Matematicas III. Geometria y0 Trigonometria

Plan 2009

Matemticas IIIGeometra y Trigonometra

Jos Alfredo Jurez DuarteArturo Yl Martnez

Armando Flrez Arco

UAS/DGEP

Matemticas IIIGeometra y trigonometraPlan 2009

Jos Alfredo Jurez DuarteArturo Yl MartnezArmando Flrez Arco

Primera edicin, mayo de 2008Segundad edicin, agosto de 2014

Diseo de portada e interior: Jos Alfredo Jurez Duarte y Leticia Snchez Lara

Editorial: Servicios Once Ros EditoresRo Usumacinta 821 Colonia Industrial BravoCuliacn, Sin. Tel-fax: 712-2650

Edicin con fines acadmicos, no lucrativa.Tiraje 18000 ejemplares

Impreso en MxicoPrinted in Mexico

A mi querido nieto de seis aos, Jos Alfredo Jurez Valdespino, a quien para poder vivir,

el destino le ha impuesto desde el 15 de mayo del presente, pruebas muy difciles que debe superar cada

da, lo que hace esticamente, convirtindose a su corta edad, en un ejemplo de vida para todos.

VIII

Unidad 1RELACIONES ENTRE NGULOS. CONSTRUCCIONES

DE FIGURAS GEOMTRICAS BSICAS

1.1 Conceptos preliminares 51.2 Estudio de segmentos 101.3 Medicin de ngulos 131.4 Tipos de ngulos 191.5 La demostracin en geometra. Axioma, postulado y teorema 241.6 Descubrimiento y prueba en ngulos (1) 301.7 Descubrimiento y prueba en ngulos (2): ngulos entre paralelas 331.8 Construcciones geomtricas 37

Unidad 2TRINGULOS: PROPIEDADES

Y CRITERIOS DE CONGRUENCIA

2.1 Clasificacin y construccin de tringulos 472.2 Propiedades de los tringulos (1): ngulos interiores 532.3 Propiedades de los tringulos (2): tringulos issceles 572.4 Propiedades de los tringulos (3): tercer ngulo, ngulos exteriores y desigualdad triangular 612.5 Tringulos congruentes: definicin 652.6 Postulados o criterios de congruencia 672.7 Aplicaciones de los criterios de congruencia: partes correspondientes de tringulos congruentes 73

Unidad 3SEMEJANZA DE TRINGULOS

Y TEOREMA DE PITGORAS

3.1 Razones y proporciones 803.2 Definicin de tringulos semejantes 843.3 Postulados o criterios de semejanza 883.4 Medicin indirecta con tringulos semejantes 923.5 Teorema de Tales 943.6 Tringulos rectngulos: medias proporcionales y teorema de Pitgoras 97

Contenido

IX

matemticas iii geometra y trigonometra IX

IX

Unidad 4POLGONOS Y CIRCUNFERENCIA

4.1 Polgonos 1074.2 Cuadrilteros especiales 1104.3 Propiedades de los polgonos: ngulos interiores y exteriores 1134.4 Propiedades de los paralelogramos 1174.5 Propiedades de los paralelogramos especiales 1234.6 Propiedades de los trapecios 1274.7 Circunferencia y crculo. ngulos asociados a una circunferencia 1294.8 Propiedades de ngulos en una circunferencia 1324.9 Propiedades de rectas y segmentos en una circunferencia 1354.10 rea de paralelogramos, tringulos y trapecios 1374.11 rea y permetro: polgonos regulares, circunferencia y crculo 142

Unidad 5TRIGONOMETRA: APLICACIONES DE TRINGULOS RECTNGULOS

5.1 Razones trigonomtricas 1495.2 Razones trigonomtricas de tringulos especiales 1595.3 Determinacin de razones trigonomtricas y ngulos mediante calculadora 1625.4 Relaciones entre las razones trigonomtricas: ngulos complementarios y razones recprocas 1625.5 Resolucin de tringulos rectngulos 1645.6 Aplicaciones de la trigonometra 170

Unidad 6FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: APLICACIONES

DE TRINGULOS OBLICUNGULOS

6.1 ngulos de rotacin 1766.2 Radianes 1796.3 Definicin general de las funciones trigonomtricas 1856.4 Funciones trigonomtricas de ngulos mayores que 90 y negativos. Reduccin de ngulos 1896.5 Ecuaciones trigonomtricas sencillas 1966.6 Grficas de las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente 2026.7 Identidades trigonomtricas fundamentales 2076.8 Identidades trigonomtricas de suma de dos ngulos 2156.9 Ley de senos y Ley de cosenos 219

BIBLIOGRAFA 227

X

Presentacin

Estimado (a) profesor (a),Estimado (a) estudiante:

Les presentamos la segunda edicin del libro Matemticas III, destinado a estudiantes del tercer semestre de Bachillerato de la Universidad Aut-noma de Sinaloa. Matemticas III, es la asignatura en la que se estudia la geometra y la trigonometra. Con este estudio, se promueve que el estu-diante analice las caractersticas y propiedades de las figuras geomtricas planas, que le permitan plantear y resolver problemas que tienen que ver con la cuantificacin de magnitudes del espacio y propiedades fsicas de los objetos que lo rodean. Adems, debido a su naturaleza, la geometra es un magnfico recurso para el desarrollo de la creatividad, el pensamiento lgico inductivo y deductivo, el razonamiento crtico y la capacidad de comunicar, argumentar y estructurar mejor ideas. Asimismo, la geo-metra como modelo de disciplina organizada lgicamente, ofrece la oportunidad de explorar en la medida de lo posible, la estructura formal de las matemticas.Por lo anterior, Matemticas III favorece especficamente el desarrollo de las siguien-tes competencias disciplinares bsicas:

Competencia 1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la apli-cacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

Competencia 2. Formula y resuelve problemas matemticos aplicando diferentes enfoques.

Competencia 4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, ma-temtico y el uso de las tecnologas de la informacin.

Competencia 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemtica-mente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

Competencia 8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbo-los matemticos y cientficos.

En cuanto a las competencias genricas, Matemticas III promueve principalmen-te, el desarrollo de aquellas competencias relacionadas con las categoras se expresa

XI

matemticas iii geometra y trigonometra XI

XI

y comunica (competencia 4) y piensa crtica y reflexivamente (competencias 5 y 6), las cuales permiten expresar ideas y conceptos mediante representaciones matemticas, as como resolver problemas de una manera crtica y reflexiva. Adems, la gran rele-vancia que tiene el usar estrategias basadas en el trabajo colaborativo, permite incidir en el desarrollo de la competencia que a la letra dice: participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos (competencia 8).

Para el logro de estos objetivos, esta nueva edicin, al igual que la primera, enfa-tiza en la participacin activa del estudiante, para que descubra los conceptos y pro-piedades de los objetos geomtricos, observando, midiendo, imaginando, haciendo conjeturas, generalizando, deduciendo y justificando la validez de propiedades, pro-cedimentos y resultados. Para tal fin, se presentan actividades que estimulan la ex-perimentacin, el planteamiento de conjeturas y la bsqueda de explicaciones. De esta manera, se busca cambiar una enseanza focalizada en transmisin pasiva de informacin a travs de clases meramente expositivas y prctica memorstica, hacia una enseanza que ocupe ms a los estudiantes a travs de discusiones, aprendizaje cooperativo y actividades prcticas.

Concientes de que para lograr cabalmente estos objetivos, resulta de mucha ayuda el uso de tecnologa, un cambio importante en esta edicin consiste en la in-corporacin de instrucciones para empezar a utilizar el software libre denominado Geogebra.

Al igual que en la primera edicin, en el acercamiento que proponemos al razona-miento deductivo, se toman en cuenta las dificultades que encuentran los estudiantes cuando se enfrentan a demostraciones, tambin los problemas y desafos a los que se enfrentan los profesores cuando quieren situar las demostraciones como una cues-tin central en las clases de geometra. Es verdaderamente complicado lograr que los estudiantes sientan la necesidad de hacer una demostracin. sto, bsicamente se debe a que se necesita una cultura de la argumentacin que permee durante todos los ciclos escolares, y que no se limite a la clase de geometra. Para avanzar en esta cues-tin, la apuesta de este libro, es involucrar al estudiante (previo a toda demostracin deductiva), en el proceso de razonamiento inductivo mediante el ciclo investigativo de experimentar, observar, analizar y plantear hiptesis o conjeturas. Todo esto, con la ayuda de tecnologa, especficamente con el software Geogebra.

Debemos evitar al mximo, empezar enunciando la propiedad a estudiar, para dar la oportunidad de que el estudiante la descubra inductivamente, y hacerlo conciente, de que en matemticas, esta prueba no basta, puesto que las matemticas sostienen su poder y autoridad en el razonamiento deductivo como nico mtodo vlido para explicar y obtener conclusiones.

Atendiendo sugerencias de algunos profesores, en esta edicin se reescribi el tratamiento dado a las demostraciones, destacando cada una de las partes de ellas, y presentndolas a dos columnas y para evitar dar la idea de que basta aprender de memoria este proceso de escribir las demostraciones, recomendamos que previo a esta presentacin, se describa lo ms ampliamente posible, la red de conexiones en-tre conceptos y propiedades implicados.

jurez yl flrez presentacinXII

XII

Otro cambio importante se presenta en la unidad de Polgonos y circunferencia, consistente en usar la tecnologa para explorar las propiedades de tales figuras. Esta es una unidad de aprendizaje clave para consolidar el razonamiento geomtrico tan-to inductivo como deductivo. Las facilidades que proporciona el software Geogebra, para explorar objetos geomtricos, nos permite promover el desarrollo del razona-miento inductivo, mientras que la formalizacin de las conjeturas obtenidas, permite integrar muchas definiciones, postulados y teoremas ya vistos en las unidades ante-riores. En este escenario, mencin especial merece la aplicacin de los postulados de congruencia de tringulos, los cuales podrn consolidarse al aplicarlos en esta unidad.

En trigonometra, al asumir que cada estudiante cuenta con una calculadora cientfica, se ha omitido el uso de frmulas de reduccin para funciones trigonom-tricas de ngulos mayores que 90 o negativos. Sin embargo, siguen siendo motivo de aprendizaje los conceptos subyacentes a estas cuestiones. Bsicamente, esto es relevante, en aquellos casos en donde la calculadora slo presenta un valor como solucin, o lo que sucede con los valores negativos del seno y tangente, cuya solucin requiere de una interpretacin. Por ejemplo, si tan x = - 1, la calculadora proporcio-na como solucin x = - 45. En el caso de las identidades trigonomtricas de suma de ngulos, se siguen valorando como conocimiento indispensable para cursos ms avanzados, de tal forma que slo interesa que el alumno conozca cmo se obtienen, y la nica aplicacin que se exige, es la que se refiere a la obtencin de identidades para ngulos dobles y ngulos mitad.

Con respecto a la evaluacin, y ante la necesidad de que cada unidad de apren-dizaje que acrediten los alumnos, ha de tener como complemento las respectivas anotaciones de los avances que el estudiante ha tenido en el desarrollo de las deno-minadas competencias genricas, al final de cada unidad, se han incluido algunos instrumentos de evaluacin. stos se presentan como autoevaluacin, pero cada profesor puede asumirlos como instrumentos tanto para la evaluacin que el debe realizar, como para que promueva la coevaluacin. Cabe aclarar, que el orden en que aparecen estos instrumentos podra variar (a excepcin de lo que corresponde a competencias disciplinares). Debemos destacar, que en esta era de reforma, el apren-dizaje de contenidos de ninguna manera es un asunto secundario, por lo que, para atender el principio clave del aprendizaje de que los estudiantes deben saber cul es el objetivo de aprendizaje que deben aprender, hemos incluido al inicio de cada uni-dad de aprendizaje, indicadores de desempeo, con el objetivo adicional, de orientar al docente en su trabajo, as como a los alumnos en su autoevaluacin. Todas estas ideas deben verse como un primer aporte en aras de ir avanzado en la complejidad que implica el concretar un plan de evaluacin segn los nuevos estndares plan-teados en la reforma actual. Esperamos que sirvan para que cada profesor innove y comparta en este sentido.

En relacin al uso del libro en el saln de clase, reiteramos que un libro de texto, es un instrumento de enseanza para el profesor y un instrumento de aprendizaje para el alumno. El libro de texto debe estar diseado de tal manera que fomente el trabajo

XIII

matemticas iii geometra y trigonometra XIII

XIII

independiente de los estudiantes. Este fue un principio que orient el presente tra-bajo. Holmes plantea que la peor manera de ensear es hablar, y la mejor manera de aprender es hacer.

En esta idea, debemos tener muy en cuenta que: en el proceso docente-educativo el profesor debe ensear lo esencial, lo fundamental. Explicar aquellos aspectos bsicos de los cuales se pueden deducir todo un conjunto de elementos derivados, secundarios que no deben, por lo general ser explicados, para que los alumnos, los desarrollen de manera independiente. A la exposicin inicial se le debe dedicar el mnimo imprescindible del tiem-po y a la independencia escolar el mximo. Todo el contenido no debe ser expuesto por el docente, slo lo esencial, lo que posibilite que el alumno trabaje y forme la habilidad.

Bajo esta concepcin, el libro est basado en el desarrollo de actividades de aprendizaje con una estructura de andamiaje para que el alumno las realice de ma-nera independiente, con ayuda espordica del docente. Esta metodologa, aporta al logro de una competencia muy valorada en la reforma, que tiene que ver con la categora aprende de forma autnoma, y que tiene el siguiente enunciado: Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida (competencia 7).

En esta era de la informacin, todo libro nuevo es producto de muchos otros. Cada uno de los libros o materiales citados en la bibliografa, aportaron algo al pre-sente trabajo, desde una idea vaga, hasta una propuesta que slo requiri un ajuste.

Queremos agradecer a todos los profesores que durante algn ciclo de estos lti-mos cinco aos utilizaron la primera edicin de este libro. Mencin especial merecen por sus comentarios, sugerencias y revisin crtica, nuestros compaeros profesores Hctor Benjamn Jacobo Cabanillas, Carlos Jorge Cosso, Sandra Luz Navarrete Sa-rabia, Guillermo vila Garca, Ramn Chvez Valenzuela, Rodolfo Romero Lpez, Francisco Miln Carrillo y Armando Niebla.

Finalmente, les deseamos a todos los estudiantes y profesores muchos xitos en el estudio y esperamos que este libro les apoye en este propsito comn. Asimismo, agradecemos de antemano, los comentarios, sugerencias y crticas que tengan a bien hacernos llegar a la direccin: [email protected].

ATENTAMENTE

Culiacn Rosales, Sinaloa, julio de 2014.

los autores

2

Actividad preliminar Porqu es importante estudiar esta unidad

a) El siguiente enunciado que describe al planeta Tierra, aparece en un libro de Geografa de Primaria (la informacin relativa a segmentos, fue un agregado nuestro). Lelo con atencin.

La Tierra tiene forma aproximada de una esfera. Los puntos polares son puntos de interseccin de una rec-ta que pasa por el centro de la esfera con la esfera misma. Dicha recta se llama eje de la Tierra. El segmento que une los puntos polares es un dimetro de la Tierra y tiene una longitud de 12 732 km. El punto medio del dimetro, es el centro de la Tierra. La Tierra realiza el movimiento de rotacin que dura 24 horas y se da cuando el planeta gira sobre su propio eje, en direccin oeste a este. El eje terrestre no es perpendicular a la rbita terrestre, tiene un ngulo de inclinacin de 2327 con respecto a la perpendicular del plano orbital.

Relaciones entre ngulos.Construccin de figuras geomtricas bsicas

Competencia de unidadAnaliza las caractersticas y propiedades de segmentos y ngulos, inicindose en la argumen-tacin geomtrica, y aplica dicho conocimiento en la construccin de figuras geomtricas bsicas y en la solucin de problemas.

Indicadores de desempeo

Realiza construcciones geomtricas bsicas. Aplica la propiedad aditiva de segmentos y ngulos dibu-

jando diagramas como tcnica para resolver problemas. Realiza conversiones en el sistema sexagesimal (de grados a

minutos y segundos y viceversa). Realiza demostraciones deductivas de manera informal,

relativas a los ngulos opuestos por el vrtice, y a ngulos formados por dos rectas paralelas y una transversal.

Aplica las propiedades de los ngulos adyacentes, opues-tos por el vrtice y los formados por rectas paralelas y una transversal, para determinar las medidas de ngulos.

Resuelve problemas de su entorno utlizando las propieda-des de ngulos.

Competencias disciplinares a desarrollar1. Construye e interpreta modelos matemticos me-

diante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipo-tticas o formales.

4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o varia-cionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y el cono-cimiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

Actividad preliminar Por qu es importante estudiar esta unidad?

180 -a

a

31o31o

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unidad

En el texto anterior, se han utilizado trminos geomtricos para describir una situacin del mundo real.

En palabras de Galileo: El mundo est escrito en lengua matemtica; sus caracteres son tringulos, crcu-los y otras figuras geomtricas; sin esos caracteres (o signos) es humanamente imposible entender una palabra... El mundo, un libro!; sus letras, nmeros!; sus signos, figuras geomtricas!

En la primera unidad de este curso, recordars los conceptos geomtricos bsicos, muchos de los cuales ya estudiaste en cursos anteriores. Con tus conocimientos previos resuelve la actividad 1.

Actividad 1

En equipo realiza lo siguiente:

a) Muestra la informacin sobre nuestro planeta proporcionada arriba mediante un dibujo.

b) Investiga en libros de matemticas de primaria, y secundaria, el significado de al menos diez con-ceptos geomtricos. Debers reportar figuras y ejemplos.

c) Investiga la importancia que tiene la geometra en la arquitectura y en el arte en general.

A

D

C

BE

F

G

H

I

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Competencias genricas a desarrollar

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante diversos sistemas de representacin simblica.4.4 Maneja las tecnologas de la informacin y la comunicacin para obtener informa-

cin y expresar ideas, de manera responsable y respetuosa.5.6 Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar

informacin.5.4 Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez.5.5 Elabora conclusiones y formula nuevas interrogantes, a partir de retomar evidencias

tericas y empricas.6.2 Evalua argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sinttica.8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo,

definiendo un curso de accin con pasos especficos.8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera

reflexiva.1

relaciones entre ngulos. construccin de figuras... unidad i4

Qu tanto recuerdas de lo que estudiars en esta unidad?

Utiliza tus conocimientos previos para resolver el siguiente crucigrama, de ser necesario consulta el material de esta unidad y revisa tus respuestas.

Horizontales

4. Rectas que por ms que se prolongan nunca se cruzan.

5. Par de ngulos cuya suma de medidas es 180. 9. Puntos que se encuentran sobre la misma rec-

ta.10. ngulo que mide menos de 90.12. ngulo que mide 180.13. ngulo que mide 90.14. Razonamiento que consiste en observar da-

tos, reconocer patrones y hacer generalizacio-nes basadas en esos patrones.

15. Rectas que al cruzarse forman ngulos igua-les.

16. Par de ngulos que tienen un lado comn que los separa y los otros dos lados en una misma recta.

Verticales

1. Par de ngulos internos no adyacentes coloca-dos en distintos lados de una transversal.

2. Recta que pasa por el punto medio de un seg-mento y es perpendicular a l.

3. Punto que divide a un segmento en dos seg-mentos iguales.

6. ngulos que mide ms de 90 y menos de 180.

7. Rayo que parte del vrtice de un ngulo y lo divide en dos ngulos iguales.

8. Dados dos puntos, slo pasa una. 9. ngulos que tienen la misma medida.11. Razonamiento que consiste en mostrar que

ciertas afirmaciones son los resultados lgicos de hechos aceptados.

3

5

14

11

1

4

6

10

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matemticas iii geometra y trigonometra 5

1.1 Conceptos preliminaresEn esta leccin recordars algunos conceptos geomtricos que constituyen las bases para la construc-cin de todos el lenguaje geomtrico.

Punto. El concepto de punto es difcil de definir. Nos lo podemos imagi-nar como la marca ms pequea que se puede dibujar.

Los puntos se designan con una letra mayscula y se representan con un crculo pequeo, una cruz o por una raya como se muestra en las siguientes figuras.

El punto, como objeto o figura geomtrica, se considera que no tiene dimensiones y se usa para in-dicar una posicin en el espacio.

Aceptando la idea anterior de punto, se plantea la siguiente definicin:

A

Punto A

B

Punto B

r

sq

A

B

C

Punto C

Figura geomtrica, es un conjunto de puntos

Observa a tu alrededor e identifica seis figuras geomtricas. Dibuja stas figuras y al trazar los dibujos, imagnalas formadas por conjuntos de puntos.

Actividad 2

A continuacin recordaremos los significados de algunas figuras geomtricas bsicas.

Lnea. La lnea est constituida por una suce-sin continua de puntos. Nos la podemos ima-ginar como el trazo ms delgado que se puede dibujar.

Recta. Por dos puntos pasan cualquier nme-ro de lneas, pero nicamente una lnea recta pasa por ellos. En la siguiente figura, por A y B pasan las lneas q, r y s. La lnea q es una lnea recta. En lo sucesivo, para referirnos a una lnea recta, sim-plemente le llamaremos recta. Una recta es unidi-mensional.


Otras experiencias que sugieren la idea de recta pueden ser un hilo tirante, el borde de una regla, etc-tera.Para simbolizar a una recta, se utiliza una letra minscula (como la letra q), o bien, dos puntos de ella como se muestra a continuacin:

Debes tener presente las siguientes propiedades de las rectas:

Se considera que las rectas son ilimitadas por ambos extremos, y que no tienen espesor. La caracterstica de ser ilimitada por ambos extremos se puede indicar marcando flechas en cada extremo.

Se considera que dos puntos determinan una y slo una recta que contiene a dichos puntos.

Plano. Un plano, es una figura llana, lisa, sin grosor. Un plano, suele ser evocado por una hoja de papel apoyada sobre una mesa, la propia superficie de una mesa, el pizarrn, etctera. Un plano es bidimensional.

Espacio. Se considera el espacio como el con-junto de todos los puntos. Cualquier subconjunto de puntos del espacio se considera como una figu-ra geomtrica.

Slido. Un slido es un espacio limitado cual-quiera. Tiene tres dimensiones: longitud, ancho y altura. Un slido es tridimensional.

Para simbolizar a un segmento, se utilizan sus dos puntos extremos y una raya en la parte superior.

Puede observarse que AB y BA representan el mismo segmento de recta.

A

m

B

Un segmento de recta AB, es una parte de recta determinada por los puntos A y B y el conjunto de todos los puntos entre A y B. Los puntos A y B se llaman extremos del segmento.

longitud

altura

ancho

En palabras En smbolos Segmento AB AB

Segmento BA BA A

B

En palabras En smbolos Recta AB AB

Recta BA BA

Recta m mA

m

B


Observacin. Si A, B y C son puntos de la recta , como se muestra en la figura siguiente, se dice que el punto B est entre los puntos A y C. Asimismo, el punto D no est entre los puntos A y C.

Una semirrecta se designa con dos letras y una flecha en la parte superior. La primera letra es el extremo y la segunda letra es cualquier otro punto sobre la semirrecta. As que la semirrecta AB, abreviada AB, es la parte de la recta AB que contiene el punto A y todos los puntos sobre AB que estn del mismo lado del punto B.

En la figura, el punto B es el vrtice del ngulo; los lados son BA y BC.

Una forma de simbolizar un ngulo, consiste en utilizar tres letras maysculas, de las cuales la del vrtice va en-medio de las otras dos, que se colocan sobre los lados del ngulo. As, el ngulo de la figura anterior, se puede nom-brar ngulo ABC. En smbolos ABC o CBA.

Otras formas de denotar ngulos, sern estudiadas ms adelante. Para ayudarte a entender la siguiente definicin, observa cada una de las siguientes figuras y la informa-cin que se presenta.

Una semirrecta o rayo, es una parte de una recta que comienza en un punto y se extiende infinitamente en una direccin.

ngulo es una figura formada por dos rayos o semirrectas con un origen comn. Las dos semirrec-tas se llaman lados del ngulo. El origen comn se llama vrtice del ngulo.

En palabras En smbolos ngulo ABC ABC

ngulo CBA CBA

En palabras En smbolos Rayo o semirrecta AB AB A

B

A

B

Cl

AB

D

B C

A

A, B y C son puntos colineales. A, B y C no son puntos colinea-les.

A, B y C son puntos colineales, segn la recta imaginaria de tra-zos discontinuos.

A

CB

A

C

B

A

C

B


Ahora, observa las siguientes figuras y la informacin que se presenta.

A, B y C son puntos coplanares.A, B, C y D son no coplanares.

Trata de relacionar la actividad realizada, con las siguientes definiciones.Tres o ms rectas en el mismo plano son concurrentes si tienen un punto en comn (pasan por el mismo punto). Dos rectas son intersecantes si tienen un punto en comn.Dos o ms rectas en el mismo plano son paralelas, si nunca se intersectan.

A y B son puntos coplanares se-gn el plano imaginario de tra-zos discontnuos.

A, B, E y F son puntos coplana-res A, B y H son puntos copla-nares.

A B

C

DA

B

C

G H

DBA

E F

Dibuja cuatro rectas, de tal ma-nera que slo se crucen en un punto.

Dibuja cuatro rectas, de tal manera que al cruzarse dos o ms de ellas slo aparezcan tres puntos de cruce.

Dibuja cuatro rectas, de tal ma-nera que no se crucen en nin-gn punto.

Dibuja las cuatro rectas, de tal manera que al cruzarse dos o ms de ellas slo aparezcan cuatro puntos de cruce.

Dibuja las cuatro rectas, de tal manera que al cruzarse dos o ms de ellas slo aparezcan seis puntos de cruce.

Dibuja las cuatro rectas, de tal manera que al cruzarse dos o ms de ellas slo aparezcan cin-co puntos de cruce.

Puntos colineales son puntos que estn en la misma recta.

Puntos coplanares son puntos que estn en el mismo plano.

Actividad 3


1. Construye una lista de definiciones (un diccionario) en tu cuaderno. Cada vez que encuentres una nueva definicin geomtrica, adala a tu lista. Ilustra cada definicin con un dibujo. Tambin usa smbolos cuando as se requiera.

2. Observa la figura de la derecha y completa el cuadro.Puntos A,RectasSegmentos AD,Rayosngulos CDA,

3. De acuerdo a la figura de la derecha, escribe:a) Conjuntos de tres puntos colineales.b) Conjuntos de tres puntos no colineales.c) Conjuntos de cuatro puntos entre los cua-

les no haya tres que sean colineales.

4. De acuerdo a la figura de la derecha, escribe:a) Tres pares de rectas intersecantes.b) Tres rectas concurrentes.c) Todos los pares de rectas paralelas.

5. En la figura de la derecha {B, C, H, E} es un conjunto de cuatro puntos coplanares. Nom-bra otros dos conjuntos de cuatro puntos coplanares. Cuntos conjuntos de cuatro puntos coplanares hay?

6. Nombra el ngulo sealado en la figura. Cul es su vrtice? Cules son sus lados?

7. En la figura anterior, localiza el ngulo SMR y remarca sus lados.

A

D

C

BE

F

G

H

I

F

A

DE

CB

A

pFED

C

B q

trs

GFE

D

CBA

H

M

NS R

1.1 EJERCICIOS


1.2 Estudio de segmentosConsideremos el segmento AB representado en el siguiente cuadro:

A diferencia de la recta que se extiende indefinidamente, el segmento es una porcin limitada por dos puntos. Por tanto, a cada segmento le podemos asignar una medida llamada longitud del seg-mento, que es la distancia existente entre sus puntos extremos.

Recuerda que para referirnos al segmento AB, escribimos AB. Para referirnos a la medida o longitud de AB, escribimos AB (sin la barra superior).

Por ejemplo, si AB mide tres unidades, escribimos AB = 3

Si en el segmento AB, localizamos el punto C entre A y B, podemos establecer la propiedad aditiva del segmento que consiste en sumar las longitudes tal como se indica a continuacin.

La propiedads aditivia establece que: AB = AC + CB

Propiedad aditiva de segmentos. Si C est entre A y B, entonces AB = AC + CB.

Se dice que dos segmentos son congruentes cuando sus longitudes son iguales.

El signo para la congruencia es . Es importante recordar que el signo de igualdad es =, se usa entre nmeros o medidas iguales, mientras que el signo de congruencia, se usa entre figuras congruentes. Sin embargo, es muy frecuente llamar segmentos iguales a los segmentos congruentes.

En los dibujos geomtricos, las partes congruentes se sealan con marcas idnticos. En la figura siguien-te AB es congruente con DC. Puedes indicar que estos segmentos tienen las mismas longitudes en cua-lesquiera de las siguientes formas: AB DC, AB = DC.

A B

A B

A C B

A

B C

D

El punto medio de un segmento es un punto que divide el segmento en dos segmentos con-gruentes. El punto medio o cualquier recta que pase por l, se dice que biseca o bisecta al seg-mento.

El segmento AB es congruente con el seg-mento DC (en smbolos: AB DC,)


Si C es punto medio de AB, entonces AC = CB.

Las marcas iguales indican que los seg-mentos AC y CB, son congruentes.

Punto medio

A C B

Utilizaremos la definicin de punto medio, para recordar el significado de una proposicin si-entonces.Una proposicin lgica, es una oracin que afirma o niega algo de alguna cosa; en consecuencia puede ser calificada de falsa o verdadera. Para demostrar que una proposicin es falsa, puede citarse un con-traejemplo. Un contraejemplo, es un ejemplo que no cumple con lo indicado.

Si una proposicin es verdadera, nunca se encontrar un contraejemplo. Por ejemplo la siguiente propo-sicin no admite contraejemplos: Si dos rectas se intersectan, entonces esas dos rectas no son paralelas.

En cambio, la proposicin: Si tres rectas son concurrentes, entonces las rectas son paralelas, se puede demostrar que es falsa presentando tres rectas concurrentes y que por lo tanto no son paralelas.

Contraejemplo: La figura muestra tres rectas que son concurrentes y no son paraleas.

Una proposicin si-entonces es una proposicin de la forma si p, entonces q, donde p y q son pro-posiciones simples. A p se le llama hiptesis, y q es la conclusin. El smbolo p q (lase p implica q), se usa para representar una proposicin si-entonces. Muchas definiciones geomtricas describen proposiciones si-entonces.

Lee con atencin:

Cuando se invierten las partes si y entonces de una proposicin Si - entonces, se obtiene el inverso de la proposicin.

Ejemplo

proposicin si - entonces: Si C es punto medio de AB, entonces AC = CB.inverso de la proposicin si - entonces: Si AC = CB, entonces C es punto medio de AB

A C B


1.2 EJERCICIOS1. Agrega a tu diccionario los trminos de esta leccin, que consideres ms relevantes.

Para los ejercicios 2-8, completa cada oracin. Considera que PS = 3 cm.

2. El punto medio de PQ es _______________.

3. NQ =________.

4. Otro nombre para NS es __________.

5. S es el __________________de SQ .

6. P es punto medio de _______________.

7. NS ________.

8. Otro nombre para NS es _______.

9. Con base en la figura de la derecha, nombra todos los pares de segmentos congruentes. Usa el smbolo de congruencia para escribir tus respuestas.

10. Utiliza la figura de la derecha y los datos de cada inciso parea calcular x y la medida de TU.a) TU = 2x, UB = 3x + 1, TB = 21b) TU = 4x 1, UB = 2x 1, TB = 5x

11. En el siguiente segmento, M es punto medio de DB y DB = BC. Encuentra la longitud de DC si MB es igual a 8.

12. Si P es punto medio del AB, hallar el valor de x si AB = 20 y PB = 8x + 14.

PN

QS

L

N

O MK5 cm

5 cm

L U B

D M CB

A

B

C

Actividad 4

a) Haz un dibujo para indicar el siguiente hecho: El punto M, es punto medio del segmento PQ.

b) Con la informacin del inciso anterior completa la siguiente proposicin: Si M es punto medio de PQ, entonces_______________.

c) En la figura, si C es punto medio del segmento AB, AC = 3a + 8 y CB = 10a 6, encuentra el valor de AB.


Como hemos sealado, el ngulo es la figura geomtrica que resulta de la unin de dos rayos con un extremo comn. Los rayos se denominan lados, y el extremo comn, vrtice. En la siguiente figura, los lados del ngulo son BA y BC, y el vrtice es el punto B.

Recordemos que este ngulo lo denotamos como ABC o CBA. Sin embargo, en algunas ocasiones ser conveniente denotar ngulos de cualesquiera de las dos maneras siguientes:

1) Con la letra del vrtice si hay un slo ngulo que tenga este vrtice. As, el ngulo de la figura anterior, se nombrara ngulo B. (En smbolos: B).

2) Mediante una letra minscula o un nmero que se escribe entre los lados del ngulo en las proximidades del vrtice. As, el ngulo de la figura de la derecha se denominara ngulo 1. (En smbolos 1).

Para nombrar ngulos, con frecuencia se usan las letras del alfabeto griego. Recordemos algunas de estas letras: : alfa : beta : gamma : delta : theta : psilon

La medida de un ngulo depende de la extensin del plano que debe barrer uno de los lados del ngulo, cuando se le hace girar alrededor del vrtice hasta alcanzar la posicin del otro lado. El tamao de un ngulo no depende de la longitud de sus lados.

1.3 Medicin de ngulos

1

A

B C

Como unidad de medida habitual se usa el grado (). Un ngulo de una vuelta contiene 360. (Ver la figura de la de-recha). Por tanto, un grado es un ngulo que es 1 360del ngulo de una vuelta. Este grado, se llama grado sexa-gesimal.

1360

Para representar ngulos menores que 1 se utilizan unidades ms pequeas como son el minuto ( ) y el segundo ( )

1 = 60 minutos = 601 = 60 segundos = 60 1 = 3600


Generalmente, cualquier ngulo se representa por a b c , de tal manera que el nmero de minutos y segundos no sobrepase a 60, para tener una lectura nica de cada ngulo. La notacin 5 13 12 signi-fica 5 grados, 13 minutos, 12 segundos.

Conversin de grados a minutos y segundos.

a. Expresa 40.3 en grados y minutos.b. Expresa 23 27 nicamente en grados.c. Expresa 15 2040 nicamente en grados.

Ejemplo 1

a) 40.3 = 40 + 0.3 = 40 + (0.3 60) = 40 + 18 = 40 18

b) 2327 = 23 + 27 = 23 + (27 60) = 23 + 0.45 = 23.45

c) 15 2040 = 15 + 20 + 40 = 15 + 20 + (20 60) = 15 + 20 +0.67 = 15 + 20.67 = 15 + (20.67 60) = 15 + 0.34 = 15.34

Solucin

grados 60

3600

60

60 60

( ) mints.( )

segs.( )

Para convertir en sentido inverso, se divide.

segs.( )

mints.( )

mints.( ) grados

( )

Para realizar la medicin de ngulos se utiliza un transportador. En este caso, debemos tener presente que la unidad de medida es el grado sexagesimal ().

En la figura de la derecha, el transportador nos indica que el AOD mide 60. A continuacin se muestran las diferentes maneras de describir la me-dida del ngulo AOD de dicha figura.

1) AOD = 602) mAOD = 603) AOD = 60

Estrictamente, una cosa es el ngulo AOD cuyo smbolo es AOD, y otra la medida del ngulo, para la cual previamente debe elegirse la unidad de medida.Por tanto, para indicar que la medida del ngulo AOB es 60, debera usarse la notacin mAOD = 60 o AOD = 60. Sin embargo, con frecuencia tambin se escribe AOD = 60

0180

90

30

60120

150

E A

DC

B

O


La siguiente figura nos muestra cmo medir los ngulos de un tringulo. Utiliza tu transportador y cal-cula la medida de A, B, C.

Con base en la figura de la derecha, contesta correctamente:

AOD = _____ AOD = _____

DOC = _____ DOB = _____

AOC = _____ AOB = _____

Qu relacin existe entre AOD, DOC y AOC ? ____________________ Qu relacin existe entre AOD, DOB y AOB ? ____________________

Debes encontrar que: AOC = AOD + DOC, yAOB = AOD + DOB

Este hecho, se llama propiedad aditiva del ngulo.

Propiedad aditiva del ngulo. Si tres semirrectas AD, AC y AB tienen el vrtice A en comn, y el rayo AC est dentro del ngulo DAB, entonces el ngulo DAB es la suma de los ngulos DAC y CAB.

Actividad 5

A B

C

D

DAB = DAC + CAB

0180

90

30

60120

150

E O A

DC

B

0180

90

30

60120

150

A

0

180

9030 60

120

150

0

180

C

90

30

60

120150

B


Una vez discutido la medida de ngulos, podemos establecer el significado de congruencia de ngulos.

Si la semirrecta AC, de la figura anterior pudiera moverse, en un momento dado dividira al ngulo DAB, en dos ngulos congruentes.

Se dice que dos ngulos son congruentes cuando tienen la misma medida.

A es congruente con B.En smbolos: A B.

Observacin: Estrictamente debemos hablar de ngulos congruentes y de medidas de ngulos igua-les. Sin embargo, al igual que con los segmentos, usaremos como sinnimos ngulos iguales y ngulos congruentes. Por lo que, en la figura anterior, tambin se escribe: A = B.

36 36

A

B

Un rayo o semirrecta es la bisectriz de un ngulo si contie-ne el vrtice y divide el ngulo en dos ngulos congruentes. Tambin se dice, que la bisectriz biseca o bisecta al ngulo.

En la figura de la derecha, AC biseca al DAB, por lo que DAC CAB. Se utilizan marcas idnticas para mostrar que dos ngulos son congruentes.

C

D

A BDAC CAB

O N

ML

7060

Q R

U

S

T

a. Haz un dibujo y completa: Si PS es bisectriz de QPR entonces _________________.

b. Utiliza las siguientes figuras para contestar lo siguiente.

Busca las bisectrices de los ngulos y los ngulos congruentes en el diagrama de abajo.

Identifica y nombra todas las bisectrices que aparecen. Para cada bisectriz, nombra el ngulo que biseca. Nombra todos las parejas de ngulos congruentes que aparecen.

Actividad 6


Las rectas trazadas de esta manera, se llaman rectas perpendiculares.

En el cuadro de la derecha, se han trazado dos rectas que al cruzarse forman dos ngulos que miden 30 y 150.

Ahora, en el cuadro debers trazar dos rectas que al cruzarse forman dos ngulos que midan lo mismo.

Cunto miden esos ngulos?______________________

a) Escribe la definicin anterior como una proposicin si-entonces.

b) Escribe la inversa de la proposicin establecida en en el inciso anterior.

A partir de la definicin de ngulos iguales o congruentes, definiremos rectas perpendiculares.

Para indicar que la recta l es perpendicular a la recta m, escribimos: m

Dos rectas son perpendiculares si al intersectarse forman ngulos iguales o congruentes.

m

Actividad 7

Actividad 8

150 30


1. Ahora, repasa la leccin 1.3 y asegrate de anotar las nuevas definiciones en tu diccionario.

2. Transforma a minutos.

3. A cuntos grados y minutos equivalen 18.3?

4. Convierte a minutos y segundos .

Con la informacin de la figura de la derecha contesta los ejercicios de la 5 a la 9.

5. A es________________de BAE.

6. AD es______________ de BAE.

7. AD es ______________ de DAE.

8. Si BAC = 42, entonces CAE = ____

9. DAB _____

Para los ejercicios 10- 14, usa tu transportador para encontrar la medida de cada ngulo. Para una mejor lectura, puedes prolongar los lados de los ngulos.

10. mPRO 11. mORT

12. mO 13. mRTO

14. mATO

Para los ejercicios 15 -17, usa tu transportador para dibujar y marcar cada ngulo con la medida dada.

15. mMNO = 15

16. mRIG = 90

17. mz = 160

18. En la figura Si AOB = 27, calcular x.

19. En la figura, BE es bisectriz del ABD. Si ABE = 6x + 2 y DBE = 8x 14, encuentra ABE.

20. En la figura, BF biseca a EBG, ABC = 90, ABE = 20 GBC = 24. Cunto mide ABF?

1.3 EJERCICIOS

12

37

C

DA

B

E

O

P AR T

BO

2x

A

x- 3

C

A

B C

DE

F

C

E

B

A

G


a)

f)

b)

g)

c)

h)

j)

d) e)

i)

k)

1.4 Tipos de ngulosActividad 9

Mide cada uno de los siguientes ngulos y agrpalos como t consideres apropiado, indicando el cri-terio usado. Trata de recordar el nombre que recibe cada grupo de ngulos.

El cuadro siguiente, resume la clasificacin de ngulos segn su medida.

a) Un ngulo de 90 se llama ngulo rectob) Un ngulo menor que 90 se llama ngulo agudoc) Un ngulo mayor que 90 y menor que 180 se llama ngulo obtuso.d) Un ngulo de 180 se llama ngulo llano.

ngulo recto ngulo agudo ngulo obtuso ngulo llano

Usando la definicin de ngulo recto, se puede escribir otra definicin para rectas perpendiculares.

Dos rectas son perpendiculares si al intersectarse forman ngulos rectos.


Lee con atencin:

Cuando dos rectas se cruzan en un plano (cuando son intersecantes) forman cuatro ngulos de inters.

Estos ngulos, considerados en parejas, reciben el nombre de adyacentes o de opuestos por el vrtice.

Los ngulos adyacentes son aquellos que tienen un lado comn que los separa y los otros dos lados en una misma recta.

1 y 2 son adyacentes.

3 y 4 son adyacentes.

Dos ngulos son opuestos por el vrtice, cuando los lados de uno son la prolongacin de los lados del otro.

Dos ngulos son complementarios, si la suma de sus medidas es 90. Cuando dos ngulos son complementarios, se dice que el uno es complemento del otro.

1 y 3 son opuestos por el vrtice.2 y 4 son opuestos por el vrtice.

Observa la figura de la derecha. Son a y c opuestos por el vrtice? _____ Por qu? _____________ _________________________

1

2

3

4

Clasificacin de ngulos segn su posicin

1

2

3

4

1

2

3

4

dc

ba

Lee con atencin:

A

70

B 20

C

DE

F60

30

A y B son complementarios.CDF y FDE son complementarios.

Clasificacin de ngulos segn la suma de sus medidas.


Actividad 10

a) Escribe en la forma si-etonces, la siguiente definicin: Dos ngulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180.

b) Escribe la inversa de la propocisin que estableciste en a).

c) Plantear y resolver una ecuacin para encontrar:

d) Si A = x, cul es la medidad del complemento de A?

e) Si B= x, cul es la medidad del suplemento de A?

15030P Q

Completa correctamente: En la figura de la derecha, el comple-mento del AOB es el _________; el suplemento del AOB es el _____

AOD

B

C

1. Encontrar el suplemento de un ngulo de 67

2. Encontrar el complemento de 35

S

160 20R U

T

Completa.

Si 1 y 2 son complementarios, entonces ________________ Si 3 y 4 son suplementarios, entonces ________________

Dos ngulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180. Siempre que dos ngulos sean suplementarios se dice que el uno es suplemento del otro.

P y Q son suplementarios.RST y TSU son suplementarios (adems son adyacentes).

67 + x = 180 x = 180 - 67 x = 113

35 + x = 90 x = 90 - 35 x = 55

El complemento de un ngulo de 23 El suplemento de un ngulo de 123 El suplemento de un ngulo de 60 El suplemento de un ngulo de 153

El complemento de un ngulo de 17 El suplemento de un ngulo de 123 El suplemento de un ngulo de 60 El suplemento de un ngulo de 70


Actividad 11

En la figura de la derecha, localiza todos los pares de ngulos:

1. Opuestos por el vrtice

2. Correspondientes

3. Alternos internos

4. Alternos externos

5. Colaterales internos.

Lee con atencin:

Dos rectas y m cortadas por una transversal t forman ocho ngulos. Cuatro llamados internos: 3, 4, 5 y 6, y cuatro llamados externos: 1, 2, 7 y 8.

Clasificacin de ngulos segn su posicin en dos rectas cruzadas por una transversal

Parejas de ngulos correspondientes: Son dos ngulos no ad-yacentes situados del mismo lado de la transversal, uno interno y el otro externo. Hay cuatro parejas de ngulos correspondientes: 1 con 5, 4 con 8, 2 con 6 y 3 con 7.

Parejas de ngulos alternos internos: Son ngulos internos no adyacentes colocados en distintos lados de la transversal. Hay dos parejas de ngulos alternos internos: 3 y 5, 4 y 6.

Parejas de ngulos alternos externos: Son ngulos externos no adyacentes colocados en distintos lados de la transversal. Hay dos parejas de ngulos alternos externos: 1 y 7, 2 y 8.

Parejas de ngulos colaterales internos: Son ngulos internos no adyacentes colocados en el mismo lado de la transversal. Hay dos parejas de ngulos colaterales internos: 4 y 5, 3 y 6.

87

65

43

21

t

m

a

tm

f

e

dcb

hg


2. ____ Par de ngulos opuestos por el vrtice 3. ____ Par de ngulos suplementarios 4. ____ ngulo recto 5. ____ ngulo obtuso 6. ____ Par de ngulos congruentes 7. ____ Par de ngulos complementarios 8. ____ Par de ngulos adyacentes 9. ____ ngulos agudos 10. ____ ngulo bisecado 11. ____ Lneas paralelas 12. ____ Segmentos congruentes 13. ____ Lneas perpendiculares. 14. ____ Par de ngulos correspondientes 15. ____ Par de ngulos alternos internos

1. Ahora, repasa la leccin 1.4 y asegrate de anotar las nuevas definiciones en tu diccionario.

En los ejercicios 2-15, asocia el trmino implcito en cada figura con una de las preguntas mostradas abajo.

a)

i)

m)

e)

b)

j)

f)

c)

k)

n)

g)

d)

l)

h)

?

R

Q

P

1.4 EJERCICIOS

?l1

l290

?

mP = 68mY = 112

??

l3l4mA = 87

mX = 34mY = 45


La demostracin en geometra: axioma, postulado y teorema1.5

Uno de los principales propsitos que debes lograr en este curso de geometra es el de mejorar tu capaci-dad de razonamientro lgico. En este curso se estudiarn dos tipos bsicos de razonamiento: inductivo y deductivo.

El razonamiento inductivo es el proceso de observar datos, reconocer patrones, y hacer genera-lizaciones basndose en esos patrones. Una generalizacin basada en el razonamiento inductivo, se denomina conjetura.

Actividad 12a) El siguiente cuadro, muestra el nmero de ngulos que forman 1, 2, 3, 4 y 5 rayos con un vrtice

comn. Encuentra el patrn seguido entre el nmero de rayos y el nmero de ngulos formados y determina cuntos ngulos se forman con diez rayos con un extremo comn.

En la siguiente actividad utilizars el razonamiento inductivo.

Nmero de rayos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nm. de ngulos 0 1 3 6 10

b) En cada caso, mide el ngulo pedido:

A B C

D E

F

G O H

IJ

K

Los rayos BD y BF son bisectrices de los ngulos adyacentes ABE y CBE respectivamente. Mide el ngulo DBF cuyos lados son las bisectrices sealadas.

Los rayos OI y OK son bisectrices de los ngulos adyacentes GOJ y HOK respectivamente. Mide el ngulo IOK cuyos lados son las bisectrices se-aladas.

Establece una conjetura acerca del ngulo formado por las bisectrices de dos ngulos adyacentes.


Fig. B

1 2

3 Fig. C

1 3

2

Fig. A

3

c) Observa las siguientes ilustraciones. Usa un transportador y mide los ngulos interiores de las figu-ras A, B y C.

d) Mide los ngulos interiores 1, 2 y 3 de las figuras A, B y C. Registra tus resulta-dos en la siguiente tabla.

Cul es tu conjetura respecto a la suma de los ngulos interiores de todo tringulo?

Lee con atencin.

En la actividad anterior, buscaste similaridades, patrones, propiedades comunes y a partir de ellas esta-bleciste conjeturas. En este razonamiento se procede pues de lo particular a lo general. Desafortunada-mente, tal razonamiento no siempre nos conduce a resultados vlidos, pues esta conclusin inductiva o conjetura, es slo una proposicin tentativa de lo que parece ser cierto en lo general. As pues, las conclusiones a las que se llega mediante el razonamiento inductivo son slo probables y pueden ser refutadas por un contra-ejemplo. Para ilustrar sto, realiza la siguiente actividad.

FiguraAngulo 1 2 3 Suma

Figura AFigura BFigura C

Actividad 13a) Primeramente, debes recordar lo que es un nmero primo. Enlista los primeros 15 nmeros pri-

mos. _____________________________________________________________

b) Se asegura que la expresin n2 n + 41 produce numeros primos cuando se reemplaza n por 1, 2, 3, 4, ... Tu reto consiste en aceptar que esta afirmacin es vlida para todo nmero natural o en su defecto encontrar un contraejemplo. Escribe tu conclusin: _________________________

________________________________________________________________

La matemtica se ha desarrollado, gracias a infinidad de personas que han experimentado con muchas conjeturas que fracasaron y algunas otras que se verificaron. Una conjetura se ha verificado desde el punto de vista formal si se demuestra que es vlida en todos los casos, si se dan las mismas condiciones. La verificacin formal de una conjetura se logra mediante el denominado razonamiento deductivo.


El razonamiento deductivo es el proceso de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados lgicos de hechos aceptados.

Qu distingue a un razonamiento inductivo de uno deductivo? En un primer momento, es su-ficiente comprender que en el razonamiento inductivo tratamos con situaciones particulares y en el deductivo manejamos situaciones generales (algebraicas).

Sin embargo, el proceso de razonamiento deductivo requiere la aceptacin de unas cuantas conjeturas bsicas sin comprobarlas. Estas conjeturas aceptadas sin comprobacin, se llaman axiomas.

Un axioma es una proposicin que, siendo evidente, no requiere demostracin.

Por ejemplo, aceptamos sin demostracin que en los nmeros reales se cumple que a + b = b + a. A los axiomas tambin los denominaremos propiedades. Adems de referirnos a axiomas y propiedades, hablaremos de postulados. Un postulado es un axioma de naturaleza geomtrica. Se eligen como axio-mas y postulados, aquellas propiedades que sean ms obvias y aceptables. A continuacin se muestran algunos axiomas de uso frecuente en geometra.

Axiomas de los nmeros reales de uso frecuente en geometra Propiedad conmutativa Para cualesquiera nmeros reales a y b, a + b = b + a, y ab = baPropiedad distributiva Para cualesquiera nmeros reales a, b y c, a(b + c) = ab + ac.Propiedad del inverso multiplicativo

Para todo nmero real a 0, a(1/a) = 1.

Propiedades de la igualdadad de uso frecuente en geometra

Propiedad reflexiva Para cualesquiera nmero real a, a = a Propiedad simtrica Para cualesquiera nmeros reales a y b, si a = b, entonces b = aPropiedad transitiva Para cualesquiera nmeros reales a, b y c, si a = b y b = c, entonces a = c

(Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre s).Propiedad de la adicin y la sustraccin

Para cualesquiera nmeros reales a, b y c, si a = b, entonces a + c = b + c, y a c = b c.

Propiedad de la multipli-cacin y la divisin

Para cualesquiera nmeros reales a, b y c,si a = b, entonces ac = bc, y si c 0, a/c = b/c.

Propiedad de sustitucin Toda cantidad puede sustiruirse por su igual. Por ejemplo, si x + a = b y a = c, entonces x + c = b.


Ejemplos de postulados

Por dos puntos slo pasa una recta.

Dados un punto y una recta en un plano, hay exa-tamente una recta que pasa por el punto y es per-pendicular a la recta dada.

El todo es igual a la suma de sus partes.

AB = AC + CB BAD = BAC + CAD

BA

D C

A B

A C B

Caso imposible Caso imposible

Todas las dems conjeturas que pueden demostrarse como verderas con la ayuda de definiciones, axio-mas, postulados y la lgica del razonamiento deductivo, se llaman teoremas.

La verificacin formal de una conjetura mediante el ra-zonamiento deductivo, se denomina demostracin ma-temtica.

En el diagrama de la derecha, se distinguen los aspectos de la de-mostracin de un teorema. La hiptesis es la parte que se supone cierta, la tesis es la parte que se pretende demostrar mediante una secuencia de afirmaciones y razones. La demostracin de un teorema es un encadenamiento de proposiciones la verdad de las cuales se admite, sea como hisptesis, definicin, axioma, postu-lado o sea por haberse demostrado previamente.

A continuacin aplicaremos lo antes expuesto, para establecer un teorema sencillo que conecta los con-ceptos: ngulos adyacentes y ngulos suplementarios. Para empezar, realiza la siguiente actividad para que puedas llegar a una conjetura.

TesisHiptesis

Teorema

Demostracin

Afirmaciones justificadas

Actividad 14a) Dibuja dos parejas de ngulos adyacentes tales que los ngulos agudos midan lo mismo.

b) Cunto miden los ngulos suplementarios de cada pareja? __________________________

c) Si en la siguiente figura 1 = 2, qu podr asegurarse acerca de los ngulos 3 y 4? Establece una conjetura ________________________________________________

________________________________________________________________


Demostracin

Afirmaciones Razones o justificaciones1. 1 y 3, son suplementarios 4 y 1, son suplementarios2. 1 + 3 = 1803. 1 + 4 = 1804. 1 + 3 = 1 + 45. 1 + 3 = 1 + 4 3 = 4 Lo que se quera demostrar.

1. Por hiptesis. 2. Definicin de ngulos suplementarios.3. Definicin de ngulos suplementarios.4. Propiedad transitiva o sustitucin.5. Propiedad de la sustraccin.

3 1 4 2

Vamos a demostrar que tu conjetura es un teorema el cual se enuncia y demuestra a continuacin:

Teorema: Los ngulos suplementarios de ngu-los iguales, son iguales.

Hiptesis: 1 y 3, son suplementarios 4 y 1, son suplementarios

Tesis: 3 = 43

4

1

1

1.5 EJERCICIOS1. Agrega a tu diccionario los trminos de esta leccin, que consideres ms relevantes.

2. Resuelve el siguiente crucigrama

Si a = b, entonces b = a

1

3

Si a + c = b + c, entonces b = a

a(b + c) = ab + ac

Si a + b = c entonces b + a = c

Si a = b, c1 0entonces a b c c

=

2

4

5


3. En cada caso, escribe el nombre de la propiedad usada.

Proposicin Propiedada) Si a + c = b + c, entonces a = bb) m = mc) Si r = s y r = q, entonces s =qd) Si 1, entonces x = 15 3 e) Si 2x = 9, entonces x = 9 2

a) b) c) d) e)

A B C

D E

F

4. En el inciso b) de la actividad 12, exploraste y se te pidi establecer una conjetura la cual debe ser parecida a la siguiente:

Ahora, debers utilizar el razonamiento deductivo para demostrar formalmente esta conjetura. Com-pleta la siguiente demostracin:

Si los rayos BD y BF son bisectrices de los ngulos adyacentes ABE y CBE respectivamen-te, entonces BD BF .

A B C

D E

F

a bba

Afirmaciones Razones

1. BD es bisectriz de ABE 2. BF es bisectriz de CBE 3. ABD = a, DBE = a, 4. EBF = b, FBC = b, 5. DBF = a + b

6. a + a + b + b =_____ 7. 2a +2b =_____ 8. 2(a + b) =_____

9. a + b = = 90

10. DBF = a + b = 9011. BD BF Queda demostrado

1. Por hiptesis. 2. Por hiptesis. 3. Por hiptesis. 4. Por hiptesis. 5. Por la propiedad aditiva

del ngulo. 6. Por _______________ 7. Por _______________ 8. Por _______________ 9. Por _______________10. Por la propiedad de susti-

tucin.11. Por _______________ ___________________

1802


Observa los dos diagramas siguientes. En cada uno de ellos, se han marcado parejas de ngulos adyacen-tes. Cunto vale la suma de cada par de ngulos adyacentes?________

Trata de establecer una conjetura para los ngulos adyacentes.

Esta conjetura la aceptaremos como verdadera, por lo que podemos establecer la siguiente propiedad.

Con base en la figura completa las siguientes proposiciones.

Actividad 15a) Considera los siguientes pares de rectas intersecantes:

bc a

d

1.6 Descubrimiento y prueba de ngulos (1)

1 + 2 = ____ 3 + 4 = ____1

2

3

4

La suma de las medidas de los ngulos adyacenteses igual a__________

En otras palabras, los ngulos adyacentes forman un ngulo_______

a b

Propiedad de los ngulos adyacentes. Si dos ngulos son adyacentes, entonces la medida de los ngulos suman 180

a + b = ____a + d = ____

c + d = ____c + b = ____

B

A

E

DC

I

JG

FH

KL

N

O

M

En la siguiente actividad explorars a los ngulos opuestos por el vrtice.


Afirmaciones Razones o justificaciones

1. a y b, son opuestos por el vrticce2. a + m = 1803. b + m = 1804. a + m = b + m5. a + m = b + m = 180 a = bLo que se quera demostrar.

1. Por hiptesis.2. Forman un ngulo llano.3. Forman un ngulo llano.4. Propiedad transitiva o sustitucin.5. Propiedad de la sustraccin.

Vamos a demostrar que tu conjetura es un teorema el cual se enuncia y demuestra a continuacin:

Teorema: Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

Hiptesis: a y b, son opuestos por el vrtice.

Tesis: a = bab

b) En cada figura, mide cuidadosamente cada uno de los ngulos.c) Identifica la pareja de ngulos opuestos por el vrtice con sus respectivas medidas.

El DCE es opuesto por el vrtice al ACB, ambos miden _____ El ACD es opuesto por el vrtice al BCE, ambos miden _____ El FHI es opuesto por el vrtice al GHJ, ambos miden _____ El KLN es opuesto por el vrtice al MLO, ambos miden _____

ab

mEl m es un elemento auxiliar

Actividad 16Utilizando la figura de la derecha, demuestra que x = y

y

x

Demostracin


ca70

40

b

d

65s

33

y87 c

m

b

4.3.2.

6. 7.

8. 9.

110 cba

20 43a

5.

b66

42a

a138

cb

ed

132

d70c

ba

1. Agrega a tu diccionario los trminos de esta leccin, que consideres ms relevantes. En los ejercicios 2 - 9, encuentra cada ngulo marcado con una letra sin usar transportador.

En los ejercicios 10-15, indicar si cada oracin es verdadera siempre (S), algunas veces (A), o nunca (N)

10. _____ La suma de las medidas de dos ngulos agudos es igual a la medida de un ngulo obtuso.

11. _____ Si XAY y PAQ son opuestos por el vrtice, entonces ya sea X, A, y P o X, A, y Q son colineales.

12. _____ La suma de las medidas de dos ngulos obtusos es igual a la medida de un ngulo obtuso.

13. _____ La diferencia entre la medida del suplemento y el complemento de un ngulo es 90.

14. _____ Si dos ngulos son adyacentes, entonces son suplementarios.

15. _____ Si una oracin es verdadera, entonces la inversa es verdadera.

l6. Calcular la medida de los ngulos que se indican:

1.6 EJERCICIOS

25

100110 bac

ba

m = ____c = ____b = ____

s = ____y = ____


Lee con atencin los siguientes trminos informales que te ayudarn a identificar y comprender las pro-piedades de los ngulos entre paralelas.

Una sierra es una figura formada por dos segmentos paralelos entre s, conectados en uno de sus extra-mos por otro segmento.

Una escalera es una estructura formada por una recta y una familia de segmentos con origen en la rec-ta, situados todos al mismo lado de la recta, paralelos entre s.

Para ayudarte a identificar las propiedades que cumplen los ngulos asociados con sierras y escaleras, realiza la siguiente actividad.

1.7 Descubrimiento y prueba en ngulos (2): ngulos sobre rectas paralelas

a) Cmo se llaman los ngulos formados por una sierra? ________; los ngulos y se llaman _______

b) Cmo se llaman los ngulos formados por una escalera? ________; los ngulos y se llaman _______

c) En cualquier cartn dibuja un ngulo parecido al ngulo que se muestra:

Recorta el ngulo a travs de sus lados. Con la plantilla del ngulo que recortaste, dibuja varios ngulos congruentes apoyados sobre una recta.

d) Ahora, prolonga tanto como puedas cada recta 1, 2 y 3 Qu observas? _______________De manera inductiva podemos concluir que las rectas sealadas son paralelas.

Actividad 17

12

3

1 2 3


A continuacin argumentaremos de manera deductiva las conjeturas que se acaban de establecer. Para ello, debemos aceptar como vlida una, cualquiera de las tres conjeturas sobre rectas paralelas.

En este curso, aceptaremos como vlido que los ngulos correspondientes entre paralelas son iguales. Seguiremos los pasos ya conocidos.

Una vez establecido este postulado, se pueden demostrar las conjeturas restantes. Vamos a demostrar la conjetura de los ngulos alternos internos.

De otra manera, si formamos una escalera con un mismo ngulo, se forma una sistema de rectas pa-ralelas cruzadas por una transversal. Adems, en este sistema, se observa que los ngulos correspon-dientes son iguales.

e) Coloca la misma plantilla de tal manera que se formen las siguientes figuras.

Podemos concluir que: si formamos una sierra con un mismo ngulo, se forma un sistema de rectas paralelas cruzadas por una transversal. Adems, en este sistema, se observa que los ngulos alternos internos son iguales. Tambin, los ngulos alternos externos son iguales.

f) Usa tus hallazgos para completar las siguientes conjeturas: Si dos rectas paralelas son cortadas por una trasversal, entonces:

1) Los ngulos correspondientes son __________________________.2) Los ngulos anternos internos son __________________________.3) Los ngulos alternos externos son __________________________.

Postulado. Dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman con ella ngulos correspon-dientes iguales.


Afirmaciones Razones o justificaciones1. Las rectas y m son paralelas.2. a = b3. a = c4. b = cQueda demostrado.

1. Por hiptesis.2. Por ser opuestos por el vrtice.3. Por ser correspondientes entre paralelas.4. Propietarios transitiva o sustitucin.

Teorema: Dos rectas paralelas cortadas por una transver-sal forman con ella ngulos alternos internos iguales.

Hiptesis: la recta es paralela a la recta m. b y c, son alternos internos.

Tesis: b = c

bc

t

m

d

bc

at

mLos a y d son elementos auxiliares.

Ahora, para que consolides tus conocimientos, realiza la siguiente actividad.

Actividad 18a) Demuestra el siguiente teorema.

b) Completa la siguiente propiedad: Inverso de la propiedad de las paralelas: Si dos rectas son cortadas por una transversal para formar

un par de ngulos correspondientes iguales, ngulos alternos internos iguales o ngulos alternos externos iguales, las rectas son: ______________________

Teorema. Dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman con ella ngulos alternos externos iguales.

Demostracin


16. 17.

13. 14. 15.

a

c

54

b

a

c

65

d

ba

b54

1

285

25

1

l2

118

62

1.7 EJERCICIOS1. Agrega a tu diccionario los trminos de esta leccin, que consideres ms relevantes. En los ejercicios 2-6, usa la figura de la derecha para encontrar un ejemplo de cada trmino.

2. ngulos correspondientes.

3. ngulos alternos internos.

4. ngulos alternos externos.

5. ngulos opuestos por el vrtice.

6. Par de ngulos adyacentes.

En los ejercicios 7-12, usa la figura anterior para indicar si cada oracin es siempre (S), algunas veces (A), o nunca (N) verdadera.

7. ______ 1 3

8. ______ 3 8

9. ______ 2 y 6 son suplementarios.

10. ______ 7 y 8 son suplementarios.

11. ______ m 1 m 6

12. ______ m 5 = m 4

En los ejercicios 13-15, usa las propiedades de lneas paralelas para encontrar la medida de cada ngulo. Observacin: marcas iguales tipo flechas sobre rectas que aparentan ser paralelas, nos indican que s lo son.

En los ejercicios 16 - 17, usa las propiedades de lneas paralelas para determinar si o no 1 2

8765

4321


En geometra, construir una figura consiste en trazarla usando un comps y una regla no graduada. Es decir, cuando te pidan construir una figura, no debes usar herramientas de medicin.

Sigue las siguientes instrucciones que explican cmo trazar un segmento igual a otro. Repite el proceso en tu cuaderno.

Procedimiento:

1. Dibujamos una semirrecta ms larga que AB.

2. Con centro A, trazamos un arco y lo trasladamos al rayo dibujado. Si C es el extremo inicial del nue-vo segmento, y D el punto de cruce en el arco y la semirrecta, tenemos que AB = CD.

Ahora, trata de comprender el proceso de trazar un ngulo igual a otro usando una regla no graduada y comps. Repite el proceso en tu cuaderno.

Procedimiento:

1. Dibujamos una semirrecta ms larga que AB.

2. Con centro A, trazamos el arco 1 y lo traslada-mos al rayo dibujado. Si C es el extremo inicial del nuevo rayo, y D el punto de cruce del arco y la semirrecta, tenemos que AB = CD.

3. Con centro en B, trazamos el arco 2 y lo traslada-mos al lado dibujado.

A continuacin aprenders a construir la bisectriz de un ngulo. Repite todo el proceso.

Procedimiento:

1. Con centro en el vrtice A del ngulo, se traza el arco l.

2. Con centro en B y C, y con la misma abertura del comps, se trazan los arcos 2 y 3.

Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es una recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular al segmento.

La recta m es la mediatriz de AB.Si m es mediatriz de AB, entonces m es perpen-dicular a AB y C es punto medio de AB.

1.8 Construcciones geomtricas

A

B

CD

AB = CD

12

A B

C3

21

A B

12

C D

AB

m

C


A

BR

QP

Tu conjetura debe ser parecida a la siguiente.

Enseguida, se explica cmo construir la perpendicular a una recta desde un punto que no est sobre la recta.

Procedimiento:1. Dibuja una recta y un punto P, que no est sobre la recta. Con la punta del comps apoyada en el

punto P, traza dos arcos sobre la recta. Rotula los puntos de interseccin con A y B.

Actividad 19Rotula los extremos del segmento con las letras A y B. Co-loca tres puntos (P, Q y R) sobre la mediatriz y usa tu com-ps para comparar las distancias PA y PB, QA y QB, AR y RB. En cada caso, debes encontrar que las distancias son iguales. Establece una conjetura.

Conjetura de la mediatriz. Si un punto est sobre la mediatriz de un segmento, entonces es equidistante con respecto a los extremos.

Para trazar la mediatriz de un segmento, sigue el siguiente pro-cedimiento.

1. Con una abertura del comps mayor que la mitad del seg-mento y con centro en A, se trazan los arcos 1 y 2.

2. Con la misma abertura del comps y con centro en B, se trazan los arcos 3 y 4.

3. Al trazar la mediatriz, se obtiene el punto medio M del segmento.

Realiza la siguiente actividad para que descubras una propie-dad importante.

BA

A M

1 3

2 4

B


Conjetura de la distancia ms corta. La distancia ms corta de un punto a una recta, se mide a lo largo del segmento perpendicular, desde el punto a la recta.

La distancia de un punto a una recta, es la longitud del segmento perpendicular que va del punto a la recta. As, en la figura anterior, la distancia del punto P a la recta l es PM.

Observa que PA = PB, as que el punto P est sobre la mediatriz de AB. Usa la construccin que aprendiste en la actividad 3 para cons-truir la mediatriz de AB. Rotula el punto de interseccin como M. De esta manera, se ha construido una perpendicular a una recta desde un punto que no est sobre la recta.

Utilizando el concepto de perpendicularidad, estableceremos dos propiedades importantes. Realiza la siguiente actividad.

Tus observaciones deben conducir a la siguiente conjetura.

Por ltimo, aprenders a trazar una paralela a una recta.

Procedimiento:1. Por el punto P se traza la recta PA que corte a la recta dada en B.2. Se traza en P el 1 igual al PAB.

Por el criterio del paralelismo las rectas son paralelas.

Asimismo, se plantea la siguiente definicin.

Actividad 20Elige cualesquiera tres puntos sobre AB y rotlalos como Q, R, y S. Mide PQ, PS y PR. Qu distancia es la ms corta?

A

B

1P

P

BAM

P

BAM

SRQ


1. Agrega a tu diccionario los trminos de esta leccin, que consideres ms relevantes. En los ejercicios 2 - 3, considera el segmento PQ.

2. Construye un segmento congruente con PQ.3. Al semento trazado en 2, trzale su mediatriz. En los ejercicios 4 - 5, usa el ngulo A de la derecha.4. Con regla y comps, construye un ngulo congruente con A.5. Traza la bisectriz del A. En los ejercicios 6-7, considera la recta y el punto P.6. Con regla y comps, traza una perpendicular a la recta que pase por P.7. Con regla y comps, traza una paralela a la recta que pase por P.

Indagando con ayuda de la tecnologa!

La exploracin, el planteamiento de conjeturas y la bsqueda de ex-plicaciones, son actividades que se facilitan con el uso de tecnologa. Geogebra, es el nombre de un soft-ware libre, que te ser de mucha ayuda en tu trabajo con objetos geomtricos. Tu primera actividad con tecnologa, consistir en lo si-guiente:

1. Descarga el software geogebra; puedes hacerlo desde la direccin: http://www.geogebra.org/cms/es/download/

2. Explora todos los mens del software. Haz clic en ayuda, luego en tutoriales y, por ltimo, clic en gua rpida. De esta ltima, slo revisa por el momento, las tres primeras pginas.

3. Ahora, entra a la siguiente direccin electrnica, que corresponde a un video sobre el geogebra.https://www.youtube.com/watch?v=uAvGn6Toh6g

4. Demuestra lo que aprendiste trazando segmentos , rectas, semirrectas, ngulos. Determina el punto de interseccin entre objetos, determina longitud de segmentos y medida de ngulos.

Q

P

1.8 EJERCICIOS

A

P

UtilizaGeoGebra


Construir con geogebra, un ngulo congruente a uno dado.

1. Usa la opcin semirrecta y construye un ngulo cualquiera (slo etiqueta los puntos A y B).

2. Usa la opcin semirrecta y traza una tercer semirrecta que inicie en C.

3. Usa la opcin circunferencia, clic en A y en B.

4. Usa la opcin interseccin para encon-trar el punto D.

5. Usa la opcin comps, da clic en A y en B y trasldolo a la semirrecta dando clic en C.

6. Usa la opcin interseccin para encon-trar el punto E.

7. Usa la opcin comps, clic en B y D y trasldalo dando clic en E.

8. Encuentra la interseccin F, y traza una semirrecta por C y F.

9. Oculta los objetos de tal manera que slo quede el ngulo igual al ngulo dado.

C

C E

A B

D

A B

DF

C E

F

C E

A B

Construir con Geogebra, un segmento congruente a uno dado.

1. Usa la opcin segmento y traza un segmento.

2. Usa la opcin semirrecta y traza una semirrecta.

3. Usa la opcin comps, da clic de manera sucesiva en cada uno de los extremos del segmento. Sin soltar el ratn, arrastra el crculo (hace las veces de comps) y coloca su centro en el extremo inicial de la semirrecta y da clic.

4. Usa la opcin interseccin, da clic en el crculo y en la semirrecta. Aparecer el segundo extremo del nuevo segmento que es una copia del segmento dado.

5. Verifica que los segmentos son iguales usando la op-cin distancia.


Es momento de que te autoevales. Esta autoevaluacin consta de tres partes: en la primera y se-gunda parte, debers valorar algunos indicios de logro de tu competencia matemtica, y en la terce-ra, debers aportar algunos indicios sobre tu logro en competencias genricas.

Parte I. Logro de competencias disciplinares.

Competencia 8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.Instrucciones: Con el objetivo de que demuestres tus avances en el logro de la competencia 8, contesta correcamente las cuestiones 1 a 3.1. Con base en la figura de la derecha identifica:

a) Un punto medio: _________ b) Dos segmentos:_________c) Una mediatriz:_________ d) Dos semirrectas:_________e) Una recta:_________ f) Tres ngulos:_________ g) Bisectriz:_________

2. Con base en la figura adjunta, identifica:a) Un suplemento de 1 b) Un suplemento de COBc) Un complemento de 2 d) Dos rectas perpendiculares.e) Dos ngulos obtusos f) Dos ngulos agudosg) Un ngulo llano

3. Con base en la figura ctense:a) Un par de ngulos alternos internos que incluyan al 2 b) Un par de ngulos opuestos por el vrticec) Todos los pares de ngulos correspondientes.

Competencia 2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

Competencia 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

Instrucciones: A continuacin, para que demuestres tus avances en el logro de las competencias 2 y 6, resuelve el siguiente problema.

Dos ciudades necesitan un servicio adicional de agua. Se decidi construir una planta purificadora de agua junto a un ro cercano y canalizar el agua desde la planta hasta cada ciudad. Cada ciudad pagar la instalacin de las tu-beras que irn de la planta a ella. La planta debe ubicarse a la misma distancia de las dos ciudades. Qu conceptos geomtricos nos permite resolver este problema? Median-te una construccin geomtrica determnese el punto en que debe colocarse la planta para satisfacer estos objetivos.

A O B

DC

E

1 2

1 2 3 45 6 87

AUTOEVALUACIN 1

A

B

D

C

E

F

Ciudad B

ro

Ciudad A


Parte III. Saber ser: Puntualidad y actitud:

instrucciones: A continuacin valora tu desempeo colocando una en la puntuacin que refle-ja tu desempeo segn los siguientes indicadores que apuntan al logro de competencias genricas:

Parte II. Saber conocer y saber hacer:

instrucciones: Para que valores tus logros segn los indicadores de desempeo, coloca una en en la celda de la derecha en cada indicador y calcula el total.

DesempeoSiempre

(3)Algunas veces

( 2) Nunca

(1)Llegu puntualmente a las clases.Mostr un comportamiento aceptable en el grupo.Mostr capacidad de trabajo independiente. Realic las actividades establecidas. Mantuve una actitud de respeto y tolerancia hacia el trabajo en equipoAport puntos de vista con apertura y consider los de mis compaeros de manera reflexiva.Entregu cada uno de los trabajos encomendados en fechas acordadas.

DesempeoBueno

(3)Regular

( 2) Malo(1)

Realizo construcciones geomtricas bsicas.Aplico la propiedad aditiva de segmentos y ngulos, con dibujos de diagramas como tcnica para resolver problemas.Realizo conversiones en el sistema sexagesimal (de grados a minutos y segundos y viceversa).Realizo demostraciones deductivas de manera infor-mal, relativas a los ngulos opuestos por el vrtice, y a ngulos formados por dos rectas paralelas y una trans-versal.Aplico las propiedades de los ngulos adyacentes, opuestos por el vrtice y los formados por rectas pa-ralelas y una transversal, para determinar las medidas de ngulos.Resuelvo problemas de su entorno utlizando las pro-piedades de ngulos y segmentos.

44

Actividad preliminar Por qu es importante estudiar esta unidad?

El siguiente problema muestra la utilizacin de varios conceptos geomtricos, algunos ya estudiados y otros que estudiars en esta unidad. Contesta lo que se indica.

Problema. A partir de la figura, demuestra que, en un espejo plano, la imagen se ubica a la misma distancia del objeto al espejo, pero detrs de ste; esto es, la distancia del objeto So es igual a la distancia de la imagen Si.

Tringulos: Propiedades y criteriosde congruencia

Competencia de unidad

Analiza las caractersticas y propiedades de los tringulos, incluyendo las relaciones de congruencia, para desarrollar y presentar argumentos inductivos y deductivos sobre estas ideas y relaciones geomtricas, y, las aplica en diversos contextos tericos o prcticos de una manera crtica y reflexiva.

Indicadores de desempeo

Define y clasifica tringulos segn la medida de sus lados y de sus ngulos.

Identifica y enuncia los criterios de congruencia de tringulos, LAL, ALA, AAL y LLL.

Utiliza las tecnologas de la informacin, para construir tringulos, as como las rectas y puntos notables.

Utiliza las tecnologas de la informacin, para ex-plorar las propiedades de los tringulos y los crite-rios de congruencia.

Justifica las propiedades de los tringulos. Aplica los criterios LAL, ALA, AAL y LLL para ve-

rificar congruencia entre tringulos y entre partes correspondientes de tringulos congruentes.

Aplica las propiedades de los tringulos en la reso-lucin de problemas geomtricos.

Competencias disciplinares a desarrollar1. Construye e interpreta modelos matemticos me-

diante la aplicacin de procedimientos aritmti-cos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hi-potticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemticos, apli-cando diferentes enfoques.

4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o va-riacionales, mediante el lenguaje verbal, matemti-co y el uso de las tecnologas de la informacin y el conocimiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y tex-tos con smbolos matemticos y cientficos.

O

A

C

B

D

F

EA

C

C

B

J

H

G

1 2

3

45

unidad

Competencias genricas a desarrollar

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante diversos sistemas de representacin simblica.4.4 Maneja las tecnologas de la informacin y la comunicacin para obtener informacin

y expresar ideas, de manera responsable y respetuosa.5.6 Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar

informacin.5.4 Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez.5.5 Elabora conclusiones y formula nuevas interrogantes, a partir de retomar evidencias

tericas y empricas.6.2 Evalua argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sinttica.8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo,

definiendo un curso de accin con pasos especficos.8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera re-

flexiva.

Actividad 1

Con tus conocimientos previos, completa la siguiente demostracin. Las razones que corresponden a las afirmaciones 3, 5, 8 y 9 las estudiars en esta unidad.

1. SP// AQ2. RAS=i + r3. RAS=VSA + VPA 4. i + r = VSA + VPA 5. VSA = i6. i + r = i + VPA7. i + r = i + VPA r = VPA8. VAS = VAP9. S0 = Si

Afirmaciones:

1. _________________________2. _________________________3. _________________________4. _________________________5. _________________________6. _________________________7. _________________________

8. _________________________9. _________________________

Razones o justificaciones:

PVS

ir A

R

Q

SiS0

A

Bngulo exterior

Cngulo exterior

ngulo interior

2

tringulos: propiedades y criterios de congruencia unidad ii46

Qu tanto recuerdas de lo que estudiars en esta unidad?

Utiliza tus conocimientos previos para resolver el siguiente crucigrama, de ser necesario consulta el material de esta unidad y revisa tus respuestas.

Horizontales

1. Tringulos cuyos n-gulos respectivos son iguales, y sus lados ho-mlogos proporciona-les.

2. Punto de concurrencia de las tres alturas de un tringulo.

3. Punto de concurrencia de las tres mediatrices de un tringulo.

4. Tringulos que tienen sus ngulos y lados co-rrespondientes iguales.

5. Tringulo que no tiene lados iguales.

6. Si dos lados y el n-gulo comprendido de un tringulo son con-gruentes con dos lados y el ngulo compren-dido de otro tringulo, entonces los tringulos son congruentes.

7. Tringulo que tiene sus tres lados agudos.

8. Tringulo que tiene sus tres lados iguales.

9. Segmento que conecta un vrtice de un trin-gulo con el punto me-dio del lado opuesto.

18. Tringulo que tiene un ngulo obtuso.

Verticales

10. Segmento perpendicular que va de un vrtice de un tringulo a la recta que contiene el lado opuesto.

11. Tringulo que tiene un ngulo recto.12. Punto de concurrencia de las tres bisectrices de un tringulo.13. Tringulo que tiene al menos dos lados iguales.14. Si dos ngulos de un tringulo son iguales a dos ngulos de otro

tringulo, entonces los tringulos son semejantes.15. Si dos ngulos y el lado comprendido de un tringulo son congruen-

tes con dos ngulos y el lado comprendido de otro tringulo, enton-ces los tringulos son congruentes.

16. Punto de concurrencia de las tres medianas de un tringulo.17. Es la igualdad entre dos razones.

11 13 2

1 10 13

1516

9

17

6

7

8

18

5

4

14

3


Tres puntos, tres rectas

Tres puntos, una recta

Los ngulos A, B y C son ngulos interiores. Los ngulos suplementarios a stos, se llaman ngulos exteriores.

Los segmentos de recta determinados por los puntos de interseccin se llaman lados del tringulo y los vrtices de los ngulos formados por estos segmentos son los vrtices del tringulo. Si estos vrtices se denominan A, B y C, el tringulo se simboliza como ABC.

A B

C

A B

ngulo exterior

C ngulo exterior

ngulo interior

a) En el tringulo de la derecha localiza los vrtices y los lados.

b) En el tringulo anterior, marca los ngulos interiores y tres ngulos exteriores. Utiliza un mismo color para cada tipo de ngulo.

2.1 Clasificacin y construccin de tringulos

Lee con atencin:

Por un punto A pasan una infinidad de rectas. Dados dos puntos A y B, determinan una recta y dados tres puntos A, B y C, stos determinan una o tres rectas:Recordemos que si los tres puntos estn sobre una rec-ta los llamamos puntos colineales. Si los tres puntos no son colineales, forman un tringulo con las tres rectas que stos determinan.

Clasificacin, rectas y puntos notables de tringulos.

Actividad 2

Lados ngulos VrticesAB A AAC B BBC C C

Un ngulo exterior es aquel formado por un lad

Matematicas III. Geometria y0 Trigonometria

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