MATRICES

MATRICES

Matrices origen y usosla teora de matrices, introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventarios en las fabricas; teora cuntica, en fsica; anlisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las operaciones militares y anlisis de datos, en sicologa y sociologa.

MatricesUna matriz es un arreglo rectangular de nmeros colocados entre parntesis, cuadrados o lneas dobles.

0 1 2 ,1 04 ,[1 , 2] -1 4 3 03

Una matriz se representa mayormente por parntesis o corchetes.En matemticas, una matriz es una ordenacin rectangular de nmeros, o ms generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicacin lineal y registrar los datos que dependen de varios parmetros. Las matrices se describen en el campo de la teora de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que tambin las hace un concepto clave en el campo del lgebra lineal.

TIPOS DE MATRICES

Tipo de matrizDefinicinEjemplo

FILAAquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1n

COLUMNAAquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m1

RECTANGULARAquella matriz que tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su orden mn ,

TRASPUESTADada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At AT

OPUESTALa matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

NULASi todos sus elementos son cero. Tambin se denomina matriz cero y se denota por 0mn

CUADRADAAquella matriz que tiene igual nmero de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.Diagonal principal : Diagonal secundaria :

SIMTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At , aij = aji

ANTISIMTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0

DIAGONALEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAREs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDADEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.

TRIANGULAREs una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONALUna matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 -1.

NORMALUna matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simtricas, antisimtricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSADecimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :AA-1 = A-1A = I

Para establecer las reglas que rigen el clculo con matrices se desarrolla un lgebra semejante al lgebra ordinaria, pero en lugar de operar con nmeros lo hacemos con matrices.

ORDEN DE UNA MATRIZ

Es el nmero que designa, en una matriz cuadrada, el nmero de filas o columnas.

Matriz numrica: Conjunto de nmeros colocados en filas y en columnas.

mxn

Matriz de orden (m,n): Conjunto de nmeros reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los nmeros que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posicin.

Subndices: Cada elemento tiene unos subndices que sirven para indicar su posicin dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna.

Orden de la matriz: El nmero de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz est determinado por un par de nmeros naturales; m y n.

figura 1.1

Las filas son los nmeros dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estara formada por los nmeros [ 1 2 3 ].Las columnas son los nmeros dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estara formada por los nmeros [ 1 1 4 6 ].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de nmeros dispuestos en m filas y n columnas.Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica as porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos sealar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posicin, la cual queda definida por su fila y su columna.Por ejemplo, si queremos dar la posicin del nmero 7 (figura 1.1), sera de la siguiente forma:am,n es a2,3m indica la fila en la cual se encuentra el nmero. Pasa exactamente lo mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.

DIAGONAL DE UNA MATRIZ

En lgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y stas pueden ser nulas o no. As, la matriz D = (di,j) es diagonal si:Ejemplo:

Toda matriz diagonal es tambin una matriz simtrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

CONDICION PARA SUMAR MATRICES

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensin, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensin que los sumandos y con trmino genrico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensin. La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo Propiedades de la suma de matrices A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) A + B = B + A (propiedad conmutativa) A + 0 = A (0 es la matriz nula) La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (A) = 0. La diferencia de matrices A y B se representa por AB, y se define como: AB = A + (B)