Repaso- Matrices

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Econometr´ ıa I Erix Ruiz Terminolog´ ıa Operaciones con Matrices Propiedades de Matrices Matriz Inversa y Determinante Matrices Particionadas Valores Propios y Vectores Propios Diferenciaci´onde Matrices Econometr´ ıa I Algebra Matricial Erix Ruiz UNAC 9 de mayo de 2011

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Vectores

VectorUn vector es una columna de numeros denotado como:

a =

a1a2...an

(nx1)

Transpuesta de un VectorLa transpuesta de un vector es una fila de numeros (vectorfila) denotada por:

a′=(a1 a2 . . . an

)(1xn)

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Matriz

MatrizUna matriz es un arreglo rectangular de numeros, la cual esta compuesta porlos elementos aij , donde i se refiere a la i-esima fila (i = 1, . . . ,m) y j serefiere a la j-esima columna (j = 1, . . . , n). Una matriz de dimension mxnpuede ser escrita como:

A = (aij)mxn =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

(mxn)

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Transpuesta de una Matriz

Transpuesta de una MatrizLa transpuesta de la matriz A = (aij)mxn, denotado por A

′, es la matriz

n×m obtenida de intercambiar filas y columnas de A, es decir:

A′= (aji)nxm

Ejemplo

A =

(2 −1 74 5 6

)(2x3)

;A′=

2 4−1 57 6

(3x2)

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Matriz Cuadrada

Matriz CuadradaUna matriz A es cuadrada si m = n, es decir, presenta el mismo numero defilas y columnas.

Ejemplo

A =

12 −17 97−21 31 −7552 −19 47

3x3

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Matriz Simetrica y Antisimetrica

Matriz SimetricaUna matriz cuadrada A es simetrica si A = A

′.

Ejemplo

A = A′=

5 2 02 8 −40 −4 −1

Matriz AntisimetricaUna matriz cuadrada A es antisimetrica si A

′= −A.

Ejemplo

A =

0 −4 14 0 2−1 −2 0

;A′=

0 4 −1−4 0 −21 2 0

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Matriz Diagonal y la Matriz Identidad

Matriz DiagonalUna matriz cuadrada A es una matriz diagonal si aij = 0 para todo i 6= j.

Ejemplo

A =

15 0 0 00 84 0 00 0 −15 00 0 0 43

4x4

Matriz IdentidadLa matriz identidad I es una matriz diagonal con todos los elementos de ladiagonal iguales a uno. Es decir:

aij =

1 si i = j

0 si i 6= j

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Operaciones con Matrices

a). Si dos matrices tienen la misma dimension, pueden ser sumadas orestadas.Sean A = (aij) y B = (bij) matrices de dimension m× n, entonces:

A+B = (aij + bij)A−B = (aij − bij)

Se cumple que:

A+B = B +A(A+B)

′= A

′+B

b). La multiplicacion de una matriz por un escalar esta definida como:

γA = (γaij)

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Operaciones con Matrices

c). Una matriz A de dimension m× n y una matriz B de dimension n× ppueden ser multiplicadas para obtener una matriz de dimension m× p. Elproducto de las matrices A y B esta definido como:

AB = (∑nk=1 aikbkj)

donde:∑nk=1 aikbkj es el elemento i, j de la matriz producto AB y se define

como: ∑nk=1 aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

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Operaciones con Matrices

Producto InteriorEl producto interior de dos vectores, a y b esta definido como a

′b = b

′a.

Dos vectores son llamados ortogonales si a′b = b

′a = 0.

Para cualquier vector a de dimension n× 1, excepto el vector nulo, se tiene

que a′a > 0.

Producto ExteriorEl producto exterior de un vector, aa

′, es una matriz de dimension n× n.

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Operaciones con Matrices

Ejemplo

A =

(1 2 34 5 0

);B =

1 23 40 5

AB =

(7 2519 28

);BA =

9 12 319 26 920 25 0

Si A es de dimension n× k y B es de dimension k × n, entonces AB y BAexisten y son de dimensiones n× n y k × k respectivamente.

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Propiedades de la Multiplicacion de Matrices

1. (α+ β)A = αA+ βA.

2. α(A+B) = αA+ αB.

3. (αβ)A = α(βA).

4. (A+B) + C = A+ (B + C).

5. (AB)C = A(BC).

6. A(B + C) = AB +AC.

7. (A+B)C = AC +BC.

8. IA = AI = A.

9. A+ 0 = 0 +A = A.

10. A−A = 0.

11. A0 = 0A = 0.

12. AB 6= BA; aun cuando ambos productos esten definidos.

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Propiedades de la Transpuesta de una Matriz

1. (A′)′= A.

2. (αA)′= αA

′.

3. (A+B)′= A

′+B

′.

4. (AB)′= B

′A′

para Amxn y Bnxk.

5. X′X =

∑ni=1 x

2i donde X es un vector de dimension n× 1.

6. Si A es una matriz de dimension m× n con filas dadas por los vectores a

de dimension 1×n, entonces se pueden escribir la matrices A y A′

como:

A =

a1a2...an

(mxn)

;A =(a′1 a

′2 · · · a

′m

)(nxm)

7. Si X es una matriz de dimension n× k, entonces X′X de dimension

k × k es simetrica.

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Traza de una Matriz

TrazaLa traza de una matriz es una operacion solo para matrices cuadradas. Paracualquier matriz An×n, la traza de la matriz A, denotada por tr(A) es lasuma de los elementos diagonales. Es decir:

tr(A) =∑ni=1 aii

Ejemplo

A =

17 5 839 8 −542 −3 −4

⇒ tr(A) = 17 + 8− 4 = 21

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Propiedades de la Traza de una Matriz

1. tr(In) = n.

2. tr(A′) = tr(A).

3. tr(A+B) = tr(A) + tr(B).

4. tr(αA) = αtr(A) para cualquier escalar α.

5. tr(AB) = tr(BA), donde A y B son matrices de dimensiones m× n yn×m, respectivamente.

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Propiedades de Matrices

Independencia LinealSea x1, x2, · · · , xr un conjunto de vectores (de dimension n× 1), estosvectores son linealmente independientes si y solo si:

α1x1 + α2x2 + · · ·+ αrxr = 0 (1)

implica que:

α1 = α2 = · · · = αr = 0

Si (1) se cumple para un conjunto de escalares tal que no todos son cero,entonces x1, x2, · · · , xr es linealmente dependiente.

El hecho de que x1, x2, · · · , xr sea linealmente dependiente es equivalente adecir que al menos un vector en este conjunto puede ser escrito como unacombinacion lineal de los otros.

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Propiedades de Matrices

RangoSea A una matriz de dimension m× n, el rango de una matriz A, rango(A),es el maximo numero de columnas linealmente independientes (l.i.) de A.

Si A es una matriz de dimension m× n y rango(A) = n, A tiene rangocompleto.

Si A es una matriz de dimension m× n su rango puede ser a lo mas n. Unamatriz tiene rango completo si sus columnas forman un conjunto linealmenteindependiente.

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Propiedades del Rango de una Matriz

1. rango(A′) = rango(A).

2. Si Anxm, entonces rango(A) = min(n,m).

3. Si Akxk y rango(A) = k, entonces A es no− singular, es decir, A esinvertible.

4. rango(A) = rango(A′A) = rango(AA

′).

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Matrices Inversas

Matriz InversaUna matriz A de dimension n× n , tiene una inversa denotada por A−1, talque A−1A = I y AA−1 = I.

En este caso, se dice que A es invertible o no− singular, en otro caso sedice que la matriz es no− invertible o singular.

Propiedades de la Matriz Inversa

1. Si una inversa existe, es unica.

2. (αA)−1 = 1αA−1, si α 6= 0 y A es invertible.

3. Si (AB)−1 = B−1A−1, si A y B son de dimension n× n e invertibles.

4. (A′)−1 = (A−1)

′.

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Matrices de Inversas

EjemploEn el caso de matrices diagonales y matrices de dimension 2× 2 las matricesinversas se obtienen directamente:

A =

a11 0 00 a22 00 0 a33

−1

=

a−111 0 0

0 a−122 0

0 0 a−133

A =

(a11 a12a21 a22

)−1

=1

a11a22 − a12a21

(a22 −a12−a21 a11

)donde: a11a22 − a12a21 es el determinante de la matriz A, det(A).

Si det(A) = 0, A es singular, es decir, sus columnas son linealmentedependientes, por lo tanto no tiene rango completo.

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Determinantes

Determinante de una MatrizSea A una matriz n× n. Sea Aij la (n− 1)× (n− 1) submatriz obtenida por eliminarla fila i y la columna j de A. Entonces el escalar:

Mij = det(Aij)

es denominado el (i, j)−esimo menor de A y el escalar:

Cij = (−1)i+jMij

es denominado el (i, j)−esimo cofactor. Entonces se cumple que:

Mij =

{Cij si i + j es par−Cij si i + j es impar

El det(A) se logra sumando los productos de cada elemento de la matriz con surespectivo cofactor, de cualquiera de las filas o columnas de la matriz.

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Determinantes

Ejemplo 1Para la matriz A de dimension 2× 2 y tomamos como referencia la fila 1, entonces:

det(A) = a11C11 + a12C12 = a11M11 − a12M12 = a11a22 − a12a21

Ejemplo 2Para la matriz A3x3 se tiene:

det(A) = det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11M11 − a12M12 − a13M13

donde:

M11 = det

(a22 a23

a32 a33

);M12 = det

(a21 a23

a31 a33

);M13 = det

(a21 a22

a31 a32

)

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Determinantes

TeoremaEl determinante de una matriz triangular inferior, triangular superior o diagonal es elproducto de sus elementos diagonales.

Ejemplo 1Para la matriz triangular superior A3x3 se tiene:

det(A) = det

a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33

= a11M11 − 0M12 − 0M13

det(A) = a11det

(a22 0a32 a33

)= a11a22a33

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Determinantes

TeoremaUna matriz es no singular si y solo si su determinante es distinto de cero.

TeoremaSea A una matriz cuadrada:

1. det(A′) = det(A).

2. det(AB) = det(A)det(B).

3. det(A+B) 6= det(A) + det(B).

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Determinantes

Matriz de Cofactores y Matriz Adjunta

1. Para cualquier matriz An×n, sea Cij el (i, j)−esimo cofactor de A. La matrizn× n cuya (i, j)−esima entrada es Cij se denomina matriz de cofactores de A.

2. Se define a la matriz adjunta de A, adjA, como la transpuesta de la matriz decofactores.

TeoremaSea A una matriz no singular (det(A) 6= 0), entonces:

1. det(A−1) = 1det(A)

adj(A).

2. La unica solucion x = (x1, x2, · · · , xn) del sistema lineal n× n, Ax = b es:

xi =det(Bi)

det(A)

donde Bi es la matriz construida reemplazando el lado derecho del sistema (vectorb) en la columna i de A.

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Sistema de Ecuaciones Lineales

Supongamos que queremos resolver el siguiente sistema de ecuaciones linealesn−dimensional:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

El sistema de ecuaciones se puede expresar de forma matricial como:a11 a11 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

.

.

....

. . ....

an1 an2 · · · ann

x1

x2

.

.

.xn

=

b1b2...bn

Es decir, el sistema se puede expresar como Ax = b, donde A es una matriz dedimension n× n, b es un vector n× 1 y x es el vector n× 1 de incognitas a resolver.

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Sistema de Ecuaciones Lineales

Si A−1 existe, se puede escribir:

A−1Ax = x = A−1b

para obtener la solucion.Si A no es invertible, el sistema de ecuaciones lineales tiene dependencias lineales, por lotanto existen dos alternativas:

1. Mas de un vector x satisface Ax = b (soluciones multiples) o ;

2. Las ecuaciones son inconsistentes (no existe solucion).

Si b es el vector nulo (cero), solo la primera opcion se mantiene.

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Formas Cuadraticas y Matrices Positivas Definidas

Forma CuadraticaSea A una matriz n× n simetrica. La forma cuadratica asociada con la matrizA es la funcion de variable real definida para todo vector xn×1.

f(x) = x′Ax =

∑ni=1 aijx

2i + 2

∑ni=1

∑j>i aijxixj

Matriz Positiva DefinidaUna matriz simetrica A se denomina positiva definida (p.d.) si x

′Ax > 0 para

todo vector xn×1, excepto el vector nulo.

Matriz Positiva Semi-DefinidaUna matriz simetrica A se denomina positiva semi-definida (p.s.d.) si

x′Ax > 0 para todo vector xn×1.

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Propiedades

a. Una matriz p.d. tiene todos sus elementos diagonales estrictamentepositivos, mientras que una matriz p.s.d. tiene elementos diagonales nonegativos.

b. Si A es p.d., entonces A−1 existe y es p.d.

c. Si X es de dimension n× k, entonces X′X y XX

′son p.s.d.

d. Si X es de dimesion n× k y rango(X) = k, entonces X′X es p.d.

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Matriz Idempotente

Sea An×n una matriz, entonces se dice que A es una matriz idempotente si ysolo si:

AA = A

Se puede demostrar que la siguiente matriz es idempotente.

A =

1 0 00 0 00 0 1

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Propiedades de Matriz Idempotente

Sea An×n una matriz idempotente:

a. rango(A) = tr(A).

b. A es positiva semidefinida.

c. Sea Xn×k una matriz con rango(X) = k (rango completo), se puedenconstruir las siguientes matrices P y M :

P = X(X′X)−1X

M = In − P = In −X(X′X)−1X

P y M son matrices simetricas e idempotentes, con rango(P ) = k yrango(M) = n− k.

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SubmatrizUna submatriz de Amxn es una matriz formada a traves de agrupar filas ocolumnas de A.

Matriz ParticionadaUna matriz particionada es una matriz que ha sido particionada ensubmatrices por lineas horizontales o verticales, las cuales se extienden a largode las filas o columnas de A.

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EjemploSea:

A =

a11 a12

... a13... a14 a15 a16

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

a21 a22... a23

... a24 a25 a26

a31 a32... a33

... a34 a35 a36

(3x6)

A puede ser escrita como:

A =

A11

... A12

... A13

· · · · · · · · · · · · · · ·

A21

... A22

... A23

Donde cada submatriz Aij es llamada bloque de A.

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Matrices Particionadas

Diagonal por BloquesSe denomina una matriz por bloques A a una matriz cuadrada que ha sidoparticionada como:

A =

A11 0 · · · 00 A12 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Akk

donde cada Aij es cuadrada y Aij = 0 para i 6= j.

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1. Sean A y B matrices m× n, particionadas de la misma forma, es decir:

A =

(A11 A12 A13

A21 A22 A23

);B =

(B11 B12 B13

B21 B22 B23

)donde A11 y B11 tienes las mismas dimensiones, A12 y B12 tienen las mismasdimensiones y asi sucesivamente.Entonces:

A + B =

(A11 + B11 A12 + B12 A13 + B13

A21 + B21 A22 + B22 A23 + B23

)2. Dos matrices particionadas A y C pueden ser multiplicadas (tratando los bloques

como escalares), si los bloques son de dimensiones tal que la multiplicacion dematrices de los bloques puede realizarse.

A =

(A11 A12

A21 A22

);C =

(C11 C12 C13

C21 C22 C23

)

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Entonces:

AC =

(A11C11 +A12C21 A11C12 +A12C22 A11C13 +A12C3

A21C11 +A22C21 A21C12 +A22C22 A21C13 +A22C3

)

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3. Sea A una matriz cuadrada particionada como:

A =

(A11 A12

A21 A22

)Donde A11 y A22 son submatrices cuadradas.Si A22 y la matriz D = A11 −A12A

−122 A21 son no singulares. Entonces

A es no singular y:

A−1 =

(D−1 −D−1A12A

−122

−A−122 A21D−1 D−1

)

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Sea A una matriz cuadrada.

Valor PropioUn valor propio de A es un numero r, el cual, cuando se sustrae de cada uno de loselementos diagonales de la matriz A, convierte a la matriz A en una matriz singular.Restar un escalar r de cada elemento diagonal de A es lo mismo que restar r veces lamatriz identidad, I, de A.Entonces, r es un valor propio de A si y solo si A− rI es una matriz singular, es decir:

det(A− rI) = 0

Para una matriz An×n, det(A− rI) es un polinomio de orden n en la variables r,denominado polinomio caracterıstico de A.

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Ejemplo

Para una matriz 2× 2 general, el polinomio caracterıstico es unpolinomio de segundo orden:

det(A− rI) = det

(a11 − r a12

a21 a22 − r

)=

r2 − (a11 + a22)r + (a11a22 − a12a21)

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Un polinomio de orden n tiene a lo mas n raıces, exactamente n si se toman en cuentaraıces con su multiplicidad y las raıces complejas. Asi, una matriz 2× 2 tiene a lo masdos valores propios; una matriz n× n tiene a lo mas n valores propios.

El hecho de que la matriz cuadrada A− rI es una matriz singular cuando r es un valorpropio de A significa que el sistema de ecuaciones (A− rI)v=0 tiene una soluciondistinta que v = 0.

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Vector PropioCuando r es un valor propio de A, un vector distinto de cero v tal que:

(A− rI)v=0

es llamado un vector propio de A correspondiente al valor propio r.

Del sistema de ecuaciones anterior, se puede observa que:

Av-rIv=0Av-rv=0Av=rv

Se exige que el vector propio sea distinto de cero porque v=0 es solucion de(A− rI)v=0 para cualquier r.

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Propiedades

1. Los vectores propios de una matriz simetrica son ortogonales, es decir

v′ivj = 0 para todo i 6= j.

2. Una matriz singular tiene almenos un valor propio igual a cero. Engeneral, el rango de una matriz simetrica corresponde al numero devalores propios distintos de cero.

3. Una matriz simetrica es llamada positiva definida si todos sus valorespropios son positivos. Es llamada positiva semi-definida si todos susvalores propios son no-negativos.

4. Un matriz positiva definida es invertible. Si A es positiva definida para

cualquier vector x no nulo, entonces se cumple que x′Ax > 0.

5. Para una matriz positiva semi definida y para cualquier vector x, se

cumple que x′Ax ≥ 0.

6. El determinante de una matriz simetrica es igual al producto de sus nvalores propios. Entonces si A es positiva definida, det(A) > 0.

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Diferenciacion de Matrices

Sea x un vector columna n dimensional. Si c tambien es un vector columna ndimensional, c

′x es una escalar. Consideremos c

′x como una funcion del

vector x. Entonces, podemos considerar el vector de derivadas de c′x con

respecto a cada uno de los elementos de x, esto es :

∂c′x

∂x = c

Es un vector columna con n derivadas con elemento tıpicos ci.

Generalmente, se tiene la funcion vectorial, f(x) = Ax (A es una matriz) y secumple que :

∂Ax∂x = A

El elemento en la columna i, fila j de esta matriz es la derivada del j-esimoelemento en la funcion Ax con respecto a xi.

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Diferenciacion de Matrices

Adicionalmente:

∂x′Ax

∂x = 2Ax

para una matriz simetrica A.

Si A no es simetrica, se tiene que:

∂x′Ax

∂x = (A+A′)x