Presentación IO

INVESTIGACIN OPERATIVA

Ingeniera Civil

Universidad Central del Ecuador

Ing. Marco Antonio Pineda (Msc.)

CONTENIDO

Ingeniera Civil


Introduccin

Objetivos

Antecedentes

Metodologa

Mtodo Simplex Estndar

Variaciones del Mtodo Simplex

INTRODUCCIN

Ingeniera Civil


Es un mtodo analtico de solucin de problemas deprogramacin lineal capaz de resolver modelos mscomplejos que los resueltos mediante el mtodo grfico sinrestriccin en el nmero de variables.

Es un mtodo iterativo que permite ir mejorando la solucinen cada paso al pasar por los diferentes vrtices queconforman (limitan) el conjunto de soluciones factibles(politopo), y dado que el nmero de vrtices es finitosiempre se hallar una solucin.

INTRODUCCIN

Ingeniera Civil


OBJETIVOS

Ingeniera Civil


General.

Abordar los conceptos y aspectos bsicos de laInvestigacin Operativa.

Especficos.

Presentar y explicar la metodologa bsica de la IO.

Plantear adecuadamente el problema (fase msimportante y ms difcil).

Plantear el modelado matemtico, as como las solucionesfactibles para la optimizacin del problema.

OBJETIVOS

Ingeniera Civil


ANTECEDENTES

Ingeniera Civil


Antecedentes

Este algoritmo fue creado en el ao de 1947 por elestadounidense George Bernard Dantzig y el ruso LeonidVitalievich Kantorovich, a fin de solucionar problemas de mrestricciones y n variables.

Se busca solucionar un modelo ampliado a partir del modelooriginal, transformando las desigualdades en ecuacioneslineales.

El lgebra lineal y el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordanpara resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen labase del mtodo simplex para la solucin analtica.

METODOLOGA

Ingeniera Civil


Metodologa

Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solucin acada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguirmejorando ms dicha solucin.

Para esto se inicia evaluando la funcin objetivo en un vrticecualquiera y buscar sucesivamente otro vrtice que mejore (odeteriore) la solucin anterior. La bsqueda se hace siempre a travsde los vrtices del espacio de soluciones factibles (politopo) y cmo elnmero de vrtices es finito, siempre se podr encontrar la solucin.

En conclusin, el mtodo del simplex se basa en la siguientepropiedad: si la funcin objetivo f no toma su valor mximo en elvrtice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de lacual f aumenta.

Metodologa

En el caso de un sistema de dos variables, con un espacio desoluciones factibles como el siguiente, se tendr:

Como se puede observar lasolucin optima (mxima), se daen el punto D(3,12), en donde elvalor de la funcin objetivoalcanza su mximo (33)

D: (3,12)

Z=33

Proceso Metodolgico

El proceso a seguir para la solucin de problemas utilizando elmtodo simplex, es el siguiente:

Planteamiento

Construccin del Modelo Matemtico (Variables, Restricciones y Funcin Objetivo)

Conversin

Conversin de las desigualdades en ecuaciones utilizando variables de holgura o supervit

Solucin

A travs del algoritmo iterativo Simplex, solucionar el problema.

MTODO SIMPLEX ESTNDAR

Ingeniera Civil


Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando lasolucin a cada paso.

Pero

Tomando en consideracin algunas premisas o condicionesiniciales.

MTODO SIMPLEX ESTNDAR

Ingeniera Civil


Variables de Holgura y Supervit

El Mtodo Simplex trabaja basndose en ecuaciones, para ellohay que convertir las inecuaciones (restricciones) en ecuacionesutilizando unas variables denominadas de holgura y Supervit(exceso) relacionadas con el recurso al cual hace referencia larestriccin y que representan el "Slack or Surplus". Estasvariables juegan un rol fundamental en la creacin de lamatriz identidad base del Simplex.

Estas variables suelen estar representadas por la letra "S",que se suman si la restriccin es de signo "=".

Procedimiento Matemtico

1. Convertir las desigualdades en igualdades

2. Igualar la funcin objetivo a cero

3. Escribir la tabla inicial simplex

4. Variable de decisin que entra y variable de holgura que sale

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla

Para aplicar el algoritmo Simplex, se debe seguir:


Se desea resolver mediante el mtodo del simplex el siguienteproblema:

, 3 2

:

2 18

2 3 42

3 24

0, 0


1. Convertir las desigualdades en igualdades.

Se introduce una variable de holgura en cada una de lasrestricciones para convertirlas en igualdades, con lo que se tiene:

2 1 18

2 3 2 42

3 3 24


2. Igualar la funcin objetivo a cero.

Considerando que la funcin objetivo es:

, 3 2

Se tiene:

"3 " 2 0


3. Escribir la tabla inicial simplex.

Variable

SolucinVariable de Decisin Variable de Holgura

Valores

solucin

X1 X2 S1 S2 S3

S1 2 1 1 0 0 18

S2 2 3 0 1 0 42

S3 3 1 0 0 1 24

Z -3 -2 0 0 0 0


4. Encontrar la variable de decisin que entra y la variable deholgura que sale de la columna variable solucin.

Variable de decisin que entra.- de la fila funcin objetivo,se escoge la celda (columna) donde se aloje el coeficientenegativo de mayor valor absoluto.

Variable de holgura que sale.- de la columna valoressolucin, se escoge la celda (fila) que aloje el menor resultadodel cociente entre los valores de la columna valores soluciny la columna de la variable de decisin que entra (seconsideran nicamente resultados positivos).


Visualizando en la tabla simplex se tiene:

Variable

SolucinVariable de Decisin Variable de Holgura

Valores

solucinCociente

x1 X2 S1 S2 S3

S1 2 1 1 0 0 1818/2 = 9

S2 2 3 0 1 0 4242/2 = 21

S3 3 1 0 0 1 2424/3 = 8

Z -3 -2 0 0 0 0

Consideraciones

Variable de decisin que entra:

Si existen dos o ms coeficientes iguales (coeficiente negativode mayor valor absoluto), entonces se elige cualquiera deellos.

Si en la fila funcin objetivo no existe ningn coeficientenegativo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima, portal razn se puede concluir que cuando no exista valoresnegativos en la fila funcin objetivo, se ha llegado a lasolucin optima.

Consideraciones

Variable de holgura que sale:

Si al calcular los cocientes entre los valores de la columnavalores solucin y la columna de la variable de decisin queentra, dos o ms son iguales, cualquiera de las variablescorrespondientes pueden salir.

Si existe algn coeficiente menor o igual que cero en lacolumna valores solucin, no se encuentra el cocientemencionado (si el coeficiente de la columna valores solucines positivo).

En el caso de que todos los elementos de la columna de lavariable de decisin que entra fuesen menores o iguales acero, entonces se tiene una solucin no acotada.

Metodologa del Mtodo Simplex

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.

Los nuevos coeficientes de la variable de decisin que entra(x), se obtienen aplicando el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan que permite transformar una matriz de coeficientes enuna matriz diagonal.

El proceso de encontrar la variable de decisin que entra y lavariable de holgura que sale, se repite hasta que no existavalores negativos en la fila funcin objetivo.

PREMISAS

Ingeniera Civil


Conclusiones

1. El mtodo descrito (simplex estndar), se ha detallado,considerando la premisa de que se parte de la forma cannicade un problema de programacin lineal, es decir:

Todas las variables de decisin son no negativas.

Todas las restricciones son del tipo menor o igual "".

Todas las constantes del lado derecho de las desigualdadesson no negativos (positivos).

La funcin objetivo es de tipo de maximizacin

Conclusiones

Por tanto

Si existiese alguna divergencia con cualquiera de las premisasplanteadas anteriormente (forma cannica de un problema deprogramacin lineal), ser necesario:

Reacomodar el modelo matemtico de tal forma que tenga laforma cannica de un problema de programacin lineal.

Aplicar alguna de las variaciones del mtodo simplex.

Conclusiones

Para el caso de minimizacin, se aplica uno de los siguientescriterios de solucin:

1. Aplicando lgica matemtica, se parte de la siguiente premisa:"para cualquier funcin f(x), todo punto que minimice a f(x)maximizar tambin a - f(x)".

Por tanto simplemente habr que multiplicar a f(x)*(-1) y seproceder a maximizar dicha funcin, con lo cual se da solucinal problema.

Conclusiones

2. Se aplica el criterio opuesto en cuanto a las variables queentran y salen, es decir:

Variable de decisin que entra.- de la fila funcin objetivo,se escoge la celda (columna) donde se aloje el coeficientepositivo de mayor valor absoluto (se finalizan iteracionescuando todos los coeficientes de la funcin objetivo sonnegativos).

Variable de holgura que sale.- de la columna valoressolucin, se escoge la celda (fila) que aloje el mayorresultado del cociente entre los valores de la columna valoressolucin y la columna de la variable de decisin que entra.

EJEMPLOS

Ingeniera Civil


Ejemplos


, 2 3

:

2 4

2 5

0, 0

Ejemplos


, 5 4

:

6 4 24

2 6

" 1

2

0, 0

Ejemplos


20000 20000 20000% 20000&

:

2 % 2& 24

2 2% 20

2% 2& 20

4& 16

0, 0

GRACIAS

Ingeniera Civil


[Nada puede] reemplazar el esfuerzo consistente en

lecturas copiosas, muchos ejercicios y largas horas de

meditacin que el aprender Economa habr de

demandarles inexorablemente (Manuel Cordom, 1977).

Ing. Marco Antonio Pineda (Msc.)

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