INTEGRACION NUMERICA

En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función con alguna de las siguientes características: (a) Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.

(b) Una función tabulada en donde los valores de x y f(x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales. En estos dos casos, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente para evaluar integrales impropias y en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

Considérese la función f(x), cuya gráfica esta entre los extremos x=a y x=b como se muestra en la figura. Si utilizamos un polinomio P(x) de primer grado como una aproximación de f(x) tenemos:

abaxbf

babxafxP

−−

+−−

= )()()( , el cual es equivalente a:

)()()()()( axab

afbfafxP −−−

+=

El área bajo esta línea recta será una aproximación del área bajo la curva entre los límites a y b

Integrando este polinomio:

⎟⎞− dxax )()

∫∫ ⎜⎝⎛

−−

+≅b

a

b

a abafbfafdxxf ()()()(f(x)

⎠

f(a) b

a

axab

afbfxaf2

2)()()()( −

−−

+≅ f(b)

2)()()())(( abafbfabaf −−+−≅

2ab −

2)())()(())(( abafbfabaf −

−+−≅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−≅2

)()()()( afbfafab

2)()()( bfafab +

−≅

Que es la conocida Regla del Trapecio Simple. Geométricamente, la Regla del trapecio aproxima el área bajo una curva mediante el área del trapecio bajo la línea recta que une f(a) y f(b)

hbBA2+

=

)()()( abbfafA −2+

=

Ejemplo:

Utilizar la regla del trapecio simple para aproximar la integral ∫1

2/1)( dxxarcsen

Solución:

∫1

2/1)( dxxarcsen

2)2/1()1()2/11( ff +

−≅

5235988.064==

6/2/ +≅

πππ

La solución exacta de esta integral es:

4429715.0365≈

−π12

a b

b-a

f(b)

f(a)

B

b

h

−1 1

−1

1

El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio simple esta dado por:

%2.181004429715.0

5235988.04429715.0100*≈⋅

−=⋅

−ppp Er =

segmentos de ancho y aproximando el área de cada segmento mediante un trapecio, como se indica en la figura:

nabh /)( −=

},,{ 10 nxxxP LSea = la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. Usando propiedades de la integral tenemos que: f(a)

f(x)

L++= ∫∫∫10

)()()(xxa

dxxfdxxfdxxf

∫+ nxdxxf )(

21 xxb

−nx 1

Aplicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos:

L++++

≅22

hha b

f(b)

)()()()( 2110 xfxfxfxf

2)()( 1 nn xfxf

h+

+ −

Agrupando términos:

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

++=++++≅ ∑∫−

)()(2)(2

))()(2)(2)((2

)(1

0210 n

n

inb

axfxfxfhxfxfxfxfhdxxf L

⎠⎝ =1i

xfxfxf n

n

ib

)()(2)(1

0 ++ ∑−

nabdxxf i

a 2)()( 1−≅∫ =

∫1

2/1)( dxxarcsen

Que es la conocida como la Regla del Trapecio múltiple o compuesta. Ejemplo:

Utilizar la regla del trapecio compuesta con n=5 subintervalos para aproximar la

integral

El error de la estimación es muy alto.

Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n

Solución:

1.05

2/11=

−=

−=

nabh

P= {0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1}

∫1

2/1)( dxxarcsen +++≅ )7.0(2)6.0(2)5.0((

21.0 fff

))1()9.0(2)8.0(2 fff +++ =0.4513161

La solución exacta de esta integral es:

4429715.012

≈365 −π

El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio compuesta esta dado por:

Er = %884.11004513161.04429715.0100*≈⋅

−=⋅

− pp4429715.0p

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 18.2% hasta un 1.884%.

−1 1

−1

1

Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados:

n Snumérica Er% 10 0.4460196420 0.688% 50 0.4432559383 0.0642% 100 0.4430730772 0.0229% 200 0.4430076838 0.00816$ 250 0.4429974465 0.00585% 1000 0.4429747968 0.000736%

Se ha obtenido una mejor aproximación al aumentar el número de subdivisiones.