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POSGRADO EN CIENCIAS MATEMATICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL AUNTONOMA DE MEXICO






UNIVERSIDAD NACIONAL AUNTONOMA DE MEXICOFACULTAD DE CIENCIAS










1



ANALISIS NUMERICOPROF. DR. PABLO BARRERA

ALUMNOGONZALO PEREZ DE LA CRUZ




















GONZALO PEREZ DE LA CRUZ


















PROF. DR. PABLO BARRERA






2

Tabla de contenidoINTEGRACION NUMERICA: REGLAS COMPUESTAS......................................................................................3

Problema y soluciones encontradas ........................................................................................................3

Problema con las soluciones encontradas y una solución a éste.............................................................5

Elección de N (Numero de intervalos) .....................................................................................................8

Ejemplo....................................................................................................................................................9

Conclusiones..........................................................................................................................................12

Anexo.....................................................................................................................................................13

3

INTEGRACION NUMERICA: REGLAS COMPUESTAS

Problema y soluciones encontradas

-Problema:

Estimar

-Soluciones encontradas

Las reglas básicas (regla del rectángulo, del punto medio, del trapecio, de Simpson y del trapecio

corregido) se derivan de manera que la integral de un polinomio sea la aproximación a la integral de la

función, el grado del polinomio se elige, y una vez elegido este, el polinomio se elige de manera que el

error que se comete sea “fácil de calcular o expresar” considerando ciertas propiedades de , así

pues estas reglas requieren que se conozcan o puedan calcular los valores de la función a integrar ,

en y en algunos casos en , además para el caso de la regla del trapecio corregido que se conozca

el valor de en .

Todas las reglas básicas mencionadas a excepción de la del trapecio corregido se pueden expresar como:

Donde son pesos que no dependen de la función y los puntos son

puntos equidistantes. Una de las características de estas reglas es que dan el valor exacto de la integral

para polinomios de grado .

La idea básica para derivar las reglas gaussianas es tener la característica anterior pero para polinomios

de grado escogiendo los puntos de manera adecuada.

Para esto se reescribe como:

4

Donde es una función de peso que es integrable y no negativa en [ , y entonces los puntos

se eligen como los ceros de un polinomio de grado que es ortogonal, con respecto

a la función de peso sobre el intervalo , a cualquier polinomio de grado , y los

coeficientes se calculan como:

con .

A continuación se presenta una tabla que resume los resultados de las reglas básicas y de la regla

gaussiana con (Regla de cuadratura Legendre-Gauss).

Reglas Valor aproximado de la integral Error

Rectángulo

Punto Medio

Trapecio

Simpson

Trapeciocorregido

Regla decuadraturaLegendre-Gauss

En cada caso es algún valor entre .es una constante que solo depende de k.

5

Problema con las soluciones encontradas y una solución a éste

-Problema: En general, las soluciones encontradas no producen estimaciones lo suficientemente

precisas, especialmente cuando el intervalo es grande.

-Solución: Dividir el intervalo en subintervalos,

y en cada uno de estos aplicar alguna de las reglas de cuadratura mencionadas anteriormente.

Para lo anterior definamos como el polinomio por tramos de grado con puntos de ruptura

. Entonces

Donde es un polinomio de grado .

Usando las reglas de integración se tiene que:

y

De donde la idea es esencialmente aproximar con , es decir, aproximar con

para , y posteriormente sumar los resultados de las aproximaciones.

La aproximación de cada con se basa en alguna de las reglas de cuadratura

antes mencionadas.

En lo subsecuente se supondrá que las se han elegido igualmente espaciadas, es decir,

y se derivaran completamente solo dos de las reglas compuestas, posteriormente se presenta un cuadro

que resume los resultados de varias reglas compuestas considerando que la derivada del orden del error

de las reglas básicas o de las reglas gaussianas son continuas.

6

Regla compuesta del rectángulo

La regla compuesta del rectángulo se caracteriza por aplicar en cada subintervalo considerado la regla

del rectángulo, es decir,

Con

Y entonces

Con

Teorema 1: Si f es continúa en y son puntos en , entonces para cualquier conjunto

de valores donde todos positivos o bien todos negativos se cumple que:

Suponiendo que es continua en podemos usar el teorema anterior para expresar el error

como:

Regla compuesta de Simpson

La regla compuesta del Simpson se caracteriza por aplicar en cada subintervalo considerado la regla de

Simpson, es decir,

7

con

y entonces

con

Suponiendo que es continua en podemos usar nuevamente el teorema 1 para expresar el

error como:

Las otras reglas compuestas se derivan de manera similar a las dos que se han derivado como ejemplo,

la característica principal de estas radica en el hecho de que en cada uno de los subintervalos se aplica

la regla básica o gaussiana correspondiente.

8

Reglascompuestasde

Valor aproximado de la integral Error

El Rectángulo

El PuntoMedio

El Trapecio

Simpson

Del Trapeciocorregido

CuadraturaLegendre-Gauss

En cada caso es algún valor entre .es una constante que solo depende de k.

Elección de N (Numero de intervalos)

-Problema. Para cada una de las reglas compuestas presentadas que se pueden aplicar es necesario

determinar primero el número de subintervalos (N).

-Soluciones

1. En la tabla resumen de los resultados de las reglas compuestas se observa que el error que se

comete teóricamente tiende a cero cuando N tiende a infinito, así sería posible teóricamente

9

probar varios valores de N hasta que uno obtenga un error lo “suficientemente pequeño”, sin

embargo este procedimiento en la práctica es muy peligroso ya que el error de redondeo puede

provocar problemas, este error se incrementa conforme N crece por dos razones esencialmente,

la primera es que puede ser tan pequeño que por la precisión de la maquina no sea

distinguible del cero, y la segunda es que entre más grande N más son las operaciones que se

deben de realizar y por tanto son más los errores de redondeo, más adelante se presenta un

ejemplo de esta situación, otra desventaja de este procedimiento es el hecho de que tenemos

que ser capaces de evaluar la función y en algunos casos la derivada de ésta en más puntos, por

ejemplo, en la regla compuesta de Simpson se debe ser capaz de evaluar la función en los

puntos medios de cada subintervalo, así como en los extremos de estos, es decir, en

puntos.

2. Si tenemos o podemos dar una cota al valor absoluto de la derivada que aparece en el termino

del error, entonces es posible determinar N de manera que garantice un error menor a cierta

tolerancia dada, sin embargo, como en el caso anterior se debe tener cuidado con la tolerancia

dada ya que para valores muy pequeños quizás sea requerido una N muy grande y se tendrían

los problemas de redondeo que ya se mencionaron.

Ejemplo

Se desea calcular la integral . (el valor correcto a 8 cifras decimales es

)

i. Determine N de manera que la regla compuesta del trapecio dé el valor aproximado de

la integral con 6 dígitos correctos después del punto decimal.

ii. Repita lo mismo que en i) pero con la regla compuesta del trapecio corregido.

iii. Calcule para varios valores de N una aproximación a la integral con las dos reglas

anteriores y con la regla compuesta de Simpson.

i. En este caso se tiene que:

y tiene segunda derivada continua, entonces el error con la regla compuesta

del trapecio se puede expresar como:

Como no se conoce se puede buscar una cota a este error en valor absoluto de manera

que este no sea mayor a

10

Se puede verificar que

Y entonces

O

ii. tiene cuarta derivada continua, entonces el error con la regla compuesta del

trapecio corregida se puede expresar como:

De manera similar al inciso anterior se busca una cota a este error con

Se puede verificar que

Y entonces

O

Observaciones:

Comparando los resultados obtenidos en i)y ii) se puede observar que el número necesario de

subintervalos se redujo de manera considerable con la regla compuesta que tiene un error que depende

de la derivada de orden mayor, este resultado se puede generalizar de la siguiente manera, si las

derivadas de orden mayor de la función a integrar son aproximadamente iguales o menores que las

derivadas de orden menor, el numero de subintervalos necesarios se reducirá con las reglas compuestas

que dependan de derivadas de orden mayor, en particular las reglas gaussianas serán más efectivas.

iii. A continuación se presentan tablas con los resultados de las aproximaciones para varios

valores de N y las reglas solicitadas, estos se obtienen con los programas escritos en

MATLAB que se presentan en el anexo. Cabe mencionar que para ver el efecto del error de

redondeo se realizaron los cálculos en precisión simple y compuesta, además de siempre

considerar el caso de N=1 para realizar comparaciones con las reglas básicas. El error que se

presenta es en valor absoluto con respecto al valor correcto a 8 cifras.

11

Regla compuesta del trapecioN I_simple I_doble Error_simple Error_doble1 0.683939695358276 0.683939720585721 0.0628844346417237 0.062884409414278950 0.746799647808075 0.746799607189351 2.44821919250793e-005 2.45228106486861e-005100 0.746817886829376 0.74681800146797 6.24317062380975e-006 6.12853203030284e-006200 0.746822476387024 0.746822599980145 1.65361297610467e-006 1.53001985536694e-006400 0.746823668479919 0.746823749604595 4.61520080596856e-007 3.80395404731004e-007800 0.746824324131012 0.746824037010484 1.94131011932441e-007 9.29895160872718e-0081200 0.746824026107788 0.746824090233786 1.03892211944512e-007 3.97662138773569e-0081400 0.746823608875275 0.74682410153016 5.21124725372246e-007 2.84698397079453e-0081600 0.746824860572815 0.746824108861943 7.30572814910957e-007 2.11380571935038e-008

*Resultados obtenidos con el programa 1 del anexo.

Se observa en la tabla anterior que en un principio tanto para precisión doble como simple el error se reduce al

aumentar el valor de N, sin embargo con precisión simple se observa que con N=1400 o 1600 este error no solo no se

reduce sino que empieza a aumentar, esto nos sugiere que el efecto del error de redondeo empieza a ser mucho

mayor con estos valores de N, con precisión doble aun no parece que el error de redondeo afecte de manera

considerable. Se observa también que considerar la regla compuesta con N=50 mejora mucho la aproximación con

respecto a solo considerar la regla básica del trapecio (N=1).

Regla compuesta del trapecioN I_simple I_doble Error_simple Error_doble1 0.683939695358276 0.683939720585721 0.0628844346417237 0.062884409414278910 0.746210813522339 0.746210796131749 0.000613316477661163 0.00061333386825068711 0.746317267417908 0.746317272282115 0.000506862582092316 0.00050685771788472312 0.746398270130157 0.746398247893441 0.00042585986984256 0.00042588210655947213 0.746461272239685 0.74646126103669 0.000362857760314972 0.00036286896331050314 0.746511280536652 0.746511256970259 0.000312849463348419 0.00031287302974070115 0.74655157327652 0.746551589160412 0.000272556723480255 0.000272540839588054100 0.746817886829376 0.74681800146797 6.24317062380975e-006 6.12853203030284e-0061500 0.746824681758881 0.746824105562098 5.51758880584785e-007 2.44379023683905e-0082000 0.746824681758881 0.746824117484119 5.51758880584785e-007 1.2515881331332e-008

Regla compuesta del trapecio corregidaN I_simple I_doble Error_simple Error_doble1 0.745252907276154 0.745252960780962 0.00157122272384647 0.0015711692190384410 0.746823966503143 0.746823928533702 1.63496856719902e-007 2.01466298310748e-00711 0.746823966503143 0.746823993275464 1.63496856719902e-007 1.36724535582111e-00712 0.746824085712433 0.746824034283685 4.42875671691212e-008 9.57163147630169e-00813 0.746824085712433 0.746824061274531 4.42875671691212e-008 6.87254688713779e-00814 0.746824085712433 0.746824079624317 4.42875671691212e-008 5.03756834024927e-00815 0.746824085712433 0.746824092450169 4.42875671691212e-008 3.75498314664213e-008100 0.746824026107788 0.746824132791989 1.03892211944512e-007 2.79198919539425e-0091500 0.746824681758881 0.746824132812427 5.51758880584785e-007 2.81242662492076e-0092000 0.746824681758881 0.746824132812429 5.51758880584785e-007 2.81242873434451e-009


En la tabla anterior se observa que el efecto de redondeo en el caso de la regla compuesta del trapecio corregida

tanto en precisión simple como doble ya es notable, también se observa que con N pequeña en este ejemplo, la

regla compuesta del trapecio corregida proporciona mejores aproximaciones que la regla compuesta del trapecio, y

comparando la regla compuesta del trapecio corregida con la regla básica del trapecio se observa que la primera es

sumamente más precisa incluso con N=10.

En la tabla que se muestra abajo se observa que para el caso de precisión simple el efecto del error de redondeo es

ya notable con N=50, nuevamente se observa una mayor precisión cuando se usa la regla compuesta en lugar de la

regla básica de Simpson

12

Regla compuesta de SimpsonN I_simple I_doble Error_simple Error_doble1 0.7471804022789 0.74718042890951 0.000356272278900116 0.00035629890951027810 0.746824204921722 0.746824183875915 7.49217223816601e-008 5.38759146184731e-00815 0.746824085712433 0.746824142902453 4.42875671691212e-008 1.29024532169453e-00825 0.746824145317078 0.746824134120318 1.53170776062694e-008 4.12031797569767e-00950 0.746824264526367 0.746824132894176 1.34526367157051e-007 2.89417600995989e-009100 0.746824145317078 0.746824132817537 1.53170776062694e-008 2.8175365374139e-009


Conclusiones

Las reglas compuestas presentadas para resolver el problema de estimar

Dan resultados más precisos que las reglas básicas e incluso que las reglas gaussianas, especialmente cuando

el intervalo es grande, .

Sin embargo, la elección de N debe realizarse con cuidado, ya que si bien teóricamente N muy grande mejora

las aproximaciones, en la práctica con el uso de computadoras para obtener los cálculos esto ya no es

necesariamente cierto dado el error de redondeo.

Otro inconveniente de las reglas compuestas es que debemos ser capaces de evaluar la función en un

número mayor de puntos que con las reglas básicas, este número aumenta conforme N aumenta.

Si la función es lo suficientemente suave, en general, las reglas compuestas cuyo error depende de un orden

mayor en la derivada de la función suelen ser más precisas con tamaños de N chicos.

El error de redondeo se genera esencialmente al considerar , esta cantidad conforme N crece puede

ser indistinguible del cero computacionalmente, además de que conforme N crece el número de operaciones

que se realizan también aumentan.

13

Anexo

Programa 1.

%Ejemplo 7.4%Ejemplo trabajo Regla compuesta del trapecioclcclear allformat long g

N=[1 50 100 200 400 800 1200 1400 1600]';

a=0;b=1;N1=size(N);for j=1:N1(1,1)

xi=0;for m=0:N(j,1)

xi(m+1,1)=a+m*(b-a)/N(j,1);endT(j,1)=0;for k=1:N(j,1)-1

T(j,1)=T(j,1)+exp(-xi(k+1,1)^2);endT(j,1)=(b-a)/N(j,1)*T(j,1)+(b-a)/(2*N(j,1))*(exp(-xi(0+1,1)^2)+exp(-xi(N(j,1)+1,1)^2));

endT;Errord=abs(T-.74682413);

Ns=zeros(1,1,'single');as=zeros(1,1,'single');bs=zeros(1,1,'single');N1s=zeros(1,1,'single');Ts=zeros(1,1,'single');xis=zeros(1,1,'single');ms=zeros(1,1,'single');js=zeros(1,1,'single');ks=zeros(1,1,'single');

Ns=[1 50 100 200 400 800 1200 1400 1600]';

as=0;bs=1;N1s=size(Ns);for js=1:N1s(1,1)

xis=0;for ms=0:Ns(js,1)

xis(ms+1,1)=as+ms*(bs-as)/Ns(js,1);endTs(js,1)=0;for ks=1:Ns(js,1)-1

Ts(js,1)=Ts(js,1)+single(exp(single(-xis(ks+1,1)^2)));endTs(js,1)=(bs-as)/Ns(js,1)*Ts(js,1)+(bs-as)/(2*Ns(js,1))*(single(exp(single(-xis(0+1,1)^2)))+single(exp(single(-

xis(Ns(js,1)+1,1)^2))));endTs;

Errors=abs(double(Ts)-.74682413);disp(' Regla compuesta del trapecio')

disp(' N I_simple I_doble Error_simpleError_doble')

Resultados=[ N double(Ts) T Errors Errord];disp(Resultados)

Programa 2

14

%Ejemplo 7.5%Regla compuesta del trapecio vs regla compuesta del trapecio corregidaclcclear allformat long g

N=[1 10 11 12 13 14 15 100 1500 2000]';

a=0;b=1;N1=size(N);for j=1:N1(1,1)

xi=0;for m=0:N(j,1)


T(j,1)=T(j,1)+exp(-xi(k+1,1)^2);endT(j,1)=(b-a)/N(j,1)*T(j,1)+(b-a)/(2*N(j,1))*(exp(-xi(0+1,1)^2)+exp(-xi(N(j,1)+1,1)^2));Tcorr(j,1)=T(j,1)+((b-a)/N(j,1))^2/12*(-2*xi(0+1,1)*exp(-xi(0+1,1)^2)+2*xi(N(j,1)+1,1)*exp(-xi(N(j,1)+1,1)^2));

endT;Errord=abs(T-.74682413);Tcorr;Errordcorr=abs(Tcorr-.74682413);

Ns=zeros(1,1,'single');as=zeros(1,1,'single');bs=zeros(1,1,'single');N1s=zeros(1,1,'single');Ts=zeros(1,1,'single');xis=zeros(1,1,'single');ms=zeros(1,1,'single');js=zeros(1,1,'single');ks=zeros(1,1,'single');Tscorr=zeros(1,1,'single');

Ns=[1 10 11 12 13 14 15 100 1500 2000]';


xis=0;for ms=0:Ns(js,1)


Ts(js,1)=Ts(js,1)+single(exp(-xis(ks+1,1)^2));endTs(js,1)=(bs-as)/Ns(js,1)*Ts(js,1)+(bs-as)/(2*Ns(js,1))*(single(exp(-xis(0+1,1)^2))+single(exp(-xis(Ns(js,1)+1,1)^2)));Tscorr(js,1)=Ts(js,1)+((bs-as)/Ns(js,1))^2/12*(-2*xis(0+1,1)*exp(-xis(0+1,1)^2)+2*xis(Ns(js,1)+1,1)*exp(-

xis(Ns(js,1)+1,1)^2));endTs;

Errors=abs(double(Ts)-.74682413);

Tscorr;Errorscorr=abs(double(Tscorr)-.74682413);disp(' Regla compuesta del trapecio')disp(' N I_simple I_doble Error_simpleError_doble')

Resultados=[ N double(Ts) T Errors Errord];disp(Resultados)disp(' Regla compuesta del trapecio corregida')disp(' N I_simple I_doble Error_simpleError_doble')Resultadoscorr=[ N double(Tscorr) Tcorr Errorscorr Errordcorr];disp(Resultadoscorr)

Programa 3

15

%Ejemplo 7.6%Regla compuesta de Simpsonclcclear allformat long g

N=[1 10 15 25 50 100]';

a=0;b=1;N1=size(N);for j=1:N1(1,1)

xi=0;S(j,1)=0;for m=0:N(j,1)


T(j,1)=T(j,1)+exp(-xi(k+1,1)^2);endT(j,1)=2*T(j,1);T2(j,1)=0;for k=1:N(j,1)

T2(j,1)=T2(j,1)+exp(-((xi(k,1)+xi(k+1,1))/2)^2);endT2(j,1)=4*T2(j,1);S(j,1)=(b-a)/(N(j,1)*6)*((exp(-xi(0+1,1)^2)+exp(-xi(N(j,1)+1,1)^2))+T(j,1)+T2(j,1));

endS;Errord=abs(S-.74682413);

Ns=zeros(1,1,'single');as=zeros(1,1,'single');bs=zeros(1,1,'single');N1s=zeros(1,1,'single');Ts=zeros(1,1,'single');T2s=zeros(1,1,'single');Ss=zeros(1,1,'single');xis=zeros(1,1,'single');ms=zeros(1,1,'single');js=zeros(1,1,'single');ks=zeros(1,1,'single');

Ns=[1 10 15 25 50 100]';


xis=0;Ss(js,1)=0;for ms=0:Ns(js,1)


Ts(js,1)=Ts(js,1)+exp(-xis(ks+1,1)^2);endTs(js,1)=2*Ts(js,1);T2s(js,1)=0;for ks=1:Ns(js,1)

T2s(js,1)=T2s(js,1)+exp(-((xis(ks,1)+xis(ks+1,1))/2)^2);endT2s(js,1)=4*T2s(js,1);Ss(js,1)=(bs-as)/(Ns(js,1)*6)*((exp(-xis(0+1,1)^2)+exp(-xis(Ns(js,1)+1,1)^2))+Ts(js,1)+T2s(js,1));

endSs;Errors=abs(double(Ss)-.74682413);

disp(' Regla compuesta de Simpson')disp(' N I_simple I_doble Error_simpleError_doble')

Resultados=[ N double(Ss) S Errors Errord];disp(Resultados)

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