11. Integración Aproximada-Regla Del Trapecio y Regla de Simpson

7/24/2019 11. Integración Aproximada-Regla Del Trapecio y Regla de Simpson

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RL

MATEMATICAS APLICADAS

Integración aproximada

Regla del Trapecio y Regla de Simpson

Dr. ( c ) Ricardo López Guevara

1

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES



Regla de Trapecios

Es conocido que existen relativamente pocas fórmulas y técnicas

de integración, frente a la cantidad existente de funciones que sepueden integrar.Es decir, un gran número de integrales de funciones elementalesno puede ser expresada en términos de ellas. Entre estos casos

singulares se tienen, a manera de ejemplo:

Para aclarar esta contradicción señalada, debemos recordar lacondición necesaria para que una función sea integrable. Dichacondición se menciona de inmediato, sin demostración:

Si una función f es continua en el intervalo [a, b], entonces la

función f es integrable en el intervalo [a, b].

2 3 2 4, , 1 , ( ) , 1 .......ln

x dxe dx x dx sen x dx x dx

x



Aproximación por Rectángulos

Como se vio anteriormente, una forma de aproximar esta área es

usar n rectángulos, tal como se muestra en la figura siguiente. Enparticular, se divide el intervalo a ≤ x ≤ b en n subintervalos delmismo ancho Δx = (b-a)/n y con x j se denota el inicio del j-ésimosubintervalo. La base del j-ésimo rectángulo es el j-ésimosubintervalo, y su altura es f(x j ).

Por lo tanto, el área del j-ésimo rectángulo es f(x j ) Δx. La suma delas áreas de todos los n rectángulos es una aproximación del áreabajo la curva. Así, una aproximación a la integral definidacorrespondiente es

1( ) ( ) ............ ( )n

f x dx f x x f x x

Aproximación por rectángulos.



Regla de los Trapecios

Esta aproximación mejora a medida que aumenta el número de

rectángulos, y se puede estimar la integral con cualquier gradodeseado de precisión, tomando n suficientemente grande. Noobstante, en vista de que por lo general se requieren grandesvalores de n para obtener una precisión razonable, en la practicapocas veces se usa la aproximación por rectángulos.

La precisión de la aproximación mejora considerablemente si seusan trapecios en lugar de rectángulos. La figura siguientemuestra el área de la figura anterior aproximada por n trapecios.Se puede ver cuan mejor es la aproximación en este caso.

Esquema General de aproximación.




El j-ésimo trapecio se muestra con mayor detalle en la figura

siguiente.

Se puede notar que está formado por un rectángulo con untriángulo recto en su parte superior. Como:Área de rectángulo = f(x j+1 ) Δx

Y Área de triângulo = ½ [f(x j) - f(x j+1)] ΔxSe deduce queÁrea del j-ésimo trapecio = f(x j+1) Δx + ½ [f(x j) - f(x j+1)] Δx

= ½ [f(x j) + f(x

j+1)] Δx

El j-ésimo trapecio.




La suma de las áreas de todos los n trapecios es una

aproximación del área bajo la curva y por lo tanto unaaproximación de la integral definida correspondiente.Así,

Esta formula de aproximación se conoce como la regla de los trapecios y se aplicaincluso si la función f no es positiva.




Use la regla de los trapecios con n = 10 para aproximar2

1

1dx

x




La integral definida en el ejemplo anterior se puede evaluar de manera directa. En

particular,

Por tanto, la aproximación de esta integral, usando la regla de los trapecios con

n=10, es precisa (después de redondeo) con dos lugares decimales.

Precisión de la regla de los trapecios y Estimación

del error de la Regla de los Trapecios

Hecho en pizarra.



Regla de Simpson

El número relativamente grande de subintervalos requeridos en

el ejemplo anterior (Regla de los Trapecios) para asegurar unaprecisión dentro de 0.00005 sugiere que la aproximación portrapecios puede no ser suficientemente eficiente para algunasaplicaciones. Existe otra fórmula de aproximación, llamada Regla

de Simpson, que no es mas difícil de usar que la regla de lostrapecios, pero que con frecuencia requiere considerablementemenos cálculos para lograr un grado especifico de precisión.Al igual que la regla de los trapecios, está basada en laaproximación del área bajo una curva por columnas; pero, adiferencia de la regla de los trapecios, usa arcos parabólicos enlugar de segmentos de rectas en la parte superior de lascolumnas.



Regla de SimpsonPara ser más exactos, la aproximación de una integral definida que usa parábolas estábasada en la siguiente construcción (ilustrada en la figura siguiente para n = 6):

Divida el intervalo a ≤ x ≤ b en un número par de subintervalos, para que lossubintervalos adyacentes puedan ser pareados sin que sobre ninguno. Aproxime laparte de la gráfica que se encuentra sobre el primer par de subintervalos, por medio dela parábola (única) que pasa por los tres puntos (x1, f (x1)), (x2, f (x2)), y (x3, f (x3)), y use elárea bajo esta parábola entre x1 y x3 para aproximar el área correspondiente bajo lacurva. Haga lo mismo para las parejas restantes de subintervalos y use la suma de las

áreas resultantes para aproximar el área total bajo la grafica. He aquí la fórmula deaproximación que resulta de esta construcción.

Aproximación con uso de parábolas



Regla de Simpson

Note que, en la suma de la aproximación por la regla de Simpson, losvalores primero y último de la función están multiplicados por 1,

mientras que los otros están multiplicados alternativamente por 4 y 2.La prueba de la regla de Simpson se basa en el hecho de que laecuación de una parábola es un polinomio de la forma y= Ax 2 + Bx + C.Para cada par de subintervalos, los tres puntos dados se usan para

hallar los coeficientes A, B y C, y el polinomio resultante se integraentonces para obtener el área correspondiente. Los detalles de laprueba son fáciles pero tediosos, así que lo omitiremos.



Regla de Simpson

Como ocurre en el ejemplo de los Trapecios, Δ x = 0.1, y por tantoel intervalo 1 ≤ x ≤ 2 se divide en los 10 subintervalos con x1=1,x2=1.1, X3= 1.2, . . . ,x10 = 1.9, X 11 = 2.

Entonces, por la regla de Simpson,

Use la regla de Simpson con n = 10 para aproximar

2

1

1dx

x

Solución

Se puede notar que esta es una excelente aproximación, con 6 lugares decimales, alverdadero valor; es decir, ln 2 = 0.693147.

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