Universidad de Montemorelos

Facultad de Ingeniería y tecnología

Proyecto elaborado como requisito parcial

De la material Calculo Integral

Equipo

Calculeitors:

Sydney Javier Domínguez

Jesus Daniel Maldonado

Rudy Pet Martínez

Jaziel Villa Roman

Edward Gaona Casas

Introducción:

El proyecto realizado para la materia de cálculo integral el fin es ampliar el conocimiento adquirido en clases y aplicar los fundamentos del tema de aplicaciones de integración numérica, realizando cálculos para medir el área de el campus de la universidad de Montemorelos, tomando en cuenta los espacios como: la iglesia universitaria, la escuela bilingüe ISAR y la finca propiedad de dicha universidad.

Figura 1. Vista satelital de la Universidad de Montemorelos (ubicación a medir)

Objetivo

Aplicar los métodos del cálculo integral (integración numérica, desarrollo de programa etc.) en resolución de problemas

Secciones:

Integración Numérica: cálculo del área de la Universidad

Desarrollo de aplicación para resolución de integrales

Aplicación de la integración numérica

Parte 1

Calculo del área de la Universidad

Basándonos en el análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

Para obtener el cálculo de áreas tuvimos que recurrir a los planos de la universidad en el software AutoCAD (diseño asistido por computadora) utilizando los métodos.

Figura 2. Gráfico con mediciones generado en AutoCad

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Utilizando 2 métodos de integración numérica se estimó el área requerida

Regla del trapecio

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Basándose en el cálculo de n trapecios que correspondan al número perteneciente al intervalo [a,b].

Regla de Simpson

El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma idea, pero aproximando los

subintervalos de mediante polinomios de segundo grado (parábolas).

Procedimiento:

Se utilizó el software “Matlab” para conocer las medidas de la universidad, solo que estas se conocieron solo en pixeles.

Figura 3. Captura de pantalla en el proceso de medición en Matlab

Después conociendo una medida real de algún lugar (cancha de futbol), se pudo transformar los pixeles a unidades conocidas (metros).

Y utilizando AutoCAD, se generaron las siluetas de las áreas a medir, de las cuales se generaron en su interior, rectángulos que según la regla del trapecio,

Necesitamos conocer la altura de los rectángulos en cada sección, de forma que podamos estimar el área por la suma de esos rectángulos, sabiendo que el número de rectángulos dará el ancho de los rectángulos, por esto generamos rectángulos dentro de la superficie que se requiere.

Validamos nuestra medición usando Matlab, específicamente existe una herramienta llamada bwarea(a) donde a es el nombre de la imagen, para usar esta herramienta es necesario generar la imagen en binario (blanco y negro) lo cual es necesario ya que la herramienta encuentra el número de pixeles que hay en un cierto color (blanco en este caso), las medidas que generamos en Matlab y las encontradas con los métodos, varían debido a que son métodos con un margen de error que se puede disminuir si estos se generar con mayor número de particiones.

Figura 4. Imagen binaria para medición del área del ISAR

Fue necesario generar estas áreas a gráficos que pudiéramos generar las medidas requeridas.

Figura 5. Proceso de medición del terreno

Los planos fueron divididos en 5 partes para tener una medida aún más exacta (meter los nombre de donde a donde fueron divididos).

Figura 6. Separación de las áreas de la universidad

Fue necesario adquirir las particiones de cada una de las partes a medir, de las cuales posteriormente se procedió a medir las líneas (rectángulos) dentro de los perímetros, se

adquirieron estos datos y fueron procesados por formulas en Excel bajo los parámetros del método del trapecio.

Un punto importante a recalcar es que las medidas en autocad fueron unidades que el mismo programa género, por lo cual fue necesario tomar un punto de referencia (medir alguna área conocida) para poder transformar las unidades de autocad a medidas reales o que nos interesan, en nuestro caso los metros.

Conversión:

171.85 * pixeles (Autocad) = metros

5.8x10-3*metros = pixeles (Autocad)

Parte 2: Integración por método Simpson:

Introducción

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función, en donde la función f(x) y los valores “a” y “b” son conocidos.

En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:

*-Solución algebraica: se obtiene una formula precisa y exacta para el área sólida.

*-Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.

Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hacen imposibles (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.

Descripción de proyecto de aplicación Integración numérica:

Con este proyecto se aplicaran los conocimientos adquiridos en la clase da calculo integral mediante el tema integración numérica basada en un software de lenguaje java con el cual se podrán realizar trabajos de integración mediante el método de Simpson

Justificación. Razones por las cuales se eligió el problema o la aplicación presentada.

Tomando en cuenta que los métodos de integración de Simpson y trapecio que se presentó en el curso de cálculo integral, solo funcionan con particiones pares, se dio a la tarea de investigar un método que solucionara la problemática del método general de Simpson el cual solo se aplica a particiones pares. En la investigación realizada se encontró una variante del método Simpson el cual se llama Simpson 8/3 el cual es más factible hacer la medición con particiones impares.

Alcances y limitaciones del método empleado.

A diferencia de otros software, programas u algoritmos este algoritmo desarrollado, podemos hacer una medición válida para esta clase de casos.

Este algoritmo se aplica para particiones impares.

Resultados Finales:

Generamos los datos y los capturamos en formulas en Excel.

Grafica 1. Hoja con las áreas de la Finca con el método del trapecio

Grafica 2. Hoja con las áreas del plantel UM con el método del trapecio

Grafica 3. Hoja con el área de la iglesia universitaria con el método del trapecio

Ubicación Áreas

Trapecio de finca 727295

Trapecio iglesia 47028.93

Trapecio de UM 387553.7

Total 1161877.63

Conclusión:

Por medio de este proyecto afirmamos los conocimientos adquiridos en clase, y desarrollamos

el uso de integrales como una herramienta en la resolución de problemas, al hacer uso de los

diferentes tipos de métodos numéricos (Simpson y trapecio) con el que pudimos calcular el

área de la universidad de Montemorelos.