UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANAUnidad Iztapalapa

MODELOS MATEMÁTICOS EN

BIOLOGÍA

Modelos determinísticos & Modelos estocásticos

Presentan

Cortés Estrada AndrésLópez Valdez Mariela Lizbeth

Martínez Ramos Marisol Munguia Soto Esteban Omar

Osnaya Becerril Janet ElizabethRamírez Barrios Pedro Santiago

Dr. Miguel Ángel Armella VillalpandoTrimestre 14-O5 de Octubre 2014

Clasificación:

* Atendiendo a su naturaleza.

* Atendiendo a la unidad poblacional de estudio.

* Teniendo en cuenta el tipo de herramientas matemáticas utilizadas.

Los Modelos matemáticos desarrollados para simular

fenómenos que ocurren en la naturaleza

De acuerdo a su naturaleza los

modelos matemáticos pueden ser:

Deterministas Estocásticos

Cuando las condiciones iniciales del sistema marcan de manera unívoca su comportamiento, no se ven afectados por variaciones aleatorias.

La evolución del sistema a simular no es siempre la misma -aún partiendo de las mismas condiciones iniciales-, el modelo se denomina estocástico.

Considerando las herramientas matemáticas utilizadas en el diseño del algoritmo matemático, se puede hacer una clasificación de los modelos matemáticos en:

Continuos: son aquellos en los que las variables involucradas en el mismo pueden tomar infinitos valores dentro de un rango previamente establecido.

Discretos: donde las variables que intervienen en el modelo sólo pueden tomar un número finito de valores.

Mixtos: aquellos en los que algunas variables son continuas y otras discretas.

Modelos deterministas de crecimiento

El objetivo de estos modelos es proporcionar una descripción cuantitativa de los fenómenos como el crecimiento.

Crecimiento exponencial en tiempo discreto: Cuando la reproducción es estacional, como en las plantas anuales o en animales con celo, la descripción continua es irreal y una descripción en tiempo discreto, a la manera de un mapeo, es más adecuada.

Crecimiento limitado: El mecanismo de limitación que actúa cuando los individuos de la población deben competir por recursos limitados. La competencia puede ser directa o indirecta, mediada por ejemplo por la propia escasez de los recursos.

Crecimiento Poblacional exponencial

Nt+1= R0Nt

Donde:

• Nt= numero de hembras en la generación t

• Nt+1= número de hembras en la generación t+1

• R0= número de hembras producidas por hembra y por generación (Índice reproductivo)

•R0=1 La población se encuentra en equilibrio•R0< 1 La población decrece•R0 > 1 La población crece exponencialmente

1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0.6

Ro= 1.2 Ro= 0.6 Ro=1

0 10 0 10 0 10

1 12 1 6 1 10

2 14.4 2 3.6 2 10

3 17.28 3 2.16 3 10

4 20.736 4 1.296 4 10

5 24.8832 5 0.7776 5 10

6 29.85984 6 0.46656 6 10

7 35.831808 7 0.279936 7 10

8 42.9981696 8 0.1679616 8 10

1.2

1

Crecimiento Poblacional exponencial

Supuestos

• El tiempo avanza a pasos discretos• Los recursos del medio son ilimitados• El índice reproductivo neto es constante a lo largo del ciclo

de los organismos.

(Krebs, 1986)

Crecimiento Poblacional exponencial

Crecimiento poblacional logístico

N(t) = número de individuos de la población en el tiempo t

r = es el coeficiente que indica la magnitud del potencial reproductivo de cada individuo

K= la capacidad de carga 1 2 3 4 5 6 7 80

100

200

300

400

500

600

700

800

900

t 1 2 3 4 5 6 7 8N(t) 50.1 143.8 332.5 557 702.7 764.2 785.3 792

K= 795

Los recursos son limitadosLa población tiene una distribución de edades estable. No

presenta ningún tipo de inmigraciónLa respuesta al incremento en la densidad poblacional es

instantáneaLas condiciones ambientales son constantesEl incremento en la densidad afecta igualmente a todos los

individuos en cualquier grupo de edadLa probabilidad de apareamiento de animales que

presentan reproducción sexual no depende de la densidad de población.

Supuestos

Crecimiento poblacional logístico

Método del Costo Mínimo

Resolver problemas de transporte o distribución.

Rutas que presentan menores costos.

Asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método.

Método del Costo Mínimo

Origen

Destino

1 2 3 4 Oferta

1 10 0 20 11 15

2 12 7 9 20 25

3 0 14 16 18 5

Demanda

5 15 15 10

MODELOS ESTOCÁSTICOS

¿Qué es un modelo estocástico?

Un modelo es estocástico cuando al menos una variable del mismo es tomada como un dato al azar y las relaciones entre variables se toman por medio de funciones probabilísticas.

Los modelos estocásticos, en los que el sistema a una entrada puede tener un conjunto de valores Yi regidos por cierta probabilidad P(Yi) de ocurrencia:

En general, los modelos estocásticos son mas reales que los modelos determinísticos, debido a que los sistemas biológicos rara vez responden con una única salida o respuesta.

Del conjunto de posibles valores de respuesta Yi el sistema responde de acuerdo con diversos factores estocásticos del ambiente, P(Yi) así como al encadenamiento de causas y coyunturas aleatorias (Chiappa-Carrera y Sanvicente-Añorve, 1998).

Origen:

A partir del modelo logístico, Bartlett (1960) desarrollo el modelo estocástico de crecimiento poblacional.

Los supuestos:1. Se toma en cuenta el efecto aleatorio en los eventos

nacimiento y muerte.2. Se considera por separado el efecto de la densidad

poblacional sobre las tasas de natalidad y mortalidad.

Si una población tiene N individuos, dos posibles eventos pueden suceder: un nacimiento o un deceso. Tanto las tasas de natalidad (λ) como la las de mortalidad (μ) están en función del tamaño de la población, y ambas determinan la tasa intrínseca de crecimiento (r) del modelo logístico.

Supuestos:

Entonces cada evento (nacimiento o muerte) que se produce en este modelo, tiene cierta probabilidad de ocurrir, factor que modifica enormemente los patrones de crecimiento poblacional.

Modelo estocástico para determinar la mejor estrategia de cuarentena en granjas ganaderas

Se parte de que se tiene un total de N granjas, de las cuales S son susceptibles (en riesgo de contraer la enfermedad), E son latentes (infectadas pero todavía no infecciosas), I son infectadas (capaces de transmitir la enfermedad), R son las removidas (aquéllas que han sido eliminadas por el sacrificio y muerte natural de los animales) y Q son las cuarentenadas (aquéllas que han sido aisladas).

Por lo tanto, las probabilidades de transición en este modelo se aproximan a un proceso de Poisson. La densidad conjunta del proceso estocástico es:

Pk,l,m,n(t)=P(E(t)=k,I(t)=l,R(t)=m,Q(t)=n)

donde: k, l, m, n= 0,1,2,3,…,N y 0≤k+l+m+n ≤N y las tasas de transición instantáneas están dadas por:

Pk,l,m,n,k+1,l,m,n(t,t+δ)=λl(N-k-,l-m-n)δ/N+o(δ),Pk,l,m,n,k,l,m,n+1(t,t+δ)=γ(N-k-,l-m-n)/(N-1-m-n))δ+o(δ),Pk,l,m,n;k-1,l+1,m,n(t,t+δ)=µkδ+o(δ),Pk,l,m,n;k-1,l,m+1,n(t,t+δ)=γ(k/(N-l-m-n))δ+o(δ),Pk,l,m,n;k,l-1,m+1,n(t,t+δ)=αlδ+o(δ)........(Ec. 1)

Para estudiar el efecto sobre el tamaño final de la epidemia, se proponen las siguientes tres estrategias de cuarentenas:

(SQ):SQedges consiste en cuarentenar a las granjas susceptibles y latentes con el mayornúmero de ligas.

SQramdom consiste en cuarentenar a las granjas en forma aleatoria

SQsize consiste en cuarentenar a las granjas de mayor tamaño, es decir a las que tienen el mayor número de animales

Cadena de Márkov

Proceso estocástico discreto.

La probabilidad de que ocurra un evento depende solamente del evento inmediatamente anterior.

Si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.

Cadena de Márkov

Se quiere conocer el estado del tiempo en una localidad de estudio.

Se tienen dos condiciones: seco y lluvioso.Probabilidad de que el día siguiente sea seco

es de 0.8 si el día actual es seco.Si es lluvioso, la probabilidad de que el día

siguiente sea seco es de 0.6.

Cadena de Márkov

Paso 1. Definir variable Paso 2. Matriz de transición.

Estado actual

Estado día siguiente

0 1

0

1

Cadena de Márkov

Paso 3. Diagrama de transición.

Cadena de Márkov

Paso 4. Las probabilidades de estado estable del sistema.

Después de transcurrir varios días…

Probabilidad de llegar a un día seco.

Probabilidad de llegar a un día lluvioso.

(1).

(2).

(3).

Cadena de Márkov

π𝟎=𝟎 .𝟕𝟓 π𝟏=𝟎 .𝟐𝟓

Bibliografía

Chiappa–Carrara, X. y L. Sanvicente–Añorve, 1998, El papel de los modelos en el proceso de la investigación. Tópicos de Investigación y Posgrado, 5(4): 204–211.

Chiappa-Carrara, X, M. del C. Galindo de Santiago y A. Cervantes Sandoval. 2009. Introducción a los modelos matemáticos de crecimiento con aplicaciones en sistemas biológicos. UMDI-Sisal, Facultad de Ciencias Facultad de Estudios Superiores Zaragoza. Pag. 93.

Krebs, C.J. 1978. Ecology. The Experimental Analysis of Distribution and Abundance. Second Edition. Harper and Row, New York. 678 pp.

Montesinos L. A., C. Hernández S. y A. S. Luna E. 2009. Modelo estocástico para determinar la mejor estrategia de cuarentena en granjas ganaderas. Técnica Pecuaria en México. 47(3): 271-284