Lista 1 de Ejercicios de Modelos Estocásticos

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Morales Orduño AlejandraUniversidad de Sonora

Febrero 2015

Lista 1 de Ejercicios de Modelos Estocásticos

1) Sean E; F; G tres eventos. Encontrar expresiones para los siguientes eventos: (a) Solamente F ocurre

(b) Al menos un evento ocurre.

(c) Al menos dos eventos ocurren.

(d) Ningún evento ocurre.

(e) Los tres eventos ocurren.

(f ) A lo mas un evento ocurre.

(g) A lo mas dos eventos ocurren.

2) Una persona usa el siguiente sistema en el juego de la ruleta. Apuesta $1 a que la ruleta se detendrá en un número rojo. Si gana se retira, pero si pierde entonces hace una segunda apuesta de $2 al mismo evento. Independientemente del resultado de la segunda apuesta el jugador se retira. Suponiendo que cada vez tiene probabilidad 1=2 de ganar, ¿cuál es la probabilidad que el jugador resulte ganador?

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4) Demuestra que si A1 , A2 ,…, An son eventos independientes entonces

5) Sea (Ω; F ; P ) un espacio de probabilidad. Demuestre que el evento A definido por:

es a lo mas numerable.

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6) Un jugador tiene en su bolsillo una moneda legal y una moneda con águila en cada cara. El jugador selecciona una moneda al azar y la lanza. Si la moneda "cae" águila, ¿cuál es la probabilidad de que sea la moneda legal? Si lanza la moneda tres veces y obtiene águila en cada lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de que sea la moneda de las dos águilas?

7) Supóngase que se tienen diez monedas de tal manera que la i-ésima moneda tiene probabilidad i=10 de "caer" águila en un lanzamiento. Se escoge una moneda al azar y se lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila? Si cae águila, ¿cuál es la probabilidad de que sea la quinta moneda?

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8) Demuestra que si A, B y C son eventos entonces

9) Supóngase que n bolas son distribuidas aleatoriamente en n cajas.(a) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente una de las cajas quede vacía?

(b) Dado que la caja 1 está vacía, ¿cual es la probabilidad de que solo una caja esté vacía?

(c) Dado que solo una caja está vacía, ¿cual es la probabilidad de que la caja1 esté vacía?

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10) Dos personas A y B acuerdan encontrarse en un lugar entre las 2:00 y las3:00 de la tarde. Si la llegada de cada uno es aleatoria en la hora acordada y cada uno espera 10 minutos, ¿cual es la probabilidad de que las personas se encuentren?

11) Se elige un punto al azar en el cuadrado unitario. Si se sabe que el punto está en el rectángulo acotado por y = 0; y = 1; x = 0 y x = 1=2; ¿cuál es la probabilidad de que el punto pertenezca al triángulo acotado por y = 0; x =1=2; y x + y = 1.

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12) Supóngase que una prueba para la detección de cáncer tiene la propiedad de que el 90% de personas con cáncer reaccionan positivamente mientras que el5% de personas sin cáncer reaccionan positivamente. Supóngase que el 1% de los pacientes en un hospital tienen cáncer. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar que reacciona positivamente a la prueba tenga cáncer?

13) Sea X una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetrop = 0:8: Calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos(a) [X > 3]

(b) [4 X 7] o [X > 9]

(c) [X es par]

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14) Supóngase que el número de errores tipográ…cos en una página de un libro es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λ = 1: Si se elige una página de un libro, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos un error tipográfico en la página?

15) Una linea aerea sabe que el 5% de las personas que compran boleto para un vuelo no se presentan. Consecuentemente su política es vender 52 boletos en un vuelo que tiene 50 asientos. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros que se presenten encuentren asiento?

16) Sea X una variable aleatoria con rango el conjunto de los enteros no nega- tivos. Demuestra que

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17) La función de densidad de la variable aleatoria X es la función

(a) Determinar el valor de c

(b) Calcular P [1=2 < X < 3=2]

(c) Determinar E(X ) y V (X ):

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18) Una variable aleatoria continua X tiene función de densidad f (x) = x=2 si0 < x < 2 y 0 en otro caso. Si se realizan tres determinaciones independientes de X; ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos determinaciones sean mayores que 1? Determinar E(X ) y V (X ):

19) Supóngase que el período X en minutos de un tipo de conversación telefónica es una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro = 1=5: Calcular

y estimar el valor con la desigualdad de Chebychev. Calcular E(X + 5)2 .

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20) Sea X una variable aleatoria con función de densidad definida por

(a) Determinar la constante a

(b) Determinar la función de distribución acumulada de X y su gráfica. Calcular E(X ) y V (X ).

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21) Supóngase que X es una variable aleatoria continua distribuida uniforme- mente en [ - a; a]: Determinar el valor de a que satisfaga:(a) P [X > 1] = 1=3:

(c) P [X < 1=2] = 0:3

(d) P [|X | < 1] = P [|X | > 1]

22) El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en un banco es una variable aleatoria con distribución exponencial de esperanza 4

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minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?

23) El período de duración en años de un interrruptor elécrico es una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro λ=2: Si 5 de estos interrup- tores se instalan en sistemas diferentes, ¿cuál es la probabilidad de que a lo mas fallen 2 en el primer año?

24) Se elige un punto al azar de un disco de radio R en el plano. Sea X el cuadrado de la distancia del punto elegido al centro del disco. Encontrar la función de distribución de X:

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