Probabilidad y Procesos Estocásticos

04/24/2304/24/23 René Játiva EspinozaRené Játiva Espinoza

Probabilidad y Procesos Probabilidad y Procesos EstocásticosEstocásticos

Variable Aleatoria Variable Aleatoria MultidimensionalMultidimensional


Estadística Conjunta de dos Estadística Conjunta de dos variables aleatoriasvariables aleatorias

Dadas las v.a. Dadas las v.a. xx, e , e yy, se desea determinar la , se desea determinar la probabilidad de que el puntoprobabilidad de que el punto ( (xx,,yy) se encuentre ) se encuentre en una en una regiónregión especificada especificada DD, del plano xy. , del plano xy.

Esta probabilidad no puede expresarse en Esta probabilidad no puede expresarse en términos de Ftérminos de Fxx(x) y F(x) y Fyy(y).(y).

La estadística conjunta de las v.a. La estadística conjunta de las v.a. xx e e yy están están completamente determinadas si la probabilidad completamente determinadas si la probabilidad de este evento se conoce para cada x e y.de este evento se conoce para cada x e y.

,p x y p x y x y x y



, ?p x y D y

x

D

X1 X2

y1

y2


Densidad y Distribución ConjuntasDensidad y Distribución Conjuntas

La La distribución conjuntadistribución conjunta de las v.a. de las v.a. xx, e , e yy se se nota por Fnota por Fxyxy(x,y) o por F(x,y), y corresponde a (x,y) o por F(x,y), y corresponde a la probabilidad del siguiente evento:la probabilidad del siguiente evento:

La La densidad conjuntadensidad conjunta de las v.a. de las v.a. xx, e , e yy es por es por definición la función siguiente:definición la función siguiente:

1

, , ,

, ,

F x y F x y p x y

F x y p D

xy x y

x y

2 ,

, , ,yxF x y

f x y F x y f d dx y


Propiedades de la Distribución Propiedades de la Distribución ConjuntaConjunta

I.I. La función F(x,y) es tal que se cumple:La función F(x,y) es tal que se cumple:

, 0 , 0 , 1

0

,

,

, ; 1

F y F x F

Prueba:p x=- p y

y

x

U p U

x y x

x y y

x y


Propiedades de la Distribución Propiedades de la Distribución ConjuntaConjunta

II.II. Dados los eventos {xDados los eventos {x11<<xx<x<x22,,yy≤y≤y} y } y {{xx<x,y<x,y11<<yy≤y≤y22} se cumple:} se cumple:

III.III. Dado el evento {xDado el evento {x11<<xx<x<x22,y,y11<<yy≤y≤y22}, puede }, puede demostrarse lo siguiente: demostrarse lo siguiente:

1 2 2 1

1 2 2 1

, , ,

, , ,

p x x y F x y F x y

p x y y F x y F x y

x y

x y

1 2 1 2 2 2 1 2

2 1 1 1

, , ,

, ,

p x x y y F x y F x y

F x y F x y

x y


Estadística ConjuntaEstadística Conjunta Puede demostrarse que la probabilidad de Puede demostrarse que la probabilidad de

que el punto (que el punto (xx,,yy) esté en la región D del ) esté en la región D del plano xy es igual a la integral de f(x,y) en D, plano xy es igual a la integral de f(x,y) en D, siendo {(siendo {(xx,,yy) elemento de D} el evento que ) elemento de D} el evento que contiene todas las realizaciones tales que el contiene todas las realizaciones tales que el punto (punto (xx,,yy) se encuentre en D.) se encuentre en D.

, ,D

p x y D f x y dxdy


Estadísticos MarginalesEstadísticos Marginales En el estudio de algunas v.a., los estadísticos En el estudio de algunas v.a., los estadísticos

de cada uno de ellos se denominan de cada uno de ellos se denominan marginales. Así, Fmarginales. Así, Fxx(x) y f(x) y fxx(x) son la la (x) son la la distribución marginal y la densidad marginal distribución marginal y la densidad marginal de de xx, respectivamente. En particular:, respectivamente. En particular:

, ,

, ,

F x F x F y F y

f x f x y dy f y f x y dx

x y

x y


El Caso DiscretoEl Caso Discreto Si las v.a, Si las v.a, xx e e yy son discretas y toman los son discretas y toman los

valores xvalores xii e y e ykk con probabilidades p{ con probabilidades p{xx=x=xii}=p}=pii, , p{p{yy=y=ykk}=q}=qkk, su estadística conjunta se , su estadística conjunta se determina en términos de probabilidades determina en términos de probabilidades conjuntas p{conjuntas p{xx=x=xii,, yy=y=ykk}=p}=pikik

Se cumple lo siguiente:Se cumple lo siguiente:

,

1iki k

i ik k ikk i

p

p p q p


Teorema de ExistenciaTeorema de Existencia Dada una función F(x,y) o f(x,y) que cumpla las Dada una función F(x,y) o f(x,y) que cumpla las

siguientes propiedades, pueden encontrarse siguientes propiedades, pueden encontrarse dos v.a.,dos v.a., x x e e y y definidas en algún espacio U, definidas en algún espacio U, con distribución F(x,y) o densidad f(x,y).con distribución F(x,y) o densidad f(x,y).

2 2 1 2 2 1 1 1

1 2 1 2

, 0; , 0; , 1

, , , , 0

,

, 1 , 0

F y F x F

F x y F x y F x y F x y

x x y y

f x y dxdy f x y


Normalidad ConjuntaNormalidad Conjunta Se dice que las v.a, x e y son normalmente conjuntas si Se dice que las v.a, x e y son normalmente conjuntas si

su densidad conjunta está dada por f(x,y), y se nota por su densidad conjunta está dada por f(x,y), y se nota por N(N(ηη11,,ηη22,,σσ11,,σσ22,r).,r).

Las densidades marginales corresponden a fLas densidades marginales corresponden a fxx(x) y f(x) y fyy(y).(y).

2 22 21 1 2 2

2 21 1 2 2

2 221 1 2 2

21 2

/ 2 / 2

1 2

1, exp 22 1

1 12 1

1 12 2

x yx y

x x y yf x y A r

r

A rr

f x e f y e


Normalidad ConjuntaNormalidad Conjunta En particular cuando r=0, En particular cuando r=0, ηη11==ηη22=0, y =0, y σσ11==σσ22==σσ, ,

f(x,y), se reduce a N(0,0,f(x,y), se reduce a N(0,0,σσ,,σσ,0), y f,0), y fxx(x) y f(x) y fyy(y) son (y) son distribuciones normales de media cero y varianza :distribuciones normales de media cero y varianza :

Observación:Observación: Si dos v.a., son conjuntamente Si dos v.a., son conjuntamente normales, ellas serán marginalmente normales. Lo normales, ellas serán marginalmente normales. Lo inverso no es cierto.inverso no es cierto.

2 2

2 2

2 2

2 2

1, exp2 2

1 1exp exp2 22 2x y

x yf x y

x yf x f y


Dos funciones de dos variables Dos funciones de dos variables aleatoriasaleatorias

Dadas dos v.a. Dadas dos v.a. xx e e yy, y dos funciones g(x,y) y , y dos funciones g(x,y) y h(x,y), formamos las v.a. h(x,y), formamos las v.a. zz y y ww. Se desea . Se desea obtener la estadística conjunta de obtener la estadística conjunta de zz y y ww en en términos de las funciones g(x,y) y h(x,y) y de términos de las funciones g(x,y) y h(x,y) y de la estadística conjunta de la estadística conjunta de xx e e yy..

,

, ,zw

zw

zwD

g h

z w D

F z w p D f x y dxdy

zw xy

z x,y w x,y

z w x,y

x,y


Densidad ConjuntaDensidad Conjunta Dadas las v.a. Dadas las v.a. xx, , yy,, z z,, w w, y las funciones , y las funciones

g(x,y) y h(x,y), se puede demostrar que g(x,y) y h(x,y), se puede demostrar que ffzwzw(z,w) puede calcularse como sigue:(z,w) puede calcularse como sigue:

1 1

1 1

1

, ,,

, ,

,

xy xy n nzw

n n

g h

f x y f x yf z w

J x y J x y

z z x xx y z wJ x yw w y yx y z w

z x,y w x,y



, , ?xy zwp x y D p z w D y

x

Dxy

X1 X2

y1

y2

w

z

Dzw

z1 z2

w1

w2


Densidad ConjuntaDensidad Conjunta Donde J(x,y) es el Donde J(x,y) es el JacobianoJacobiano de la de la

transformación, y todos los pares (xtransformación, y todos los pares (xnn,y,ynn) son las ) son las raíces reales que resultan de resolver el sistema raíces reales que resultan de resolver el sistema g(x,y)=z y h(x,y)=w.g(x,y)=z y h(x,y)=w.

El teorema anterior se prueba considerando que El teorema anterior se prueba considerando que el diferencial de área dzdw se relaciona con los el diferencial de área dzdw se relaciona con los diferenciales en el plano xy a través del diferenciales en el plano xy a través del Jacobiano:Jacobiano:

1 1

1 1

, ,

, ,,

, ,xy xy n n

zwn n

z g x y z dz w h x y w dw

f x y dzdw f x y dzdwf z w dzdw

J x y J x y


Momentos ConjuntosMomentos Conjuntos Dadas dos v.a. Dadas dos v.a. xx e e yy, y una función g(x,y) de , y una función g(x,y) de

forma que forma que zz=g(=g(xx,,yy), se cumple que:), se cumple que:

,

,

E zf z dz E g g f x y dxdy

E g g x f x y dxdy g x f x dx

z xy

xy x

z x,y x,y

x


CovarianzaCovarianza La covarianza C o CLa covarianza C o Cxy xy de dos v.a. de dos v.a. xx e e yy, y el , y el

coeficiente de correlación r son por definición los coeficiente de correlación r son por definición los números siguientes, donde r cumple las dos números siguientes, donde r cumple las dos propiedades siguientes:propiedades siguientes:

2 2 2 2

2 2 2

; ;

1;

2

0

x y x y

x yx y

x y x y

x y

C E E E

C E E E

Cr r C

E a a aC

C

x y x y

xy x y

x y


Función Característica ConjuntaFunción Característica Conjunta La función característica La función característica ΦΦ(w(w11,w,w22)) de las v.a. de las v.a. xx e e

yy, es por definición la integral siguiente:, es por definición la integral siguiente:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 22

1 2

, ,

1, ,4

,

j w x w y

j w x w y

j w x w y

w w f x y e dxdy

f x y w w e dw dw

w w E e

xy

xy


Segunda Función Característica Segunda Función Característica ConjuntaConjunta

La segunda función característica La segunda función característica ΨΨ(w(w11,w,w22)) de de las v.a. las v.a. xx e e yy, es por definición el logaritmo , es por definición el logaritmo natural de la primera:natural de la primera:

1 2 1 2, ln ,

;

,0 ; 0,

,

j w j w

j a b w

w w w w

w E e w E e

w w w w

a b

w E e aw bw

x yx y

x y

x yz

z x y


Teorema de MomentosTeorema de Momentos

La función generadora de momentos de La función generadora de momentos de xx e e yy está está dada por:dada por:

1 21 2

1 2 1 20 0

2 21 2 10 1 01 2 20 1 11 1 2 02 2

1 2

,

1,!

1, 1 22

0,0

s x s y

nk n k k n k

n k

k rk r

krk r

s s E e

ns s E x y s s

kn

s s m s m s m s m s s m s

m E x ys s


Teorema de MomentosTeorema de Momentos Las derivadas de la segunda función generadora Las derivadas de la segunda función generadora

de momentos de de momentos de xx e e yy son por definición los son por definición los cumulantes conjuntos cumulantes conjuntos λλkrkr de de xx e e yy. También puede . También puede demostrarse lo siguiente:demostrarse lo siguiente:

1 2 1 2

1 2

10 10 01 01 20 20 02 02 11 11

2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2

, ln ,

0,0

1, 1 22

k r

kr k r

s s s s

s sm m u u u

s s s s s r s s s


EjerciciosEjercicios Sean X e Y variables aleatorias Sean X e Y variables aleatorias

estadísticamente independientes, con estadísticamente independientes, con distribuciones Gaussianas, de media cero y distribuciones Gaussianas, de media cero y varianza unitaria. Se define el proceso varianza unitaria. Se define el proceso Gaussiano Z(t)=Xcos(2Gaussiano Z(t)=Xcos(2ππt)+Ysin(2t)+Ysin(2ππt).t).

A) Determine la función de densidad de A) Determine la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias probabilidad conjunta de las variables aleatorias Z(tZ(t11) y Z(t) y Z(t22) que se obtiene de observar Z(t) en ) que se obtiene de observar Z(t) en los instantes t1 y t2 respectivamente.los instantes t1 y t2 respectivamente.

B) ¿Es el proceso Z(t) estacionario? ¿Por qué?B) ¿Es el proceso Z(t) estacionario? ¿Por qué?


EjerciciosEjercicios

1 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2

1 2

1 2

cos 2 sin 2

cos 2 sin 2

cos 2 sin 2

1 1exp ; exp2 22 2

,, ; ,

,

, , ; ,

x y

Nxy i i

z z xy x yi i i

i i

Z t X t Y t

Z Z t t X t Y t

Z Z t t X t Y t

x yf x f y

f x yf z z f x y f x f y

J x y

x y solucionan el sistema z h x y z w x y



1 1

1 12 1

2 22 2

2 2

1 2 2 1 1 2 2 1

2 1 2 1

cos 2 sin 2, sin 2

cos 2 sin 2

1, exp ;2 2

sin 2 sin 2 cos 2 cos 2;

sin 2 sin 2

xy

z zt tx y

J x y t tt tz z

x y

x yf x y

z t z t z t z tx y

t t t t

Calculemos el Jacobiano de la Transformación y resolvamos el sistema para x e y.



1 2

1 2

1 2

2 2

1 22 1

2 21 2 1 2 2 1

22 1

1 22 1

2 21 2 1 2

1 2 2

1 exp2 2

,sin 2

2 cos 21 exp2 2sin 2

,sin 2

2 cos 21, exp2 sin 2 2sin 2

z z

z z

z z

x y

f z zt t

z z z z t tt t

f z zt t

z z z zf z z

Reemplazando los valores anteriores se tiene que la función de densidad conjunta de z(t1) y z(t2) es la siguiente:


EjerciciosEjercicios R:R: Se observa que la función de densidad conjunta Se observa que la función de densidad conjunta

del proceso Z(t) para los instantes tdel proceso Z(t) para los instantes t11 y t y t22 depende depende únicamente de la diferencia entre los instantes de únicamente de la diferencia entre los instantes de tiempo seleccionados, tiempo seleccionados, ττ= = tt22-t-t11. Esto significa que el . Esto significa que el proceso de salida Z(t) es estacionario respecto de la proceso de salida Z(t) es estacionario respecto de la función de correlación cruzada, y puesto que el función de correlación cruzada, y puesto que el valor medio de las variables de salida es constante valor medio de las variables de salida es constante e igual a cero para cualquier valor de t, se e igual a cero para cualquier valor de t, se demuestra que el proceso es estacionario en demuestra que el proceso es estacionario en sentido amplio. Así mismo se observa que la sentido amplio. Así mismo se observa que la función de densidad conjunta corresponde a una función de densidad conjunta corresponde a una distribución Gaussiana, por tanto este proceso es distribución Gaussiana, por tanto este proceso es también estacionario en sentido estricto.también estacionario en sentido estricto.


Ejercicios: Fabrega 3 C3Ejercicios: Fabrega 3 C3 Un sistema de comunicación transmite uno de los Un sistema de comunicación transmite uno de los

cuatro mensajes mcuatro mensajes m11=(1,1), m=(1,1), m22=(-1,1), m=(-1,1), m33=(-1,-1) o =(-1,-1) o mm44=(1,-1). El receptor recibe el mensaje (z=(1,-1). El receptor recibe el mensaje (z11,z,z22)=m)=mii++(n(n11,n,n22), donde m), donde mii es el mensaje transmitido y (n es el mensaje transmitido y (n11,n,n22) ) es el valor que toma la variable aleatoria (Nes el valor que toma la variable aleatoria (N11,N,N22), ), donde Ndonde N11 y N y N22 son Gaussianas normalizadas son Gaussianas normalizadas independientes. El receptor decide que se ha independientes. El receptor decide que se ha enviado el mensaje menviado el mensaje m ii si (z si (z11,z,z22) está en el ) está en el cuadrante i (Vea la figura). ¿Cuál es la probabilidad cuadrante i (Vea la figura). ¿Cuál es la probabilidad de error en términos de la función complementaria de error en términos de la función complementaria de error evaluada en el punto 1, Q(1).de error evaluada en el punto 1, Q(1).


Ejercicios: Fabrega 6 C3Ejercicios: Fabrega 6 C3

Sea (X,Y) una variable aleatoria con función de Sea (X,Y) una variable aleatoria con función de densidad conjunta fdensidad conjunta fXYXY(x,y). Encuentre la función (x,y). Encuentre la función de densidad marginal fde densidad marginal fXX(x).(x).

1, ,,

0,

0, , 1/ 2

2 2, 1/ 2,0:

2 2, 0,1/ 2

0, 1/ 2,

XY

X

x y Rf x y

de otra forma

x

x xR f x

x x

x



Sean X,Y, dos variables aleatorias independien-Sean X,Y, dos variables aleatorias independien-tes, de valor medio cero y varianza tes, de valor medio cero y varianza σσ2. 2. ¿Cuál es la ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad de función de densidad de probabilidad de P=(XP=(X22+Y+Y22))1/21/2? (Utilice coordenadas polares)? (Utilice coordenadas polares)

2 2

2 2

2 2

, 2 2

2 2

1 1exp ; exp2 22 2

1, exp2 2

, , ,arctan , ,

X Y

X Y

x yf x f y

x yf x y

yg x y x y P g x yx



La función de densidad conjunta en el nuevo La función de densidad conjunta en el nuevo sistema de coordenadas, se calcula como sigue:sistema de coordenadas, se calcula como sigue:

1

1

,, , , ,

, ,

2 2

2

, 2 2

,, ,

,

cos ; sincos sin

cos sinsin cos

, exp ;2 2

X YP X Y x y g P

x y g P

P

f x yf P f x y J

J g x y

x P y P

J J P P PP P

P Pf P



Por fin calculemos la función de densidad Por fin calculemos la función de densidad marginal de P requerida:marginal de P requerida:

2 2 2

, 2 20 0

2

2 2

, exp2 2

exp2

P P

P

P Pf P f P d d

P Pf P



Encuentre la expresión de la segunda función Encuentre la expresión de la segunda función característica de la v.a, n, si ésta tiene una característica de la v.a, n, si ésta tiene una distribución de Poisson con parámetro a.distribución de Poisson con parámetro a.

1

0 0

0,1,!

!

ln ln 1

na

na zn a n

nn n

s s

ap n e nn

zz p z e a en

s s e a e

n


Ejercicios C3Ejercicios C3

Demuestre que si las v.a, Demuestre que si las v.a, xx e e yy son son independientes, y verifican la distribución de independientes, y verifican la distribución de Poisson, con parámetros a y b respectivamente, su Poisson, con parámetros a y b respectivamente, su suma suma zz==xx++yy también verifica la distribución de también verifica la distribución de Poisson con parámetro a+b.Poisson con parámetro a+b.

1 1

, . .

1 1

1

jw jwx y

z x y

jw jwz x y

jwz

w a e w b e

z x y x y son v a independientesw w w

w w w a e b e

w a b e


Ejercicios C3Ejercicios C3

Demuestre que si las v.a, Demuestre que si las v.a, xx e e yy son normales e son normales e independientes, entonces su suma independientes, entonces su suma zz==xx++yy es es también normal.también normal.

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 12 2

, . .1 12 2

12

;

x x x y y y

z x y x x y y

z x y x y

z x y z x y

w j w w w j w w

z x y x y son v a independientes

w w w j w w j w w

w j w w


Ejercicios: Fabrega C3Ejercicios: Fabrega C3

Si el cabezal de un disco se posiciona aleatoria-Si el cabezal de un disco se posiciona aleatoria-mente en cualquier punto a lo largo de su radio, de mente en cualquier punto a lo largo de su radio, de longitud R; determine la función de densidad de la longitud R; determine la función de densidad de la v.a. v.a. DD que se origina cuando el cabezal se que se origina cuando el cabezal se desplaza entre dos accesos consecutivos. desplaza entre dos accesos consecutivos.

1

1 ; 0;

0;i

i

iX i i i

X distancia a la cual se encuentra el cabezalen el acceso"i-esimo"

x Rp x R

en otro caso

D X X



Calculemos la función de distribución conjunta de Calculemos la función de distribución conjunta de X=XX=Xii e Y=X e Y=Xi+1i+1::

2

, . . .,

1 ; 0 ; 0,

0;

;;

X Y son v a e if x y f x f y

x R y Rf x y R

de otra forma

X YX Y

XY X Y

XY

X-YD X-Y

Y -X



A partir de la geometría calculemos la función de A partir de la geometría calculemos la función de distribución de D:distribución de D:

| |p d p x y d x y p x y p y x d x y p x y D

R

R

Y

X

d

d

R

R-d

2

2 2

2

2

|

|

0 ,

2 20

2D

p d p x y d x y

p y x d x y

p d p x y R

A dR dp dR R

dR dF dR

D

D

D



El área del trapecio A, puede calcularse, a partir de El área del trapecio A, puede calcularse, a partir de su geometría; y a partir de la función de distribu-su geometría; y a partir de la función de distribu-ción, se calcula la pdf. Note que la función de ción, se calcula la pdf. Note que la función de distribución también puede calcularse como sigue:distribución también puede calcularse como sigue:

2

20

2

2

2 22 2

2 22

2 2 1

x d R d R R

D dR x R d x

DD

R R d dA

dF d f d dxdy dxdy dxdy dR R R

dF d d dr d df ddd dd R R R


Ejercicios: Fabrega 39 C3Ejercicios: Fabrega 39 C3 Sean las v.a, x e y; cuya función de densidad Sean las v.a, x e y; cuya función de densidad

conjunta fconjunta fxyxy(x,y) está dada por la siguiente (x,y) está dada por la siguiente expresión. A) Determine las funciones de densidad expresión. A) Determine las funciones de densidad marginales fmarginales fxx(x) y f(x) y fyy(y). B) Calcule su covarianza. C) (y). B) Calcule su covarianza. C) determine si son independientes.determine si son independientes.

2

2 ; 0,0;

) , 2 2

2 0

x y

xy

x y x yx xy x

x

xx

e x yf x yen otro caso

A f x f x y dy e dy e

f x e x



00

2

2 2 2

00

2

0

, 2 2

2 2 0

)

1 122 2

322

1 3, 22 2

yyx y x y

y xy

y yy

x x xx

y yy

xy

f y f x y dx e dx e

f y e e y

B Cov E x x y y

x E x xf x dx xe dx xe e

y E y yf y dx y e e dy

Cov x x y y f x y dxdy x y

0

x y

x

e dxdy



2

0 0

2 2

0

2 2

1 3 1 52 22 2 2 2

5 1 1 5 12 2 24 4 2 8 4

14

) 2 2 2 ,

. .

:

x y x

x

x

x y yx y xy

m ax

Cov x e dx y e dy x x e dx

Cov x x e dx

Cov

C f x f y e e e f x y

las v a x e y no son independientes

Nota x e d

0

!m

mxa


Ejercicios: Fabrega 44 C3Ejercicios: Fabrega 44 C3 Se escoge un punto aleatoriamente con distribución Se escoge un punto aleatoriamente con distribución

uniforme en la región R. ¿Cuál es la probabilidad de uniforme en la región R. ¿Cuál es la probabilidad de que |x-y| sea menor o igual que 1, si x es mayor o que |x-y| sea menor o igual que 1, si x es mayor o igual que 2?igual que 2?

2, : 0 3; 0 3; 2

1 ; ,,

0;

; 2; 2

Rxy

R x y R x y x y

x y RAf x y

en otro caso

x y x y y xx y

y x x y y x


Ejercicios: Fabrega 44 C3Ejercicios: Fabrega 44 C3 Calculemos el valor de ACalculemos el valor de ARR y de la función de y de la función de

densidad conjunta de x e y.densidad conjunta de x e y.

3 3 1 3

0 0 2

3 12 2

0 0

2, 1 1

2 2 9 13 9 0 1 12 2 2 2

81 ; ,

, 80;

xyRR x x

R R

R

xy

f x y dx dy dx dyA

x xx xA A

A

x y Rf x y

en otro caso


Ejercicios: Fabrega 44 C3Ejercicios: Fabrega 44 C3 Calculemos ahora la probabilidad de que el punto Calculemos ahora la probabilidad de que el punto

(x,y) se encuentre dentro de la región especificada:(x,y) se encuentre dentro de la región especificada:

, ; 2; 1

33 3 2

2 1 2

, ; 2; 1 ,

1 1 1 3 348 8 2 8 2 16

3, ; 2; 116

xyx y R x x y

x

p x y R x x y f x y

xdx dy x

p x y R x x y


Ejercicios: Fabrega 45 C3Ejercicios: Fabrega 45 C3 Una moneda con probabilidad de cara p(cara)=p se Una moneda con probabilidad de cara p(cara)=p se

lanza N veces, donde N es una v.a, de Poisson con lanza N veces, donde N es una v.a, de Poisson con parámetro parámetro λ. Pruebe que el número X de caras,y Y λ. Pruebe que el número X de caras,y Y de cruces en los N lanzamientos son v.a, indepen-de cruces en los N lanzamientos son v.a, indepen-dientes. ¿Se puede decir lo mismo si N es un dientes. ¿Se puede decir lo mismo si N es un número fijo?número fijo?

0 0

!; 1 ;

| ( ); | ( )

k

N N

p N k ek

p cara p p cruz p N X Y

p X k p x k N p N p Y k p y k N p N


Ejercicios: Fabrega 45 C3Ejercicios: Fabrega 45 C3 Puesto que N=X+Y, para probar que X e Y son v.a, Puesto que N=X+Y, para probar que X e Y son v.a,

independientes, bastará probar que el producto de independientes, bastará probar que el producto de sus funciones características corresponde a la sus funciones características corresponde a la función característica de N.función característica de N.

0

0

| 1

1 ;!

1 ;!

N kk

NN kk

N

Nk N k

N

Np X k N p p

k

Np X k p p e

k N

Np Y k p p e

k N


Ejercicios: Fabrega 45Ejercicios: Fabrega 45 Calculemos las funciones características de X y de Calculemos las funciones características de X y de

Y:Y:

0 0

0 0

0 0

0

1

0

;

1!

1! 1

1 1! 1

1!

jw k jw kX Y

k k

NN kk k

Xk N

kNN k

XN k

NNN

XN

NN p

XN

z e p X k z z e p Y k z

Nz p p e z

k N

N pz p e zkN p

pzz p eN p

z e p pz e eN

pz p pze


Ejercicios: Fabrega 45Ejercicios: Fabrega 45 En forma similar para la v.a, Y:En forma similar para la v.a, Y:

1

0

0 0

1 1

1 1 1

1!

1!

NN p pz p pz

XN

Nk N k k

Yk N

p p zY

p p zp pz zX Y N

z e p pz e e eN

Nz p p e z

k N

z e

z z e e e z

A) Se compueba que en efecto X e Y son v.a. Independientes. B) En caso de N fijo, las v.a. X e Y son dependientes: Y=N-X


Ejercicios: Fabrega 14 C4Ejercicios: Fabrega 14 C4 De una urna con dos bolas blancas y tres negras se De una urna con dos bolas blancas y tres negras se

extraen dos bolas. Sea X la v.a, que representa el extraen dos bolas. Sea X la v.a, que representa el número de bolas blancas extraídas.número de bolas blancas extraídas.

A) Determine la función característica de X, MA) Determine la función característica de X, MXX(w)(w) B) Usando la función característica, encuentre la B) Usando la función característica, encuentre la

esperanza y la varianza de Xesperanza y la varianza de X C) De otra urna idéntica a la anterior se extraen C) De otra urna idéntica a la anterior se extraen

igualmente dos bolas. Encuentre la función igualmente dos bolas. Encuentre la función característica de la v.a. Y que representa el número característica de la v.a. Y que representa el número de bolas blancas extraídas entre las dos extracciones.de bolas blancas extraídas entre las dos extracciones.

R:R: M MXX(w)=(3+6e(w)=(3+6ejwjw+e+ej2wj2w)/10)/10


Ejercicios: Papoulis 7-7Ejercicios: Papoulis 7-7

Muestre que si la v.a, Muestre que si la v.a, nn, tiene una distribución de , tiene una distribución de Poisson con parámetro Poisson con parámetro λλ; si la v.a, ; si la v.a, xx, es , es independiente de independiente de nn,y tiene por pdf f,y tiene por pdf fxx(x); y por (x); y por último,si z=nx; la función característica de último,si z=nx; la función característica de zz tiene tiene la siguiente expresión:la siguiente expresión:

2 2

0

; exp

!, . . . ,

Demuestrew

x

k

nk

nx n x

f x w ex

f n e n kk

n x son v a e i f n x f n f x

z


Ejercicios: Papoulis 7-7Ejercicios: Papoulis 7-7

de de zz tiene la siguiente expresión: tiene la siguiente expresión:

2 20

2 2 20

2 2 20

,!

,!/

!/

k

nxk

k

zk

n

zn

jwzz

ef n x n kkx

ef n z n kkz n

ef znz n

w f z e dz

z


Ejercicios: Fabrega C4-13Ejercicios: Fabrega C4-13 A) Determine la función característica de una v.a, A) Determine la función característica de una v.a, TT

exponencial con parámetro exponencial con parámetro λλ.. B) Demuestre que MB) Demuestre que MXX(w) es función característica y (w) es función característica y

calcule E{X} y Var{X}:calcule E{X} y Var{X}:

23 2

0 0

1

exp ; 0)

0; 0

exp exp exp

exp

jw w

X

T

T

T To

eM wjw

T TA f T

T

s T sT dT T s dT

s T s ws s jw


Ejercicios: Fabrega C4-13Ejercicios: Fabrega C4-13

2

2

3 2

3 2

2

1

1)1

1;1

31 exp ; exp82 2

1

jw wX Y Z

jw wY Z

Y Z

X Y Z

X Y Z Z Y

X Z

B M w e w wjw

w e wjw

xf x f x x u x

X Y Z f x f x f x

f x dx f x f d dx f d f x dx

f x dx f d


Ejercicios: Fabrega C4-13Ejercicios: Fabrega C4-13

2 2

2

22 2

2

3 2 3 2

3 2

2 3 23 2 3 2

2 20 0 0

22

20

22 3 2

1 1

) exp exp1

2 7 43 4 1

1 1

2

7 8 2 7 4 3 4 1 2 2

jw w s s

X X

jw w

X X

s ss s s sX

s s s

X

s

s s

e eM w M sjw s

eB f X M w jwX dw jwX dwjw

s s eM s s s e eE X

s s s

E X

M sE X

s

s s s s s e

22 3 2

4

0

2

2 2 2

7 4 1

1

7 2 3 4 9

9 2 5

s s

S

s s s e

s

E X

Var X E X E X


EjerciciosEjercicios Obtenga la función característica de una v.a, Obtenga la función característica de una v.a, xx que que

tiene una distribución Gaussiana de media tiene una distribución Gaussiana de media ηηxx y y varianza varianza σσ22..

2

2

2

2

2

2 2 2

2

22 2 2 4

2

1 exp22

12

21 exp22

21 exp22

x

xx

xjwx

jwxx

x xx

x xx

xf x

w E e e dx

x x jww dx

x jw jw ww dx


EjerciciosEjercicios Reagrupando términos y notando que el valor de la Reagrupando términos y notando que el valor de la

integral es igual a uno:integral es igual a uno:

222 2

2

22 2 2

2

22

1

2 2

1 exp2 22

1 e2

exp2

xx

xx x

x jwwjw

x

x x

x jw ww jw dx

w e dx

ww jw


Ejercicios: Fabrega C4-17Ejercicios: Fabrega C4-17 Sean YSean Y11 y Y y Y22, v.a, conjuntamente gaussianas con , v.a, conjuntamente gaussianas con

parámetros E(Yparámetros E(Y11)=1, E(Y)=1, E(Y22)=-1, Var(Y)=-1, Var(Y11)=4, Var(Y)=4, Var(Y22)=1 )=1 y y ρρ=1/2. Sea N, independiente de (Y=1/2. Sea N, independiente de (Y11,Y,Y22), también ), también gaussiana con E(N)=0 y Var(N)=2. Si X=Ygaussiana con E(N)=0 y Var(N)=2. Si X=Y11-Y-Y22+N, +N, demuestre que (X,Ydemuestre que (X,Y11) es una v.a, bidimensional ) es una v.a, bidimensional gaussiana y calcule el valor de sus parámetros.gaussiana y calcule el valor de sus parámetros.

Probabilidad y Procesos Estocásticos

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