Procesos estocásticos (66.75) - trabajo final

Procesos estocsticos - 66.75

Trabajo prctico Final

Sistema de comunicacin BPSK

Alumnos: Docentes:

Diego Luna Padrn N 75451 Ing. Carlos Belasteugui Goitia

[email protected] Manuel Ignacio Fernndez

Diego Nelson Alvis Padrn N 79528 Claudio Lupi

[email protected] Fernando Gama

Francisco Javier Messina

Entrega: Fecha: Correciones:

Primera 12 de Junio de 2012

Segunda 26 de Junio de 2012

Tercera

10 de Junio de 2012

Facultad de Ingeniera - UBA Procesos estocsticos - 66.75 Trabajo prctico Final

ndice

ndice I

1. Enunciado 1

1.1. Resumen enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Ejercicio obligatorio 1 3

2.1. Resolucin punto a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Resolucin punto b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3. Resolucin punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4. Resolucin punto d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5. Resolucin punto e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5


3.1. Modelo del sistema de comunicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2. Resolucin del ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3. Conclusiones para el ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9











6.2. Ejercicio 2 estimando las fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.3. Conclusiones para el ejercicio 2 estimando las fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25





7. Ejercicio opcional 6-1 35


7.2. Resolucin del ejercicio 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.3. Conclusiones para el ejercicio 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1er cuatrimestre de 2012 ndice I


8. Ejercicio opcional 6-2 418.1. Modelo del sistema de comunicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41



9. Ejercicio opcional 6-3 459.1. Modelo del sistema de comunicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45



10.Bibliografa 49

II ndice 1er cuatrimestre de 2012


ndice de figuras

3.1. Grfico 1, ejercicio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8








6.1. Grfico 1, ejercicio 5.2, estimando las fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.2. Grfico 1, ejercicio 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26







7.1. Grfico 1, ejercicio 6.1, para el parmetro valiendo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.2. Grfico 2, ejercicio 6.1, para el parmetro valiendo 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.3. Grfico 3, ejercicio 6.1, para el parmetro valiendo 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38



1er cuatrimestre de 2012 ndice III


IV ndice 1er cuatrimestre de 2012


1. Enunciado

1.1. Resumen enunciado

El presente trabajo prctico tiene el objetivo de fijar los conceptos principales vistos en la materia a travsde una aplicacin real simplificada del campo ingenieril. Se pretende que los alumnos tomen contacto conun trabajo del rea de las comunicaciones digitales y aplicando los conocimientos estudiados en la materia,puedan resolver un problema concreto. Para ello, se les facilita una serie de ayudas provistas por el cuerpodocente, que les permitan focalizar la resolucin del trabajo prctico en los conceptos y no en detalles deimplementacin.

1er cuatrimestre de 2012 Enunciado 1


2 Enunciado 1er cuatrimestre de 2012


2. Ejercicio obligatorio 1

2.1. Resolucin punto a

La matriz de estados es:

=

[1 01 011 11 11

]El estado estacionario pi de la cadena de Markov se define como el autovector izquierdo asociado al

autovalor 1 :

piT = piT Siendo:

pi =

[pi1

pi2

]Esto es: pi1 = pi1 (1 01) + pi2 (1 11)pi2 = pi1 01 + pi2 11Tengo adems que pi1 + pi2 = 1, con lo que resolviendo se obtiene:

pi =

[111

111+0101

111+01

]

1er cuatrimestre de 2012 Ejercicio obligatorio 1 3


2.2. Resolucin punto b

Para encontrar la media del proceso se plantea una ecuacin de recurrencia, para armar esta ecuacin derecurrencia se plantea la media por definicin. Llamando E[Bk] al proceso se tiene:

E[B0] = 0(1 01) + 101 = 01

E[B1] = 0P (B1 = 0) + 1P (B1 = 1)

= P (B1 = 1/B0 = 0) + P (B1 = 1|B0 = 1)= 01 P (B0 = 0) + 11 P (B0 = 1)= 01 (1 01) + 11 01= 01 (1 E[B0]) + 11 E[B0]

E[B2] = 0 P (B2 = 0) + 1 P (B2 = 1)= P (B2 = 1/B1 = 0) + P (B2 = 1/B1 = 1)

= 01 P (B1 = 0) + 11 P (B1 = 1)= 01 (1 E[B1]) + 11 E[B1]

Continuando de esta manera y reordenando se puede inferir para E[Bk]:

E [Bk+1] E[Bk] (11 01) = 01La solucin de esta ecuacin de recurrencia se halla, encontrando primero la solucin para la ecuacin

homognea asociada y luego hallando una solucin particular, que en este caso ser una constante dado queel termino independiente es una constante, con esto se obtiene finalmente:

E[Bk] =01 01 (11 01)k+1

1 11 + 01

4 Ejercicio obligatorio 1 1er cuatrimestre de 2012


2.3. Resolucin punto c

Si se compara el resultado anterior con la media para el estado estacionario, que es:

E[pi] = 0 1 111 11 + 01 + 1

011 11 + 01 =

011 11 + 01

Se puede observar que el valor es el mismo que se obtiene al hacer:

lmk

E[Bk] =01

1 11 + 01

ya que se tiene que 01 1 y que 11 1, con lo que el mdulo del termino exponencial es tambinmenor a 1, y por lo tanto tiende a cero cuando k tiende a infinito.

2.4. Resolucin punto d

Si se tiene que 01 = 1 y que 11 = 0, dado que se empieza el proceso con probabilidad 01, se observaque siempre pasamos al segundo estado y la probabilidad de permanecer en este estado luego es 11 = 0,con lo que en realidad ya no se tiene un proceso estocstico sino uno determinstico, en el que alternan losestados comenzando en 1.

2.5. Resolucin punto e

El proceso de markov con el que modelizamos la generacin de bits, es una cadena de markov de dosestados, en dnde cada estado es a su ves una variable aleatoria Bernoulli con parmetros 01 y 11 respec-tivamente, independientes entre s. En el caso particular en que 01 = 11, se tiene que tenemos un procesocon dos estados posibles dnde cada estado es una variable Bernoulli i.i.d con parmetro p = 01 = 11,lo que por definicin es un proceso de Bernoulli, dnde cada componente de la secuencia es una variablealeatoria Bernoulli i.i.d.




3.1. Modelo del sistema de comunicacin

El sistema se modela con la funcin deMATLAB, sistema_comunicacion, esta recibe por parmetros:

N, lambda_01, lambda_11, P_0, P_1, alpha_0, alpha_1, usar_estimador_de_fases, A, L, sigma2_W

y devuelve, la probabilidad de error terica y la estimada:

P_e_est, P_e

La explicacin de la implementacin de esta funcin se puede ver en sus comentarios y los de las funcionesque esta llama a su ves, se tuvo cuidado de hacerlos lo suficientemente detallados.

3.2. Resolucin del ejercicio 2

El ejercicio 2 es implementado por la funcin de MATLAB, ejercicio_obl_2, la cul no recibe par-metros ni devuelve ningn valor.El ejercicio peda probar el sistema de comunicacin con determinados parmetros, efectuando varias co-rridas y comparando luego la probabilidad de error terica con las estimadas para estas corridas, en esteejercicio no se deba utilizar el estimador de fase, con lo que el receptor trabaja con las fases reales usadaspor el transmisor.

Lo que se hizo fue simplemente llamar repetidamente a esta funcin y luego graficar las probabilidadesde error para cada llamada, a continuacin se muestra el grfico obtenido.



Figura 3.1: Grfico 1, ejercicio 2.



3.3. Conclusiones para el ejercicio 2

Se observa que la probabilidad de error estimada tiene como media al valor terico.





Se utiliza el mismo modelo que para el ejercicio 2.


El ejercicio 2 es implementado por la funcin de MATLAB, ejercicio_obl_3, la cul no recibe par-metros ni devuelve ningn valor.En este ejercicio se peda graficar la probabilidad de error estimada comparada con la terica cuando sevariaba cada uno de los siguientes parmetros:

alpha_0, A, L, sigma2_W

A continuacin e incluyen los grficos obtenidos para cada caso.




Se puede observar con facilidad como vara la probabilidad de error terica con cada uno de los parmetros,para el caso de la fase del 0 , se observa que a medida que esta se acerca a la fase del 1 , la probabilidadde error se incrementa lo cul es lgico ya que se hace ms difcil distinguir un smbolo del otro. Para el casode la amplitud de la seal se observa que la probabilidad de error disminuye a medida que esta aumenta,esto se puede explicar observando que aumenta la relacin seal ruido y por lo tanto el ruido enmascaramenos a la seal. Para el caso en que se vara la longitud de la seal modulada de cada smbolo, se puedever que la probabilidad de error disminuye a medida que esta aumenta, esto se explica con el hecho de quelos filtros adaptados producen un mayor valor mximo con lo que es ms difcil que sea enmascarado porel ruido. Finalmente para el caso dnde se vara la potencia del ruido, se ve que la probabilidad de erroraumenta con esta, esto al igual que en el caso en que se variaba la amplitud de la seal, se puede justificarpor la relacin seal ruido, la cul disminuye al aumentar la potencia del ruido, la diferencia en la tasa devariacin es debida a que ahora lo que variamos es la potencia del ruido y no su amplitud. En cuanto a lasprobabilidades estimadas se observa que el valor de su media parece seguir la probabilidad terica.





El sistema se modela con la funcin de MATLAB, sistema_comunicacion_adaptando_p_i, estarecibe por parmetros:

lambda_01, lambda_11, alpha_0, alpha_1, usar_estimador_de_fases, A, L, sigma2_W

Esta funcin es una versin modificada del modelo usado en los dos ejercicios anteriores, cmo puedeverse no recibe cmo parmetros la probabilidad de cada uno de los smbolos, sino que utiliza para estas, dosjuegos de valores distintos, en el caso a, utiliza las probabilidades para el estado estacionario de la cadena demarkov desde la primera iteracin y para el caso b, se calcula el valor de las probabilidades de cada smbolopara cada iteracin usando la expresin siguiente para el vector de probabilidades:

PT(k) = PT(0) k

Esto se realiza simplemente multiplicando por la matriz de probabilidades de transicin, , en cadaiteracin.

Al igual que en los ejercicios anteriores en este ejercicio no se estiman las fases.


El ejercicio 4 es implementado por la funcin de MATLAB, ejercicio_obl_4, la cul no recibe par-metros ni devuelve ningn valor.Este ejercicio es una versin modificada del ejercicio 1, utilizando ahora el modelo descrito en la seccinanterior, la simulacin se corre para tres juegos de valores de 01 y 11, los valores elegidos fueron:

01 = 0,10, 01 = 0,30

01 = 0,55, 01 = 0,85

01 = 0,25, 01 = 0,75

A continuacin se incluyen los grficos obtenidos en cada caso.




El general no se observan diferencias entre lo que se obtiene usando las probabilidades del estado esta-cionario y las probabilidades calculadas para cada valor de la cadena, haciendo un debugging de la funcinde simulacin del sistema se ve que el valor de la probabilidades calculadas converge muy rpidamente alvalor del estado estacionario, lo que justifica lo observado en los grficos.





Ya que este ejercicio consiste en repetir lo realizado en los 3 ejercicios anteriores, el modelo del sistemautilizado en cada caso es e; mismo al que se utiliza en aquellos ejercicios previos.Ahora la fase de los smbolos es estimada en el receptor usando las 100 muestras de entrenamiento, y losclculos se realizan con estas fases estimadas, la probabilidad de error terico se sigue calculando usandolas fases reales, de modo de poder comparar con lo obtenido en los primeros ejercicios, en cuanto a como seaparta la estimacin del valor terico.

6.2. Ejercicio 2 estimando las fases

A continuacin se incluye el grfico obtenido.



Figura 6.1: Grfico 1, ejercicio 5.2, estimando las fases.



6.3. Conclusiones para el ejercicio 2 estimando las fases

Se observa que la probabilidad de error estimada tiene una media que es apreciablemente superior a laterica. Siendo la primera de 0.0023 y obtenindose para la estimada una valor de alrededor de 0.006, unastres veces mayor.


A continuacin e incluyen los grficos obtenidos para cada caso.



Figura 6.2: Grfico 1, ejercicio 5.3.




Se observa algo similar en todos los casos, lo obtenido es similar a lo que se obtena al usar las fasesreales, pero el error real estimado es apreciablemente superior al terico.


A continuacin se incluyen los grficos obtenidos en cada caso.




Al igual que en los casos anteriores el error real esta bastante por encima del valor terico.



7. Ejercicio opcional 6-1


El sistema se modela con la funcin de MATLAB, sistema_comunicacion_ruido_col, esta recibepor parmetros:

N, lambda_01, lambda_11, P_0, P_1, alpha_0, alpha_1, usar_estimador_de_fases, A, L, sigma2_W,par_corr

Dnde el nuevo parmetro par_corr, determina el grado de correlacin del ruido y su valor es un valorreal positivo mayor a 0, logrndose mayor correlacin a mayor valor.

Y la funcin devuelve, la probabilidad de error terica y la estimada:

P_e_est, P_e

La correlacin se logra definiendo una matriz de covarianza que se calcula a partir de una funcin deautocorrelacin arbitraria que decae en forma exponencial con la inversa del parmetro pasado, esto permitecontrolar el grado de correlacin, luego con un cambio de variable con esta matriz se logra el vector coloreadoa partir de uno blanco.

La explicacin detallada de la implementacin de esta funcin se puede ver en sus comentarios y los delas funciones que esta llama a su ves, se tuvo cuidado de hacerlos lo suficientemente detallados.

7.2. Resolucin del ejercicio 6-1

El ejercicio 6-1 es implementado por la funcin de MATLAB, ejercicio_opc_6_1, la cul no recibeparmetros ni devuelve ningn valor, pero solicita el ingreso del valor para la correlacin, la funcin calculacomo vara la probabilidad de error en funcin de la amplitud de la seal, en forma similar al ejercicio 2,pero ahora con el ruido coloreado, esto permite luego comparar los grficos que se obtienen al hacer variarel grado de correlacin del ruido, se llam a esta funcin para los valores 1, 10 y 100 del parmetro.

A continuacin se incluye el grfico obtenido para tres valores del parmetro 1, 10 y 100.

1er cuatrimestre de 2012 Ejercicio opcional 6-1 35


Figura 7.1: Grfico 1, ejercicio 6.1, para el parmetro valiendo 1.

36 Ejercicio opcional 6-1 1er cuatrimestre de 2012


7.3. Conclusiones para el ejercicio 6-1

Se puede observar claramente como la probabilidad de error, (tanto la terica como la estimada), dismi-nuyen al aumentar la correlacin siendo el piso, la probabilidad que se tiene con el ruido blanco.





El sistema se modela con la funcin de MATLAB, sistema_comunicacion_calculando_p_i, estarecibe por parmetros:

N, lambda_01, lambda_11, P_0, P_1, alpha_0, alpha_1, usar_estimador_de_fases, A, L, sigma2_W

Y la funcin devuelve, la probabilidad de error terica, la estimada y las probabilidades de error finalesque se calcularon para P_0 y P_1:

P_e_est, P_e, P_0, P_1



El ejercicio usa un modelo del sistema que es idntico al usado anteriormente, la nica diferencia es que enlugra de asumir que las probabilidades de cada smbolo es 0.5, est se inicia en ese valor y se va recalculandoa medida que se van recibiendo, luego se retorna el valor calculado final, es decir se esta estimando estaprobabilidad. La funcin imprime por pantalla estos valores finales y grafica todos los valores estimados paralas diferentes corridas y sus medias.

A continuacin se incluye el grfico obtenido:.




Cmo era de esperarse los valores obtenidos est muy cerca de los valores tericos de 0.5:

Las medias para P_0 y P_1 entre todas las corridas son:P_0 = 0.497465 P_1 = 0.502535





El sistema solo se modela en forma parcial en este caso, ya que se analiza slo el estimador de fases, elmodelo utilizado es implementado con la funcin de MATLAB, obtener_datos_estimador_fase, estarecibe por parmetros: :

N, alpha_0, alpha_1, A, L, sigma2_W

Y la funcin devuelve las fases estimadas:

alpha_0_est, alpha_1_est



El ejercicio usa bsicamente el mismo estimador de fases usados en el resto del tp, solo se le hizo unamejora basada en la correccin de la primera entrega, esta consisti en mejorar el algoritmo que decide lamejor estimacin en base a los valores obtenidos para el mnimo y el mximo, se decide cul de las dos fueafectada en menor medida por el ruido, comparando cul est ms cerca del valor terico, pero notandotambin que dado cmo se calcula la convolucin, por naturaleza el mnimo estar menos afectado por elruido que el mximo (la mitad, ya que suma la mitad de muestras ruidosas), por lo tanto se tuvo esto encuenta y se obtuvo un mejor y ms consistente comportamiento del estimador de fases.

Lo que se obtiene para las fases usadas para alpha_0 = pi y alpha_1 = 0 es:

alpha_0 = 3.103883alpha_1 = 0.667953

sesgo alpha_0 = 0.037710sesgo alpha_1 = 0.667953

A continuacin se incluye el grfico obtenido para la estimacin de fases a medida que aumenta el nmerode bits utilizados para realizar la estimacin:.




El estimador es claramente consistente, ya que se puede ver fcilmente que su valor se estabiliza a medidaque la longitud de la seal usada para estimar aumenta, pero parece ser sesgado, esto no se puede demostrarsolo con simulaciones, para ello sera necesario un desarrollo terico. Otra cosa a notar es que ac se muestralo obtenido para las fases que se usaron en el tp, pero el valor del sesgo vara enormemente si ests se varan.



10. Bibliografa

Referencias

[1] Random signals - detection, estimation and data analysisCopyright A.M. Breipohl K. Sam Shanmugan. 1988John Wiley & Sons; 1st Edition (May, 1988)http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471815551.html.

[2] Digital communications (4th Edition)Copyright John G. Proakis. 2000Publisher: Mc Graw Hill; 2nd Edition (August 15, 2000)http://www.mhhe.com/engcs/electrical/proakis/.

1er cuatrimestre de 2012 Bibliografa 49


50 Bibliografa 1er cuatrimestre de 2012

ndiceEnunciadoResumen enunciado

Ejercicio obligatorio 1Resolucin punto aResolucin punto bResolucin punto cResolucin punto dResolucin punto e

Ejercicio obligatorio 2Modelo del sistema de comunicacinResolucin del ejercicio 2Conclusiones para el ejercicio 2



Ejercicio obligatorio 5Modelo del sistema de comunicacinEjercicio 2 estimando las fasesConclusiones para el ejercicio 2 estimando las fasesEjercicio 3 estimando las fasesConclusiones para el ejercicio 3 estimando las fasesEjercicio 4 estimando las fasesConclusiones para el ejercicio 3 estimando las fases

Ejercicio opcional 6-1Modelo del sistema de comunicacinResolucin del ejercicio 6-1Conclusiones para el ejercicio 6-1



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