Matrices Repaso

Programacin Lineal

Universidad de Monterrey 1/17

REPASO DE MATRICES

La teora de matrices se ha desarrollado desde mediados del siglo XIX, originndose con los trabajos de los matemticos Hamilton, Silvester y Coyley; desde entonces se han hecho numerosas aplicaciones en muy varia-dos campos, como Economa, Sociologa, Estadstica y Administracin entre otros.

Lo que aqu vamos a presentar no es ms que una mnima parte de esta teora, debiendo el lector intere-sado, consultar obras especializadas para profundizar.

1. Conceptos bsicos.

1.1. Matriz: Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas (renglones) y columnas, dicho arreglo no posee un valor numrico equivalente. Identificaremos las matrices con las letras maysculas del abecedario (como A, G, D, M, etc.).

1.2. Elementos: Los elementos de una matriz son los nmeros mismos o caracteres que componen la ma-triz, y su posicin en el arreglo est bien definida por la fila y la columna que les corresponde. En general, iden-tificamos los elementos de una matriz con la letra minscula correspondiente con el doble subndice indicando su posicin en el arreglo. Por ejemplo, el elemento "a32", es el elemento de la matriz "A" localizado en la inter-seccin de la fila 3 y la columna 2, y el elemento "m21", es el elemento de la matriz "M" localizado en la inter-seccin de la fila 2 y la columna 1.

1.3. Orden: El orden de una matriz est determinado por el nmero de filas y de columnas del arreglo. Una matriz de tres filas (o renglones) y cuatro columnas tendr un orden de (3 x 4), y, en general, una matriz ser de orden (m x n), es decir "m" filas y "n" columnas.

La matriz de orden "m x n", expresada en su forma general ampliada:

A =

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

. . .

. . .

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

podr representarse en su forma reducida como:

A = ija , m ..., 3, 2, 1, = in ..., 3, 2, 1, = j

Al terminar el estudio de este captulo, el lector habr recordado y prac-

ticado las bases del lgebra de Matrices.

Repaso de matrices

Leopoldo J. Delgado Garza 2/17

1.4. Matriz transpuesta: La transpuesta de una matriz se obtiene cambiando filas por columnas en el arre-glo original; y la identificamos superponindole una "T" a la matriz original. As la transpuesta de la matriz "A" se representa por "AT"; y el orden se obtendr invirtiendo el de la matriz original:

sea la matriz A = ija 3x4 =

1250

0132

2414

entonces AT = aji 4x3 =

102

214

531

024

1.5. Matriz nula: Una matriz cuyos elementos son todos nulos es llamada matriz nula o matriz 0:

0 =

0 0

0 0

0 0 0

0

0

1.6. Matriz cuadrada: Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual nmero de filas y de columnas. El orden de una matriz cuadrada pueda indicarse en la forma (m x m), pero tambin suele utilizarse una sola lite-ral "m":

Amxm Am

1.6.1. Matriz simtrica: Una matriz es simtrica cuando se verifica que:

aij = aji , i,j

Esto es que la transpuesta de la matriz es la misma que la matriz original:

AT = A.

Ejemplo:

A = aij 4 =

1312

3524

1230

2403

A continuacin mencionaremos algunos tipos de matrices cuadradas.

1.6.2. Matriz triangular: Se distinguen dos tipos de matriz triangular:

a) Triangular superior: cuando los elementos aij = 0 para i > j

A =

6000

5300

8210

4312

Programacin Lineal


b) Triangular inferior: cuando los elementos aij = 0 para i < j

A =

6734

0413

0052

0001

1.6.3. Matriz diagonal: La matriz diagonal es una matriz no nula donde slo los elementos de la diagonal principal pueden tener valores no nulos:

cij = 0 , i j

C =

7000

0300

0010

0002

1.6.4. Matriz escalar. La matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales es una ma-triz escalar.

bij = , 0

,k

ji

i = j

B =

300

030

003

1.6.5. Matriz identidad. Una matriz identidad (o matriz unitaria) es la matriz escalar cuyos elementos no nulos son iguales a la unidad. Se acostumbra identificar estas matrices con la letra mayscula "I":

iij = si 0 si 1,

, ji

i = j

I4 =

1000

0100

0010

0001

La matriz identidad posee las propiedades siguientes:

a) Cualquier matriz (o vector) multiplicada por una matriz identidad, da como resultado la mis-

ma matriz original: AI = A, IC = C.

Sean:

A =

12

04, I =

10

01

AI =

12

04

10

01 =

12

04 = A

Repaso de matrices


b) El producto con la matriz unitaria, en el caso de matrices cuadradas, posee la propiedad

conmutativa:

AmIm = ImAm = A

1.6.6. Matrices regulares y singulares.

Una matriz regular es aquella cuyo determinante es diferente de cero(1) :

L =

53

14

Una matriz singular es aquella cuyo determinante es nulo:

E =

987

654

321

1.7. Rango. El rango de una matriz est dado por el orden del determinante de mayor tamao (mayor or-den) contenido en ella y cuyo valor sea diferente de cero. El rango nos indica el nmero de vectores linealmen-te independientes contenidos en el arreglo.

Tomemos la matriz "E" mencionada arriba; su rango no podr ser de 3 puesto que el determinante de mayor orden (3 x 3) tiene valor nulo. Tenemos entonces, que buscar determinantes de menor orden (de 2 x 2) cuyo valor sea diferente de cero; si no lo hay, tendremos que continuar reduciendo el orden de una unidad. En este caso, seleccionando un determinante de orden 2 cualquiera del arreglo, encontramos un valor no nulo, y el rango de la matriz E ser entonces igual a 2:

4 6

7 9 = (4 x 9) - (6 x 7) = 36 - 42 = -6 rE = 2.

2. Operaciones con matrices.

2.1. Adicin. Es posible efectuar la adicin de dos o ms matrices, siempre y cuando sean del mismo or-den.

Ejemplo: Sean "A" y "B" dos matrices de orden (3x2) que deseamos sumar, y la matriz "C", resultado de la operacin, otra matiz del mismo orden. Los elementos de la matriz "C" se encontrarn sumando los elementos correspondientes de las matrices "A" y "B" ( cij = aij + bij ):

_____________

(1) Se recordar que el determinante de una matriz se identifica por la literal de la matriz entre dos lneas verticales (|A|), cuyo valor se obtiene si-

guiendo las reglas propias de los determinantes. Por ejemplo, sea la matriz cuadrada D =

635

321

214

, entonces, una forma de encontrar el de-

terminante sera:

| D | = (-1)1+2 (1)(6 - 15) + (-1)2+2 (2) (24 - 10) + (-1)3+2 (3) (12 - 2) = 7.

| E | = (45 + 96 + 84) - (105 + 48 + 72)

| E | = 225 - 225

| E | = 0

| L | = (20) - (-3)

| L | = 23

Programacin Lineal


A =

43

01

52

, B =

86

40

35

Entonces,

C = A + B =

43

01

52

+

86

40

35

=

129

41

27

La adicin de matrices posee la propiedad conmutativa ( A+B = B+A ) y la propiedad asociativa:

A + B + C = (A+B) + C = A +(B + C).

2.2. Resta. Las condiciones para que la resta (sustraccin o diferencia) de matrices se pueda efectuar son las mismas que para la adicin. Los elementos de la matriz resultante sern obtenidos por la diferencia de los correspondientes en las matrices originales: cij = aij - bij.

Ejemplo: Sean las matrices:

A =

26

84 y B =

17

53

entonces,

C = A - B =

26

84 -

17

53 =

11-

31

2.3. Multiplicacin o Producto. Para que el producto de dos matrices pueda efectuarse, es necesario que el nmero de columnas de la primera sea igual al nmero de filas de la segunda; de no ser as, la multiplicacin es imposible.

Si el orden de la primera matriz es "m x n" y el de la segunda "n x r", entonces la matriz resultante de la multiplicacin ser de orden "m x r" donde los elementos de la matriz resultante (cij) se encontrarn adicio-nando los productos individuales, elemento por elemento, de la fila "i" de la primera matriz con la fila "j" de la segunda:

cij =k

n

1

aikbkj mirj

,...,3,2,1,...,3,2,1

C =

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

. . .

. . .

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

11 12 13 1r

21 22 23 2r

31 32 33 3r

n1 n2 n3 nr

b b b b

b b b b

b

b b b b

. . .

. . .

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

b b b

=

11 12 13 1r

21 22 23 2r

31 32 33 3r

m1 m2 m3 mr

c c c c

c c c c

c c c c

c c c c

. . .

. . .

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

Repaso de matrices


Ejemplo: Sean las matrices

A =

51

20

43

y B =

14

52

entonces,

C = AB =

51

20

43

14

52 =

1018

28

1122

donde : c11 = a11b11 + a12b21 = (3) (2) + (4) (4) = 22

c12 = a11b12 + a12b22 = (3) (5) + (4) (-1) = 11

c21 = a21b11 + a22b21 = (0) (2) + (2) (4) = 8

c22 = a21b12 + a22b22 = (0) (5) + (2) (-1) = -2

c31 = a31b11 + a32b21 = (-1) (2) + (5) (4) = 18

c32 = a31b12 + a32b22 = (-1) (5) + (5) (-1) = -10

Las propiedades del producto de matrices son:

a) Asociativa: ABC = (AB) C = A (BC)

b) Distributiva: A(B+C) = AB + AC; (A+B) C = AC + BC

En el producto de matrices la ley conmutativa no es vlida ya que los requisitos para el producto no siem-pre se cumplen al conmutar las matrices y, en caso de que se cumplieran (productos de dos matrices cuadra-das), el resultado no sera el mismo, salvo en casos muy especiales, que se vern ms adelante. Tomando el ejemplo anterior, el producto C = AB es realizable, pero el producto BA es imposible Cul es la razn?

2.3.1. Producto de un escalar por una matriz. Al multiplicar una matriz cualquiera por un escalar "k" ( k), todos los elementos de la matriz se vern afectados por dicho valor.

Ejemplo: Sean

A =

015

9-3 y k = -1/3

entonces,

Ak = kA = (-1/3)

015

9-3 =

05-

31-

Programacin Lineal


Ntese que al multiplicar una matriz cuadrada por un escalar "k", su determinante, cuando existe, se ve multiplicado por "km".

3. Transformaciones elementales.

Las transformaciones elementales en matrices se pueden definir como aquellas que no alteran ni el orden ni el rango en las matrices transformadas; dichas transformaciones pueden hacerse en filas o en columnas. Para diferenciar las transformaciones en filas de las columnas utilizaremos la letra mayscula "H" para las pri-meras y la letra mayscula "K" para las segundas.

3.1. Intercambio de dos filas (o dos columnas). Al intercambiar dos filas (o dos columnas) utilizaremos el smbolo "Hij" (Kij).

Ejemplo: intercambiar la fila "l" con la "3" en la matriz "A":

A =

251

843

012

012

843

251

donde el smbolo "" denota la equivalencia de las dos matrices.

Ntese que esta transformacin no hizo variar ni el orden ni el rango de la matriz, sin embargo el deter-minante cambi su signo. En general, el determinante cambia de signo en cada intercambio de filas (o de co-lumnas), resultando con signo contrario si la cantidad de intercambios fue impar y con el mismo signo si fue par, as, si k es la cantidad de intercambios entonces el determinante de la matriz equivalente ser el deter-minante original multiplicado por (-1)k.

3.2. Producto de una fila ( o de una columna) por una constante "k".

Este producto lo simbolizaremos por Hi(k) (o por Ki (k) ).

Ejemplo: Multiplicar la fila 2 por el escalar 3 en la matriz "B"

D =

124

205

3612

205

Con este tipo de transformaciones el determinante cambia de valor multiplicndose por "k" en cualquier matriz cuadrada.

3.3. Adicin de una fila (o una columna) multiplicada por "k" a otra fila (a otras columnas). Representare-mos esta transformacin por:

"Hij(k)" (o por "Kij (k)" para columnas).

Ejemplo: Multiplicar la fila 1 por -5 y adicionarla a la fila 2 en la matriz "M":

M =

6514

15935

4231

6514

51120

4231

H13

H2 (3)

H21 (-5)

Repaso de matrices


En las matrices cuadradas este tipo de transformaciones no tiene ningn efecto sobre el determinante.

4. Matriz Inversa.

La inversa de una matriz es de gran utilidad en la solucin de sistemas representables en forma matricial; la matriz inversa viene a llenar el vaco que deja la ausencia de la operacin divisin en el lgebra matricial. Si recordamos nuestros cursos de lgebra elemental, el producto del elemento "a" por su inverso es igual a la unidad, que, por analoga, podemos hacer corresponder a la matriz identidad (la unidad en matrices): A A-1 = I

Si tenemos dos matrices cuadradas "A" y "B" y se verifica AB = BA = I, entonces "A" es la inversa de "B", y viceversa, "B" es la inversa de "A", representndose por:

A = B-1

B = A-1

Slo las matrices regulares poseen inversa, es decir que si su determinante es nulo, entonces no existir su inversa.

Existen varios mtodos para encontrar la inversa de una matriz, veremos algunos de ellos.

4.1. Mtodo de la Adjunta.

Sea la matriz cuadrada de orden 3:

A =

114

420

312

, cuyo determinante es: A = -20

El cofactor "ij" es el determinante menor complementario (o simplemente "menor", identificado por "Mij"), que resulta al eliminar la fila "i" y la columna "j", y multiplicndolo por (-1)

i+j para determinar su signo.

ij = (-1)i+j Mij

as los cofactores de la matriz "A" son:

11 = (-1)2

11

42

= 6 12 = (-1)

3 14

40 = 16 13 = (-1)

4 14

20

= -8

21 = (-1)3

11

31

= -4 22 = (-1)

4 14

32 = -14 23 = (-1)

5 14

12

= 2

31 = (-1)4

42

31 = -2 32 = (-1)

5 40

32 = 8 33 = (-1)

6 20

12 = -4

Llamaremos adjunta de una matriz o matriz adjunta a la transpuesta de la matriz de cofactores, y la identi-ficaremos por A+:

Programacin Lineal


A+ = [ji] =

11 21 31 ml

12 22 32 m2

13 23 33 m3

lm 2m 3m mn

. . .

. . .

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

Para nuestro ejemplo encontramos:

A+ =

428

81416

246

Para utilizar la adjunta en la obtencin de la inversa nos valdremos de la siguiente propiedad:

A A+ = A+A = A I

Esto significa que el producto de una matriz por su adjunta es una matriz escalar, cuyos elementos en la diagonal principal tienen el valor del determinante de la matriz original:

A+

A =

428

81416

246

114

420

312

=

2000

0200

0020

Tomemos de nuevo la relacin:

A+A = A I

Si posmultiplicamos ambos trminos por la inversa de A tenemos:

A+ A A-1 = A I A-1

Como (A A-1 ) = I y (A+ I) = A+, el trmino de la izquierda se convierte en A+, y el trmino de la derecha en

A A-1, puesto que I A-1 = A-1, por consiguiente tenemos:

A+ = A A-1

donde podemos fcilmente despejar A-1 dividiendo por el determinante (un escalar) en ambos lados de la igualdad:

A

1AA

1

lo que significa que se puede encontrar la inversa de una matriz dividiendo su matriz adjunta por el de-terminante. As, siguiendo con nuestro ejemplo tendremos:

Repaso de matrices


A-1 =

428

81416

2461

20 =

2.01.04.0

4.07.08.0

1.02.03.0

Lo anterior es vlido para toda matriz regular. Si A es una matriz singular, entonces la matriz A-1 no existe.

4.2. Mtodo Montante. El Mtodo montante, desarrollado por el Ing. Ren Montante y demostrando ma-temticamente por el Ing. Marco Antonio Mndez, ambos catedrticos de la UANL, encuentra el determinante y la adjunta de la matriz original al mismo tiempo. Para lograrlo, utiliza, en cada iteracin, operaciones de de-

terminantes de orden 2 en la matriz extendida A I :

A I AIA

presentaremos los pasos del algoritmo de una manera simplificada, ya que su demostracin no nos in-teresa de momento:

1. Formar la matriz extendida A I

Tomando la misma matriz del ejemplo anterior, la matriz extendida quedara de la manera siguiente:

A I =

100114

010420

001312

2. Seleccionar el elemento pivote (app) de la iteracin actual. ste ser un elemento de la diagonal princi-pal de la matriz "A". Si este elemento es cero, habr que efectuar una transformacin Hpj con una fila posterior

(j p), cuyo elemento ajp sea diferente de cero, en caso de no ser posible esto, se trata de una matriz singular (no posee inversa) y el mtodo falla.

Al efectuar una transformacin Hpj deberemos tomar en cuenta que a cada iteracin de este tipo, el de-terminante de la matriz cambia el signo.

Para nuestro ejemplo el pivote de la primera iteracin (con p = 1) es el elemento a11 = -2.

Despus de seleccionar el pivote para cada nueva iteracin la matriz extendida ser dividida en cuatro cuadrantes, tomando como referencia la fila y la columna p (pivote); nos ocuparemos slo de las operacio-nes para encontrar los nuevos elementos de los cuadrantes I y IV, pues los elementos de los cuadrantes II y III, a excepcin de la diagonal principal, siempre resultarn nulos.

3. Determinacin de la nueva tabla:

a) El rengln del pivote pasa igual a la nueva tabla.

b) Todos los elementos de la diagonal principal, hasta el pivote, toman el valor del pivote ac-

tual.

c) Los elementos restantes de todas las columnas, hasta la del pivote (inclusive) toman el valor

de cero. Tendramos, de acuerdo con estos dos incisos:

Programacin Lineal


m..., 3, 2, 1, ip ..., 3, 2, 1, j

j i si , 0 j i si ,aa ,

ppij*

d) Los elementos de los cuadrantes I y IV se obtendrn con la relacin:

a*ij = 1)1)(p(p

pjipppij

a

aaaa

(2)

donde:

a) a*ij: Elemento buscado de la nueva tabla en la posicin: fila "i" y columna "j".

b) aij: Elemento de la posicin "i,j" en la tabla actual.

c) app: Elemento "pivote actual", donde p = 1,2,3,....m.

d) aip: Elemento en la fila "i" y la columna pivote de la tabla actual.

e) apj: Elemento en la fila pivote y columna "j" de la tabla actual.

f) a(p-1)(p-1): Elemento "pivote anterior" en la tabla actual. Para la primera iteracin este "pivote

anterior" ser siempre igual a la unidad, es decir : a00 = 1.

Esta simbologa se podr apreciar mostrando una etapa intermedia del mtodo en la matriz siguiente:

mn1)m(pmp

pn1)p(ppp

3n1)3(p3p

2n1)2(p2p1)1)(p(p

ln1)1(p1p

a...aa...

...........

...........

...........

a...aa...

...........

...........

...........

a...aa...

a...aa...a

a...aa...a

00

00

00

0

01)1)(p(p

4. Si p m, regresar al paso 2. Si p = m, entonces podremos encontrar A-1 con la relacin (1):

A-1 = A+ 1

A

ya que que la ltima tabla obtenida en el procedimiento es A I A .

Aplicando el mtodo a nuestra matriz de ejemplo. El paso 1 y el paso 2 dan:

Repaso de matrices


IA =

100114

010420

001312

con app = a11 = -2

Entonces, aplicando los pasos 2, 3 y 4 hasta que se termine la iteracin donde p = m, es decir p = 3, tene-mos:

A I =

100114

010420

001312

2041420

020840

001312

Aqu utilizamos la relacin (2) con:

a*ij = 00

1jil11ij

a

aaaa

Como ejemplo:

a*22 =

00

12211122

a

aaaa =

1

)1)(0()2)(2( = -4

a*32 = 00

12311132

a

aaaa =

1

)1)(4()2)(1( = -2

a*34 = 00

14311134

a

aaaa =

1

)1)(4()2)(0( = -4

Continuando con las iteraciones se generan las tablas:

2041420

020840

001312

4282000

020840

012204

4282000

814160200

2460020

entonces: A = -20 y A+ =

428

81416

246

y por la relacin (1):

A-1 =

428

81416

2461

20 =

2.01.04.0

4.07.08.0

1.02.03.0

Programacin Lineal


4.3. Mtodo de Gauss-Jordan. Este mtodo, como el de Montante, requiere de la matriz extendida

A I , sobre la que se efectuarn transformaciones elementales en filas hasta encontrar una matriz identi-dad en el lado izquierdo, mientras que en el lado derecho aparecer la matriz inversa:

A I I A 1 .

Aparentemente este mtodo es ms sencillo que el de Montante, sin embrago, dicho mtodo no genera fracciones, mientras que el de Gauss-Jordan s las maneja.

Lo ms cmodo para las iteraciones es ir generando vectores identidad (unitarios) a partir del primero, obteniendo en primer lugar el uno y, por medio de l, los ceros correspondientes. Tomemos de nuevo la mis-ma matriz anterior para ilustrar este mtodo.

100114

010420

001312

100114

010420

002/12/32/11

102710

010420

002/12/32/11

100114

010210

002/12/32/11

12/12500

02/10210

04/12/12/101

5/110/15/2100

010210

04/12/12/101

5/110/15/2100

5/210/75/4010

10/15/110/3001

= I A 1

por consiguiente:

A-1 =

2.01.04.0

4.07.08.0

1.02.03.0

El lector podr comprobar este resultado efectuando la multiplicacin A A-1 o A-1A; en cualquier caso el producto tendr que ser la matriz "I"

4.4. Aplicacin en la solucin de sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse matricialmente por:

AX = H (3)

donde A es la matriz de coeficientes, de orden "m x n"; X es el vector de las variables (incgnitas), de or-den "n", y H es el vector de trminos independientes (constantes), de orden "m".

Si m = n, es decir, si la cantidad de ecuaciones es igual a la cantidad de variables, y si A es una matriz regu-lar, entonces, al premultiplicar (3) por A-1 tenemos:

A-1 AX = A-1H

H1(-12 ) H31(4) H2 (

12 )

H12( 12 )

H32(-1)

H3(1/5) H13(12 )

H23(2)

Repaso de matrices


Como A-1A = I, y cualquier matriz o vector multiplicado por la matriz unitaria da como resultado la misma matriz o vector, esta expresin queda:

X = A-1H (4)

Lo que significa que la solucin del sistema puede encontrarse al multiplicar la inversa de la matriz de coe-ficientes por el vector de trminos independientes.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

2x1 + 3x2 + x3 = 6

3x1 + x2 = 3

2x1 + 4x2 + 2x3 = 8

de donde:

A =

2 3 1

3 1 0

2 4 2

, X =

X

X

X

1

2

3

y H =

6

3

8

La inversa de A (encontrada por cualquiera de los mtodos) es:

A-1 =

4/72/12/5

4/32/12/3

4/12/12/1

Utilizando la relacin (4) para encontrar la solucin:

X =

4/72/12/5

4/32/12/3

4/12/12/1

8

3

6

=

2/1

2/3

2/1

que corresponde a:

x1 = 1/2 = 0.5

x2 = 3/2 = 1.5

x3 = 1/2 = 0.5

El resultado anterior se puede encontrar igualmente aplicando directamente los mtodos Gauss-Jordan y

Montante a la matriz extendida HA como veremos a continuacin.

4.4.1 Aplicando el mtodo Gauss-Jordan Hemos visto cmo encontrar la solucin de un sistema de ecua-ciones lineales al premultiplicar la matriz inversa de coeficientes con el vector columna de constantes. De he-cho, como se puede deducir al analizar los resultados del mtodo Gauss-Jordan aplicndolo en la bsqueda de la inversa de la matriz de coeficientes, para posteriormente realizar la multiplicacin mencionada, todas las

Programacin Lineal


transformaciones sufridas por la matriz original son transmitidas al vector de constantes1

Con lo anterior, notaremos que es ms directo remplazar, en la matriz extendida, la matriz I por el vector H, de modo que todas las transformaciones las sufrir ahora el vector de constantes directamente:

HA ~ ...~ *XI

4.4.2 Aplicando el mtodo Montante. Lo dicho en el punto anterior respecto a las transformaciones ele-mentales del mtodo de Gauss-Jordan es vlido en el mtodo Montante, as que lo aplicaremos directamente:

Partimos de la misma matriz extendida H A para llegar a la matriz *X A I A

HA =

8242

3013

6132

~

4220

12370

6132

~

2400

12370

3107

~

2400

6040

2004

y dividiendo el vector de la derecha por el determinante obtenemos finalmente:

X* =

2

1

2

3

2

1

5. Dependencia lineal de vectores

La Dependencia (o independencia) lineal de vectores es un concepto fundamental en la P.L.: Se dice que los vectores de un conjunto de mvectores del mismo orden,

X1 = 1n131211 x,...,x,x,x

X2 = 2n232221 x,...,x,x,x

X3 = 3n333231 x,...,x,x,x

Xm = mnm3m2m1 x,...,x,x,x

son linealmente dependientes si existen m elementos ki R de tal modo que:

k1X1 + k2X2 + k3X3 + ... + kmXm = 0

de lo contrario, los vectores sern linealmente independientes.

_____________ 1 Se invita al lector que aplique transformaciones elementales con filas a una matriz identidad, y la matriz resultante la premultipique con otra matriz

para comprobar lo dicho.

Repaso de matrices


Ejemplo: Sea el conjunto de vectores fila siguiente:

V1 = [1, -2, 1]

V2 = [2, 1, -1]

V3 = [7, -4, 1]

Para determinar si hay dependencia lineal basta formar con ellos un arreglo matricial y encontrar el rango de la matriz, mas no sabremos cul es la dependencia en caso de haberla. Una forma de encontrar dicha de-pendencia es efectuando transformaciones elementales de manera a formar vectores nulos:

147

112

121

)(

~

)(

7

2

31

21

H

H

6100

350

121

~

)( 232 H

000

350

121

Si continuamos con el proceso veremos que no es posible ya encontrar ms vectores nulos, por consi-guiente podemos expresar la dependencia lineal de acuerdo a las transformaciones elementales efectuadas para convertir V3 en un vector nulo.

Puesto que se trata de un arreglo de vectores linealmente dependiente, entonces podemos afirmar que la relacin mencionada al inicio: k1X1 + k2X2 + k3X3 + ... + kmXm = 0 se cumple, y que cualquiera de los tres vectores puede representarse como una combinacin de los otros dos. As, podemos aceptar que V3 se podr expresar en funcin de V1 y V2 como:

V3 = k1V1+ k2V2

Siguiendo las transformaciones elementales efectuadas sobre la matriz de los vectores tenemos:

3

2

1

V

V

V

)7(

~

)2(

31

21

H

H

13

12

1

7

2

VV

VV

V

~

)2(32 H

1213

12

1

2(27

2

VVVV

VV

V

=

000

350

121

Por consiguiente, la expresin vectorial a considerar es:

V3 7V1 2(V2 2V1) = 0

Simplificando:

V3 3V1 2V2 = 0

Por consiguiente:

V3 = 3V1 + 2V2

Sustituyendo V1 y V2 para demostrar lo anterior:

V3 = 3[1, -2, 1] + 2[2, 1, -1]

Programacin Lineal


V3 = [3, -6, 3] + [4, 2, -2]

V3 = [7, -4, 1]

Lo que queramos demostrar.

Ejercicio: Sea el conjunto de vectores fila siguiente:

V1 = [1, -2, 1, 2]

V2 = [2, 1, -1, 0]

V3 = [7, -4, 1, 2]

Son los vectores linealmente independientes?

Continuar...

Matrices Repaso

Documents

Transcript of Matrices Repaso