INTRODUCCIÓN

La investigación operativa combinada con las ciencias de la computación y aplicadas en el campo administrativo se convierte en una potente herramienta para resolver modelos, los cuales utilizan métodos para darle al administrador o ejecutivo herramientas que le permitan tomar decisiones más efectivas, de tal forma de lograr el gran objetivo de optimizar el bienestar humano y económico de la población, así como el uso racional de los recursos de un país.

NOCIONES DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA.

Teorías sobre organización Empresarial.-

Clásica.- Sus creadores son Taylor y Fayol los cuales consideran que toda organización compleja tiene ciertas funciones que son comunes o básicas como la planeación, la ejecución, el control, etc. Y, consideran que la organización es un arte sujeto a reglas y principios.

Empírica.- Es aquella que se concentra en la observación de organizaciones a las que se pueda considerar como modelo, así por ejemplo ver organizaciones que han tenido éxito en su gestión para tratar de imitarlas y ver a las que han fracasado y tratar de evitar las causas o procedimientos que las llevaron a la ruina. Se reduce a observar.

Psicológica.- Ésta teoría trata de encontrar a la persona o personas que sean líderes o que tengan capacidad de mando para que sean ellas las que llevan a la empresa hacia un objetivo establecido. Es decir se preocupan de hallar las relaciones dentro de la empresa.

Moderna.- Se inicia en la década de 1940 y cuyos propulsores son los Ingenieros en Sistemas, se resume en indicar que en una empresa existe un grupo que trabaja y otro que toma decisiones. Esta corriente filosófica se preocupa del estudio de la teoría de las decisiones a través de un enfoque científico.

Concepto

Es un conjunto de herramientas de tipo matemático que tiende a lograr la óptima utilización de los recursos y procedimientos en una organización compleja.

Aplicación de la Investigación Operativa

La aplicación de la investigación operativa es infinita en cualquier campo de la actividad humana. Si bien en sus inicios se aplicó en el campo militar; hoy se usa para resolver problemas de tipo dietético, de personal, para una mejor utilización de recursos o de insumos en la industria, para realizar rutas e itinerarios más cortos y óptimos; se la estudia en las ramas de la economía, de la administración, ya sea pública o privada, en el trabajo social, en las matemáticas, en la estadística y en todas las ramas dela ingeniería.

Desarrollo de la Investigación Operativa

Siendo el principal objetivo de la empresa, maximizar la operación de bienes y servicios; y minimizar los insumos requeridos para la producción. Las bases de lo que hoy se denomina Investigación Operativa se comenzaron a aplicar desde que hizo su aparición un simple artesano, es decir que desde tiempos

antiguos; pero se considera a Taylor y Fayol como sus precursores que dieron origen a la sistematización debido al crecimiento y complejidad que experimentó la empresa en la revolución industrial pero fue durante la segunda guerra mundial en donde prácticamente se desarrolló la investigación operativa para calcular el lanzamiento de proyectiles y también rutas más cortas. Una vez concluida la guerra muchos de los especialistas que prestaban sus servicios en el campo militar pasaron a colaborar con la industria que fue destruida durante la guerra. En 1950 aparecen diversas organizaciones mundiales especialistas en Investigación Operativa. En el Ecuador en 1984 se empieza a utilizar cuando en la Escuela Politécnica Nacional se crea un grupo de especialistas dedicados a esta actividad. Se lo ha denominado con distintos nombres como: Investigación Operativa, Análisis Operacional, Ciencias de la Administración, Evaluación de Operaciones, Investigación de Sistemas y hoy se lo conoce como Investigación Operativa o Investigación de Operaciones.

CARACTERÍSTICAS DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Orientadora de Sistemas.- Consiste en analizar las partes más importantes y relacionadas con otras partes para descubrir los problemas y dar soluciones verdaderas.

Actuación de Grupos Interdisciplinarios.- Se dice que casi todos los problemas empresariales tienen aspectos de orden económico, psicológico, sociológico, estadístico, matemático, contable, etc. y por tanto, para dar solución a los mismos intervienen especialistas de diversas disciplinas para tener mayores enfoques y criterios que coadyuven positivamente a la búsqueda de la solución.

Utilización del Método Científico como Matemático.- Al igual que las otras ciencias la Investigación Operativa emplea el método científico que consiste en la observación, definición del problema, la formulación de hipótesis, experimentación y verificación.

ETAPAS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

1. Definición del Problema.- Es necesario tener una idea clara y concreta del problema a ser analizado, lo cual implica aspectos como el establecimiento de metas y objetivos de estudio, las decisiones alternativas para el problema y un claro reconocimiento de los requerimientos, de las restricciones y limitaciones del problema.

2. Construcción del Modelo.- Esta fase depende en gran manera de la complejidad y naturaleza del problema que se halla sujeto a investigación, a su vez el modelo contendrá expresiones cuantitativas tanto para la función objetivo así como para las restricciones expresadas a través de las correspondientes variables de decisión.

3. Dar solución al Modelo.- Definido el modelo se procederá a encontrar la solución adecuada al respecto existen diversas técnicas matemáticas, todas estas por lo general tratan que el modelo libere una solución óptima, la misma que podría consistir en maximizar o minimizar una función objetivo determinada.

4. Validación del Modelo.- Un modelo es válido si a pesar de las limitaciones que podría representar el modelo ofrece una estimación confiable del comportamiento del problema y para esto hay que comparar su comportamiento y rendimiento con cierta información estadística previa que se hallare disponible al respecto.

5. Implementación de los resultados.- Consiste en trasladar los resultados obtenidos del modelo a una serie de instrucciones operativas, las cuales deben estar expresadas en un lenguaje claro y comprensible para todas aquellas personas que administran y operan el sistema analizado. En esta

fase es importante la interacción y coordinación de personal dedicado a la Investigación Operativa y aquel correspondiente del área operativa.

MODELOS PROTOTIPOS DE INVESTIGACION OPERATIVA

Para resolver problemas se lo realice mediante la experimentación por cuanto seria costoso y riesgoso hacerlo en la misma empresa y es por eso que se utilizan los modelos.

Un modelo se considera como una representación idealizada de un sistema existente en la realidad, este sistema a su vez podría tratarse de algo que ya existe o que se está pensando implementar en el futuro. En la investigación operativa se realiza los siguientes modelos:

Modelo Simplex Modelo Transporte Modelo Redes Modelo inventario Modelo de Teoría de colas y esperas Modelo búsqueda y reemplazo de equipo Modelo matriz de insumo de producto

Dependiendo del tipo de aplicación se emplean.

MODELO SIMPLEX

Es un modelo prototipo de la investigación operativa que utiliza la programación lineal para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado o sistemas de ecuaciones lineales, es un método repetitivo que mediante la solución del sistema de ecuaciones optimiza la respuesta para maximizar utilidades o beneficios y minimizar costos y pérdidas.

Para resolver un problema por el modelo Simplex es necesario plantearse lo que se conoce como modelo general de programación lineal el cual consta de tres partes:

1. FUNCIÓN OBJETIVODefine la efectividad del sistema como una función matemática de las variables de decisión al respecto se dice que la solución óptima se obtiene el momento en el cual las variables de decisión alcanzan el máximo o mínimo valor de la función objetivo. En términos generales podríamos señalar que utilizar la función objetivo podría significar tanto maximizar utilidades o beneficios o minimizar costos o perdidas. Se representa como max z o min z.

2. RESTRICCIONES O DESIGUALDADES

A efectos de registrar las limitaciones físicas del problema el modelo deberá incluir restricciones que limiten las variables de decisión a valores factibles o permisibles esto normalmente expresado a través de desigualdades o inecuaciones matemáticas. Las restricciones son las limitaciones y están constituidas por recursos escasos como son: tierra, capital, materias primas, horas hombre, horas máquina, energía, etc. Se utiliza los símbolos mayor igual que, menor igual que.

3. CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDAD DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN DEL PROBLEMA

Las variables de decisión son las incógnitas del problema, estas son siempre positivas o cuando más cero. Este aspecto obedece a que los modelos de investigación operativa representan sistemas reales concretos en los que no tiene sentido hablar de producción negativa. Por lo tanto se representa x1mayor igual a 0 – x2 mayor igual a 0.

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

a. Un fabricante de gasolina para avión vende 2 clases de combustibles A y B. el combustible clase A tiene un 25% de gasolina grado 1, un 25% de gasolina grado 2y un 50% de gasolina grado 3. El combustible clase B tiene 50% de gasolina de grado 2 y un 50% de gasolina grado 3, disponibles para la producción existen 500 galones de grado 1 y 200 galones de grado 2 y 3. Los costos son $0.30 la gasolina de grado 1, $0.60 la de grado 2 y $0.50 la de grado 3 por galón. El precio de un galón de combustible clase A es de $0.75 y de clase B $0.90.¿Qué cantidad debe fabricarse de cada combustible?

Combustible

Grado 1 Grado 2 Grado 3 Precio

A 25% 25% 50% 0.75

B 50% 50% 0.90

Disponible 500 200 200

Costo 0.30 0.60 0.50

Variables:

X1= número de galones tipo A

X2= número de galones tipo B

REQUERIMIENTO COMB. 1 COMB. 2 DISPONIBILIDAD

SX1 X2

GRADO 1 0.25 500

GRADO2 0.25 0.50 200

GRADO 3 0.50 0.50 200

GANANCIAS 0.275 0.35

1. FUNCIÓN OBJETIVOMax z= 0.275*x1+0.35*x2

2. RESTRICCIONES0.25 X1≤5000.25X1 + 0.50X2 ≤ 2000.50X1+0.50X2≤200

3. CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDADX1≥0X2≥0

b. Una fábrica de alimentos debe enviar 500m³ de alimentos que necesitan refrigeración y 600m³ de alimentos que no necesitan refrigeración para ello va a contratar los servicios de una compañía que renta camiones de refrigeración de 2 tipos A y B. los camiones tipo A tienen espacio de refrigeración de 10m³ y un espacio sin refrigeración de 15m³ y se renta a 5 unidades monetarias por Km. Los camiones tipo B tienen un espacio de refrigeración de 15m³ y sin refrigeración de 10m³ siendo su costo de 8 unidades monetarias por Km. El problema consiste en determinar ¿Cuántos camiones por carga debe contratar la fábrica, si se quiere minimizar el costo de envío de alimentos?.

ALIMENTOS:

Refrigeración 500m³No refrigeración 600m³

CAMIONES ESPACIO REFRIGERACION SIN REFRIGERACION COSTO

A 10m³ 15m³ 5

B 15m³ 10m³ 8

VARIABLES

X1= número de camiones tipo A

X2= número de camiones tipo B

REQUERIMIENTOSTIPO A TIPO B

DISPONIBILIDADX1 X2

ESPACIO REFRIG 10 15 500

ESPACION SIN REFRIG.

15 10 600

COSTO 5 8

1. FUNCION OBJETIVOMin z= 5*x1+8*x2

2. RESTRICCIONES10X1+15X2≥500

15X1+10X2≥600

3. CONDICION DE NO NEGATIVIDADX1≥0

X2≥0

MÉTODO GRÁFICO

Sistemas Cartesianos (X1, X2), Solo se utilizan dos variables, resuelve el problema en dos partes,

encontrando la zona factible y calculando el punto óptimo.

1. Zona Factible: Ejecutivo o Administrador puede tomar decisiones y se encuentran graficando

cada una de las ecuaciones e inecuaciones del problema, la zona factible será el área cuando se

cumple todas y cada una de las restricciones del problema.

2. Calculo Punto Óptimo: Para encontrara el punto óptimo con respecto al problema se recure al

teorema de algebra lineal que dice que el óptimo estará en uno de los vértices de la zona factible,

si es maximización en el vértice que nos de mayor valor si es minimización lo contrario,

gráficamente el punto primo se encuentra representando la función objetivo del problema, se la

gráfica de tal manera que este dentro de la zona factible y se trazan paralelas hasta que haga

tangencia uno de los vértices, si es maximización las paralelas se trazan del origen hacia arriba, si

es minimización las paralelas se trazan en sentido hacia el origen, la respuesta del problema

podemos comprobarlo matemáticamente encontrando valores para cada uno de los vértices de la

zona factible, la función objetivo tiene siempre una función pendiente.

Ejemplo maximización:

Graficamos:

PUNTO OPTIMO

x1+2 x2≤62 x1+x2≤8−x1+x2≤1

x2≤2

x2=2x1=−1 x2=0x1=0 x2=1

x1=4 x2=0x1=0 x2=8

x1=0 x2=3x1=6 x2=0

Ejemplo minimización:

FUNCIÓN OBJETIVO:

Casos de soluciones especiales con el método gráfico:

3 x1+x2≥34 x1+3 x2≥6x1+x2≥3

x1=0 x2=2x1=1,5 x2=0

min Z=3 x1+2 x2

x1 , x2≥0

x1=0 x2=3x1=3 x2=0

x1=0 x2=3x1=1 x2=0

Z=3 x1+2x2

Z=3(0 . 6)+2(1 . 2)Z=4 .2

max Z=6 x1+12 x2

3 x1+2 x2≤153 x1+3 x2≤12

x1=0 x2=4x1=4 x2=0

m=−24

x1=0 x2=2. 5x1=5 x2=0

Solución óptima múltiple:

A(0;2.5): Z=30

B(3;1): Z=30 (PUNTO ÓPTIMO)

C(1;2): Z=30

Max z=6 x1+3x2

Rest : 1.- 3x1−3 x2≤30

2.- 6 x1≤120

C . N .N . ∀ X j≥0

1.-

x1=0 x1=10

x2=−10 x2=0

2.-

x1=20

Z=6 x1+12 x2

Max z=9 x1+6x2

Rest : 1.- 6x1+3x2≤6

2.- 9x1+12x2≥36

C . N .N . ∀ X j≥0

1.-

x1=0 x1=1

x2=2 x2=0

2.-

x1=0 x1=4

x2=3 x2=0

Max z=9 x1+27x2

Rest : 1.- 3x1+12x2≤24

2.- 3x1+6 x2≤12

C . N .N . ∀ X j≥0

1.-

x1=0 x1=8

x2=2 x2=0

2.-

x1=0 x1=4

x2=2 x2=0

“Solución Degenerada”

MÉTODO ALGEBRAICO

1. Hay que transformar las inecuaciones en ecuaciones y para eso se utiliza variables no negativas conocidas como variables de holgura.

Si la restricción es menor o igual que (≤) se debe sumar una variable de holgura al lado izquierdo de la igualdad para convertirla en ecuación.

2 x1+7 x2≤8 →2 x1+7 x2+x3=8

Si la restricción es mayor o igual que (≥) se debe restar una variable de holgura al lado izquierdo de la inegualdad para convertirla en ecuación.

3 x1+8x2≥10 →3 x1+8x2−x4=10

2. Una vez que las inecuaciones se han convertido en ecuaciones, el sistema de ecuaciones lineales restantes puede ser resuelto por cualquiera de los métodos matemáticos

Max z=12x1+9 x2

Rest : 6x1+3x2≤24 n=2 (variables de decisión).

3 x1+3 x2≤18 m=2 (restricciones).

C . N .N . ∀ X j≥0

Cambiamos a ecuaciones:

Max z=12x1+9 x2+0 x3+0 x4

Rest : 6x1+3x2+x3=24 n=4 (variables de decisión).

3 x1+3 x2+x4=18 m=2 (restricciones).

C . N .N . ∀ X j≥0

Característica:

Se puede determinar las soluciones básicas del sistema haciendo a la n-m variables iguales a cero y calculando las restantes variables resolviendo el sistema. A esta solución se le conoce como solución básica. A las variables igualadas a cero se la llama no básica y las otras serán básicas. De las soluciones básicas se debe tomar en cuenta únicamente a aquellas en donde las variables básicas sean mayores o iguales que cero y se le conoce como solución básica factible.

El número de soluciones está dado por la fórmula:

Cmn= n !

m! (n−m ) !

Continuamos con el ejercicio planteado:

C=6

I II III IV V VI

x1 0 0 0 4 6 2

x2 0 8 6 0 0 4

x3 24 0 6 0 -12 0

x4 18 -6

0 6 0 0

z 0 54 48 60

x x

SoluciónÓptima :{ x1=2x2=4Z=60

METODO SIMPLEX

Es un método iterativo para la resolución de problemas de programación lineal, parte de una solución básica factible inicial y en aplicaciones del medio determinan nuevas soluciones básicas factibles que permiten modificar o mantener los valores de la función objeto anterior.

El método además permite determinar cuándo se ha llegado a una solución óptima, a través de un indicador.

Para un problema de maximización con restricciones de tipo ≤, los pasos que se deben dar en el método simplex son:

1. Transformar las inecuaciones correspondientes, en ecuaciones, añadiendo las variables de holgura.

2. Generar la tabla con los coeficientes de las ecuaciones3. Determinar la solución básica factible inicial haciendo a las (n-m) variables = 0 siendas estas no

básicas y las restantes gráficas. Para maximización, la solución básica factible inicial ( solo con restricciones ) es aquella que hace que la función objeto valga cero

4. Para determinar una nueva solución básica factible (cambio de base), una variable no básica debe ser cambiada a variable básica y por consiguiente una de las variables básicas debe pasar a ser una variable no básica.Entonces: NB B Se conoce como variable entrante. B NB Se conoce como variable saliente.

Para determinar cual es la variable entrante y cual la variable saliente, a la tabla de coeficiente se debe agregar una fila Cj, con los coeficientes que tienen cada una de las variables en la función objeto; así como una columna Cb, con los coeficientes que tienen cada una de las variables básicas en la función objeto. Una fila conocida como Zj, en la cual cada elemento es calculado como el sumatorio de Cb*Xj. Y finalmente otra fila Cj - Zj.

Para determinar la variable entrante se hace un análisis de los coeficientes Cj - Zj. En el caso de maximización, ésta será aquella que se encuentra en la columna en el cual el valor de Cj - Zj es el mayor positivo. Se escoge como variable entrante a esa columna.

Cuando existen 2 o más coeficientes Cj - Zj, se elige como variable entrante cualquiera de ellas y en un problema de maximización si los coeficientes Cj - Zj son todos negativos o iguales a cero en ese instante se tiene la solución óptima, Para determinar la variable saliente, se dividen los elementos bi/aij de la columna correspondiente a la variable entrante (8/2, 6/1), en estas relaciones no se toma en cuenta aquellas cuya aij sea igual a cero o negativa. La variable saliente será aquella que se encuentra en la fila en la cual la relación bi/aij es la menor,y la cruzan la columna de la variable entrante con la fila de la variable saliente, se le conoce como elemento PIVOTE. A este elemento se lo debe convertir en 1, mientras que a los elementos que están sobre y debajo de él, tienen que ser ceros. Esto implica que los coeficientes de las variables básicas siempre deben formar una matriz unitaria.

Max z=8 x1+6 x 2

Rest 4 x1+2 x2≤16

2 x1+2 x2≤12

CNN xj≥ 0

Maxz=8 x1+6 x 2+0 x3+0x 4

1) 4x1+2x2+x3=162) 2x1+2x2+x4=12

CNN xj≥ 0n=4,m=2n-m=2x1=0 x3=16x2=0 x4=12

cj 8 6 0 0

Cbas Cvas X1 X2 X3 X4 bi

0 X3 4 2 1 0 16

0 X4 2 2 0 1 12

zj 0 0 0 0 0

Cj-zj 8 6 0 0

cj 8 6 0 0

cbas Cvas X1 X2 X3 X4 bi

8 X1 1 0.5 0.25 0 4

0 X4 0 1 -0.5 1 4

zj 8 4 2 0 32

Cj-zj 0 2 -2 0

cj 8 6 0 0

cbas Cvas X1 X2 X3 X4 bi

8 X1 1 0 0.5 -05 2

6 X2 0 1 -0.5 1 4

zj 8 6 1 2 40

Cj-zj 0 0 -1 -2

Maximixzar z=3x1+2x2

1) X1+2x2≤62) 2x1+x2≤83) –x1+x2≤14) X2≤2

CNN xj≥ 0

Maxz=3x1+2x2+0x3+0x4+0x5+0x6

1) X1+2x2x3=62) 2x1+x2+x4=83) –x1+x2+x5¿14) X2+x6=2

CNN xj≥ 0n=6,m=4n-m=2

x1=0 x3=6x2=0 x4=8 x5=1 x6=2

cj 3 2 0 0 0 0

Cbas vbas X1 X2 X3 X4 X5 X6 bi

0 X3 1 2 1 0 0 0 6

0 X4 2 1 0 1 1 0 0

0 X5 -1 1 0 0 1 0 1

0 X6 0 1 0 0 0 1 2

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 3 2 0 0 0 0

cj 3 2 0 0 0 0

Cbas vbas X1 X2 X3 X4 X5 X6 bi

0 X3 0 3/2 1 -1/2 0 0 2

3 X1 1 1/2 0 1/2 1 0 4

0 X5 0 3/2 0 1/2 1 0 9

0 X6 0 1 0 0 0 1 2

Zj 3 3/2 0 3/2 0 0 12

Cj-zj 3 1/2 0 -3/2 0 0

cj 3 2 0 0 0 0

Cbas vbas X1 X2 X3 X4 X5 X6 bi

2 X2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

3 X1 1 0 -1/3 9/3 1 0 10/3

0 X5 0 0 -1 1 0 0 7

0 X6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

Zj 3 2 1/3 4/3 3 2 39/3

Cj-zj 0 0 -1/3 -4/3 -3 0

Minimización

Para determinar la variable entrante, se analiza los coeficientes Cj-Zj, la variable entrante será aquella que se encuentra en la columna en la cual el coeficiente Cj-Zj tiene el mayor valor negativo (o el menor valor). Si todos los coeficientes Cj-Zj son positivos o cero se obtiene la solución óptima.

Para la variable saliente, se utiliza el criterio igual al de maximización, por tanto será aquella que se encuentre en la fila cuya bi/aij sea la menor (solo positivos).

Por lo general en problemas de minimización se tiene restricciones de tipo. Cuando se tiene restricciones de Tipo o ecuaciones = se tiene que utilizar el método de la BIG M, que utiliza variables artificiales, las mismas que no tienen ninguna interpretación económica en el problema y sólo sirven para poder empezar la aplicación del método simplex.

Sumamos variables artificiales MINZ=3 X 1+2x 2+0 x3+0x 4+MX 5+MX 6+Ox7

1.3x 1+x2−x3+x 5=¿3 1.3 x1+x 2−x3+ x5=¿3

2.4 x 1+3 x2−x 4+x6=¿6 2. 4x1+3x2-x4+x6=6

3. x1+x2+x 5+x7=¿3 3. X1+x2+x7=3

N=5

M=3

m-n =2

X1=0X2=0

X3=-3X4= -6X5=3

X5=3X6= 6X7=3

X1=0X2=0X3= 0X4= 0

Cj 3 2 0 o M M O

cbis ubas X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 bi

M X5 3 P 1 -1 0 1 0 0 3/us

M X6 4 3 0 -1 0 1 0 6

O X7 1 1 0 0 0 0 1 3

zj 7M 4M -M -M M M 0 9M

Cj-zj 3-7M/UE

2-4M

M M M O O

Cj 3 2 0 o M M O

cbes ubas X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 bi

3 X1 1 1/3 -1/3 0 1/3 0 0 1

M X6 0 2/3 P 4/3 -1 -4/3 1 0 2US

O X7 0 2/3 1/3 0 -1/3 0 1 2

zj 3 1+5/3M -1+4/3M

-M 1-4/3M M 0 3+2M

Cj-zj 0 1-5/3M -1-4/3M

M -1+7/3M

O O

Cj 3 2 0 o M M O

cbes ubas X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 bi

3 X1 1 0 -3/5 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

2 X2 0 1 4/5 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5

O X7 0 0 -1/5 2/5 1/5 -2/5 1 6/5

zj 3 2 -1/5 -3/5 1/5 3/5 0 4/5

Cj-zj 0 0 1/5 3/5 m-1/5 M-3/5 O

CASOS ESPECIALES DE SOLUCIONES DE PROGRAMACION

LINEAL

1. Soluciones óptimas múltiples

2. Soluciones no acotadas

3. Soluciones no factibles

4. Soluciones degeneradas

1. SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLES.

Se obtiene cuando el coeficiente Cj - Zj correspondiente a una de las variables no básicas tiene un valor 0.

2. SOLUCION NO ACOTADA.

Se tiene cuando en la columna de la variable entrante todos los coeficientes aij son no positivos. (negativos).

3. SOLUCION NO FACTIBLE.

Se tiene cuando aplicando el método de la Big M, o el método de las dos fases, para resolver un problema, se llega a obtener una solución óptima en la cual como variable básica existe una variable artificial. En el caso de utilizar el método de las 2 fases, este tipo de solución se da cuando al minimizar, en la primera fase existe una variable artificial que no ha salido de la base.

4. SOLUCION DEGENERADA.

Este tipo de solución se tiene, cuando al determinar la variable que sale de la base se obtiene 2 o más relaciones bi/aij que son mínimas y que tienen el mismo valor. La variable correspondiente debe salir de la base, pero al aplicar el método simplex, la otra variable igual, se hará necesariamente cero.

Max z= 6x1+12x2

Restricciones

1)3x1+6x2≤15

2)3x1+3x2≤12

Max =6x1+12x2+0x3+0x4

1) 3x1+6x2+x3=152) 3x1+3x2+x4=12

N=4 m=2

m-m=2

x1=0 x3=15

x2=0 x4=12

Cj 12 0 0 0

Cbas vbas X1 X2 X3 X4 bi

0 X3 3 6 1 0 15

0 X4 3 3 0 1 12

zj 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 -2 0

Cj 12 0 0 0

Cbas vbas X1 X2 X3 X4 bi

0 X2 1/2 1 1/6 0 15

0 X4 3/2 0 -1/2 1 12

zj 6 12 2 0 0

Cj-zj 0 0 -2 0

Maxz=9x1+6x2

Restrinciones

1) 6x1+12x2≤62) 9x2+12x2≥36

Maxz= 9x1+6x2-0x3-mx4+0x5

1) 9x1+12x2-x3+x4=362) 6x1+3x2+x5=6

n=5m=2n-m=3 x1=0 x4=36 x2=0 x5=6 x3=0

cj 9 6 0 -M 0

cbas vbas X1 X2 X3 X4 X5 bi

-M X4 9 12 -1 1 0 36

0 X3 6 (P) 3 0 0 1 6 (VS)

Zj -9M -12M M -M 0 -36M

Cj-zj 9+9M 6+12M(VE)

-M 0 0

cj 9 6 0 -M 0

cbas vbas X1 X2 X3 X4 X5 bi

-M X4 -15 0 -1 1 4 12

0 X2 2 1 0 0 1/3 2

Zj 15M+12 6 M -M 4M+2 -12M+12

Cj-zj -15-3 0 -M 0 -4M-2

VARIABLES NO RESTRINGIDAS (SIN RESTRICCION).

Xj no restringuida x3 no restringida

Xj=xj’-xj’’ x3 =x3’-x3’’

xj’≥0 x3’≥0

xj’’≥0 x3’’≥1

max z= -10x1+40x2

restring

1) -30x+10x2≤602) 10x1+20x2≤403) -10x2≤30

Max z= -10x’+10x’’+40x2+0x3+0x4+0x5CONDX1 NO RESTRINGIDA; X2≥0X1=X1’-X1’’1) -30 X1’+30X1’’+10X2+X3=602) 10 X1’-10X1’’+20X2+X4=403) -10X2+X5=30X1’ ≥0 X3≥0X1’’≥0 X4≥0X2≥0 X5≥0

n=6 m=3 n-m=

cj -10 10 40 0 0 0

Cbas vbas X1’ X1’’ X2 X3 X4 X5 Bi

0 X3 -30 -30 10 1 0 0 60

0 X4 10 -10 20(P) 0 1 0 40(VS)

0 X5 0 0 -10 0 0 1 30

zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj -10 10 40(VE) 0 0 0

cj -10 10 40 0 0 0

Cbas vbas X1’ X1’’ X2 X3 X4 X5 Bi

0 X3 -35 -35(P) 0 1 -1/2 0 40(VS)

40 X2 1/2 -1/2 1 0 1/20 0 2

0 X5 5 -5 0 0 1/2 1 50

zj 20 -20 40 0 2 0 80

Cj-zj -30 30(VE) 0 0 -2 0

cj -10 10 40 0 0 0

Cbas vbas X1’ X1’’ X2 X3 X4 X5 Bi

10 X1’’ -1 1 0 1/35 -1/70 0 9/7

40 X2 0 0 1 1/70 9/70 0 18/7

0 X5 0 0 0 1/7 3/7 1 390/7

zj -10 10 40 6/7 11/7 0 800/7

Cj-zj 0 0 0 -6/7 -11/7 0

X1=X1’-X1’’ =0-8/70=-8/7

X2= 18/7

Z=800/7

CNN{ X 1≥0X 1NORESTRIN X 1=X 1 ’−X 1’ ’

X 1≤0 : X1=−X 1’

Asociado a un problema de Programación Lineal, existe otro problema.

Al original se le denomina PRIMAL y al otro como DUAL.

Un problema primal tiene la siguiente forma:

Max Z = C*X

Rest. A*X ≤ b

El problema dual de este problema primal resulta:

Min W = bt * Y

Rest. At * Y ³ Ct

Cond. Y ≥ 0

VENTAJA DEL DUAL

La obtención del problema dual es importante cuando el número de restricciones es mucho mayor, al número de variables, ya que de esta manera se reduce la cantidad de operaciones, que hay que realizarlos para resolver el modelo.

MAX =

40 RESTRICCIONES 7 VARIABLES

PRIMAL DUAL

40 ecuaciones 7 ecuaciones

7 variables 40 V sección

40 variables holgura 7 variables holgura

40 ECU ,7VARIABLES 7 variables artificiales

7ecuaciones ,54 variables

Y4 es la holgura de X1

Y5 es la holgura de X2

Por lo tanto:

Bj - Wj de Y4 = X1

Bj - Wj de Y5 = X2

Solución: X1 = 3/5 X2 = 6/5 Z=36

RELACIONES ENTRE PRIMAL Y DUAL.

METODO DUAL SIMPLEX

Se utiliza con restricciones >= o =, puesto que elimina la necesidad de utilizar variables artificiales ya que únicamente se cambia de signos a ambos lados de la restricción y también su signo de relación.

5 x1+8x2≥10 −5 x1−8 x2≤−10

2 x1+3 x2=20 2 x1+3 x2≤20 −2 x1−3x2≤−20

Para obtener la solución óptima se deben dar dos condiciones:

1. Factibilidad Primal2. Factibilidad Dual

FACTIBILIDAD PRIMAL

Se da cuando todas las variables básicas son >= 0

FACTIBILIDAD DUAL

Para problemas de maximización se da cuando los coeficientes Cj-Zj son todos negativos o ceros (<=0), para problemas de minimización se da cuando Cj-Zj son positivos o ceros (>=0)

REGLAS PARA RESOLVER POR EL METODO DUAL SIMPLEX

1. Una solución que tiene factibilidad dual y factibilidad primal constituye una solución optima2. Si no existe factibilidad primal pero si existe factibilidad dual entonces aplicamos el método dual

simplex, en este caso se debe mantener siempre la factibilidad dual y en cada aplicación del método dual simplex se tiende a obtener la factibilidad primal, para eso:

I. Obtenemos la variable de salida para maximización o minimización es el mayor valor de bi negativo

II. La variable de entrada se determina analizando los valores absolutos deC j−Z j

aijConsiderando valores de a ij únicamente negativos correspondientes a los

coeficientes de la fila de la variable saliente, se debe tomar la menor relación.3. Si no existe factibilidad primal ni factibilidad dual lo primero que debe hacerse es restaurar la

factibilidad dual aplicando el método simplex normal y una vez se tenga factibilidad dual se aplica el método dual simplex.

EJERCICIO:

MIN Z=3 x1+2 x2

Restricciones:

1) 3 x1+x2≥3

2) 4 x1+3 x2≥6

3) x1+ x2≤3

Condicion de no negatividad

∀ x j≥∅

MINZ¿3 x1+2 x2+0 x3+0 x4+0x5

1) −3 x1−x2≤3 −3 x1−x2+x3=3

2) −4 x1−3x2≤6 −4 x1−3x2+x4=6

3) x1+ x2≤3 x1+ x2+x5=3

∀ x j≥∅

Cj 3 2 0 0 0Cbas

Vbas X1 X2 X3 X4 X5 bi

0 X3 -3 -1 1 0 0 -30 X4 -4 -3 0 1 0 -60 X5 1 1 0 0 1 3

Zj 0 0 0 0 0 0Cj-Zj 3 2 0 0 0

Cj 3 2 0 0 0Cbas

Vbas X1 X2 X3 X4 X5 bi

0 X3 -5/3 0 1 -1/3 0 -12 X2 4/3 1 0 -1/3 0 20 X5 -1/3 0 0 1/3 1 1

Zj 8/3 2 0 -2/3 0 4Cj-Zj 1/3 0 0 2/3 0

Cj 3 2 0 0 0Cba Vba X1 X2 X3 X4 X5 bi

s s0 X3 1 0 -3/5 1/5 0 3/52 X2 0 1 4/5 -3/5 0 6/50 X5 0 1 -1/5 2/5 1 6/5

Zj 3 2 -1/5 -3/5 0 21/5Cj-Zj 0 0 1/5 3/5 0

Sol: x1=35

x2=65

z=215

MODELO DE TRANSPORTE.

F1 F2 F3 (Fuentes de suministro, orígenes, oferta).

D1 D2 D3 (Destino, sectores, demanda).

El problema de transporte consiste en minimizar Costos de c/u * articulo * Xij desde ihasta j. Entonces:Min Z = C11X11+C12X12+C13X13+ ............. ...C34X34

CAPACIDAD DE SUMINISTRO:

X11+X12+X13+X14 = S1X21+X22+X23+X24 = S2X31+X32+X33+X34 = S3

REQUERIMIENTOS DE DEMANDA:

X11+X21+X31 = D1X12+X22+X32 = D2X13+X23+X33 = D3X14+X24+X34 = D4

Se tiene que capacidad de suministro = requerimientos de demanda, cuando se cumple esto se dice que se tiene un problema de transporte homogeneo.

a) ∑S>∑D Si la capacidad de suministro es mayor que la Demanda, se debe crear un destino ficticio, con costos de transporte igual a cero, que consuma el exceso de producto o suministro.

b) ∑D>∑S Si la demanda es mayor que el suministro, se debe crear un suministro ficticio que genere el suministro necesario para cubrir la demanda insatisfecha.

FUENTE DE SUMINISTRO

B1 B2 B3 B4 CAPACIDAD DE SUMINISTRO

F1 5 12 8 6 80

F2 9 14 7 11 90

F3 4 13 10 3 60

REQUERIMINETO DE DEMANDA

50 70 65 45

Min Z = 5X11+1212X12+813X13+ ............. ...3X34CAPACIDAD DE SUMINISTRO:X11+X12+X13+X14 = 80X21+X22+X23+X24 = 90X31+X32+X33+X34 = 60REQUERIMIENTOS DE DEMANDA:X11+X21+X31 = 50X12+X22+X32 = 70X13+X23+X33 = 64X14+X24+X34 = 45

METODO DE LA ESQUINA NOROESTE

Es un método directo para encontrar la solución básica factible inicial de un problema de transporte, y empieza asignando los recursos a partir de la primera fila, y en esta a partir de la primera celda. La asignación de recursos debe hacerse hasta satisfacer la demanda.FUENTE DE SUMINISTRO

B1 B2 B3 B4 CAPACIDAD DE SUMINISTRO

F1 50 30 80

F2 40 50 90

F3 15 45 60

REQUERIMINETO DE DEMANDA

50 70 65 45

Z=5X50+12X30+14X40+7X50+10X15+3X45Z=1805

CELDAS MAXIMAS O MINIMAS

Se pueden presentar los siguientes casos:1. Si Si > Dj, en este caso se asigna el recurso necesario para satisfacer la demanda y queda un exceso de recurso que se asigna dentro de la misma fila.2. Si Si = Dj, toda la capacidad de suministro se asigna directamente al requerimiento de demanda, y en la celda contigua debe colocarse un cero.

3. Si Si < Dj, todo el Si es asignado a la celda respectiva para satisfacer parte de la demanda. La demanda debe completarse asignando los recursos a la siguiente fila para satisfacer el restante requerimiento de demanda.

MINIMIZACION

FUENTE DE SUMINISTRO

B1 B2 B3 B4 CAPACIDAD DE SUMINISTRO

F1 35 45 80

F2 25 65 90

F3 15 45 60

REQUERIMINETO DE DEMANDA

50 70 65 45

Z=5X35+12X45+14X25+7X65+4X15+3X45

Z=1715

MAXIMIZACION

FUENTE DE SUMINISTRO

B1 B2 B3 B4 CAPACIDAD DE SUMINISTRO

F1 50 5 25 80

F2 70 20 90

F3 60 60

REQUERIMINETO DE DEMANDA

50 70 65 45

Z=50X5+5X8+25X6+70X14+20X11+60X10

Z=2240

METODO DE LA PENALIDAD

Consiste en determinar la penalidad que se incurre por no asignar determinados recursos a determinados requerimientos.

Minimización:

La penalidad de los recursos, es decir de las filas, se determinan restando el valor más pequeño, dentro de la fila, del siguiente valor más pequeño en la misma fila.La penalidad para los requerimientos, se calcula, restando el valor más pequeño dentrode una columna, del siguiente valor más pequeño en la misma columna.1. Se debe determinar luego, cual es la fila o la columna que tenga la máxima penalidad. Se escoge la máxima penalidad, por cuanto el problema es de minimización, y hay que minimizar los costos que se añadirían, por no asignar2. La asignación de los recursos debe realizarse a la celda que tiene el menor costo considerando las dos celdas que se tomaron para calcular la penalidad.3. Si en una sola asignación se termina el recurso, y se satisface el requerimiento en una de las celdas contiguas debe almacenarse un cero.4. Se repite el proceso sin tomar en cuenta aquellas columnas en las cuales ya se han satisfecho los requerimientos y aquellas filas en las cuales se han terminado los recursos.

MAXIMINIZACION:

1. Las penalidades se calculan restando del mayor valor el siguiente mayor valor en cada una de las filas y en cada una de las columnas. En este caso la penalidad indicara, la perdida de ganancia que ocasiona el no utilizar una ruta.2. Escoger la mayor penalidad.3. La asignación se hace a la celda de mayor valor.4. Repetir el proceso.

FUENTE DE SUMINISTRO

B1 B2 B3 B4 CAPACIDAD DE SUMINISTRO

F1 5 12 8 6 80

F2 9 14 7 11 90

F3 4 13 10 3 60

REQUERIMINETO DE DEMANDA

50 70 65 45

GRAFO

Consiste en dos conjuntos V y E, y es una estructura matemática para analizar redes.Existen grafos no direccionados y grafos direccionados.

Para un grafo no direccionado con n vértices el número máximo de ramificaciones viene dado por n(n-1)/2.

Para un grafo direccionado con n vértices el número máximo de ramificaciones está dado por n(n-1).

Los vértices adyacentes al vértice 2 en G2 serían 1,4,5 y las ramas incidentes al vértice 3 en G2 serán (v1,v3), (v3,v6), (v3,v7).Si la rama <v1,v2> es una rama direccionada, entonces el vértice v1 se dice que es adyacente a v2, mientras que v2 es adyacente desde v1, la rama <v1,v2> es incidente av1,v2.Si tenemos el grafo:G4Un subgrafo de G es G´ tal que los vértices de G´ son menores o iguales a los vérticesde G y las ramas de G´ son menores o iguales a los ramas de G.V(G´) ≤ V(G)E(G´) ≤ E(G)

Longitud de un caminoEs el número de ramas en las contenidas.V1,V2,V3,V4

Camino simple.Es un camino en el cual todos los vértices.V2,V4,V3,V1

CicloEs un camino simple en el cual el primero y último vértice son los mismos.

V1,V2,V4,V3,V1

Grado de un vértice

Es el número de ramas incidentes al vértice. Ej.: en G1 el grado de cualquier vértice es 3.Para un grafo direccionado el grado de entrada del vértice v es el número de ramas para el cual v es cabeza y el grado de salida del vértice v es el número de ramas para el cual v es cola.ÁrbolEs un grafo conexo que no contiene ciclos

Capacidad de flujo

Es el límite superior de la magnitud permitida de flujo que puede llevar una rama en una dirección específica. La capacidad de flujo puede ser cualquier cantidad no negativa incluso infinita.En una rama dirigida la capacidad de flujo es cero en una dirección contraria a la flecha.Nodo Fuente

Es un nodo de un grafo dirigido que se caracteriza porque todas las ramas que se conectan al él tienen una dirección tal que dicho nodo es únicamente cola, es decir el flujo sale del nodo.Se lo conoce también como inicio, origen o generador de flujo.Nodo Destino

Es un nodo de un grafo dirigido que se caracteriza porque todas las ramas que se conectan a él tienen una dirección tal que dicho nodo es cabeza, es decir el flujo entra al nodo. Se lo conoce también como llegada, finalizador o absolvedor de flujo.A Fuente, colaC Destino, cabeza.Representación de Grafos

Tenemos dos formas de representación:1. Utilización de matrices adyacentes.2. Utilización de listas adyacentes.

Matrices Adyacentes

Si tenemos una grafo G(V,E), compuesto de vértices y enlaces con n vértices, la matriz adyacente de G es un arreglo de dos dimensiones de nxn. Así tenemos:A(i,j) con la propiedad de que:

124A(i,j) = 1 si la rama (Vi,Vj) está en E(G).A(i,j) = 0 si no existe tal rama.Ejemplo:En G1 tenemos n vértices el arreglo A está formado por la matriz n x

1 2 3 41 0 1 1 12 1 0 1 13 1 1 0 14 1 1 1 0

1 2 3 41 0 1 1 02 1 0 0 13 0 0 0 04 0 1 1 0

De una matriz adyacente se puede determinar lo siguiente:a. Si existe una rama conectando dos vértices Vi, Vj.b. Para un grafo no diseccionado el grado de cualquier vértice Vi , es la suma de los unos (1) de sus filas.125c. Para un grafo diseccionado la suma de los unos (1) de las filas es el grado de salida y la suma de los unos (1) de las columnas es el grado de entrada.Listas Adyacentes.Con esta representación la n filas de la matriz adyacente se representan con n listas encadenadas. Hay una lista para cada vértice de G los nodos en la lista i representan a los vértices que son adyacentes desde el vértice i. Cada nodo tiene al menos dos campos vértice y enlace. Los campos de vértice contienen los índices de los vértices adyacentesMatriz de incidencia.

2

53

1 4

La matriz de incidencia de nodos – ramas para una red dirigida G(V,E), se define comoel arreglo Z = [Zi,k]Zi,k = 1. Si el nodo i que pertenece a V es el nodo de inicio de la rama a que pertenece al conjunto de ramas o arcos E.Zi,k = -1. Si el nodo i que pertenece a V es el nodo donde termina la rama ak que pertenece a E.Zik = 0. Si no existe tal rama.Si el grafo G no es dirigida Zi,k se define como:Zik = 1. Si el nodo i que pertenece a V es conectado a la rama ak que pertenece a EZik = 0. Si no existe conexión.

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

1 1 1 0 0 0 0 0 2 -1 0 1 1 0 0 0

3 0 -1 -1 0 1 1 0 4 0 0 0 -1 -1 0 1

5 0 0 0 0 0 -1 -1

ALMACENAMIENTO DE PESOS O VALORES DE LAS RAMAS DE UNGRAFO O RED

Cuando se designan valores a las ramas estos valores pueden representar distancias ocostos necesarios para ir de un índice a otro adyacente, estos pueden almacenarse de acuerdo con la representación utilizada para una red esto es por medio de una matriz adyacente en donde los A(i,j) guardaran dicha información.

5 2

3 7

1 3

2

2 6

1 2 3 4 5 1 0 5 2 3 0

2 5 0 0 2 0

3 2 0 0 0 7

4 3 2 0 0 6

5 0 0 7 6 0

Las aplicaciones de grafos más estudiadas por el modelo de redes son:- Arboles de cobertura- Problema de la ruta más corta- Problema del flujo máximo.

ARBOLES DE COBERTURA.Cualquier árbol que está formado únicamente por las ramas de E pero que incluyen a todos los vértices de V de G es llamado un árbol de cobertura.Posibles arboles de cobertura:

PROPIEDADES DE UN ARBOL DE COBERTURA.Un árbol de cobertura tiene la propiedad de que es un subgrafo mínimo de G (G´), tal que el conjunto de vértices de G es igual al conjunto de vértices de G:V(G) = V(G´)Por subgrafo mínimo se designa a aquel con el menor número de ramas.Cualquier grafo conexo con n vértices debe tener al menos n-1 ramas y todos los grafos conexos con n-1 ramas son árboles.

PROCEDIMIENTO GRAFICO.

5

21

43

1

3 4

2

4

1. Seleccionar un nodo arbitrario y conectamos el nodo más cercano a éste obteniendo la primera rama del árbol de cobertura de costo mínimo.2. Identificar un nodo no conectado que sea el más cercano a uno de los nodos que ya forman parte del árbol y conectarlos sin formar ciclos.3. Repetir esto hasta que todos los nodos se hayan conectado.

PROCEDIMIENTO MATRICIAL

1. Se comienza arbitrariamente en cualquier nodo, se designa a este nodo como conectado y se pone una √ al lado del renglón correspondiente a este nodo. Se tacha la columna que corresponde a él.

2. Considerando todos los renglones que tengan una √, se busca el valor mínimo en las columnas cuyo índice no ha sido tachado y se encierra ese valor en un círculo. Se rompen los empates de modo arbitrario. La columna que corresponde este elemento encerrado en un círculo designa al nuevo nodo conectado. Se tacha el índice de esta columna y se pone una marca en el renglón correspondiente a este nodo. Se repite este paso hasta que todos los nodos sean conectados.

3. Una vez que todos los nodos hayan sido conectados, se identifica el árbol de cobertura de costo mínimo mediante los elementos circundados

PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

Trata de determinar el camino más corto desde un punto de origen H hasta los demás nodos de la red a través de una red conexa, la longitud de un camino viene dado por la sumatoria de los valores de las ramas en ese camino.

1 2 3 4 5 6 7

1 0 5 3 1 0 0 0

2 5 0 0 8 9 0 0

3 3 0 0 4 0 6 0

4 1 8 4 0 2 7 3

5 0 9 0 2 0 0 12

6 0 0 6 7 0 0 13

7 0 0 0 12 13 0

5 2

3

3

ALGORITMO DE ETIQUETADO

El algoritmo emplea el llamado proceso de etiquetado conforme avance el algoritmo se determina una etiqueta para cada nodo, esa etiqueta asociara dos números entre paréntesis el primer número de la etiqueta representara la distancia entre ese nodo a lo largo de una ruta específica y el segundo numero al nodo predecesor del nodo en cuestión sobre dicha ruta, en principio las etiquetas asociadas a un nodo que no sea H se llamaran etiquetas temporales, cuando la distancia más corta entre H t un nodo dado haya sido determinado la etiqueta temporal se transformara en permanente el algoritmo empieza etiquetando el nodo H con la etiqueta permanente (0,H) donde 0 significa que la distancia entre H y H tiene una longitud cero y H solo identifica el nodo de salida, tan pronto cuando todos los nodos tengan etiqueta permanente se termina el proceso

1

63

4

2 5

7

EJERCICIO

Hallar la ruta más corta desde el nodo H hasta los demás nodos

NODOSRUTA MAS CORTA DESDE H DISTANCIA

1 H-1 3

2 H-1-2 7

3 H-3 2

4 H-1-2-4 9

5 H-1-2-4-5 13

6 H-1-2-4-5-6 14

7 H-1-2-7 14