5)

6)

7)

8)

9)

Una compañía sabe que la demanda de su producto durante cada uno de

los próximos cuatro meses es como se indica: mes 1, 1 unidad; mes 2, 3

unidades; mes 3. 2 unidades; mes 4, 4 unidades. La compañía debe

determinar cuántas unidades debe de fabricar en el mes corriente. Durante

un mes en el cual se producen algunas unidades, se incurre en un costo

preliminar de 3 dólares. Además, hay un costo variable d 1 dólar por cada

unidad que se fabrica. Al final de cada mes, se genera un costo de

almacenamiento de 50 céntimos por cada unidad disponible. Las

limitaciones en la capacidad permiten producir durante cada mes un

máximo d 5 unidades. Las dimensiones de la bodega de la compañía

restringen el inventario final de cada mes a 4 unidades, cuando mucho. La

empresa desea determinar un plan de producción que cumpla con toda la

demanda a tiempo y minimice la suma del costo de producción y del costo

de almacenamiento durante los 4 meses. Suponga que se dispone de 0

unidades al principio de cada mes.

Solución:

Si estamos al principio del mes 4, entonces la compañía cumplirá con la demanda a un

costo mínimo produciendo simplemente unidades suficientes para asegurar que

(producción del mes 4) + (inventario final del mes 3) = (demanda del mes 4). Por lo

tanto, cuando queda un mes, el problema de la compañía es fácil de resolver. De aquí

que el tiempo represente a la etapa.

En cada etapa(o mes), la compañía tiene que decidir cuantas unidades producir. Para

tomar esta decisión, la compañía solo necesita conocer el nivel del inventario al

principio del mes actual(o el final del mes anterior).

Definimos:

-        ft(i) costo mínimo de cumplir las demandas de los meses, t+1,…., 4 si t unidades

están disponibles al inicio del mes t.-          c(0) = 0, y para x>0, c(x) = 3 + x. Debido a la capacidad limitada de almacenamiento y

al hecho de que toda demanda se debe cumplir a tiempo, los estados posibles durante

cada periodo 0, 1, 2, 3 y 4.

-          xt(i) nivel de producción durante el mes t que minimiza el costo total durante los

meses t, t + 

      1,…., 4 si i unidades está a la mano al principio del mes t.

Determinamos:                 f4(0), f4(1), f4(2), f4(3) y f4(4)

f3(0), f3(1), f3(2), f3(3) y f3(4) f2(0), f2(1), f2(2), f2(3) y f2(4)

f1(0), f1(1), f1(2), f1(3) y f1(4)

Cálculos del mes 4

Durante el mes 4, la compañía produce justo las unidades suficientes para asegurar

que la demanda del mes 4, que es de cuatro unidades, se cumpla. Entonces,f4(0) = costo de producción de 4 – 0 unidades = c(4) = 3+ 4 = $7 y  X4(0= = 4 – 0 = 4

f4(1) = costo de producción de 4 – 1 unidades = c(3) = 3+ 3 = $6 y  X4(1)= 4 – 1 = 3

f4(2) = costo de producción de 4 – 2 unidades = c(2) = 3+ 2 = $5 y X4(2) = 4 – 2 = 2

f4(3) = costo de producción de 4 – 3 unidades = c(1) = 3+ 1 = $4 y X4(3) = 4 – 3 = 1  

f4(4) = costo de producción de 4 – 4 unidades = c(0) = $0 y  X4(4) = 4 – 4 = 0

Cálculos del mes 3¿Cómo podemos determinar f3 (i), para i  = 0, 1, 2, 3, 4? El costo f3 (i) es el costo mínimo que se genera en los meses 3 y 4 si el inventario al principio del mes 3 es i. Por cada nivel de producción posible x durante el mes 3, el costo total durante los meses 3 y 4 es:

                                                                              (1/2)(i+x-2)+c(x)+ f4 (i+ x-2)

Si x unidades se producen durante el mes 3, el inventario final del mes 3 esi + x - 2. Entonces, el costo por almacenamiento del mes 3 es  (1/2)(i+x-2) , y el costo de producción del mes 3 es c(x).

Luego entramos al mes 4 con i +x -2 unidades disponibles. Puesto que proseguimos en forma óptima a partir de este punto hacia delante, el costo para el mes 4 es f4 (i+ x-2). Queremos elegir el nivel de producción del mes 3 para minimizar (1).

                                    f3 (i)=min {(1/2)(i+x-2)+c(x)+ f4 (i+ x-2)}

x es elemento de {0, 1, 2, 3, 4, 5}, y x debe satisfacer 4 ≥ i+x-2 ≥ 0. Esto refleja el hecho de que la demanda del mes actual se debe cumplir (i+x-2 ≥ 0), y que le inventario final no puede ser mayor a la capacidad 4(i+x-2 ≤ 4)

 i x(1/2)(i+x-2)+c(x) f4(i+x-2)

costo total de los

meses 3, 4

f3(i)X3(i)

0 2 5 7 12 120 3 6.5 6 12.5 20 4 8 5 130 5 9.5 4 13.5

1 1 4 7 11 101 2 5.5 6 11.5 51 3 7 5 121 4 8.5 4 12.51 5 10 0 102 0 0 7 7 72 1 4.5 6 10.5 02 2 6 5 112 3 7.5 4 11.52 4 9 0 93 0 0.5 6 6.5 6.53 1 5 5 10 03 2 6.5 4 10.53 3 8 0 84 0 1 5 6 64 1 5.5 4 9.5 04 2 7 0 7

Cálculos del mes 2Calculamos  f2(i), el costo mínimo que se genera durante los meses 2, 3 y 4, dado que

al principio del mes 2 el inventario disponible es i unidades. Suponemos que la

producción del mes 2 = x. Puesto que la demanda del mes 2 es 3 unidades, se genera

un costo por almacenamiento de (1/2)(i+x-3) al final del mes 2.

 Por lo tanto, el costo total generado durante el mes 2 es (1/2)(i+x-3)  +c(x).durante

los meses 3 y 4 seguimos una estrategia óptima. Como el mes 3 inicia con un inventario de i + x-3, el costo en el que se incurre durante los meses 3 y 4 es f3(i + x -3).

                                        f2 (i)=min{(1/2)(i+x-3)+c(x)+ f3 (i+ x-3)}

X es el elemento de {0, 1, 2, 3, 4, 5} y x también debe satisfacer 0 ≤ i + x – 3 ≤ 4.

x (1/2)(i+x-3)+c(x) i

f3(i+x-3)

costo total de los

meses 2, 4 f2(i)      X2(i)

0 3 6 12 18 160 4 7.5 10 17.5 50 5 9 7 161 2 5 12 17 151 3 6.5 10 16.5 41 4 8 7 151 5 9.5 6.5 16

2 1 4 12 16 142 2 5.5 10 15.5 32 3 7 7 142 4 8.5 6.5 152 5 10 6 163 0 0 12 12 123 1 4.5 10 14.5 03 2 6 7 133 3 7.5 6.5 143 4 9 6 154 0 0.5 10 10.5 10.54 1 5 7 12 04 2 6.5 6.5 134 3 8 6 14

Cálculos del mes 1

f1 (i)=min{(1/2)(i+x-1)+c(x)+ f2 (i+ x-1)}

X es el elemento de {0, 1, 2, 3, 4, 5} y x también debe satisfacer 0 ≤ i + x – 1 ≤ 4.

Como el inventario al principio de mes 1 es 0 unidades, en realidad solo requerimos determinar  f1 (0) y x1 (i)

x (1/2)(i+x-3)+c(x)

i

   f2(i + x -1)

costo total

 f1(i)X1(i)

0 1 4 16 20 200 2 5.5 15 20.5 10 3 7 14 210 4 8.5 12 20.50 5 10 10.5 20.51 0 0 16 16 161 1 4.5 15 19.5 01 2 6 14 201 3 7.5 12 19.51 4 9 10.5 19.52 0 0.5 15 15.5 15.52 1 5 14 19 02 2 6.5 12 18.52 3 8 10.5 18.53 0 1 14 15 153 1 5.5 12 17.5 0

3 2 7 10.5 17.54 0 1.5 12 13.5 13.54 1 6 10.5 16.5 0

Resultado:

Como el inventario inicial es 0 unidades, el costo minimo para los cuatro meses es f1(0) =  20 dólares. Para alcanzar f1(0), tenemos que producir X1(0) = 1 unidad

durante el mes 1. Entonces, el inventario al principio del mes 2 es de 0+1-1 = 0. Por lo tanto, en el mes 2, debemos producir X2(0) = 5 unidades. Luego, al empezar el mes 3,

el inventario inicial es de 0+5-3 = 2. Por lo tanto, durante el mes 3, necesitamos fabricar X3(2) = 0 unidades. En el mes 4 empezamos con 2–2+0 = 0 unidades

disponibles. De aquí queX4(0) = 4 unidades se tengan que fabricar durante el mes 4. 

En resumen, el plan de producción optimo genera un costo total de 20 dólares y

produce 1 unidad durante el mes 1, 5 unidades en el mes 2, 0 unidades en el mes 3 y

4 unidades en el mes 4.

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