Modelo atómico de Schrödinger

Biografía

Nace en Viena en 1887 y muere en 1961. Fue un físico austriaco. En 1926 publicó una serie de artículos que sentaron las bases de la moderna mecánica cuántica ondulatoria, y en los cuales transcribió en derivadas parciales su célebre ecuación diferencial, que relaciona la energía asociada a una partícula microscópica con la función de onda descrita por dicha partícula. Dedujo este resultado tras adoptar la hipótesis de De Broglie, enunciada en 1924, según la cual la materia y las partículas microscópicas, éstas en especial, son de naturaleza dual y se comportan a la vez como onda y como cuerpo. Atendiendo a estas circunstancias, la ecuación de Schrödinger arroja como resultado funciones de onda, relacionadas con la probabilidad de que se dé un determinado suceso físico, tal como puede ser una posición específica de un electrón en su órbita alrededor del núcleo.

El   modelo atómico de Schrödinger   (1924)

Es un modelo cuántico no relativista. Se basa en la solución de la ecuación de Schrödinger para un

potencial electrostático con simetría esférica, llamado también átomo hidrogenoide. En este

modelo los electrones se contemplaban originalmente como una onda estacionaria de materia

cuya amplitud decaía rápidamente al sobrepasar el radio atómico.

El modelo de Bohr funcionaba muy bien para el átomo de hidrógeno. En los espectros realizados

para otros átomos se observaba que electrones de un mismo nivel energético tenían energías

ligeramente diferentes. Esto no tenía explicación en el

modelo de Bohr, y sugería que se necesitaba alguna

corrección. La propuesta fue que dentro de un mismo

nivel energético existían subniveles. La forma concreta

en que surgieron de manera natural estos subniveles, fue

incorporando órbitas elípticas y correcciones relativistas.

Así, en 1916, Arnold Sommerfeld modificó el modelo

atómico de Bohr, en el cual los electrones sólo giraban

en órbitas circulares, al decir que también podían girar en

órbitas elípticas más complejas y calculó los efectos

relativistas.

Características del modelo

El modelo atómico de Schrödinger concebía originalmente los electrones como ondas de materia.

Así la ecuación se interpretaba como la ecuación ondulatoria que describía la evolución en el

tiempo y el espacio de dicha onda material. Más tarde Max Born propuso una interpretación

probabilística de la función de onda de los electrones. Esa nueva interpretación es compatible con

los electrones concebidos como partículas cuasi puntuales cuya probabilidad de presencia en una

determinada región viene dada por la integral del

cuadrado de la función de onda en una región. Es decir, en

la interpretación posterior del modelo, éste era

modelo probabilista que permitía hacer predicciones

empíricas, pero en el que la posición y la cantidad de

movimiento no pueden conocerse simultáneamente, por

el principio de incertidumbre. Así mismo el resultado de

ciertas mediciones no están determinadas por el modelo,

sino sólo el conjunto de resultados posibles y su

distribución.

Adecuación empírica

El modelo atómico de Schrödinger predice adecuadamente las líneas de emisión espectrales, tanto

de átomos neutros como de átomos ionizados. El modelo también predice adecuadamente la

modificación de los niveles energéticos cuando existe un campo magnético o eléctrico (efecto

Zeeman y efecto Stark respectivamente).

Además, con ciertas modificaciones semiheurísticas el modelo explica el enlace químico y la

estabilidad de las moléculas. Cuando se necesita una alta precisión en los niveles energéticos

puede emplearse un modelo similar al de Schrödinger, pero donde el electrón es descrito

mediante la ecuación relativista de Dirac en lugar de mediante la ecuación de Schrödinger. En el

modelo de Dirac, se toma en cuenta la contribución del espín del electrón.

Sin embargo, el nombre de "modelo atómico" de Schrödinger puede llevar a una confusión ya que

no explica la estructura completa del átomo. El modelo de Schrödinger explica sólo la estructura

electrónica del átomo y su interacción con la estructura electrónica de otros átomos, pero no

explica como es el núcleo atómico ni su estabilidad.

Solución de la ecuación de Schrödinger

Las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger en un campo central electrostático,

están caracterizadas por tres números cuánticos (n, l, m) que a su vez están relacionados con lo

que en el caso clásico corresponderían a las tres integrales del movimiento independientes de una

partícula en un campo central. Estas soluciones o funciones de onda normalizadas vienen dadas

en coordenadas esféricas por:

Dónde:

es el radio de Bohr.

son los polinomios generalizados de Laguerre de grado n-l-1.

es el armónico esférico (l, m).

Para el operador momento angular

Para el operador hamiltoniano:

Dónde:

α es la constante de estructura fina con Z=1.

Insuficiencias del modelo

Si bien el modelo de Schrödinger describe adecuadamente la estructura electrónica de los

átomos, resulta incompleto en otros aspectos:

1. El modelo de Schrödinger en su formulación original no tiene en cuenta

el espín de los electrones, esta deficiencia es corregida por el modelo de

Schrödinger-Pauli.

2. El modelo de Schrödinger ignora los efectos

relativistas de los electrones rápidos, esta

deficiencia es corregida por la ecuación de

Dirac que además incorpora la descripción del

espín electrónico.

3. El modelo de Schrödinger si bien predice razonablemente bien los niveles

energéticos, por sí mismo no explica por qué un electrón en un estado cuántico

excitado decae hacia un nivel inferior si existe alguno libre. Esto fue explicado por

primera vez por la electrodinámica cuántica y es un efecto de la energía del punto

cero del vacío cuántico. Cuando se considera un átomo de hidrogeno los dos

primeros aspectos pueden corregirse añadiendo términos correctivos al

hamiltoniano atómico.

ARNOLD SOMMERFELD:

Arnold Sommerfeld nació en Königsber, donde estudió matemáticas. Tras recibir el doctorado

en 1891 se cambió a la universidad de Gotinga, donde recibió la cátedra en 1896.

El primer trabajo de Sommerfeld bajo la supervisión de Klein fue un impresionante trabajo sobre la

teoría matemática de la difracción, su trabajo en este tema contiene una teoría importante de

ecuaciones diferenciales. Otros trabajos importantes versaron sobre el estudio de la propagación

de las ondas electromagnéticas en cables y sobre el estudio del campo producido por un electrón

en movimiento. El trabajo de Sommerfeld hizo cambiar las órbitas circulares del átomo de Niels

Bohr por órbitas elípticas, también introdujo el número cuántico magnético, y en 1916, el número

cuántico interno.

En 1906 se convirtió por fin en profesor de física de la universidad de Múnich. Allí entró en

contacto con la teoría de la relatividad de Albert Einstein, que aún no estaba aceptada

comúnmente. Sus contribuciones matemáticas a la teoría ayudaron a que los científicos más

escépticos la aceptasen.

Sommerfeld murió en 1951 en Múnich a causa de las heridas de un accidente de tráfico

Modelo atómico de SOMERFELD

El Modelo atómico de Sommerfeld es un modelo atómico hecho por el físico alemán Arnold

Sommerfeld (1868-1951) que básicamente es una generalización relativista del modelo atómico de

Bohr (1913).

Insuficiencias del modelo de Bohr

El modelo atómico de Bohr funcionaba muy bien para el átomo de hidrógeno, sin embargo, en los

espectros realizados para átomos de otros elementos se observaba que electrones de un mismo

nivel energético tenían distinta energía, mostrando que existía un error en el modelo. Su

conclusión fue que dentro de un mismo nivel energético existían subniveles, es decir, energías

ligeramente diferentes. Además desde el punto de vista teórico, Sommerfeld había encontrado

que en ciertos átomos las velocidades de los electrones alcanzaban una fracción apreciable de

la velocidad de la luz. Sommerfeld estudió la cuestión para electrones relativistas.

Características del modelo

Órbitas elípticas en el modelo de Sommerfeld.

En 1916, Sommerfeld perfeccionó el modelo atómico de Bohr intentando paliar los dos principales

defectos de éste. Para eso introdujo dos modificaciones básicas: Órbitas casi-elípticas para los

electrones y velocidades relativistas. En el modelo de Bohr los electrones sólo giraban en órbitas

circulares. La excentricidad de la órbita dio lugar a un nuevonúmero cuántico: el número cuántico

azimutal, que determina la forma de los orbitales, se lo representa con la letra l y toma valores

que van desde 0 hasta n-1. Las órbitas son:

l = 0 se denominarían posteriormente orbitales s o sharp

l = 1 se denominarían p o principal.

l = 2 se denominarían d o diffuse.

l = 3 se denominarían f o fundamental.

Para hacer coincidir las frecuencias calculadas con las experimentales, Sommerfeld postuló que

el núcleo del átomo no permanece inmóvil, sino que tanto el núcleo como el electrón se mueven

alrededor del centro de masas del sistema, que estará situado muy próximo al núcleo al tener este

una masa varios miles de veces superior a la masa del electrón.

Para explicar el desdoblamiento de las líneas espectrales, observando al

emplear espectroscopios de mejor calidad, Sommerfeld supone que las órbitas del electrón

pueden ser circulares y elípticas. Introduce el número cuántico secundario o azimutal, en la

actualidad llamado l, que tiene los valores 0, 1, 2,…(n-1), e indica el momento angular del electrón

en la órbita en unidades de , determinando los subniveles de energía en cada nivel cuántico y

la excentricidad de la órbita.