Matemáticas Universitarias

MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS

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Sesión No. 5

Nombre: Desigualdades lineales, cuadráticas y valor absoluto

Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante conocerá las

características y métodos de solución de una inecuación de primer y segundo

grado, la forma de expresar la solución a través de intervalos y las principales

diferencias con relación a las ecuaciones

Contextualización

Anteriormente trabajamos con la solución de las ecuaciones lineales y

cuadráticas en su forma de igualdad, ahora aprenderemos a resolver

desigualdades lineales y cuadráticas con una sola variable e introducir la

notación de intervalo.

Aprenderemos también a resolver ecuaciones y desigualdades que contengan

valor absoluto.

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Introducción al Tema

¿Qué es una desigualdad lineal?

¿Su solución será igual a la de una igualdad lineal?

Suponga que a y b son dos puntos sobre la recta de los números reales.

Entonces a y b coinciden, o a se encuentra a la izquierda de b o viceversa.

Si a y b coinciden entonces a = b. si a se encuentra a la izquierda de b, decimos

que a es “menor que” b y escribimos a<b, en donde el símbolo de desigualdad

es “<” se lee “es menor que”. Por otra parte, si a se encuentra a la derecha de b,

decimos que a es “mayor que” b escribiendo a>b. Los enunciados a>b y b<a

son equivalentes.

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Explicación

Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor que

otro.

Los símbolos de desigualdad son:

• “ < “ se lee menor que

• “ > “ se lee mayor que

• “ ≠ “ se lee diferente

• “ ≥ “ se lee mayor o igual que

• “ ≤ “ se lee menor o igual que

Reglas para las desigualdades

1. Si un mismo número es sumado o restado en ambos lados de una

desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la

original. En forma simbólica

Si a < b, entonces a+c < b+c y a-c < b-c

Por ejemplo: 7 < 10, de modo que 7+3 < 10+3

2. Si ambos lados de una desigualdad son multiplicados o divididos por el

mismo número positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido

que la original. En forma simbólica,

Si a < b y c>0, entonces ac < bc y 𝑎𝑐

< 𝑏𝑐

Por ejemplo, 3<7 y 2>0, de modo que 3(2) < 7(2) y 32

< 72

3. Si ambos lados de una desigualdad son multiplicados o divididos por el

mismo número negativo, entonces la desigualdad tendrá el sentido

contrario de la original. En forma simbólica,

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Si a<b y c>0, entonces a(-c) > b(-c) y 𝑎−𝑐

> 𝑏−𝑐

Por ejemplo, 4<7 pero 4(-2) > 7(-2) y 4−2

> 7−2

.

4. Cualquier lado de una desigualdad puede ser reemplazado por una

expresión equivalente. En forma simbólica,

Si a<b y a=c, entonces c<b

Por ejemplo, si x<2 y x=y+4, entonces y+4<2

5. Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos,

entonces sus recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo

de desigualdad con sentido contrario de la original. Por ejemplo, 2<4 pero 12

> 14

6. Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevamos cada lado a

la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el

mismo sentido que la original. Por lo tanto 0<a<b y n>0, entonces

𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 y √𝑎𝑛 < √𝑏𝑛

En donde suponemos que n es un entero positivo en la última desigualdad.

Por ejemplo, 4<9 y también que 42 < 92 𝑦 √4 < √9

Definición de desigualdad lineal

Un desigualdad lineal en una variable x es aquella que puede escribirse en la

forma ax+b<0,

Donde a y b son constantes y a≠0.

Ejemplo 1. Resolver 2(x-3) <4

Solución: reemplacemos la desigualdad dada por desigualdades equivalentes

hasta que la solución sea evidente.

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2(x – 3) < 4,

2x – 6 < 4 (regla 4)

2x -6 +6 < 4 +6 (regla1)

2x < 10 (regla 4)

2𝑥2

< 102

(regla 2)

x < 5.

Podemos escribir nuestra solución simplemente como x < 5 y representarla en

forma geométrica por el segmento de línea gruesa en la siguiente figura donde el

paréntesis indica que el 5 no está incluido en la solución.

Y en notación de intervalo será (-∞, 5) este intervalo indica que se extiende de

manera indefinida hacia la izquierda.

Tipos de intervalos

Existen otros tipos de intervalo. Por ejemplo, el conjunto de todos los números x

para los que a ≤ x ≤ b es llamado intervalo cerrado e incluye a los números a y

b, los cuales son llamados extremos del intervalo y es denotado por [a,b].

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Ejemplo 2. Resolver 32

(𝑠 − 2) + 1 > −2(𝑠 − 4)

Solución: 32

(𝑠 − 2) + 1 > −2(𝑠 − 4)

2 �32

(𝑠 − 2) + 1� > 2[−2(𝑠 − 4)] (regla 2)

[3(𝑠 − 2) + 2] > −4(𝑠 − 4)

3s – 4 > -4s +16

7s > 20

𝑠 > 207

(regla 2)

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La solución en intervalo es (207

,∞)

“La desigualdad (inecuación) cuadrática o de segundo grado:”

x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las

raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de

cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

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3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que

tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-∞, 2) (4, ∞)

Vitutor. (s.f.). Inecuaciones cuadráticas. Recuperado de: http://www.vitutor.net/2/9/inecuaciones_cuadraticas.html

Valor absoluto.

Ecuaciones con valor absoluto.

El valor absoluto de un número real x, escrito por |x|, está definido como

|𝑥| = � 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 �

Ejemplo 3: Resolución de ecuaciones con valor absoluto.

Resolver |x-3| = 2

Solución: esta ecuación establece que x-3 es un número que está a 2

unidades del cero. Por lo tanto,

x-3 = 2 o x-3 = -2

Resolviendo éstas se obtiene x = 5 y x = 1.

Desigualdades con valor absoluto.

La siguiente tabla muestra un resumen de las soluciones:

Desigualdad (d >0) Solución

|x| < d -d < x < d

|x| ≤ d -d ≤ x ≤ d

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|x| > d X < -d o x > d

|x|≥ d x≥ d o x ≤ d

Ejemplo 4: Resolución de desigualdades con valor absoluto.

Resolver |x-2| < 4

Solución: el número x-2 debe estar a menos de 4 unidades del cero. Del

estudio anterior esto significa que -4 < x-2 < 4. Podemos establecer el

procedimiento para resolver esta desigualdad como sigue:

-4 < x-2 < 4

-4+2 < x -2 +2 < 4+2 (sumando 2 a cada miembro)

-2 < x < 6

Así la solución es el intervalo abierto (-2,6). Esto significa que todos los

números reales entre -2 y 6 satisfacen la desigualdad original.

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Conclusión

En esta sección aprendiste a solucionar desigualdades lineales y cuadráticas y

anotando esta solución en notación de intervalo abierto o cerrado según sea el

caso. También estudiaste la manera de resolver ecuaciones y desigualdades

con valor absoluto. Todo esto con el uso de una sola variable.

La siguiente sesión aprenderemos a resolver ecuaciones lineales de más de una

variable a través de los sistemas de ecuaciones lineales y métodos de solución.

http://dimensionmatematica.blogspot.mx/2010/09/sistemas-de-ecuaciones-lineales.html

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Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Es de

gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

Importe artículo sobre las desigualdades con valor absoluto, con ejercicios para

elaborar.

Desigualdades con valor absoluto. (2013). En Universidad Nacional de

Colombia. Consultado el 3 de abril de 2013:

http://brd.unid.edu.mx/en-universidad-nacional-de-colombia/

Artículo que hace referencia a las características y al desarrollo de las

inecuaciones cuadráticas.

Inecuaciones cuadráticas. (2010). Consultado el 3 de abril de 2013:

http://brd.unid.edu.mx/inecuaciones-cuadraticas/

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Actividad de Aprendizaje

Aplicar los conceptos aprendidos en la sesión para resolución de inecuaciones o

desigualdades expresando dicha solución a través de su correspondiente

intervalo.

1.- 4x – 13 ≤ 7

2. -4x ≥2.

3. 2x – 3 < 4 + 7x

4. |x – 7| < 2

5. |5 – 2x|≤1

6. x2 + 5x + 6 > 0

7. –2x2 + 9x – 5 > 0

Sube la actividad a la plataforma.

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Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias

sociales y de la vida. México: Prentice Hall hispanoamericana, S.A.

Cibergrafía

Inecuaciones cuadráticas. (2010). Consultado el 3 de abril de

2013: http://www.vitutor.net/2/9/inecuaciones_cuadraticas.html