Unidad II: Procesos Estocásticos

Investigación de

Operaciones II

Ing. Paulina González Martínez

Contacto: clasesdii@gmail.com

Unidad II: Procesos Estocásticos

Procesos Estocásticos.

Cadenas de Markov. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov.

Clasificación de estados de una cadena de Markov.

Tiempos de primera pasada.

Propiedades de lago plazo de las cadenas de Markov.

Cadenas de Markov en tiempo continuo.

AUTOESTUDIO:

- Cap. 17 Taha, “Cadenas de Markov”

- Cap. 16 Hillier-Liberman, “Cadenas de Markov”

•Un proceso estocástico se define como una colección indexada de

variables aleatorias (Xt), donde el índice t toma valores de un conjunto T

dado. Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos, y

Xt representa una característica de interés mesurable en el tiempo t. Por

ejemplo, Xt puede representar los niveles de inventario al final de una

semana t.

•El interés de los procesos estocásticos es describir el comportamiento de

un sistema en operación durante algunos periodos.

PROCESO ESTOCASTICO

EJEMPLOS DE PROCESOS ESTOCASTICOS

Serie mensual de ventas de un producto

Estado de una máquina al final de cada semana (funciona/averiada)

Número de clientes esperando en una fila cada

30 segundos

Marca de detergente que compra un consumidor cada vez que se hace la compra.

Se supone que existen 7 marcas diferentes

Número de unidades en almacén al finalizar la

semana

EJEMPLO 1

• Se dispone de 4 módulos de atención que se van activando secuencialmente a medida que la cantidad de usuarios que deben ser atendidos aumenta.

• Cada módulo tiene un máximo de usuarios a los que se les puede entregar servicio.

• Cuando un módulo está completamente utilizado, entra en servicio el siguiente módulo.

• Si un módulo deja de ser utilizado, el módulo se desactiva temporalmente, quedando en servicio los módulos anteriores.

EJEMPLO 1

• La definición de estados sería:

– Estado 1: El módulo 1 está siendo utilizado.

– Estado 2: El módulo 2 está siendo utilizado.

– Estado 3: El módulo 3 está siendo utilizado.

– Estado 4: El módulo 4 está siendo utilizado.

EJEMPLO 2 • Si consideramos los siguientes porcentajes, para pasar de curso, repetir o

retirarse cada año:

– Repetir 1°año: 2%

– Pasar a 2° año: 97%

– Retirarse al final del 1° año: 1%

– Repetir 2°año: 3%

– Pasar a 3° año: 95%

– Retirarse al final del 2° año: 2%

– Repetir 3°año: 4%

– Pasar a 4° año: 92%

– Retirarse al final del 3° año: 4%

– Repetir 4°año: 1%

– Egresar: 96%

– Retirarse al final del 4° año: 3%

EJEMPLO 2

• Definición de estados:

– Estado 1: Estar en 1° año.

– Estado 2: Estar en 2° año

– Estado 3: Estar en 3° año

– Estado 4: Estar en 4° año

– Estado 5: Egresar

– Estado 6: Retirarse del establecimiento.

ACTIVIDAD: Representar gráficamente los estados

EJEMPLO 3

El clima de La Serena puede cambiar con rapidez de un día a otro. Sin embargo, las posibilidades de tener un clima seco (sin lluvia) mañana es de alguna forma mayor si hoy está seco, es decir, no llueve. Estas probabilidades no cambian si se considera la información acerca del clima en los días anteriores a hoy.

EJEMPLO 3

SOLUCIÓN:

La evolución del clima día tras día en La Serena es un proceso estocástico. Si se comienza en algún día inicial (etiquetado como el día 0). El clima se observa cada día t, puede ser:

Estado 0: día seco

Estado 1: día t es lluvioso

Así, para t=0, 1, 2… la variable aleatoria Xt toma los valores:

Xt 0 sí día t es seco

1 sí día t es lluvioso

De esta manera se proporciona una representación matemática de la forma como se comporta el clima de La Serena a través del tiempo.

1. En un lote de autos usados, el 25% son de la marca Ford, el 45% son Chevrolet y el 30%

son Chrysler, de los cuales, 2 de cada 8 autos Ford son estándar, 1 de cada 10 autos

Chevrolet son estándar y 2 de cada 10 autos Chrysler son también estándar, un cliente

compra un auto de este lote,

a. ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado por el cliente sea estándar?

b. ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado un auto Chevrolet estándar?

c. ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado sea Ford o Chrysler automático?

Probabilidad

Ford

S 2/8

A 6/8

Chevrolet

S 1/10

A 9/10

Chrysler

S 2/10

A 8/10

25%

45%

30%

PROCESO ESTOCASTICO: Árbol de probabilidades

a. Probabilidad de seleccionar auto estándar

P(seleccionar un auto estándar) = p(seleccionar un Chevrolet o Chrysler o Ford

estándar)

= p(ChS) + p(ChrS) + p(FS)

= p(Ch)p(SCh) + p(Chr)p(SChr) + p(F)p(SF)

= 0.45*1/10 + 0.30*2/10 + 0.25*2/8

= 0.045 + 0.06 + 0.0625

= 0.1675

b.P(seleccionar un Chevrolet estándar) = 0.45*1/10 = 0.045

c.P(seleccionar un Ford o Chrysler automático) = p(FA) + p(ChrA)

= p(F)p(AF) + p(Chr)p(AChr)

= 0.25*6/8 + 0.30*8/10

= 0.1875 + 0.24 = =0.4275

PROCESO ESTOCASTICO

PROPIEDAD MARKOVIANA

“Nos dice que el futuro depende únicamente del valor del estado del

presente y es independiente del pasado”

Es una propiedad que posee los procesos aleatorios y de ramificación,

es decir, sus valores en el n-ésimo paso sólo dependen de los valores en

el (n-1)-ésimo paso, y no de los anteriores. Esta propiedad, conocida

como la propiedad Markoviana es de gra importancia en el estudio de

estos procesos, y en el estudio general de la teoría de procesos

estocásticos.

PROPIEDAD MARKOVIANA

La probabilidad condicional P(Xn+1 = j | Xn = i), de que la cadena estará en el

estado j en el tiempo n + 1 si está en el estado i en el tiempo n se conoce como

una probabilidad de transición. Si para una cadena de Markov esta probabilidad

de transición tiene el mismo valor para todo los tiempos n (n = 1, 2, 3, ... )

decimos que la cadena tiene probabilidades de transición estacionarias.

Es decir una cadena de Markov tiene probabilidades de transición estacionarias

si para cualquier estados i y j existe una probabilidad de transición pij tal que

P(Xn+1 = j | Xn = i) = pij para n =1, 2, 3,...

Probabilidad de transición de un paso del estado i al

estado j

Probabilidad de transición de n

pasos

EJERCICIOS

1. Suponga que un jugador tiene $1 y que cada jugada gana $1 con probabilidad p>0

o pierde $1 con probabilidad 1-p. El juego termina cuando el jugador acumula $3

o bien cuando quiebra

2. Una partícula se mueve sobre un círculo por puntos marcados 0, 1, 2, 3, 4 (en el

sentido de las manecillas del reloj). La partícula comienza en el punto 0. en cada

paso tiene una probabilidad de 0,5 de moverse un punto en el sentido de las

manecillas del reloj (0 sigue a 4) y una probabilidad de 0,5 de moverse a un punto

en el sentido opuesto a las manecillas del reloj. Encuentre la matriz de transición

de un paso.

EJERCICIO Nº2

Suponga que toda la industria de gaseosas produce solo 2 colas: Coca-Cola y Pepsi. Cuando una persona ha comprado CC hay una posibilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente; si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente.

a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi ¿cuál es la probabilidad de que compre CC pasadas 2 compras a partir de hoy?

b) Si en la actualidad una persona es comprador de CC ¿cuál es la probabilidad de que compre CC pasadas 3 compras a partir de hoy?

c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy CC y el 40% Pepsi, a 3 compras a partir de ahora, ¿qué fracción de los compradores estará tomando CC?

d) Determine el estado estable del mercado.

EJERCICIO Nº3

Un fabricante de grabadoras está tan seguro de su calidad que está

ofreciendo garantía de reposición total si el aparato falla en dos años.

Basándose en datos compilados la compañía ha notado que solo el 1 % de

las grabadoras falla durante el primer año y 5 % durante el segundo. La

garantía no cubre grabadoras ya reemplazadas.

Modele el sistema como una cadena de Markov.

Solución:

1º) Definir cuantos estados existen

2º) Escribir claramente los estados

3º) Construir el sistema

Estados:

E1: Grabadoras funcionando durante el 1º año

E2: Grabadoras funcionando durante el 2º año

E3: Grabadoras reemplazadas por garantía

E4: Finaliza la garantía

0 0.99 0.01 0

0 0 0.05 0.95

0 0 1 0

0 0 0 1

Nota:

•Como solo falla el 1% de las grabadoras el 1º año, el 99% restante

corresponde a las grabadoras funcionando el 2º año y además es la cantidad

de grabadoras reemplazadas por derecho de garantía.

EJERCICIO Nº4

Un taxi efectúa sus servicios en las ciudades R y S. si el taxi está en

R, la probabilidad de que un pasajero quiera ir a S es de 0.8. si está en

S, la probabilidad de ir a R es de 0.3.

Se sabe además que el beneficio esperado por carrera es:

Dentro de R: $1000

Dentro de S: $1200

Entre R y S: $2000

a) Obtener la probabilidad, a largo plazo de estar en R

b) Suponiendo que realiza 10 viajes, calcular, a largo plazo, el

beneficio esperado por carrera.

EJERCICIO Nº5

La producción de uvas en una empresa del Valle del Limarí se

clasifican según la cantidad y calidad de sol recibida durante el año y

estas pueden ser A, B ó C. la uva de tipo A, se destina a la producción

de licores añejados, la de tipo B para vinos de selección y la tipo C

para producir licores económicos. Por los antecedentes del año

anterior se determinó que si la cosecha de uvas fue de tipo A, las

probabilidades de tener durante la cosecha siguiente, una cosecha de

uvas igual es de 0,4, y se espera una cosecha de uvas de tipo C de

0,3. Si la cosecha de uvas fue del tipo B, entonces se espera contar

con uva del tipo A en una probabilidad de 0,6 y B de 0,4. Si durante el

año la cosecha de uva es de tipo C, entonces para el año siguiente, se

espera que la producción sea de tipo C con una probabilidad de 0,4 y

de tipo B de 0,6.

En promedio se producen anualmente 125000 kgs. De uva, y el ultimo

año se produjo solo uva del tipo B.

Se le solicita que apoye al ingeniero a cargo del programa de

producción en la elaboración del programa de producción para los

próximos 5 años y establezca la producción que se espera para 10

años más.

EJERCICIO Nº6

Ante la problemática actual de la crisis energética, el gobierno ha decidido analizar el

uso de las energías disponibles para generar energía eléctrica, con el fin de destinar

recursos para investigar aquellas que son alternativas sustentables (Eólica). El

Ministerio de Transporte y Energía le solicita a Ud. determinar cuales serán las

proporciones de uso de dicha energía en un horizonte de 10 años. Las energías

actualmente en uso son: Petróleo, Carbón, Hidráulica y Eólica. Por estudios

realizados, se ha establecido que en la actualidad se utiliza el 60% en energía

Hidráulica, 15% en Petróleo y 20% en Carbón. Por otra parte se analizó que: de la

energía Hidráulica el 95% se mantiene usando la misma energía y el 5% cambia a

Eólica; del uso del Carbón, el 25% se cambia a Hidráulica, un 45% continúa usando

Carbón y un 5% cambia a Petróleo; del uso de Petróleo, un 40% se mantiene usando

Petróleo, un 15% se cambia a Carbón y un 30% se cambia a Hidráulica; también se

sabe que quienes usan energía Eólica lo siguen haciendo. Se le solicita a Ud.:

a) Matriz inicial del caso

b) Matriz de Transición para resolver la situación planteada

c) Diagrama de Transición

d) Proporción de uso para los próximos 3 años

e) ¿Es conveniente de acuerdo a la tendencia del uso de los medios de generar

energía eléctrica que se realice investigación en energía alternativa (Eólica) o

buscar mejores mecanismos para obtener petróleo, Carbón o Hidráulica a mas

bajos costos?