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Mtodo del trapecio

La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integracin de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuacin es de primer grado:Una lnea recta se puede representar como:

El rea bajo esta lnea recta es una aproximacin de la integral de()entre los limites y b:

El resultado de la integracin es:Que se denomina regla del trapecio.

Obtencin de la regla del trapecioAntes de la integracin, la ecuacin se puede expresar como:

Agrupando los ltimos 2 trminos:La cual puede integrarse entre x= y x =b para obtener:

Este resultado se evala para dar:

Ahora como b = (b ) (b + ).Multiplicando y agrupando trminos se tiene:Que es la frmula para la regla del trapecio.

Geomtricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el rea del trapecio bajo la lnea recta que une () y (b). Recuerde que la formula para calcular el area de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases. En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide esta sobre su lado. Por lo tanto, la integral aproximada se representa como:Error de la regla del trapecioCuando empleamos la integral bajo un segmento de lnea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimacin al error de truncamiento local para una sola aplicacin de la regla del trapecio es:

Donde est en algn lugar en el intervalo de a b. La ecuacin indica que si la funcin sujeta a integracin es lineal, la regla del trapecio ser exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algn error.Ejemplo1. Aplicacin simple de la regla del trapecio.

*Planteamiento del problema.Con la ecuacin integre numricamenteDesdea=0 hasta b=0.8, recuerde de la seccin PT6.2 que el valor exacto de la integral se puede determinar en forma analtica y es 1.640533.SOLUCION: al evaluar la funcin en los limitesf(0)=0.2f(0.8)=0.232sustituyendo la ecuacin se tiene que

La cual representa un error de

Que corresponde a un error relativo porcentual de 1=89.5%. En situaciones reales, tal vez no conozcamos previamente el valor verdadero. Por lo tanto, se requiere una estimacin del error aproximado.

Problema del mtodo de los trapecios(MetTrape)Integrar numricamente la funcin erf(x) para x=0,34 utilizando su definicin. Se busca tener un error inferior a la tercera cifra decimal.Utilizando el mtodo de los trapecios, se tiene:Solucin:Es interesante constatar, desde el punto de vista numrico, la evolucin de la precisin con respecto al tiempo de clculo (tiempo en segundos para un IBM 50, 10 MHz con coprocesador matemtico):Influencia del numero de intervalos en el mtodo de los trapecios.

# de divisionesResultadoTiempo(s)

640.3693629217472360,05

1280.3693641274460880,11

2560.3693644288700650,17

5120.3693645042260130,33

10240.3693645230649970,71

20480.3693645277747431,48

40960.3693645289521802,91

81920.3693645292465395,77

163840.36936452932012811,58

327680.36936452933852423,18

655360.36936452934312646,36

1310720.36936452934427392,55

2621440.369364529344566184,88

5242880.369364529344642369,71

10485760.369364529344647741,16

20971520.3693645293446781478,32

El mtodo de la regla trapezoidal es el ms utilizado para la solucin de la ecuacin de oscilacin ya que es muy sencillo y numricamente estable. Aplicando dicho mtodo en la solucin de oscilacin se tiene:

Lo ms importante es escoger un t exitoso en el anlisis; el cual debe ser menor que la constante de tiempo ms pequea del sistema. Cuando no se consideran los reguladores en el estudio de estabilidad, la experiencia ha mostrado que t debe estar entre 1 y 2 ciclos. No se debe considerar t iguales en todo el trayecto del anlisis; al acercarse al punto de estabilidad se puede utilizar t mayores. A continuacin se muestra en la Figura 5.4 la descripcin de dicho mtodo considerando t constante.

Descripcin de la Regla TrapezoidalEl rea ser:

Al sustituir las ecuaciones se tiene lo siguiente:

Dnde:

Por lo tanto;

De esta manera se puede conocer el comportamiento de la velocidad y el ngulo a travs del tiempo despus de una pequea perturbacin.