Tema 1: Interpolaciónma1.eii.us.es/Material/Cal_Num_itig_Pres1.pdf · Cálculo umérico Tema 1:...

Cál

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Tema 1: Interpolación

Interpolación

Interpolación polinomial.

Polinomios de Lagrange: cota del error.

Método de Newton: diferencias divididas y finitas.

Tema 1:

Problema

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Problema

Dada una nube de puntos del plano

se pretende encontrar un polinomio de grado mínimo que pase por todos ellos.

Cál

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Teorema: Dada una familia de n+1 puntos del plano

F={(x0,y0), (x1,y1), …,(xn,yn)}, con x0<x1<…<xn. Existe un

único polinomio Pn(x), de grado menor o igual a n,

satisfaciendo:

Interpolación Polinomial

( ) ,n i iP x y= 0,...,i n∀ =

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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A Pn(x) se le llama polinomio interpolador de la familia de

puntos F.

Al conjunto de abscisas, S={x0,x1,…,xn}, se le llama soporte.

En el caso de que yi=f(xi) para una determinada función f,

se dice que Pn(x) es el polinomio interpolador de f en el

soporte S.

Cál

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Analisis del error del polinomio interpolador.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Damos una función f(x).

Cál

culo

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V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

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Elegimos un soporte S, y marcamos sus imágenes en la

Gráfica de f(x).

Cál

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V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Calculamos el polinomio interpolador que pasa por esos puntos.

( ) ( )nf x P x−

que nos marca el error que se comete cuando sustituimos

f(x) por Pn(x).

Gráficamente observamos la diferencia

Cál

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Sea S={x0,x1,…,xn}, con x0<x1<…<xn, y sea f(x) una función

n+1 veces derivable tal que su derivada fn+1)(x) es continua,

al menos en [x0,xn]. Entonces se tiene:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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donde Pn(x) es el polinomio interpolador de f(x) en S y c se encuentra

en el intervalo determinado por los puntos x,x0,xn.

OJO: no tiene por qué mejorar los resultados al tomar un número

elevado de puntos para el soporte en un mismo intervalo. Puede

darse el llamado Fenómeno de Runge, en el que el error es aceptable

en la zona central del intervalo pero desproporcionado en los extremos

Cál

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V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Cál

culo

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Métodos para obtener el polinomio interpolador.

1. Método directo.

2. Método de Lagrange.

3. Método de la diferencias divididas de Newton.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

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3. Método de la diferencias divididas de Newton.

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Cálculo del polinomio interpolador

Dado el conjunto de n+1 puntos del plano {(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}

Buscamos un polinomio, Pn(x)=anxn+an-1x

n-1+···+a0 , tal que

( ) ,n i iP x y= 0,...,i n∀ =

Operando tenemos:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Operando tenemos:

20 00 0 0

21 11 1 1

2

1

1

1

n

n

nn nn n n

a yx x x

a yx x x

a yx x x

=

L

L

M ML L L L L

L

El método directo consiste en resolver este sistema lineal.

Cál

culo

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Método directo para el cálculo del polinomio interpolador

Ejemplo: Dada la nube de puntos (={(0,2), (1,1), (2,0),(3,5)}.

Hallar el polinomio interpolador usando el método directo.

Puesto que hay 4 puntos en el soporte, el polinomio solución

es de la forma: 2 3

3 0 1 2 3( )P x a a x a x a x= + + +

El sistema de ecuaciones que proporciona la solución es:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

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El sistema de ecuaciones que proporciona la solución es:

0

1

2

3

1 0 0 0 2

1 1 1 1 1

1 2 4 8 0

1 3 9 27 5

a

a

a

a

=

Su solución es

0

1

2

3

2

1

3

1

a

a

a

a

= −

Por tanto, 2 3

3( ) 2 3P x x x x= + − +

Cál

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Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x0,y0), (x1,y1), … ,(xn,yn)}

Se definen los polinomio auxiliares de Lagrange para las

abscisas de F como:

1 20

0 1 0 2 0

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

n

n

x x x x x xL x

x x x x x x

− − −=

− − −

L

L

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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0 21

1 0 1 2 1

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

n

n

x x x x x xL x

x x x x x x

− − −=

− − −

L

L

M

0 1 1

0 1 1

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

nn

n n n n

x x x x x xL x

x x x x x x

−

−

− − −=

− − −

L

L

Cál

culo

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Ejemplo: Hallar los polinomios auxiliares de Lagrange para el

Soporte S={1,2,4,5} como:

1 2 30

0 1 0 2 0 3

( )( )( ) ( 2)( 4)( 5)( )

( )( )( ) 12

x x x x x x x x xL x

x x x x x x

− − − − − −= =

− − − −

0 2 31

1 0 1 2 1 3

( )( )( ) ( 1)( 4)( 5)( )

( )( )( ) 6


x x x x x x

− − − − − −= =

− − −

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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1 0 1 2 1 3( )( )( ) 6x x x x x x− − −

0 1 32

2 0 2 1 2 3

( )( )( ) ( 1)( 2)( 5)( )

( )( )( ) 6


x x x x x x

− − − − − −= =

− − − −

0 1 23

3 0 3 1 3 2

( )( )( ) ( 1)( 2)( 4)( )

( )( ) ( ) 12


x x x x x x

− − − − − −= =

− − −L

Observa que si añadimos un punto al soporte, S’={1,2,4,5,7},

los Li(x) para S’ son todos distintos a los calculados para S.

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El polinomio 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nP x y L x y L x y L x= + + +L

Satisface:

grado(Pn(x)) ≤ n•

P (x) interpola a F.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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( ) ,n i iP x y i= ∀

A Pn(x) se le llama polinomio interpolador de Lagrange

•

Pn(x) interpola a F.

Cál

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Ejemplo: Determinar el polinomio interpolador por el método

de Lagrange para los puntos {(1,0), (2,6), (4,12), (5,24)}.

3 0 0 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x y L x y L x y L x y L x= + + +

Este viene dado por:

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

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3 0 0 1 1 2 2 3 3

Los Li(x) han sido ya calculados en el ejemplo anterior. Por tanto:

3 28 23 16x x x− + −

3 0 1 2 3( ) 0 ( ) 6 ( ) 12 ( ) 24 ( )P x L x L x L x L x= + + + =

Cál

culo

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Inconveniente del método de Lagrange

Supongamos que tenemos calculado el polinomio interpolador

Pn(x) para F, usando Lagrange.

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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{ }' ( , )F F x y= USi ahora, consideramos

Para calcular el polinomio interpolador para F’, Pn+1(x),

usando el método de Lagrange; no podemos construirlo

a partir de Pn(x).

Cál

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Método de las diferencias divididas de �ewton para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x0,y0), (x1,y1), … ,(xn,yn)}

El polinomio

( )nP x = 0 0 1 0 0 1 0 1[ ] [ , ]( ) [ , , , ]( ) ( )n nf x f x x x x f x x x x x x x−

+ − + + − −L K L

donde1 0 1

0 1

0

[ , , ] [ , , ][ , , , ] k k

k

k

f x x f x xf x x x

x x

−−

=−

K KK y [ ]i if x y=

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

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Satisface:

grado(Pn(x)) ≤ n

( ) ,n i iP x y i= ∀

A Pn(x) se le llama polinomio interpolador de F según el método

de las diferencias divididas de �ewton.

•

•

Pn(x) interpola a F.

Además, 1 0 1 0 1( ) ( ) [ , , , ]( ) ( )n n n nP x P x f x x x x x x x− −

= + − −K L

Cál

culo

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Ejemplo: Determinar el polinomio interpolador por el método

de las diferencias divididas de Newton para los puntos

{(1,0), (2,6), (4,12), (5,24)}.

ix

0 1x =

2x =

iy

0

[ , ]i jf x x

1 0

1 0

[ ] [ ]6

f x f x

x x

−=

−

[ , , ]i j kf x x x

1 2 0 1[ , ] [ , ]1

f x x f x x−= −

[ , , , ]i j k hf x x x x

V.Álvarez

J.A. Armario

F. Muñoz

Cál

culo

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1 2x =

2 4x =

3 5x =

6

12

24

1 0x x−

2 1

2 1

[ ] [ ]3

f x f x

x x

−=

−

3 2

3 2

[ ] [ ]12

f x f x

x x

−=

−

1 2 0 1

2 0

[ , ] [ , ]1

f x x f x x

x x

−= −

−

2 3 1 2

3 1

[ , ] [ , ]3

f x x f x x

x x

−=

−

1

3( ) 0 6( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 4)P x x x x x x x= + − − − − + − − −

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