Sistemas deterministas, caóticos y Índice estocásticos ... · • Sistemas estocásticos,...

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TREFEMAC 09 - LARRONDO 1

Sistemas deterministas, caóticos y estocásticos discretos

UNMDP

Luciana De MiccoGraciela FernándezHilda Larrondo

UNLP-UBA

María Teresa MartínAngel Plastino

Osvaldo Rosso


Índice

• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos

• Herramientas de visualización• Cuantificadores• PDF, dinámica simbólica y randomización• Sistemas discretos y la evaluación del

muestreo


Índice



muestreo


¿Qué es un proceso estocástico?

A stochastic process, or sometimes random process, is the counterpart to a deterministic process (or deterministic system) in probability theory. (WIKIPEDIA)


¿Qué es un proceso determinista?

In mathematics, a deterministic systemis a system in which no randomness is involved in the development of future states of the system.

(WIKIPEDIA)


¿Qué es un proceso determinista?

In mathematics, a deterministic systemis a system in which no randomness is involved in the development of future states of the system. Deterministic models thus produce the same output for a given starting condition

(WIKIPEDIA)

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Sistema Dinámico

At any given time a dynamical system has a state given by a set of real numbers (a vector) which can be represented by a point in an appropriate state space (a geometrical manifold). Small changes in the state of the system correspond to small changes in the numbers. The evolution rule of the dynamical system is a fixed rule that describes what future states follow from the current state. The rule is deterministic: for a given time interval only one future state follows from the current state.(WIKIPEDIA)


¿Cómo se estudia la evolución temporal de un sistema dinámico?

• Se calcula una trayectoria en el espacio de estados resolviendo (analítica o numéricamente) ecuaciones diferenciales a partir de un estado inicial.

• Se calcula la sucesión de estados utilizando una ecuación de recurrencia a partir de un estado inicial.


¿Cómo se estudia la evolución temporal de un sistema estocástico?

• Continuo: se resuelven (analítica o numéricamente) ecuaciones diferenciales estocásticas partiendo de una condición inicial. La condición inicial es una distribución.

• Discreto: se calcula la sucesión de estados utilizando una ecuación de recurrencia a partir de un estado inicial. La condición inicial es una distribución.


Preconceptos

• Una señal compleja viene de un modelo complejo. Contraejemplo: sistema caótico.

• Los sistemas físicos producen verdaderas señales aleatorias. Los algorítmicos no. Contraejemplo: generadores de números aleatorios.


Preconceptos

• Una señal compleja viene de un modelo complejo. Contraejemplo: sistema caótico.

• Los sistemas físicos producen verdaderas señales aleatorias. Los algorítmicos no. Contraejemplo: generadores de números aleatorios.

• http://csrc.nist.gov/rng/, • http://stat.fsu.edu/pub/diehard/,

• http://www.iro.umontreal.ca/~simardr/random.html


¿Dónde ubicamos el caos para los sistemas continuos analógicos?

Sistema Determinista

Sistema Estocástico

Sistema Determinista Caótico

x

Ry

3


¿Dónde ubicamos el caos para los sistemas continuos analógicos?




x

Ry


¿Dónde ubicamos el caos para los sistemas continuos digitales?




x

Qy


¿Dónde ubicamos el caos para los sistemas continuos digitales?




x

Qy


ATENCION

Todo sistema determinista digital y discreto es periódico

(pero puede ser pseudocaótico o pseudoestocástico )

Continuo VS Discreto

Analógico VS Digital


Índice



muestreo


Estrategias para visualizar

• Diagramas de embedding 2D y 3D• Correlación lineal• Transformada de Fourier• PDF• Recurrence Plots

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Ejemplo para el ruido atmosférico (random.org)








Los sistemas algorítmicos


Espectros de sistemas caóticos puros y randomizados

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Rossler (puro y randomizado)


El mapa logístico


Recurrence Plots

( ) ( )Njijiji ,...,1,, =−−Θ= xxR ε


Recurrence Plots

( ) ( )Njijiji ,...,1,, =−−Θ= xxR ε

N. Marwan, M. C. Romano, M. Thiel & J. Kurths 2007

Recurrence plots for the analysis of complex systems. Phys. Rep. 438, pp. 237-329.


Índice



muestreo


Cuantificadores

• De la PDF: – Entropía

– Complejidad

• Patrones prohibidos (Amigó et al.)

• De diagramas de recurrencia (Kurts et al.)

• De la FFT• De compresibilidad (Lempel-Ziv)

• De computación intrínseca (Crutchfield et al.)

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Cuantificadores

• De la PDF: – Entropía

– Complejidad

• Patrones prohibidos (Amigó et al.)

• De diagramas de recurrencia (Kurts et al.)

• De la FFT• De compresibilidad (Lempel-Ziv)

• De computación intrínseca (Crutchfield et al.)


Plano Entropía Complejidad

1

1ln

ln

N

i i

i

H p pN

C QH

=

= −

=

∑


Desequilibrios

Dependen del tensor métrico en el espacio de distribuciones

•QSDL=(1-H) (Shiner-Davison-Landsberg)•QLMC (López Ruiz-Mancini-Calbet)•QW (Martín-Plastino-Rosso)•QLMPR (Lamberti-Martín-Plastino-Rosso)


Desequilibrios



R. López-Ruiz, H. L. Mancini, and X. Calbet, Phys. Lett. A 209, 321 (1995)


Desequilibrios



S. Amari, H. Nagaoka - Methods of information geometry, Trans. Math. Mon.

v191, AMS, (2000) (Portesi, Lamberti, Plastino, Martín)


Desequilibrios



P. W. Lamberti, M. T. Martín, A. Plastino & O. A. Rosso, Physica A 334 119–131

(2004) .

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Complejidad

• Entropía de Zipping: cuando menos podemos comprimirlo con un programa compresor más complejo.

• Complejidad Estadística: si no tiene estructuras es más fácil de describir.


Mandelbrot


Ruido Atmosférico (random.org)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

xn

xn

+1


Plano Entropía Complejidad

1

1ln

ln

N

i i

i

H p pN

C QH

=

= −

=

∑


Desequilibrio

[ ] ( ) ( )0

1 1,

2 2 2

ee e

P PQ P P Q S S P S P

+ = ⋅ − −

( ) ( )0

12 ln 1 2 ln 2 ln

NQ N N N

N

+ = − ⋅ + − +


Índice


• Herramientas de visualización• Cuantificadores• PDF, dinámica Simbólica y randomización• Sistemas discretos y la evaluación del

muestreo

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Dinámica Simbólica

1

2

x

x

x∞

M

{ }x A1

2

N

a

a

a

M


Histograma Binario (ó discretización MSB)


Dinámica Simbólica

1

2

x

x

M

{ }x A

0

1

M


Dinámicas Simbólicas Causales

Agrupo los números en {n-uplas} y a cada n-upla le hago corresponde un

símbolo.


Dinámica simbólica (causal) de Bandt-Pompe

• C. Bandt, and B. Pompe, Phys. Rev. Lett. 88, 174102-1 (2002).

{ }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

1 2

1 2 1

2 3 1 2

1

, ,...,

embedding dimension

, ,..., 1, 2,... !

, , ..., 1, 2,... !

, ,..., 1,2,... !

N i

D

D

N D N D N N D

X x x x x R

D

x x x D

x x x D

x x x D

π

π

π

+

− − + −

= ∈

→ ∈

→ ∈

→ ∈

M


ATENCION

Dinámica simbólica PDF

PDF

H

Q

C

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ATENCION

Dinámica simbólica PDF

PDF

H

Q

CTREFEMAC 09 - LARRONDO 50


Plano CH


TREFEMAC 09 - LARRONDO 53 TREFEMAC 09 - LARRONDO 54

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Índice



muestreo


MUESTREO

Discretizar el tiempo en un sistema continuo


Aliasing

2sf B≥

2sf B<


La FFT de un sistema muestreado

N

1 0

j=1

N

2 j 0

j=1

2s (t)=1+ sin

2s (t)=1+ g sin

j

j

jN

jN

πω ϕ

πω ϕ

+

+

∑

∑

Espectro rectangular

Espectro gaussiano


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12



Dos señales de igual espectro

N

3 j 0

j=1

N

2 j 0

j=1

2s (t)=1+ g sin 0

2s (t)=1+ g sin j

jN

jN

πω

πω ϕ

+

+

∑

∑Espectro gaussiano

Espectro gaussiano


ALGUNAS PREGUNTAS

• ¿Las distinguimos a simple vista?• ¿Distinguimos las bien muestreadas de

las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por el espectro?• ¿Distinguimos por el espectro las bien

muestreadas y las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por la PDF?• ¿Distinguimos por la PDF las bien

muestreadas y las mal muestreadas?


ALGUNAS PREGUNTAS





NO

SI

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ALGUNAS PREGUNTAS





SI

SISI CONOCEMOS EL

ESPECTRO DE LA SEÑAL

QUE MEDIMOS


ALGUNAS PREGUNTAS






ALGUNAS PREGUNTAS




muestreadas y las mal muestreadas? NO

SI


ATENCION

El histograma “común” no es sensible a la calidad

del muestreo


ATENCION

Ningún cuantificador que dependa de la PDF inducida por el histograma va a ser sensible

a la calidad del muestreo

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Muestreo ideal


Muestreo ideal



ATENCION

El máximo de CBP da un criterio de muestreo


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ATENCION

Al aumentar la frecuencia de muestreo los puntos se ubican

sobre la diagonal. Esa es la razón de la reducción en CBP si

hay sobremuestreo



ATENCION

El vértice de CBP (no de la serie sino de abs(FFT)) da la

frecuencia de Nyquist del sistema


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CONCLUSIONES

• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos: se distinguen mediante cuantificadores.

• Las herramientas de visualización ayudan pero no definen. Funcionan por eliminación.

• PDF depende de la Dinámica Simbólica.• El muestreo introduce aliasing.• Mediante la CBP del abs(FFT) se puede

determinar la frecuencia de Nyquist.• La máxima CBP de el muestreo óptimo (CONJETURA)


En progreso

• Biblioteca de ruidos: – (mándele su ruido a Hilda !)

[email protected]

[email protected]

• Estudio del muestreo en sistemas caóticos

• Interacción N�fs� fM

• Biblioteca de cuantificadores


Papers Teoría (2005,--)• “Statistical complexity measure of pseudorandom bit generators.” Autores:

C.M.González, H.A. Larrondo, O.A.Rosso. Physica A 354 (2005) 281-300.

• “Intensive Statistical Complexity Measure of pseudorandom bit generators.” H.A. Larrondo, C.M.González, M.T.Martín, A. Plastino, O.A.Rosso. Physica A 356 (2005) 133–138

• “Random number generators and causality” H.A. Larrondo, M.T. Martín, C.M. González, A. Plastino and O.A. Rosso Physics Letters A, Volume 352, Issue 4-5, (2006) p. 421-425.

• “Distinguishing noise from chaos” Autores: O. A. Rosso, H. A. Larrondo, M. T. Martín, A. Plastino and M. A. Fuentes. Physical Review Letters 99, (2007) p. 154102-154106.


Papers Teoría (2005,--)• “Extracting features of Gaussian self-similar stochastic processes via the Bandt

and Pompe approach” O Rosso, O. A., Zunino, L., Pérez, D. G., Figliola, A., Larrondo, H. A., Garavaglia, M., Martín, M. T., Plastino, A. Physical Review E, vol. 76, Issue 6, id. 061114 (2007) .

• “Randomizing nonlinear maps via symbolic dynamics”. L. De Micco, C. M. González, H. A. Larrondo, M. T. Martin, A. Plastino, O. A. Rosso. Physica A, vol 387, Issue 14, pp 3373-3383 (2008) 10.1016/j.physa.2008.02.037.

• “Generalized Statistical Complexity Measure: A New Tool for Dynamical Systems”O.A.Rosso, H. A. Larrondo, M. T. Martin and A. Plastino. Aceptado en International Journal of Bifurcation and Chaos (2009).

• “Quantifiers for randomness of chaotic pseudo random number generators”. L. De Micco, H. A. Larrondo, A. Plastino y O. A. Rosso. Aceptado para su publicación en Phylosophical Transactions A. (2009)


Papers Aplicaciones (2005,--)• Implementación de sistemas caóticos en dispositivos lógicos programables”. C.M.

González, H.A. Larrondo, C.A. Gayoso, L.J. Arnone. XI Workshop IBERCHIP. http://www.iberchip.org/iberchip2005/articles/6/6--cmgonzal-mdp01_FullText.pdf(2005).

• Implementación de un sistema caótico discretizado en dispositivos lógicos programables”. C.M. González, H.A. Larrondo, C.A. Gayoso, L.J. Arnone. Proceedings de XI Workshop on Information Processing and Control (RPIC) V 1, (2005) 270-275

• “Medición de amplitud y frecuencia de señales periódicas inmersas en ruido” J. G. Fernández, R. M. Hidalgo, R. R. Rivera, W. A. Gemin, H. A. Larrondo. Proceedings de XI Workshop on Information Processing and Control (RPIC) V1 (2005) 687-690.

• “Brain maturation changes characterized by Algorithmic Complexity (Lempel and Ziv Complexity)” J. G. Fernández, H. A. Larrondo, A. Figliola, E. Serrano, J. A. P. Rostas, M. Hunter and O. A. Rosso. American Institute of Physics ConferenceProceedings 913, ISBN 913 978-0-7354-0421-2, 238 páginas, (2007) 196-202.

• “Zipping characterization of chaotic sequences used in spread spectrum communication systems” L. De Micco, C. M. Arizmendi and H. A. Larrondo. AIP Conference Proceedings 913, ISBN 913 978-0-7354-0421-2 (2007) 139-144.


Papers Aplicaciones (2005,--)• “Acquisition of Low Frequency Signals Immersed in Noise by Chaotic Sampling

and FIR Filters”, R. A. Petrocelli, L. De Micco, D. O. Carrica, H. A. Larrondo. WISP2007, ISBN 1-4244-0829-6/07/$20.00 © IEEE (2007) 351-356.

• Constant EnvelopeWideband Signals using Arbitrary Chaotic Maps. L. De Micco, R. A. Petrocelli y H. A. Larrondo. XII Reunión de Trabajo en Procesamiento de la Información y Control, ISBN 978-987-1242-23-8, trabajo 381 2007.

• “Muestreo caótico para la adquisición de señales de baja frecuencia con ruido de alta frecuencia” L. De Micco, R. A. Petrocelli, D. O. Carrica y H. A. Larrondo, Proceedings de la XII Reunión de Trabajo en Procesamiento de la Información y Control, ISBN 978-987-1242-23-8. Trabajo 335 (2007).

• “Implementación en FPGA de un generador de ruido coloreado”. Autores: O. G. Zabaleta, L. De Micco, C. M. González, C. M. Arizmendi and H. A. Larrondo. Proceedings of Designer’s Forum. IV Southern Programmable Logic Conference (SPL08) ISBN 978-84-612-2376-3.pp 69-73 (2008).

• “Ruido 1/fd implementado en FPGA”. O. G. Zabaleta, L. De Micco, C. M. González, C. M. Arizmendi, H. A. Larrondo. Proceedings de XV Iberchip. Ed. Fernando G. Tinetti, ISBN 978-987-9486-10-8. pp 141-154 (2009).

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[email protected]

[email protected]

Mediante servidor FTP pueden transferirnos señales para

analizar.


8°Taller Regional de Fisica Estadística y Aplicaciones a la Materia Condensada

Trefemac 2010Mar del Plata 4 al 6 de mayo de 2010

Gracias!

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