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R. Básicas R. Interpolatorias Errores R. Compuestas

Complementos de Matemáticas, ITT TelemáticaTema 3. Cuadratura numérica

Rafael Bravo de la Parra

Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá

Rafael Bravo de la Parra Cuadratura numérica


Índice

1 Cuadratura numérica básica

2 Obtención de las reglas de cuadratura

3 Error de cuadratura

4 Reglas compuestas



Introducción

Integral definida

Sea f : [a, b] 7→ IR integrable. Buscar aproximaciones a

I(f ) =

∫ b

af (x)dx

Teorema (Teorema de evaluación, Regla de Barrow)

Si f es integrable en [a, b] y g es una primitiva de f (g′(x) = f (x) paratodo x ∈ [a, b]) entonces:∫ b

af (x)dx = g(b)− g(a).



Introducción

¿Por qué no utilizar la Regla de Barrow para el cálculo de

I(f ) =

∫ b

af (x)dx?

Tal vez no se conoce el integrando f más que en algunos puntos(tabla de valores).

Se conoce la expresión analítica de f pero quizás su primitiva nosea una función elemental (p.e. f (x) = e−x2

).

La primitiva de f puede ser elemental y sin embargo se necesitade técnicas numéricas complejas para hallarla (p.e. f funciónracional que necesita encontrar de forma numérica las raíces deldenominador).



Propiedades de la integral

Funciones f y g integrables en [a, b]

1∫ b

a (αf (x) + βg(x))dx = α∫ b

a f (x)dx + β∫ b

a g(x)dx para todo α, β ∈ R.

2∫ b

a f (x)dx =∫ c

a f (x)dx +∫ b

c f (x)dx para todo c ∈ [a, b].

3 Si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces∫ b

a f (x)dx ≤∫ b

a g(x)dx.

Teorema (Primer teorema del valor medio para integrales)

Si f ∈ C[a, b], existe un número c ∈ (a, b), tal que∫ b

a f (x)dx = f (c)(b− a).A f (c) se le denomina valor medio de f en [a, b].

Teorema (Segundo teorema del valor medio para integrales)

Si f ∈ C[a, b], y g es integrable y no cambia de signo en [a, b], entonces existe unnúmero c ∈ (a, b), tal que

∫ ba f (x)g(x)dx = f (c)

∫ ba g(x)dx.

Cuando g es no negativa a f (c) se le denomina valor medio ponderado de f en [a, b]respecto de g.



Reglas de cuadratura

Reglas de cuadraturaLa mayor parte de los métodos numéricos aproximan

I(f ) =

∫ b

af (x)dx mediante una combinación lineal de valores de f :

In(f ) = α0f (x0) + α1f (x1) + · · ·+ αnf (xn)

Elegidos y fijados n ≥ 0, los αi y los xi, la expresión anterior asocia acada función f un número real y constituye lo que se denomina unaregla de cuadratura.Los xi se denominan abcisas o nodos de la regla y se suelen tomar enel intervalo [a, b]. Los consideraremos distintos dos a dos.Los αi de denominan pesos o coeficientes de la regla.



Reglas básicas de cuadratura para la función f en [a, b]

Regla del rectángulon = 0Abcisas: x0 = aPesos: α0 = b− a

IRec(f ) = f (a)(b− a)




Regla del punto medion = 0Abcisas: x0 =

a + b2

Pesos: α0 = b− a

IPm(f ) = f(

a + b2

)(b− a)




Regla del trapecion = 1Abcisas: x0 = a y x1 = b

Pesos: α0 =b− a

2y α1 =

b− a2

ITr(f ) =12

(f (a) + f (b))(b− a)




Regla de Simpsonn = 2

Abcisas: x0 = a, x1 =a + b

2y x2 = b

Pesos: α0 =b− a

6, α1 =

4(b− a)

6y α2 =

b− a6

ISi(f ) =16

(f (a) + 4f (

a + b2

) + f (b)

)(b− a)




Ejemplo:∫ 2

−1f (x)dx

f (x) x x2 x3 sin x ex ex2

Valor exacto 1.5 3 3.75 0.956449 7.021176 17.915279

Punto Medio 1.5 0.75 0.375 1.438276 4.946163 3.852076

Trapecio 1.5 7.5 10.5 0.101739 11.635403 85.974647

Simpson 1.5 3 3.75 0.992764 7.175910 31.226266

Las tres reglas dan el valor exacto para f (x) = x y la de Simpson lo da también paraf (x) = x2 y f (x) = x3.



Grado de precisión de una regla de cuadratura

DefiniciónLlamaremos grado de precisión de una regla de cuadratura al mayorentero k tal que la regla proporciona de manera exacta la integral detodos los polinomios de grado menor o igual que k.

1 El grado de precisión de la regla del réctangulo es 0.2 El grado de precisión de la regla del punto medio es 1.3 El grado de precisión de la regla del trapecio es 1.4 El grado de precisión de la regla de Simpson es 3.

Si probamos con las funciones 1, x, x2, ... y obtenemos que

In+1(xj) =

∫ b

axjdx (j = 0, 1, . . . , k) pero In+1(xk+1) 6=

∫ b

axk+1dx

entonces el grado de precisión de la regla es k.



Reglas interpolatorias

Reglas interpolatorias para I(f ) =

∫ b

af (x)dx

In(f ) = α0f (x0) + α1f (x1) + · · ·+ αnf (xn)

Elegidos n ≥ 0 y los nodos x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b] distintos dos a dos, diremos que laregla de cuadratura es una regla interpolatoria si se calculan los pesos αi de maneraque In(f ) coincida con la integral en [a, b] del polinomio interpolador, P(x), de f enlos nodos.

Polinomio interpolador:P(x) = f (x0)L0(x) + f (x1)L1(x) + · · ·+ f (xn)Ln(x)

Regla de cuadratura

In(f ) =

∫ b

aP(x)dx =

n∑i=0

αi f (xi)

Pesos o coeficientes de cuadratura

αi =

∫ b

aLi(x)dx =

b∫a

n∏i=0k 6=i

x− xk

xi − xkdx.



Reglas interpolatorias

Las reglas de cuadratura básicas son interpolatorias:

1 La Regla del Rectángulo utiliza el polinomio interpolador de grado 0 con nodox0 = a.

2 La Regla del Punto Medio utiliza el polinomio interpolador de grado 0 connodo x0 = (a + b)/2.

3 La Regla del Trapecio utiliza el polinomio interpolador de grado 1 con nodosx0 = a y x1 = b.

4 La Regla de Simpson utiliza el polinomio interpolador de grado 2 con nodosx0 = a, x1 = (a + b)/2 y x2 = b.

Sus coeficientes se pueden calcular mediante la fórmula αi =

∫ b

aLi(x)dx.

Teorema

Dados n ≥ 0 y los nodos x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b] distintos dos a dos, lacorrespondiente regla interpolatoria tiene grado de precisión ≥ n.



Método de los coeficientes indeterminados para obtener reglas de cuadratura.

Nodos x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b]: In(f ) = α0f (x0) + α1f (x1) + · · ·+ αnf (xn).

Le pedimos a la regla de cuadratura que tenga la máxima precisión posible, es decir,que sea exacta para f (x) = 1, x, x2, . . .:

α0 + α1 + · · ·+ αn = b− aα0x0 + α1x1 + · · ·+ αnxn = 1

2 (b2 − a2)α0x2

0 + α1x21 + · · ·+ αnx2

n = 13 (b3 − a3)

. . .α0xn

0 + α1xn1 + · · ·+ αnxn

n = 1n+1 (bn+1 − an+1)

Teorema

Dados n ≥ 0 y los nodos x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b] distintos dos a dos, hay una únicaelección de los pesos αi para los que la regla de cuadratura tiene grado de precisión≥ n.

Teorema

Dados n ≥ 0 y los nodos x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b] distintos dos a dos, lacorrespondiente regla interpolatoria es la única regla de cuadratura con esos nodosque tiene grado de precisión ≥ n.

Los pesos de las reglas interpolatorias se pueden calcular por el método decoeficientes indeterminados.



Error de cuadratura

I(f ) =

∫ b

af (x)dx e In(f ) = α0f (x0) + α1f (x1) + · · ·+ αnf (xn)

Suponiendo que la regla de cuadratura es interpolatoria y que f es suficientementeregular en [a, b], el error de cuadratura, En(f ) = I(f )− In(f ), se puede expresar apartir del error de interpolación como:

En(f ) =

b∫a

f (n+1)(ξx)

(n + 1)!(x− x0)(x− x1) . . . (x− xn)dx.

Errores de reglas básicas

Regla del rectángulo: ERec(f ) =(b− a)2

2f ′(ξ) para ξ ∈ [a, b].

Regla del trapecio: ETr(f ) = − (b− a)3

12f ′′(ξ) para ξ ∈ [a, b].



Error de la regla del punto medio: IPm(f ) = f ((a + b)/2)(b− a)

Fórmula del error

EPm(f ) =

∫ b

af (x)dx− IPm(f ) =

(b− a)3

24f ′′(ξ) para ξ ∈ [a, b]

∫ 10 ex2

dx = 1,462651

IPm(f ) = e( 12 )2

(1− 0) = e14 ≈ 1,284025

EPm(f ) =124

(2 + 4ξ2)eξ2

para cierto ξ ∈ [0, 1]

Una cota del error es:

|EPm(f )| ≤ M2

24=

6e24≈ 0,6795

donde M2 = m«axx∈[0,1] |f ′′(x)| = 6e.



Error de la regla de Simpson: ISi(f ) =16

(f (a) + 4f (

a + b2

) + f (b)

)(b− a)

Fórmula del error

ESi(f ) =

∫ b

af (x)dx− ISi(f ) = − 1

90

(b− a

2

)5

f (iv)(ξ) para ξ ∈ [a, b]

∫ 10 ex2

dx = 1,462651

ISi(f ) =16

(e02

+ 4e( 12 )2

+ e12)

(1− 0) = (1 + 4e14 + e)/6 ≈ 1,475730582

Como f (iv)(x) = 4ex2(4x4 + 12x2 + 3)

ESi(f ) = − 190

(12

)5

4eξ2(4ξ4 + 12ξ2 + 3) para cierto ξ ∈ [0, 1]

Una cota del error es:

|EPm(f )| ≤ M4

2880=

76e2880

≈ 0,07173243713

donde M4 = m«axx∈[0,1] |f (iv)(x)| = f (iv)(1) = 76e.



Reglas compuestas generales.

Basadas en la interpolación segmentaria

En un intervalo [a, b], dividido en subintervalos [xi−1, xi] (i = 1, . . . , n) cona = x0 < x1 < · · · < xn = b.

Pk(x) función polinómica segmentaria de grado menor o igual que k ena = x0 < x1 < · · · < xn = b.

pk,i(x), i = 1, . . . , n, polinomio de grado menor o igual que k, tal quePk(x) = pk,i(x) para x ∈ [xi−1, xi].

I(f ) =

∫ b

af (x) dx =

∫ x1

x0

f (x) dx + · · ·+∫ xn

xn−1

f (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

Regla de cuadratura compuesta:

I(Pk) =

∫ x1

x0

Pk(x) dx + · · ·+∫ xn

xn−1

Pk(x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

pi,k(x) dx

Las reglas compuestas básicas utilizan nodos equiespaciados

El intervalo [a, b] se dividide en n subintervalos de la misma longitud h = (b− a)/n.Así xi = a + ih para i = 0, . . . , n.



Reglas compuestas básicas para la función f en [a, b]

[a, b] dividido en n subintervalos de longitud h = (b− a)/n[xi−1, xi] (i = 1, . . . , n), xi = a + ihdenotamos por x̄i = 1

2(xi−1 + xi).

Regla del Punto Medio Compuesta

ICPm(f ) = hf (x̄1) + · · ·+ hf (x̄n) = h

n∑i=1

f (x̄i).

Fórmula del error:

ECPm(f ) =

b− a24

h2f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b)



Ejemplo de la Regla del Punto Medio Compuesta

∫ 3−2 e−xdx = e2 − e−3 = 7,339269030

n = 5 y, por tanto, h = 1

ICPm(f ) = e1,5 + e0,5 + e−0,5 + e−1,5 + e−2,5 = 7,042156159

ECPm(f ) =

524

e−ξ, una cota: |ECPm(f )| ≤ 5

24e2 = 1,539386687

¿Cuál es el valor de n necesario para asegurar un error menor de 10−α?

524

(5n

)2

e2 < 10−α

Error 1 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5

n 7 20 63 197 621 1962

ICPm(f ) 7.185538 7.320191 7.337343 7.339072 7.339249 7.339267




[a, b] dividido en n subintervalos de longitud h = (b− a)/n[xi−1, xi] (i = 1, . . . , n), xi = a + ih

Regla del Trapecio Compuesta

ICTr(f ) = h

n∑i=1

12

(f (xi−1) + f (xi)) =h2

(f (a) + f (b)) + hn−1∑i=1

f (xi)

Fórmula del error:

ECTr(f ) = −b− a

12h2f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b)



Ejemplo de la Regla del Trapecio Compuesta

∫ 1−1 ex2

dx = 2,9253034918143632176

n = 4 y, por tanto, h = 0,5

ICTr(f ) =

14

(e(−1)2+2e(−0,5)2

+2e(0)2+2e(0,5)2

+e(1)2) =

12

e+e14 +

12

= 3,143166330

ECTr(f ) = − 2

12(0,5)2e(ξ)2

(4ξ2 + 2), una cota: |ECPm(f )| ≤ e

4= 0,6795704571


212

(2n

)2

6e < 10−α

Error 1 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5

n 4 11 33 105 330 1043

ICTr(f ) 3.143166 2.955093 2.928629 2.925632 2.925336 2.925306




[a, b] dividido en n subintervalos de longitud h = (b− a)/n[xi−1, xi] (i = 1, . . . , n), xi = a + ihdenotamos por x̄i = 1

2(xi−1 + xi).

Regla de Simpson Compuesta

ICSi(f ) =

h6

n∑i=1

(f (xi−1) + 4f (x̄i) + f (xi))

Fórmula del error:

ECSi(f ) = −b− a

180

(h2

)4

f (iv)(ξ), ξ ∈ (a, b)



Ejemplo de la Regla del Simpson Compuesta∫ 1−1 e−10(x−1)2

dx = 0,2802495608198964348606359

f (x) = e−10(x−1)2y [a, b] = [−1, 1]

Utilizamos la regla de Simpson compuesta con n = 8, por tanto, h = 0,25.

Los nodos serán: xi = −1 + 0,25 · i con i = 0, 1, . . . , 8 y los correspondientes puntosmedios x̄i = −1 + 0,25 · (i + 0,5).

ICSi(f ) =

124

8∑i=1

(e−10(xi−1−1)2

+ 4e−10(̄xi−1)2+ e−10(xi−1)2

)ICSi(f ) = 0,2802495349168935634504111

Fórmula del error: (f (4)(x) = 400(400x4 − 1600x3 + 2280x2 − 1360x + 283)e−10(x−1)2)

ECPm(f ) = − 2

180

(0,25

2

)4

400(400ξ4− 1600ξ3 + 2280ξ2− 1360ξ+ 283)e−10(ξ−1)2

con ξ ∈ [−1, 1].

Cota del error: |ECPm(f )| ≤ 2

180

( 0,252

)41200 = 5

1536 ≈ 0,0032552



Ejemplo de la Regla del Simpson Compuesta∫ 1−1 e−10(x−1)2

dx = 0,2802495608198964348606359

f (x) = e−10(x−1)2y [a, b] = [−1, 1]

Utilizamos la regla de Simpson compuesta con un n cualquiera, por tanto, h =2n

.


2180

(1n

)4

1200 < 10−α, es decir, 4

√403

10α < n

Error n ICTr(f)

1 2 0.221405

10−1 4 0.276644

10−2 7 0.2802485

10−3 11 0.280249560819876

10−4 20 0.2802495608198964348544278

10−5 34 0.2802495608198964348596931


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