MatricesConceptos previos Se define comooperacin binariaaquella operacin matemtica, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se pueda calcular un valor.En lgebra abstracta, uncuerpoocampoes una estructura algebraica en la cual las operaciones de adicin y multiplicacin se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, adems de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operaciones de sustraccin y divisin (excepto la divisin por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmtica de nmeros ordinarios.

Suma de Matrices La suma de matrices consiste en sumar las entradas que son correspondientes.Dadas dos matrices del mismo ordenAyB, se llama matriz suma a la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes deAyB. Es decir el primer elemento deAcon el primer elemento deB, el segundo deAcon el segundo deB y as sucesivamente.Es sencillo, pero si an no lo entendiste fjate en el ejemplo donde he marcado un elemento en cada matriz para que sea ms evidente el procedimiento.

La matriz suma es del mismo orden que el de las matrices que se suman, por lo tanto estas dos deben ser del mismo orden.RepresentacinSi las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensin, la matriz suma es:A+B= (aij+bij)La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posicin.

Propiedades de la Adicin de matricesPara poder sumar dos o ms matrices deben tener el mismo tamao, la misma cantidad de columnas y de filas. Propiedades:1. Cerrada: La suma de dos matrices resulta otra matriz de igual tamao.2. Asociativa: (A + B ) + C = A + (B + C )3. Neutro: Existe una matriz O, con todos sus elementos de valor cero tal que A + O = O + A = A4. Simtrico: Cada matriz A, posee su matriz simtrica A' tal que A + A' = A' + A = OLos elementos de A' son de valor opuesto que sus correspondientes de la matriz A1. Conmutativa: A + B = B + A

RestaLaresta de matricesconsiste en restar las entradas que son correspondientesLa diferencia de matrices A y B se representa por AB, y se define como: AB = A+(B)En la prctica lo que se hace es cambiarle los signos a todos los elementos de la "segunda" matriz y se suma.

Por ltimo, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.

MULTIPLICACIN DE MATRICESSi se tienen dos matricesAyB, su producto es otra matriz cuyos elementos se obtienen al sumar los productos entre los elementos de cada fila deApor los correspondientes de cada columna deB.Claro como el agua, verdad?.... si como agua de drenaje, je je je... Lo lamento pero la multiplicacin de matrices no es algo tan sencillo de entender como los casos anteriores. Pero a no desesperar, que con un poquito de esfuerzo... (si ya s que para algunosesfuerzoes una mala palabra, pero ya vers que no es para tanto).

Se tomala primera fila (roja)de la matrizAy se multiplica por la primera columna deB, siempre haciendo: primero con primero, segundo con segundo, etc. Y se suman algebraicamente los resultados. As se obtiene el primer elemento de la matriz producto. Luego se tomala segunda fila (azul)deAy se multiplica por la primera columna deB, siempre haciendo: primero con primero, segundo con segundo, etc. Y se suman algebraicamente los resultados. As se obtiene el segundo elemento de la matriz producto. Procediendo de igual manera conla tercera fila (verde), se obtiene el tercer elemento de la matriz producto. El resultado tiene tantas filas como la primera matriz (3 filas) y tantas columnas como la segunda (1 columna).

Veamos otro ejemplo, en el que la segunda matriz tiene 2 columnas. Este caso se resuelve como el anterior solo que primero se trabaja con la primera columna de la segunda matriz, y luego con la restante:

Una cosa ms. MUY IMPORTANTE, solo se puede multiplicar dos matrices si el nmero de columnas de la primera es igual al nmero de filas de la segunda. No es tan complicado, mira el esquema:

Adems se te fijas bien el nmero de filas de la primera y el de las columnas de la segunda indican el orden que tendr la matriz producto"C".

Propiedades de la multiplicacin de matrices Asociativa:A (B C) = (A B) C Elemento neutro:A I = ADonde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa:A B B A

Distributiva del producto respecto de la suma:A (B + C) = A B + A C

Inversin MatricialSe dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = Isiendo I la matriz identidad.

Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular.

Ejemplo:Supongamos:

Puesto que AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra. Condicin de inversibilidad El problema de encontrar elementos inversos para el producto de matrices tiene como primer inconveniente que, para empezar, no siempre dadas dos matrices A y B, que podamos hacer el producto AB significa que podamos hacer el producto BA Adems, que dos matrices sean inversas una de la otra significa, en particular, que el producto ha de dar como resultado la matriz identidad. Si recordamos la definicin, la matriz identidad es aqulla cuyos elementos son nulos salvo los de la diagonal, que son 1, y, adems, esto es importante, dicha matriz es cuadrada. El hecho de que la matriz identidad sea cuadrada nos va a restringir mucho el conjunto de matrices para las que podremos hablar de inversin.Vamos a ver qu primera condicin han de cumplir dos matrices A y B para que sean la una inversa de la otra. Esto, como sabemos, significa que AB = BA = I, donde I denota a la matriz identidad. Las matrices sern, en principio, A de orden mxn y B de orden pxq. Sin embargo, por definicin del producto de matrices, se debe cumplir que n=p para poder hacer la multiplicacin AB. Sabemos, adems, que esta matriz ser de orden mxq. Pero tambin tenemos que poder hacer el producto BA, lo que implica que debe ser m=q. As pues, la matriz A ser de orden mxn, y la matriz B ser de orden nxm. El producto AB ser de orden mxm, y el producto BA ser de orden nxn. Adems, ambos productos han de dar como resultado la matriz identidad, y sta es cuadrada, lo que obliga a que m=n, es decir, a que para poder hablar de inversin de una matriz, la matriz ha de ser cuadrada. Sin embargo, es una condicin necesaria pero no suficiente; esto es, no toda matriz que sea cuadrada tiene matriz inversa. No es la nica condicin que se exige a la matriz.Propiedades de la matriz inversa1. Si B y C son, ambas, inversas de la matriz A, entonces B=C. Como consecuencia de este importante resultado, podemos afirmar que la inversa de una matriz,si existe, es nica. Toda matriz inversible tiene exactamente una nica matriz inversa.2. Si A y B son matrices inversibles del mismo tamao, entonces:a) AB es inversibleb) (AB)-1 = B-1AEjemplo:Sean las matrices:

3. Si A es una matriz inversible, entonces:a) A-1 es inversible y (A-1)-1 = Ab) An es inverible y (An)-1 = (A-1)n para n = 0, 1, 2, ....c) Para cualquier escalar k diferente de cero, la matriz kA es inversible y (kA)-1= 1/ k A-1

Ejemplo:a) Sean A y A-1 como las matrices del ejemplo anterior; es decir,

Entonces,

4. Si A es una matriz inversible, entonces su matriz de adjuntos correspondientes AT tambin esinversible y (AT)-1 = (A-1)T

Ejemplo:Sean las matrices:

DIVISIN DE MATRICESLa divisin de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices AyBtal queA/B = AB-1:Si una matriz est dividida entre un escalar, todos los trminos de la matriz quedarn divididos por ese escalar.Ejemplo:

BIBLIOGRAFA. Juan Francisco Riera Stival, ESCUELA TCNICA " JUANA MANSO", PROFESOR DE MATEMTICA,Ao 2012, SUMA DE MATRICES, RESTA Y MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR

Pginas WEB (webgrafa):http://www.proferiera.comocreartuweb.es/material5/unidad2/suma.html

Algebra LinealAO LECTIVO2015-2016DOCENTE:Ing. Marco TacuriCURSO:Segundo Semestre BNOMBRE: Nury Lapo Encalada

Universidad Tcnica De MachalaFacultad De Ingeniera Civil