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Guillermo Serna Calderón

Modelos estocásticos en las finanzas

José Manuel Gutiérrez Jiménez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Grado en Matemáticas

2012-2013

Título

Autor/es

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2013

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Modelos estocásticos en las finanzas, trabajo fin de gradode Guillermo Serna Calderón, dirigido por José Manuel Gutiérrez Jiménez (publicado por

la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

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Facultad

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Titulación

Grado en Matemáticas

Título


Autor/es

Guillermo Serna Calderón

Tutor/es

José Manuel Gutiérrez Jiménez

Departamento

Departamento de Matemáticas y Computación

Curso académico

2012-2013


Guillermo Serna

11 de junio de 2013

iii

ResumenEste trabajo de fin de Grado es una pequeña introducción a los modelos estocásticos en lasfinanzas desde un punto de vista práctico, cuyo objetivo es facilitar la adaptación a un másterde Matemática financiera.El trabajo está dividido en tres capítulos. En el primer capítulo se estudian las variablesaleatorias, la generación de números aleatorios y hacemos hincapié especial en el método deMonte Carlo, desarrollando varias ejemplos mediante el programa Wolfram Mathematica 8.En el segundo capítulo, tratamos los procesos estocásticos dividiéndolos en procesos de esta-do discreto y procesos de estado continuo. En los procesos de estado continuo se estudia elproceso de Wiener, que es fundamental en los modelos estocásticos financieros.En el último capítulo trataremos el modelo de Black y Scholes, que es trascendental en lavaloración de opciones y acabaremos con la ecuación de Black-Scholes y su importancia.Por último, nótese que este trabajo puede ser completado en un futuro con las integrales yecuaciones diferenciales estocásticas.

AbstractThis Final Year Dissertation is a short introduction to stochastic financial models from apractical standpoint, whose aim is to make easier the adaptation to a master about Mathe-matical finance.This work has three chapters. In the first chapter random variables and generation of ran-dom numbers are studied, and a special emphasis in Monte Carlo method is made. In thissection several examples are carried out with the computational software program WolframMathematica 8.In the second chapter we explain the stochastic processes and these are divided in processeswith discrete state and processes with continuous state. In the processes with continuousstate, we study the Wiener process, that is essential in stochastic financial models. In thelast chapter we speak about the Black-Scholes model, which is fundamental in the valuationof options and we will finish with the Black-Scholes equation and his importance.Finally, we would like to emphasize that this work could be completed with stochastic inte-gration and stochastic differential equations.

Introducción

He decidido realizar este trabajo fin de Grado porque quiero hacer un máster sobre Matemá-tica financiera y así poder obtener algunos conocimientos previos antes de realizar el máster.Además este trabajo podría ser completado en un futuro con el estudio de integrales y ecua-ciones diferenciales estocásticas, puesto que por la limitación de tiempo no hemos podidorealizar este estudio.En este trabajo se pueden ver tanto temas tratados en la carrera como cadenas de Markovo variables aleatorias, aunque con un enfoque diferente, como temas no tratados durante lacarrera como pueden ser el proceso de Wiener y el modelo de Black y Scholes.El propósito de este trabajo fin de Grado es realizar una pequeña introducción a los modelosestocásticos en las finanzas desde un punto de vista práctico. La estructura general del tra-bajo consiste en desarrollar una teoría y completarla con ejemplos, muchos de estos ejemplosson teóricos formando así “pequeños teoremas”. También se han realizado muchos ejemploscon ordenador mediante el programa Wolfram Mathematica 8, y además en muchos de estosejemplos podemos ver el código utilizado.Se ha divido el trabajo en tres capítulos. En el primer capítulo se estudian las variables alea-torias, para ello hemos definido primero los espacios de probabilidad. También hemos definidolos espacios de Hilbert de variables aleatorias. Y para finalizar el capítulo hemos tratado lageneración de números aleatorios y desarrollado con bastantes ejemplos el método de MonteCarlo, ya que es un método muy usado en las finanzas.En el segundo capítulo se habla de los procesos estocásticos dividiendo estos en procesos deestado discreto y procesos de estado continuo. En los procesos de estado continuo se estudiael proceso de Wiener o movimiento Browniano que es un proceso de vital importancia en elmundo de las finanzas cuantitativas y que nos será de utilidad para el siguiente capítulo.Por último, en el tercer capítulo se estudia el modelo de Black y Scholes que es muy usadoen la valoración de opciones. También se trata la fórmula de Itô, herramienta indispensableen las Matemática financieras. Por último se ha finalizado este trabajo fin de Grado con laecuación de Black-Scholes y la importancia de esta fórmula.Nótese que en los dos primeros capítulos se ha usado [3] como bibliográfica básica y [1, 2, 4,5, 7, 8, 9] como complementaría. Y para realizar el último capítulo nos hemos basado en [6].La conclusión que se puede sacar de este trabajo es que es una pequeñísima introducción a

v

vi

los modelos estocásticos en las finanzas y que se dejan muchos temas abiertos como el de lasintegrales y las ecuaciones diferenciales estocásticas.Finalmente quiero agradecer a mi tutor, José Manuel Gutiérrez, por la predisposición que hatenido en todo momento con este trabajo, incluso sin que las finanzas sean su especialidad.

Índice general

1. Variables aleatorias 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Espacio de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Espacio de Hilbert de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Generación de números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Método de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Procesos estocásticos 272.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Procesos de estado discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Procesos de estado continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4. Generación de procesos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. El modelo de Black y Scholes 493.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. El modelo de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3. Proceso de Wiener económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4. Valoración de opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5. La ecuación de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bibliografía 57

vii

viii ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Variables aleatorias

1.1. Introducción

Una variable aleatoria es una función de valores reales definida en un conjunto de resulta-dos de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias son importantes en el estudio deintegrales y ecuaciones diferenciales estocásticas que son de gran utilidad en el mundo delas finanzas, aunque en este trabajo no llegaremos a abordarlas (para ver información sobreecuaciones diferenciales e integrales estocásticas consultar [3]).En este capítulo después de ver espacios de probabilidad, variables aleatorias y una introduc-ción de espacios de Hilbert de variables aleatorias (fundamental para entender las integrales yecuaciones diferenciales estocásticas) hablaremos de la generación computacional de númerosaleatorios, por último veremos el método de Monte Carlo como aplicación a la generacióncomputacional de números aleatorios.Y con todo esto ya estaremos en condiciones de estudiar los procesos estocásticos del capítulo2.

1.2. Espacio de probabilidad

Un espacio de probabilidad es una terna (Ω,F , P ) dónde Ω es el conjunto de posibles resulta-dos del experimento (llamado espacio muestral), F la colección de todos los sucesos o eventosaleatorios y P : F → [0, 1] es una función que asigna probabilidad a los eventos. Asumimosque F es una σ-álgebra que satisface las siguientes propiedades.

Si A ∈ F entonces Ac ∈ F .1

∪∞i=1Ai ∈ F si A1, A2, . . . ∈ F .

1Cuando escribimos Ac nos referimos al complementario de A.

1

2 CAPÍTULO 1. VARIABLES ALEATORIAS

El par (Ω,F) es un espacio medible, que es un espacio donde podemos definir una medida.Una medida es una función µ concreta que asigna un valor real o medida a cada elemento deΩ y cumple

1. µ(A) ≥ µ(∅) = 0 ∀A ∈ F .

2. Si Ai ∈ F es una sucesión contable de conjuntos disjuntos entonces

µ(∪∞i=1Ai) =∞∑i=1

µ(Ai)

.

Si µ(F) = 1, llamamos a µ medida de probabilidad y como hemos dicho antes la denotamoscomo P y si A ∈ F se tiene que P (Ac) = 1−P (A). Sea µ una medida en (Ω,F) tenemos que

Si A ⊂ B entonces µ(A) ≤ µ(B) (si µ(A) <∞ entonces µ(B − A) = µ(B)− µ(A).

Si A ⊂ ∪∞n=1An entonces µ(A) ≤ ∑∞n=1 µ(An).

Los siguientes ejemplos muestran algunos espacios de probabilidad. Para ampliar la informa-ción véase [4].)

Ejemplo 1.1. Lanzamiento de una moneda.Consideremos el experimento aleatorio de lanzar una moneda dos veces. Los posibles sucesosque podemos tener son ω1 = CC, ω2 = CT , ω3 = TC y ω4 = TT (dónde C es cara y T escruz). Así el espacio muestral es Ω = ω1, ω2, ω3, ω4. Sin embargo hay muchos conjuntos Fque satisfacen la propiedad de σ-álgebra, el más pequeño es F = ∅,Ω. Si queremos que lossucesos ω1, ω2 pertenezcan a F entonces tenemos que la σ-álgebra más pequeña que loscontiene es

F = ∅, ω1, ω2, ω1, ω2, ω3, ω4, ω1, ω3, ω4, ω2, ω3, ω4,Ω.

Para N resultados diferentes la σ-álgebra más pequeña tendrá 2 elementos, ∅ y Ω, y la másgrande tendrá 2N elementos.Para este ejemplo, P (ωi) = 1/4 i = 1, 2, 3, 4. Usando las propiedades anteriores podemoshallar la probabilidad del evento ω1 ó ω3 ó ω4 que es P (ω1, ω3, ω4) = 1−P (ω2) = 3/4.(Ω,F , P ) es el espacio de probabilidad para este ejemplo.

Ejemplo 1.2. Medida de Lebesgue.Consideramos el experimento aleatorio de elegir un número real x del intervalo [0, 1]. En-tonces Ω = x : 0 ≤ x ≤ 1. Sea (a, b] un intervalo en [0, 1] donde x ∈ (a, b]. Definimosla σ-álgebra F como el conjunto generado por todos los intervalos de la forma (a, b]. Asíque todos los intervalos de la forma (a, b], uniones de intervalos y sus complementarios están

1.2. ESPACIO DE PROBABILIDAD 3

contenidos en la σ-álgebra F . Esta σ-álgebra se llama la σ-álgebra de Borel. Ahora definimosla medida de probabilidad P . Sea A = (a, b] ∈ F , entonces P (A) = b − a. Entonces P (A)es la probabilidad de que un elemento x ∈ [0, 1] este en A. Esta medida de probabilidad sellama medida de Lebesgue para la σ-álgebra F .Vemos que gracias a las propiedades de medida, un gran número de conjuntos están en F . Porejemplo (a, b) ∈ F ya que (a, b) = ∪∞n=1(a, b− 1

n]. Por las Leyes de Morgan las intersecciones

contables también están en F , en particular ω = x esta en F ya que ω = ∩∞n=1(x− 1n, x].

Consideremos el siguiente ejemplo particular, sea B1 ∈ F donde B1 = ∪∞n=1(21−2n, 22−2n) en-tonces P (B1) = ∑∞

n=0(12)2n−1 = 2

3 .

Ejemplo 1.3. Número de observaciones; distribución de Poisson.Consideremos un experimento donde el número de observaciones de un resultado en el inter-valo de tiempo [0, t] es interesante. Suponemos que el número de observaciones del resultadoen algún intervalo de tiempo ∆t tiene probabilidad λ∆t + o(∆t) y la probabilidad es inde-pendiente del tiempo (por ejemplo la probabilidad de que un coche pase por un cruce puedesatisfacer esta suposición). Consideremos ahora el número de resultados donde t es grandeen comparación con ∆t y sea ωn igual al suceso donde n resultados ocurren en el intervalo[0, t]. Entonces es claro que Ω = ω0, ω1, ω2, . . . . Sea ahora F = ∅, ω0, ω1, . . . ,Ω laσ-álgebra generada asumiendo que ωi ∈ F para = i = 0, 1, 2, . . . . Ahora vamos a determi-nar una medida de probabilidad para Ω. Por conveniencia de notación P (ωn) = Pn(t) es laprobabilidad de que se produzcan n resultados en el intervalo [0, t]. Usando las suposicioneshechas es claro que P0(0) = 1 y que Pn(0) = 0 para n ≥ 1. Además

P0(t+ ∆t) = (1− λ∆t)P0(t) + o(∆t)

yPn(t+ ∆t) = (1− λ∆)Pn(t) + λ∆tPn−1(t) + o(∆t),

para n ≥ 1 donde 1− λ∆t es la probabilidad de no tener resultados en el intervalo ∆t y λ∆tes la probabilidad de un resultado en el intervalo ∆t. Haciendo ∆t→ 0 en ambas expresionesobtenemos

dP0(t)dt

= −λP0(t), P0(0) = 1

ydPn(t)dt

= −λPn(t) + λPn−1(t), Pn(0) = 0, n ≥ 1.

Resolviendo el sistema obtenemos que Pwn = Pn(t) = e−λt (λt)n

n! para n = 0, 1, 2, . . . , dondePwn es la probabilidad de n resultados en el tiempo t. Con esta probabilidad de medida(Ω,F , P ) es un espacio de probabilidad. Para verificar esta medida de probabilidad notemosque

P (Ω) =∞∑n=0

P (ωn) =∞∑n=0

e−λt(λt)nn! = 1


para cualquier t ≥ 0. Llamamos distribución de Poisson al número de resultados en esteexperimento aleatorio.

1.3. Variables aleatoriasEn este apartado vamos a definir las variables aleatorias y algunas de sus propiedades, puestoque son una pieza clave en los procesos estocástico que veremos en el siguiente capítulo (véase[1]).

Definición 1.1. Una variable aleatoria X en un espacio de probabilidad (Ω,F , P ) es unafunción de Ω en R, X : Ω→ R.

Definición 1.2. La función de distribución de una variable aleatoria X es la función FX deR en [0, 1] dada por

FX(x) = P (ω ∈ Ω : X(ω ≤ x)), x ∈ R.

Una variable aleatoria puede ser discreta o continua. Una variable aleatoria es discreta si tomavalores en un subconjunto contable x1, x2, x3 . . . ⊂ R. Es decir que X(ω) ∈ x1, x2, x3, . . . para cada ω ∈ Ω. La función de masa de probabilidad p de una variable aleatoria X es lafunción p : x1, x2, x3, . . . → [0, 1] dada por p(x) = P (X = x). Notemos que para unavariable aleatoria discreta FX(x) = ∑

xi<x p(xi).Una variable aleatoria es continua si existe una función a trozos no negativa p(x) tal queFX(x) =

∫ x−∞ p(s)ds. En este caso llamamos a p(x) función de densidad de X. Notemos que

P (a ≤ X ≤ b) = FX(b)− FX(a) =∫ ba p(s)ds.

Es útil notar que si X es una variable aleatoria y g : R → R es medible Borel, entoncesY = g(X) es también una variable aleatoria. En efecto, Y (ω) = g(X(ω)) = g(x) si X(ω) = x.Además, si p(x) es la función de masa para una variable aleatoria discreta X y la inversa deg existe entonces P (Y = y = g(x)) = P (X = x) = p(x) = p(g−1(y)). Así q(y) = p(g−1(y)) esla función de masa de Y . Además, si X toma los valores discretos x1, x2, x3, . . . entoncesY toma los valores discretos y1, y2, y3, . . . donde yi = g(xi).

Esperanza

Vamos a definir la esperanza dependiendo de si estamos ante una variable aleatoria discretao una variable aleatoria continua (véase [4]).

Definición 1.3. Suponemos que X es una variable aleatoria discreta donde

X(ω) ∈ x1, x2, x3, . . .

con ω ∈ Ω. Sea p(x) la función de masa de X, entonces decimos que la esperanza de X es

µ = E(X) =∑i

xip(xi) =∑i

X(ωi)P (wi)

1.3. VARIABLES ALEATORIAS 5

donde la suma es convergente.

Sea g : R→ R una función, sabemos que g(X) = Y también es una variable aleatoria discretay la esperanza de g(X) es

E(g(X)) =∑i

g(xi)p(xi).

En particular el k-ésimo momento de X es

E(Xk) =∑i

(xi − µ)kp(xi) para k = 1, 2, . . .

y definimos el k-ésimo momento central como

E((X − µ)k) =∑i

(xi − µ)kp(xi) para k = 1, 2, . . . .

Definición 1.4. Suponemos que X es una variable aleatoria continua donde X(x) = x ycon función de densidad p(x). Notemos que p(x)∆x es la probabilidad de aproximación deque X tome un valor en el intervalo (x − ∆x/2, x + ∆x/2). La esperanza de X puede seraproximada como E(X) ≈ ∑

xp(x)∆x y como ∆x→ 0 la esperanza de X es

E(X) =∫ ∞∞

xp(x)dx.

Si definimos una función g como antes tenemos que la esperanza de g(X) es

E(g(X)) =∫ ∞−∞

g(x)p(x)dx.

El k-ésimo momento y el k-ésimo momento central son

E(Xk) =∫ ∞−∞

xkp(x)dx

E((X − µ)k) =∫ ∞−∞

(x− µ)kp(x)dx.

Propiedades de la esperanza. Sean X, Y variables aleatorias tenemos que

E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

E(XY ) = E(X)E(Y ) si X e Y son independientes, es decir, X no depende de Y y Yno depende de X.

E(aX) = aE(X) con a ∈ R.


Varianza

Definición 1.5. La varianza de X se define como el segundo momento central

Var(X) = E((X − µ)2).

Nota 1.1. Notemos que:E((X − µ)2) = E(X2)− µ2.

Ejemplo 1.4. Distribución de Poisson.Consideremos el experimento aleatorio del ejemplo 1.3 donde la probabilidad de un resultadoen un intervalo de tiempo ∆t es λ∆t+o(∆). Sea γ = λt y recordemos que ωn es igual al sucesodonde n resultados ocurren en el intervalo [0, t]. Sea X(ωn) = n la definición de una variablealeatoria X. La función de masa de X es p(n) = P (ωn) = (e−γγn)/n! para n = 0, 1, 2 . . . ysu función de probabilidad es

FX(x) = e−γn∑k=0

γk

k! para n ≤ x < n+ 1

para n = 0, 1, 2, . . . . La variable aleatoria X es una distribución de Poisson.Para calcular su media y su varianza necesitamos

E(X) =∞∑k=0

kp(k) =∞∑k=0

ke−γγk

k! = e−γγ∞∑k=1

γk−1

(k − 1)! = γ

y

E(X2) =∞∑k=0

k2p(k) = e−γγ2∞∑k=1

((k − 1)γk−2

(k − 1)! + γk−2

(k − 1)!) = γ2 + γ.

Por lo tanto E(X) = γ y Var(X) = γ.

Ejemplo 1.5. Distribución Uniforme en [u, v].La distribución Uniforme es el modelo continuo más simple. Corresponde al caso de queuna variable aleatoria sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos u y v, demanera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de [u, v]) tienen la mismaprobabilidad. También puede expresarse como el modelo probabilístico correspondiente atomar un número al azar dentro de un intervalo [u, v].Sea X(x) = x la definición de una variable aleatoria X. La función de probabilidad de X es

FX(x) =∫ x

−∞p(s)ds donde p(s) =

0, s < u o s > v1

v−u , u ≤ s ≤ v.

Notemos que si a, b ∈ [u, v] entonces P (a ≤ X ≤ b) =∫ ba p(s)ds = (b− a)/(v − u). X es una

distribución uniforme en [u, v], X ∼ U [u, v].Para calcular su media y su varianza necesitamos

E(X) =∫ b

axdx

b− a= b+ a

2

1.3. VARIABLES ALEATORIAS 7

yE(X2) =

∫ b

ax2 dx

b− a= 1

3(b2 + ab+ a2).

Por lo tanto E(X) = b+a2 y Var(X) = 1

12(b− a)2. Además E(f(X)) =∫ ba f(x) dx

b−a

Variables aleatorias múltiples

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral Ω, conjunto de eventos alea-torios F y medida de probabilidad P . Sean X1 y X2 dos variables aleatorias definidas eneste espacio de probabilidad. El vector aleatorio X = [X1, X2]T lleva Ω a R2. Notemos quesi A1, A2 ∈ F como A1 = ω ∈ Ω : X1(ω) ≤ x1 y A2 = ω ∈ Ω : X2(ω) ≤ x2 entoncesA1 ∩ A2 ∈ F y

P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2) = P (A1 ∩ A2).

Definición 1.6. La función de distribución acumulativa de X1 y X2 se denota FX1X2(x1, x2)y se define como

FX1X2(x1, x2) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2) = P (A1 ∩ A2).

Además si A1 y A2 son independientes se tiene que

FX1X2(x1, x2) = P (A1 ∩ A2) = P (A1)P (A2) = FX1(x1)FX2(x2).

Si suponemos que X1, X2 son variables aleatorias discretas que toman los valores (x1,i)(x2,j)para 1 ≤ i ≤M, 1 ≤ j ≤ N con N,M ∈ N, tenemos que

pX1X2(x1,i, x2,j) = P (X1 = x1,i, X2 = x2,j).

Por lo tanto llamamos a pX1X2 función de masa de X = [X1, X2]T y

FX1X2(x1, x2) =∑

x1,i≤x1

∑x2,j≤x2

pX1X2(x1,i, x2,j).

Si X1, X2 son variables aleatorias continuas, pX1X2(x1, x1) es la función de densidad de X =[X1, X2]T si

FX1X2(x1, x2) =∫ x1

−∞

∫ x2

−∞pX1X2(s1, s2)ds2ds1.

Además la función de densidad satisface

pX1|X2(x1|x2)pX2(x2) = pX1X2(x1, x2)

ypX2|X1(x2|x1)pX1(x1) = pX1X2(x1, x2).

Definición 1.7. La covarianza de X1 y X2 variables aleatorias se define como

Cov(X1X2) = E((X1 − µ1)(X2 − µ2)) = E(X1X2)− E(X1)E(X2).


Y además se tiene la siguiente propiedad

Var(X1 +X2) = Var(X1) + Var(X2) + 2Cov(X1X2).

Notemos que si X1, X2 son independientes entonces Cov(X1X2) = 0.Si X = [X1, X2, . . . Xn]T es un vector de n variables aleatorias cada una definida en el espaciomuestral Ω, entonces µ = E(X) es la media del vector de longitud n y E((X− µ)(X− µ)T )es la matriz n× n llamada matriz covariante. La función de distribución FX se relaciona conla función de densidad pX de la siguiente manera

FX(x1, x2, . . . , xn) =∫ x1

−∞

∫ x2

−∞. . .

∫ xn

−∞pX(s1, s2, . . . , sn)dsn, . . . , ds2d1.

Ejemplo 1.6. Vector de variables aleatorias cuando lanzamos una moneda.Supongamos que lanzamos una moneda dos veces y su espacio muestral es Ω = ω1, ω2, ω3, ω4donde ω1 = CC, ω2 = CT , ω3 = TC y ω4 = TT . La P (ωi) = 1

4 para i = 1, 2, 3, 4. SeaX1(ω1) = no de caras en wi y X2(ω2) = no de cruces en ωi. Por lo tanto la función de masatiene la forma

pX1X2(x1, x2) =

1/4 x1 = 2, x2 = 0 or x1 = 0, x2 = 21/2 x1 = 1, x2 = 10 otro caso.

Para este experimento aleatorio E(X) = µ = [1, 1]T y la matriz covariante es

E((X−µ)(X−µ)T ) = E

(X1 − µ1)2 (X1 − µ1)(X2 − µ2)(X1 − µ1)(X2 − µ2) (X2 − µ2)2

= E 1/2 −1/2−1/2 1/2.

Por lo tanto X1 y X2 no son independientes y tienen Cov(X1X2) = −1

2 .

1.4. Espacio de Hilbert de variables aleatoriasLos espacios de Hilbert de variables aleatorias y procesos estocásticos unifican y simplificanel desarrollo de integrales y ecuaciones diferenciales estocásticas.Recordemos que un espacio vectorial con una métrica o norma definida se llama espaciométrico.

Definición 1.8. Si un espacio métrico es completo (toda sucesión de Cauchy es convergente)entonces el espacio métrico es un espacio de Banach.

Definición 1.9. Un espacio pre-Hilbert sobre R es un par (H, (·, ·)) donde H es un espaciovectorial y (·, ·) : H ×H → R cumple:

(λf + µg, h) = λ(f, h) + µ(f, h) para todo λ, µ ∈ R, f, g, h ∈ H,

1.4. ESPACIO DE HILBERT DE VARIABLES ALEATORIAS 9

(f, f) ∈ [0,∞) para todo f ∈ H,

(f, f) = 0 implica f = 0.

Sea (H, (·, ·)) un espacio pre-Hilbert sobre R. Podemos definir una norma en H de la siguientemanera:

||f || = (f, f)1/2, f ∈ H. (1.1)

La norma definida en (1.1) tiene las siguientes propiedades:

Desigualdad triangular:||f + g|| ≤ ||f ||+ ||g||.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

||(f, g)|| ≤ ||f || ||g||.

Definición 1.10. Si un espacio pre-Hilbert es completo entonces lo llamamos espacio deHilbert.

Si un espacio S es pre-Hilbert solemos usar un resultado que dice que S puede ser completadoañadiendo elementos a S hasta formar un espacio de Hilbert H. Además se puede ver queS ⊂ H y que S es denso en H. Por lo tanto si S se completa en H, entonces dado un f ∈ Hy un ε > 0 existe un g ∈ S tal que ||f − g|| < ε.

Sea (Ω,F , P ) un espacio de probabilidad. Sea A ∈ F y sea IA la función indicatriz de A, esdecir IA es la variable aleatoria definida por

IA(w) =

1 si w ∈ A

0 si w /∈ A.(1.2)

Entonces se tiene queE(IA) = P (A).

Definición 1.11. Las combinaciones lineales finitas de funciones indicatrices son variablesaleatorias simples.

Nota 1.2. Si X es una variable aleatoria simple, entonces X se puede escribir como X(ω) =∑ni=1 ciIAi

y entonces

E(X) =n∑i=1

ciP (Ai).


Sea ahora SRV (espacio pre-Hilbert) el conjunto de variables aleatorias simples definidas en elespacio de probabilidad, SRV = X : X es un variable aleatoria simple definida en el espaciode probabilidad (Ω,F , P ). El conjunto SRV es un espacio vectorial de variables aleatorias.Sea X, Y ∈ SRV se define el producto como

(X, Y ) = E(XY ) = E(n∑i=1

n∑j=1

ciIAidjABj

) =n∑i=1

n∑j=1

cidjP (Ai ∩Bj)

y la norma de la siguiente manera

||X||RV = (X,X) 12 = (E|X|) 1

2 .

Podemos completar SRV en HRV , espacio Hilbert, donde SRV es denso en HRV . Si suponemosque Xn∞n=1 es una sucesión de Cauchy de variables aleatorias en HRV y como HRV escompleto hay una variable aleatoria X ∈ HRV de manera que ||Xn−X|| → 0 cuando n→∞.Además dado un ε > 0 hay una variable aleatoria Y ∈ SRV de modo que ||X − Y || < ε.

Definición 1.12. La norma de un espacio Hilbert HRV de variables aleatorias es ||X||RV =(E(|X|2))1/2.

Ejemplo 1.7. Espacio Hilbert L2[0, 1].Sea el mismo espacio de probabilidad que en el ejemplo 1.2. Sea SRV todas las variablesaleatorias simples definidas en F . Si X ∈ SRV la variable aleatoria se define como

X(x) =n∑i=1

ciIAi(x),

donde Ai ∈ F e IAies la función indicadora introducida en (1.2) para cada i.

Sea ahora HRV la complexión de SRV . HRV , espacio de Hilbert, incluye todas las variablesaleatorias que están contenidas en [0, 1]. Tomamos una f : [0, 1]→ R continua para ver quelas variables aleatorias continuas están en HRV . Sea xi = (i − 1)/n para i = 1, 2, . . . , n ydefinimos

fn(x) =n∑i=1

f(xi)In,i(x), dónde In,i(x) =

1, (i− 1)/n ≤ x < i/n

0, otro caso.

Entonces se puede demostrar que esta sucesión de variables aleatorias simples fn∞n=1 es unasucesión de Cauchy en HRV . Además como ||f − fn||RV → 0 cuando n → ∞ tenemos quefn → f en HRV . Así f es el límite de una sucesión de variables aleatorias simples en HRV yf ∈ HRV .El espacio de Hilbert HRV de este ejemplo es conocido como L2[0, 1], que es, HRV = L2[0, 1] =funciones medibles Lebesgue f en [0, 1] tal que

∫ 10 |f(x)|2dx < ∞. Notemos que para

X, Y ∈ HRV se tiene

(X, Y ) =∫ 1

0X(x)Y (x)dx y ||X||2RV =

∫ 1

0|X(x)|2dx.

1.4. ESPACIO DE HILBERT DE VARIABLES ALEATORIAS 11

Convergencia de sucesiones de variables aleatorias

La convergencia de sucesiones de variables aleatorias es importante para el estudio de ecua-ciones diferenciales estocásticas. Consideramos una sucesión de variables aleatorias Xn∞n=1

definidas en un espacio de probabilidad (Ω,F , P ) y la existencia de una variable aleatoria Xa la cual la sucesión se aproxima cuando n → ∞. Es importante caracterizar la manera enque Xn se aproxima a X cuando n→∞.Hay varios tipos de criterios de convergencia que suelen usarse para las variables aleatorias.Un tipo importante es la convergencia en media cuadrática que es la que usaremos.

Definición 1.13. Sea Xn∞n=1 una sucesión de variables aleatorias y sea X una ciertavariable aleatoria. Diremos que Xn∞n=1 converge a X en media cuadrática si se cumple que

lımn→∞

E(Xn −X)2 = 0.

Sin embargo, para Xn∞n=1 ⊂ HRV la convergencia en media cuadrática es equivalente a||Xn −X||RV → 0 cuando n→∞. Además como HRV es un espacio de Hilbert la existenciade la variable aleatoria X ∈ HRV es garantizada si Xn∞n=1 es una sucesión de Cauchy enHRV .

Definición 1.14. Se dice que la sucesión de variables aleatorias Xn∞n=1 es fuertementeconvergente a X si

lımn→∞

E(|Xn −X|) = 0.

Convergencia en media cuadrática implica convergencia fuerte.

Desigualdad de Lyapunov (E(|X|p))1/p <= (E(|X|r))1/r para 0 < p < r.

Definición 1.15. Se dice que la sucesión de variables aleatorias Xn∞n=1 converge en pro-babilidad a X si dado algún ε > 0 tenemos que

lımn→∞

P (|Xn −X| > ε) = 0

.

Convergencia en media cuadrática también implica convergencia en probabilidad.

Desigualdad de Chebyshev-Markov P (ω : |X(ω)| ≥ ε) ≤ 1εp

E(|X|p) para ε, p > 0.

Definición 1.16. La sucesión de variables aleatorias Xn∞n=1 se dice que tiene convergenciacasi segura a X si

P (ω ∈ Ω : lımn→∞

|Xn(ω)−X(ω)| = 0) = 1

.

Lema 1.1. Si ∑∞n=1 P (|Xn −X| ≥ ε) <∞ para todo ε > 0, entonces Xn tiene convergencia

casi segura a X.


Ejemplo 1.8. Convergencia casi segura y convergencia en media cuadrática.Sea X una variable aleatoria que es una distribución uniforme en [0, 1], es decir X ∼ U [0, 1],definimos la sucesión de variables aleatorias Xn∞n=1 de la siguiente manera

Xn(ω) =

0, 0 ≤ X(ω) ≤ 1

n2

X(ω), 1n2 < X(ω) ≤ 1

para n = 1, 2, . . . . Entonces∞∑n=1

P (|Xn −X|) ≥ ε) ≤∞∑n=1

1n2 <∞ para algún ε > 0.

Por el lema anterior Xn converge casi seguro a X. Y notemos también que

E(|Xn −X|2) =∫ 1

n2

0x2dx = 1

3n6 → 0 cuando n→∞.

Por lo que Xn tiene convergencia cuadrática a X.

Dos resultados importantes que involucran sucesiones de variables aleatorias son la ley de losnúmeros grandes y el teorema central del límite (véase [5]).

La ley de los grandes números. Sean X1, X2, . . . variables aleatorias independientes eidénticamente distribuidas. Sea µ = E(Xn) y σ2 = Var(Xn) ∈ (0,∞). Definimos Sn =∑ni=1Xi. Entonces

lımn→∞

E(|Snn− µ|2) = 0 y lım

n→∞

Snn

= µ.

Teorema 1.2. Teorema central del límiteSean X1, X2, . . . variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Sea µ =E(Xn) y σ2 = Var(Xn) ∈ (0,∞). Definimos Sn = ∑n

i=1Xi. Entonces

lımn→∞

P ((Sn − nµσ√n

) ≤ z) = φ(z),

dónde φ(z) es la función de distribución de N(0, 1) para cada número real z.

1.5. Generación de números aleatoriosPara aproximar soluciones de ecuaciones estocásticas se requiere de grandes números alea-torios, [8]. Los algoritmos para generar sucesiones de variables aleatorias son llamados ge-neradores de números pseudo-aleatorios. Hay muchos tipos de generadores para producirdistribuciones uniformes de números aleatorios en [0, 1]. Un generador muy sencillo es de loscentros de los cuadrados, que consiste en tomar un número inicial de cuatro cifras decimales

1.5. GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS 13

llamado semilla, por ejemplo γ0 = 0.9876 y elevarlo al cuadrado obteniendo un número deocho cifras decimales γ2

0 = 0.97535376. Ahora elegimos las cuatro cifras decimales centralesy de esta manera obtenemos γ1 = 0.5353, haciendo lo mismo se obtiene γ2 = 0.6546 y asívamos obteniendo distribuciones uniformes de números aleatorios en [0, 1].

Nota 1.3. Este método presenta algunos problemas, entre otros la obtención de númerospequeños con mayor frecuencia que números grandes.

Ahora vamos a desarrollar el el generador congruencial lineal (uno de los generadores másconocidos) que tiene la forma

Xn+1 = (aXn + c)mód(m) para n = 0, 1, 2, . . .

donde a, c y m son enteros no negativos con m normalmente grande y X0 es un número departida. Sea d un entero positivo d mod(m) es el resto cuando dividimos d y m, entonces0 ≤ dmód(m) ≤ m− 1. Ahora podemos calcular la sucesión Un como

Un = Xn

mpara n = 0, 1, 2 . . .

donde 0 ≤ Un ≤ 1 para cada n. Los Un son distribuciones uniformes en [0, 1]. Si Xi+p = Xi

llamamos periodo del generador al valor más pequeño de p.

Lema 1.3. El periodo de un generador congruencial lineal es m si y solo si (véase [3])

c y m son primos entre sí,

a ≡ 1(mód(d)) para todo d factor primo de m,

a ≡ 1(mód(4)) si m es múltiplo de 4.

Cuando c = 0 y m es un número primo la longitud del periodo es m − 1 si a satisface queak 6≡ 1 mod(m) para k = 1, 2, . . . ,m− 2. Un generador popular congruente lineal es

Xn+1 = 16807Xnmód(231 − 1) para n = 0, 1, 2, . . .

donde a = 75, c = 0 y m = 231 − 1 es un número primo de Mersenne.

Definición 1.17. Se dice que un número primo p es un número de Mersenne si es una unidadmenor que una potencia de 2, p = 2n − 1 n ∈ N.

Ahora asumimos que tenemos una sucesión Un de distribuciones uniformes en [0, 1] yademás suponemos que necesitamos una sucesión Yn que esta formada por distribucionesacordes a una distribución FY que no puede ser una distribución uniforme pero tiene que


ser monótona creciente. Una forma de calcular la sucesión Yn con la sucesión Un es fijarY = g(U) por una función g, notemos que g−1(Y ) = U . Para encontrar g−1 consideramos

FY (y) = P (g(U) ≤ y) = P (U ≤ g−1(y)) =∫ g−1(y)

01ds

= g−1(y) para 0 ≤ g−1(y) ≤ 1.

Si FY (y) =∫ y−∞ py(s)ds, entonces∫ Yn

−∞py(s)ds = Un para n = 1, 2, 3 . . .

se suele usar esta fórmula para calcular Yn ya que los Un son distribuciones uniformes pseudo-aleatorias.Para el método de Monte Carlo que veremos más adelante son necesarios números aleatoriosy aunque podemos crearles usaremos la implementación de Mathematica para ellos, ya quees más eficiente.

Ejemplo 1.9. Generación de números pseudo-aleatorios.Un par de ejemplos hechos con Mathematica para generar números pseudo-aleatorios me-diante el generador congruencial lineal son

n = Prime[10^6]; a = 10; c = 21;f[x_] = Mod[a*x + c, n]; NestList[f, 12, 50]

n = 101; a = 9; c = 2;f[x_] = Mod[a*x + c, n]; NestList[f, 12, 50]

Los dos comandos anteriores nos generan una lista de cincuenta números pseudo-aleatoriosempezando por el doce. Para conseguir distribuciones uniformes en [0, 1] solo tenemos quedividir cada número por n.

Ejemplo 1.10. Generación de números aleatorios distribuidos exponencialmente.Suponemos que necesitamos que la sucesión Yn esté formada por números aleatorios distri-buidos exponencialmente en [0,∞) entonces tenemos que asumir que la sucesión Un estaformada por números aleatorios distribuidos uniformemente en [0, 1]. En este caso la funciónde densidad es de la forma py(s) = e−s para s ≥ 0, como necesitamos encontrar Yn se tieneque ∫ Yn

0e−s = 1− e−Yn = Un para n = 1, 2, 3 . . . .

Por lo tanto Yn = − log(1− Un) para n = 1, 2, 3 . . .

1.6. MÉTODO DE MONTE CARLO 15

1.6. Método de Monte Carlo

El método de Monte Carlo es un método estadístico numérico, usado para aproximar expre-siones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método de Monte Carlofue creado por Nicholas Metropolis Constantino (1915-1999) y Stanislaw Ulam (1909-1986)(véase figuras 1.1 y 1.2). El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generadorsimple de números aleatorios.

Historia del método de Monte Carlo

El método de Monte Carlo surge formalmente en el año 1944, sin embargo, ya existíanprototipos y procesos anteriores que se basaban en los mismos principios.El empleo del método de Monte Carlo para fines de investigación comenzó con el desarrollo dela bomba atómica en la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos.Durante el desarrollo de este proyecto, los científicos Von Neumann (1903-1957) y Ulamperfeccionaron la técnica y la aplicaron a problemas de cálculo de difusión de neutronesen un material. Alrededor de 1970, los desarrollos teóricos en complejidad computacionalcomienzan a proveer mayor precisión y relación para el empleo del método Monte Carlo.Actualmente el método Monte Carlo a veces es usado para analizar problemas que no tienenun componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro determinista del problemase expresa como una distribución aleatoria y se simula dicha distribución. La simulaciónde Monte Carlo también fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver pormétodos analíticos (aquí es donde nos centraremos), para solucionar estas integrales se usaronnúmeros aleatorios. Posteriormente fue utilizado para cualquier esquema que emplee númerosaleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas.

Figura 1.1: Nicholas Metropolis Constantino Figura 1.2: Stanislaw Ulam


Cálculo de integrales por el método de Monte Carlo

Podemos estimar la integral de una función continua f con Monte Carlo, [9]. Esta integralpuede verse como el cálculo de la esperanza de la función f cuando se aplica a una variablealeatoria de distribución uniforme. Supongamos que el intervalo de integración es [0, 1] y seaX1, X2, . . . , Xn una muestra de variables aleatorias independientes con distribución uniformeen el intervalo [0, 1], entonces ∫ 1

0f(x) dx = E(f(X)),

con X una variable aleatoria uniforme en [0, 1].De esta manera, gracias a la ley de los Grandes Números esta integral se puede aproximarpor ∫ 1

0f(x) dx ≈ 1

n

n∑i=1

f(Xi)

Todo el problema se reduce a generar la muestra.Por otro lado, obsérvese que cualquier integral sobre el intervalo [a, b] se puede transformara una integral sobre el intervalo [0, 1] con el siguiente cambio de variable x = a+ (b− a)u∫ b

af(x) dx = (b− a)

∫ 1

0f(a+ (b+ a)u) du ≈ b− a

n

n∑i=1

f(a+ (b− a)Ui),

con Ui variables aleatorias uniformes en [0, 1].

Estimación del error

Sea X una variable aleatoria con función de distribución F , f una función continua y seaI = E(f(X)). Sea X1, X2, . . . , Xn una muestra de variables aleatorias independientes confunción de distribución F y denótese In = 1

n

∑ni=1 f(Xi). Si σ2 es la varianza de f(X) entonces

σ2

nes la varianza de In por ser las Xi variables aleatorias independientes.

Por el Teorema del Límite Central se sabe que para n grande, Zn = (I−In)σ√n

se comporta comouna variable aleatoria normal con media cero y varianza uno por lo que

P (|I − In| <λσ√n

) = P (|Zn| < λ) ≈ λΦ(λ)

con Φ(λ) = 12π

∫ λ0 e−x2/2 dx y λ se selecciona dependiendo de la probabilidad que se desee

obtener. Por ejemplo si se quiere obtener que la probabilidad sea 0.95 se selecciona λ como1.96. Por lo que el error que se comete al usar el método de Monte Carlo es aproximadamenteσ√n. Si σ ≈ 1, se requiere de n = 104 para tener al menos dos cifras significativas.

Este resultado permite establecer un intervalo de confianza de α%. Para ello se selecciona λdela forma que Φ(λ) = α

2 . De esta manera, con probabilidad α podemos asegurar que el valorexacto de la esperanza I está en el intervalo

[In −λσ√n, In + λσ√

n].


El problema para usar el resultado anterior es que hay que conocer el valor de la desviacióntípica de f(X). Lo que se hace en la práctica es estimarla por la varianza muestral. Con esteintervalo se determina el tamaño que se requiere que tenga n para tener la precisión deseada.Por ejemplo si se desea tener un intervalo de confianza del 95 % de longitud 10−2 se debeescoger n > 4(1.96)2σf104.

Error cuadrático medio

Desde el punto de vista estadístico el método de Monte Carlo genera un estimador insesgadoya que E(In) = I. Por otro lado, el error cuadrático medio se define como

E((I − In)2) = E(I − E(In))2 + Var(In).

Si se desea reducir el error cuadrático medio lo que hay que hacer es reducir σ o incrementarel tamaño n de la muestra de variables aleatorias. A veces el valor de n es tan grande que escostoso incrementar la muestra, por lo que se ha optado por generar métodos para reducir lavarianza; estos métodos se conocen con el nombre de reducción de varianza.

Ejemplo 1.11. Integral de Monte Carlo con Mathematica.En este ejemplo vamos a aproximar la integral

∫ 100 ecosx dx mediante el método de Monte

Carlo con la implementación que tiene Mathematica para el método y la nuestra, empecemospor la que tiene Mathematica:

NIntegrate[Exp[Cos[x]], x, 0, 10, Method -> "MonteCarlo",MaxPoints -> 1000]

NIntegrate::maxp: The integral failed to converge after 1100 integrand evaluations. NIntegrate obtained 11.998682409602875‘ and 0.25038535559323516‘ for the integral and error estimates. >>

11.9987

NIntegrate[Exp[Cos[x]], x, 0, 10, Method -> "MonteCarlo",MaxPoints -> 100000]

11.9804

ListPlot[Last[Reap[NIntegrate[Exp[Cos[x]], x, 0, 10, Method -> "MonteCarlo",

MaxPoints -> 1000,EvaluationMonitor :> Sow[x, Exp[Cos[x]]]]]], Filling -> 0,

AxesOrigin -> 0, 0] // Quiet


Nos damos cuenta de que si escogemos un n que genera un error grande Mathematica nosavisa. Además hemos pintado la solución gráficamente con LisPlot para ver como se vaaproximando aleatoriamente, ver figura 1.3.Ahora mostraremos un ejemplo para aproximar y dibujar integrales por Monte Carlo sin usarla implementación que tiene Mathematica de Monte Carlo:

f[x_] = E^(Cos[x]); a = 0; b = 10;MonteCarloIntegral[n0_] :=Module[i,n = n0;X = Table[Random[Real, a, b], i, 1, n];f1 = 1/n Sum[f[Part[X, i]], i, 1, n];v = (b - a);approx = v*f1;Return[n, approx ];]

MonteCarloIntegral[100000]

100000, 12.1103

MonteCarloDibujo[n0_] := Module[n = n0,MonteCarloIntegral[n];graph =Plot[f[x], x, a, b, PlotStyle -> Magenta];

Y = f[X];P = Map[Point, Transpose[X, Y]];dots = Graphics[Red, PointSize[0.01], P];L = Map[Line, Transpose[Transpose[X, 0 Y], Transpose[X, Y]]];lines = Graphics[Red, Thickness[0.005], L];Show[graph, dots, lines]]

La aproximación nos queda parecida a si la hacemos con el método de Monte Carlo que tieneya implementado Mathematica. En la figura 1.4 podemos ver la aproximación de la integraldibjuada con 100 puntos, ya que si usamos más puntos no se aprecian bien la distintasaproximaciones.

Ejemplo 1.12. Aproximación con Monte Carlo de π.Imaginamos un círculo de radio uno inscrito en un cuadrado y suponemos que el centrodel círculo tiene coordenadas (0, 0). Sabemos que el área de este círculo es π y el área del


2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Figura 1.3: Aproximación de ecosx con la im-plementación de Mathematica

2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Figura 1.4: Aproximación de ecosx con la im-plementación nuestra

cuadrado es 4. Llamamos ρ al cociente del área del círculo con el área del cuadrado, ρ =0.7853981633974483 (con 16 dígitos).Una forma de aproximar π es coger puntos dentro del cuadrado y contar cuantos de estos estándentro del círculo. Suponemos que escogemos el siguiente conjunto de puntos (−1+ 2i−1

32 ,−1+2j−1

32 )32 32i=1 j=1 de los cuales 812 están dentro del círculo y 212 están fuera. El porcentaje de

puntos dentro del circulo es ρ = 8121024 = 0.79296875. Por lo tanto el área aproximada del

circulo esárea del cícurlo ≈ 4 ∗ ρ = 4 ∗ 0.79296875 = 3.171875.

Y como el círculo es de radio uno esto también es la aproximación de π.Vamos a hacer una simulación de Monte Carlo para aproximar el valor de π cogiendo n

puntos aleatorios (xi, yi)ni=1 dentro del cuadrado unidad y calculando ρ = mndónde m es el

número de puntos que satisfacen x2i + y2

i ≤ 1. Para ello nos ayudaremos de Mathematica:

MonteCarloPi[n0_] := Module[d, i,n = n0;Pin = Pout = ;For[i = 1, i <= n, i++,X = Random[];Y = Random[];d = X^2 + Y^2;If[d <= 1, Pin = Append[Pin, X, Y],

Pout = Append[Pout, X, Y];];];m = Length[Pin];k = Length[Pout];\[Rho] = m/n;approx = \[Rho]*4.0;Return[approx];];


MonteCarloPiConDibujo[n0_] := Module[,MonteCarloPi[n0];Pin = Map[Point, Pin];DOTSin = Graphics[Red, PointSize[0.02], Pin];Pout = Map[Point, Pout];DOTSout = Graphics[Green, PointSize[0.02], Pout];circle =Graphics[Blue, Thickness[0.01], Circle[0, 0, 1, 0, Pi/2]];

line = Graphics[Line[1, 0, 1, 1, 0, 1]];Print["La aproximación de \[Pi] es ", approx];Show[DOTSin, DOTSout, circle, line, Axes -> True,Ticks -> Range[0, 1, 0.5], Range[0, 1, 0.5], AspectRatio -> 1]]

MonteCarloPiConDibujo[1000]

La aproximación de \[Pi] es 3.176

Y la aproximación de π que hallamos con nuestro programa es 3.176.

Nota 1.4. La función MonteCarloPiConDibujo también nos dibuja la sección del circulodonde escogemos los puntos para calcular la aproximación como se puede ver en las figuras1.5 y 1.6.

0.5 1.

0.5

1.

Figura 1.5: Aproximación de π con 100 puntos

0.5 1.

0.5

1.

Figura 1.6: Aproximación de π con 1000 puntos


Ejemplo 1.13. Estimación mediante Monte Carlo de la distancia media entre dos puntos.En este ejemplo estudiamos la estimación de la distancia media entre dos puntos aleatoriosen el intervalo [0, 1] y la de distancia de dos puntos aleatorios en el cuadrado [0, 1] × [0, 1].Podemos plantear cada uno de estos problemas con integrales. En el primer caso

I =∫ 1

0

∫ 1

0|x1 − x2| dx1 dx2

es la distancia media entre dos puntos aleatorios elegidos en el intervalo [0, 1], mientras queen el segundo caso

J =∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 dx1 dx2 dy1 dy2

que es la distancia media entre dos puntos aleatorios en [0, 1]×[0, 1]. La estimación por MonteCarlo de estos valores se calcula usando las sumas

In = 1n

n∑i=1|x1,i − x2,i|

donde x1,i, x2,i son distribuciones uniformes en [0, 1] y

Jn = 1n

n∑i=1

√(x1,i − x2,i)2 + (y1,i − y2,i)2

donde x1,i, x2,i, y1,i, y2,i son distribuciones uniformes en [0, 1]. Las integrales múltiples son tanfáciles de calcular por Monte Carlo como las integrales simples, ya que una integral múltiplesolo involucra una suma. Además el error es proporcional a 1√

nen ambos casos, como hemos

visto antes. Una forma de programar el ejemplo con Mathematica sería

nrum = 1000000; arum = nrum; s1 = N[0, 8]; s2 = N[0, 8];For[i = 1, i <= nrum, i++,x1 = N[RandomVariate[UniformDistribution[]], 8];x2 = N[RandomVariate[UniformDistribution[]], 8]; f = Abs[x1 - x2];s1 = s1 + f/arum; s2 = s2 + (f^2)/arum]

sd = Sqrt[s2 - s1^2];Print["n = ", nrum, " s1 = ", s1 , " s2 = ", s2 , " sd = ", sd

n = 1000000 s1 = 0.333285 s2 = 0.166544 sd = 0.235511

s1 = N[0, 8]; s2 = N[0, 8];For[i = 1, i <= nrum, i++,x1 = N[RandomVariate[UniformDistribution[]], 8];x2 = N[RandomVariate[UniformDistribution[]], 8];y1 = N[RandomVariate[UniformDistribution[]], 8];


y2 = N[RandomVariate[UniformDistribution[]], 8];f = Sqrt[(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2]; s1 = s1 + f/arum;s2 = s2 + (f^2)/arum]

sd = Sqrt[s2 - s1^2];Print["n = ", nrum, " s1 = ", s1 , " s2 = ", s2 , " sd = ", sd]

n = 1000000 s1 = 0.521155 s2 = 0.332928 sd = 0.247641

Para generar las distribuciones uniformes hemos usado programas implementados en Mathe-matica. Usando un millón de ejemplos, es decir n = 106, In = 0.3332928 y Jn = 0.521155.Para la comparación los valores exactos para I y J con cinco cifras significativas son 0.33333y 0.52141 respectivamente.

Nota 1.5. Notemos que en el código anterior de Mathematica sd es la desviación típica dedos puntos aleatorias elegidos en el intervalo [0, 1].

Ejemplo 1.14. Estimación de la longitud media de un conjunto.Este ejemplo muestra la flexibilidad de las técnicas de Monte Carlo. Sea

S = 000, 001, 002, . . . , 999

el conjunto los números de tres dígitos. En este ejemplo, vamos a seleccionar conjuntosaleatorios de S pero con con ciertas propiedades. En particular, para cada conjunto B ⊂ S

se selecciona aleatoriamente de tal manera que los elementos de B difieren cada uno del otroen al menos dos dígitos. Además, el conjunto B se construye tan grande como sea posiblede modo que para cualquier x ∈ Bc hay un y ∈ B de tal forma que x e y tienen dosdígitos iguales. Sea Ω = B1, B2, B3, . . . , BN con N = 1016 (el número total de posiblesconjuntos con estas propiedades es más elevado), una colección de conjuntos seleccionadosaleatoriamente con las propiedades explicadas anteriormente. Definimos la variable aleatoriaX en Ω de manera que X(B) es igual al número de elementos en el conjunto B, de formaque X : Ω → [50, 100] (podemos ver esta demostración en [2]). Definimos la medida deprobabilidad P por P (Bi) = 1

Npara i = 1, 2, . . . , N ; es interesante estimar el número medio

de elementos en los conjuntos B ∈ Ω, es decir, E(X) = 1N

∑Ni=1X(Bi). Como N es muy grande

no podemos computar todos los conjuntos de Ω. Por lo tanto E(X) puede ser estimado usandoque E(X) ≈ 1

M

∑Mi=1X(Bi) para M < N . El código de Mathematica usado para hallar la

aproximación es el siguiente:

A = Flatten[Table[i, j, k, i, 0, 9, j, 0, 9, k, 0, 9], 2];

B := RandomInteger[1, 1000, 100];


sepuedeponer[vec_, mat_, cont_] :=Module[v = vec, m = mat, c = cont, inic = 0, cot = inic;For[t = 1, t <= c && cot <= 1, t++, cot = 0;For[n = 1, n <= 3, n++,If[Part[v, n] == Part[m, t, n], cot = cot + 1]]]; Return[cot];];

sum = 1; cont1 = 0; cont3 = 0; cuadrado = 0; For[i = 1, i <= 10000, i++,W = ConstantArray[as, 100, 3]; a = Part[B, i]; b = Part[A, a];

Part[W, 1] = b; cont2 = 1; cont4 = 0;For[j = RandomInteger[1, 1000], cont2 < 2, j++,For[t = 1, t <= 3, t++,

If[Part[A, j, t] == Part[W, 1, t], cont1 = cont1 + 1]] If[cont1 < 2, cont2 = cont2 + 1; Part[W, cont2] = Part[A, j];];

cont1 = 0];For[j = 1, j <= 500, j++,If[sepuedeponer[Part[A, j], W, cont2] < 2, cont2 = cont2 + 1;Part[W, cont2] = Part[A, j]]];

For[j = 1000, j > 500, j--,If[sepuedeponer[Part[A, j], W, cont2] < 2, cont2 = cont2 + 1;Part[W, cont2] = Part[A, j]]];

For[t = 1, t <= 100, t++,If[Part[W, t, 1] != "as", cont3 = cont3 + 1; cont4 = cont4 + 1]];

cuadrado = cuadrado + cont4^2]; media =N[cont3/10000,2]; Print["E(X) = ", media]; Print["Var(X) = ",N[cuadrado/10000,2] - media^2]

E(X) = 87.35Var(X) = 2.65

Como vemos computando M = 1000 conjuntos, E(X) y Var(X) es estimado como E(X) =8.75 y Var(X) = 2.65.

Ejemplo 1.15. Error del método y error estadístico en la estimación de Monte Carlo.Este ejemplo ilustra los dos tipos de error involucrados en la estimación de integrales esto-cásticas o en la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas. Sea

IN =N∑i=1

i− 1N3/2ηi

, donde ηi ∼ N(0, 1) para cada i.

Se tiene que E(I2N) → E(I2) = 1

3 cuando N → ∞. Sin embargo E(I2N) puede ser calculado


Tabla 1.1: Estimaciones de E(I2) para el ejemplo 1.15

Valor de M N = 101 N = 102 N = 103

101 0.415569 0.260003 0.281216102 0.287986 0.323847 0.375468103 0.269821 0.322794 0.330602104 0.281819 0.332764 0.330221105 0.286986 0.328806 0.333478

exactamente como

E(I2N) =

N∑i=1

(i− 1)2

N3 = 1N3 (2N3 − 3N2 +N

6 ) = N(N − 1)(2N − 1)6N3 = 1

3 −1

2N + 16N2 .

Por lo tanto el método del error en está aproximación es

E(I2)− E(I2N) = 1

2N −1

6N2

que es cero cuandoN tiende a infinito. El error del método se debe a usarN subintervalos en laaproximación de la integral estocástica. También, hay un error estadístico en la aproximaciónde E(I2) por E(I2

N) que es debido a usar un número finito de muestrasM para estimar E(I2N).

Supongamos por lo tanto que IN,m, para m = 1, 2, . . . ,M son M muestras de IN usando losnúmeros aleatorios ηi,m para 1 ≤ i ≤ N , 1 ≤ m ≤M . Así que

IN,m =N∑i=1

i− 1N3/2 ηi,m, donde ηi,m ∼ N(0, 1).

EntoncesE(I2

N) ≈ 1M

M∑m=1

(IN,m)2 = 1M

M∑m=1

(N∑i=1

i− 1N3/2 ηi,m)2,

donde hay un error estadístico proporcional a 1/√M en la estimación de E(I2

N). Por lo tantocuando estimamos E(I2) usando ∑M

m=1(IN,m)2/M existen dos errores, uno es el error estadís-tico que es proporcional a 1/

√M donde M es el número de muestras. Notemos que cuando

M → ∞ la aproximación puede no ser satisfactoria si el valor de N no es suficientementegrande. Observemos los diferentes valores de E(I2

N) que están en la tabla 1.1. Estos cálculosestán hechos en Mathematica con el siguiente programa:

aproximación[M_, N_] :=Module[m = M, n = N, sum1 = 0, sum2 = 0,For[j = 1, j <= m, j++, sum1 = (sum2^2)/(n^3) + sum1; sum2 = 0;For[i = 1, i <= n, i++,sum2 = sum2 + (i - 1)*RandomVariate[NormalDistribution[]]]];

Return[Print["E[I^2]= ", sum1/m]]]


Recordemos que E(I2) = 1/3 exactamente. Observemos que cuando M aumenta, el errorestadístico disminuye y el error total se acerca al error del método. Para N grande el errorque se produce es debido principalmente al error estadístico que puede ser alto para pequeñostamaños de muestra, es decir, valores pequeños de M . La primera columna (N = 10) en latabla da valores con error del método grande. La primera fila (M = 10) da valores con errorestadístico grande. Este ejemplo muestra que para obtener valores que se asemejen al real elerror del método y el error estadístico deben ser pequeños.

Capítulo 2

Procesos estocásticos

2.1. Introducción

La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas queevolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no determinísticas,es decir, de carácter aleatorio.La fórmula habitual de describir la evolución del sistema es mediante sucesiones o conjuntosde variables aleatorias. De esta manera se puede estudiar cómo evoluciona una variable alea-toria a lo largo del tiempo. Por ejemplo, el número de personas que espera en una ventanillaen un banco en un instante t de tiempo; el precio de las acciones de una empresa a lo largode un año, etc.La primera idea básica es identificar un proceso estocástico con una sucesión de variablesaleatorias X(t) : t ∈ T donde la variable t indica el instante de tiempo o espacio correspon-diente. Esta idea se puede generalizar fácilmente, permitiendo que los instantes de tiempoen los que se definen las variables aleatorias sean continuos. Así, se podrá hablar de unacolección o familia de variables aleatorias X(t) : t ∈ R, que da una idea más exacta de losque es un proceso estocático (véase [3]).

Definición 2.1. Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias X(t) : t ∈ T,con T ⊆ R, definidas en un espacio de probabilidad (Ω,F , P ) y relacionadas por un parámetrot donde t varía en el conjunto T .

Nota 2.1. Normalmente el parámetro t juega el papel del tiempo.

Ejemplo 2.1. Algunos ejemplos de variables aleatorias en procesos estocásticos pueden serlos siguientes:

X(t): número de personas que esperan un autobús en un instante t.

X(t): precio de una acción de una empresa en un día t del mes (t = 1, 2, . . . , 30).

27

28 CAPÍTULO 2. PROCESOS ESTOCÁSTICOS

X(t): número de parados en el mes t (t = 1, 2, . . . , 12).

Para que un proceso estocástico esté completamente definido hay que determinar las variablesaleatorias, es decir, determinar e identificar la distribución de probabilidad asociada a cadauna de ellas y, es más, la distribución conjunta de todas ellas.

Definición 2.2. Al conjunto T ⊆ R se le denomina conjunto paramétrico y puede sercontinuo o numerable.

Definición 2.3. Se denomina conjunto de estados E, al conjunto de los posibles valores quepueden tomar las variables aleatorias X(t)t∈T .

Por tanto, dependiendo de como sea el conjunto T y el tipo de variable aleatoria X(t) sepuede establecer la siguiente clasificación de los procesos estocásticos:

Si el conjunto T , es continuo, por ejemplo R+, diremos que X(t) es un proceso estocás-tico de parámetro continuo.

Si por el contrario T es discreto, por ejemplo N, diremos que nos encontramos frente aun proceso estocástico de parámetro discreto.

Si para cada instante t la variable aleatoria X(t) es de tipo continuo, diremos que elproceso estocástico es de estado continuo.

Si para cada instante t la variable aleatoria X(t) es de tipo discreto, diremos que elproceso estocástico es de estado discreto.

Definición 2.4. Una cadena es un proceso estocástico en el cual el tiempo se mueve en formadiscreta y la variable aleatoria solo toma valores discretos en el espacio de estados.

Ejemplo 2.2. Cadena.Se lanza una moneda varias veces y suponemos que cada vez que sale cara, un jugador ganauna moneda y si sale cruz pierde una moneda. Podemos definir un proceso estocástico quemodeliza la evolución del juego. Así, si X(n) = Xn es el número de unidades monetarias quele quedan al jugador después de n lanzamientos, el espacio muestral de Xn es

Ω = n-tuplas de caras y cruces

de modo que el número de elementos de Ω es 2n.Suponemos que tanto la probabilidad de obtener cara como la de obtener cruz es la misma,1/2.Vemos que es un proceso discreto donde el conjunto paramétrico es T = 1, 2, . . . , n y elposible conjunto de estados es

E = −n,−n+ 1, . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . , n− 1, n.

2.1. INTRODUCCIÓN 29

Si n = 6 y fijamos por ejemplo ω = (cara, cara, cruz, cruz, cruz, cruz) tenemos que

X1(ω) = 1 X2(ω) = 2 X3(ω) = 1X4(ω) = 0 X5(ω) = −1 X6(ω) = −2.

Ahora si fijamos t, por ejemplo en t = 3, se puede calcular la distribución de X3. El conjuntode posibles estados de X3 es:

0

−1

−2

−1 −3

0

−1 1

1

2

1 3

0

−1 1de modo que E = −3,−1, 1, 3 y

PX3 = −3 = 123 = 1

8PX3 = −1 = 3

23 = 38

PX3 = 1 = 323 = 3

8PX3 = 3 = 1

23 = 18 .

Podemos definir una nueva variable aleatoria en este caso (t = 3):

Y ≡ número de caras obtenidas (éxitos).

Se puede observar que nuestra nueva variable aleatoria Y es igual a una distribución binomial

Y ∼ B(3, p = 12),

por lo tanto X3 se distribuye como una B(3, p = 12). Por lo que hemos identificado un proceso

estocástico. Podemos ver este ejemplo más estudiado en el ejemplo 2.4.

Definición 2.5. Un proceso de saltos puros es un proceso estocástico en el cual los cambiosde estados ocurren de forma aislada y aleatoria pero la variable aleatoria solo toma valoresdiscretos en el espacio de estados.

Para el caso de los procesos de saltos puros se puede considerar como ejemplo la funciónindicatriz, definida en la ecuación (1.2).Vemos que en la función indicatriz solo hay dos posibles estados 0 y el 1, y si escogemos elconjunto A aleatoria vemos que podemos pasar de un estado a otro en cualquier punto. Lafigura 2.1 muestra un ejemplo de esta función.


1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 2.1: Función indicatriz.

2.2. Procesos de estado discretoEn el caso de procesos estocásticos con espacio de estados discretos, una secuencia de variablesque indique el valor del proceso en instantes sucesivos suele representarse de la siguientemanera (X(t0) = X0):

X0 = x0, X1 = x1, . . . , Xn−1 = xn−1, Xn = xn

en la que cada variable Xi, i = 0, . . . , n, tiene una distribución de probabilidad que, engeneral, es distinta de las otras variables pero podría tener características comunes.El principal interés del estudio a realizar en el caso discreto es el cálculo de probabilidadesde ocupación de cada estado a partir de las propiedades de cambio de estado. Si en elinstante n − 1 se está en el estado xn−1, con qué probabilidad se estará en el estado xn.Está probabilidad se denotará como

P (Xn = xn|Xn−1 = xn−1)

A este tipo de probabilidad condicionada se le denomina probabilidad de transición o decambio de estado. A las probabilidades del tipo P (Xn = xn) se les denominan probabilidadesde ocupación de estado.Otro tipo de probabilidades de interés es de ocupar un cierto estado en el instante n, dadoque en todos los instantes anteriores, desde n = 0 hasta n−1, sé conoce en que estado estuvoel proceso. Esto se puede definir como:

P (Xn = xn|X0 = x0, X1 = x1, . . . , Xn−1 = xn−1).

Nótese que esta probabilidad depende de todo el proceso anterior, mientras que la probabi-lidad de transición depende únicamente del estado actual que ocupe el proceso.

2.2. PROCESOS DE ESTADO DISCRETO 31

Se dice que un proceso cumple la propiedad de Markov cuando todo la historia pasada delproceso se puede resumir en la posición actual que ocupa el proceso para poder calcular laprobabilidad de cambiar a otro estado, es decir

P (Xn = xn|X0 = x0, X1 = x1, . . . , Xn−1) = P (Xn = xn|Xn−1 = xn−1).

Aquellas cadenas que cumplen la propiedad de Markov se llaman cadenas de Markov. Otramanera de denotar a las probabilidades de transición es de la forma siguiente

P (Xn = j|Xn−1 = i) = pij(n).

Una propiedad interesante que puede tener una cadena es que los valores pij(n) no dependandel valor de n. Es decir, las probabilidades de cambiar de estado son las mismas en cualquierinstante. Esta propiedad indica que las probabilidades de transición son estacionarias.

Cadenas de Markov

Ya hemos definido antes las cadenas de Markov ahora notemos que las probabilidades de tran-sición suelen disponerse en forma de matriz cuadrada, encabezada cada fila y cada columnacon el estado correspondiente, tal y como se recoge a continuación (véase [7]):

E1 E2 . . . Em

E1 p11 p12 . . . p1m

E2 p21 p22 . . . p2m... ... ... ... ...Em pm1 pm2 . . . pmm

A la matriz anterior se le suele llamar matriz de transición. Puesto que los elementos dela fila i-ésima representan las probabilidades de pasar del estado Ei al resto de los posiblesestados, la suma de todos ellos vale 1, pues corresponde a la probabilidad del suceso seguro.La matriz de transición de una cadena de Markov es un caso particular de matrices denomi-nadas estocásticas. Una matriz estocástica es una matriz (no necesariamente cuadrada) cuyoselementos son no negativos y cumplen que la suma de los elementos de cada fila es igual a 1.Algunas propiedades de las matrices estocásticasA continuación presentamos las siguientes propiedades que podrán ser de utilidad:

Si A y B son dos matrices estocásticas para las que está definido el producto AB,entonces dicho producto es también una matriz estocástica.

Si A es una matriz cuadrada estocástica, entonces un valor propio de la matriz es iguala 1.


Si A es una matriz cuadrada estocástica con todos sus elementos positivos, entonces lasucesión de matrices An, n = 1, 2, . . . converge hacia una matriz U que tiene todas susfilas iguales a un vector u, que es el único vector fila propio estocástico de la matriz Acorrespondiente al valor propio 1, esto es, solución de la ecuación u(A− I) = 0.

Nota 2.2. La hipótesis de que sean positivos todos los elementos de A en la tercera propiedaddescrita es esencial, ya que de no ser así la sucesión de sus potencias no converge hacia unamatriz con todas sus filas iguales.

Uno de los problemas asociados con las cadenas de Markov es el siguiente: dado que la cadenase halla inicialmente en el estado Ei (P (X0) = i), ¿cuál será la probabilidad de que se halleen el estado Ej después de n pasos? La respuesta para n = 1 es clara: la probabilidad detransición pij. Para calcularla cuando n = 2 la respuesta no es tan sencilla, la probabilidadde pasar del estado Ei al Ej en dos pasos, probabilidad a la que denotaremos p(2)

ij es la sumade las probabilidades de pasar de Ei a Ek y de Ek a Ej cuando k varía desde 1 hasta m, esdecir,

p(2)ij =

m∑k=1

pikpkj

y la expresión anterior muestra que p(2)ij es el elemento de la fila i y de la columna j de la

matriz A2. Por lo tanto la probabilidad de pasar en n pasos del estado Ei al Ej, pnij, es elelemento (ij) de la matriz An.Si se parte del sistema en un determinado estado, digamos el Ei, se puede representar dichohecho diciendo que le instante inicial se está con probabilidad 1 en Ei y con probabilidad0 en cada uno de los restantes estados, lo que sugiere introducir un vector estocástico m-dimensional cuyas componentes son funciones de la variable natural n = 0, 1, 2, 3, . . .

x(n) = (x1(n), x2(n), . . . , xm(n))

de forma que xi(0) = 1, xj(0) = 0 para j 6= i, y xk(n) es la probabilidad de que en elpaso n el sistema se encuentre en el estado Ek, k = 1, 2, . . . ,m. Es claro que el vectorcorrespondiente a n = 1 es justamente la fila i-ésima de la matriz A, que no es otra cosasino el producto del vector (0, 0, . . . , 0, 1(i), 0, . . . , 0) por la matriz de transición A, es decir,el vector (pi1, pi2, . . . , pim), formado por las probabilidades de transición desde el estado Ei acada uno de los estados. Así pues,

(x1(1), x2(1), . . . , xm(1)) = (0, 0, . . . , 0, 1(i), 0, . . . , 0)A

y, en general,(x1(n), x2(n), . . . , xm(n)) = (0, 0, . . . , 0, 1(i), 0, . . . , 0)An

lo que también puede expresarse así:

(x1(n+ 1), x2(n+ 1), . . . , xm(n+ 1)) = (x1(n), x2(n), . . . , xm(n))A, n = 0, 1, 2, . . .


o, en forma más compacta,x(n+ 1) = x(n)A.

Esta última expresión permite ver que las ecuaciones planteadas al intentar estudiar la evo-lución de una cadena de Markov constituyen un sistema de ecuaciones en diferencias, si biencon unas restricciones derivadas del hecho de que tanto la matriz A como el vector x(n) sonmatrices estocásticas. Esto supone, por ejemplo, que el vector nulo, que obviamente es unpunto de equilibrio del sistema de ecuaciones en diferencias, no debe ser considerado en estecontexto.Una cadena de Markov se llama regular si existe un número natural n tal que la potencian-ésima de su matriz de transición tiene todos sus elementos positivos, en cuyo caso todaslas potencias de la matriz de exponente mayor que n también tienen todos sus elementos po-sitivos. El estudio de la evolución de una cadena de Markov regular resulta particularmentesimple.

Ejemplo 2.3. Cadena de Markov regular.Una sala de cine burgalesa decide programar semanalmente las películas siguiendo el siguientemétodo: si en una semana se proyectó una norteamericana, a la semana siguiente se progra-mará, dos de cada tres veces, una española, y una de cada tres veces, una francesa. Si lapelícula programada fue francesa, la semana siguiente será norteamericana, francesa o es-pañola con iguales probabilidades para cada una. Finalmente, si la película programada fueespañola, la semana siguiente se programará española una de cada tres veces y norteamerica-na dos de cada tres veces. Después de seguir este esquema durante un año ¿se habrá cumplidocon la cuota de pantalla que exige programar al menos un 25 % de películas de producciónnacional?Tal como está planteada la programación, nos encontramos frente a una cadena de Markovcon tres estados a los que denotaremos E,F y N -correspondiente a la nacionalidad de lapelícula programada, (E)spañola, (F)rancesa o (N)orteamericana- y matriz de transición:

M =

E F N

E 1/3 0 2/3F 1/3 1/3 1/3N 2/3 1/3 0

Aunque la matriz no tiene todos los elementos positivos, su cuadrado, que es la matriz

5/9 2/9 2/94/9 2/9 1/31/3 1/9 5/9

sí que los tiene, por lo que la cadena de Markov es regular y se puede aplicar la tercerapropiedad citada anteriormente. Las sucesivas potencias de la matriz de Markov convergen


hacia una matriz con todas sus filas iguales, fila que no es otra que le único vector fila propioestocástico de dicha matriz correspodiente al valor propio 1. Para calcularlo resolvemos elsistema de ecuaciones:

[u1, u2, u3]

1/3− 1 0 2/3

1/3 1/3− 1 1/32/3 1/3 −1

= [0, 0, 0].

Si tomamos u3 como parámetro obtenemos las siguientes soluciones

u1 = 5t4 , u2 = t

2 u3 = t

de forma que, tomando t > 0 y dividiendo cada una de las tres componentes por la suma detodas ellas obtenemos el vector propio estocástico

u = [5/11, 2/11, 4/11]

y la matriz límite buscada es: 5/11 2/11 4/115/11 2/11 4/115/11 2/11 4/11

.Del examen de la misma se desprende que, en promedio, se habrán proyectado en el año 5 pelí-culas españolas de cada 11, lo que equivale alago más de un 45 % cumpliéndose sobradamentelas cuotas de pantalla.

Cadenas de Markov absorbentes Si en una cadena de Markov es imposible abandonarun estado una vez que se ha llegado a él, se dice que dicho estado es absorbente. Ello obligaa que si el estado absorbente es el E1, las probabilidades de transición verifiquen:

p11 = 1, p1i = 0, i 6= 1.

Una cadena de Markov puede tener más de un estado absorbente. Siempre es posible, re-nombrándolos si es necesario, lograr que los estados absorbentes sean los primeros en la listade estados que tiene la cadena. Al resto de estados, que no son absorbentes se les denominatransitorios. Nótese que todos los estados de una cadena de Markov regular son transitorios.Una cadena de Markov se dice que es absorbente si tiene al menos un estado absorbente ydesde cualquier estado es posible alcanzar un estado absorbente en un número finito de pasos.Los principales problemas que se plantean al considerar la evolución de una cadena de Markovabsorbente son:

Si se empieza en un estado transitorio determinado ¿cuál es la probabilidad de terminaren un estado absorbente prefijado?


¿Cuántas veces, por término medio, se pasará por estados transitorios antes de terminaren un estado absorbente?

¿Cuántas veces, por término medio, se pasará por un estado transitorio determinado sise comienza el proceso en otro estado transitorio (que puede ser el mismo)?

Para contestar a estas preguntas, comencemos escribiendo la matriz de transición de la cadenade Markov absorbente colocando en primer lugar los estados absorbentes. En el caso de queexistan r estados absorbentes entre el total de m estados, la matriz de transición será

1 0 . . . 0 0 . . . 00 1 . . . 0 0 . . . 0... ... . . .

... ... . . ....

0 0 . . . 1 0 . . . 0pr+1,1 pr+1,2 . . . pr+1,r pr+1,r+1 . . . pr+1,m

... ... . . .... ... . . .

...pm1 pm2 . . . pmr pm,r+1 . . . pmm

Como se ve, la matriz de transición en este caso está formada por cuatro bloques biendiferenciados Ir O

B A

El primero, Ir, es la matriz cuadrada unidad de dimensión r. La submatriz O es la matriz nulade r filas y m− r columnas. La submatriz B tiene m− r filas y r columnas y no puede ser lamatriz nula, pues algún elemento de la misma tiene que ser igual a la probabilidad de pasarde uno de los estados transitorios Er+1, . . . , Em a algún estado absorbente E1, E2, . . . , Er.Por consiguiente, todos sus elementos son no negativos, menores que 1 y al menos uno no espositivo. Finalmente, la subamtriz A es cuadrada de dimensión m− r, y todos sus elementosson no negativos y menores que 1.Si se denota por I la matriz unidad de dimensión m− r se tiene el siguiente teorema (que nodemostraremos, véase [7]).

Teorema 2.1. La matriz I − A admite inversa y además si se define

X = (I − A)−1, Z = XB

se tiene que

El elemento xij de X nos da el promedio de veces que el proceso de Markov pasa por elestado Ej si comenzó en el Ei.


La suma de los elementos de la fila i de X,m−r∑j=1

xij

nos da el promedio de pasos que necesita el proceso para alcanzar un estado absorbentepartiendo del estado transitorio Ei.

El elemento zij de Z nos da la probabilidad de terminar en el estado absorbente Ejpartiendo del estado transitorio Ei.

Por lo tanto quedan contestadas las preguntas que nos hacíamos anteriormente.

Ejemplo 2.4. Cadena de Markov absorbente.Dos jugadores J1 y J2, cada uno con la misma cantidad de monedas de igual valor, decidenjugar una serie de partidas a cara y cruz, conviniendo que si sale cara el jugador J1 pagaráuna moneda a J2, y si sale cruz recibirá una moneda de J2, continuando el juego de estaforma hasta que uno de ellos se arruine. ¿Nos hallamos ante un proceso de Markov?, ¿sepuede calificar la correspondiente cadena de Markov de absorbente?Obviamente nos basta considerar la evolución de la cantidad de monedas que tenga J1, puesese dato determina lo que tiene J2 en cada etapa del juego. Si, inicialmente cada jugador poseen monedas, consideremos marcados sobre la semirrecta real positiva los puntos de abscisa0, 1, 2, . . . , 2n. Puesto que J1 posee n monedas, imaginemos que lo colocamos en el punto deabscisa n. Ahora, J1 juega la primera partida y tiene una probabilidad igual a 1/2 de ganaro perder. Si pierde, entrega una moneda y tendrá n−1, por lo que lo desplazaremos al puntoque tiene dicha abscisa, si gana se encontrará con n + 1 monedas, y lo imaginaremos en elpuntos de abscisa n+ 1.Si J1 alcanza el punto de abscisa 2n el juego termina con la ruina de J2, si por el contrario,alcanza el punto 0, J1 se arruina. Estamos en presencia de un proceso de 2n + 1 estados,E0, E1, . . . , E2n, correspondientes a cada de uno de los puntos en que puede hallarse el jugadorJ1. Estamos por lo tanto ante una cadena de Markov absorbente, con dos estados absorbentesE0 y E2n y los demás transitorios.Por fijar ideas, si tomamos n = 3 la matriz de transición, una vez colocados los estadosabsorbentes E0 y E6 en las dos primeras posiciones, es:

1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0

1/2 0 0 1/2 0 0 00 0 1/2 0 1/2 0 00 0 0 1/2 0 1/2 00 0 0 0 1/2 0 1/20 1/2 0 0 0 1/2 0


Las matrices X = (I − A)−1 y Z = XB son

X =

5/3 4/3 1 2/3 1/34/3 8/3 2 4/3 2/31 2 3 2 1

2/3 4/3 2 8/3 4/31/3 2/3 1 4/3 5/3

, Z =

5/6 1/32/3 1/31/2 1/21/3 2/31/6 5/6

.

Del examen de X se desprende que, en promedio, el número de tiradas necesarias para acabarla partida si los dos jugadores comienzan con tres monedas cada uno es nueve, que es la sumade los elementos de la tercera fila de la matriz. Si uno hubiera comenzado con cuatro monedasy el otro con dos, el promedio del número de jugadas hasta finalizar es ocho, reduciendo acinco si un jugador empieza con una moneda y el otro con cinco. La matriz Z, por otra partenos informa de que las probabilidades de ganar de cada uno de los jugadores son igualessi ambos empiezan con el mismo número de monedas. Si uno comienza con dos y otro concuatro, este segundo tiene el doble de probabilidad de ganar que el otro, como vemos en lacuarta fila de la matriz.

Procesos de saltos puros

En este caso, el proceso sigue siendo discreto en estados pero la gran diferencia es que loscambios de estado ocurren en cualquier instante en el tiempo (tiempo continuo). Hemosapuntado anteriormente que un ejemplo típico de procesos de saltos puros es la funciónindicatriz. Otros ejemplos de procesos de saltos puros son los siguientes:

Definición 2.6. Un proceso estocástico en tiempo continuo X(t), t ≥ 0 se dice que es unproceso de conteo si representa el número de veces que ocurre un suceso hasta el instante detiempo t.

En particular, se tiene que X(t) ∈ N, y X(s) ≤ X(t) ∀s < t.

Definición 2.7. Un proceso de conteo se dice que es un proceso de Poisson homogéneo deintensidad (o tasa) λ > 0, si:

X(0) = 0.

X(t1)−X(t0), X(t2)−X(t1), . . . , X(tn)−X(tn− 1) son variables aleatorias indepen-dientes (proceso de incrementos independientes).

X(t + s) −X(s) es el número de sucesos que ocurren entre el instante s y el instantet+ s y además sigue una distribución de Poisson de parámetro λt


El proceso de Poisson se utiliza básicamente para modelar los llamados procesos de colas. Enellos se pueden incluir muchos procesos: coches que llegan al peaje de una autopista, clientesque llegan a un banco, peticiones que llegan a un servidor de Internet, llamadas que pasanpor una centralita, etc.Tiene algunas características fundamentales:

Para cada instante t, X(t) seguirá una distribución de Poisson de parámetro λt.

Las diferencias entre los tiempos de llegadas consecutivas siguen una distribución expo-nencial de parámetro λ, es decir, X(i+ 1)−X(i) siguen una exponencial de parámetroλ.

Ejemplo 2.5. Proceso de Poisson con intensidad λ.Sea X(t) igual al número de observaciones en el tiempo t. Asumimos que la probabilidad deuna observación en el intervalo de tiempo ∆t es igual a λ∆t + o(∆t). Haciendo referecniaal ejemplo 1.3 es claro que esto es un proceso estocástico continuo y la probabilidad de nobservaciones en un tiempo t es

P (X(t) = n) = Pn(t) = e−λt(λt)nn! .

El proceso X(t) es un proceso estocástico de parámetro continuo y de estado discreto. Espe-cíficamente, X(t) es un proceso de Poisson con intensidad λ > 0. Notemos que X(0) = 0 yel número de observaciones en cualquier tiempo t es una distribución de Poisson con mediaλt. Es decir, para cualquier λ ≥ 0

P (X(t+ s)−X(s) = n) = e−λt(λt)nn! .

Ciertamente, el proceso es un proceso de Markov y

P (X(t+ ∆t) ≤ m+ ∆m|X(t) = m) =∆m∑l=0

e−λ∆t (λ∆t)ll!

y la distribución de probabilidad en el tiempo t+∆t solo depende de el estado del sistema en eltiempo t y no de la historia del sistema. Ademas si consideramos que Y (t) = X(t+ s)−X(s)para algún s ≥ 0, entonces Y (t) es también un proceso de Poisson con intensidad λ yY (0) = 0. La figura 2.2 muestra el comportamiento aleatorio de los saltos discretos en unproceso de Poisson. Notemos que el promedio del proceso de Poisson (dibujado con líneadiscontinua) sigue de cerca la recta λt . Hemos utilizado el siguiente código para dibujarlo:

xx = 4034218;nt = 500; nrum = 200; time = 10; lambda = 1;h = time/nt; tt = Range[0, time, h];

2.3. PROCESOS DE ESTADO CONTINUO 39

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

Figura 2.2: Proceso de Poisson con 200 muestras para la trayectoria y λ = 1.

sm = ConstantArray[0, nt + 1, 1]; s2 =ConstantArray[0, nt + 1, 1]; patha =ConstantArray[0, nt + 1, 1]; pathb = ConstantArray[0, nt + 1, 1];

For[j = 1, j <= nrum, j++, y = 0; Part[sm, 1] = y; Part[s2, 1] = y*y;Part[patha, 1] = y; Part[pathb, 1] = y;For[i = 1, i <= nt, i++, unr = random[xx]; xx = Part[unr, 2];If[Part[unr, 1] < lambda*h, y = y + 1];Part[sm, i + 1] = (Part[sm, i + 1] + y/nrum);Part[s2, i + 1] = (Part[s2, i + 1] + y*y/nrum);Part[pathb, i + 1] = Part[patha, i + 1]; Part[patha, i + 1] = y]]

a = 16807; b = 2^31 - 1;random[x_] := (d = IntegerPart[a*x/b]; t = a*x - d*b;

unr = ConstantArray[0, 2, 1]; Part[unr, 1] = t/b;Part[unr, 2] = t; Return[unr])

Show[ListPlot[Flatten[sm], Joined -> True, PlotStyle -> Dashed,Ticks -> 2, 4, 6, 8, 10, 2, 4, 6, 8, 10],

ListPlot[patha, Joined -> True]]

2.3. Procesos de estado continuoAhora consideramos un proceso estocástico continuo X(t) : t ∈ T definido en el espacio deprobabilidad (Ω,F , P ) donde T = [0, N ] es un intervalo de tiempo y el proceso está definido


en todos los instantes de tiempo del intervalo. Un proceso estocástico de tiempo continuo esuna función X : T×Ω→ R de dos variables t y ω y X puede ser de estado continuo o discretocomo hemos dicho en la introducción. En particular X(t) = X(t, ·) es una variable aleatoriapara cada valor de t ∈ T y X(·, ω) asigna el intervalo T a R. Generalmente el conocimientoespecifico de ω es innecesario, pero ω es importante ya que cada ω ∈ Ω define una trayectoriadiferente. Como consecuencia, lo normal es que la variable ω suela suprimirse, es decir, X(t)representa una variable aleatoria para cada valor de t y X(·) representa una trayectoria entodo el intervalo T = [0, N ]Como ya hemos visto antes el proceso estocástico X es un proceso de Markov si el estado deel proceso en algún tiempo tn ∈ T determina el estado futuro del proceso. EspecíficamenteP (X(tn+1) ≤ xn+1|X(tn) = xn) = P (X(tn + 1) ≤ xn+1|X(t1) = x1, . . . , X(tn) = xn) dondet1 < t2 < . . . < tn < tn+1.

Características de un proceso estocástico

Del mismo modo que en una variable unidimensional X, podemos calcular su media, su va-rianza y otras características, y en variables n-dimensionales obtenemos un vector de medias,matriz de covarianzas, etc., en un proceso estocástico podemos obtener algunas característicasque describen su comportamiento: medias, varianzas y covarianzas. Puesto que las caracte-rísticas del proceso pueden variar a lo largo de t estas características no serán parámetrossino que serán funciones de t. Así:

Definición 2.8. Llamaremos función de medias del proceso a una función de t que propor-ciona las medias de las distribuciones marginales para cada instante t

µt = E(X(t)).

Definición 2.9. Llamaremos función de varianzas del proceso a una función de t que pro-porciona las varianzas de las distribuciones marginales para cada instante t

σ2t = Var(X(t)).

Definición 2.10. Llamaremos función de autocovarianzas del proceso a la función que pro-porciona la covarianza existente entre dos instante de tiempo cualesquiera:

Cov(t, s) = Cov(s, t) = Cov(X(t), X(s)).

Definición 2.11. Llamaremos función de autocorrelación a la estandarización de la funciónde covarianzas:

ρt,s = Cov(t, s)σtσs


En general, estas dos últimas funciones dependen de dos parámetros (dos instantes). Unacondición de estabilidad que aparece en muchos fenómenos es que la dependencia sólo de-penda, valga la redundancia, de la “distancia” entre ellos y no del instante considerado. Enestos casos tendremos:

Cov(t, t+ j) = Cov(s, s+ j) = γj j = 0,±1,±2, . . .

Por otro lado, si estudiamos casos concretos como la evolución de las ventas de una empresao la concentración de un contaminante, sólo disponemos de una única realización y aunque elproceso estocástico exista, al menos conceptualmente, para poder estimar las características“transversales” del proceso (medias, varianzas, etc..) a partir de la serie es necesario suponerque estas permanecen estables a lo largo de t. Esta idea nos conduce a lo que se entiende porcondiciones de estacionariedad de un proceso estocástico (o de una serie temporal).

Procesos estocásticos estacionarios

En una primera aproximación, llamaremos estacionarios a aquellos procesos estocásticos quetengan un comportamiento constante a lo largo del tiempo. Si buscamos el correspondientecomportamiento de las series temporales asociadas a esos procesos, veremos gráficas que semantienen en un nivel constante con unas pautas estables de oscilación.En la práctica del análisis de series encontraremos series con problemas de estacionariedadque afecten a cualquiera de sus parámetros básicos, siendo los que más suelen afectar alproceso de análisis las inconstancias en media y varianza.

Definición 2.12. Diremos que un proceso es estacionario en sentido estricto si al realizar unmismo desplazamiento en el tiempo de todas las variables de cualquier distribución conjuntafinita, resulta que esta distribución no varía, es decir:

F (X(t1), X(t2), . . . , X(tr)) = F (X(t1+j), X(t2+j), . . . , X(tr+j))

para todo conjunto de índices (t1, t2, . . . , tr) y todo j.

Esta condición resulta bastante restrictiva y por consiguiente se adoptan otras un poco más“débiles”.

Definición 2.13. Diremos que un proceso estocástico es estacionario en sentido débil simantiene constantes todas sus características lo largo del tiempo, es decir, si para todo t:

µt = µ

σ2t = σ2

Cov(t, t+ j) = Cov(s, s+ j) = γj j = 0,±1,±2, . . .


Nota 2.3. En algunos libros este tipo de estacionariedad recibe el nombre de estacionariedaden sentido amplio o estacionariedad de segundo orden. Por otro lado, si sólo exigimos que lafunción de medias sea constante se dirá que el proceso es estacionario de primer orden o enmedia.

A continuación veremos un ejemplo que nos introducirá a los procesos de Wiener.

Ejemplo 2.6. Una aproximación al proceso de Wiener (o movimiento Browniano).Sean Xi(t) para i = 1, 2, . . . , N N procesos independientes de Poisson con intensidad N . SeaYN(t) otro proceso estocástico definido por

YN(t) =N∑i=1

Xi(t)− λt√λN

Por el teorema central del límite, cuando N aumenta YN(t) se aproxima a una variablealeatoria con distribución normal de media 0 y varianza t.YN(t) se aproxima a un proceso de Wiener o a un movimiento Browniano W (t) cuandoN aumenta. Un proceso de Wiener W (t), t ≥ 0 es un proceso estocástico continuo conincrementos estacionarios independientes de manera que

W (0) = 0 y W (t)−W (s) ∼ N(0, t− n) para todo 0 ≤ s ≤ t.

Así E(W (t)) = 0, Var(W (t)−W (s)) = t− s para todo 0 ≤ s ≤ t y, en particular,

W (t2)−W (t1) ∼ N(0, t2 − t1) y W (t4)−W (t3) ∼ N(0, t4 − t3)

son variables aleatorias gaussianas independientes para 0 ≤ t1 < t2 ≤ t3 < t4. Notemos queun proceso de Wiener es un proceso de Markov homogéneo. Además W (t) representa unavariable aleatoria en cada valor de t.Puede ser interesante ver como una trayectoria de un proceso de Wiener W (t) puede sergenerada por un número finito de puntos. Suponemos que la trayectoria de un proceso deWiener es descrita en el intervalo [t0, tN ] con la sucesión de puntos tiNi=0 donde t0 = 0.Entonces W (t0) = 0 y la trayectoria de un proceso de Wiener en los puntos t0, t1, . . . , tNviene dada por

W (ti) = W (ti−1) + ηi−1

√ti − ti−1 para i = 1, 2, . . . , N.

donde ηi−1 son N(0, 1) distribuciones normales independientes para i = 1, 2, . . . , N . Losvalores W (ti), i = 0, 1, . . . , N determinan una trayectoria de Wiener en los puntos tiNi=0.Otra manera interesante de generar un proceso de Wiener, la cual usa un número contablede variables aleatorias con distribuciones normales es la expansión de Karhumen-Loève. Laexpansión de Karhumen-Loéve se deriva de la serie de Fourier del proceso de Wiener y tienela forma

W (t) =∞∑0

2√

2T(2n+ 1)πηn sen((2n+ 1)πt

2T )


para t ∈ [0, T ], donde ηn ∼ N(0, 1) para n = 0, 1, . . . . De hecho ηn es dada en la fórmulaanterior por

η = (2n+ 1)π21/2T 3/2

∫ T

0W (t) sen((2n+ 1)πt

2T )dt para n = 0, 1, 2, . . . .

Veamos que la serie W (t) tiene las propiedades requeridas por el proceso de Wiener, sea

SN(t) =N∑n=0

2√

2T(2n+ 1)πηn sen((2n+ 1)πt

2T )

la N -ésima suma parcial de la serie. Por la definición de espacio de Hilbert, HRV , del temaanterior es fácil ver que Sn(t) ∈ HRV para cada t ∈ [0, T ] y que SN(t) es sucesión deCauchy en el espacio de Hilbert HRV . De hecho, como ηn ∼ N(0, 1) para cada n se tiene queSN(t) ∼ N(0, σ2

N(t)) donde

σ2N(t) = t−

∞∑n=N+1

8T(2n+ 1)2π2 sen2((2n+ 1)πt

2T )

observemos que

t =∞∑n=0

8T(2n+ 1)2π2 sen2((2n+ 1)πt

2T ).

Notemos que para cada t ∈ [0, T ] W (t) ∈ HRV . Además W es continua en media cuadráticapero no posee derivada. Para ver la continuidad de W consideramos

||W (t+ ∆t)−W (t)||2RV = E(W (t+ ∆t)−W (t))2 = ∆t

Por lo que ||W (t + ∆t) − W (t)||RV =√

∆t y dado ε > 0 existe un δ > 0 de modo que||W (t+ ∆t)−W (t)||RV < ε cuando ∆t < δ. Sin embargo como

||W (t+ ∆t)−W (t)∆t ||2RV = 1

∆t

no hay F (t) ∈ HRV tal que

||W (t+ ∆t)−W (t)∆t − F (t)||2RV → 0 cuando ∆t→ 0.

Puede ser útil tratar el tema de la esperanza de las funciones W (t) para 0 ≤ t ≤ T . Primerorecordemos que

p(t, x, y) = 1(2π|t|)1/2 e

−(x−y)22|t| para x, y ∈ R

es la función de densidad de variables aleatorias normales con media y varianza |t|. Sea W (t)un proceso de Wiener en [0, T ]. Claramente para t1 ∈ [0, T ] y G : R→ R,

E(G(W (t1))) =∫ ∞∞

G(x1)p(t1, x1, 0)dx1.


AdemásP (W (t1) ≤ z1) =

∫ z1

∞p(t1, x1, 0)dx1.

Ahora consideramos una partición de [0, T ], 0 = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tk ≤ T . ParaG : R2 → R,

E(G(W (t1),W (t2))) =∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

G(x1, x2)p(t1, x1, 0)p(t2 − t1, x2, x1)dx1dx2.

Además para G : Rk → R,

E(G(W (t1),W (t2), . . . ,W (tk))) =∫ ∞−∞

. . .∫ ∞−∞

G(x1, . . . , xk)p(t1, x1, 0) . . . p(tk − tk, xk, xk−1)dx1 . . . dxk.

Las funciones de densidades p(tm−tm−1, xm, xm−1) param = 1, 2, 3, . . . , k definen un conjuntofinito-dimensional de medidas de probabilidad en Rk. La distribución de probabilidad en estapartición satisface

Ft1,t2,...,tk(z1, z2, . . . , zk) = P (W (t1) ≤ z1, . . . ,W (tk) ≤ zk) =∫ zk

−∞

∫ zk−1

−∞. . .

∫ z1

−∞p(t1, x1, 0) . . . p(tk − tk, xk, xk−1)dx1 . . . dxk.

El proceso estocástico es el proceso de Wiener o movimiento BrownianoW (t) sobre cualquierpartición de [0, T ], la distribución finita-dimensional deW (t) se reduce a la expresión anterior.Finalmente consideramos la función de densidad p(y, t, x, s) para el proceso de Wiener de xen tiempo s e y en tiempo t. En este caso,

p(y, t, x, s) = 1(2π|t− s|)1/2 e

−(x−y)22|t−s|

claramente p(y, t, x, s) = p(y, x, |t − s|), por lo que el proceso de Wiener es un proceso deMarkov homogéneo continuo.

Ejemplo 2.7. Proceso de Wiener con Mathematica.Con este programa que vamos a mostrar a continuación podemos dibujar dos procesos deWiener, las figuras 2.3 y 2.4 son el resultado del programa. También hemos dibujado la mediay la varianza de uno de ellos, véase figura 2.5.El código utilizado es

xx = 56430.; n = 500; nrun = 200; tf = 5.; h = tf/n; hs =Sqrt[h]; tt = Range[0, tf, h];

y3 = ConstantArray[0, n, 1]; y4 = ConstantArray[0, n, 1]; ya =ConstantArray[0, n, 1]; yv = ConstantArray[0, n, 1];

2.4. GENERACIÓN DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS 45

sa = 0.; sv = 0.; a = 16807; b = 2^31 - 1;

For[j = 1, j <= nrun, j++,For[i = 1, i <= (n - 1), i++, d = IntegerPart[a*xx/b];t = a*xx - d*b; unr = ConstantArray[0, 2, 1]; Part[unr, 1] = t/b;Part[unr, 2] = t/b; u1 = Part[unr, 1]; u2 = Part[unr, 2];hlp = Sqrt[-2.*Log[u1]]; Part[unr, 1] = hlp*Cos[Pi*2.*u2];Part[unr, 2] = hlp*Sin[Pi*2.*u2]; xx = t; a1 = 0; a2 = 0; b11 = 1;b12 = 0; b21 = 0; b22 = 1;Part[y3, i + 1] =Part[y3, i] + a1*h + hs*b11*Part[unr, 1] + hs*b12*Part[unr, 2];

Part[y4, i + 1] =Part[y4, i] + a2*h + hs*b21*Part[unr, 1] + hs*b22*Part[unr, 2];

Part[ya, i + 1] = Part[ya, i + 1] + Part[y4, i + 1]/nrun;Part[yv, i + 1] = Part[yv, i + 1] + (Part[y4, i + 1]^2)/nrun];

sa = sa + Part[y4, n]/nrun; sv = sv + (Part[y4, n]^2)/nrun;]

100 200 300 400 500

1

2

3

4

5

Figura 2.3: Proceso de Wiener

100 200 300 400 500

5

10

15

Figura 2.4: Proceso de Wiener

2.4. Generación de procesos estocásticos

Se suele usar números pseudo-aleatorios para simular procesos estocásticos. Primero con-sideramos un proceso estocástico discreto, en particular, una cadena de Markov Xn en0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = T donde x0 = z0 y Xn es una variable aleatoria discreta paracada tiempo tn, n = 0, 1, . . . , N . Notemos que Xn ∈ M = z−m, z−m+1, . . . , zm. Suponemos


100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

Figura 2.5: La media (en azúl) y varianza (en rojo) del proceso de Wiener de la figura 2.4

que la matriz de transición dependiente de t viene dada por

Pn =

p(n)−m,−m p

(n)−m,−m+1 . . . p

(n)−m,m−1 p

(n)−m,m

p(n)−m+1,−m p

(n)−m+1,−m+1 . . . p

(n)−m+1,m−1 p

(n)−m+1,m

... ... ... ... ...p

(n)m−1,−m p

(n)m−1,−m+1 . . . p

(n)m−1,m−1 p

(n)m−1,m

p(n)m,−m p

(n)m,−m+1 . . . p

(n)m,m−1 p(n)

m,m

,

donde p(n)i,j = PXn+1 = zj|Xn = zi. Consideremos la siguiente trayectoria Xn, 0 ≤ n ≤

N donde en t0, X0 = z0. Para encontrar X1 tenemos que calcular primero p(0)0,j para j =

−m,−m+ 1, . . . ,m. El siguiente paso es generar un número pseudo-aleatorio de distribuciónuniforme en [0, 1], η0, y calcular un r0 que cumpla que

r0−1∑j=−m

p(0)0,j < η0 ≤

r0∑j=−m

p(0)0,j .

Finalmente igualamos X1 a zr0 . Para encontrar X2 tenemos que calcular primero p(1)r0,j para

j = −m,−m + 1, . . . ,m. Entonces como antes generamos una distribución uniforme η1 en[0, 1] y calculamos r1 de modo que

r1−1∑j=−m

p(0)r0,j < η1 ≤

r1∑j=−m

p(0)r0,j.

Entonces igualamos X2 a zr1 . Repitiendo estos pasos N veces obtendremos una ordenaciónde XkNk=0 del proceso estocástico.Ahora consideramos una trayectoria para una cadena de Markov continua X(t), t ∈ [0, T ].Generalmente las trayectorias de los procesos continuos son determinadas como un conjuntodiscreto de tiempos, es decir, una trayectoria X(t) es calculada en los tiempos t0, t1, . . . , tN

2.4. GENERACIÓN DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS 47

donde 0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tN = T . De esta manera X(t) puede ser aproximado entreestos puntos, usando por ejemplo interpolación lineal a trozos.

Ejemplo 2.8. Simulación de un proceso de Poisson.Consideremos un proceso de Poisson X(t) con intensidad λ. Recordemos que el proceso X(t)es igual al número de observaciones en tiempo t donde la probabilidad de una observaciónen tiempo ∆t es igual a λ∆t+ o((∆t)2). Del ejemplo 1.3, vimos que

P (X(t) = n) = e−λt(λt)nn!

Consideremos ahora este proceso continuo en los tiempos discretos tk = kh para k =0, 1, 2, . . . , N donde h = T/N .Sea

X(tk+1) = X(tk) + ηk para k = 0, 1, . . . , N − 1, donde Xt0 = 0

y los números aleatorios ηk son elegidos de forma que

P (ηk = n) = e−λh(λh)nn! para n = 0, 1, 2, . . . .

Por lo tanto X(tk) son distribuciones de Poisson con intensidad λ en los tiempos discretost0, t1, . . . , tN . Notemos que para encontrar ηk dada una distribución uniforme ηk en [0, 1]utilizamos la siguiente relación

ηk−1∑j=0

e−λh(λh)jj! < ηk ≤

ηk∑j=−0

e−λh(λh)jj! .

Ejemplo 2.9. Simulación de la trayectoria de un proceso de Wiener.Consideremos un proceso de Wiener W (t) en [0, T ]. Como antes simulamos este proceso enlos tiempos continuos tk = kh para k = 0, 1, 2, . . . , N donde h = T/N y sea

X(tk+1) = X(tk) + ηk para k = 0, 1, . . . , N − 1,

donde Xt0 = 0 y ηk son distribuciones uniformes normales con media 0 y varianza h. Cadatrayectoria del proceso continuo se calcula en los tiempos discretos t0, t1, . . . , tN . AsíW (tk) =X(tk) para k = 0, 1, 2, . . . , N . Para estimar W (t) en algún tiempo t 6= tk para algún k,podemos usar una interpolación lineal continua como por ejemplo

W (t) ≈ X(tk)tk+1 − t

h+X(tk+1)t− tk

hpara tk ≤ t ≤ tk+1.

Ejemplo de un proceso estocástico real

Los procesos estocásticos son comunes en física, biología, meteorología y finanzas. Un ejemploclásico de proceso estocástico físico es el decaimiento que consiste en que átomos de isotopos


inestables se transforman en otros isotopos. Supongamos que tenemos inicialmente n0 átomosen un isotopo radiactivo y suponemos también que λ es la constante de decadencia de losisotopos. Esto significa que la probabilidad que probabilidad de que un átomo se transformeen un pequeño intervalo de tiempo ∆t es de λ∆t + O((∆)2). Sea N(t) el número de átomosen un tiempo t y sea pn(t) la probabilidad de que halla n átomos también en un tiempo t.Entonces podemos obtener que

p0(t+ ∆t) = p0(t)(1− λn∆t),

pn(t+ ∆t) = pn+1(t)λ(n+ 1)∆t+ pn(t)(1− λn∆t) +O((∆t)2).

Haciendo ∆→ 0 obtenemosdpn0 (t)dt

= −λn0pn0(t) para pn0(0) = 1 ydpn(t)dt

= −λnpn(t) + λ(n+ 1)pn+1(t) con pn(0) = 0 para 0 ≤ n < n0.

Podemos calcular el número esperado de átomos como

E(N(t)) =n0∑n=0

npn(t) y dE(N(t))dt

=n0∑n=0

ndpn(t)dt

.

YdE(N(t))

dt=

n0∑n=0

ndpn(t)dt

=n0∑n=0−λ2pn(t) +

n0−1∑n=0

λn(n+ 1)pn+1(t)

=n0∑n=0−λ2pn(t) +

n0−1∑n=1

λ(n− 1)pn+1(t)

=n0∑n=0−λnpn(t) = −λE(N(t)).

Por lo tanto,dE(N(t))

dt= −λE(N(t)) con E(N(t)) = n0.

Así E(N(t)) = n0e−λt es el número esperado de átomos en el tiempo t.

Capítulo 3

El modelo de Black y Scholes

3.1. IntroducciónEn este capítulo introducimos el modelo básico de las matemáticas financieras, el modelode Black y Scholes, y presentamos la famosa fórmula de valoración de opciones europeas decompra (call option) y de venta (put option). También hablaremos de la fórmula de Itô, unaherramienta matemática necesaria para las finanzas (véase [6]).

Modelización matemática en finanzas

Suponemos que tenemos un mercado financiero con dos posibilidades de inversión:

Un activo sin riesgo, caja de ahorros o cuenta corriente, llamado bono, que paga uninterés instantáneo de tasa r ≥ 0. Notemos que su evolución sigue la siguiente ecuacióndiferencial

dBt

Bt

= rdt B0 = 1,

cuya solución esBt = ert.

Un activo de riesgo, aleatorio, que designamos mediante

St = S0eXt ,

donde Xt es un proceso estocástico en un espacio de probabilidad (Ω,F , P ) quecumple que X0 = 0.

Opciones

En este apartado vamos a introducir una tercera alternativa de inversión denominada opción,que es un contrato que paga f(ST ) (con f una función) en el instante T a su poseedor.Notemos que

49

50 CAPÍTULO 3. EL MODELO DE BLACK Y SCHOLES

Al activo S se le llama subyacente.

Si f(x) = (x−k)+, donde k es el precio acordado en T , tenemos una opción de compra(call option).

Si f(x) = (k − x)+ tenemos una opción de venta (pull option).

Si T es fijo (tiene que estar estipulado en el contrato) la opción es europea.

Si T puede ser elegido por el poseedor del contrato la opción es americana.

3.2. El modelo de Black y ScholesEl modelo de Black y Scholes es de tiempo continuo t ∈ [0, T ] y consta de dos activos:

B = (Bt)t∈[0,T ] que evoluciona en forma determinística según la ley

dBt

Bt

= rdt, B0 = 1,

donde r es la tasa de interés por unidad de tiempo y B representa un bono (bond).

El precio de la acción (stock) S = (St)t∈[0,T ] es de evolución aleatoria (o contingente) ysigue la siguiente ecuación diferencial

dStSt

= µdt+ σdW, S0 = x,

donde

• µ es el retorno medio del activo con riesgo (la media).

• σ la volatidad (capacidad de variación en los precios que tiene un activo respectoa su media).

• W es un movimiento Browiano.

Ahora tenemos que dar una sentido (aunque sea práctico) a la expresión dW .

Fórmula de Itô

Para valorar opciones debemos desarrollar una herramienta fundamental en las finanzas quees la fórmula de Itô, la cual es una generalización de la regla de la cadena del cálculo usualde funciones.Antes de nada tenemos que conseguir dar sentido y generalizar la igualdad

(dW )2 = dt.

3.3. PROCESO DE WIENER ECONÓMICO 51

Para ello consideramos f : R −→ R una función con derivadas continuas (regular) cuyodesarrollo de Taylor es

f(x)− f(x0) = f ′(x0)∆x+ 12f′′(x0)(∆x)2 + . . .

Habitualmente el segundo término se desprecia frente al primero, pero si x = Wt y x0 = Wt0

tenemos que(∆x)2 = (∆W )2 ∼ ∆t,

y el aporte no se desprecia frente al primer sumando (los otros términos son efectivamentede mayor orden).Sea ahora f = f(x, t) una función regular de dos variables, argumentando de manera similarque antes (aunque no lo veremos) se tiene que

f(Wt, t)− f(W0, 0) =∫ t

0fx(Ws, s)dWs +

∫ t

0ft(Ws, s)ds+ 1

2

∫ t

0fxx(Ws, s)ds

que es la fórmula de Itô. Sintéticamente tenemos

df(Wt, t) = fx(Wt, t)dWt + 12fxx(Wt, t)dt+ ft(Wt, t)dt.

Nota 3.1. La primera integral (llamada integral estocástica)∫ t

0 fx(Ws, s)dWs, debe entender-se como un límite de sumas del tipo

n−1∑i=0

fx(Wti)(Wti+1 −Wti).

Ejemplo 3.1. Sea f(x) = x2. Tenemos que

ft = 0, fx = f ′ = 2x, fxx = f ′′ = 2.

Por lo tanto resulta que

f(Wt)− f(W0) = W 2t =

∫ t

0(2Ws)dWs + 1

2

∫ t

02ds =

∫ t

0(2Ws)dWs + t.

Nota 3.2. No tenemos que confundir∫ t

0(2Ws)dWs con una integral normal ya que de ser asíel resultado seria (Wt)2 y no es así.

3.3. Proceso de Wiener económico

En 1900, L. Bachelier introdujo un modelo del movimiento Browniano que propone que lasacciones evolucionan como

Lt = L0 + σWt + γt,


donde Wt es un proceso de Wiener, Lt el precio de la acción en el tiempo t y σ,γ constantes.Notemos que Lt puede tomar valores negativos.En 1965 P. Samuelson propone el siguiente modelo

Gt = G0eσWt+γt,

para los precios de la acción en un tiempo t. A G se le llama movimiento Browniano ogeométrico. Veamos que esta definición verifica la formula del activo con riesgo S en elmodelo de Black y Scholes. Como G es función de W podemos aplicar la fórmula de Itô.Considerando

f(x, t) = G0eσx+γt,

tenemos queGt = f(Wt, t).

Las derivadas parciales de f(x, t) son

fx(x, t) = σf(x, t), fxx(x, t) = σ2f(x, t), ft(x, t) = γf(x, t),

por lo quedGt = df(Wt, t) = σGtdWt + 1

2σ2Gtdt+ γGtdt,

y dividiendo por Gt se tiene

dGt

Gt

= (γ + 12σ

2)dt+ σdWt

= µdt+ σdWt,

con µ = γ + 12σ

2.

Es decir el proceso de Wiener económico verifica la definición del activo con riesgo en elmodelo de Black y Scholes.Como µ = γ + 1

2σ2 la fórmula para S es

St = S0eσWt+(µ− 1

2σ2)t.

3.4. Valoración de opcionesAntes de nada debemos introducir la definición de portafolio.

Definición 3.1. Un portafolio en un modelo de Black y Scholes es un par de procesosestocásticos π = (at, bt) que representa la cantidad de bonos at y la cantidad de acciones btde un agente en cada instante t. El valor de un portafolio π en el instante t es

V πt = atBt + btSt.

3.4. VALORACIÓN DE OPCIONES 53

Para calcular el precio V (S0, T ) de una opción europea que se paga f(St), Black y Scholespropusieron construir un portafolio que sea equivalente a poseer la opción. Propusieron quereplique la opción y que sea autofinanciante. Cuando existe el portafolio decimos que elmodelos es completo.Veamos en detalle lo que queremos decir:

Replique la opción, es decir, en el momento de ejecución de la opción el portafolio igualeen capital a la opción.

V πT = aTBT + bTST = f(ST ).

Sea autofinanciante, es decir, la variación de capital es producto únicamente de lasvariaciones de los precios de los activos B y S. Matemáticamente esto se formula de lasiguiente manera

dV πt = atdBt + btdSt.

El precio de la opción se define entonces como el precio del portafolio autofinanciante ent = 0, es decir

V (S0, T ) = a0B0 + b0S0.

Construcción del portafolio

Black y Scholes demostraron que el portafolio replicante y autosuficiente es único, determi-nando entonces un precio racional para la opción.Para encontrarlo, buscamos una función H(x, t) tal que

V πt = H(St, t).

La condición de réplica es V πT = f(ST ), lo que se logra si

H(x, t) = f(x).

Como el portafolio y la opción son equivalentes, el precio de la opción sera el capital necesariopara comprar el portafolio en t = 0, es decir

V (S0, T ) = H(S0, 0).

Para determinar H y π = (at, bt) de manera que

V πt = atBt + btStH(St, t),

comenzamos calculando el diferencial de V de dos formas distintas para igualar el resultado.Primero como S es función de W , y H es función de S podemos aplicar la formula de Itô,resultando

dV πt = dH = HxdS + 1

2Hxxdt+Htdt = (µSHx + 12σ

2S2Hxx +Ht) +HxSσdW. (3.1)


Nota 3.3. Para calcular la ecuación anterior tener en cuenta que (dS)2 = σ2S2(dW )2 y que(dW )2 = dt.

Por otra parte como π es autosuficiente y atBt = Ht −BtSt tenemos que

dV πt = adB + bdS = raBdt+ b(µSdt+ σSdW )

= r(H − bS)dt+ µbSdt+ bSσdW

= (rH + (µ− r)bS)dt+ bSσdW.

(3.2)

Igualando los coeficientes de dW en 3.1 y 3.2 obtenemos que

bt = Hx(St, t).

3.5. La ecuación de Black-ScholesUtilizando que bt = Hx(St, t) e igualando (3.1) y (3.2) se tiene que

rsHx + 12σ

2S2Hxx +Ht = rH.

Además, para que sea réplica, se tiene que H(ST , T ) = f(ST ). Si ambas condiciones severifican para todos los valores posibles x que toma el activo, se tiene

12σ

2x2Hxx(x, t) + rxHx(x, t) +Ht(x, t) = rH(x, t)

H(x, T ) = f(x).

Esto es la ecuación de Black-Scholes. Es una ecuación diferencial en derivadas parciales. Lacondición de réplica es la condición inicial o de frontera. La condición que obtuvimos primero:

bt = Hx(St, t),

nos da la cantidad de acciones necesarias para replicar la opción.La solución de la ecuación diferencial viene dada por

H(x, t) = xΦ(x1(x, t))− erTKΦ(x2(x, t)),

con

x1(x, t) =log xeT−t

K− 1

2σ2(T − t)

σ√T − t

,

x2(x, t) =log xeT−t

K+ 1

2σ2(T − t)

σ√T − t

.

Entonces el valor de la opción que corresponde a t0 es

V (S0, T ) = S0Φ(x1)− erTKΦ(x2)

3.5. LA ECUACIÓN DE BLACK-SCHOLES 55

con

x1 =log S0eT

K− 1

2σ2(T )

σ√T

,

x2 =log S0eT

K+ 1

2σ2(T )

σ√T

.

Importancia de la fórmula de Black-Scholes

El detalle clave es que la solución no depende de µ, el rendimiento del activo subyacente a laopción, los parámetros que aparecen son r y σ. Para aplicar la formula se tiene que:

r se obtiene de bonos (preferentemente en la misma moneda) con vencimiento (plazode vida de una activo financiero) T .

σ no es observable, se calcula (en general) a partir de precios de opciones, es la volati-lidad implícita.

Bibliografía

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