2(0.333) + 1.2(0.333) + 0.8 (0.333) = 1.065

entonces Max { 0.999, 1.198, 1.065 } = 1.198

Elegir la alternativa A2.

),(),*(),( jiArjArjiAl

2.1.1.D. CRITERIO DE PERDIDA DE OPORTUNIDAD (SAVAGE)Determinar la matriz de pérdidas de oportunidad; r(A*, j )

),(max jiAlji

Mini A la nueva matriz de consecuencias, aplicar criterio de:

0.0

0.8

1.8

j

0.8

0.0

0.5

2

1.3

0.9

1.8

Max r(Ai,j)

1.3

0.9

0.0

1

A3

A2

A1

Ai \ j

Luego; Minimax { 1.8, 0.9, 1.3} = 0.9

Elegir la alternativa A2.

El decisor escoge alternativas en base a información a priori.Asigna probabilidades subjetivas a los eventos futuros:

2.1.1.E. VALOR ESPERADO DE LA INFORMACION PERFECTA

P(1 : Prosperidad) = 0.20P(2 : Estabilidad) = 0.50P(3 : Recesión) = 0.30

Si el pronosticador predice con exactitud el estado natural que ocurrirá: Si 1: El decisor seleccionara r(A1*, 1) = 2.5 Si 2: El decisor seleccionara r(A2*, 2) = 2.0 Si 3: El decisor seleccionara r(A3*, 3) = 0.8

Calculando: BE(A1) = 2.5(0.20) + 1.5(0.50) - 1.0(0.30) = 0.95 BE(A2) = 1.6(0.20) + 2.0(0.50) + 0.0(0.30) = 1.32 BE(A3) = 1.2(0.20) + 1.2(0.50) + 0.80(0.30) = 1.08Entonces: VME = Max { 0.95, 1.32, 1.08} = 1.32 Elegir la alternativa A2

 

 

Valor esperado con información perfecta: VEIPPara maximización;

VEIP = BEIP – VME

VEIP = 1.74 - 1.32 = 0.42

BEIP = 1.74.

EVENTO GANACIAS PROBABILIDAD GANANCIASPRONOSTICADO CONDICIONALES ESPERADAS r(A*, j) P(j) r(A*,j)P(j)

Prosperidad 2.5 0.20 0.5Estabilidad 2.0 0.50 1.0Recesión 0.8 0.30 0.24

2.1.2. EN CONDICIONES DE RIESGOEJEMPLO 7: PREDICCION DE LA TEMPORADADurante el verano, el nadador olímpico Adam Johnson práctica diario. En los días soleados va a una piscina al aire libre, donde puede nadar gratis. En los días lluviosos debe ir a una piscina bajo techo. Al principio del verano tiene la opción de comprar un pase por $15.0 para la piscina techada, lo que le permite entrar allí durante todo el verano.

Si no compra éste pase, debe pagar un $1.0 cada vez que entra a la piscina techada. Los registros meteorológicos anteriores indican que hay 60% de probabilidad que el día sea soleado, en cuyo caso hay en promedio 6 días lluviosos en total, y 40% de probabilidades que el día sea lluvioso, en cuyo caso el promedio es de 30 días lluviosos en total.

2.1.2.A. CRITERIO DEL VALOR MONETARIO ESPERADO VME FORMULACION:•Costo del uso de la piscina al aire libre: gratis.•Costo piscina techada; pase de $15.0 por toda la temporada 0 $1.0/ingreso.•Para día soleado: En promedio 6 días lluviosos en la temporada.•Para día lluvioso: En promedio 30 días lluviosos en la temporada

Alternativas: A1: Comprar pase. A2: No comprar pase.

Estados de la naturaleza. 1: Día soleado. 2: Día lluvioso

0.60 0.40P(j)

15 15

6 30

A1

A2

j j Ai/j

MATRIZ DE PAGOS: COSTOS:

AnálisisE(A1) = 15(0.60) + 15(0.40) = 15.0E(A2) = 6(0.60) + 30(0.40) = 15.60

VME = Min { 15.0, 15.6 } = 15.0

Elegir alternativa A1: Comprar pase.

2.1.2.B. CRITERIO DE LA UTILIDFAD ESPERADA

0.60 0.40P(j)

15 15

6 30

A1

A2

j j Ai/j

MATRIZ DE PAGOS: COSTOS:

FORMULACION:Conjunto de premios:

E = { 6, 15, 30 }

Funcion de utilidad :

1.0 0.95 0.0

6 15 30

u( ej )

ej

AnálisisE(A1) = 0.95(0.60) + 0.95(0.40) = 0.95E(A2) = 1.00(0.60) + 0.00(0.40) = 0.60

VME = Min { 0.95, 0.60 } = 0.60Elegir alternativa A2: Comprar pase.

1

2

3

5

6

7

4

P()=0.6

0

P()=0.40

A1

A2

15.0

15.0

6.0

30.0

2.1.2.C. CRITERIO DEL ARBOL

•El nodo inicial 1 es un evento en el que debemos elegir, por las alternativas; A1, A2•En cada nodo 2 y 3 puede ocurrir un estado de la naturaleza F o D•Cada rama de A1 y A2 terminan en los eventos probabilísticos, 4, 5, 6 y 7 respectivamente

FORMULACION:

ANALISIS:Es elegir la mejor alternativa E(A1)= 15(0.60) + 15(0.40) = 15.0 E(A2)= 6(0.60) + 30(0.40) = 15.60

3

1

2

A1

A2

15.0

15.60

ARBOL PODADO

E{1}= VME= MIN {15.0, 15.60} = 15.0

Elegir la alternativa A1

2.2. DECISIONES CON EXPERIMENTACIÓN2.2.1. CRITERIOS ANÁLISIS PREPOSTERIORIEJEMPLO 8: PREDICCION DE LA TEMPORADA (continuación)Johnson compra una revista a $1.0 que tiene información meteorológica de las ciudades del país. Si el pronóstico anuncia verano soleado, hay 93% de probabilidad que el día sea realmente soleado. Si anuncia verano lluvioso hay 40% de probabilidad que en realidad el día sea lluvioso. La meta de Johnson es reducir sus costos durante la época de verano.

Probabilidades Condicionales: Q(Xi/j)

0.93 0.60

0.07 0.40

X1

X2

1 2Xi / j

• Costo del pronóstico: $1.0• Resultados del pronóstico: X1: Verano soleado X2: Verano lluvioso

FORMULACION:

Probabilidades preposteriori: H(j/Xi)

0.93 0.60

0.07 0.40

Q(Xi / j)

0.60 0.40

1 2

X1

X2

P(j)

Xi/j

0.70 0.30

0.21 0.79

0.80

0.20

0.56 0.24

0.04 0.16

X1

X2

H(j/Xi)P(Xi)P(j)Q(Xi/j)

1

2

3

4

5

7

6

8

9

10

11

12

13

14

15

P(X1)=0.80

P(X2)=0.20

A1

A2

H(1/X1)=

0.70

H(2/X1)=0.30

H(1/X2)=0.

21

H(2/X2)=0.79A1

A2

16 = 15+1

16 = 15+1

7 = 6+1

31 = 30+1

Arbol:

Podando el árbolVerano soleado:

E(4) = 16(0.70) + 16(0.30) = 16.0E(5) = 7(0.70) + 31(0.30) = 14.22E(2) = Min{ ] = 14.22 VMEx1 = 14.22 elegir A2

Verano lluvioso:E(10) = 16(0.21) + 16(0.79) = 16.0E(11) = 7(0.21) + 31(0.79) = 26.01E(3) = Min{ } = 16.0 VMEx2 = 16.0 elegir A1

4

1

10

52

3

4

11

P(X1)=0.80

P(X2)=0.20

A1

A2

A1

A2

16.0

14.22

16.0

26.01

14.22

16.0

E(1)= 0.80(14.22) + 0.20(16.0) = 14.578

Xi R(A, j) P(Xi) P(Xi)* R(A, j)

X1 14.22 0.80 11.35 X2 16.00 0.20 3.23

VEIM:

VMEexp = E(1) = BEIM = 14.578

VEIM = 15 – 14.58 = 0.42 costo del pronóstico $1.0 Entonces VEIM = 15 – (14.58 – 1) = 1.42

VEIP:

VEIP = 15.0 – 9.60 = .40

j r(A, j) P(j) P(j)* r(A, j)

1 6.0 0.60 3.60 2 15.0 0.40 6.00

BEIP = $9.60

EJEMPLO 9: PREDICCION DE LA TEMPORADA (continuación)Adan Johnson, prende el radio y escucha el pronóstico para el día de hoy, el cual dice:

Q(Verano soleado/día soleado) = 0.70Q(Verano soleado/día lluvioso) = 0.50

Que debe hacer Johnson, para reducir sus costos de preparación en la competencia.

FORMULACION:Condiciones ambientales de la temporada, teniendo información del día de hoy: Q(X1/1)= 0.70

Q(X1/2)= 0.50

2.2. DECISIONES CON EXPERIMENTACIÓN2.2.1. CRITERIOS ANÁLISIS POSTERIORI

j p(j) Q(Xi/1)

1 0.60 0.702 0.40 0.50

Probabilidades Condicionales: Q(Xi/j)

j p(j) Q(X1/1) P(X1,j) H(i/X1) P(X1)

1 0.60 0.70 0.42 0.68 0.622 0.40 0.50 0.20 0.32

Probabilidades posteriori: H(j/Xi)

1

2

3

4

5

6

7

H(1/X1)=0.68

H(2/X1)=0.32

15

15

6

30

A1

A2

Arbol de decisiones:

VEIP = 13.74 – 8.90 = 4.84

Se tiene un ahorro de 4.84 por tener un pronosticador perfecto.

Donde VME = Min { } = 13.74 debemos de elegir A2

j r(Ai,j) Ai H(j/X1) r(Ai,j)*H(i/X1)

1 6.0 2 0.68 4.062 15.0 1 0.32 4.84

BEIP = 8.90

E(A1) = 15(0.68) + 15(0.32) = 15.0E(A2) = 6(0.68) + 30(0.32) = 13.74

Evaluando el árbol: