1

1. Propiedades características de los conjuntos convexosLa descripción que hicimos de la cápsula convexa de cualquier conjunto finito de puntos hapermitido reencontrarnos a los polígonos convexos como combinaciones lineales convexas (osea, las de coeficientes no negativos que suman 1) de los vértices del polígono vistos comovectores de R2. Originalmente, estos polígonos se presentaron como intersecciones finitas desemiplanos (abiertos o cerrados), y fueron los primeros conjuntos con los que trabajamos laconvexidad.Uno de los objetivos de la sección que aquí comienza consiste en mostrar que cualquier

conjunto convexo puede mirarse como una intersección de semiplanos (abiertos), sólo que, adiferencia de lo que sucede con los polígonos convexos, en general el número de semiplanosque se intersecten ha de ser infinito.El avance hacia este objetivo exigirá que trabajemos con conjuntos cerrados, mismos que

definiremos enseguida. Antes, sería oportuno comentar que, desde el momento en que hable-mos de conjuntos cerrados habrá comenzado el tratamiento topológico de que es susceptibleel estudio de la convexidad en un plano euclidiano. Eso que es la topología usual del planoeuclidiano, por de pronto no nos importará qué sea. Basta saber que nos permite emplearun lenguaje y una herramienta analítica a través de los cuales se pueden someter a un finoanálisis diversas situaciones que puedan presentarse.Notación y definiciones:. 1. Si P1 y P2 son dos puntos cualesquiera de un plano euclidiano

cartesianizado, mediante d(P1, P2) denotaremos a la distancia de P1 a P2, entendida comola longitud del segmento rectilíneo P1P2. Como sabemos por los cursos de geometría analítica,si estos puntos son P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), entonces

d(P1, P2) =

q(x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2

Por extensión hablaremos de la distancia entre los vectores P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2),haciendo

d(P1, P2) = d(P1, P2)

2. Para cualquier punto P del plano y cualquier número r > 0, el disco abierto decentro P y radio r es el conjunto

Dr (P ) =©Q ∈ R2 : d

¡P,Q

¢< rª

3. Para cualquier punto P del plano y cualquier número r ≥ 0, el disco cerrado decentro P y radio r es el conjunto

Dr (P ) =©Q ∈ R2 : d

¡P,Q

¢≤ r

ª4. Un conjunto Ψ de puntos de un plano euclidiano cartesianizado es abierto si para

todo punto P ∈ Ψ existe r > 0 tal que

Dr (P ) ⊂ Ψ

5. Un conjunto Ψ de puntos de un plano euclidiano cartesianizado es cerrado si sucomplemento R2 −Ψ es abierto.

2

Ejemplos: 1. R2 es un conjunto abierto.2. ∅ es un conjunto cerrado, porque su complemento R2 −∅ = R2 es abierto.3. ∅ es un conjunto abierto. En efecto, la proposición

P ∈ ∅⇒ D1 (P ) ⊂ ∅

siempre es verdadera, porque su antecedente es falso.4. R2 es un conjunto cerrado, porque su complemento R2 −R2 = ∅ es abierto.Ejercicio c27 : Probar que para todo P ∈ R2 y para todo r > 0, Dr (P ) es un conjunto

convexo.Definiciones: Sea Θ ⊆ R, arbitrario.1. Decimos que c ∈ R es una cota inferior de Θ si sucede que

c ≤ t, ∀t ∈ Θ

2. Decimos que c ∈ R es ínfimo de Θ si suceden dos cosas:(i) c es cota inferior de Θ;(ii) cualquier número más grande que c no es cota inferior de Θ; es decir, que para toda

ε > 0 siempre habrá un tε ∈ Θ tal que

tε < c+ ε

Sean, Ψ un conjunto de puntos de un plano euclidiano y P cualquier punto del mismoplano; entonces,3. la distancia de P a Ψ es

d (P,Ψ) = inf d (P,Q) : Q ∈ Ψ

4. es una recta que separa a P de Ψ si, y sólo si, P y Ψ quedan en distintossemiplanos determinados por .5. Se dice que separa estrictamente a P deΨ si P yΨ quedan en distintos semiplanos

abiertos determinados por .6. Diremos que Ψ es rectilinealmente separable de todo punto que le es ajeno

si, y sólo si, siempre se pueden encontrar rectas que lo separen de cualquier punto que le seaajeno.7. Diremos que Ψ es estrictamente separable de todo punto que le es ajeno si, y

sólo si, para todo P /∈Ψ existe una recta que separa estrictamente a P de Ψ.Proposición. SeaΨ un conjunto de puntos de un plano euclidiano. SiΨ es rectilinealmente

separable de todo punto que le es ajeno, entonces Ψ es un conjunto convexo.Demostración. Supongamos que esta condición no fuese suficiente para garantizar la

convexidad de Ψ. Entonces podrían hallarse dos puntos P1, P2 ∈ Ψ tales que P1P2 * Ψ. Sea

P0 ∈ P1P2 .3. P0 /∈ Ψ

Debido a la colinealidad de P0 con P1 y P2, cualquier otra recta del haz por P0 deja ensemiplanos distintos a P1 y P2. Más aún: Cualquier recta del plano deja al menos a uno de

3

los puntos P1 y P2 en el mismo semiplano en que deja a P0. Por lo tanto, no hay recta quesepare a P0 de Ψ∇Esta contradicción con la condición que es antecedente de la proposición, surge por haber

supuesto la insuficiencia precisamente de esta condición para poder afirmar queΨ es convexo.Por lo tanto, la condición es suficiente y, en consecuencia, Ψ es convexo.@Además de suficiente, la condición anterior también es necesaria. El avance que haremos

hacia la prueba de esta afirmación será pausado, pues antes debemos ir presentando defini-ciones y resultados básicos del análisis matemático y de la topología usual de R2 que sonútiles para alcanzar nuestro propósito.Definiciones. 1. Una sucesión (Pn)n∈N de puntos de un plano euclidiano carte-

sianizado está dada por cualquier función

f : N −→ R2n 7−→ (xn, yn)

y decimos que el punto Pn (xn, yn) es el n-ésimo término de la sucesión (Pn)n∈N.2. Diremos que el punto P0 es el límite de la sucesión (Pn)n∈N si

∀ε > 0 ∃ Nε ∈ N .3. n > Nε ⇒ Pn ∈ Dε (P0)

Nota. Para aligerar la notación, suele escribirse (Pn)n para referirse a la sucesión depuntos (Pn)n∈N.Lema. Los conjuntos cerrados de un plano euclidiano tienen entre sus elementos a los

límites de todas las sucesiones convergentes de puntos suyos.Demostración. Sea Ψ un conjunto cerrado de puntos de un plano euclidiano, y sea (Qn)n

una sucesión convergente de puntos de Ψ. Sea

Q0 = limn→∞

Qn

Luego, para toda ε > 0 existe Nε ∈ N tal que si n > Nε entonces

Qn ∈ Dε (Q0)

Nótese que esto impide tenerQ0 ∈ R2 −Ψ

En efecto, el conjunto R2−Ψ es abierto, porque es el complemento de Ψ que es un conjuntocerrado. Si tuviéramos Q0 ∈ R2 −Ψ, existiría un ε0 > 0 tal que

Dε0 (Q0) ⊂ R2 −Ψ

a pesar de que también este disco tiene elementos de Ψ, pues existe Nε0 ∈ N tal que

Qn ∈ Dε0 (Q0) , ∀n > Nε0

Esta contradicción surge por suponer Q0 ∈ R2 −Ψ. Por lo tanto

Q0 ∈ Ψ

4

como se quería demostrar.@Proposición. Sea Ψ un conjunto cerrado de puntos de un plano euclidiano, y sea P0

cualquier punto del mismo plano. Entonces existe un punto Q0 ∈ Ψ tal que

d (P0,Ψ) = d (P0, Q0)

Demostración. Es obvio que si P0 ∈ Ψ, entonces P0 mismo sirve de Q0, ya que entonces

d (P0,Ψ) = d (P0, P0) = 0

Supongamos que P0 /∈ Ψ; sear = d (P0,Ψ) · · · (i)

Como quiera que sea r, es claro que para toda n ∈ N

r < r +1

n

Por ser más grande que r, r + 1nno puede ser cota inferior del conjunto

d (P0, Q) : Q ∈ Ψ · · · (ii)

porque r es la más grande de sus cotas inferiores (según la definición de ínfimo que por (i)recae en r). En símbolos, decir que

­­r + 1

nno es cota inferior del conjunto (ii)

®®se puede

expresar escribiendo ∙r +

1

n­ d (P0, Q) , ∀Q ∈ Ψ

¸,∀n ∈ N

Por lo tanto, para toda n ∈ N siempre será posible hallar un punto Qn ∈ Ψ

.3.d (P0, Qn) < r +1

n

Volviendo a la definición de ínfimo, tenemos

r ≤ d (P0, Qn)

En consecuencia

limn→∞

r ≤ limn→∞

d (P0, Qn) ≤ limn→∞

µr +

1

n

¶es decir, que

limn→∞

d (P0, Qn) = r

De aquí resulta queQn ∈ Dr+1 (P0) ,∀n ∈ N

o sea que (Qn)n es una sucesión acotada de puntos de Ψ. En el curso de Cálculo II se pruebaque toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Sea en este caso (Qnm)m talsubsucesión. Podemos aplicar el lema anterior, porque

Qnm ∈ Ψ, ∀m ∈ N

5

siendo Ψ un cerrado y (Qnm)m una sucesión convergente; luego, si

Q0 = limm→∞

Qnm

entoncesQ0 ∈ Ψ

Finalmente, puesto que la sucesión de números (d (P0, Qn))n converge a r, entonces cualquiersubsucesión que de ella formemos convergerá al mismo límite; en particular,

limm→∞

d (P0, Qnm) = r

Esto permite entender que

r = d³P0, lim

m→∞Qnm

´= d (P0, Q0)

que es a lo que se quería llegar.@No perdamos de vista nuestro objetivo: Probar que una condición necesaria para la

convexidad de Ψ es que siempre sea posible separar con una recta a Ψ de los puntos que leson ajenos. Una primera aproximación a la demostración de esta afirmación será demostrarque la condición es necesaria para la convexidad de los conjuntos cerrados.Proposición. Si Ψ ⊆ R2 es convexo y es cerrado, entonces Ψ es rectilinealmente separable

de todo punto que le es ajeno. Más todavía, porque en este caso los antecedentes permitenasegurar que Ψ es estrictamente separable de todo punto que le es ajeno.Demostración. Sea P0 /∈ Ψ; en vista de la proposición anterior, existe Q0 ∈ Ψ tal que

d (P0,Ψ) = d (P0, Q0)

Consideremos el segmento P0Q0; es intuitivamente claro que la mediatríz (perpendicular porel punto medio) de este segmento separa (inclusive estrictamente) a P0 de Ψ. En efecto, sillamamos a esta mediatríz, es inmediato que P0 queda enteramente contenido en un semi-plano abierto determinado por , (si M es el punto medio de P0Q0, al menos Dd(P0,M) (P0)es un subconjunto de ese semiplano abierto). Vamos a convencernos de que Ψ queda enter-amente contenido en el otro semiplano abierto; de este modo no sólo quedará probado queΨ es rectilinealmente separable de su complemento, sino que lo es estrictamente.Nótese que hhsalirse Ψ del semiplano abierto que no contiene a P0ii es lo mismo que de-

cir que hay una parte de Ψ contenida en el semiplano cerrado determinado por que contienea P0. Lo menos peor que podría pasar es que hubiera un punto S de Ψ que apenas desbordóel borde del semiplano abierto que no contiene a P0, ubicándose en algún lugar de . Aunqueanalizaremos solamente este caso, el argumento que sigue vale para cuando S incluso se hayaido a meter al semiplano abierto en que se encuentra P0.De entrada podemos descartar el caso en que S coincide con M (punto medio de P0Q0),

porque entonces

d (P0, S) = d (P0,M) =1

2d (P0, Q0) < d (P0, Q0)∇

contraviniendo el que Q0 es el punto de Ψ que es más cercano a P0.

6

Puesto que Ψ es convexo y Q0 ∈ Ψ, necesariamente el segmento

Q0S ⊆ Ψ ... (i)

Obsérvese que con relación a la dirección de , Q0S siempre es un segmento oblicuo, porqueestando S sobre y Q0 fuera de ella, es imposible que se dé el paralelismo de Q0S con .Sea T ∈ Q0S el pie de la perpendicular trazada sobre Q0S desde P0; por (i), T ∈ Ψ.

Está claro que esta construcción deja automáticamente convertido a P0Q0 en hipotenusadel triángulo rectángulo P0Q0T . Por trigonometría elemental sabemos que la longitud de lahipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es mayor que la longitud de cualquiera de loscatetos. Por lo tanto

d (P0, T ) < d (P0, Q0)∇Esto es una contradicción con el hecho de ser

d (P0, Q0) = inf d (P0, Q) : Q ∈ Ψ

Esta contradición ha surgido por haber supuesto la existencia de un punto de Ψ en el (bordedel) semiplano cerrado determinado por , que contiene a P0. Por lo tanto, Ψ está enter-amente contenido en el semiplano abierto que no contiene a P0. Esto prueba que separaestrictamente a P0 de Ψ.@Observación. Nótese que sin la hipótesis de ser cerrado, aunque Ψ sea convexo, no hay

garantía de que P0 sea estrictamente separable de Ψ. De hecho, no es difícil mostrar ejemplosde conjuntos convexos en los que, por no ser cerrados, llega a ser imposible separarlos depuntos de su complemento. Esta observación permite que podamos resumir lo anterior enun teorema que ya podemos dar por demostrado.Teorema. Sea Ψ ⊆ R2 arbitrario. Entonces, son equivalentes las afirmaciones:a) Ψ es cerrado y convexo.b) Ψ es estrictamente separable de todo punto que le es ajeno.El objetivo que perseguimos es, a fin de cuentas, dejar sentado un teorema similar al

anterior, pero en el que de (a) se omita la palabra cerrado (con el conectivo y), en tanto queal leer (b) solamente no se diga estrictamente.Para terminar de establecerlo, habrá que conocer mejor el arcenal de ideas topológicas y

de resultados concernientes a ellas con los que implícitamente contamos al hallarnos traba-jando la convexidad de las figuras planas en el espacio topológico que es R2 con su topologíausual.Definición. Sea Υ cualquier conjunto de puntos de R2. La cerradura de Υ (misma que

denotaremos medianteΥ) es el más pequeño de los conjuntos cerrados de R2 que contienena Υ. O sea que Υ satisface, por definición, las condiciones siguientes:

I. Υ es un conjunto cerrado y Υ ⊆ Υ.II. Si C ⊆ R2 es cerrado y Υ ⊆ C , entonces Υ ⊆ C.Lema. Cualquier intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.Demostración. Sea (Cj)J cualquier familia de conjuntos cerrados de R

2. Para probar que∩j∈JCj es un conjunto cerrado, demostraremos que su complemento es un conjunto abierto.

Para ello hay que probar que en todo punto de R2− ∩j∈JCj se puede centrar un disco abierto

que quede enteramente contenido en R2 − ∩j∈JCj.

7

Sea P ∈ R2 − ∩j∈JCj un punto cualquiera. Entonces

P /∈ ∩j∈JCj

lo cual, en conformidad con la definición de intersección, implica la existencia de un j0 ∈ Jtal que

P /∈ Cj0es decir,

P ∈ R2 − Cj0el cual es un conjunto abierto, porque Cj0 es un conjunto cerrado. Consecuentemente con ladefinición de conjunto abierto, para P puede encontrarse un número ε > 0 tal que

Dε (P ) ⊂ R2 − Cj0

Por consiguienteQ ∈ Dε (P )⇒ Q /∈ Cj0

y por lo tantoQ /∈ ∩

j∈JCj

De modo que tenemosDε (P ) ⊂ R2 − ∩

j∈JCj

que es a lo que había que llegar.@Proposición. Sea (Cj)J la familia de conjuntos cerrados deR

2 que contienen aΥ. Entonces

Υ = ∩j∈JCj

Demostración. Veamos que ∩j∈JCj satisface para Υ, I y II de la definición precedente.

I. Υ ⊆ ∩j∈JCj porque, según se enuncia, Υ ⊆ Cj,∀j ∈ J . Además, ∩

j∈JCj es un cerrado,

como consecuencia del lema anterior.II. Sea C ⊆ R2 cerrado, tal que Υ ⊆ C. Puesto que la familia de todos los cerrados que

contienen a Υ es (Cj)J , existe un j0 ∈ J tal que C = Cj0. Consecuentemente

∩j∈JCj ⊆ C

que es lo que se quería demostrar.@Proposición. Sea Ψ ⊆ R2 arbitrario. Entonces, Ψ es abierto si, y sólo si, la distancia de

todo punto de Ψ a R2 −Ψ es positiva.Demostración. Supongamos que Ψ es abierto y que P ∈ Ψ; entonces existe ε > 0 tal que

Dε (P ) ⊂ Ψ

de dondeR2 −Dε (P ) ⊃ R2 −Ψ

8

Sea Q ∈ R2 −Ψ. Entonces Q /∈ Dε (P ); o sea que

d (P,Q) ≮ ε;∴ d (P,Q) ≥ ε

y como Q es cualquiera en R2 −Ψ, entonces

d¡P,R2 −Ψ

¢> 0

como se quería probar.Recíprocamente, supongamos que Ψ es un conjunto con la propiedad de que entre

cualquier punto suyo y R2 − Ψ se interpone una distancia positiva. Quisiéramos ver queΨ es abierto. Para esto, tomemos P ∈ Ψ y llamemos

δ = d¡P,R2 −Ψ

¢Entonces, δ > 0 y podemos considerar D δ

2(P ). Aseguramos que

D δ2(P ) ⊂ Ψ

En efecto, ningún punto Q del disco puede estar en R2 −Ψ pues de lo contrario tendríamos

δ

2= d (P,Q) ≥ inf

©d (P,R) : R ∈ R2 −Ψ

ª= d

¡P,R2 −Ψ

¢= δ

³∇

´lo que es falso. Entonces la contención anterior es efectiva; y como P se escogió arbitraria-mente en Ψ, se sigue que Ψ es abierto.@Proposición. Sea Υ ⊆ R2 arbitrario. Entonces, Υ es cerrado si, y sólo si, Υ contiene a

todos los puntos que distan cero de Υ.Demostración. Supongamos que Υ es cerrado. Entonces, R2 −Υ es abierto. Aplicando

la proposición anterior tenemos:

R2 −Υ es abierto ⇔ d¡P,R2 −

¡R2 −Υ

¢¢> 0,∀P ∈ R2 −Υ

⇔ d (P,Υ) > 0, ∀P ∈ R2 −Υ

En vista de esto, si Q ∈ R2 es tal que d (Q,Υ) = 0, entonces Q no puede pertenecer a R2−Υ,porque si así fuera, su distancia a Υ sería positiva; luego, Q ∈ Υ.Recíprocamente, supongamos que Υ es un conjunto con la propiedad de contener a todos

los puntos que distan cero de Υ. Sea Q ∈ R2 −Υ; entonces

d (Q,Υ) 6= 0

porque si fuera cero, pertenecería a Υ³O

´. Por lo tanto, la distancia de todo punto de

R2 − Υ a Υ (= R2 − (R2 −Υ)) es positiva. Por la proposición anterior, R2 − Υ es abierto.Por lo tanto, Υ es cerrado.@Proposición. Sea Υ ⊆ R2 arbitrario y sea

Υ0 =©P ∈ R2 : d (P,Υ) = 0

ª

9

EntoncesΥ0 = Υ

Demostración.Veamos que para Υ0 se satisfacen las condiciones I y II de la definición decerradura.

I. Tenemos que probar que Υ0 es un conjunto cerrado. Debido a la proposición anterior,basta mostrar que Υ0 contiene a todos los puntos que distan cero de Υ0. Sea

P ∈ R2.3.d (P,Υ0) = 0

y sea ε > 0 un número arbitrario. Entonces existe Q0ε ∈ Υ0 tal que

d (P,Q0ε) <

ε

2

Por otra parte, al ser Q0ε ∈ Υ0 tenemos que

d (Q0ε,Υ) = 0

por lo que existe Qε ∈ Υ tal qued (Q0

ε, Qε) <ε

2

Aplicando la desigualdad del triángulo, resulta que

d (P,Qε) ≤ d (P,Q0ε) + d (Q0

ε, Qε) <ε

2+

ε

2

Consecuentemented (P,Υ) ≤ d (P,Qε) < ε,∀ε > 0

lo cual implica qued (P,Υ) = 0

Por lo tantoP ∈ Υ0

Por lo tanto, Υ0 es cerrado. AdemásΥ ⊆ Υ0

porqued (P,Υ) = 0, ∀P ∈ Υ

II. Para probar que Υ0 es el cerrado más chico que contiene a Υ, supongamos que C ⊆ R2es cerrado y que Υ ⊆ C. Obsérvese que, entonces, cualquiera que sea P ∈ Υ0

d (P,U) : U ∈ Υ ⊆ d (P, V ) : V ∈ C

(porque los U ∈ Υ son algunos de los V ∈ C); en consecuencia, tenemos

0 ≤ inf d (P, V ) : V ∈ C ≤ inf d (P,U) : U ∈ Υ = 0

∴ d (P,C) = 0

10

Puesto que C es cerrado, podemos aplicar la proposición anterior para afirmar que P ∈ C.Como P se escogió arbitrariamente en Υ0, esto demuestra que

Υ0 ⊆ C

como se quería demostrar.@Proposición. Sea Υ ⊆ R2 arbitrario y sea

Υ00 =©P ∈ R2 : Dε (P ) ∩Υ 6= ∅,∀ε > 0

ªEntonces

Υ00 = Υ

Demostración. Sea P ∈ Υ00 y sea ε > 0. Debido a la definición de Υ00, existe Q ∈ Υ talque

Q ∈ Dε (P )

Entoncesd (P,Υ) < ε

y como ε es cualquier número positivo, esto es tanto como decir que

d (P,Υ) = 0

Aplicando el resultado anterior obtenemos que

P ∈ Υ

Recíprocamente, sea P ∈ Υ. Entonces

d (P,Υ) = 0

y en consecuencia, dada ε > 0 existe Q ∈ Υ tal que

d (P,Q) < ε

O sea queQ ∈ Dε (P ) ∩Υ

Por lo tanto, para toda ε > 0Dε (P ) ∩Υ 6= ∅

lo cual quiere decir que P ∈ Υ00, que es a lo que se quería llegar.@Proposición. Sea Ω ⊆ R2 convexo; entonces Ω es convexo.Demostración. Sean P1, P2 ∈ Ω; hay que probar que P1P2 ⊆ Ω. Sea P0 ∈ P1P2; entonces

existen0 ≤ α0, β0 ≤ 1, α0 + β0 = 1

tales queP0 = α0P2 + β0P1

11

Probaremos que P0 ∈ Ω demostrando que

Dε (P0) ∩ Ω 6= ∅,∀ε > 0

Sea ε > 0 arbitrario, y consideremos los conjuntos

Dε (P1) y Dε (P2)

Debido al resultado de la proposición precedente sabemos que podemos escoger dos puntos

Q1 ∈ Dε (P1) ∩ Ω y Q2 ∈ Dε (P2) ∩ Ω

Ahora utilicemos los parámetros α0 y β0 para definir el punto

Q0 = α0Q2 + β0Q1

Debido a la convexidad de Ω, Q0 ∈ Ω. Además, aplicando la desigualdad del triángulo ypropiedades de la norma en R2 tenemos que

d (P0, Q0) =°°P0 −Q0

°°=

°°¡α0P2 + β0P1¢−¡α0Q2 + β0Q1

¢°°=

°°α0 ¡P2 −Q2

¢+ β0

¡P1 −Q1

¢°°≤

°°α0 ¡P2 −Q2

¢°°+ °°β0 ¡P1 −Q1

¢°°= |α0|

°°P2 −Q2

°°+ |β0|°°P1 −Q1

°°< α0ε+ β0ε = (α0 + β0) ε = ε

Esto prueba queDε (P0) ∩ Ω 6= ∅

y como ε es cualquier número positivo, del resultado anterior se sigue que

P0 ∈ Ω

Pero P0 se escogió arbitrariamente en el segmento P1P2; luego

P1P2 ⊆ Ω

y puesto que P1 y P2 se escogieron arbitrariamente en Ω, esto significa que Ω es un conjuntoconvexo, como se quería demostrar.@Ejercicio c28: Probar que la cápsula convexa de un conjunto Υ:(a) es abierta, si Υ es abierto;(b) es cerrada, si Υ es cerrado.Definición. Sea Υ cualquier conjunto de puntos de un plano euclidiano. Entonces, la

frontera de Υ (a la que denotaremos por ∂Υ) es

∂Υ = Υ ∩ R2 −Υ

Ejemplos. 1. ∂∅ = ∅ ∩R2 − ∅ = ∅ ∩R2 = ∅

12

2. Para cualquier P ∈ R2

∂ P = P ∩R2 − P = P ∩R2 = P

3. Para cualesquiera P ∈ R2 y ε > 0

∂Dε (P ) = Sε (P ) =©R ∈ R2 : d (P,R) = ε

ª4. ∂Q2 = Q2 ∩R2 −Q2 = Q2 ∩ I2 = R2 ∩R2 = R25. ∂R2 = R2 ∩R2 − R2 = R2 ∩ ∅ = ∅Obsérvese que la frontera de cualquier conjunto de puntos es un conjunto cerrado, pues

viene dado como la intersección de dos conjuntos cerrados.Proposición. Sea Υ cualquier conjunto de puntos de un plano euclidiano. Entonces

Υ ∪ ∂Υ = Υ

Demostración.(⊆) En conformidad con la definición de cerradura, tenemos que

Υ ⊆ Υ

porque Υ es el cerrado más chico que contiene a Υ. Por otro lado, de la definición de fronteraresulta

∂Υ ⊆ Υ

ConsecuentementeΥ ∪ ∂Υ ⊆ Υ

(⊇) Sea P ∈ Υ; si P ∈ Υ, entonces no queda más que probar. Supongamos que

P /∈ Υ

EntoncesP ∈ R2 −Υ

consecuentementeDε (P ) ∩

¡R2 −Υ

¢6= ∅,∀ε > 0

lo cual, debido a la proposición anterior, quiere decir que

P ∈ R2 −Υ

LuegoP ∈ Υ ∪R2 −Υ = ∂Υ

Por lo tantoP ∈ Υ ∪ ∂Υ

y como P se escogió arbitrariamente en Υ, tenemos

Υ ⊆ Υ ∪ ∂Υ

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que es a lo que se quería llegar.@O sea que la cerradura de Υ se obtiene añadiendo a Υ todo lo que no tiene de su frontera,

todos aquellos puntos de su frontera que le sean ajenosAntes de seguir adelante, detengámonos a ver en dónde nos sitúa todo esto respecto del

objetivo que perseguimos.Esencialmente, queremos demostrar que la convexidad de un conjunto implica que tal

conjunto puede separarse, por medio de rectas, de cualquier punto que le sea ajeno.Nótese que los resultados anteriores nos permiten asegurar que un conjunto convexo es

estrictamente separable, por medio de rectas, de cualquier punto ajeno a su cerradura.En efecto, si Ω es convexo entonces Ω es convexo y cerrado, de manera que podemos

aplicar el teorema anterior para afirmar que Ω es estrictamente separable, a través de rectas,de cualquier punto que le sea ajeno. Como Ω contiene a Ω, se sigue que también Ω esestrictamente separable de cualquier punto ajeno a Ω.En consecuencia, solamente falta comprobar que Ω se puede separar con rectas de los

puntos de su complemento que pertenezcan a Ω (cuando tales puntos existen; es decir, cuandoΩ no es un conjunto cerrado). En vista de la proposición precedente, el conjunto de talespuntos es¡R2 − Ω

¢∩Ω =

¡R2 − Ω

¢∩ (Ω ∪ ∂Ω) =

£¡R2 − Ω

¢∩ Ω

¤∪£¡R2 − Ω

¢∩ ∂Ω

¤=¡R2 − Ω

¢∩∂Ω

O sea que habremos alcanzado nuestro objetivo demostrando que Ω es separable, por mediode rectas, de aquellos puntos de su frontera que le sean ajenos....¿Eh? Pero, ¡qué diablos pasa!Un momento; hubo un flachazo en mi mente, y como q’el relámpago me hizo ver... ¡un

contraejemplo!A un cuadrado abierto del plano añadámosle dos de sus vértices diagonalmente opuestos

para formar un conjunto Ω que claramente es convexo. Pues bien, con la excepción de los dosvértices que le son ajenos, todos los demás puntos de la frontera ajenos a Ω son inseparablesde Ω por medio de rectas.Por lo tanto, el resultado es improbable porque es falso.Para no dejar tan entrecortado este discurso demostraremos que añadiendo a la convexi-

dad la hipótesis de ser abierto, Ω resultará separable, por medio de rectas, de los puntos desu complemento.Desde luego, sigue siendo válido lo que ya dijimos en cuanto a que solamente tendremos

que ocuparnos en comprobar que Ω es separable de los puntos de su frontera que le seanajenos (los cuales, considerando la hipótesis de que Ω es abierto, serán todos los puntos de∂Ω).Comenzemos recordando que un conjunto Υ es abierto si, y sólo si, la distancia de todo

punto de Υ a R2 − Υ es positiva. Nos valdremos de esto para la prueba del resultado quesigue.Proposición. Un conjunto Υ de puntos de un plano euclidiano es abierto si, y sólo si,

Υ ∩ ∂Υ = ∅

Demostración. Supongamos que Υ es abierto y que P ∈ Υ; entonces existe ε > 0 tal que

Dε (P ) ⊂ Υ

14

Por consiguienteDε (P ) ∩

¡R2 −Υ

¢= ∅

Remontándonos tres proposiciones atrás, esto significa que

P /∈ R2 −Υ

Por lo tanto,P /∈ ∂Υ

Y como P se escogió arbitrariamente en Υ, tenemos que

Υ ∩ ∂Υ = ∅

Recíprocamente, supongamos vacía esta intersección y tomemos P ∈ Υ arbitrario. Entonces

P ∈ Υ pero P /∈ ∂Υ

Por consiguienteP /∈ R2 −Υ

y como los puntos de la cerradura de un conjunto son los que distan cero del conjunto, resultaque

d¡P,R2 −Υ

¢6= 0

Entoncesd¡P,R2 −Υ

¢> 0

y puesto que P se escogió arbitrariamente en Υ, quiere decir que la distancia de todo puntode Υ a R2 − Υ es positiva. Por el resultado recordado al inicio, esto significa que Υ es unconjunto abierto, como se quería demostrar.@Esto demuestra que cuando un conjunto es abierto, su frontera forma parte de su com-

plemento. Si además de ser abierto, el conjunto es convexo, ya sabemos que se puede separarestrictamente de aquella parte de su complemento situada más allá de su frontera. En con-secuencia, y como ya decíamos, para dejar probado que un conjunto abierto y convexo sesepara mediante rectas de todo punto que le es ajeno, solamente falta demostrar que esseparable de cualquier punto de su frontera.Como veremos en seguida, para este propósito va a sernos de gran utilidad introducir el

importante concepto de recta soporte.Definición. Sean, Υ cualquier conjunto de puntos de un plano euclidiano y una recta del

mismo plano. Se dice que es una recta soporte de Υ si se satisfacen las dos condicionessiguientes:(i) Υ ∩ 6= ∅(ii) Υ queda enteramente contenido en uno de los semiplanos cerrados determinados por

.Para entender cómo es que este concepto va a facilitarnos la demostración que requerimos,

adelantemos el resultado en que vamos a apoyarnos; Es, que por todo punto de la fronterade un conjunto convexo se puede trazar al menos una recta soporte.

15

Observamos que al ser esto así, cualquier recta soporte que pase por un punto de lafrontera de un conjunto Ω abierto y convexo, es una recta que separa de Ω a ese punto.En efecto, siendo una recta soporte de Ω que pasa por P ∈ ∂Ω, en principio Ω queda

enteramente contenido en uno de los semiplanos cerrados determinados por . Pero debido aque Ω es un conjunto abierto, podemos asegurar que está contenido en el semiplano abiertocorrespondiente al semiplano cerrado que en principio lo contiene. Para convencernos deesto, solamente hay que verificar que sobre no haya puntos de Ω; pero es que si Q fuese unpunto de Ω sobre , habría un disco de radio positivo centrado en Q enteramente contenidoen Ω, lo cual implicaría que a ambos lados de habría puntos de Ω, lo que es falso.Consecuentemente, al quedar Ω en uno de los semiplanos abiertos determinados por ,

podemos pensar (sin incurrir con ello en ningún error) que P queda contenido en el otrosemiplano cerrado determinado por (es decir, en el que no contiene a Ω) y, por lo tanto,tendremos separado a P de Ω por medio de .1

Para que todo esto sea efectivamente una conclusión, solamente falta comprobar el resul-tado que adelantamos, es decir, que por todo punto de la frontera de un conjunto convexose puede trazar al menos una recta soporte.Hacer esta tarea nos obliga a que consideremos un concepto más: el de abanico convexo,

que introduciremos enseguida.Sea O un punto cualquiera de un plano euclidiano. Consideraremos conjuntos de semir-

rectas de origen O. Cuando dos semirrectas λ1, λ2 de alguno de estos conjuntos no seancolineales, llamaremos ángulo interior de λ1 y λ2 al menor ángulo formado por λ1 y λ2.Diremos que un conjunto A (O) de semirrectas de origen O es un abanico convexo si

para cualesquiera dos semirrectas no colineales

λ1, λ2 ∈ A (O)

toda semirrecta de origen O comprendida dentro del ángulo interior de λ1 y λ2 pertenece aA (O).Veamos que solamente hay seis ejemplos generales de abanicos convexos en un plano

euclidiano.(i) , es decir, el conjunto vacío de semirrectas de origen O es un abanico convexo

porque es lógicamente cierto que si son

λ1, λ2 ∈ , no colineales

entonces toda semirrecta de origen O comprendida dentro del ángulo interior de λ1 y λ2pertenece a .(ii) λ, es decir, el conjunto formado por una sola semirrecta de origen O es un abanico

convexo porque el subconjunto de λ en el que siempre pueden hallarse pares de semirrectas1De hecho, P está en ambos semiplanos cerrados puesto que está en su intersección que es ; en particular,

está en el semiplano cerrado del otro lado, es decir, del que no contiene a Ω, lo cual basta para que tengalugar la definición de recta que separa aplicable a . Es curioso advertir que también podemos mirar a Pcomo parte del mismo semiplano cerrado determinado por que contiene a Ω; desde luego, ahí no cabepensar a como recta que separa, porque P y Ω no quedan en semiplanos diferentes determinados por .Tiene su importancia poder pensar según nuestra conveniencia que P es punto tanto de éste como del otrosemiplano cerrado; esto se notará cuando lleguemos al tema del equilibrio de los conjuntos sobre sus rectassoporte.

16

de origen O no colineales es ∅, y es lógicamente cierto que

λ1, λ2 ∈ ∅ implica

que toda semirrecta de origen O comprendida dentro del ángulo interior de λ1 y λ2 pertenecea ∅.(iii) = λ1 ∪ λ2, es decir, el conjunto formado por dos semirrectas de origen O que

forman una recta, ya que vuelve a ser ∅ el subconjunto de en el que pueden hallarsepares de semirrectas no colineales de origen O, y el argumento anterior vuelve a ser válido.(iv) Un sector angular del plano con vértice O que mida menos de 180 también es ejemplo

de abanico, porque entonces cualesquiera dos semirrectas distintas que pertenezcan al sectorangular son no colineales, y cualquier semirrecta comprendida entre ambas forma parte delsector angular.(v) Un semiplano es ejemplo de abanico convexo, ya que entonces O se halla sobre la recta

que delimita al semiplano y, obviamente, para cualesquiera dos semirrectas no colineales deorigen O que pertenezcan al semiplano, las semirrectas del mismo origen comprendidas entreellas serán también parte del semiplano.(vi) Todo el plano es ejemplo de abanico convexo, porque las semirrectas de origen O

comprendidas entre dos no colineales de ellas forman parte, obviamente, del haz de todas lassemirrectas de origen O que es todo el plano.Como veremos a continuación, el concepto de abanico convexo funciona como aparato

escrutador sobre la frontera de un conjunto convexo. Esto nos viene a ser muy conveniente,pues recordemos que hay que hacer una investigación sobre las fronteras de los conjuntosconvexos a fin de resolver que por cada punto en la frontera de un convexo pasa al menosuna recta soporte del conjunto.Proposición. Sean, Ω un conjunto convexo, O ∈ ∂Ω y A (O) el conjunto de todas las

semirrectas de origen O que pasan por puntos de la cerradura de Ω distintos de O. Entonces,A (O) es un abanico convexo.Demostración. Si Ω = ∅, entonces la proposición es verdadera porque

O ∈ ∂Ω⇒ A (O) es un abanico convexo

Si Ω = O, entonces Ω = O, por lo que el conjunto de todas las semirrectas de origen Oque pasan por puntos de Ω distintos de O es vacío;

i.e.A (O) =

lo cual, según vimos en el inciso (i) anterior, es un abanico convexo.Si Ω tiene dos puntos diferentes, puede ser un subconjunto unidimensional del plano; en

tal casoA (O) = λ o A (O) = = λ1 ∪ λ2

lo que en cada caso es, de acuerdo con los incisos (ii) y (iii) anteriores, un abanico convexo.La otra posible situación para un conjunto convexo con dos puntos diferentes es que

se extienda en más de una dirección dentro del plano, es decir, que no sea uni sino bi-dimensional. Adviértase que si este es el caso, desde O pueden escogerse

λ1, λ2 ∈ A (O)

17

que no sean colineales. De la definición de A (O), para cada una se tienen puntos

Q1, Q2 ∈ Ω

tales queOQ1 ⊂ λ1 y OQ2 ⊂ λ2

Debido a la convexidad de Ω tenemos que el ángulo

\Q1OQ2 ≤ 180

lo cual implica que éste es el ángulo interior que forman λ1 y λ2. Consecuentemente, cualquiersemirrecta λ de origen O comprendida dentro de este ángulo cortará al segmento Q1Q2; sea

Q ∈ λ ∩Q1Q2

Nuevamente, debido a la convexidad de Ω tenemos

Q ∈ Q1Q2 ⊂ Ω ⊆ Ω

O sea que λ pasa por al menos un punto de Ω, y esta es la condición de membresía de A (O);es decir, λ ∈ A (O). Por lo tanto, A (O) es un abanico convexo.@Nótese que en la última parte de esta demostración pudimos concluir el resultado sin

haber requerido saber qué tipo de abanico pueda serA (O), pero es razonablemente compren-sible que habiendo pasado a considerar bidimensional a Ω, el tipo de abanico sea cualquierade los descritos en (iv), (v), (vi). Esto, sin embargo, no es del todo cierto, pues, como vere-mos más adelante, el estar tomando a O sobre la frontera de Ω, impide que el abanico A (O)al que se refiere la proposición anterior pueda ser todo el plano. Una demostración de estaafirmación podríamos empezarla a confexionar desde ahorita, presentando primeramente elconcepto de interior de un conjunto que va a permitirnos formalizar suficientemente su ar-gumento. Pero ponernos a hacer esto nos apartaría de la tarea que tenemos propuesta y a laque también podemos irle entrando desde ya, (aunque también sea cierto que no podremosconcluirla sin haber vuelto al asunto apuntado en esta nota).Proposición. Por todo punto de la frontera de un conjunto convexo pasa al menos una

recta soporte.Demostración. Sean, Ω un conjunto convexo y O ∈ ∂Ω. Sigamos el orden que sugiere la

situación dimensional de Ω. Según vimos a lo largo de la demostración anterior, un conjuntoconvexo de puntos de R2 puede ser bidimensional, unidimensional, cerodimensional (cuandoestá formado por un sólo punto) y adimensional (cuando es vacío).Si Ω = ∅, la proposición es verdadera, ya que entonces la implicación

O ∈ ∂Ω⇒ por O pasa al menos una recta soporte de ∅

es lógicamente verdadera, porque esta frontera también es un conjunto vacío.Si Ω = O, entonces cualquier recta que pase por O es recta soporte de O, ya que sipasa por O se tiene que(i) O ∈ O = O = O ∩ ; i.e. Ω ∩ 6= ∅.

18

(ii) O queda enteramente contenido en uno de los semiplanos cerrados determinadospor , porque de hecho queda contenido en los dos.Por lo tanto, también en este caso la proposición es verdadera.Si Ω es unidimensional, entonces la recta que contiene a Ω es recta soporte de Ω por

cualquier punto de la frontera de Ω; no es difícil probar que cuando Ω es un convexo unidi-mensional resulta

∂Ω = Ω¡∴ Ω = Ω

¢Por consiguiente, al ser la recta que contiene a Ω, se tiene:(i) Ω = Ω ∩ ; ¿∴ Ω ∩ 6= ∅? Sí, porque ∅, aunquees convexo, no es unidimensional.(ii) Ω queda enteramente contenido en uno de los semiplanos cerrados determinados por

, porque está en la intersección de los dos: .Sólo falta ver qué sucede cuando Ω es bidimensional. Es aquí donde emplearemos el

recurso analítico que nos fabricamos al introducir la noción de abanico convexo. El que Ω seabidimensional impide tener que considerar los tipos de abanicos (i), (ii) y (iii) anteriormentedescritos, porque la bidimensionalidad de Ω (y, por supuesto, su convexidad) permiten que,posicionándonos en cualquier punto O de la frontera de Ω, se pueda seguir desde O en másde una sola dirección moviéndose sobre puntos de la cerradura de Ω (que también es unconjunto convexo); de aquí que siempre sea posible exhibir dos semirrectas de origen O enA (O) que no sean colineales. Esto significa que podemos desentendernos de los tres primerostipos de abanicos, porque en ellos exhibir des elementos de A (O) que no sean colineales esimposible.Así las cosas, concluiremos la demostración analizando separadamente la situación de O

en la frontera de un convexo bidimensional Ω según sea el tipo del abanico A (O).· Supongamos que A (O) es un sector angular del plano de ángulo interior θ menor

que 180. Entonces, las semirrectas λ1, λ2 de ángulo interno igual a θ delimitan a A (O) ;laderfinición de este abanico como el de las semirrectas por O que pasan por puntos de Ω noshace ver que Ω está comprendido en éste ángulo. Al visualizar esta situación consideremostambién el abanico A0 (O), opuesto por el vértice a A (O); cualquiera que sea el caso, hay unángulo suplementario de θ en la imágen que nos hacemos de esta situación, y parece claroque las rectas comprendidas en éste ángulo dejan enteramente contenido a Ω en uno de sussemiplanos cerrados; es decir, han de ser rectas soporte de Ω. En efecto, sea una de esasrectas; entonces(i) O ∈ ∂Ω ⊂ Ω y O ∈ ⇒ Ω ∩ 6= ∅.(ii) Ω queda enteramente contenido en uno de los semiplanos cerrados determinados por

,ya que, claramente, todo el sector angular A (O) (que contiene a Ω) queda enteramente

contenido en uno de los semiplanos cerrados determinados por .Así, queda entendido que cuando el abanico por O es un sector angular, siempre es posible

hacer que pase por O alguna recta soporte.· · Supongamos que A (O) es un semiplano; sea la recta que lo delimita.(i) Claramente Ω ∩ 6= ∅, ya que O es punto de esta intersección.(ii) También es obvio que todas las semirrectas deA (O) están en uno, y solamente en uno,

de los semiplanos cerrados que determina; y puesto que las semirrectas están determinadaspor puntos de Ω, quiere decir que todo Ω está contenido en ese mismo semiplano cerrado.

19

Esto significa que es recta soporte de Ω.Como se explica en la nota previa a esta proposición, con estos dos casos se agotan todas

las posibilidades en cuanto a los tipos de abanicos convexos que se pueden formar desdecualquier punto de la frontera de un conjunto convexo bidimensional (condicionado a que lassemirrectas del abanico pasen por puntos de Ω distintos de O). Puesto que además, en cadauno de estos tipos de abanicos siempre se puede hablar de una recta soporte de Ω, quieredecir que también queda resuelto como verdadero para los convexos bidimensionales que porcada punto de sus fronteras siempre se pueden hacer pasar rectas soporte.[@]Como se explica al final de la nota previa a la proposición anterior, no podemos con-

cluir sin dejar demostrado que efectivamente es imposible que A (O) coincida con todo elplano, cuando O es un punto de la frontera de un conjunto convexo bidimensional. Comoveremos más adelante, para hablar de esto nos resultará muy conveniente que desde ahoraenriquezcamos nuestro léxico con el vocablo interior y con su significación topológica.Definición. Sea Υ cualquier conjunto de puntos de R2. El interior de Υ (al que

denotaremos porΥ) es el más grande de los conjuntos abiertos de R2 contenido en Υ. O sea

queΥ satisface por definición las condiciones sigientes:

I.Υ es un conjunto abierto y Υ ⊇

Υ.

II. Si A es un conjunto abierto y Υ ⊇ A, entoncesΥ ⊇ A.

Para dar una primera caracterización de este concepto nos valdremos del siguiente resul-tado.Lema. Las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos son conjuntos abiertos.Demostración. Sea (Aj)J una familia cualquiera de conjuntos abiertos de R

2, y para cadaj ∈ J hagamos

Cj = R2 −Aj

Entonces, (Cj)J es una familia de conjuntos cerrados. Ya sabemos que la intersección arbi-traria de conjuntos cerrados es cerrada; en consecuencia, es abierto el conjunto

R2 − ∩j∈JCj = ∪

j∈J

¡R2 − Cj

¢= ∪

j∈JAj @

Proposición. Sea Υ ⊆ R2 arbitrario; entonces,Υ es la unión de todos los abiertos

contenidos en Υ.Demostración. Sea (Aj)J la familia de todos los abiertos contenidos en Υ. Veamos que

∪j∈JAj satisface para Υ, I y II de la definición precedente.

I. Puesto que para toda j ∈ J , Aj ⊆ Υ, resulta que

Υ ⊇ ∪j∈JAj

Además, en conformidad con el lema anterior, ∪j∈JAj es un conjunto abierto.

II. Sea A ⊆ R2 abierto tal que Υ ⊇ A. Puesto que (Aj)J es la familia de todos losabiertos contenidos en Υ, existe un j0 ∈ J tal que A = Aj0; consecuentemente

∪j∈JAj ⊇ A

20

que es a lo que se quería llegar.@Proposición. Sean, Υ ⊆ R2 arbitrario y

¤Υ = P ∈ Υ : Dε (P ) ⊂ Υ, p.a. ε > 0

Entonces¤Υ =

Υ

Demostración. Sea P ∈¤Υ; entonces existe ε > 0 tal que Dε (P ) ⊂ Υ. Puesto que este

disco es un conjunto abierto y, por definición,Υ es el más grande abierto contenido en Υ,

tenemos que

Dε (P ) ⊆Υ

y, consecuentemente, P ∈Υ. Por lo tanto

¤Υ ⊆

Υ

Recíprocamente, si P ∈Υ entonces, puesto que

Υ es un conjunto abierto, existe ε > 0 tal

que Dε (P ) ⊂Υ. Consecuentemente, para esa misma ε,

Dε (P ) ⊂ Υ

es decir,

P ∈ P ∈ Υ : Dε (P ) ⊂ Υ, p.a. ε > 0 =¤Υ

Por lo tantoΥ ⊆

¤Υ

Con esto la proposición queda demostrada.@Proposición. El interior de cualquier conjunto convexo también es un conjunto convexo.Demostración. Sea Ω un conjunto convexo arbitrario.

Claramente, la proposición es verdadera siΩ = ∅.

SupongamosΩ 6= ∅

Entonces, existe un punto en el interior de Ω, y con él todo un disco de puntos interiores(en conformidad con el resultado anterior); de manera que si el interior de Ω no es vacío,entonces necesariamente consta de infinitos puntos interiores2. Escojamos arbitrariamentedos de ellos

Q1, Q2 ∈Ω

Para demostrar que Ω es convexo, hay que probar que

Q1Q2 ⊂Ω

2Un disco abierto centrado en cualquier punto de R2 siempre tiene infinidad de puntos; puesto que eneste caso el disco está contenido en

Ω, entonces consta de infinitos puntos interiores.

21

Sea Q ∈ Q1Q2; en vista de la proposición anterior, basta demostrar que existe un ε > 0 talqu tal que

Dε (Q) ⊂ Ω

Valgámonos de que para Q1 y Q2 existen sendos números positivos ε1 y ε2 tales que

Dε1 (Q1) ⊂ Ω y Dε2 (Q2) ⊂ Ω

Definamosε = min ε1, ε2

EntoncesDε (Q1) ⊂ Ω y Dε (Q2) ⊂ Ω · · · (F)

Aseguramos que tambiénDε (Q) ⊂ Ω

Por ser Q un punto del segmento Q1Q2, existen α, β ∈ [0, 1] tales que

Q = αQ2 + βQ1 , α+ β = 1

Sea P ∈ Dε (Q) entoncesd (P,Q) < ε

Observemos que

d (Q1, Q1 + P −Q) =°°Q1 −

¡Q1 + P −Q

¢°°d (Q2, Q2 + P −Q) =

°°Q2 −¡Q2 + P −Q

¢°°¾=°°P −Q

°° = d (P,Q) < ε

o sea que ¡Q1 + P −Q

¢∈ Dε (Q1) y

¡Q2 + P −Q

¢∈ Dε (Q2)

Por (F), tenemos que estos vectores corresponden con puntos de Ω. Por la convexidad deΩ, cualquier combinación lineal convexa de estos vectores es un punto de Ω; en particular,un elemento de Ω es arrojado por la combinación lineal cuyos coeficientes son precisamentelos números α y β que tenemos dados:

α¡Q2 + P −Q

¢+ β

¡Q1 + P −Q

¢=¡αQ2 + βQ1

¢+ (α+ β)

¡P −Q

¢= Q+ P −Q = P

Esto es prueba de que, en efecto,Dε (Q) ⊂ Ω

Aplicando la proposición anterior, tenemos como consecuencia que

Q ∈Ω

Y puesto que Q se escogió arbitrariamente en Q1Q2, resulta

Q1Q2 ⊂Ω

Por lo tanto,Ω es un conjunto convexo.@

22

Más que el resultado anterior, será el corolario de la proposición siguiente el que va aservirnos para lo que queremos.

Proposición. Sea Ω un conjunto convexo y sean P ∈ ∂Ω y Q ∈Ω; entonces

PQ ⊂ P ∪Ω

“Demostración”. Sea R ∈ PQ y sean α, β ∈ [0, 1], α+ β = 1, tales que

R = αP + βQ

Cuando α = 1 tenemos: R = P ∈ P ⊂ P ∪Ω X

Probaremos que para todos los demás valores de α, el punto R queda en el interior de Ω.

Puesto que Q ∈Ω, existe ε > 0 tal que

Dε (Q) ⊂ Ω

Obsérvese que la consideración de los valores menores que 1 del parámetro α se correspondenbiunívocamente con los valores positivos de β; también es claro que al hacer decrecer a βdesde uno hasta cero, en el segmento nos movemos de P hacia Q.Consideremos el triángulo isóceles de base 2ε y altura PQ con vértice P y base por Q.

Afectando con el factor β al radio ε, el disco que corresponda a R queda tangencialmenteinscrito en el sector angular determinado por el ángulo de vértice P del triángulo descrito;esto se debe a que hemos disminuído el radio ε en igual proporción a como nos acercamos aP . Probaremos que

Dβε (R) ⊂ Ω

Sea R0 ∈ Dβε (R); entonces

d (R0, R) =°°R0 −R

°° < βε · · · (♥)

Sumar al vectorQ el vectorR0−R desafectándolo del parámetro β, es lo mismo que considerarel vector

Q+1

β

¡R0 −R

¢Teniendo en cuenta (♥), observemos que

d

µQ,Q+

1

β

¡R0 −R

¢¶=

°°°°Q−Q− 1β

¡R0 −R

¢°°°° = 1

β

°°R0 −R°° < 1

β(βε) = ε

Esto significa que

Q+1

β

¡R0 −R

¢∈ Dε (Q) ⊂ Ω

Por otro lado tenemos que

R0 = R+R0 −R =¡αP + βQ

¢+¡R0 −R

¢= αP + β

∙Q+

1

β

¡R0 −R

¢¸(1)

23

lo cual significa que el vector R0 es una combinación lineal convexa de los vectores P yQ+ 1

β

¡R0 −R

¢; por la convexidad de Ω, de aquí se desprende que también R0 ∈ Ω. Puesto

que R0 se escogió arbitrariamente en Dβε (R), tenemos que

Dβε (R) ⊂ Ω

En consecuencia, R es punto interior de Ω, como había que demestrar.Ejercicio c29: 1. El argumento de la “demostración” anterior fue tomado de unos Apuntes

de Conjuntos Convexos publicadas por la Sociedad Matemática Mexicana.3 Tiene un error;encuéntrelo.2. Demuestre la proposición anterior.@@Ejercicio c210: Sea Υ ⊆ R2 arbitrario. Probar que

Υ =Υ ∪ ∂Υ

Corolario. Sea Ω un conjunto convexo y sean P,Q ∈ ∂Ω; entonces

PQ ⊂ P,Q ∪Ω ó PQ ⊂ ∂Ω

Demostración. Debido a la convexidad de Ω tenemos que también Ω es convexo. Enconsecuencia

PQ ⊂ Ω

Ahora bien. para los puntos del segmento PQ solamente caben dos posibilidades: (i) Queentre ellos haya algún punto interior de Ω, ó: (ii) Que ninguno sea punto interior de Ω.

(i) Si R ∈ PQ ∩Ω, entonces podemos aplicar el resultado de la proposición anterior,

asegurando que

PR ∈Ω ∪ P y RQ ∈

Ω ∪ Q

En consecuencia

PQ = PR ∪RQ =µΩ ∪ P

¶∪µΩ ∪ Q

¶=

Ω ∪ P,Q

(ii) Si en PQ no hay puntos interiores de Ω, entonces podemos aplicar el resultado delejercicio c210 anterior y asegurar que

PQ ⊂ ∂Ω@

Para quedar en punto de podernos reencontrar con la cuestión que tenemos pendientesolamente faltan dos detalles por considerar; son tan simbples que no merecen ser presentadoscomo proposiciones.El primero se refiere al hecho de que el interior de un conjunto y su frontera nunca tienen

puntos en común, ya que si P es algún punto del interior de algún conjunto Υ, entonces haytodo un disco abierto centrado en P cuyos puntos son elementos de Υ, y sólo de Υ; de aquíque P /∈ ∂Υ, pues de estar en ∂Υ no podría haber tal disco.

3Miscelanea Matemática, núm.8, Sociedad Matemática Mexicana.

24

El segundo detalle que hay que considerar es que el interior de cualquier subconjunto deun conjunto Υ arbitrario, es subconjunto del interior de Υ.Volviendo a la cuestión pendiente: Tenemos un conjunto convexo Ω en R2 y un punto

O ∈ ∂Ω; queremos convencernos de que no puede coincidir con todo R2 el abanico convexoA (O) de las semirrectas de origen O determinadas por puntos de la cerradura de Ω.En efecto, que A (O) sea R2 es tanto como echar a los cuatro vientos la cerradura de Ω,

ya que entonces podemos hallar dentro de A (O) la prolongación de cualquier semirrecta deA (O), así como dos semirrectas mutuamente perpendiculares λ1, λ2 ∈ A (O); sean λ01 y λ02las prolongaciones de λ1 yD λ2, respectivamente. Entonces, haciendo

1 = λ1 ∪ λ01 y 2 = λ2 ∪ λ02

obtenemos dos rectas perpendiculares que se intersectan en O. Por la definición de A (O),existen cuatro puntos

Q1 ∈ λ1 ∩ Ω , Q01 ∈ λ01 ∩ Ω Q2 ∈ λ2 ∩ Ω , Q0

2 ∈ λ02 ∩ Ω

Claramente, O resulta un punto interior del trapezoide Q1Q2Q01Q

02, el cual es un subconjunto

de Ω. Consecuentemente, (Q1Q2Q01Q

02)es un abierto contenido en Ω y, por lo tanto,

(Q1Q2Q01Q

02)⊆

Ω

Por consiguiente, O es punto interior de Ω O

Esto es absurdo, porque O fue tomado en ∂Ω. Esta contradicción surge al suponerA (O) = R2.Así queda probado que el que O sea un punto en la frontera de un convexo Ω impide que

el abanico A (O) pueda coincidir con todo el plano euclidiano en el que se está.@Por otra parte, recordemos que esto hacía falta para dar por verdadero que por todo

punto de la frontera de un conjunto convexo pasa una recta soporte del conjunto.Acordémonos también de que éste otro resultado nos permite asegurar que si Ω es abierto

y convexo, entonces es separable, por medio de rectas, de los puntos de su complemento.(Sólo había que analizar qué ocurre con los puntos de la frontera de Ω, y vimos que al

ser abierto, una recta soporte que pase por cualquier punto O ∈ ∂Ω sirve como recta quesepara a Ω de O. En efecto, por ser una recta soporte de Ω, tenemos que Ω queda como unsubconjunto abierto del semiplano cerrado determinado por que contiene a Ω. Entonces,Ω debe quedar contenido en el interior de este semiplano, porque el interior de un conjuntoes el más grande de los subconjuntos abiertos que tiene ese conjunto; en este caso, es elsemiplano abierto del semiplano cerrado que contiene a Ω. Puesto que además O es puntodel otro semiplano cerrado determinado por , misma satisface la definición de recta quesepara a Ω de O.)

Con este resultado pretendíamos no dejar tan mal trabajada esta sección de las propiedadescaracterísticas de los conjuntos convexos. Sin embargo, con lo desarrollado hasta aquí, nopodemos (¡ni remotamente!) presumir que la sección haya sido bien trabajada., porque hastaeste momento no hemos mostrado ni una caracterización del concepto de convexidad.

25

Ahora que me acuerdo, al comenzar la sección nos pusimos como un objetivo el mostrarque todo conjunto convexo puede mirarse como la intersección de todos los semiplanos abier-tos que lo contienen. Esto reduciría el concepto de convexidad a la idea (casi mecánica) deintersección de semiplanos, lo cual sería un resultado con el que sí podríamos cerrar estasección.¡Pero qué demonios! ¡Otra vez! Sí que va a parecer crónico....Servirá el mismo conjunto del contraejemplo anterior.A un cuadrado abierto del plano peguémosle dos de sus vértices diagonalmente opuestos;

el conjunto Ω que resulta es convexo y, según esto, debería obtenerse como la intersecciónde todos los semiplanos abiertos que contienen al conjunto. Sin embargo, advirtamos quecomo consecuencia de tener que contener a cada uno de los dos vértices, en cada uno de estossemiplanos abiertos siempre se podrán encontrar infinitos puntos de las aristas del cuadradoabierto; precisamente, puntos aledaños al par de vértices que le pegamos. Esto vuelve muysospechoza la situación.Se puede probar con rigor que el conjunto que surge con la intersección de estos semiplanos

abiertos es el cuadrado cerrado sin los dos vértices que no le pegamos al abierto.Durante la elaboración de este curso me puse a leer “La cara oculta de las esferas”4. En

ese libro (pág. 33) se hace creer que este resultado es verdadero a pesar de que, según vemos,es falso. Yo me dejé embaucar y éstas han sido las consecuencias.Hay que decir en favor de esto (que para nosotros ha resultado una conjetura que ahora

hay que desechar) que casi fue verdadero. No sólo porque se les ha metido como si sí lo fueraa los lectores que haya tenido el libro durante sus ya cercanos veinte años de publicado, sinotambién porque si se agrega al enunciado en cursivas anterior la hipótesis de que el convexosea cerrado, entonces sí resulta verdadero.Proposición. Sean, Ω un conjunto cerrado y convexo, y (Πj)J la familia de semiplanos

abiertos que contienen a Ω. Entonces

∩j∈J

Πj = Ω

Demostración. Puesto que

Ω ⊆ Πj,∀j ∈ J

tenemos queΩ ⊆ ∩

j∈JΠj

Para probar que también∩j∈J

Πj ⊆ Ω

procedamos por reducción al absurdo: Supongamos que existe un

P ∈ ∩j∈J

Πj.3.P /∈ Ω

4Publicación del Fondo de Cultura Económica, en su colección la ciencia desde México. También estádisponible en:http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/075/htm/lacarao.htm

26

Puesto que Ω es cerrado y convexo, existe una recta que separa estrictamentea Ω de P . Consecuentemente, uno de los semiplanos abiertos determinados porcontiene a Ω y no contiene a P . Ahora bien, (Πj)J es la familia de todos los

semiplanos abiertos que contienen a Ω; por lo tanto, existe un j0 ∈ J tal que Πj0

es el semiplano abierto determinado por que contiene a Ω y

P /∈ Πj0 ∇

Esto es una contradicción con el hecho de haber tomado P ∈ ∩j∈J

Πj. Luego, falso

suponer que exista un punto de esta intersección que no sea elemento de Ω.

∴ ∩j∈J

Πj ⊆ Ω

con lo cual la proposición queda demostrada.@Tercer cuestionario de ejercicios.Ejercicio c31: Probar que para cualquier Υ ⊆ R2, la familia

℘Υ =

½Υ, ∂Υ,

¡R2 −Υ

¢¾constituye una partición de R2.5Ejercicio c32: Se probó que por todo punto frontera de un conjunto convexo

pasa al menos una recta soporte del conjunto. ¿Es cierto que si por todo puntofrontera de un conjunto Ψ ⊆ R2 pasa al menos una recta soporte de Ψ, entoncesΨ es un conjunto convexo? Justifique su respuesta.Una aproximación a la respuesta que se pide en el ejercicio c32 anterior, se da

en el siguiente resultado. En su demostración emplearemos el hecho intuitivo deque para todo Υ ⊆ R2

P ∈Υ y Q ∈

¡R2 −Υ

¢=⇒ PQ ∩ ∂Υ 6= ∅

Proposición. Sea Ψ ⊆ R2 un conjunto cerrado y de interior no vacío. Sipor todo punto de ∂Ψ pasa al menos una recta soporte de Ψ, entonces Ψ es unconjunto convexo.Demostración. Procedamos por reducción al absurdo suponiendo que Ψ no

es convexo. Entonces existen Q1, Q2 ∈ Ψ tales que Q1Q2 * Ψ. Sea

Q ∈ Q1Q2.3.Q /∈ Ψ

Puesto que Ψ es un conjunto cerrado, resulta que Q ∈ (R2 −Ψ). Por otro lado,

dado queΨ 6= ∅, podemos tomar R ∈

Ψ que no esté sobre la recta determinada

por Q1 y Q2. Aplicando la implicación mencionada anteriormente, podemosasegurar la existencia de un punto

S ∈ ∂Ψ ∩QR5Para la definición de partición véase el ejercicio c26.

27

Como consecuencia del ejercicio c31 anterior, es

Q 6= S 6= R

Por consiguienteS ∈ (Q1RQ2)

y es claro que cualquier recta que pase por S deja a dos de los vértices deltriángulo Q1RQ2 en distintos semiplanos abiertos de los que determina; puestoque los tres vértices son puntos de Ψ, entonces S es un punto de ∂Ψ por el queno puede hacerse pasar ninguna recta soporte de Ψ O

Esta contradicción con la

hipótesis de la proposición surge por haber supuesto que Ψ no es convexo. Deaquí que se sostenga la convexidad de Ψ, como se quería demostrar.@

No podemos concluir esta sección sin mensionar al menos una caracterización de losconjuntos convexos.

Ejercicio c33: (ג) Sea Ω ⊆ R2 un conjunto convexo arbitrario. Probar que si Q ∈Ω y

es una recta que pasa por Q, entonces

( ∩ ∂Ω) ≤ 2

(i) Recíprocamente, demuestre que si Ψ ⊆ R2 es tal que para cualquier Q ∈Ψ y para

cualquier recta que pase por Q se tiene que

( ∩ ∂Ψ) ≤ 2

entonces Ψ es convexo.Ejercicio c34: (ג) Sea Ω ⊆ R2 un conjunto convexo, acotado y de interior no vacío. Probar

que si Q ∈Ω y es una recta que pasa por Q, entonces

( ∩ ∂Ω) = 2

(i) Recíprocamente, demuestre que si un conjunto acotado de interior no vacío Ψ ⊆ R2

es tal que para cualquier Q ∈Ψ y para cualquier recta que pase por Q se tiene que

( ∩ ∂Ψ) = 2

entonces Ψ es convexo.