7 procesos estocásticos

Francisco A. Sandoval

Análisis Estadístico y

Probabilístico

2013 fralbe

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AGENDA

CAP. 7: Procesos Estocásticos

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Agenda

CAP. 7: Procesos Estocásticos

• Definición

• Clasificación de los Procesos Estocásticos

• Ejemplos de Procesos Estocásticos

• Especificación de Procesos Estocásticos

• Momentos de Procesos Estocásticos

• Algunos Procesos Estocásticos Usuales

• Estacionariedad de Procesos Estocásticos

• Densidad Espectral de Potencia

• Caracterización Conjunta de Procesos Estocásticos

• Procesos Estocásticos y Sistemas Lineales

• Procesos Estocásticos Gaussianos fralbe

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Objetivos

• Introducir las nociones básicas necesarias para el estudio de procesos estocásticos.

• Presentar ejemplos de carácter práctico.

• Introducir diversas maneras de especificar los procesos y la noción de momento.

• Presentar ejemplos de procesos estocásticos específicos y el concepto de estacionariedad.

• Elaborar un concepto de especificación, definiendo la especificación conjunta de procesos.

• Introducir las nociones de independencia, descorrelación y ortogonalidad entre procesos.

• Estudiar una clase particular de procesos estocásticos, los Procesos Gaussianos.

• Analizar el paso de procesos estocásticos a través de sistemas lineales.

• Definir la densidad espectral de potencia fralbe

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DEFINICIÓN

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Definición

𝜔

Ω

ℝ 𝑥

𝜔

Ω

ℝ2 𝒙

𝒙(𝜔)

Variable Aleatoria

Vector Aleatorio

Función de Variables Aleatorias fra

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Definición

Definición 1: Procesos Estocásticos Un mapa que asocia a cada punto de muestra 𝜔 ∈ Ω una función real de un parámetro 𝑡 perteneciente un conjunto Υ (en la mayoría de los procesos estocásticos, el parámetro 𝑡 está asociado al tiempo). Se crea de esta manera una familia 𝔽 de funciones de 𝑡, (𝑡 ∈ Υ). De este modo se puede decir que un proceso estocástico (P.E.) es un mapa definido por

𝑥: Ω ⟼ 𝔽𝜔 ⟼ 𝑥 𝑡,𝜔 , 𝑡 ∈ Υ

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Definición

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Definición

• Un P.E. es una función de dos variables, 𝜔 y 𝑡, cuyos dominios son Ω y Υ ⊂ ℝ, respectivamente.

• Es común denominar cada función perteneciente

a la familia 𝔽 por función-muestra del P.E. y el

conjunto de todas las funciones por ensemble.

• Una interpretación interesante es obtenida al fijar,

por ejemplo, el valor 𝜔𝑖 para 𝜔. En este caso el

P.E. pasa a representar una única función 𝑥(𝑡, 𝜔𝑖) de 𝑡. fra

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Definición

• Si el valor 𝑡1 es fijado para el parámetro 𝑡, lo que se obtiene es una v.a. que asocia a cada punto de muestra un número real 𝑥(𝑡1, 𝜔).

• De manera análoga, al fijar 𝑛 valores 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 del parámetro 𝑡 se obtiene un vector aleatorio

𝑥(𝑡1, 𝜔)𝑥(𝑡2, 𝜔)

⋮𝑥(𝑡𝑛, 𝜔)

• Finalmente, si los valores de 𝑡 y 𝜔 son ambos fijos, el P.E. representa apenas un número real. fra

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Definición

𝑥(𝑡) puede representar cinco situaciones diferentes:

1. Una familia de funciones (𝑡 y 𝜔 variables);

2. Una única función del tiempo (𝑡 variable y 𝜔 fijo);

3. Una v.a. (𝑡 fijo y 𝜔 variable);

4. Un vector aleatorio (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 fijos y 𝜔 variable); y

5. Un único número real (𝑡 y 𝜔 fijos).

La notación, 𝑥(𝑡, 𝜔), usada para representar un P.E. será simplificada al omitirse la variable 𝜔, siendo utilizada la representación 𝑥(𝑡).

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CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS

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Clasificación de P.E.

• Los P.E. pueden ser clasificados de acuerdo

con los valores que asume o de acuerdo con

los valores que su parámetro puede asumir.

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Clasificación de P.E.

de parámetro continuo de parámetro discreto

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EJEMPLOS DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS

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Ejemplo 1: Llamadas Telefónicas llegando a una

central

• Recordando el ejemplo de un determinado número de usuarios llamando a una central telefónica, es de interés conocer como varía, a partir de un instante (tomado como origen), el número de llamadas que llega a la central. Ese número 𝑛, función del tiempo, es un proceso estocástico discreto de parámetro continuo.

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Ejemplo 1: Llamadas Telefónicas llegando a una

central

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Ejemplo 2: Ruido Térmico en los Terminales

de un Resistor

• El movimiento térmico de electrones libres en un conductor (ej. resistor) da origen a una tensión de ruido cuya variación a lo largo del tiempo no es posible representar determinísticamente.

• Esta tensión constituye un P.E. continuo de parámetro continuo.

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Ejemplo 2: Ruido Térmico en los Terminales

de un Resistor

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Ejemplo 3: Señal de voz muestreada

• La señal de voz transmitida por un sistema de comunicaciones es esencialmente no-determinística, constituyendo claramente un P.E.

• Cuando se trata de transmitir esta señal en forma digital, el primer paso en el proceso de la señal de voz consiste en muestrearla a una determinada frecuencia de muestreo (𝑓0 muestras por segundo, ej.).

• Resulta de esta operación una secuencia de valores de tensión en puntos aislados del eje del tiempo que, debido a lo impredecible de su variación, es adecuadamente modelada por un P.E. Se trata claramente de un P.E. continuo, de parámetro discreto. fra

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Ejemplo 3: Señal de voz muestreada

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Ejemplo 4: Señal recibida en una llamada

• El problema de las variaciones impredecibles de la amplitud de la señal recibida en una llamada radioeléctrica constituye el fenómeno de desvanecimiento.

• La imposibilidad de describir estas variaciones determinísticamente, lleva a modelar la amplitud de la señal recibida por un P.E. continuo de parámetro continuo, con función muestra 𝑠(𝑡, 𝜔). fra

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Ejemplo 4: Señal recibida en una llamada

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ESPECIFICACIÓN DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS

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Especificación de P.E.

• Al fijar el parámetro 𝑡, (𝑡 ∈ Υ) de un P.E. 𝑥(𝑡), se obtiene una v.a., representada aquí por 𝑥𝑡.

• Asociada a esta v.a. se tiene una FDP 𝐹𝑥𝑡(𝑋) y,

consecuentemente una fdp 𝑝𝑥𝑡 𝑋 .

• Para cada valor distinto de 𝑡 ∈ Υ, se obtiene

una v.a. diferente.

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• Las fdp’s 𝑝𝑥𝑡 𝑋 , 𝑡 ∈ Υ son denominadas

fdp’s de primer orden del P.E. 𝑥(𝑡).

Definición 2: Especificación de 1° Orden de un P.E. Se dice que un P.E. está especificado hasta el primer orden cuando la fdp 𝑝𝑥𝑡(𝑋) es conocida para cualquier valor de 𝑡 ∈ Υ.

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Ejemplo: Especificación de 1° orden

Considere un P.E. 𝑥(𝑡), cuyas funciones muestra son rectas de la forma

𝑥 𝑡 = 𝑎1𝑡 + 𝑎2 donde 𝑎1 y 𝑎2 son v.a. conjuntamente gaussianas, o sea, ellas forman un vector gaussiano 𝒂. Suponga que:

𝒎𝒂 = 𝟎 =00

y

𝑲𝒂 =1

1

21

21

Determinar la fdp de 1° orden de este P.E. fralbe

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La v.a. 𝑥𝑡 es función del vector aleatorio 𝒂. En particular.

𝑥𝑡 = 𝑎1𝑡 + 𝑎2

o sea 𝑥𝑡 = 𝑨 𝒂

donde 𝑨 es una matriz de dimensión 1 × 2 dada por

𝑨 = (𝑡 1) fralbe

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Como 𝒂 es un vector gaussiano se tiene que 𝑥𝑡 es una v.a. gaussiana. Además

𝑚𝑥𝑡 = 𝑨 𝒎𝒂 = 0

y 𝜎𝑥𝑡2 = 𝑨 𝑲𝒂 𝑨

𝑇 = 𝑡2 + 𝑡 + 1

se tiene así:

𝑝𝑥𝑡(𝑋) =1

2𝜋 𝑡2+𝑡+1 𝑒−

𝑋2

2 𝑡2+𝑡+1 fralbe

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• La fdp de 1° orden del P.E. 𝑥(𝑡) puede ser utilizada para calcular la probabilidad de algunos eventos definidos sobre el P.E. 𝑥(𝑡).

• Ejemplo: suponga que se desea calcular la probabilidad de tener una función muestra del procesos que, en el instante 𝑡 = 5, exceda el valor 0.

𝑃 𝑥 5 > 0 = 𝑃 𝑥5 > 0 = 𝑝𝑥5 𝑋 𝑑𝑋∞

0

donde 𝑝𝑥5(𝑋) es obtenido haciendo 𝑡 = 5 en la fdp 𝑝𝑥𝑡(𝑋).

Finalmente se obtiene

𝑃 𝑥 5 > 0 = 1

2𝜋 31𝑒−

𝑋2

62𝑑𝑋 = 𝑄 0 =1

2

∞

0

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• El conocimiento de la fdp de 1° orden de un P.E. no siempre es suficiente para determinar las probabilidades deseadas.

• Existen ejemplos que requieren el conocimiento de las fdp’s conjunta de dos v.a.’s, ambas definidas sobre el mismo proceso 𝑥(𝑡).

• Este hecho induce a la definición de especificación de 2° orden de un P.E. fra

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Definición 3: Especificación de 2° Orden de un P.E. Se dice que un P.E. está especificado hasta el segundo orden cuando la fdp conjunta 𝑝𝑥𝑡1𝑥𝑡2(𝑋1, 𝑋2) (fdp de segundo orden del

P.E. 𝑥(𝑡)) es conocida para cualquier par de valores de 𝑡1 ∈ Υ, t2 ∈ Υ.

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Considere el P.E. 𝑥(𝑡), definido en el ejemplo anterior. Determine la fdp de 2° orden de este proceso estocástico.

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Definición 4: Especificación de Orden 𝑚 de un P.E. Se dice que un P.E. está especificado hasta el orden 𝑚 cuando la fdp conjunta 𝑝𝑥𝑡1𝑥𝑡2…𝑥𝑡𝑚

𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑚 (fdp de orden 𝑚 del P.E. 𝑥(𝑡))

es conocida para cualquier conjunto de valores de 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑚 , tales que 𝑡1 ∈ Υ, t2 ∈ Υ,… , 𝑡𝑚 ∈ Υ.

Un P.E. especificado hasta el orden 𝑚, está también especificado hasta cualquier orden inferior a 𝑚.

Definición 5: Especificación completa de un P.E. Se dice que un P.E. está especificado completamente se el está especificado hasta el orden 𝑚, para cualquier valor entero 𝑚. fra

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MOMENTOS DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS

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Momentos de Procesos Estocásticos

• Los momentos de un proceso estocástico son

los momentos de variables aleatorias definidas

en cualquier instante del proceso.

Definición 6: Media de un Proceso Estocástico La media de un proceso estocástico 𝑥(𝑡), representada por 𝑚𝑥(𝑡), es definida como la media de la variable aleatoria 𝑥(𝑡) (en notación más compacta, 𝑥𝑡) asociada a un instante cualquiera 𝑡 ∈ Υ, o sea,

𝑚𝑥 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑡 ; 𝑡 ∈ Υ fralbe

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Definición 7: Función Autocorrelación de un Proceso Estocástico La función Autocorrelación de un procesos estocástico 𝑥(𝑡), representada por 𝑅𝑥(𝑡1, 𝑡2), es definida como la correlación entre las variables aleatorias 𝑥(𝑡1) y 𝑥(𝑡2) (en notación más compacta 𝑥𝑡1 y 𝑥𝑡2) asociadas a dos valores cualquiera 𝑡1 ∈ Υ y 𝑡2 ∈ Υ del

parámetro del proceso, o sea, 𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 ; 𝑡1 ∈ Υ , 𝑡2 ∈ Υ

El valor de la función de un P.E. cuando 𝑡1 = 𝑡2 = 𝑡 es denominado valor medio cuadrático del proceso estocástico, siendo dado por

𝑅𝑥 𝑡, 𝑡 = 𝐸 𝑥2 𝑡 ; 𝑡 ∈ Υ fralbe

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Definición 8: Función Autocovarianza de un P.E. La función autocovarianza de un P.E. 𝑥(𝑡), representada por 𝐾𝑥 𝑡1, 𝑡2 , es definida como la covarianza entre las variables aleatorias 𝑥(𝑡1) y 𝑥(𝑡2) asociadas a dos valores cualquiera 𝑡1 ∈ Υ y 𝑡2 ∈ Υ del parámetro del proceso, o sea,

𝐾𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 −𝑚𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 −𝑚𝑥 𝑡2 ; 𝑡1 ∈ Υ , 𝑡2 ∈ Υ

Es posible llegar a la relación 𝐾𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 −𝑚𝑥 𝑡1 𝑚𝑥(𝑡2)

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Ejemplo

Considere el P.E. 𝑥(𝑡), definido en el ejemplo anterior. Determine la media, la función autocorrelación y la función autocovarianza.

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PROCESOS ESTOCÁSTICOS USUALES

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Transmisión Binaria Semi-Aleatoria

• Considere el P.E. 𝑥(𝑡) que caracteriza una transmisión binaria semi-aleatoria, definida de la siguiente manera: durante cualquiera de los intervalos

𝐼𝑛 = 𝑛 − 1 𝑇, 𝑛𝑇 ; 𝑛 entero

el proceso 𝑥 𝑡 puede asumir uno de entre dos valores, 𝐴 y −𝐴.

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• Considerar que el valor del P.E. en un determinado intervalo es estadísticamente independiente de su valor en los demás intervalos. Se supone además que los valores 𝐴 y − 𝐴 ocurren con probabilidad 𝑝 y (1 − 𝑝), respectivamente.

• Para un instante genérico cualquiera 𝑡, la fdp de 1° orden del P.E. se expresa

𝑝𝑥𝑡 𝑋 = 𝑝𝛿 𝑋 − 𝐴 + 1 − 𝑝 𝛿(𝑋 + 𝐴)

• La media de este proceso estocástico es

𝑚𝑥 𝑡 = 𝐸 𝑥𝑡 = 𝑋𝑝𝑥𝑡 𝑋 𝑑𝑋 = 𝐴(2𝑝 − 1)∞

−∞ fra

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• Para calcular la función autocorrelación, considere la v.a. 𝑦 = 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 donde 𝑡1 y 𝑡2 son instantes cualquiera satisfaciendo la condición

𝑡1 ∈ 𝐼𝑛1

𝑡2 ∈ 𝐼𝑛2

• Se consideran dos situaciones: – Los instantes 𝑡1 y 𝑡2, que definen las v.a.’s 𝑥𝑡1 y 𝑥𝑡2 ,

pertenecen al mismo intervalo, o sea 𝑛1 = 𝑛2. En este caso, la v.a. 𝑦 asume siempre el valor 𝐴2. Consecuentemente:

𝑝𝑦|𝑛1=𝑛2 𝑌 = 𝛿 𝑌 − 𝐴2

– 𝑛1 ≠ 𝑛2, la v.a. 𝑦 puede asumir los valores 𝐴2 y −𝐴2. Por tanto

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𝑃 𝑦 = 𝐴2 𝑛1 ≠ 𝑛2= 𝑃 𝑥𝑡1 = 𝐴, 𝑥𝑡2 = 𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2+ 𝑃 𝑥𝑡1 = −𝐴, 𝑥𝑡2 = −𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2

y

𝑃 𝑦 = −𝐴2 𝑛1 ≠ 𝑛2= 𝑃 𝑥𝑡1 = 𝐴, 𝑥𝑡2 = −𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2+ 𝑃 𝑥𝑡1 = −𝐴, 𝑥𝑡2 = 𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2

dado que 𝑛1 ≠ 𝑛2, la v.a. 𝑥(𝑡1) toma valores independientemente de la v.a. 𝑥(𝑡2), se obtiene fra

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𝑃 𝑦 = 𝐴2|𝑛1 ≠ 𝑛2 = 𝑝2 + 1 − 𝑝 2

= 2𝑝2 − 2𝑝 + 1

y

𝑃 𝑦 = −𝐴2 𝑛1 ≠ 𝑛2 = 2𝑝 1 − 𝑝 = 2𝑝 − 2𝑝2

Consecuentemente

𝑝𝑦|𝑛1≠𝑛2𝑌

= 2𝑝2 − 2𝑝 + 1 𝛿 𝑌 − 𝐴2

+ 2𝑝 − 2𝑝2 𝛿 𝑌 + 𝐴2

Como

𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 = 𝐸,𝑦- fralbe

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• se obtiene que

𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐴2 ; 𝑛1 = 𝑛2𝐴2 2𝑝 − 1 2 ; 𝑛1 ≠ 𝑛2

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Onda Senoidal con Fase Aleatoria

• Considere el P.E. 𝑥(𝑡) definido por una señal sinosoidal con un ángulo de fase aleatorio, o sea

𝑥 𝑡 = 𝐴 sin 2𝜋𝑓0𝑡 + 𝜃

donde 𝜃 es una v.a. uniformemente distribuida en el intervalo, (0, 2𝜋- o sea,

𝑝𝜃 Θ = 1\2𝜋 ; Θ ∈ (0, 2𝜋-0 ; Θ ∉ (0, 2𝜋-

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Onda Senoidal con Fase Aleatoria

• La media de este P.E. es dada por

𝑚𝑥 𝑡 = 𝐸 𝐴 sin 2𝜋𝑓0𝑡 + 𝜃

= 𝐴 sin(2𝜋𝑓0𝑡∞

−∞

+ 𝜃) 𝑝𝜃 Θ 𝑑Θ = 𝐴 sin 2𝜋𝑓0𝑡 + Θ1

2𝜋𝑑Θ = 0

2𝜋

0

La Función autocorrelación del P.E. es dada por

𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 = 𝐸 𝐴2 sin 2𝜋𝑓0𝑡1 + 𝜃 sin 2𝜋𝑓0𝑡2 + 𝜃

=𝐴2

2𝐸 cos 2𝜋𝑓0 𝑡2 − 𝑡1 −

𝐴2

2𝐸 cos 2𝜋𝑓0 𝑡2 − 𝑡1 + 2𝜃

Finalmente

𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 =𝐴2

2cos 2𝜋𝑓0 𝑡2 − 𝑡1 fra

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ESTACIONARIEDAD DE LOS P.E.

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Estacionariedad de un P.E.

• Un P.E. puede ser estacionario en diversos

grados de estacionariedad.

Definición 9: Estacionariedad de Orden 𝒎 Un proceso estacionario 𝑥(𝑡) es dicho estacionario de orden 𝑚 cuando su fdp de orden 𝑚 no varia con un desplazamiento en el tiempo, o sea, cuando 𝑝𝑥1𝑥2𝑥3…𝑥𝑡𝑚

𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑚 = 𝑝𝑥𝑡1+𝑥𝑡2+𝜏…𝑥𝑡𝑚+𝜏𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑚 ; ∀𝜏

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Observaciones:

• Un P.E. 𝑥(𝑡) es dicho estacionario de 1° orden cuando

𝑝𝑥𝑡 𝑋 = 𝑝𝑥𝑡+𝜏 𝑋 ; ∀𝜏

• Un P.E. 𝑥 𝑡 es dicho estacionario de 2° orden cuando

𝑝𝑥1𝑝𝑥2 𝑋1, 𝑋2 = 𝑝𝑥𝑡1+𝑥𝑡2+𝜏 𝑋1, 𝑋2 ; ∀𝜏

• Si 𝑥 𝑡 es un P.E. estacionario de orden 𝑚, el es también estacionario de orden 𝑘, para cualquier valor 𝑘 < 𝑚.

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Definición 10: Estacionariedad en el sentido Estricto Un P.E. es dicho estacionario en el sentido estricto, o estrictamente estacionario, cuando él es estacionario de orden 𝑚 para cualquier valor entero de 𝑚.

Definición 11: Estacionariedad en el sentido Amplio Un P.E. 𝑥(𝑡) es dicho estacionario en sentido amplio, si

𝑚𝑥 𝑡 = ηx ; ∀𝜏 y

𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅𝑥 𝜏 ; 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1 o sea, cuando su media es constante y su función autocorrelación depende de la diferencia 𝑡2 − 𝑡1. fra

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Ergodicidad

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Propiedades de la Función Autocorrelación de

P.E. Estacionarios en el Sentido Amplio.

• En el caso de P.E. en el sentido amplio, por el

hecho de que la función autocorrelación

𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 depende apenas de la diferencia

𝑡2 − 𝑡1, es usual representar la función

autocorrelación como función de una única

variable 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1

𝑅𝑥 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝜏

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Propiedades de la Función Autocorrelación de P.E.

Estacionarios en el Sentido Amplio (P.E.E.S.A.)

1. La función autocorrelación de P.E.E.S.A. es par, o sea

𝑅𝑥 𝜏 = 𝑅𝑥 −𝜏

2. El valor de la función autocorrelación de P.E.E.S.A. en 𝜏 = 0 es igual al valor medio cuadrático del proceso, o sea

𝑅𝑥 0 = 𝐸 𝑥2 𝑡

3. Si un P.E.E.S.A. contiene una componente periódica de periodo 𝑇, o sea, si

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑛𝑇 ; 𝑛 entero

entonces, su función autocorrelación posee una componente periódica del mismo periodo que

𝑅𝑥 𝜏 = 𝑅𝑥 𝜏 + 𝑛𝑇 ; 𝑛 entero

4. Si un P.E.E.S.A. no contiene componentes periódicas, entonces

lim𝜏→∞

𝑅𝑥 𝜏 = 𝑚𝑥2 𝑡 = η𝑥

2

5. La función autocorrelación de P.E.E.S.A. es máxima para 𝜏 = 0, o sea,

𝑅𝑥 𝜏 ≤ 𝑅𝑥 0 ; ∀𝜏 ≠ 0 fralbe

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DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

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Densidad Espectral de Potencia

• En el análisis o proyección de sistemas, el

conocimiento de la manera por la cual la potencia

se distribuye a lo largo del espectro de frecuencia

es de extrema importancia.

• La Densidad Espectral de Potencia de una señal

es una función de la frecuencia 𝑓 que, cuando se

integra a lo largo de una banda de frecuencias

proporciona el valor de la potencia de la señal

existente en la banda de frecuencias considerada. fralbe

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• En el caso de una señal determinística cualquier 𝑥 𝑡 , la función densidad espectral de potencia a ella asociada es definida por

𝑆𝑥 𝑓 = lim𝑇→∞

𝑋𝑇 𝑓 2

𝑇

donde

𝑋𝑇 𝑓 = ℱ 𝑥𝑇 𝑡

con

𝑥𝑇 𝑡 = 𝑥(𝑡) ; 𝑡 ≤

𝑇

2

0 ; 𝑡 >𝑇

2

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• En el caso de P.E.E.S.A., la densidad espectral de potencia es dada por la transformada de su función autocorrelación.

𝑆𝑥 𝑓 = 𝑅𝑥 𝜏 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝜏𝑑𝜏 = ℱ 𝑅𝑥 𝜏∞

∞

• La potencia media de un proceso 𝑥(𝑡) en una banda de frecuencias caracterizadas por el intervalo ,𝑓1, 𝑓2- es dada por

𝑃𝑥 𝑓1,𝑓2= 𝑆𝑥 𝑓 𝑑𝑓 + 𝑆𝑥 𝑓 𝑑𝑓

𝑓1

𝑓2

−𝑓1

−𝑓2

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• La potencia media total del proceso puede ser

obtenida de la ecuación anterior, haciendo

𝑓1 = 0 y 𝑓2 = ∞. Se tiene así

𝑃𝑥 = 𝑆𝑥 𝑓 𝑑𝑓 + 𝑆𝑥 𝑓 𝑑𝑓 = 𝑆𝑥 𝑓 𝑑𝑓∞

−∞

∞

0

0

−∞

• En el caso de que 𝑥 𝑡 sea un P.E.E.S.A. se

puede escribir

𝑃𝑥 = 𝑅𝑥 0 = 𝐸 𝑥2 𝑡 fralbe

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• La función autocorrelación de un proceso de

ruido blanco es

𝑅𝑥 𝜏 = 𝐶𝛿 𝜏

Definición 12: Ruido Blanco Un P.E. 𝑥 𝑡 , E.S.A., es dicho un proceso de ruido blanco si su densidad espectral de potencia es constante a lo largo de todo el espectro de frecuencias, o sea, si

𝑆𝑥 𝑓 = 𝐶

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CARACTERIZACIÓN CONJUNTA DE P.E.

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Especificación Conjunta de dos P.E.

Definición 13: Especificación Conjunta de Orden 𝑚+ 𝑛 de Dos P.E.’s

Definición 14: Especificación Conjunta Completa de Dos P.E.’s Se dice que dos P.E. 𝑥 𝑡 y 𝑦(𝑡) están conjunta o completamente especificados cuando ellos están conjuntamente especificados hasta el orden 𝑛 +𝑚 para cualquier valor de 𝑚 + 𝑛. fra

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Momentos Conjuntos de Dos P.E.’s

Definición 15: Función Correlación Cruzada La función correlación cruzada 𝑅𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 de dos P.E. 𝑥 𝑡 y 𝑦 𝑡 es

definida como la correlación entre las v.a.’s 𝑥(𝑡1) y 𝑦(𝑡2) definidas sobre cada uno de los procesos, respectivamente. Esto significa que

𝑅𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑦 𝑡2

Definición 16: Función Covarianza Cruzada La función covarianza cruzada 𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 de dos P.E.’s 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡)

es definida como la covarianza entre las v.a.’s 𝑥(𝑡1) y 𝑦 𝑡2 definidas sobre cada uno de los procesos, respectivamente, o sea,

𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 −𝑚𝑥 𝑡1 𝑦 𝑡2 −𝑚𝑦 𝑡2

𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 −𝑚𝑥 𝑡1 𝑚𝑦(𝑡2) fralbe

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Estacionariedad Conjunta de dos P.E.’s

Definición 17: Estacionariedad Conjunta de Orden 𝑚 + 𝑛 de dos P.E.’s

Definición 18: Estacionariedad Conjunta en el Sentido Estricto de dos P.E.’s

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Estacionariedad Conjunta de dos P.E.’s

Definición 19: Estacionariedad Conjunta en el Sentido Amplio de dos P.E.’s

Definición 20: Densidad Espectral Cruzada de Dos P.E.’s

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Independencia, Descorrelación y

Ortogonalidad

Definición 21: P.E.’s Estadísticamente Independientes (e.i.) Dos P.E.’s 𝑥(𝑦) y 𝑦(𝑡) son dichos e.i. cuando, para cualquiera de los valores enteros positivos 𝑚 y 𝑛, y para cualquier conjunto de valores *𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑚, 𝑡1

′ , 𝑡2′ , … , 𝑡𝑛

′ +, la fdp conjunta de las v.a.’s *𝑥 𝑡1 , 𝑥 𝑡2 , … , 𝑥 𝑡𝑚 , 𝑦 𝑡1

′ , 𝑦 𝑡2′ , … , 𝑦(𝑡𝑛

′ )+, puede ser escrita como el producto de la función densidad de probabilidad conjunta de las v.a.’s *𝑥 𝑡1 , 𝑥 𝑡2 , … , 𝑥(𝑡𝑚)+ con la fdp conjunta de las v.a.’s 𝑦 𝑡1

′ , 𝑦 𝑡2′ , … , 𝑦 𝑡𝑛

′ , o sea, 𝑝𝑥𝑡1𝑥𝑡2…𝑥𝑡𝑚𝑦

𝑡1′ 𝑦𝑡2

′…𝑦𝑛′ 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑚, 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛

= 𝑝𝑥𝑡1𝑥𝑡2…𝑥𝑡𝑚𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑚 𝑝𝑦

𝑡1′ 𝑦𝑡2

′…𝑦𝑡𝑛′ 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 ; ∀𝑛,𝑚

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Independencia, Descorrelación y

Ortogonalidad

Definición 22: Procesos Estocásticos Descorrelacionados Dos P.E. 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) son dichos descorrelacionados cuando su función covarianza cruzada es nula para cualquiera de los valores de 𝑡1 y 𝑡2, o sea,

𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 0 ; ∀ 𝑡1, 𝑡2

Una condición equivalente para P.E.’s descorrelacionados es 𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑡1 𝑚𝑦(𝑡2)

Definición 23: Procesos Estocásticos Ortogonales Dos P.E.’s 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) son dichos ortogonales cuando su función correlación cruazda es nula para cualquiera de los valores de 𝑡1 y 𝑡2, o sea,

𝑅𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 0 ; ∀𝑡1, 𝑡2 fralbe

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Propiedades de la Función Correlación

Cruzada de P.E. Conjuntamente E.S.A.

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PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y SISTEMAS LINEALES

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P.E. y Sistemas Lineales

• Las representaciones matemáticas de P.E.’s presentadas anteriormente pueden ser útiles para caracterizar la salida de un sistema lineal, cuando éste es excitado por un proceso estocástico.

• Se considerará únicamente sistemas lineales invariantes en el tiempo, cuyo comportamiento puede ser representado alternativamente por su respuesta al impulso ℎ(𝑡) o su respuesta de frecuencia 𝐻(𝑓), definida como la transformada de Fourier de su respuesta al impulso.

• Con conveniencia en la mayoría de los casos las condiciones iniciales son nulas. Cualquier condición inicial no nula puede considerarse a partir de los métodos usuales de análisis de sistemas lineales.

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• La Figura representa un sistema lineal

invariante en el tiempo, en el dominio del

tiempo.

• 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) representan, respectivamente, la

entrada y la salida del sistema lineal y ℎ(𝑡) su

respuesta al impulso.

ℎ(𝑡) 𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)

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• La salida de un sistema lineal invariante en el tiempo se relaciona con su entrada a través de la integral de convolución, o sea,

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼∞

−∞

• Los resultados siguientes se restringen al caso de sistemas físicamente realizables y estables en el sentido BIBO (bounded input – bounded output). Restricción matemática que puede expresarse por

ℎ 𝑡 = 0 ; 𝑡 < 0

y

ℎ 𝑡 𝑑𝑡 < +∞∞

−∞

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• Satisfaciendo la condición anterior, la integral de convolución se reduce a

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼𝑡

−∞

• Equivalente a

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝛽 ℎ 𝛽 𝑑𝛽∞

0

realizando una cambio de variables de integración 𝛽 = 𝑡 − 𝛼. fra

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• Considerar que la entrada 𝑥(𝑡) de un sistema

lineal sea un P.E.E.S.A. Determinar la media y

la función autocorrelación del P.E. 𝑦(𝑡) que

caracteriza la salida del sistema lineal.

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media de 𝑦(𝑡)

𝑚𝑦 𝑡 = 𝐸 𝑦 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼∞

∞

o sea

𝑚𝑦 𝑡 = 𝑚𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)

considerando que 𝑥(𝑡) es E.S.A. y consecuentemente 𝑚𝑥 𝑡 = 𝜂𝑥, se tiene

𝑚𝑦 𝑡 = 𝜂𝑥 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼∞

∞

= 𝜂𝑥 ℎ 𝛽 𝑑𝛽 = 𝜂𝑥𝐻 0 = 𝜂𝑦

∞

−∞

Observar: la media de 𝑦(𝑡) es constante. Y si el sistema lineal es estable la integral es finita y consecuentemente 𝜂𝑦 < +∞ fra

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Función autocorrelación de 𝑦(𝑡)

𝑅𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2

= 𝐸 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 ℎ 𝑡1 − 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽∞

−∞

∞

−∞

o

𝑅𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2

= 𝑅𝑥(𝛼, 𝛽)ℎ 𝑡1 − 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽∞

−∞

∞

−∞

considerando que 𝑥(𝑡) es E.S.A., se obtiene

𝑅𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2

= 𝑅𝑥(𝛼 − 𝛽)ℎ 𝑡1 − 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽∞

−∞

∞

−∞

esta expresión puede simplificarse al considerar un cambio de las variables de integración dados por fra

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Función autocorrelación de 𝑦(𝑡)

𝜆 = 𝑡1 − 𝛼𝛾 = 𝑡2 − 𝛽

se tiene entonces, con 𝜏 = 𝑡1 − 𝑡2

𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2

= 𝑅𝑥(𝑡1 − 𝑡2 − 𝜆∞

−∞

∞

−∞

+ 𝛾)ℎ 𝜆 ℎ 𝛾 𝑑𝜆𝑑𝛾 = 𝑅𝑦(𝜏)

𝑦(𝑡) es E.S.A.

Luego de algunas manipulaciones algebraicas, es posible simplificar la expresión

𝑅𝑦 𝜏 = ℎ −𝜏 ∗ ℎ 𝜏 ∗ 𝑅𝑥(𝜏)

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Función correlación cruzada

La función correlación cruzada 𝑅𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 de los

P.E. 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) pueden ser obtenidas considerando

𝑅𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑦 𝑡2

= 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛼 𝑑𝛼∞

−∞

haciendo 𝛽 = 𝑡2 − 𝛼

𝑅𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅𝑥 𝑡1, 𝑡2 − 𝛽 ℎ 𝛽 𝑑𝛽∞

−∞

fra

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Función correlación cruzada

como 𝑥(𝑡) es E.S.A.

𝑅𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅𝑥 𝑡2 − 𝛽 − 𝑡1 ℎ 𝛽 𝑑𝛽∞

−∞

= 𝑅𝑥𝑦 𝜏 ; 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1

o en notación más simple

𝑅𝑥𝑦 𝜏 = 𝑅𝑥 𝜏 ∗ ℎ(𝜏)

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• Se concluye, que en un sistema lineal invariante

en el tiempo y estable, si la entrada es un

P.E.E.S.A. , entonces los P.E. de entrada y de salida

del sistema lineal son conjuntamente E.S.A.

• La densidad espectral de potencia del P.E. 𝑦(𝑡) puede ser obtenida aplicando la transformada de

Fourier a ambos lados de la función

autocorrelación.

𝑆𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 ∗𝐻 𝑓 𝑆𝑥(𝑓)

fra

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o

𝑆𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 2𝑆𝑥(𝑓)

De manera análoga, la densidad espectral

cruzada de los P.E. 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) puede ser

obtenida aplicando la transformada de Fourier a

ambos lados de la función correlación cruzada

𝑆𝑥𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 𝑆𝑥(𝑓) fralbe

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Ejemplo Considere un P.E. de ruido blanco 𝑥(𝑡) con media nula y densidad espectral de potencia dada por

𝑆𝑥 𝑓 =𝑁0

2

se tiene en este caso

𝑅𝑥 𝜏 = ℱ−1 𝑆𝑥 𝑓 =𝑁0

2𝛿(𝜏)

Determinar la media, la función autocorrelación y la potencia media del P.E. 𝑦(𝑡) obtenida por el paso del proceso estocástico 𝑥(𝑡) a través del filtro RC de la figura.

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PROCESOS ESTOCÁSTICOS GAUSSIANOS

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P.E.’s Gaussianos

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REFERENCIAS

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Referencias

• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.

(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;

Rio de Janeiro: Publicação CETUC.

• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios

em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]

• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría

de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]

• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and

Random Processes For Electrical

Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,

University of Toronto, 2008.

fra

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