Algebra Trigonometria y Geometria Analitica

Universidad Nacional

Abierta y a Distancia

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

E INGENIERÍA

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA YGEOMETRÍA ANALÍTICA

JORGE ELIÉCER RONDÓN DURÁN

BOGOTÁ, D.C., 2006

2

Editorial UNAD, 2005

Primera edición 2005ISBN:

Prohibida la reproducción parcial ototal de esta obra sin autorización de la

Universidad Nacional Abierta y aDistancia UNAD

La edición de esta guía estuvo a cargode la Vicerrectoría Funcional de

Medios para el Aprendizaje-Unidad de Publicaciones

Ediciones HispanoamericanasDiagramación y armada electrónica

Bogotá, D.C. 2005

©

COMITE DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal AfanadorRector

Roberto Salazar RamosVicerrector Académico

Sehifar Ballesteros MorenoVicerrector Administrativo

Maribel Córdoba GuerreroSecretaria General

Edgar Guillermo Rodríguez DíazDirector Planeación

Universidad Nacional

Abierta y a Distancia

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

3

Contenido

5

9

15

21

25

27

29

31

37

41

47

INTRODUCCIÓN.........................................................

UNIDAD 1: ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA........

INTRODUCCIÓN.........................................................

OBJETIVOS...................................................................

MAPA CONCEPTUAL.................................................

CAPITULO 1. ECUACIONES....................................

Introducción...................................................................

Ecuaciones de primer grado.........................................

Ecuaciones de primer grado con unaincógnita.........................................................................

Método egipcio (la régula falsa)..................................

Método axiomático........................................................

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.......

UNAD

4

Ecuaciones Diofánticas.................................................Ejercicios: ecuaciones de primer grado.....................Solución general de ecuaciones Diofánticas..............Dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.......Método 1: método gráfico.............................................Método 2: método de eliminación...............................Reducción.......................................................................Igualación.......................................................................Sustitución.....................................................................Método 3: método por determinantes.........................Tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas......Método 1: solución por eliminación...........................Método 2: solución por determinantes.......................Problemas con ecuaciones de primer grado..............Ecuaciones de primer grado con una incógnita,problemas.......................................................................Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas,problemas.......................................................................Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas,problemas.......................................................................Ecuaciones de segundo grado......................................Método axiomático........................................................Técnica por factorización.............................................Técnica de completar cuadrados.................................Técnica por la fórmula cuadrática...............................Ecuaciones con radicales..............................................Ecuaciones con fracciones............................................Problemas con ecuaciones de segundo grado............Ecuaciones de tercer grado.........................................Resolución moderna......................................................Solución de ecuación de tercer grado.........................Ecuaciones polinómicas................................................Ecuaciones racionales...................................................Fracciones parciales.....................................................


5

CAPITULO 2: INECUACIONES................................

INTRODUCCIÓN.........................................................

OBJETIVOS...................................................................

Desigualdad...................................................................Propiedades de las desigualdades..............................

Operaciones con intervalos..........................................Inecuaciones lineales....................................................

Inecuaciones lineales con una incógnita....................

Inecuaciones racionales...............................................Inecuaciones cuadráticas.............................................

Inecuaciones mixtas.....................................................

Problemas con inecuaciones de una variable............Inecuaciones condos variables.....................................

Sistema de inecuaciones, problemas..........................

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto..........Ecuaciones con valor absoluto.....................................

Inecuaciones con valor absoluto..................................

CAPITULO 3: FUNCIONES.......................................

INTRODUCCIÓN.........................................................

OBJETIVOS..................................................................:

Sistema de coordenadas...............................................

Coordenadas cartesianas.............................................

Diagrama de Venn........................................................Relaciones......................................................................

Funciones.......................................................................

Funciones de valor real................................................Las funciones según el tipo de relación.....................

UNAD

6

Simetría de las funciones.............................................

Descripción de una función..........................................Clasificación de funciones............................................

Funciones especiales....................................................

Funciones algebráicas..................................................Función cuadrática.......................................................

Función cúbica...............................................................

Función polinómica......................................................Funciones racionales....................................................

Función radical.............................................................

Funciones trascendentales..........................................Función logarítmica......................................................

Funciones trigonométricas..........................................

Relaciones trigonométricas.........................................Función trigonométrica...............................................

Función seno..................................................................

Función coseno..............................................................Función tangente..........................................................

Funciones hiperbólicas................................................

Algebra de funciones....................................................Composición de funciones...........................................

Funciones inversas.......................................................

Funciones algebráicas inversas..................................Funciones trascendentales inversas..........................

Aplicación de las funciones.........................................

Trigonométricas............................................................

CAPITULO 4: Trigonometría.....................................

INTRODUCCIÒN.........................................................

OBJETIVOS...................................................................


7

Identidades trigonométricas.......................................

Identidades básicas......................................................Identidades de suma y diferencia..............................

Identidades de ángulo doble.......................................

Identidades de ángulo mitad......................................Identidades producto-suma........................................

Identidades de suma- producto..................................

Demostración de identidades trigomoétricas...........Ecuaciones trigonométricas........................................

Análisis de triángulos no - rectángulos.....................

Teorema de coseno.......................................................Triángulos no rectángulos, problemas de

aplicación.......................................................................

Hipernometría..............................................................Identidades hiperbólicas.............................................

AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1..............................

UNIDAD 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA...................

INTRODUCCIÓN.........................................................

OBJETIVOS..................................................................

MAPA CONCEPTUAL................................................

CAPÍTULO 1: LA RECTA..........................................

INTRODUCCIÓN.........................................................

Distancia Euclidiana....................................................

La recta...........................................................................Ecuación de la recta.....................................................

UNAD

8

La pendiente.................................................................

El intercepto.................................................................Rectas paralelas............................................................

Rectas perpendiculares................................................

CAPÍTULO 2: LAS CÓNICAS....................................

INTRODUCCIÓN..........................................................

Circunferencia...............................................................

La elipse.........................................................................Ecuación canónica con focos en y................................

Excentricidad.................................................................

Parábola..........................................................................Hipérbolas......................................................................

Asíntotas........................................................................

Traslación de ejes..........................................................Circunferencia...............................................................

Elipse..............................................................................

Parábola..........................................................................Hipérbola.......................................................................

Ecuación general de segundo grado...........................

Circunferencia...............................................................Elipse..............................................................................

Hipérbola.......................................................................

Aplicación de la geometría analítica..........................

UNIDAD 3: SUMATORIA Y PRODUCTORIAS.......

INTRODUCCIÓN..........................................................

OBJETIVOS..................................................................

MAPA CONCEPTUAL.................................................


9

CAPITULO 1: LAS SUMATORIAS............................

INTRODUCCIÓN..........................................................

Denotación de sumatorias............................................Teoremas........................................................................

Propiedades...................................................................

Operaciones de sumatorias.........................................La media aritmética......................................................

Dobles sumatorias.........................................................

CAPITULO 2: PRODUCTORIAS...............................

INTRODUCCIÓN..........................................................

La productoria................................................................

Cálculo de productorias...............................................Propiedades de productorias......................................

Ejercicios diversos........................................................

Factorial.........................................................................

AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 3...............................

INFORMACIONES DE RETORNO...........................

BIBLIOGRAFIA............................................................


11

stimados estudiantes bienvenidos, al curso de álgebra y

Trigonometría y Geometría Analítica. La matemática como

ciencia a través de su historia ha buscado fundamentos sólidos

que garanticen su validez absoluta y universal, dando así su

gran forma de ser exacta y rigurosa, esto hace que presente

diversas ramas, desde la aritmética, pasando por el álgebra,

geometría; hasta temáticas avanzadas como la teoría de

conjuntos, geometría diferencial y otros. Todo esto tiene como

finalidad dar la sociedad una «herramienta formal» que le

permite demostrar lo que está bien y lo que está mal.

En este orden de ideas el curso que se presenta aquí, tiene

diversas temáticas que de una u otra forma hacen parte de

esta gran herramienta formal. Las temáticas presentadas

son de interés para estudiantes de cualquier programa

unviersitario, están desarrolladas en un lenguaje sencillo; pero

con gran rigor matemático, ya que el propósito fundsamental

es desarrollar en los estudiantes conocimientos sólidos en

álgebra, trigonometría y geometría analítica.

En curso está desarrollado en tres unidades a saber:

La unidad uno, contempla lo referente al álgebra y

Trigonometría, allí se presentan, los principios, teorías,

propiedades, leyes y aplicaciones de las ecuaciones,

E

INTRODUCCIÓN

UNAD

12

inecuaciones y funciones. También lo referente a la

trigonometría analítica. Para desarrollar estos conocimientos

es pertinente activar los conocimientos previos en aritmética,

álgebra y geometría plana y espacial; lo cual se ofrece en el

curso de matemáticas básicas, el cual se debe consultar cuando

así se requiera.

La unidad dos, hace referencia a la geometría analítica, en

donde se analizar lo referente a la recta, circunferencia, elipse,

parábola e hipérbola, haciendo énfasis a los parámetros, gráfica,

ecuación canónica y ecuación general de las mismas. No se

puede pasar por alto el análisis de la ecuación general de

segundo grado y su relación con las figuras geométricas

analizadas. Finalmente se trabajan algunas de las muchas

aplicaciones que tiene la geometría analítica.

La tercera unidad, trabaja sobre las sumatorias y productorias,

temáticas aparentemente nuevas, pero su importancia es el

contexto matemático, motiva a trabajarlas en forma detallada.

Estos temas son insumos matemáticos importantes para poder

abordar temas de matemáticas más vanzados como las

progresiones, integrales, sucesiones, entre otros.

Para una buena comprensión e interiorización de los

conocimientos, se debe hacer un buen uso de la metodología

que la UNAD propone en su modelo académico - pedagógico,

donde desde el estudio independiente hasta el de grupo de curso,

son fundamentales en el trabajo autónomo del estudiante; la

guía didáctica como la carta de navegación del curso, permite

que el estudiante dinamice su proceso de aprendizaje.

Los ejemplos modelos ilustran el tema, los ejercicios propuestos

motivan la profundización del mismo; además, de que se

presenta su respuesta para corrobar que el procedimiento es

adecuado. Cada unidad tiene la autoevaluación, que permite

al estudiante hacer un seguimiento de su proceso académico.


13

Para aprender, matemáticas, se requiere fundamentalmente

querer hacerlo, tener algo de perspicacia, sentido lógico y

muchas ganas de enfrentarse a más y más retos.

Animo y éxitos en esta gran aventura, que ojalá sea agradable

a usted, estimado lector.

El autor

UNAD

14


15

UNAD

16


17

l Álgebra y la Trigonometría son áreas dentro del a ciencia de

las matemáticas que busca desarrollar los principios

fundamentales necesarios para resolver problemas en todos

los campos del saber.

En esta unidad se tratarán los principios, propiedades,

definiciones y aplicaciones del álgebra y la trigonometría. Cada

temática se desrrollará en forma metódica, ilustrativa y

didáctica, con el propóstio de que los estudiantes activen sus

conocimientos previos, que exploren y desarrollen nuevos

conocimientos, de tal forma que los puedan comprender e

interiorirzar para utilizarlos cuando sea necesario.

La parte correspondiente de álgebra contempla las ecuaciones

e inecuaciones en todos los contextos, las funciones, sus

características, su definición según el tipo de relación y según

el tipo de expresión que la representa. Se hace énfasis en las

características de cada una, sus parámetros y sus aplicaciones.

Dentro de la trigonometría; además, del análisis de las

funciones trigonométricas se desarrollará la trigonometría

analítica, especialmente lo referente a identidades y ecuaciones

trigonométricas.

Con mucho entusiasmo y excelente trabajo, se consignan

buenos resultados sobre álgebra y trigonometría.

E

INTRODUCCIÓN

UNAD

18


19

Mapa conceptual

Ecu

acio

nes

ein

ecu

acio

nes

con

valo

r ab

solu

to

Alg

ebra

yT

rigo

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etrí

a

Ecu

acio

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trig

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étri

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Dem

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n

fu

nci

ones

UNAD

20


21

OBJETIVOS

General

. Que la comunidad estudiantil de la UNAD, reconozca los principios y teorías

del álgebra, trigonometría y geometría analítica, profundice las particularidades

de cada temática y finalmente pueda aplicar dichos principios en las diferentes

áreas del saber.

Específicos

. Que los estudiantes decriban claramente los ecuaciones e inecuaciones, a través

del estudio teórico y el análisis de casos modelo, para que puedan ser utilizados

como herramienta matemática en diferentes contextos.

. Que los estudiantes identifiquen claramente las funciones, sus principios,

mediante el etudio adecuado y el desglosamiento de las clases de funciones,

que facilite su posterior utilización en las situaciones que se requieran.

. Que los estudiantes describan claramente sus sumatorias y productorias, por

medio de un trabajo específico de éstos temas, para poder posteriormente asumir

temas más avanzados como las sucesiones y series.

. Que los estudfiantes resuelvan problemas modelos que involucren ecuaciones,

inecuaciones, funciones, trigonometría,sumatorias y productorias, utilizando

los conocimientos adquiridos en cada temática.

. Que los estudiantes planteen y resuelvan ejercicios de diferentes campos del

saber, aplicando los conocimientos desarrollados en éste curso académico y así

contribuir en la solución de problemas en las áreas de ciencias naturales,

ingeniería, administración, ciencias sociales, ciencias agrarias y otros.

UNAD

22


23

Las ecuaciones son de suma importancia en las matemáticas y otras ciencias,

desde los babilonios, pasando por los egipcios y los griegos,, ...hasta nuestra

época, las ecuaciones han sido el pan de cada día para resolver problemas

donde se requiere saber el valor de una «incógnita».

Las ecuaciones son igualdades, que se hacen verdaderas para valores

específicos, por ejemplo si: 95x2 =+ ; para que esta igualdad sea verdadera, elvalor de x debe ser 2 y no otro.

Resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de la incógnita que haganverdadera dicha igualdad. A su vez las soluciones pueden ser reales o

imaginarias; según el caso, por ejemplo: 04x2 =− , x puede tomar los valores

2y2 − , pero si x,04x2 =+ toma valores i2yi2 − . Siendo i el símbolo

de Imaginario. (Recordemos los números imaginarios del curso de matemáticasbásica).

Existen diferentes clases de ecuaciones, según el grado del polinomio que la

describe, según el número de variables, según los coeficientes.

Según el grado existen ecuaciones de primer grado, segundo grado, etc. Según el

número de variables; ecuaciones de una variable, ecuciones de dos variables, etc.

Según los coeficientes, ecuaciones de coeficientes enteros, de coeficientes racionales,

coeficientes reales, etc.

Para resolver ecuaciones, se utiliza los principios de operaciones opuestas, ya que

cuando a una ecuación se le suma y resta la misma cantidad a uno de sus términos,

ECUACIONES

Introducción

UNAD

24

E

ésta no se altera, igual si se multiplica y divide uno de sus términos. Otra forma

es sumar o restar a los dos términos de la ecuación la misma cantidad, este no se

altera.

En general, a medida que avancemos en el estudio de ecuaciones vamos adquiriendo

mucha destreza en su forma de solución.

Objetivo general

. Que los estudiantes identifiquen claramente las ecuaciones, su clasificación,

su resolución y la forma de plantearla de situaciones descriptivas.

Objetivos específicos

. Reconocer claramente las ecuaciones de primero, segundo y más grados, de

una, dos y tres incóginitas.

. Resolver ecuaciones de primero, segundo y más grados, con una, dos y tres

incógnitas.

. Solucionar problemas que involucren ecuaciones.

CUACIONES DE PRIMER GRADO

Para analizar las ecuaciones, es necesario conceptualizar algunos términos que

son comunes en las ecuaciones.

Constante: son términos que toman valores fijos. En álgebra se usan por lo

general las primeras letras del alfabeto; a, b, c,... todos los números se consideran

constantes, por ejemplo en la expresión: cbxax2 ++ : los términos a, b, y c

trabajan como constantes.


25

Variable: se consideran a los símbolos que pueden cambiar, generalmente las

variables se simbolizan con las últimas letras del alfabeto; x, y, z, w,... por ejemplo,

la expresión: kcybxax 2 =++ , x y y trabajan como variables.

A manera de ejercicio, identifique las variables y las constantes en las siguientesexpresiones:

4czbyax

0z7y5x423

23

=+−

=−+

Las ecuaciones de primer grado se pueden clasificar, en una incógnita, dos

incógnitas, tres incógnitas, etc., para el caso de éste curso trabajaremos con

ecuaciones de una, dos y tres incógnitas. Es de anotar que el término incógnita

es equivalente a variable, en el contexto que estamos trabajando.

En la resolución de una ecuación se pueden aplicar las propiedades de las

operaciones definidas en el conjunto numérico que se esté considerando. Pero no

siempre una ecuación tiene solución en un conjunto numérico dado.

Si tenemos la ecuación: 35x =+ . Esta no tiene solución en los Naturales; pero

si tiene solución en los enteros, racionales, reales.

La ecuación: 02x2 =− , No tiene solución en el conjunto de los enteros (Z),

pero Si tiene solución en el conjunto de los reales (R) para el caso del presente

texto, si no se dice otra cosa, la solución o soluciones, estarán en el conjunto de los

Reales.

Leyes de uniformidad: es pertinente recordar las leyes de uniformidad para la

suma y producto de número reales.

Sea a, b, c, d número reales; tal que: a = b y c = d, entonces:

cxbcxa)ddxbcxa)ccbca)bdbca)a

==

+=++=+

UNAD

26

E

Estas leyes se pueden extender a la resta y división, salvo para casos con

denominador cero.

Para el caso de la potencia y raíz:

CUACIONES DEL PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

estas ecuaciones son de la forma: cbax =+ , donde a, b, y c son las constantes yx la variable. el valor de a puede ser entero, racional o real, pero nunca cero.Estudiaremos los diferentes casos.

Sean las ecuaciones:

053x =− : coeficiente es entero, expresión entera

052x

31 =− : coeficiente es racional, expresión entera

8x5

2x32

=−

: coeficiente es entero, expresión racional

Las ecuaciones de primer grado se caracterizan porque la incógnita (variables)

tiene como exponente la unidad; por lo cual, la solución es única, esto significa

que éste tipo de cuaciones tienen «una sola» solución.

Resolución: la resolución de ecuaciones, ha tenido diversos aportes desde la

antiguedad hasta nuestros días. Vamos a analizar algunos métodos de

resolución para éste tipo de ecuaciones.

0bó0a;sísolosí;0ba)h2cyzc;0by0apara;ba)g

dc)f

ba)e

cc

da

cc

===⋅≥ε≥≥=

=+

=


27

Método Egipcio: (la Regula falsa)

En algunos libros Egipcios y Chinos, se ha encontrado un método para resolver

ecuaciones, llamado la Regla falsa o falsa posición. El método, consiste que a

partir de la ecuación dada, se da una solución tentativa inicial y la vamos ajustando

según la ecuación dada.

El principio consiste que dada la ecuación: ax = b, suponemos una solución

tentativa 0x , reemplazándola en la ecuación: 00 bxa = , como no se cumple

esta solución, se hace el ajuste así: ,xbb

x 00

1 = la cual es una solución de la

ecuación original, ya que:

bxbb

a 00

=

Resolver la ecuación: 124x

x =+

Solución: proponemos 1244

4:luego,4x =+=⋅ , se debe demostrar!

5 = 12, lo cual no es cierto, luego hacemos el ajuste: 5484x

512:Ahora.

512x ==

que es la solución.

Comprobémoslo:

122

241220

240122048

54812

45/48

548 =⇒=⇒=+⇒=+ . Lo cual es verdadero.

Ejemplo 2

Resolver la ecuación: 85xx2 =+

Ejemplo 1

u

UNAD

28

Solución: solución tentativa inicial 5x0 = , reemplazamos: ( ) 8152 =+

11=8 lo cual no es cierto, luego hacemos el ajuste:118

x0 = y procedemos a

multiplicar por 1140

5118

:x0 =⋅ que es la solución, verifiquemos:

.verdaderoescuallo855

440

855

404008

5540

1180

8511/40

1140

2

=

=+

⇒=+⇒=+

Este método a pesar de ser muy rudimentario, es muy efectivo en muchos

casos, para este tipo de ecuaciones.

u Método axiomático

Es el método utilizado actualmente, el cual utiliza las propiedades algebráicas y

las leyes de uniformidad; ya estudiadas, todo esto derivado de los «Axiomas de

campo».

Toda ecuación de primer grado se puede escribir de la forma:

cbax =+ , endonde a, b, c son cosntantes y 0a ≠ .

Veamos el caso en donde: cbax =+ , si sumamos ( )b− a ambos lados de la

ecuación (ley uniformidad de suma tenemos:

( ) ( ) baxb0bbax −=⇒−+=−++ . Luego multipliquemos a ambos lados

por ( )a1 , tenemos: ( )

−=

a1

baxa1

nos resulta: abx −=

Ejemplo 1

Hallar la solución de la ecuación: 9x2x6 +=−

Solución: como estamos aplicando el método axiomático, entonces: sumanos

( )x2− a ambos lados de la ecuación: ( ) ( ) 9x2x2x2x6 +−+=−+− no resulta:


29

( )6sumamosAhora.9x369x2x6 −=−⇒=−− a los lados de la

ecuación: ( ) ( ) 3x3:obteniendo69x366 =−−+=−−+ . Ahora multiplicamos por

−

31

los miembros de la ecuación:

( ) ( ) 1x:resultanos331x3

31 −=−=−−

Solución: la pregunta sería ¡cómo corroboramos que 1x −= , es la solución?

La respuesta es, sustituyendo la solución en la ecuación original, debemos obtener

una igualdad verdadera, veamos:

( ) ( ) 7791216 =⇒+−=−− ¡verdadero!

Así queda comprobado que 1x −= es la solución UNICA, para la ecuación

propuesta.

NOTA: Es pertinente que se analice porque las operaciones propuestas en laresolución del problema, (subrayado con negro) con el fin de entender la lógicadel método.

Ejemplo 2

Resolver la ecuación:21

2xx

=+

Solución: recordemos por las leyes de uniformidad que cxbdxadc

ba =⇒= , lo

aplicamos al ejercicio propuesto:

( ) 2xx22x1x221

2xx

+=⇒+=⇒=+

. Sumamos ( )x− a los dos lados de la

ecuación: ( ) ( ) 2x:obtenemos;22xxx2 =+−+=−+ , que es la solución.

Ejemplo 3

Hallar el valor de la incógnita que satisfaga la ecuación:

4t28t3

1t47t6

−+=

−+

UNAD

30

Solución: aplicamos la ley de equivalencia de fracciones:

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

.ecuaciónladesolución,t3920

:obtenemos;t39391

391

x20

;39/1pormosmultiplica,t3920obtenemos,88t39828

:ecuaciónladeladosambosa8sumamos:8t3928:obtenemos;8t10t2928t10t10

:ecuaciónlaat10sumamos;8t29

t12t12

t12t12

:mosmultiplica;1t48t34t27t6

28t10

:obtenemos,8t292t12228t102t122

ladosambosa2t12sumamos,8t29228t102

=−

=

−

=−+−=+−

−=−−+=−+−

−

+

−+=−+

=−−

−+−=−−−+

−−+=−−

Ejemplo 4

Resolver: ( ) ( )3x46x28 −=−Solución: si observamos lo más obvio es hacer la mutiplicación, para iniciar lasolución, entonces:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) .ecuaciónladesolución3x36121

x12121

121

pormosmultiplica,36x12:luego;36x4x16

:obtenemos;36x4x4x4x16x4sumamos,36x4x164812x44848x16

48sumamos;12x448x163x46x28

=⇒=

==−

+−+=−+−+=⇒+−=+−

−=−⇒−=−

Demuestre que la ecuación:1x

32

1xx3

−=+

− no tiene solución.

Ejemplo 5


31

E

Demostración: para dejar la ecuación entera multiplicamos todo por ( )1x −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) .soluciónlasería1x551

x551

5/1porosdimdivi;5x52322x52sumamos,32x532x2x3

:obtenemos,1x1x

31x21x

1xx3

=⇒=

=⇒+=+−=−⇒=−+

−−

=−+−−

Pero x =1, NO hace parte de los valores que puede tomar la variable, ya que

cuando x =1, la ecuación se hace indeterminada, por lo cual, la ecuación dada no

tiene solución.

Reflexión: en todos los ejemplos propuestos, la solución se resumen en despejar

la incógnita (variable). Generalizando precisamente a esto es que se centrará la

solución de ecuaciones, a despejar la incógnita, lo cual se hace utilizando principios,

leyes y axiomas matemáticas.

(Ver ejercicios ecuaciones de primer grado, página 36

CUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

En éste aparte analizaremos dos casos, el primero es cuando se tiene una ecuación

de primer grado con dos incógnitas y el segundo es cuando se tienen dos ecuaciones

con dos incógnitas.

Ecuaciones Diofánticas: Diofanto de Alejandría, del Siglo III de nuestra era,

desarrolló unas ecuaciones que trabajan sobre el conjunto de los enteros y son de

primer grado con dos incógnitas, en honor a su nombre se conocen como

ecuaciones diofánticas.

La forma general es: cbyax =+ , donde a, b y c son constantes y enteros;

además, 0bó0a ≠≠ .

UNAD

32

Cuando a, b y c son enteros positivos, la ecuación tiene solución entera, si y solo

sí, el máximo común divisor de a y b divide a c. Este tipo de ecuaciones puede

tener infinitas soluciones o no tener solución. Entonces la solución consiste en

hallar ecuaciones generadoras (paramétricas) del par ( )y,x que satisfagan la

ecuación propuesta.

Para la ecuación: 8y3x2 =+ , cuál será el par ( )y,x que satisface dicha ecuación.

Solución: por simple inspección vemos que 2yy1x == , satisfacen la igualdad

( ) ( ) 82312 =+

La solución: ( ) ( )2,1y,x = , pero podemos encontrar más soluciones por

ejemplo: ( ) ( )0,4y,x = también es solución.

Otras soluciones ( ) ( ) ( ) ( ),...6,5y,x;4,2y,x −=−= como definimos al principio, hay

infinitas soluciones; para esta ecuación.

Solución general de ecuaciones Diofánticas (método paramétrico)

Para este tipo de ecuaciones, la solución es buscar ecuaciones para x y y con

un parámetro, generalmente se le llama t, llamada solución general.

Ejemplo 1


33

El procedimiento para hallar esta solución no es fácil, solo deseamos que se conoz-

ca que a partir de una solución general, se pueden hallar soluciones específicas

para la ecuación dada. Los curioso pueden investigar en libros de matemáticas

discretas o en temas de ecuaciones diofánticas, para que profundicen en el tema.

A partir de la ecuación: 8y3x2 =+ , hallar soluciones particulares a partir de lasolución general.

Solución: por algoritmo computacional, la solución general es:

t28yt38x

−=+−=

A partir de estas podemos hallar soluciones particulares:

para t= 2, entonces:

( )( ) 448228y

268238x=−=−=

−=+−=+−=

solución particular ( ) ( )4,2yx −=−para t=4. Entonces:

( )( ) 088428y

4128438x=−=−=

=+−=+−=

solución particular ( ) ( )0,4yx =−Así sucesivamente para cualquier t entero.

Hallar soluciones particulares para t = 5 y T = 8, para la ecuación: 50y4x3 =+ .

Solución: de nuevo por algoritmo computacional, la solución general es:

Ejemplo 2

Ejemplo 3

UNAD

34

( )( )( ) ( )35,30y,x:Solución

3515505350y3020505450x

entonces,5tparat350y

t450x

−==−=−=

−=+−=+−==−=

+−=

Para t = 8. Del amisma manera:

( )( )( ) ( )26,18y,x:Solución

2624508350y1832508450x

−==−=−=

−=+−=+−=

Solución general de ecuaicones Diofánticas (método despeje): cómo hallar

las ecuaciones paramétricas para x y y,no es tarea fácil, un método para hallar

soluciones particulares a partir de una solución general, es despejando una de las

variables de la ecuación y obtener otra ecuación donde se obtiene

( ) ( )yfxoxfy == ; es decir, y en función de x ó x en función de y.

Para la ecuación cbyax =+ . Si despejamos y obtenemos:

( )xfydondebaxcy =−= . Luego dando un valor a x obtenemos el valor de y,

y así la solución ( )y,x . Pero si despejamos x, obtenemos:

( )yfxdondeabycx =−= . Aquí damos valores a y para obtener x.

Hallar para 2x −= , la solución de la ecuación 8y3x2 =+ .

Solución: despejamos y; luego

( )( ) 43

228y:entonces,2xosreemplazam3

x28y =−−=−=−=

Solución: ( ) ( )4,2y,x −=

Este resultado coincide con el dado para la misma ecuación en el ejemplo 2, del

método anterior.

Ejemplo 1


35

Para la ecuación: 14y3x =+ . Hallar soluciones para:

a x = 2

b. y = 5

Solución:

a. Despejamos

( ) ( )4,2y,x:Solución

43

214y2xcomo

3x14

y

=

=−

=⇒=−

=

b. Despejamos

( )( ) ( )5,1y,x:Solución

15314xy314x−=

−=−=⇒−=

u Dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son de la forma.

222

111cybxa

cybxa

=+

=+

Donde 212121 c,c,b,b,a,a son constantes; además

0bó0a ≠≠ ; 0bó0a 22 ≠≠ .

Resolver un sistema de este tipo es hallar los valores 00 yyx que satisfagan

simultáneamente las dos ecuaciones.

Sistema consistente: un sistema de ecuaciones es consistente, cuando tieneal menos una solución. Para el caso que nos ocupa, un valor para x y un valorpara y.

Ejemplo 2

UNAD

36

1.

2. 14x:Rta −=

3. 20x:Rta =

4. 2x:Rta =

5. 6x:Rta =

6. 4x:Rta =

7. 6y:Rta −=

8. 1x:Rta =

9. 0y:Rta =

10.Cuánto debe valer γ en la expresión

5y33y3 −=γ− para que se cumpla la

igualdad

57

x:Rta =

EJERCICIOS: ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Resolver las siguientes ecuaciones:

( )

( )

( )( )

06y3

68ay

8

x2x

9x

x

6

22y

43y2

41y

x73

2x5

2x5x10

5x3

2x2

21x7x62x

21

x4

x6

1x436x

21

1x2x23

=−

−−

−=+

−=−

++

−=+

−

−++

+=

−

+=−+

=+

+=−

−=−

35:Rta =γ


39

M

u

para 8y2x4 =+

Este método tiene el inconveniente que la solución no se puede ver exactamente, ya que

por visual las coordenadas del punto de corte no son valores exactos; es una aproximación.

ÉTODO 2. ELIMINACIÓN

Es un método algebráico donde se elimina una variable, para hallar el valor de la

otra variable. Es el más utilizado y se divide en tres técnicas. Reducción, Igua-

lación y Sustitución.

Reducción

Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la reducción consiste en

igualar coeficientes de una de las variables;pero con signo contrario, para poder

reducir el sistema a una sola variable y así resolverla como ecuación de primer

grado con una incógnita.

Obtenido el valor de la variable despejada, ésta se reemplaza en una de las

ecuaciones originales, para hallar el valor de la otra variable.

Resolver el sistema

Solución: organizamos el sistema según las variables y operamos términos

semejantes:

4y24yx0yx

==+=+−

0240 ( )

( )0,2punto4,0punto

x y

Ejemplo 1

4yx0xy

=+=−

UNAD

40

La nueva ecuación permite despejar y; como 2y=4, aplicando el método axiomático;entonces:

2y24

2y2

=⇒=

como y es igual a 2, reemplazamos éste valor en una de las ecuaciones originales,

por ejemplo en la primera: ( ) 2x2x:xdespejamos;02x =⇒−=−=+−

Luego la solución es:

2y2x

==

Esta solución debe satisfacer las dos ecuaciones simultáneamente.

En el ejemplo 1, vemos que fue fácil reducir a y, eliminando x, ya que ésta variable

tenía el mismo coeficiente y signos contrarios, pero no siempre es así, en muchos

casos es necesario ajustar ésta situación, multiplicando las ecuaciones por valores

que permiten obtener coeficientes iguales con signos contrarios en la variable a

eliminar.

Resolver

5y2x34yx

−=−=−

Solución: primero elegimos la variable a eliminar, cuando es posible, se busca

aquella que tenga signos contrarios. Cuando no es posible así, entonces elegimos

la que deseemos. Para éte caso elegimos x. Luego para eliminar x, la primera

ecuación debe tener coeficiente 3 en la variable x y la segunda puede queda igual,

veamos:

Operando el último sistema obtenemos: 17y −=Sabiendo el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales,para hallar el valor de la otra ecuación, veamos.

Ejemplo 2

⇒5y2x312y3x3

−=−−=+−( ) ( )

( ) ( )15y2x334yx

−=−−=−


41

( )

13x339

3x3

:xdespejamos,39x3Luego.345x3534x35172x3

−=⇒−

=

−=−−=⇒−=+⇒−=−−

Vemos que la solución es:

17y13x

=−=

La verificación consiste en reemplazar la solución en las ecuaciones originalesy demostrar que se cumple la igualdad.

Hallar el valor de las variables para el sistema:

3x6x28y9x4−=−

=+

Solución: como vemos, se puede eliminar y, ya que tiene signos contrarios, sólo

falta igualar coeficientes, lo que se consigue multiplicando la primera ecuación

por 2 y la segunda por 3. Veamos.

( ) ( )( ) ( ) 9y18x63x3x6x2

16y18x82x8y9x4−=−−=−

=+=+

Así podemos eliminar y, obteniendo: 2/1xluego,7x14 ==

Ahora hallamos el valor de y, reemplazando x = 1/2, en cualquiera de las

ecuaciones originales, luego seleccionamos la primera:

( )

32

yLuego.1812

y12y18

:teconsiguienpor,12416y1816y182/18

==⇒=

=−=⇒=+

Solución:

3/2y2/1x

==

⇒

Ejemplo 3

UNAD

42

u

Verificación, reemplazamos la solución en las ecuaciones originales:

( ) ( )( ) ( ) verdadero:34133/262/12

verdadero:86283/292/14−=−⇒−=−

=+⇒=+

como las igualdades son verdaderas, nos indica que la solución es correcta.

Igualación

Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones dadas, luego «igular»

las expresiones obtenidas en los dos despejes, para que utilizando herramientas

matemáticas, se obtenga el valor de la variable en la ecuación de una incógnitaobtenida.

Resolver el sistema:

4yx8yx

=−=+

Solución: despejamos x en las dos ecuaciones para facilitar denominados 1 y 2 als ecuaciones:

2y4242y2

1y8111xx

x8yx

+=⇒=−

−=⇒=+

Ahora igualamos:

.224

y:Luego

:yDespejamos.4y284y2:luego,y4y8

:entonces,2y1ycomo,2y41y821 xx

=−−

=

−=−⇒−=−+=−

=+=−⇒=

Como sabemos el valor de y, la reemplazamos en cualqueira de las ecuaciones

originales:

( ) 6x28x82x8yx =⇒−=⇒=+⇒=+

Ejemplo 1


43

Solución:

2y6x

==

Verificación: por ser tan sencilla, por favor estimado estudiante hacerla.

Hallar la solución del sistema:

819

y32

x43

107

y61

x52

=−

=−

Solución: recordemos que debemos despejar la misma variable en las dos

ecuaciones, elijamos x, pero antes convertimos los coeficientes a enteros para la

primera ecuación:

( ) 37y5x1210

730y5x12107

30y5x12

107y

61x

52 =−⇒=−⇒=−⇒=−

para la segunda ecuación:

257y8x9

819x12y8x9

819

12y8x9

819y

32x

43 =−⇒=−⇒=−⇒=−

Ahora sí despejamos x en las dos ecuaciones:

1857y8

x2

57y8x9

257

y8x9

1237y5

xy537x1237y5x12

+=⇒+=⇒=−

+=⇒+=⇒=−

Luego igualamos las dos variables:

( ) ( ) 57y82

37y5357y812

37y51818

57y812

37y5 +=+⇒+=+⇒+=+

Ejemplo 2

UNAD

44

u

Luego:

( ) ( )3y3y111114y16y15

:ndoreorganiza,114y16111y1557y8237y53−=⇒=−⇒−=−

+=+⇒+=+

como ya sabemos el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones

originales, tomemos la segunda:

( ) ( )

2/1x3x83x4x

83x

43

:luego,28

19x

43

819

2x43

819

332

x43

=⇒=⇒=

−=⇒=+⇒=−−

Solución:

3y2/1x

−==

Verificación: se debe verificar la solución obtenida.

Sustitución

Si tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que se hace es

despejar una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones y reemplzar la

equivalencia de la incógnita en la otra ecuación. Dicho de otra manera, si

despejamos la incógnita en la primera ecuación, la reemplazamos en la segunda

ecuación o viceversa. Con esto obtenemos una ecuación de primer grado con una

incógnita, que ya sabemos resolver.

Hallar la solución al sistema:

5y2x34yx

−=−−=−

Ejemplo 1


45

Solución: como lo dice la teoría, despejamos una variable en cualquiera de las

ecuaciones, para este caso despejamos x en la primera ecuación:

4yx4yx −=⇒−=−

Luego este valor de x, lo reemplazamos en la segunda ecuación; entonces:

( ) 5y24y3 −=−−

obtenemos una ecuación con una incógnita, que ya sabemos resolver:

7y125y5y212y3 =⇒+−=⇒−=−−

como ya sabemos el valor de y, lo reemplazamos en una de las ecuaciones originales,

tomemos la segunda ecuación.

( ) 3x9x3145x3572x3 =⇒=⇒+−=⇒−=−

Luego la solución es:

7y3x

==


3y2x41yx2=+

=+

Solución: despejamos y en la segunda ecuación, luego:

2x43

yx43y23y2x4−

=⇒−=⇒=+

Reemplazamos y en la primera ecuación:

verdaderoesNo123

12

x43x4

:mossimplificayoperamos12

x43x2

=⇒=−+

=

−

+

Luego el sistema No tiene solución.

Ejemplo 2

UNAD

46

Hallar la solución del sistema:

13y5

5x6

23y5

5x3

=−

=+

Solución: primero convertimos las ecuaciones a coeficientes enteros:

30y25x9215

y25x923y5

5x3 =+⇒=+⇒=+

para la ecuación dos es lo mismo.

15y25x18115

y25x1813y5

5x6 =−⇒=−⇒=−

ya tenemos las dos ecuaciones entonces:

15y25x1830y25x9

=−=+

Despejamos x en la primera ecuación y la reemplazamos en la segunda.

53

y7545

y45y756015y75

15y25y506015y259

253018

:Luego.9

y2530x30y25x9

=⇒=⇒−=−⇒−=−

=−−⇒=−

−

−=⇒=+

para hallar el valor de la otra variable; o sea x, reemplazamos el valor de y en

cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo 3


47

M

Tomemos la segunda ecuación:

( )

3/5x6

10x10x62

5x6

115x6

13

5/355x6

13y5

5x6

=⇒=⇒=⇒=

=−⇒=−⇒=−

Solución:

5/3y3/5x

==

Verificación: no olvidemos hacer la verificación.

Observación: las técnicas de eliminación se diferencian en hallar el valor de la

primera incógnita, la segunda parte del proceso ES SIMILAR; es decir, para

hallar el valor de la segunda incógnita el procedimiento es similar en las tres

técnicas.

ÉTODO TRES. POR DETERMINANTES

Para este método, primero recordemos algunos conceptos sobre determinantes.

Una determinante, es un arreglo rectangular de filas y columnas, donde los

elementos, son los valores de las coeficientes de las ecuaciones que forman el

sistema.

2y2

1y1

x

x↓

Col

umna

→Fila2 x 2

El tamaño del determinante lo da el número de las

filas y columnas, Así hay determinantes de 2 x 2, 3 x

3, 4 x 4, etc. Las filas son horizontales y las columnas

son las verticales.

UNAD

48

Resolver un determinante, es hallar el valor del mismo, según el tamaño, laforma de resolución es muy particular.

Determinante de 2 x 2: para resolver un determinante de 2 x 2, la solución escomo se indica a continuación.

122122

11 yxyxDyx

yx⋅−⋅=⇒

Donde D es el valor del determinante.

Ecuaciones por determinantes

Para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, se utilizan determinantes de

2 x 2. Kramer propuso una técnica para resolver un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas, utilizando determinantes, en su honor se le llama regla de

Kramer.

Regla de Kramer: sea el sistema

cybxa

cybxa

2222

11111=+

=+

Solución: se organizan los determinantes para cada incógnita de la siguientemanera:

22

11

22

11

22

11

22

11

baba

caca

y

baba

bcbc

x ==

solución para x solución para y


u

Ejemplo 1

6yx55y2x3

=−=−


49

Solución: organizamos los determinantes.

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 1

77

1032518

15135563

15236653

y

177

103512

25135162

15236152

x

−=−

=+−−

=−−−

−=

−−

=

−=−=+−+−=

−−−−−−=

−−

−−

=

Solución:

1y1x

−=−=

Esto es el mismo ejemplo 1, que estudiamos en le método gráfico observando que

la solución es la misma, como es obvio.

Resolver el sistema

4y5x26y3x4=+−

=−

Solución: aplicando la regla de Kramer, tenemos:

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 3

1442

6201230

32543456

52345436

x ==−+

=−−−

−−=

−−

−

=

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 2

1428

6201216

32546244

52344264

y ==−

+=

−−−−−

=

−−

−=

Ejemplo 2

UNAD

50

Solución:

2y3x

==

Hallar el valor de x y y en el sistema:

6y4x78y4x7

=+=+

Solución:

erminadodetIn0

1428284256

47477678

x ==−−

==

como el denominador es cero,, las incógnitas no tienen valor, esto nos indica que

el sistema No tiene solución; es decir, es un sistema inconsistente.

De esta manera hemos aprendido los métodos de resolver ecuaciones simultáneas

de dos incógnitas.

(Ver ejercicios ecuaciones simultáneas, página 51)

Tres ecuaciones simultáneas contres incógnitas

Habiendo estudiado lo referentes a dos ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos

de solución, podemos iniciar el estudio de sistemas de tres ecuaciones con tres

incógnitas, cuyos principios son similares.

Para el sistema:

22z22y22x2

11z11y121x1dcba

dcba

=++

=++

Ejemplo 3

u

33z33y33x3 dcba =++

La solución se hará para los métodos de eliminación y por determinantes.


51

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:

18y21x

35

7y32

x43

10yx36y2x

13y5x

=−

=+

−=−=+

=+

Resolver los sistemas siguientes utilizando eliminación por igualación:

819y

32x

43

107

y61

x52

3y2x32y4x2

=−

=−

=+−=−

Resolver los sistemas dados a continuación por sustitución:

3y4

x3

61

y1

x1

06yx2

01y21

x

=+

=+−

=+−

=+−

12y;20x:Rta

4y;2x:Rta

3y;2x:Rta

−==

=−=

==

3y;21

x:Rta

43

y;21

x:Rta

−==

==

2y;3x:Rta

justificar,solucióntieneno:Rta

==

EJERCICIOS: ECUACIONES SIMULTÁNEAS

UNAD

52

Resolver los siguientes sistemas por determinantes.

1y5

x4

2y3

x2

52q4p1213qp3

248x3

31x2

y

12y4x524y6x3

12y3x213yx5

=−

−=+

−=+−=−

+=

+−=

=+=−

=+=−

Identificar el valor de p en cada determinante, para quese cumpla la igualdad.

134p53

12p342

=−

=

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

511

y;7

22x:Rta

2y;5x:Rta

1y;2x:Rta

2y;4x:Rta

2y;3x:Rta

−=−=

==

−==

−==

==

5p:Rta

12p:Rta

−=

=

EJERCICIOS: ECUACIONES SIMULTÁNEAS


53

M ÉTODO UNO. SOLUCIÓN POR ELIMINACIÓN

El método consiste en que a partir de un sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas, se reduzca a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que ya

sabemos resolver. Para facilitar el proceso, las ecuaciones se enumeran con el fin

de hacer seguimiento en cada paso hasta la obtención del valor de las variables.


( )( )( )32zyx20zyx14zyx

=+−=−+=++

Solución: vemos que las ecuaciiones están enumeradas.

( )44y2x20zyx4zyx

=+=−+=++

El segundo paso es eliminar la misma incógnita de las ecuaciones 1 y 3.

2zyx4zyx

=+−=++

como debemos eliminar z, entonces la segunda ecuación la multiplicamos por -1,

luego:

( )52y22zyx

4zyx

=−=−+−

=++

Ejemplo 1

Vemos que z se elimina fácilmente, así obtenemos una

ecuación con dos incógnitas, que la denominamos como

la ecuación 4.

Al operar obtenemos la otra ecuación con dos incógnitas,

la denominamos con 5.

UNAD

54

como tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, el tercer paso es utilizar uno de

los métodos estudiados para resolverlos. Para este ejemplo, vemos que la quinta

ecuación solo tiene una incógnita, lo que permite la solución más rápida, ya que

solo es despejar y. Entonces:

1y2y2 =⇒=

El cuarto paso es reemplazar y en la ecuación 4, para hallar el valor de x. Entonces:

( ) 1x2x2412x2 =⇒=⇒=+

El último paso es reemplazar en cualquiera de las ecuaciones originales las

variables conocidas, para hallar la desconocida.

Tomemos la ecuación 1. Entonces:

( ) ( ) 2zluego,24z4z114zyx =−=⇒=++⇒=++

Solución:

2z1y1x

===

El ejemplo se observa extenso, pero por la explicación en cada paso, con buen

trabajo, nos daremos cuenta que no es extenso, más bien dinámico y relativamente

corto.

Resolver el siguiente sistema:

( )( )( )36zy2x27zyx2112zyx

=−+=+−=++

Ejemplo 2


55

Solución: como v emos cada ecuación tiene un número, eliminamos y en (1) y

(2), Entonces:

( )( )

( )419z2x327zyx2112zyx

=+=+−=++

Ahora tomemos (2) y (3)

( )( )36zy2x27zyx2

=−+=+−

multiplicamos (2) por 2 y (3) queda igual.

( )520zx56zy2x14z2y2x4

=+=−+=+−

Las ecuaciones (4) y (5) son de dos incógnitas, que podemos resolver por los métodos

ya estudiados.

Apliquemos igualación, entonces:

( )( )520zx5419z2x3

=+=+

Eliminamos z, para lo cual multiplicamos (5) por (-2), luego:

3x3721

x:Luego

21x740z2x10

19z2x3

=⇒=−

−=

−=−−=−−

=+

como sabemos el valor de x, lo reemplazamos en (4) ó (5) para hallar z, escogemos

(5), luego:

UNAD

56

( ) 5z1520z20z35 =⇒−=⇒=+

Ahora, como conocemos x y z, lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones

originales, para hallar y, escogemos (2); luego:

( ) 4y4y117y711y75y327zyx2 =⇒−=−−=−⇒=+−⇒=+−⇒=+−

Solución:

5z4y3x

===


( )( )( )32z6y4x220z2yx311z3y2x

=+−=−+=+−

Solución: como ya sabemos la metodología, apliquemos los pasos: tomamos (1) y

(2) para eliminar y, ya que tienen signo contrario.

( )( )( )

( )41zx70z4y2x61z3y2x

2por2mosmultiplica20z2yx311z3y2x

=−=−++=+−

+=−+=+−

Ahora tomamos (2) y (3) para eliminar y

( )( )( )

( )52z2x142z6y4x20z8y4x12

luego,4por2mosmultiplica32z6y4x220z2yx3

=−=+−=−+

=+−=−+

Ejemplo 3


57

Eliminamos z de (4) y (5):

( )( )52z2x1441zx7

=−=−

multiplicamos (4) por (-2), entonces:

0002z2x142z2x14

=+=−

−=−−

vemos que las variables se eliminan, lo que indica que el sistema es inconsistente.

Condición: No hay solución.

Nota: recordemos que el sistema no puede tener solución, ya que es inconsistente.

ÉTODO DOS. SOLUCIÓN POR DETERMINANTES

Cuando tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, debemos trabajar

con determinantes de tercer orden.

Determinantes de tercer orden orden son arreglos de tamaño 3 x 3.

333

222

111

zyx

zyx

zyx

A =

Para resolver determinantes de tercer orden hay tres formas:

Primera forma: la llamamos productos cruzados:

[ ] [ ]baA −=

Donde:

M

UNAD

58

( ) ( ) ( )132321321 zyxxzyzyxa ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

( ) ( ) ( )123312123x xzyzyxzyb ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Segunda forma: conocido como el método de «Sarrus» consiste en aumentar

las dos primeras filas a continuación de la tercera fila y hacer productos cruzados,

veamos:

[ ] [ ]γ−β=A

Donde:

( ) ( ) ( )213132321

222

111

333

222

111

zyxzyxzyx

zyx

zyxzyxzyx

zyx

⋅⋅⋅ ⋅+⋅+⋅==β

( ) ( ) ( )322231123

222

111

333

222

111

zyxzyxzyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

⋅⋅⋅ ⋅+⋅+⋅==γ

Tercer forma: el método por cofactor, que explicamos con la siguienteilustración:

333

222

111

zyx

zyx

zyx

333

222

111

zyx

zyx

zyx


59

3y3x2y2x

13z3x2z2x

1y3z3y2z2y

1

333

222

111zxA

zyxzyxzyx

A +−=⇒=

Ahora, podemos resolver los determinantes de 2 x 2, para obtener la solución

general.

( ) ( ) ( )2y3x3y2x12z3x3z2x12z3y3z2y1 zyxA ⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅ +=

De esta manera podemos resolver determinantes de tercer orden:

Resolver el siguiente determinante:

a) Por productos cruzados

b) Por Sarrus

322413132

D−−

−=

Solución:

a) Por productos cruzados

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ] [ ] ( ) ( )

27D

4124162722466D

242333112243123312D

−=

−=++−−+−=

−−++−−+−+−−=

b) Por Sarrus

Ejemplo 1

UNAD

60

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]333422211432123312

413132322413132

D +−−+−−+−+−−=

−−

−−

−

=

27D274124D

−=−=−=

Resolver el determinante dado por Sarrus y por cofactores:

242321034

P−

−=

Solución: por Sarrus:

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]231344022332041224

321034242321034

P +−+−−−++−=−−

−

=

8P4234P

=+−=

Por cofactores:

( ) ( )

( ) ( )8P

24328384P

062312444221

02231

32432

4P242321034

P

=−−=−−−=

++−−−=−

+−

−−=⇒−

−=

[ ] [ ] ( ) ( )4124271622466 −=++−−+−=

Ejemplo 2

[ ] [ ] ( ) ( )4234648018016 −−−=+−−−+−=


61

Nota: la regla de Sarrus, solo es utilizable para determinantes de 3 x 3, el

método de cofactores se puede utilizar para determinantes de mayor tamaño.

Ecuaciones por determinantes: sabiendo cómo se resuelven determinantes

de tercer orden, (3 x 3) ahora vamos a analizar la solución de 3 ecuaciones con 3

incógnitas.

«Kramer» propuso una técnica para resolver este tipo de sistema. Veamos el

procedimiento.

Dado el sistema:

3333333

2222222

1111111

dzcybxadzcybxa

dzcybxa

=++=++

=++

Entonces, primero definimos el determinantes de coeficientes.

0dondecbacbacba

333

222

111≠∆=∆

Ahora definimos los determinantes para cada variable.

para x: para y: para z:

333

222

111

z

333

222

111

y

333

222

111

xdbadbadba

cdacdacda

cbdcbdcbd

=∆=∆=∆

Finalmente, la solución para cada variable:

∆∆

=∆

∆=

∆∆

= zyx zyx

como podemos ver para que el sistema tenga solución, el determinante de

coeficientes debe ser diferente de cero.

UNAD

62

Ejemplo 1

Resolver el sistema dado:

14z3y3x28zy2x35zyx

=++=++=++

Solución: hallamos el determinante de coeficientes; y lo resolverlos.

332123111

=∆

se puede resolver por productos curvados, por Sarrus o por cofactores.

1

15733223

13213

13312

=∆

=+−=+−=∆

¿Qué método se utilizó?

Calculemos los determinantes de las variables.

[ ] [ ]

( ) ( )

1

6768152428142430

513318121414111383253314128115

x

x

x

=∆

−=++−++=∆

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==∆→

¿Qué método se utilizó para resolver el determinante x∆ ?


63

( ) ( )1

7576451416104224

y

y

=∆

−=++−++=∆

( ) ( ) ( )

3

325264

495164224283223

514283

114382

11432823511

z

z

z

=∆

=+−=∆

−+−−−==+−===∆→

Ahora:

313

z

111

y

111

x

==

==

==


0z4y2x20y2x3

0z2yx

=−+−=+

=+−

Solución: con el procedimiento descrito, realicemos la solución secuencialmente.

( )3531141281 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

( ) (1521143381

183151

3142183151

3142

183151

y −⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅===∆→

Ejemplo 2

UNAD

64

P

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )0

04401280128

1024132222.0.1223421422023211

=∆=−=++−−++−=∆

⋅⋅+−⋅−+⋅⋅−−−−+⋅⋅+−⋅=−−

−=∆

como el determinante de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución, es

inconsistente, La única solución que se podría tomar es: x = y = z = 0.

(Ver ejercicios ecuaciones simultáneas, página 65).

ROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Con el estudio de ecuaciones de primer grado, ahora entraremos a su aplicación

por medio de la resolución de problemas. Lo nuevo en esta parte es que a partir

del contexto y descripción del problema, se debe plantear la ecuación o ecuaciones,

para luego resolverlas.

Es pertinente tener en cuenta para resolver problemas con ecuaciones, los si-

guientes aspectos, los cuales permitirán obtener resultados claros y verdaderos.

1) Se debe leer bien el contexto del problema hasta que quede completamente

entendido. Si es necesario, leerlo las veces que se requieran para comprenderlo.

2) Llevar dicho problema a un lenguaje matemático, a través de símbolos como

coeficientes, variables, igualdades, otros; llamado modelación matemática.

3) Si es necesario utilizar gráficos, tablas y otros; como ayuda para la ilustración

del problema.

4) Realizar las operaciones necesarias, para obtener el valor de las incógnitas.

5) Identificar la respuesta y hacer su respectiva verificación.


65

EJERCICIO: ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Resolver por eliminación los siguientes sistemas:

83y2x4

1zyx232

zyx3

10z2y2x34zyx2

7z3y2x

=+

=+−

=−+

−=−+−=++

=+−

Resolver los siguientes sistemas por determinantes:

4z3yx41zy2x33z2y3x2

0zyx0z2y2x

0zyx2

10z2y2x34zyx27z3y2x

=−+=++−

−=+−

=++=−−

=++

−=−+−=++=+−

6. Describir explícitamente las reglas de Sarrus y de Kramer; para qué son

útiles estas teorías.

1.

2.

3.

4.

5.

1z;32

y;31

x:Rta

1z;1y;2x:Rta

===

=−==

211

z,2131

y,32

x:Rta

c,c,0x:Rta

1z;1y;2x:Rta

===

−=

=−==

UNAD

66

u Ecuaciones de primer grado con una incógnita:problemas

La teoría sobre solución de problemas con ecuaciones, se describió anteriormente.

Para resolver problemas de una ecuación con una incógnita, es más pedagógico

proponer ejercicios modelos, los cuales nos ilustrarán el proceso.

Escribir en modelación matemática la siguiente situación. El área de un triángulo

es la mitad del producto de la longitud de la base y la altura.

Solución: sea A = área del triángulo, b= longitud de la base, h la longitud del

triángulo. Finalmente la mitad del producto será h.b21

, luego:

h.b21

A =

Un padre debe repartir su fortuna entre sus dos hijos, la cual es de 100.000, si al

hijo mayor le corresponde x cantidad de la fortuna, ¿qué cantidad le corresponde

al hijo menor?

Solución: llamemos cantidad de la herencia del hijo menor y, como la del hijo

mayor es x, entonces:

y = 100.000 - x, cantidad que le corresponde al hijo menor.

Un carpintero debe cortar una table de 6m de largo, en tres tramos. Si cada

tramo debe tener 20 cm más que el anterior ¿cuáles serán las longitudes de cada

tramo?

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3


69

Hacer el planteamiento del problema y resolverlos adecuadamente.

1. La suma de dos números enteros, positivos es igual a 12, uno de ellos es el

doble del otro. ¿Cuáles son los números?

Rta: 4 y 8

2. Un voceador reparte el peródico en 1.800 seg; su compañero lo hace en 120

seg, ¿cuánto tardará en entregar el peródico si lo hace simultáneamente?

Rta: 720 seg.

3. Se desea construir un silo para granos en forma de cilindro circular y

semiesférico en la parte superior. El diámetro del silo debe ser de 30 pies,

¿cuál será la altura del silo, si la capacidad debe ser de 11.250 3pieπ ?

Rta: 55 pies

4. El largo de un campo de baloncesto es 12 metros mayor que su ancho, si el

perímetro es de 96 metros, ¿cuáles son las dimensiones del campo?

Rta: largo = 30 metros

ancho= 18metros

5. En un triángulo, el ángulo más pequeño es la mitad del mayor y las dos

terceras partes del ángulo intermedio, ¿cuáles serán las medidas de los ángulos?

Rta: menor: 40°, intermedio= 60°

y mayor 80°

6. Un fabricante de grabadoras reduce el precio de un modelo en el 15%, si el

precio con el descuento es de $125.000, ¿cuál será el precio original del modelo

de la grabadora.

Rta: $147.059

3pies30

EJERCICIOS: PROBLEMAS ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

UNAD

70

u Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:problemas

Con el desarrollo de ecuaciones de primer grado con una incógnita, se ha adquirido

alguna destreza en el planteamiento y resolución de problemas. No olvidemos los

5 pasos que se referencian al inicio de esta sección para resolver ecuaciones.

Para ésta sección, analizaremos problemas donde participan 2 variables en el

planteamiento y resolución de problemas diversos, lo que nos indica que debemos

plantear 2 ecuaciones con 2 incógnitas, la forma de solución ya se han estudiado

en temáticas anteriores.

Una industria tiene dos tipos de equipos para comunicación, el tipo A cuesta

$67.000 y el tipo B cuesta $100.000, si fueron vendidos 72 equipos por $5´880.000

¿cuántos equipos de cada tipo fueron vendidos?

Solución: debemos plantear dos ecuaciones, una para cantidad de equipos y

otra para costo de los mismos.

Cantidad equipos:

x= equipos tipo A

y= equipo tipo B, luego:

x + y = 72

Costo de equipos: 67.000 x + 100.000y = 5´880.000

tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas, vamos a utilizar reducción:

x + y = 72

67.000 + 100.000y= 5´880.000

multiplicamos la primera ecuación por -100.000 para eliminar y, luego:

- 1000.000 x - 100.000 y = -7´200.000

67.000x + 100.000 y = 5´880.000

Ejemplo 1


71

operando:

40000.33

000.3201́x

000.3201́x000.33

=−

−=

−=−

como x =40 corresponde a equipo tipo A.

Para hallar y, reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales:

324072yx72y72yx =−=⇒−=⇒=+

Respuesta:

Equipos de tipo A vendidos: 40

Equipos de tipo B vendidos: 32

Sea una solución obtenida al mezclar 2 soluciones de 5% y 20%, se quiere obtener200 ml de la solución con una concentración de 15%, ¿cuántos ml de las solucionesse deben mezclar?

Solución:

x= solución al 5%y = solución al 20%ecuación para volumenx + y = 200

ecuación para concentración

( )

30y20.0x05.0200yx:Luego

30y20.0x05.020015.0y20.0x05.0

=+=+

=+⇒=+

Por sustitución como :entonces,y200x200yx −=⇒=+

Ejemplo 2

( )

67,6633,133200x:luego,20033,133x200yxcomo:xhallarpara

33,13315.0

20y

20y15.01030y15.030y20.0y05.010ydespejamos,30y20.0y20005.0

=−==+⇒=+

==

=⇒−=⇒=+−=+−

UNAD

72

Por consiguiente, se deben mezclar 66,67 ml de solución al 5% y 133,33 ml desolución a 20%.

El costo de arreglo para equipos de computación es de $6.000; su costo unitario es

$400. El costo de arreglo para equipos de comunicación es de $8.000; su costo

unitario es $300. ¿Cuál será el punto de equilibrio, sabiendo que éste se consigue

cuando los costos son equivalentes?

Solución:

=1c costo fabricar x equipos computación

=2c costo fabricar x equipos comunciación

x= cantidad unidades fabricadas

Entonces; para equipos de computación:

000.6x400c1 +=

para equipos de comunciación:

000.8x300c2 +=

20100200

x

000.2x100

000.6000.8x300x400

00.8x300000.6x400

:Luego.cc:equilibriopunto 22

==

=

−=−

+=+

=

Entonces el punto de equilibrio se consigue cuando se fabrican 20 unidades.

Ejemplo 3


73

Ejemplo 4

Los ángulos βα y son suplementarios, pero uno es 4 veces y 3 grados mayor que

el otro. ¿Cuáles son las medidas de βα y ?

Solución:

Seaα = ángulo mayor y β = ángulo menor

°=β−α⇒°+β=α

°=β+α

3434

)slementariosupángulos(180

Tenemos 2 ecuaciones con dos incógnitas. Apliquemos reducción:

°=α°=α

°=β−α°=β+α

6,1447235

3472044

Ahora hallamos β , como °−°=β⇒°=β+α 6,144180180

°=ρ°=α°=β

4,35y6,144:Luego4,35

En un circuito en serie, la resistencia total, es la suma de las resistencias

componentes. Un circuito en serie está compuesto por dos resistencias 21 RyR ,

la resistencia total es de 1.375 ohmios, para suministrar el voltaje requerido,

1R debe tener 125 ohmios más que 2R . ¿Cuál será el valor de las resistencias?

Ejemplo 5

UNAD

74

Solución:

Sea 375.1RR 21 =+ ohmios, por otro lado

125RR 21 += ohmios, luego ordenando, tenemos dos ecuaciones, en dos

incógnitas.

125RR375.1RR

21

21=−=+

resolvermos por sustitución, como: 375.1RR 21 =+ y además 125RR 21 += ;

reemplazamos 1R en la primera ecuación, luego:

( )

6252250.1R

250.1R2125375.1R2375.1125R2

375.1R125R

2

222

22

==

=⇒−=⇒=+

=++

por consiguiente la resistencia, para hallar la resistencia 1R , reemplazamos el

valor de 2R en cualquiera de las ecuaciones planteadas.

( )

750R

625375.1R375.1625R375.1RR

1

1121

=

−=⇒=+⇒=+

Respuesta:

ohmios625Rohmios750R

2

1==


75

EJERCICIOS: PROBLEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES

Leer cuidadosamente los problemas propuestos y resolverlos haciendo los pasos

necesarios en la resolución de los mismos.

1. Un ángulo mide 46° más que su complementario, ¿cuál será la medida de los

ángulos?

Rta: 22° y 68°

2. Si en una distribuidora de dulces, 4 paquetes de dulce y 4 paquetes de galletas

valen $7.00, dos paquetes de galletas cuestan $20 más que un paquete de

dulces. ¿Cuánto cuestan un paquete de galletas y un paquete de dulces?

Rta: Galletas = $665

Dulces$1.310

3. Un automóvil recorre 50 km en el mismo tiempo que un avión viaja 180 km.

la velocidad del avión es de 143 k/hr más que la del automóvil. ¿Cuál será la

velocidad del automóvil?

Rta: 55 km/hr

4. El perímetro de un rectángulo es de 16 metros, su área es de 15m2. ¿Cuáles

son las dimensiones del rectángulo?

Rta: Largo = 5 mts.

Ancho= 3 mts.

5. Para entrar a una función de teatro se tienen dos tipos de entradas. elpreferencial vale $4.500 y el popular vale $3.00, si se vendieron 450 boletas,para un recaudo de $1´819.500. ¿Cuántas boletas de cada clase se vendieron?

Rta: Preferencia= 313 Popular= 137

6. Se desea preparar 200 litros de ácido nítrico al 34%; a partir de dos solucionesde 28% y 36% de concentración de ácido. ¿Cuáles deberán ser la cantidades deácido a utilizar de cada uno; para obtener la solución?

Rta: Solución al 28%= 50 lt Solución al 36% = 150 lt

UNAD

76

Ejemplo 1

u Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas: problemas

El método de solución de ecuaciones de este tipo es similar a los casos anteriores,

algunos ejemplos nos ilustrarán dicha situación.

La suma de tres números es 4. El primero más dos veces el segundo más el

tercero es 1. Por otro lado, tres veces el primero más el segundo, menos el tercero

es -2. ¿Cuáles son los números?

Solución:

Sea x = primer número

y = segundo número

z = tercer número

Según las condiciones:

( )( )( )34zyx22zyx311zy2x

=++−=−+

=++

Eliminamos inicialmente z, entonces:

( )( )

( )41y3x422zyx3

11zy2x

−=+−=−+

=++

Ahora:

( )52y2x44zyx2zyx3

=+=++

−=−+

De las ecuaciones (4) y (5), eliminamos x, multiplicamos (4) por (-1),luego:

3y2y2x41y3x4

=−=+=−−


77

por consiguiente 3y −=Ahora reemplazamos y en (4) ó (5). hagámoslo en (4)

( )

2x

248

x91x4133x4

=

==⇒+−=⇒−=−−

por último reemplazamos x y y en cualquiera de las ecuaciones originales; tomemos (1).

( ) ( )

5z261z1z3221zy2x

=−+=⇒=+−+⇒=++

Observación: para resolver problemas con ecuaciones del tipo que estamos

estudiando, la mayor dificultad están en plantear las ecuaciones, ya que conocidas

éstas, la solución ha sido ampliamente analizada.

El ángulo más grande de un rectángulo es 70° mayor que el ángulo más pequeño

y el ángulo restante es 10° más grande que tres veces el ángulo más

pequeño.¿Cuáles son las medidas de los ángulos?

Solución:

x = ángulo más pequeño

y = ángulo intermedio

z = ángulo mayor

Las condiciones:

( )1180zyx =++ ¿por qué?

( )270zx −=− ¿por qué?

( )310yx3 −=− ¿por qué?

cada ecuación tiene su justificación, usted debe buscarla y analizarla. Eliminamos

y en las ecuaciones originales, obtenemos:

( )( )5170zx4470zx

=+−=−

Por favor hacer el procedimiento que permitió obtener las ecuaciones (4) y (5).

Resolviendo (4) y (5): x = 20 y z=90, verificar estos resultados, finalmente y = 70.

respueta: los ángulos son 20°, 70° y 90°.

Ejemplo 2

UNAD

78

Resolver aplicando los principios estudiados sobre ecuaciones lineales, los siguientes

problemas.

1. Un Biólogo desea probar un fertilizante a partir de tres clases existentes,

referenciados 321 F,F,F , cuyo contenido de nitrógeno es 30%, 20% y 15%,

respectivamente. El Biólogo quiere trabajar con 600 kg de mezcla con un

contenido de nitrógeno del 25%. La mezcla debe contener 100 kg más de 3F

que da 2F . ¿Cuánto requiere el Biólogo de cada tipo de fertilizante?

Rta: 1F =380 kg, 2F =60kg, 3F =160kg

2. Determinar la parábola cbxaxy 2 ++= , que pasa por los puntos

( ) ( ) ( )3,2P,7,2P,2,1P 321 −−− .

Rta: 3xx2y 2 ++−=

3. En la caja de un banco hay $880 en billetes de $5, $10 y $50. La cantidad de

billetes de $10 es el doble de la de $50, si hay en total 44 billetes. ¿Cuántos

billetes de cada denominación tiene la caja del banco?

Rta: de $5 = 8 billetes

de $10 = 24 billetes

de $50= 12 billetes

4. Para tres grupos de investigación, hay $1´360.000. La cantidad de científicos

en total es 100. Cada científico del primer grupo recibió $20.000 millones, del

segundo grupo; cada científico recibió $8.000 millones y del tercer grupo; cada

científico recibió $10.000 millones. Los científicos del primer grupo recibió 5

veces más fondos que el segundo grupo. ¿Cuántos científicos hay en cada

grupo de investigación?

Rta: del primer grupo = 40

del segundo grupo = 20

del tercer grupo= 40

EJERCICIO: PROBLEMAS ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS


79

CUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones de segundo grado han sido motivadas desde tiempos

inmemoriables,inicialmente la necesidad de resolver problemas de áreas y

volúmenes condujeron a manipular ecuaciones de este tipo. Como los números

negativos aparecieron tarde en la historia de las matemáticas, en sus inicios el

manejo de ecuaciones de segundo grado fue con números positivos.

Se reconocen cinco tipos de ecuación de segundo grado, a saber:

cbcx;cbxx;bxcx;cx;bxx 22222 =++==+==

. La ecuación de tipo: bxx2 = , tiene una única solución: x = b, ya que no se

acepta a cero como la solución

. La ecuación de tipo: cx2 = , equivale a hallar la raíz cuadrada de un número.

Para esto existen diversos métodos, como el de tanteo, el de Herón, el deEuclides.

Método Herón: Herón de Alejandría en el Siglo I, propuso una forma de hallar

la raíz cuadrada de un número positivo así, si tenemos por ejemplo 2x2 = .

Suponemos que la solución es 3/2, para hallar una nueva aproximación aplicamosla siguiente regla.

1217

234

23

223/22/3

=+

=+

, la siguiente aproximación:

...2454142215686,1408577

21724

1217

2217/1212/17

≅=+

=+

Que es una buena aproximación a 2 .

Es de anotar que el proceso se debe repetir tantas veces como se desee obteneruna buena aproximación.

E


83

u Técnica por factorización

Se soporta en la regla del producto nulo «si a y b son números reales y a.b = 0,

entonces a = 0 ó b =0», como una ecuación de segundo grado se puede expresar

como producto de dos factores lineales, aplicamos la regla del producto nulo y

obtenemos la solución.

Debemos resaltar que las ecuaciones de tipo 0cbxax2 =++ , si factorizamos el

trinosmio obtenemos:

( ) ( ) 0qxpx 21 =λ+λ+

Aplicando la regla del producto nulo, tenemos:

0qxó0px 21 =λ+=λ+

Despejamos la incógnita para obtener las dos soluciones:

qxy

px 21 λ

=λ

=

El despeje es simbólico, ya que en cada caso debemos tener presente los signos de

las cantidades.

Resolver la ecuación 018x3x3 2 =−−

Solución: factorizamos; ya hemos estudiado este tipo de factorización, en caso

de reforzar, consultar el tema en matemáticas básicas.

( )

( ) ( ) ( )( ) 02x9x303

6x39x3

03

54x33x30

3

18x3x83 22

=+−⇒=+−

=−−

⇒=

−−

Ejemplo 1

UNAD

84

por la regla del producto nulo, tenemos:

2xy3x:spuestaRe2xy3x02xó09x3

−==−==⇒=+=−

Hallar la solución de la ecuación: 025x10x2 =+−

Solución: factorizando el trinomio como se estudió en las técnicas de factorización.

( )( ) 05x5x25x10x2 =−−=+−

Aplicamos la regla del producto nulo: 5x05x =⇒=− . Igual para el segundo

factor. Luego la solución x = 5.

Observación: en el ejemplo 1, la solución fue real y diferente, en el ejemplol 2,

la solución fue real e igual. En el siguiente ejemplo vemos una solución imaginaria.

Determinar el valor de x para la ecuación: 016x2 =+ .

Solución: 16x16x016x 22 −±=⇒−=⇒=+ , como vemos es una raíz par

de número negativo, cuya solución es imaginaria.

i4x ±= ¿recordamos los números imaginarios? ¡Por favor repasar!

Respuesta:

x = + 4i

x = - 4i

Nota: en el módulo de matemáticas básicas, se presenta todo lo relacionado connúmero imaginario.

Ejemplo 2

Ejemplo 3


85

En el ejemplo 3, para muchos autores es llamado el método de extracción de raíz.

Por este camino las soluciones pueden ser imaginarias o reales.

Hallar la solución de: 025x9 2 =−

Solución: la idea es despejar x, luego 25x9 2 =

35x

925x

925x2 ±=⇒±=⇒=

Respuesta:

3/5xy3/5x −=+=

Resolver la ecuación: 04x2x2 =−−

Solución: como es un trinomio de la forma 0cbxx2 =++ , factorizamos como

indica la técnica; dos números que multiplicados sea igual a c y sumados sean

igual a b, luego:

( ) ( ) 0?x?x4x2x2 =+−=−−

vemos que no es fácil identificar dos números que multiplicados sean igual a 4−y sumados sean igual a 2− , para estos casos hay otra técnica que veremosposteriormente.

u Técnica de completar cuadrados

En muchas ocasiones, el trinomio propuesto en la ecuación no se puede resolver

directamente por factorización o por extracción de raíz. Entonces lo que se hace

Ejemplo 4

Ejemplo 5

UNAD

86

para resolver la ecuación propuesta, es hacer una transformación que permita

obtener un «trinomio cuadrado perfecto», técnica llamada completar cuadrados.

Sea la ecuación: 0cbxx2 =++ no se puede factorizar en forma completa

2bc

4bx

c2b

2b

x

c2b

2b

x

c2b

2bbxx

cbxx

2

2

22

222

2

−−±=

−

±=+

−

=

+

−

=

++

−=+

Así se obtiene las dos soluciones para l a ecuación propuesta.

Resolver la ecuación: 02x6x2 =−+

Solución:

02x6x2 =−+ completamos cuadrados

226

26

x6x22

2 +

=

++ simplificando

Se adiciona a la ecuación 2

2b

, para

tener un trinomio cuadrado perfecto al lado

izquierdo de la ecuación.

Extraemos raíz cuadrada.

finalmente

Ejemplo 1


87

119x6x2 =++ aplicando trinomios cuadrados perfectos

( ) 113x 2 =+ despejamos x

311xy311x

113x

−−=−±=

±=+

Hallar la solución de la ecuación: 015x2x2 =−+

Solución: 15x2x015x2x 22 =+⇒=−+ , completamos cuadrados

( )

14x

luego,161x161x161x2x

ndodesarrolla2215

22x2x

22

222

−±=

±=+⇒=+⇒=++

+=

++

Respuesta: 514xy314x −=−−==−=

u Técnica por la fórmula cuadrática

Hay situaciones donde las técnicas anteriores no permiten o es muy difícil obtener

la solución. Se ha identificado una forma más rápida de resolver una ecuación de

segundo grado con una incógnita.

Sea la ecuación: 0cbxax2 =++ , con a, b, c R∈ y 0a ≠

a2

ac4bbx2 −±−= fórmula cuadrática

Ejemplo 2

UNAD

88

Demostración:

Para obtener la fórmula, aplicamos el principio de completar cuadrados, luego:

cbxax0cbxax 22 −=+⇒=++ , el coeficiente de 2x debe ser uno, luego dividir

toda la ecuación por a, entonces:

acx

abx2 −=+ . Completamos cuadrados en la parte izquierda de la ecuación.

2

2

2

22

222

a4

ac4bac

a4

ba2b

x

operandoac

a2b

a2bx

abx

−=−=

+

−

=

++

a2ac4bb

x

a4

ac4ba2bx

:luegoa2

ac4b

a4

ac4ba2b

x

2

2

2

2

2

2

−±−=

−±−=

−±=

−±=+

En la ecuación observamos que las soluciones las determinan los signos del radical.

Así las dos soluciones son:

a2ac4bb

xya2

ac4bbx

2

2

2

1−−−

=−+−

=

A la expresión ac4b2 − se le llama el Discriminante, debido a que su valor

indica el tipo de solución de la ecuación dada.

extraemos la raíz para despejar x

operando las fracciones

Así queda demostrado la ecuación general

de segundo grado


89

Veamos algo más sobre el discrimante ∆ :

ac4b2 −=∆

. Si 0>∆ , hay dos soluciones reales y diferentes

. Si 0=∆ , hay dos soluciones reales iguales, Una raíz con multiplicidad dos

. Si 0<∆ , hay dos soluciones imaginaria diferentes

Resolver la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática 08x6x2 =+−

Solución: en el trinomio dado a = 1, b =-6, c = 8; entonces

( ) ( ) ( )( )( )

2xy4x:spuestaRe

224

226

x

428

226

x

luego,2

262

32366

12

81466x

21

2

1

2

==

==−

=

==+

=

±=−±

=−−±−−

=

Resolver

02x4x3 2 =+−

Ejemplo 1

Ejemplo 2

UNAD

90

E

Solución:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

2i22

xy2

i22x

3i22

6i224

61244

x

684

624164

3223444

x

21

2

−=

±=

±=

±=

−⋅⋅±=

−±=−±

=−−±−−

=

vemos que en este ejemplo la solución no es real.

Resolver: 02yy4 2 =+−

Solución: aplicando la fórmula

( ) ( ) ( )( )( ) 8

3118

321142

24411y

2 −±=

−±=

−−±−−=

las soluciones son:

8i311yy

8i311y 21

−=±=

Para resolver ecuaciones por medio de la fórmula cuadrática, sólo requiere

identificar a, b y c; en la ecuación planteada, además, del signo de cada valor.

CUACIONES DE GRADO N (N = PAR)

A veces se pueden presentar ecuaciones de la forma: 0cbxax mn =++ donde

m = n/2. La idea es reducir el grado hasta cuando n = 2, para resolverlo comouna cuadrática. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 3


91

Resolver la ecuación: 04x5x 24 =+−

Solución: si hacemos un cambio de variable, 2xu = , entonces 42 xu = , luego:

04u5u2 =+= , la podemos resolver por factorización

( ) ( ) 01u4u4u5u2 =−−=+=

aplicando la regla del producto nulo

1uy4u01uó04u ==⇒=−=−

ahora reemplzamos 2xporu , luego:

1x1x

2x4x2

2

±=⇒=

±=⇒=

Respuesta:

1x,1x,2x,2x 4321 −==−== tenemos 4 soluciones, según el grado de la

ecuación propuesta.

Resolver la ecuación: 016y6y 510 =−+

solución: hacemos cambio de variable, 1025 ywluego,yw == , entonces:

( )( )

2w02w8w08w

nuloproductopor02w8wosfactorizam,016w6w2

=⇒=−−=⇒=+

=−+=−+

reemplazamos w por 5y , entonces:

55

55

2y2y

8y8y

=⇒=

−=⇒−=

Ejemplo 1

se extrajo raíz cuadrada

Ejemplo 2

UNAD

92

como la ecuación es de grado 10, entonces deben haber 10 soluciones, aquí

encontramos solo dos, las 8 restantes se pueden obtener por métodos matemáticos

avanzados.

Resolver la ecuación: 015x2x 3/13/2 =−+

Solución: como en los casos anteriores, hacemos cambio de variable.

( ) ( )

3u03u5u05u

nuloproductoleypor03u5uiónfactorizacpor,015u2u

luego,xuentonces,xu2

3/123/1

=⇒=−−=⇒=+

=−+=−+

==

reemplazamos 3/1xu = , entonces:

( )

27xy125x:spuestaRe

27x3xluego,3x

125x5x:asíxdespejamos,5x

21

333/13/1

333/13/1

=−=

=⇒=

=

−=⇒−=

−=

Demuestre que la solución para: 06yy 3/13/2 =−− ; es 27 y 8.

Solución: el proceso es similar, solo el cambio de variable que será: 3/1xv = ; lo

demás es igual.

Ejemplo 3

Ejemplo 4


93

CUACIONES CON RADICALES

Cuando se presentan ecuaciones con radicales, al eliminar el radical, ésta se

reduce a una ecuacións cuadrática, siempre y cuando el índice de la raíz sea par.

Aquí vamos a analizar fundamentalmente las raíces cuadradas.

Resolver: 44xx =−+

Solución: partiendo de 44xx =−+ , dejamos el radical solo, entonces

( ) ( )224x4xx44x −=−⇒−=− . Así eliminamos el radical, luego

020x9xxx8164x 22 =+−⇒+−=−

Apliquemos la cuadrática para resolverla

( ) ( ) ( )( )( )

4xy5x:spuestaRe

428

219

x

52

102

19x

219

2

80819

12

201499x

21

2

1

2

==

==−

=

==+

=

±=−±

=−−±−−

=

Hallar los valores de la variable en la ecuación: 22x3x2 =−−+

Solución: como 22x3x2 =−−+ , entonces

2x23x2 −+=+ , elevamos al cuadrado

E

Ejemplo 1

Ejemplo 2

UNAD

94

2x2x443x2 −+−+=+ simplificando

2x41x −=+ , volvemos a elevar alcuadrado

( )2x161x2x2 −=++ , reorganizando

033x14x2 =+− , por factorización

( ) ( ) 03x11x =−− , por ley de producto nulo

Respuesta:

3x11x

==

Ejercicios

Resolver

06xx

29x1x3

36 =−+

=+−+

CUACIONES CON FRACCIONES

No se puede dejar pasar por alto unas ecuaciones muy particulares, son ecuaciones

con fracciones que pueden llevarse a ecuaciones lineales o cuadrática. Veamos

algunos ejemplos.

Resolver la ecuación: 102x

3x =+

E

1.

2. 64x:Rta

16xy0x:Rta

=

==

Ejemplo 1


95

Solución: operamos las fracciones

125

60x60x510

6x3x2

102x

3x

==⇒=⇒=+

⇒=+

Luego: x = 12, para este ejemplo se llegó a una ecuación lineal de primer grado.

Hallar el valor de y para: 1y2

2yy

−=

+

Solución: operamos las fracciones, buscando común divisor:

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( ) 1yy4y01y4y

osfactorizam,04y3y01y2y

4y2yy

luego,01y2y

2y2y1y0

1y2

2yy

22

−==⇒=+−

=−−⇒=−+

−−−

=−+

+−−⇒=

−−

+

Recordemos la forma de obtener el común denominador en fracciones algebraicas,

consultemos el módulo de matemáticas básicas.

Resolver la ecuación:4x

4x1

2xx

2

2

−

+=+

−

Solución:

( )0

4x

4x2x2x2

4x

4x2x

2xx2

2

2

2=

−

+−

−−

⇒−

+=

−−+

, buscamos el común denominador

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Nota: No olvidemos el manejode fracciones

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 2xy4x02x4xosfactorizam,08x2x

luego,04x4x2x202x2x

4x2x2x2

2

222

=−⇒=−+=−+

=−−−+⇒=+−

+−+−

UNAD

96

ROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Muchos fenómenos del mundo que nos rodea, se pueden expresar matemáticamente

por medio de ecuaciones cuadráticas. Para resolver problemas de este tipo, se

debe seguir la metodología planteada en la sección anterior donde se resolvieron

problemas con ecuaciones de primer grado.

La forma más pertinente de explicar este tipo de problemas, es por medio de

ejemplos modelos, por favor analizarlos detenidamente.

La cuarta parte del producto de dos números enteros pares consecutivos es 56

¿cuáles son los números?

Solución: sea x = entero par positivo, luego x + 2 = entero par consecutivo.

Según las condiciones del problema:

( ) ( ) 562xx41

=+⋅ , modelo matemático para el problema

0224x2x224x2x 22 =−+⇒=+ , factorizamos

( ) ( ) 014x16x =++ , por regla del producto nulo

14x014x16x016x

=⇒=−−=⇒=+

como se trata de entero par positivo, la primera solución es x = 14 y x +2 = 16.

La raíz cuadrada de un número más 4, es lo mismo que el número menor 8, ¿cuál

es el número?

P

Ejemplo 1

Ejemplo 2


97

Solución: x = número dado

8x4x −=+ , según las condiciones del problema

( ) ( )228x4x −=+ , para eliminar la raíz

060x17x64x16x4x 22 =+−⇒+−=+

por la cuadrática

( ) ( ) ( )( )( )

52

717xy12

224

x

luego,2

7172

4917x

224028917

1260141717

21

2

=−

===

±=

±=

−±=

−−±−−=

Calcular las dimensiones de un rectángulo, cuya área es de 375 m2, además, el

largo es el doble del ancho menos cinco metros.

Solución:

Según las condiciones del problem a, la

gráfica nos ilistra dicha situación

( )( ) 0375x5x2375x5x2 2 =−−⇒=−

por la cuadrática

( ) ( ) ( )( )( )

5,12450

4555

x

154

604555x

4555x

4000.3255

223752455

x

2

1

2

−=−

=−

=

==+=

±=

+±=

−−−±−−=

Ejemplo 3

A = 375 m2( )x

( )5x2 −

UNAD

98

por las condiciones del problema el valor negativo se rechaza, ya que las longitudes

negativa no hay. Entonces la solución es:

Largo: ( ) m255152 =−

Ancho: .m15x =

Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, cuya ecuación de altura

es: tvt16y o2 +−= . Donde ov es le velocidad inicial de lanzamiento. El objeto

es lanzado con una velocidad de 400 m/seg.

a. ¿En qué tiempo el objeto regresa al suelo?

b. ¿Cuánto tarda en alcanzar 2.500 m. de altura?

Solución:

a. Cuando el objeto regresa al suelo y = 0, luego

como t400t160tvt16y 2o

2 +−=⇒+−= , factorizamos

( ) 025tt16 =−− , por ley de producto nulo

25t025t0t0t16

=⇒=−=⇒=−

Luego el tiempo en que el objeto regresa el suelo es de 25 seg.

b. Para que el objeto alcance 2.500 metros será:

( ) ( )( )( )

.seg5,1232400

320400

t

32000.160000.160400

162500.2164400400

t

cuadráticalapor,0500.2t400t16

luego,0500.2t400t16500.2t400t16

2

2

22

==±

=

−±=

−−±=

=+−

=−+−⇒=+−

El tiempo que tarda en alcanzar 2.500 m es de 12,5 seg.

Ejemplo 4


99

( ) ( ) ( )( )( )

30020

700100x

40020

700100x

20700100x

20000.480000.10100

102000.12104100100

x

0000.12x100x10000.10000.2x100x10

2

1

2

22

−=−

=

=+

=

±=

+±=−−−±−−

=

=−−⇒=−−

En una planta manufacturera el costo mensual de producir x unidades está dado

por la ecuación: ( ) 000.2x100x10xc 2 −−= ¿cuántos productos se pueden

manufacturar para un costo de 10.000 pesos?

Solución:

( ) 000.10cpara000.2x100x10xc 2 =−−= , entonces

La suma de los primeros n enteros pares consecutivos está dada por la

ecuación: ( )1nnS += ¿cusántos enteros n pares consecutivos y positivos se deben

sumar para que dicha suma sea de 342?

Solución:

( )( )( ) 18ny19n018n19n

osfactorizam,0342nn342nn1nnS 22

=−=⇒=−+=−+⇒=+⇒+=

Ejemplo 5

Ejemplo 6

se toma la solución positiva, por obvias razones, x = 400 unidades producidas

UNAD

100

es obvio que por l as condiciones del problema se escoge n = 18. Entonces se deben

sumas los 18 primeros enteros pares consecutivos positivos.

Una turbina puede llenar un tanque en 5 hr más rápido que otra turbina. Las

dos turbinas pueden llenar el tanque en 5hr, ¿cuánto tiempo tomará llenar el

tanque a cada una?

Solución: como el tiempo está en el cociente de un flujo másico, entonces

tiempo llenado turbina más lenta x1

tiempo llenado turbina más rápida 5x1+

tiempo llenado por los dos simultáneamente es 51

, luego:

( ) 51

x5x

5x251

5xxx5x

51

5x1

x1

2=

+

+⇒=

+++

⇒=+

+

por el principio de fracciones equivalentes:

( )

( ) ( )( )

09,32

18,115x

09,82

18,115x

218,115

22514255

x

cuadráticalapor025x5x

025x10x5xx5x5x25

1

1

2

22

=−=

=+

=

⇒±

=−−±−−

=

=−−

⇒=−−+⇒+=+

como el tiempo es positivo, escogemos como solución x = 8,09.

Luego x = 8,09 será el tiempo de la turbina más lenta

x + 5=13,09 será el tiempo de la turbina más rápida

Nota: vemos que como en los casos anteriores, la dificultad está en plantear la

ecuación, y que una vez obtenida, la solución se puede hacer por los métodos que

hemos estudiado para este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 7


101

EJERCICIOS: PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Lea cuidadosamente cada problema y con los conocimientos adquiridos resuélvalos

adecuadamente.

1. Dos números enteros consecutivos pares tienen como producto 168 ¿cuáles son

dichos números?

Rta: 12 y 14

2. El largo de un rectángulo es de 4 metros y el ancho de 2 metros, si las

dimensiones se aumentan en la misma cantidad, el área del nuevo rectángulo

será el doble del área original ¿cuáles serán las dimensiones del nuevo

rectángulo?

Rta: Largo 5,12 mts.

Ancho 3,12 mts.

3. La ecuación ( )

−+= 2tt1730000.1tp corresponde al crecimiento de una

población en t tiempo; medido en años. La primera medida se hizo en el año

1997, p corresponde a la cantidad de peces en t tiempo.

a. ¿Cuántos peces en t tiempo Rta: 30.000

b. A los cuántos años se mueren

todos los peces Rta: 18,61 a partir del momento de la

primer medida

4. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 7 metros más largo que uno

de sus lados, el perímetro del triángulo es de 392 metros ¿cuál es la longitud

de los lados del triángulo?

Rta: 168 metros, 175 metros y 49 mts.

5. La cantidad de dinero A que resultas al invertir un capital p a una tasa de

interés r compuesto anualmente por dos años está dada por la ecuación

( )2r1pA += . Si $10.000 se invierten a una tasa de interés compuesto

anualmente, el capital aumenta a $12.321 en dos años. ¿Cuánto fue la tasa de

interés?

Rta: r = 11%

UNAD

102

CUACIONES DE TERCER GRADO

Aunque este tipo de ecuaciones no tienen un método general; como lo es la fórmula

cuadrática por la de segundo grado, se han estudiado con detalle.

Una ecuación de tercer grado es de la forma:

0dcxbxax 23 =+++

La resolución de ecuaciones de este tipo, se remonta a los babilonios quienes

resolvieron problemas que involucraban raíces cúbicas, tenían planteamientos

como el siguiente:

zyxv;xy;x12z === v= volumen

Lo que era equivalente a resolver la ecuación 3x12v = para lo cual usaron

tablas de potencias cúbicas y raíces cúbicas.

Un profesor de matemáticas de la Universidad de Bolonia, Scipione del Ferro

(1465-1526) fue quien por primera vez resolvió algebraicamente una ecuación

cúbica de la forma qpxx3 =+ .

Posteriormente Nicolo Tartaglia, en una competencia con Fior; alumno de Scipione

del Ferro, resolvió 30 ecuaciones de éste tipo.

El matemático Girolamo Cardano (1501-1576) se inquietó por los avances de

tartaglia y al reunirse con el; en marzo de 1539, éste último revela sus secretos

sobre las ecuaciones a Candano.

Después de muchos ires y venires, la fórmula para resolver ecuaciones de tercer

grado, se le llama Fómula de Cardano-Tartaglia.

Resumiendo todo el largo proceso para llegar a la fórmula, podemos decir, sea la

ecuación: qpxx3 =+ , entonces:

E

u Resoluciones antiguas


103

332

332

3p

2q

2q

3p

2q

2q

x

+

+−+

+

+=

Cardano no aceptó ni coeficientes, ni soluciones complejas para las ecuaciones.

Vale la pena nombrar a Vietá, quien trabajó las ecuaciones cúbicas, utilizando

transformaciones y sustituciones; llegó a obtener ecuaciones cuadráticas para

resolver las primeras. La característica es que solo utilizaba raíces cúbicas

positivas.

Resolución moderna

A partir de los aportes de Cardano- Tartaglia, se ha venido buscando formas más

prácticas para resolver ecuaciones de grado tres. El primer intento llevó a plantear

una fórmulas muy parecidas a la de Cardano- Tartaglia, que eran muy largas y

no muy fáciles de manejar, pero con el estudio de los polinomios se logró establecer

algunos principios que ayudaron a buscar un camino muy dinámico para resolver

ecuaciones de este tipo.

Definición: sea p(x) un polinomio de grado n, sea r un número real o complejo,

tal que p(r)=0. Entonces se dice que r es un cero del polinomio. Por consiguiente

r es una solución o raíz de la ecuación polinómica.

Con la definición anterior, podemos ver que una ecuación de grado tres, se puede

reducir a grado dos, buscando una de sus raíces,ya que:

si ( ) dcxbxaxxp 23 +++= ; además p(r)=0, entonces: ( ) ( )

++−= wqxpxrxxp 2

Este proceso es una forma de linealizar la ecuación, Recordemos que linealizar la

ecuación, es expresar el polinomio de grado n, es n factor de grado uno; es decir,

factores lineales.

Los matemáticos se han preocupado por determinar el tipo de soluciones que

podría tener una ecuación de grado tres. Esto lo podemos resumir en lo siguiente:

Sea la ecuación: 0cbxaxx 23 =+++

u

UNAD

104

Su discriminante 33223 c27b4baca4abc18D −−+−=

El discriminante D, es quien determina el tipo de solución. Partiendo del hechoque una ecuación de tercer grado tiene tres soluciones, entonces:

Si 0D > : la ecuación tiene tres soluciones reales diferentes

Si 0D = : la ecuación tiene tres soluciones reales y por lo menos dos de ellas iguales

Si 0D < : la ecuación tiene una solución real y dos soluciones complejas

Solución de ecuación de tercer grado

Para resolver ecuaciones de tercer grado, la técnica consiste en reducirla a un

producto de dos factores, no lineal y el otro cuadrático,ése último ya sabemos

cómo resolverlo, así obtenemos las tres soluciones.

La reducción del polinomio de grado tres a grado dos, es por medio de la división

sintética de coeficientes, así:

Sea la ecuación 0dcxbxax 23 =+++ , entonces, planteamos la siguiente división:

042a31

rdcba

Donde r será los divisores de a y d positivos y negativos, de tal forma que al

operar: (r . a), se coloca en 1, se opera para tener 2, luego (2.r), se coloca en 3, se

opera para tener 4,luego( 4.r), se coloca con 5 el último residuo debe ser cero. Si

esto no ocurre, el valor seleccionado para r no es cero del polinomio, luego se

prueba con el negativo y si queda igual que el caso anterior, entonces se prueba

con el siguiente número hasta obtener cero en el último residuo como se ve en el

esquema.

Resolver la ecuación: 02x3x3 =+−

u

Ejemplo 1


105

Solución: inicialmente identificamos los coeficientes del polinomio, como falta

2x , se completa con cero. Luego, por otro lado los posibles ceros

son: 2,2,1,1r −−= , que corresponden a los múltiplos de los coeficientes de 3x y

el término independiente. Luego tomamos inicialmente a 1.

0211211

12301

−−

−

El 1 se obtiene al multiplicar 1 x 1, el resultado se opera a cero y obtenemos 1,

luego 1 se obtiene al multiplicar 1 x 1 = 1 y se opera con -3, luego -2 x 1 = -2,

al operar con 2 obtenemos cero.

Así r = 1, es raíz del polinomio, ya que se cumple ( ) 0rp = .

El trinomio se puede expresar así: ( )

−+−=+− 2xx1x2x3x 23

. Los

coeficientes del segundo factor son los números de los residuos obtenidos. Ahora:

( ) ( )1x2x2xx2 −+=−+ , por consiguiente:

( )( ) ( )1x2x1x2x3x3 −+−=+−

Las soluciones de la ecuaicónes; 1,2,1 − .

Como hay dos factores lineales iguales, se dice que tiene una raíz doble o raíz

con multiplicidad dos.

Hallar la solución de: ( ) 1xx3xxp 23 ++−=

Solución:

0121121

11131

−−−−

−Vemos que el último residuo es cero, luego

r = 1 es raíz del polinomio, Entonces:

Ejemplo 2

UNAD

106

( )

−−−=++− 1x2x1x1xx3x 223

. el segundo factor lo resolvemos por la

cuadrática:

( ) ( ) ( )( )( )

211

21x

2222

282

2442

1211422

x2

±=±

=

±=±=+±=−−−±−−

=

Entonces:

21xy21x 21 −=+=

las soluciones: 21,21,1 −+ , tres soluciones reales diferentes.

Hallar las raíces del polinomio: ( ) 14x9x6xxp 23 +−−=

Solución:

014511451

114961

−−−−

−−

( ) ( )( )( )2x7x1x14x5x1x14x9x6x 223 +−−=

−−−=+−−

tenemos los productos lineales, luego la solución es; 2,7,1 − .

Resolver: ( ) 40x6x3x2xp 23 ++−=

Ejemplo 3

Como el último residuo es cero, entonces r = 1,

es solución, entonces:

Ejemplo 4

UNAD

108

Para fortalecer esta teoría un prestigioso matemático de tan solo 20 años, francés

«Evariste Galois», dedujo bajo qué condiciones una ecuación es soluble por radicales.

Evariste Galois, desarrolló la teoría de grupos para analizar métodos generales

de soluciónde ecuaciones, buscando únicamente en las operaciones fundamentales

y extracción de raíces, llegando a la demostración de que no hay un método general

para resolver ecuaciones de grado quinto o mayor.

Con estos precedentes es pertinente estudiar algunas particularidades de las

ecuaciones polinómicas.

Regla de signos de Descartes

El matemático francés René Descartes, padre de la Geometría Analítica, en

1636 propone una técnica para identificar el número de soluciones reales positivas

y negativas para un polinomio de n grado; con +∈Rn .

El teorema cuya prueba está fuera del alcance de este curso dice:

Sea ( )xp un polinomio con coeficientes reales cuyo término independiente es

diferentes de cero. El número de soluciones reales positivas de ( ) 0xp = es igual

al número de variaciones de signos en ( )xp o es menor que el número de

variaciones en cantidad par. El número de soluciones reales negativas de la

ecuación ( ) 0xp = , es igual al número de variaciones de signo en ( )xp − o es

menor que el número de variaciones en cantidad par.

Determinar las posibles soluciones de ( ) 6x3xx2xp 45 −+−=

Solución: como es un polinomio de grado 5, debe tener 5 soluciones, entonces:

u

Ejemplo 1


109

Soluciones reales ( ) 6x3xx2 45 −+−⇒+ . Hay tres variaciones de signo

Soluciones reales ( ) ( ) 6x3xx26x3xx2 4545 −−−−=−−+

−−

−⇒− . No

hay cambio de signos

El polinomio puede tener: 1 ó 3 soluciones reales positivas, No tiene soluciones

reales negativas; además tendrá 2 ó 4 soluciones imaginarias.

Dado el polinomio P ( ) 9xx6x5x 34 −+−= . Identificar las posibles soluciones.

Solución: por ser un polinomio de grado 4, debe tener 4 soluciones.

Soluciones reales ( ) 9xx6x5 34 −+−⇒+ tres variaciones de signo

Soluciones reales ( ) ( ) ( ) ( ) 9xx6x59xx6x5 3434 −−+=−−+−−−⇒−

una variación según la anterior el polinomio puede tener:

. 1 solución real positiva, 1 solución real negativa y dos imaginarias

. 3 soluciones reales positivas y 1 solución real negativa

Identificar los ceros del polinomio ( ) 1x2x5x2x7xQ 235 −+−−=

Solución:

ceros reales ( ) 1x2x5x2x7: 235 −+−−+ , tres variaciones de signo

1 2 3

Ejemplo 2

1 2 3

1

Ejemplo 3

1 2 3

UNAD

110

ceros reales ( ) 1x2x5x2x7: 235 −−−+−− dos variaciones de signo

El polinomio puede tener:

. 1 solución +R , 2 solución −R , 2 soluciones imaginarias

. 3 soluciones +R y 2 soluciones −R

. 1 solución +R y 4 soluciones imaginarias

Hallar las raíces de: ( ) xx3x2x4xM 246 −−−=

Solución: como el término independiente es cero No podemos aplicar la regla de

Descartes. Se puede hacer una factorización:

( )

−+−= 1x3x2x4xxM 35

. Así vemos que cero es una solución, las demás se

pueden obtener del polinomio restante.

Acotación de soluciones

El siguiente teorema permite identificar el intervalo en el que se encuentran las

soluciones reales; si éstas existen.

Sea ( )xP un polinomio, tal que si ( )xP = 0 no tiene raíz real alguna mayor al

número real K, entonces K se le llama cota superior de las raíces reales.

Análogamente, si ( )xP = 0, no tiene raíz real menor que el número real k, entonces

a k se le llama cota inferior de las raíces reales.

1 2

Ejemplo 4

u

kalesReRaícesk ≤≤


111

Dado el polinomio: ( ) ( ) ( ) ( ) 01x21x21xxP =+−−= , hallar la ecuación de ( )xP .

Solución:

Cota inferior 2/1k −= , cualquier número menor a 2/1− es cota inferior de ( )xP

Cota inferior: 1K = , cualquier número mayor a 1 es cota superior de ( )xP .

Teorema de raíces racionales

Para determinar las soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes

enteros, hay un teorema que simplifica la identificación de las raíces del polinomio.

Sea ( ) 0aconaxaxa...xaxaxP n012

21n

1nn

n ≠+++++= −− .

Polinomio con coeficientes enteros . Si p/q es una real irreducible tal

que p/q es una raíz de ( ) 0xP = ; es decir, 0qp

P =

, entonces P es factor

de 0a y q es factor de na .

El teorema permite obtener los ceros del polinomio ( )xP en forma directa, dando

una lista limitada de soluciones racionales posibles.

Veamos: si tenemos el polinomio ( )xP y suponemos que p/q es una raíz del

polinomio, entonces: ( )q/px − es un factor de ( )xP ; además:

( ) ( ) ( )xQq/pxxP ⋅−=

Donde ( )xQ es un polinomio de grado uno menor que ( )xP . La soluciones

adicionales para ( )xP , se obtienen resolviendo ( )xQ .

Ejemplo 1

u

UNAD

112

Determinar los ceros de ( ) 4x6x2x3x2xP 234 −−+−=

Solución: identificar los p y q

2,2,1,1q

4,4,2,2,1,1p

−−=

−−−=

Las soluciones racionales: 21

,21

,4,4,2,2,1,1qp

−−−−=

Se aplica división sintética para todos y así se identifican las soluciones por Reglade Descartes; tenemos las siguientes posibilidades:

. Una solución real negativa y tres soluciones reales positivas

. Una solución real negativa, una solución real positiva y dos imaginarias

Al probar todas las soluciones p/q, se identifica a 2 como solución.

Solución:

024124824

246232 −−−

Ahora identificamos las soluciones para 2x4xx2 23 +++

2,2,1,1q2,2,1,1p

−−=−−=

Al probar con las posibles soluciones, vemos que 2/1− es solución:

Ejemplo 1

Según esta división sintética:

( ) ( )

+++−= 2x4xx22xxP 23

2/1,2/1,2qp

−=


113

0402201

2/12412−−

−

Falta identificar las soluciones en el último polinomio: 4x2 2 + , luego:

2x2x4x204x2 222 −=⇒−=⇒−=⇒=+ , entonces:

i2xyi2x 21 −== .

Las cuatro soluciones: i2,i2,2/1,2 −− , corresponden a la segunda

posibilidad de la regla de Descartes aplicada al polinomio propuesto.

Nota: se recomienda a los estudiantes hacer las divisiones sintéticas para las

posibles raíces racionales del primer polinomio y del segundo polinomio, así

comprobar que las soluciones identificadas son correctas.

Multiplicidad de una función

Es un aparte anterior hablamos de multiplicidad, a qué vamos a formalizar esteconcepto.

Sea ( )xp un polinomio de grado n; además, sea ( )mrx − un factor del

polinomio ( )xp , entonces r es llamado cero de ( )xp , con multiplicidad m.

Para ( ) ( )( ) ( )32 1x3x2x4xp −−+= . Identificar los casos y su multiplicidad.

Solución: los casos son 1,3,2 − , su multiplicidad es:

para 2, multiplicidad 1

para -3 multiplicidad 2

para 1 multiplicidad 3

Según la división presentada; el

polinomio se puede escribir así:

( )

+−=+++ 4x22/1x2x4xx2 223

u

Ejemplo 1

UNAD

114

EJERCICIOS: ECUACIONES POLINÓMICAS

Para las ecuaciones dadas a continuación, identifique cuántas raíces tiene y el

tipo de raíz. (Utilice la regla de Descartes).

01x

010x3x5x3x8

09xx3x

01x2xx

03xx4x2

6

2468

23

23

246

=−

=++++

=−−+

=++−

=−+−

En los siguientes ejercicios hallar las soluciones de los polinomios propuestos:

02xx3xx

02xx

02xx2x

04x12xx3

234

24

23

23

=+−−+

=−+

=−−+

=+++

10. La ecuación 03x16x8x 23 =−++ , tiene tres ceros; uno de ellos es 3. Hallar

la suma de los otros ceros: Rta: 5

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Rta: 3 relaes positivos y 3 reales negativos

Rta: 2 reales positivos y 1 real negativo

Rta: 1 real positivo y 2 reales negativos

Rta: 8 imaginarios

Rta: 1 real positivo, 1 real negativo y 4

imaginarios

1,1,1,2:Rta

i2,i2,1,1:Rta

21,1:Rta

i2yi2y3/1:Rta

−−

−+−

−−

−+−


115

CUACIONES RACIONALES

Las ecuaciones racionales son de la forma: ( )( ) 0xQxP

= . donde ( ) ( )xQyxP son

polinomios y ( ) 0xQ ≠ .

Se pueden presentar dos casos en este tipo de ecuaciones:

. El grado de ( )≤xP al grado de ( )xQ

. El grado de ( ) >xP la grado de ( )xQ

Resolver ecuaciones de este tipo, sigue los mismo principios matemáticos utilizados

en la resolución de igualdades.

El procedimiento de despejar la incógnita, consiste en aplicar el principio de

funciones equivalentes; veamos un ejemplo:

21

2x4x2

=+−

Solución: por el principio de ecuaciones equivalentes:

( ) ( )

3/10x10x3

82xx42x8x41x2x2x4x2

=⇒=

++=−⇒+=−⇒+=−

E

Ejemplo 1

UNAD

116

Resolver la ecuación:

24x3

58x6 −=+

Solución: por fracciones equivalentes:

( ) ( ) 20x1516x125x4x32x8x6 −=+⇒−=+

reorganizando términos: 1620x15x12 −−=−

336x36x3

−−=⇒−=−

Entonces: 12x =

De las ecuaciones racionales, es importante las llamadas fracciones parciales,

tema que analizaremos en seguida.

RACCIONES PARCIALES

Toda fracción racionales de la forma ( ) ( )( )xhxg

xf = ; donde ( )xg y ( )xh son

polinomios y ( ) 0xh ≠ , se pueden expresaar como suma o resta de fracciones

racionales más simples. Para que se pueda hacer este procedimiento, el grado

de ( )xg debe ser menor al grado de ( )xh ; además, ( )xh se puede descomponer

en factores primos. Por teoría algebraica cualquier polinomio con coeficientes

reales se puede escribir como producto de factores lineales y/o cuadráticos.

Se presentan diversos casos, que analizaremos a continuación:

F

Ejemplo 2


117

u h(x) es producto de factores lineales diferentes

Podemos hacer una generalización de caso así:

( )( ) n21 nx

N...

bxB

axA

xhxg

λ+++

λ++

λ+=

Donde A, B,...,N, son constantes

Veamos algunos ejemplos:

Dada la fracción: 6x5x

5x42 +−

−. Expresado como fracciones parciales.

Solución: debemos linealizar el denominador; es decir; expresarlos como producto

de factores lineales, entonces: ( )( )2x3x5x4

6x5x

5x42 −−

−=

+−

−

Ahora expresamos dicha fracción como suma de fracciones simples, lo cual se

hace de la siguiente manera:

( )( ) 2xB

3xA

2x3x5x4

−+

−=

−−−

El trabajo consiste en hallar el valor de A y B, lo que se hace trabajando la

segunda parte de la ecuación y al final compararla con la primera parte de la

misma. Veamos:

( ) ( )( )( ) ( )( )2x3x

B3BxA2Ax2x3x

3xB2xA2x

B3x

A−−

−+−=

−−−+−

=−

+−

Ejemplo 1

UNAD

118

Ahora igualamos la primera y última fracción:

( )( ) ( )( )2x3xB3BxA2Ax

2x3x5x4

−−−+−

=−−

− organizando la segunda fracción, tenemos:

( )( )( )

( )( )2x3xB3A2BAx

2x3x5x4

−−−−+

=−−

−

como los denominadores son iguales, igualamos los

numeradores ( ) B3A2BAx5x4 −−+=− tomando términos por separado.

. Para BA4:x +=

. Para indeterminantes: A3A25 −−=−

tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolvémoslas por reducción:

5B3A24BA

−=−−=+

Luego: 3B −=

para hallar A, reemplacemos en la cuación: 4BA =+ ; entonces:

( ) 7A34A43A43A =⇒+=⇒=−⇒=−+ , con los valores de A y B,

los reemplazamos en la primera ecuación, luego:

( )( ) ( ) ( )2x3

3x7

2x3x5x4

−−

−=

−−−

Escribir como fracciones parciales la siguiente expresión:

( )4x9x2

5xf

2 +−=

3B5B3A28B2A2

=−−=−−+=++

Ejemplo 2


119

Solución: expresamos el polinomio del denominador como productos lineales,luego:

( )( )4x1x25

4x9x2

52 −−

=+−

, ¡por favor compruebe la factorización

del denominador!

Ahora escribimos la fracción como suma de dos facciones simples:

( )( ) ( ) 4xB

1x2A

4x1x25

−+

−=

−−

operamos la segunda parte de la ecuación:

( )( ) ( )( )( )4x1x2

1x2B4xA4x

B1x2

A−−

−+−=

−+

−

operando el numerador y reorganizando:

( )( )( )

( )( )4x1x2BA4B2Ax

4x1x2BBx2A4xA

−−−−+

=−−

−+−

Igualamos la primera y última fracción:

( )( )( )

( )( )4x1x2BA4B2Ax

4x1x25

−−−−+

=−−

En la ecuación, el denominador es igual; luego debemos igualar numeradores;

entonces:

( ) BA4B2Ax5 −−+=

. Para B2A0:x += (No hay valor para x en la primera parte de la igualdad)

. Para independientes: BA45 −−=

Tenemos dos ecuaciones con los incógnitas:

5BA40BA=−−

=+Despejamos B, entonces:

UNAD

120

por reducción: 35B =

5B35BA40B4A4

==−−=+

para hallar luego,BA0BA:A −=⇒=+

( )353/5A −=−=

Finalmente, reemplazamos ecuación de suma de fracciones parciales:

( )( ) ( ) ( )4x35

1x235

4x1x25

−+

−−=

−−

h(x) es producto de factores lineales, repetición de algunos

Cuando ( )xh tiene factores lineales que se repite k veces, se presenta una

descomposición de la siguiente manera:

( )( ) ( ) ( ) ( )kn

221 nx

N...

bx

Aax

Axhxg

λ+++

λ++

λ+=

Descomponer en fracciones parciales: ( )21xx

1x2

+

−

Solución: el procedimiento es similar que en el caso anterior, solo que, el factor

que se repite, se debe repetir tantas veces como lo indique k; por este caso, 2

veces.

( ) ( )22 1x

C1x

BxA

1xx

1x2

++

++=

+

−

u

Ejemplo 1


121

operando:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )22

2

22

2

22

2

2

1xx

ACBA2xBAx

1xx

CxBxBxAAx2Ax

1xx

CxBxx1x2xA

1xx

CxB1xx1xA

+

+++++=+

+++++

=+

+

+

++

=+

++++

Igualamos la última fracción con la primera.

( )( ) ( )

( )22

2 1xx

ACBA2xBAx

1xx

1x

+

+++++=

+

−

como los denominadores son iguales, igualamos los numeradores.

( ) ( ) ACBA2xBAx1x2 2 +++++=−

Analizamos término a término:

. Para: BA0:x2 += . En el primer término no hya valor para 2x

. Para: CBA22:x ++=

. Para independientes: A1 =−

Resolviendo:

A1 =−

Para hallar ( ) 11B1B0BA:B =−−=⇒−=⇒=+

1B =

Para hallar C; en la ecuación ( ) 2C1122CBA2 =++−⇒=++

3C3122C =⇒=−+=

UNAD

122

Reemplazando a la fracción propuesta:

( ) ( )22 1x

31x

1x1

1xx

1x2

++

++

−=

+

−

h(x) tiene factores cuadráticos irreducibles

Cuando h(x) presenta factores cuadráticos irreducibles, se debe expresar la fracción

parcial como cociente de un numerador lineal y un denominador cuadrático:

( )( ) cbxax

BAxxhxg

2 ++

+=

Expresar como suma de fracciones parciales:

+

−

2xx

5x2

Solución: la fracción se puede escribir.

2x

CBxxA

2xx

5x22 +

++=

+

−

Operando como se ha venido haciendo:

( )( )

( )

+

+++=

+

+++

=

+

++

+=

+

++

2xx

A2CxBAx

2xx

CxBxA2Ax

2xx

CBxx2xA

2x

CBxxA

2

2

2

22

2

2

2

u

Ejemplo 1


123

Igualando la primera y última fracción:

( )

+

+++=

+

−

2xx

A2CxBAx

2xx

5x2

2

2

como el denominador es equivalente, igualamos numerador y procedemos:

. Para BA0:x2 += no hay término de 2x en le primer término

. Para C1:x =

. Para independiente: A25 =−

Hallemos los valores de A, B y C.

Tenemos que 1C = de la ecuación para x. De la ecuación de los términos

independientes 2/5AA25 −=⇒=− . Finalmente

( ) 2/52/5BAB =−−=⇒−=

2x

1x25

x25

2xx

5x22 +

++−=

+

−

+

++

−=

+

+

+−=

+

−

2x2

2x5x25

2x2

2x5

x25

2xx

5x222

Así queda expresada la fracción inicial, como suma de fracciones parciales.

x25

2x2

2x5

2xx

5x22

−

+

+=

+

−

UNAD

124

EJERCICIOS:

Dada las siguientes expresiones, escribirlas como suma o resta de fracciones

parciales.

( )( )

( )( )

1xxx

1x3

xx

2x5x2

xx

1x

8x2x

14x

4x1x5

2x1x1

23

3

3

2

23

2

2

−+−

+

+

+−

+

+

−−

+

+−

+−

1.

2.

3.

4.

5.

6.

( ) ( )

31x

2

1x

2x:Rta

1x

5x2

:Rta

x

1x1

1x3:Rta

2x2

4x3

:Rta

4x1

1x1

:Rta

2x31

1x31

:Rta

2

2

2

+−

++

−

+−

+−+

+−

−

+−

−

+−

−


125

Las inecuaciones son expresiones donde dos términos se comparan por medio

de símbolos particulares, por esto las inecuaciones se le llama también

desigualdades.

Para este tema, se va a estudiar inicialmente los intervalos; ya que la solución

de una desigualdad se da por un intervalo. También analizaremos las

propiedades que gobiernan las desigualdades, demostrando algunas de ellas.

Al igual que se hizo en las ecuaciones, vamos a estudiar las clases de

inecuaciones tales como: lineales con una y dos variables,cuadráticas con una

variables y mixtas; que pueden ser lineal y cuadrática con una incógnita.

Las desigualdades son la base para abordar temáticas más avanzadas como la

programación lineal y la investigación de operaciones en general, área de las

matemáticas muy importante para la optimización en problemas de ingeniería,

administración, economía y otras.

Para desarrollar la temática de inecuaciones, es importante tener en cuenta el

concepto de comparación entre dos expresiones algebraicas. Dichos signos son

≤≥<> ,,, . Que indica mayor, menor, mayor o igual y menor o igualrespectivamente. A las dos primeras se les llama desigualdades estrictas.

Un trabajo juicioso y sistemático para el desarrollo de desigualdades permitiráadquirir conocimientos sólidos que conllevan a resolver problemas del mundoreal en donde se necesitan las desigualdades.

INECUACIONES

Introducción

UNAD

126

Objetivo general

. Que los estudiantes identifiquen claramente las inecuaciones, sus propiedades,

principios, clasificación y las formas de resolverlas; además, plantear

situaciones descriptivas con desigualdades.


. Conocer los principios sobre intervalos y desigualdades.

. Reconocer una inecuación lineal, sus carcterísticas y la forma de resolución.

. Identificar inecuaciones cuadráticas y la forma de resolverlas.

. Plantear y resolver problemas que involucren inecuaciones

ESIGUALDAD

Una desigualdad es una expresión de la forma , donde ( )xP es un

polinomio; al igual que ( )xQ , pero también uno de ellos puede ser un término

independiente. la expresión indica que ( )xP es menor que ( )xQ . Otras

formas de expresar desigualdades:

( ) ( )xQxP > : indica que ( )xP es mayor que ( )xQ

( ) ( )xQxP ≤ : indica que ( )xP es menor o igual que ( )xQ

( ) ( )xQxP ≥ : indica que ( )xP es mayor o igual que ( )xQ

Por ejemplo si decimos: 2a > , está indicando que cualquier valor mayor que

dos satisface la expresión dada. Cuando decimos , nos indica que cual-

quier valor menor que cinco satisface la expresión, pero además cinco también lo

satisface.

D

( ) ( )xQxP <

5a ≤


127

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b y c números reales, entonces:

1. cbcaentonces,baSi +<+<

Demostración:

Como ba < , por deinifición ab − es positivo, como ( ) ( ) abcacb −=+−+ ,

entonces ( ) ( )cacb +−+ es positivo, así: cbca +<+ .

2. cbcaentonces,baSi −<−<

Demostración:

Para el mismo argumento de la propiedad uno, tenemos: ( ) ( )cbca −+<−+ ,

así: cbca −<−

3. cbcaentonces,0cybaSi ⋅<⋅><

Demostración:

Como ba < , entonces ab − es positivo; como c es positivo, el producto ( ) c.ab −

espositivo, luego cacb ⋅−⋅ es positivo, por lo tanto cbca ⋅<⋅ .

4. cbcaentonces,0cybaSi ⋅>⋅<<

Demostración:

Hacer la demostración individual, en grupo colaborativo, como último recurso

con el tutor.

5. Tricotomía: sea a y b números reales, una de las siguientes expresiones

se cumple: baobaoba >=< ¿qué pasa cuando b = 0? ¡Analícelo!

u

UNAD

130

(

//////

u

(

Sea [ ) ( ] RShallar,10,0Ry2,4S ∪=−=

Solución:

[ ]10,4RS −=∪ , gráficamente

Dado ( ) ( ) qphallar,10,2qy20,8p ∪=−=

Solución: vemos que los extremos de la unión son ( )20,8− , gráficamente

La solución nos hace ver que pq ⊂ (q contenido en p).

Intrersección

Se busca identificar los elementos comunes en los intervalos que participan en laoperación.

( ) ( )30,10By18,2A == . la intersección será el conjunto de [ ]18,10

La solución es donde se cruzan las líneas.

Ejemplo 1

-4 0 2 10)[ ]

Ejemplo 2

(-8 0 2 10 20

)( )

(0 2 10 18 30

) )

////// ////// ////// / //////

////// ////// ////// ////// /xxxxxx


131

Las demás oepraciones son similares a como se hace en los conjuntos. Para el fin

de las desigualdades, las operaciones más importantes son la unión y la

intersección.

sea [ ) ( ]10,1vy5,4u =−= . Hallar la unión, intersección,

diferencia uvyvu −− y la diferencia simétrica.

Solución:

.

( )

( )

[ ]

[ ]

[ ] [ ]01,51,4vu

01,5uv

1,4vu

5,1vu

10,4vu

∪−=∆

=−

−=−

=∩

−=∪

NECUACIONES LINEALES

Las inecuaciones lineales que vamos a analizar en este aparte son de dos tipos:

una inecuación con una incógnita y dos inecuaciones con dos incógnitas.

Inecuaciones lineales con una incógnita

Son inecuaciones de la forma cbax <+ , puede ser con cualquiera de los signos

de comparación. Para resolver inecuaciones de éste tipo se busca despejar la

I

[

[ ]

(-4 0 1 5 10

)[ ]

(-4 0 1 5 10

)[ ]

(-4 0 1 5 10

)[ ]

(-4 0 1 5 10

)xxxxxx

](-4 0 1 5 10

)xxxxxx

u

////// //////

////// //////

////////////


133

Como la expresión es verdadera independiente del valor de x, nos indica que

cualquier valor es solución de la desigualdad.

Probemos; tenemos 3 valores para x.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 121913335323x

31010305020x

5416210412325222x

≥⇒+≥++⇒=

≥⇒+≥++⇒=

−≥⇒+−≥−+−⇒+−≥−+−⇒−=

como es obvio los extremos son abiertos ya que infinito es una símbolo más no

una cantidad.

Resolver: 12

x345 <

−≤−

Solución: como debemos despejar x y por ser una desigualdad compuesta,

aplicamos las propiedades para tal fin.

( )21

22x34

25 ⋅<⋅−

≤⋅− , multiplicamos todo por 2 para que la expresión

quede entera.

2x3410 <−≤− , ahora restamos 4− a todo

2x31442x344410 −<−≤−⇒−<−−≤−−

Nos falta solo eliminar el 3− que acompaña a la x, luego dividimos todo por

3− , ojo el signo de la desigualdad cambia, recordemos la propiedad 7.

( α− 0 α+

)

Ejemplo 3


143

EJERCICIOS: INECUACIONES LINEALES Y RACIONALES

1. Dada la desigualdad 42 −>− cuál será la desigualdad obtenida si:

a. Se suma 4− Rta: 86 −>−

b. Se resta 10 Rta: 148 −>−

c. Se multiplica por 3− Rta: 5218 <

2. Expresar las siguientes desigualdades como intervalo y hacer la gráfica.

a. 4x < Rta: ( )4,α−

b. 3x −≥ Rta: [ )α− ,3

c. 2x5 ≤<− Rta: ( ]2,5−

d. 8x0 ≤≤ Rta: [ ]8,0

3. Expresar los siguientes intervalos como desigualdad.

a. ( )4,3− Rta. 4x3 ≤<−

b. ( ) [ ]56, −−α− Rta: desarrollar con el tutor

c. [ ] ( )04,2 −− Rta. desarrollar con el tutor

4. Resolver los siguientes desigualdades lineales.

a. 75x2 ≥+ Rta: ( ]1,;1x α−≤

b. 6x2

3x +≥ Rta: [ )α≥ ,12;12x

c. 75

3x23 <−≤ Rta: [ )19,9;19x9 <≤

UNAD

144

d. x214x

319 −≥+ Rta: [ )α− ,6

5. Resolver las siguientes desigualdades racionales.

a. 02x3

4 ≥+ Rta: 3/2x −>

b. 0x11x

<−+

Rta: ( ) ( )α∪−α− ,11,

c.( )( )

0x

1x1x<

+−Rta: ( ) ( )1,01, ∪−α−

d. 25x22x3 −≥

+−

Rta: ( ) [ )α−∪−α− ,7/82/5,

e. 3R7

R7 >+ Rta: 4/21R >


151

EJERCICIOS: INECUACIONES MIXTAS

1. ( )( )( ) 0x41x2x <−−+ Rta: ( ) ( )α− ,41,2 U

2. 12x2x2 2 <− Rta: ( )3,2−

3. ( ) 8x4x21

+>− Rta: ( )20,−α−

4. 0x3x2x 23 ≥−− Rta: [ ] [ ]α+∪− ,30,1

5. 23 xx > Rta: α<< x1

Hallar el conjunto solución de las inecuaciones racionales polinómicas

propuestas a continuación:

6. 12x4x

≤−+

Rta: 2x <<α−

7.1x1x

1x5x2

−+

>++

Rta: ( ) ( ) ( )α∪−∪−α− ,21,13,

8. 0x2x

xx2

2≤

+

−Rta: ( ) ( ]1,00,2 ∪−

9. 010x3x

2x2

>−−

−Rta: ( ) ( )α∪− ,52,2

10.( ) ( )( )

010x3x

5x4x3x2

22>

−−

+−+Rta: ( ) ( ] [ ) ( )α∪∪−∪−α− ,44,33,55,

UNAD

152

Para resolver problemas con inecuaciones, aparece una inquietud nueva y es

el planteamiento de la desigualdad, lo cual se hace por medio de una lectura

y análisis cuidadoso del problema, se debe comprender términos como: a lo

más, mínimo, máximo, que son quienes darán las condiciones para plantear

la inecuación.

Por favor lea el problema las veces que sea necesarias hasta que sea bien

comprendido, ya que así es posible plantear la inecuación.

Esperando que los ejemplos modelos seleccionados sean suficientes para

enfrentarse a cualquier situación.

La función utilidad al valor x unidades está dado por:

120x7xP 2 −+= , ¿cuál será el mínimo de unidades para que no haya pérdida,

tampoco ganancia?

Solución: para que no haya pérdida, ni ganancia, 0P = . Entonces.

( ) ( ) 015x8x120x7x0 2 =−+⇒−+=

por la ley de producto nulo:

15x015xy8x08x =⇒=−−=⇒=+

En número de unidades que se debe producir para que no haya pérdida ni

ganancia es de 15.

ROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA

VARIABLE

Ejemplo 1

P

UNAD

154

En una clase de matemáticas un estudiante obtuvo las notas en sus primeras

cuatro evaluaciones de 60, 80, 78, 82, faltando el examen. Para obtener una

calificación de aprobatoria el promedio de las 5 notas debe ser mayor o igual a

80 y menor que 95, ¿cuál debe ser la nota mínima que necesita el estudiante

para aprobar el curso?

Solución: según las condiciones del problema, el promedio de las notas es:

5x84788568 ++++

, este promedio debe estar entre 80 y 90 para aprobar, luego:

160x85

:luego,315475x300300315400

475x315400

955

x8278806080

<≤

−<+−≤−

<+≤

<++++

≤

para aprobar el curso, el estudiante debe obtener mínimo 85 de calificación en el

examen.

En la fabricación de un equipo para calentamiento, la renta obtenida por venta de

x unidades es de 450x. El costo de producción para x equipos es 200x + 750,

¿cuántos equipos mínimo se deben fabricar para obtener utilidad?

Solución: la utilidad se mide así: ingresos- egresos, luego.

( ) ( ) 0750x200x450 >+−

Ejemplo 3

Ejemplo 4

UNAD

156

Lea cuidadosamente cada problema y resuélvalos con todos los pasos necesarios.

1. El costo de producir x unidades está dada por la expresión:

x6xc 2 += , la utilidad por concepto de ventas está dada por xx2u 2 += ,

¿cuántas unidades se deben vender para obtener la utilidad?

Rta: 5x >

2. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, cuya función altura está dada

por t147t8.9h 2 +−= , donde h en metros y t en segundos. ¿En qué intervalo

de tiempo el objeto estará por encima de 529,2m?

Rta: 9t6 <<

3. Según la ley de Boyle, para un gas específico a temperatura constante; se

tiene la relción 200V.P = . Donde P es presión en p si y V volumen en 3lgp¿En qué intervalo se desplaza la presión; si el volumen se encuentra entre

25 y 50 plg?

Rta: 8p4 ≤≤

4. El cuerpo humano tiene una temperatura normal de 37°C; si unatemperatura x difiere a lo normal en menos en 2°, se considera anormal,¿cuál será el intervalo de temperatura para que considere anormal?

Rta: C37xyC35x

°=°≤

5. La función ingreso por venta de un producto está dado por la

ecuación2x

51

x40 − . El costo de producir una unidad del artículo es de

$28, ¿cuántos relojes se deben vender para que la utilidad sea de $100?

Rta: 50x10 <<

EJERCICIOS: PROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA VARIABLE


157

NECUACIONES CON DOS VARIABLESI

Las inecuaciones con dos variables son aquellas de tipo:

Rksiendo,kbyax,lbxax 2 ∈>−<+ .

Inicialmente analizaremos la técnica de resolución de este tipo de inecuaciones

y posteriormente algunas aplicaciones.

Resolver una inecuación con las variables es hallar, un conjunto de puntos

en el plano, que llamaremos R que satisfagan la desigualdad.

Vamos a describir una metodología general para resolver desigualdades con

dos variables:

1. Dada la desigualdad, graficar la ecuación que aparece al cambiar de >< ó

a =. Si la desigualdad es >< ó ,usar líneas interrumpidas;pero si la

desigualdad es ≥≤ ó , usar líneas continuas.

2. La gráfica divide el plano en 2 semiplanos, se prueba un punto ( )y,x de cada

semiplano, para determinar cuál de ellos la desigualdad es verdadera.

3. El punto que haga verdadera la desigualdad incluye el semiplano que lo

contiene, luego dicho semiplano será la solución, generalmente se subraya

o sombrea.

Resolver la desigualdad 2y >

Solución: primero hacemos y = 2 y graficamos

Ejemplo 1


165

EJERCICIOS: SISTEMA DE INECUACIONES

Para los siguientes problemas, leerlos cuidadosamente y resolverlos. Las

respuestas dadas son matemáticas; las gráfics no, por lo cual se deben compartir

con sus compañeros y su tutor.

1. x2y4y3yx3 <−<+ Rta: hacer la gráfica

2. 10y5x2y0xy <+<− Rta: hacer la gráfica

3. 22y2x3y19y3xy2yy1x ≤+≤+≥≥ Rta: hacer la gráfica

4. Un negociante de fina raíz vende casas y apartamentos, por la demanda se

debe tener al menos tres veces más casas que apartamentos. Se debe tener

disponible al menos 6 casas y 2 apartamentos para su ocupación. Las casas

cuestan 30 millones y los apartamentos 20 millones. El comerciante desea

mantener sus costos de inventario en 600 millones o menos. Elaborar el

sistema de desigualdades y hacer la gráfica.

Rta: 600A20c30

10A2c;2A;6c≤+

≥−≥≥

5. Una refinería de petróleo puede producir hasta 5.00 barriles por día, el petróleo es de

dos tipos A y B del tipo A se deben producir por día al menos 1.000 y a lo más 3.500

barriles, si hay una utilidad de 7 dólares por barril para A y 3 dólares por barril para

B. ¿Cuál será la utilidad máxima por día?

Rta: 3.500 tipo A y 1.500 tipo B

6. La empresa Sport fabrica dos tipos de balones para fútbol, el modelo pieduro

de una utilidad de 20 mil pesos y el modelo pie blando una utilidad de 13

mil pesos, para satisfacer la demanda la empresa debe producir diriamente

del modelo pieduro entre 20 y 100 inclusive, mientras que del modelo

pieblando entre 10 y 70, inclusive, por las condiciones de la fábrica el total de

producción diaria debe ser máximo de 150. ¿Cuántos balones se deben fabricar

en un día para obtener la máxima utilidad?

Rta: 100 balones pieduro y 50 balones pie blando

UNAD

166

CUACIONES E INECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto es una figura matemática que se creó con el fin de relacionar

un valor con una distancia. En los casos de matemática básica se estudia el

concepto de valor absoluto de un número. Vamos a estudiarlo con algo de detalle.

Valor absoluto: la definición del valor absoluto de un número x,

esquematizado así: x , es como sigue:

<−=>

=0xsix

0xsi00xsix

x

Esta definición quiere decir que el valor absoluto de una cantidad positiva, es

positivo. El valor absoluto de una cantidad negativa, es negativo, y el valor

absoluto de cero es cero.

Como vemos el valor absoluto está relacionado con una medida de distancia,

ya que el valor absoluto de cualquier cantidad siempre será positivo.

Hallar el valor absoluto de π− ,5,10

Solución:

( )

positivovalorunesqueya;

55ndosimplifica;negativoes5porque,55

positivoes10porque,1010

ππ=π

=−−−−=−

=

E

Ejemplo 1


167

E

Determinar el valor absoluto de: π−− 2,5e . e = número de Euler cuyo valor es2,71828... y =π 3,141592

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) negativoes2queya,222

negativoes5eporque;e55e5e

π−−π=π−−=π−

−−=−−=−

Con este concepto de valor absoluto, podemos abordar los temas siguientes:

CUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ya sabemos resolver ecuaciones; además, se hizo un análisis de valor absoluto:

Ahora vamos a combinar los dos conceptos.

De la misma definición de valor absoluto, podemos definir una técnica para resolver

ecuaciones con valor absoluto.

Sea 0xtodopara,ax,v,ax:entonces,ax ≠−=== , como vamos a resolver

este tipo de ecuaciones se resuelve aplicando la definición.

Hallar la solución para la ecuación:

83x =−

Solución: aplicando la definición expuesta anteriormente:

Ejemplo 2

Ejemplo 1

UNAD

168

11y5:essoluciónLa

538x83x

1138x83x

oresolviend,83x,v,83x

−

−=+−=⇒−=−

=+=⇒=−

−=−=−

podemos comprobarlo:

( )

88311

88835

==−

=−−=−=−−

Resolver: 124

8x2=

−

Solución: aplicamos las dos posibilidades

124

8x2,v,12

48x2

−=−

=−

Resolviendo:

20x40848x2488x2124

8x2

28x56848x2488x2124

8x2

−=⇒−=+−=⇒−=−⇒−=−

=⇒=+=⇒=−⇒=−

La solución es 28y28− , por favor comprobar las soluciones.

Ejemplo 2


169

En los ejemplos propuestos, observamos que se obtienenn dos soluciones, una

positiva y una negativa. por consiguiente para ecuaciones de primer grado

con valor absoluto, la solución es doble.

Resolver: 218x8x2 =−−

Solución:

Ejemplo 3

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

244;244,10,2:estotalsoluciónla

244x

244x

2441

2442

288x

22648

21288

12161488

x

:cuadráticaecuaciónlapor

016x8x0218x8x218x8x)b

2x02xy10x010x

nuloproductodelleylapor,02x10x

:osFactorizam.020x8x0218x8x)a

:solvemosRe.218x8x)b,v,218x8x)a

2

1

2

222

22

22

−+−

−=

±=

±=±

=±

=

−±=

±=

−−−±−−=

=−−⇒=+−−⇒−=−−

−=⇒=+=⇒=−

=+−

=−−⇒=−−−

−=−−=−−

para ecuaciones de segundo grado con valor absoluto, se tienen 4 soluciones.

UNAD

170

Resolver la ecuación: x34x2 =−

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) 1xy4x01x4x4x3x)b

1xy4x01x4x4x3x)a

:osFactorizam

04x3xx34x)b

04x3xx34x)a

2

2

22

22

=−=⇒=−+=−+

−==⇒=+−=−−

=−+⇒−=−

=−−⇒=−

Los valores negativos No satisfacen la igualdad, luego las únicas soluciones son 1

y 4.

Para terminar las ecuaciones con valor absoluto, es pertinente recordar algunas

propiedades:

1. yxyx ⋅=⋅

2. y

x

yx =

3.nn xx =

Estas propiedades nos puede servir en muchas situaciones.

Ejemplo 4


171

NECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

En la naturaleza existen muchos fenómenos que suceden bajo ciertos límites o

mejor en un intervalo determinado, las inecuaciones con valor absoluto, es el

dispositivo matemático que ayuda a resolver tales fenómenos. Por ejemplo la

temperatura corporal, la resitencia de un cable, otros.

Para resolver inecuaciones con valor absoluto, recurrimos a las siguientes

propiedades.

1. axa:entonces,ax <<−<

Esta propiedad no dice que cuando el valor absoluto de la variable es menor

que un valor fijo, éste se encuentra en el intervalo entre el negativo y positivo

del valor definido.

2. axóax:entonces,ax >−<>

Para este caso el valor absoluto de la variable es mayor que un valor

fijo, ésta puede ser menor que el negativo o mayor que el positivo del

valor fijado.

Las dos propiedades se definieron para desigualdades estrictas, pero se pueden

definir para las no estrictas; es decir: ≥≤ ó .

Si observamos detalladamente las gráficas al asociar las dos propiedadesobtenemos la recta real.

Resolver 8x <

- a 0 a

- a 0 a

Ejemplo 1

I


175

EJERCICIOS: ECUACIONES- INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto.

.

1qq

1x23x

252

3x

541

53x2

=−

−=+

=+

=−

=+

11.El peso de llenado de un recipiente que contiene granos debe cumplir p=

peso en gramos. Un tarro se pesa y marca 17 gr. Dicho tarro está en el rango

del peso.

Rta: No; el rango debe ser ( )05,1695,15 −

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

21

q:Rta

3/2x;4x:Rta

524x;

536x:Rta

2/3y;1y:Rta

1x;4x:Rta

−=

−==

=−=

=−=

=−=

( )

( ) ( )

−<<−

=

α∪−α−

<<−−

531,

529:Rta

1x4:Rta

2/7w:Rta

,216,:Rta

7x7:7,7:Rta

Hallar la solución de las siguientes desigualdades:

1013x

21

21x2x

07w2

33

7y

7z

<−

>+−

≤−

>+

<

UNAD

176


177

De los conceptos más importantes en matemáticas, diría que el más importante

es el de FUNCION. Se cree que el gran matemático alemán Leibinz la introdujo

al finales del siglo XVII. El concepto proviene de la palabra latina functio, que

quiere decir Acto de Realizar.

Todas las áreas de las matemáticas tienen que ver con funciones, he allí su

importancia.

El capítulo está estructurado de una manera secuencia, iniciando el estudio

del sistema de referencia más utilizado, las características de las relaciones y

la conceptualización de funciones. Se ha dado bastante importancia a los

principios sobre funciones, para poder posteriormente analizar las clases de

funciones.

Respecto a la clasificación se ha dado una forma macro de tal manera que cualquier

función caiga dentro de algunas de estas clases y por supuesto las aplicaciones, el

fin y propósito de las mismas.

Es importante desarrollar cada temática detenidamente y hacer los ejercicios

propuestos, lo que permitirá afianzar los conocimientos acerca de este tema

tan interesante y apasionante.

FUNCIONES

Introducción

UNAD

178

S

Objetivo general

. Que los estudiantes cumprendan los principios, leyes y propiedades de las

funciones, los campos donde se pueden aplicar y las particularidades que tiene

la amplia gama de funciones


. Analizar y comprender claramente las relaciones, dominio y rango.

. Identificar las cuatro formas de definir una función, sus partes, sus

representaciones gráficas.

. Comprender las clasificaciones realizadas a las funciones, las características

de cada clase y sus aplicaciones.

. Comprender los principios de trigonometría.

ISTEMA DE COORDENADAS

Los matemáticos y científicos, han inquietado sus estudios a las

representaciones gráficas de los fenómenos naturales, por lo cual se han

diseñado diversas formas de representación, a lo cual se le ha llamado Sistema

de Coordenadas, entre las más conocidas; las coordenadas cartesianas, las

cilíndricas, las esféricas, las polares y otras.

Para el objeto de este curso, valos a estudiar las cartesianas.


183

u

diferentes fenómenos. En Biología, en crecimiento de organismos, en Economía,

para describir el costo o utilidad de un artículo, en Física para describir la distancia

como función del tiempo y muchos otros más.

Dentro del análisis de funciones hay dos conceptos que debemos estudiar; estos

son variables y constantes.

Variables

Se puede decir que es todo aquello que cambia a través del espacio o tiempo.

El mismo espacio y tiempo se consideran variables. La clave de este concepto

es cambio ya que cuando se presenta cambio, se dice que hay variación.

En el análisis de funciones se conocen dos tipos de variables: variable

independiente, se considera aquella que se define por sí solo, una de estas

variables por su naturaleza, es el tiempo; pero existen otras.

Variable dependiente: como su nombre lo indica es aquella que queda

definida a partir de otra; es decir, depende de otra para que sea establecida.

cuando se dice que el área de un círculo es función del radio, decimos que el área

depende del radio.

Constantes

Son términos que tienen valores fijos; es decir, no cambian en ninguna

circunstancia. Los valores numéricos son el ejemplo típico de constantes.

En la antigüedad se utilizaban las vocales para indicar variables y consonantes

para indicar constantes. En la actualidad la convención es que las primeras

letras del alfabeto se utilizan como constantes y las últimas letras del alfabeto

como variables.

Definición: una función f es una relación, donde a cada elemento del conjunto

de partida, le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada.

u


185

4. Analítica: también llamada matemática, es aquella donde por medio de una

expresión matemática, se describe el fenómeno. Para el ejemplo que nos ocupa.

G = 20 x

Esta fórmula describe la ganancia en función del número de artículos

vendidos.

Elementos de una función

1. Dominio: son los elementos del conjunto de partida; es decir, los elementos

de x, que corresponden a la variable independiente.

En el ejemplo de la ganancia, la variable independiente es del número de

artículos vendidos. Cuando se analiza la distancia recorrida en función del

tiempo; éste último es la variable independiente. Por convención universal,

los elementos del dominio se ubican en el eje x en el sistema de coordenadas

rectangulaes.

2. Imagen: son los elementos del conjunto de llegada; es decir, los elementos

de y, que corresponden a la variable dependiente. En el ejemplo de la

ganancia, es ésta la variable dependiente; ya que la ganancia depende del

número de artículos vendidos. También por convención, los elementos de

la imagen se ubican en el eje y del sistema de coordenadas cartesianas.

3. Regla o condición: se considera a la forma en que se relacionan los

elementos de x y y- Cada función tiene una regla que relaciona las dos

variables. Solo se debe tener presente que cada elemento de x solo le

corresponde un y.

u


187

En la gráfica A se observa que el Dominio puede ser todos los valores de x, ya sean

positivois o negativos, la Imagen son los valores de y mayores que cero.

En la gráfica B se observa que el Dominio pueden ser todos los valores de x y la

Imagen también pueden ser todos los valores de y.

A partir de la fórmula matemática:

Sea x1

y = vemos que x puede tomar valores diferentes de cero, ya que la división

no está definida cuando el denominador es cero.

Sea xy = , para este caso, x puede tomar valores positivos o cero, ya que las

raíces pares solo tienen solución real para valores positivos o cero.

En general, el dominio de una función está determinado por los valores que

puede tomar la variable, sin que se presenten ambigüedades en el momento de

hacer la operación matemática para hallar y.

Para hallar la imagen de la fórmula matemática, se despeja y y se determina

qué valores puede tomar y sin que se presenten ambigüedades.

Nota: con la práctica y muchos ejercicios se ganará mucha destreza para

determinar el dominioo e imagen de una función.

Notación moderna de función

El matemático francés Augustin Lovis Cauchy (1789-1857) dentro de los aportes

dados a las matemáticas, como la precisión de los conceptos de función, límites y

continuidad, propone una nomenclatura para definir esquemáticamente una

función, de la siguiente manera.

( )xfy = en esta representación x es la varible independiente y y es la

variable dependiente o función.

u

UNAD

188

L

F UNCIONES DE VALOR REAL

Con lo analizado hasta el momento ya estamos en capacidad de dar una

respuesta correcta a las siguientes afirmaciones.

Toda relación es función: V F

Toda función es relación: V F

Teniendo claro las afirmaciones anteriores, podemos entrar a analizar lo

siguiente: que valores de los conjuntos numéricos pueden tomar las

variables x y y.

Una función de valor real, nos indica que los elementos del dominio y del rango

son valores reales; es decir, los números reales, por esto en muchas ocasiones

las funciones de valor real se define así:

Sea RR:f →

Esto significa que la función ( )xf está definida de reales en reales; o sea, el

dominio y el rango están en el conjunto de los números reales.

Es pertinente aclarar los conceptos de rango e imagen. El rango es el conjunto

que conforma el codominio de la relación. La imagen son los elementos del

rango que interactúan con los elementos del dominio.

AS FUNCIONES SEGÚN EL TIPO DE RELACIÓN

Según el tipo de relación que se presente entre el dominio y rango de una

función, se conocen tres tipos.

UNAD

196

EJERCICIOS: FUNCIONES

Hallar el dominio e imagen de las siguientes funciones.

( )

( )

( )16x

1xh

6x21x5

xg

5x4x3xf

2

2

−=

−−

=

+−=

Dada la función ( ) ( ) ( ) ( )3f,1f;0fhallar,4x

4x2xf −

+

−=

( ) ( ) ( ) 13f1f;40f:Rta ==−−=

Para la función ( ) ( ) 2/1xgsi;8x3

4xxg =−

−= , cuánto vale x. si ( ) 0xg = ,

cuánto vale x

( ) ( ) 4x;0xgpara,0x;2/1xgpara:Rta ====

Demuestre que la función ( )x2

3xf

−= es creciente.

Demuestre que la función ( ) 5x4xh 3 −= es creciente

Proponga tres ejemplos de funciones inyectiva y sobreyectiva

Para la función ( ) 3xxf = , demuestre que la simetría es respecto al origen.

¿En qué condiciones una parábola y una circunferencia serían funciones?

0y/RyagenIm,4x/RxDominio:Rta

2/5y/RyagenIm,3x/RxDominio:Rta

3/19y/RyagenIm,RxDominio:Rta

>∈>∈

≠∈≠∈

≥∈∈1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


197

C LASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Clasificar la gran cantidad y variedad de funciones no es fácil, anteriormente

vimos que según la relación entre los conjuntos de partida y llegada, las funciones

pueden ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Existen otros criterios para

clasificar las funciones.

Para los fines del curso, el criterio tomado ha sido la expresión matemática

que describe la función, por ejemplo si es un ecuación lineal, hallamos de función

lineal, si es una ecuación polinómica, estaremos hablando de las funciones

polinómicas, si es un logaritmo estamos hablando de funciones logarítmicas.

Este criterio es muy pertinente ya que puede involucrar la mayoría por no

decir todas las funciones que existen y puedan existir.

Bajo este contexto las funciones se clasifican en: Algebraicas y

Transcendentales, pero además de éstas, hay algunas funciones que llamamos

especiales, ya que su definición no es compleja y sus características muy

particulares y fáciles de describir.

Constante

IdénticaEspeciales Valor absoluto

Parte enteraDefinida por parte

LinealCuadrática

Algebraicas CúbicaPolinómicaRacionalRadical

ExponencialTranscendentales Logarítmicas

TrigonométricasHiperbólicas

Funciones

UNAD

208

EJERCICIOS : FUNCIONES LINEALES- CUDRÁTICAS. ESPECIALES

Dada la expresión: ( ) ( )

1xpara1x

1fxf≠

−−

, hallar el valor de cada función.

( )

( )

( )1x

1:Rtaxxf

3:Rtax31xf

3:Rtax3xf

+=

−−=

=

Dadas las siguientes funciones, hallar dominio, imagen, simetría y monotonía;

además, hacer la gráfica.

( )

( )

( )

( ) [ ]

( ) x4xE

x2xp

xxxh

4xxg

6x4xf

2

=

=

+=

−=

+−=

Para las siguientes funciones, hallar dominio, imagen, simetría, monotonía y

hcer la gráfica.

( )

( )

( )

( ) 1x2x4xf

10x4x3xh

x5x2xg

x3xf

2

2

2

2

−+−=

−+=

−=

=

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.


211

Luego ( ) 0xf > en los intervalos ( ) ( ) ( ) ( ) 0xfy,31,00, <α∪∪α− en el intervalo

(1, 3).

La gráfica, nos muestra que la imagen es: 5y −≥

Dada la gráfica siguientes, identificar el dominio, imagen y la ecuación.

Ejemplo 2

Solución:

Dominio, los reales

Imagen, los reales mayores o iguales a -24

234 x4x3xy −−=

¡verificar los resultados!


213

Sea ( ) ( )( )xgxf

xR = se denomina ( )xR una función racional, con la condición que

( ) 0xg ≠ .

El dominio de una función racional son todos los Reales, excepto aquellos valores

que hagan a ( ) 0xg = .

La imagen serán todos los valores de y, dados según los valores de x.

Estas funciones, pueden presentar simetría y monotonía; cada caso es

particular.

La graficación de una función racional, se puede hacer analizando las

carcterísticas de una función: dominio, imagen, simetría, monotonía y los límites

hasta donde puede llegar la curva. Estos límites se determinan por medio de

las llamadas Asíntotas.

Asíntotas

En términos muy sencillos una Asíntota es una recta que limita la curva deuna función racional, Podríamos decir que la Asíntota es como la cebra quehay en los semáforos en donde no debe estar el carro cuando el semáforo estáen rojo. La Asíntota es la cebra donde no debe estar la curva, solo muy cerca.

Las Asíntotas pueden ser horizontales, verticales u oblicuas.

u

Asíntota horizontal Asíntota vertical


215

En la gráfica se ilustran dos casos:

+− →→ bxyax

Veamos un ejemplo gráfico:

La función ( )xf tiene una

asíntota horizontal en y = 3 y

una asíntota vertical en x = 2.

Asíntota oblicua

Dada la función racional R(x) y dada la recta 0acon;baxy ≠+= , decimos

que y es una asíntota oblicua de R(x); si:

( ) α−→α+→→ xoxcuandoyxR

En la gráfica de Asíntota oblicua, las asíntotas son b y b´.

La pregunta sería: ¿cómo obtener una asíntota oblicua?, veamos:

a. Sea ( ) ( )( ) ( ) ( )xgyxfdonde,xgxf

xR = , no tienen factores comunes y además

el grado de ( )xf que es n es mayor que el grado de ( )xg que es m. Entonces

hacemos el cociente ( )( )xgxf

; digamos que se obtiene ( ) ( )m1n,nxh =+

−−

y

x

( ) →= xfy

3

( )( ) 3xf,xCuando

3xf,xCuando→α−→

→α→

A.H

A.V

u

( )( ) α+→→

α−→→+

−

xf,2xCuando

xf,2xCuando

UNAD

216

b. Al dividir( )( ) ( ) ( )xg

rbaxxh

xgxf

++==

r = residuo de la división

para cuando ( ) 0xgr

entonces;xox →α+→α−→

c. Por lo anterior: ( ) baxxR +→ . Luego la asíntota oblicua es la recta ax + b,

obtenida del cociente entre los polinomios de la función racional.

Hacer una descripción general de la función: ( )1x

2xf

−=

Solución: el dominio son todos los reales 1≠ ¿por qué?

La imagen son todos los reales 0≠ ¿por qué?

Simetría no tiene respecto a y y respecto al origen; ya que no cumple

( ) ( ) ( ) ( )xfxfoxfxf −=−−=

La monotonía, la función presenta dos intervalos: ( ) ( )αα− ,1y1, , vemos el

primer intervalo ( ) ( )2121 xfxf0xy1x >⇒=−= ¡compruébelo!

Luego ( ) ( )1,enedecrecientesxf α−

Ahora veamos el segundo intervalo:

( ) ( )2121 xfxf4xy,2x >⇒== ¡compruébelo!

En el intervalo ( )α,1 la función es decreciente

Obtengamos las asíntotas:

horizontal: cuando α→x , la función tiende a 0, también cuando α−→x , lafunción tiende acero.

vertical: cuando +→1x , la función tiende a infinito y cuando −→1x , la función

tiende a menos infinito.

Ejemplo 3

UNAD

218

Dada la función ( ) xxf =

Solución: dominio, 0x ≥ el radicando no puede ser negativo, ya que n es par

imagen, 0y ≥ , recordamos que no puede tomar valores negativos ya que sifuera así, no sería función.

simetría, no hay simetría no con y ni con el origen

monotonía, como el dominio es un intervalo [ )α,0 , tomemos los valores

( ) ( )2111 xfxf4xy0x <⇒== , luego la función es creciente en su dominio.

Un bosquejo de la gráfica.

Describa la función: ( ) 3 xxf =

Solución: dominio, todos los reales ¿por qué?imagen, todos los reales ¿por qué?

simetría, la imagen es impar ua que ( ) ( )xfxf −=− , veamos

( ) ( )xfxxxf 33 −=−=−=−

monotonía, la función es creciente en su dominioLa gráfica, un bosquejo es la siguiente:

Ejemplo 1

Ejemplo 2


219

Analizar la ecuación: ( ) ( )4x1xf−

=

Solución: dominio son todos los reales para los cuales ( ) 04x

1>

− , como el

numerador simpre es positivo, en único que puede ser mayor a cero es el

denominador.

4x04x >⇒>− , luego el dominio ( )α,4 ¿por qué no puede ser igual a 4?

Imagen, ya sabemos que son los reales positivos.

Esta función no presenta simetría respecto a y tampoco respecto al origen.

Monotonía, busquemos dos valores en el intervalo del dominio

( ) ( )48

1xfy111

451xf8xy5x 2121 −

===−

=⇒==

( ) ( )21 xfxf21

41 >⇒== ; por consiguiente la función es decreciente en su

dominio.

Ejemplo 3

UNAD

220

Hallemos las asíntotas:

Horizontal, cuando ( ) 014

1xfx =α

=−α

=⇒α→ hay una asíntota

horizontal en y = 0.

Vertical, cuando ( ) α==−

=→01

441xf,4x , entonces hay una asíntota

vertical en x = 4.

Un bosquejo de la gráfica


221

EJERCICIOS: FUNCIONES RACIONALES Y POLINÓMICAS

Para las funciones dadas, hallar dominio, imagen, simetría, monotonía y hacer

un bosquejo de la gráfica

( )

( )

( )

( ) 34

234

23

3

x2xxf

x12x7xxf

x6x5xxf

4xxf

+=

++=

+−=

−=

Dadas las siguientes funciones, identificar dominio, imagen, simetría,

monotonía y hacer bosquejo de la gráfica

( )

( )

( )( )

( )4x

x2xg

2x

4xg

4xx3

xg

1x2

xg

2

2

−=

−=

+=

+=

La concentración (t) de un fármaco en la sangre, para t horas, está dado por

( )( )21t

t25t

+= , ¿cuál será la concentración inicial del fármaco y cuánto fármaco

hay a las 4 horas?

Identifique una aplicación de las funciones racionales en el área deingeniería, administración y ciencias agrarias.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


225

Graficar las funciones: ( ) ( ) xx e21

xgye21

xf −==

La función ( ) ( )xgyxf , también presentar

las propiedades de este tipo de función.

Estas dos funciones son la base de las

funciones hiperbólicas, que veremos más

adelante.

Describa la función ( ) 2xexf −=

Solución: la gráfica nos ayudará a describirla, tomemos algunos valores para

x y así ubicar los puntos para hacer la gráfica.

El dominio, los reales, la imagen: 1y0 ≤< , simetría respecto a y; es decir es

una función par, creciente en ( ]0,α− y decreciente ( )α,0 .

Ejemplo 1

Ejemplo 2

1353,021353,0236678,013678,01

10yx

−

−

Solución:

UNAD

228

Propiedades de logaritmos

Aunque los logaritmos los hemos trabajado en cursos anteriores, es pertinente

recordar las propiedades más importantes de esta operación matemática.

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )xaaLog:opuestaOperación

01Log:Nulo

xLogkxLog:Potencia

qp

LogqLogpLog:staRe

q.pLogqLogpLog:Suma

xyyxLog:Inversa

xLogxa

a

ak

a

aaa

aaa

aa

a ==

=

=

⇒−

⇒+

=⇒=

u Cambio base

En ocasiones tenemos una función con base a, pero necesitamos cambiar la

base para trabajar la función. Veamos cómo podemos cambiar la base de una

función logarítmica, sin que sus propiedades se alteren.

Sea ( ) xaxLogy ya =⇒= . Aplicamos logaritmo de la base que deseamos a la

última ecuación.

( ) ( ) ( )xLogayLogxLogaLog bbby

b =⇒=

, despejando y, tenemos:

( )( )aLogxLog

yb

b= es la suma de cambiar de base a una función logarítmica.

Recordemos que ( )xLogy a= , por consiguiente otra forma de escribir la anterior

ecuación es: ( ) ( )( )aLogxLog

xLogb

ba =

u


229

Dada la función ( ) ( )xLogyxf 2== , expresada con base e.

Solución: como ( )( )aLogxLog

yb

b= , donde a = 2 y b = e, entonces:

( )( )

( )( )2LnxLn

y2LogxLog

ye

e =⇒= , así queda la función f(x) definida con base e.

Sea la función ( ) ( )xLogyxf 10== , expresada como base 2.

Solución: ( )( )aLogxLog

yb

b= , donde a = 10 y b = 2, luego:

( )( )10LogxLog

y2

2=

Ejemplo 1

Ejemplo 2

UNAD

230

EJERCICIOS: FUNCIONES EXPONENCIAL - LOGARÍTMICA

Identificar las características de las siguientes funciones y hacer la gráfica.

( )( )( )

( )( )( )( )( ) 4exM

exL

10xK

exJ

10xI

33xh

4xg

2xf

x

1x

2x

x

x

x

x

x

+=

=

=

=

=

+=

=

=

−

−

Para las siguiente funciones, hacer lo mismo que en el caso anterior.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

=

+=+=

+==

=

2x

LnxK

6x2LnxJ4xLnxI

4xLogxhxLogxg

xLogxf

4

2

15. La relación entre el ingreso anual x y el número de individuos y en un

país capitalista está dado por la función:

( ) ( ) ( ) ( )xlogkbLogyLogxp −== . ¿Cuál será el número de individuos

en un país donde k = 2 y b = 12.000;K si el ingreso anual es de 10?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.


233

Sistema sexagesimal Sistema hexagesimal

Observamos que una vuelta equivale en el sistema sexagesimal a 360°

equivalente en el sistema hexagesimal a π2 .

Sistema de conversión

Con las gráficas anteriores podemos hacer conversión de un sistema a otro.

Esto se hace por medio del llamado factor de conversión.

dosgraradianes yx180

x π= radianesx = la medida a buscar

dosgray = la medida dada

radianesdosgra xx180yπ

= dosgray = la medida a buscar

radianesx = la medida dada

A cuántos grados equivale 3/π radianes.Solución: como debemos convertir de radianes a grados; aplicamos la ecuación

°==⇒ππ

= 603

180y3

x180y . Luego 3/π equivale a 60°

90

180 0

360

270

2/π

ππ2

0

2/3π

u

Ejemplo 1

UNAD

234

Dados 120°, a cuántos radianes equivale.

Solución: debemos convertir de grados a radianes

( )

3/2aeequivalentes120Luego

32

64

1812

120180

x

π°

π=

π=

π=

π=

A cuántos radianes equivale 420°

Solución: 37

1842420.

180y π=π=π=

Sean 512π

los radianes de rotación de una rueda, ¿cuántos grados barrió la

rueda?

Solución: °==ππ

= 4321

12x365

12.180y

A cuántos grados y radianes equivalen tres vueltas y media.

Solución: como una vuelta equivale a 360°, 3 vueltas valdrán 360 x 3 = 1.080

y media vuelta equivale a 180°, entonces 31/2 vueltas equivalen a 1.080 + 180 = 1.260°

En radianes π=π= 7260.1.180

x , por consiguiente 31/2 vueltas equivalen

a 1.260 o π7

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

UNAD

236

Podemos resumir los ángulos notables en los 4 cuadrantes y en los dos sistemas

son presentados en el siguiente cuadro.

Relaciones trigonométricas

Recordemos que las relaciones son interacciones entre dos conjuntos, para el

caso de las trigonométricas, la relación es de cociente entre dos longitudes;

tomando como referencia el triángulo rectángulo, con un ángulo del mismo.

Existen 6 relaciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente,

secante y consecante.

SEXAGESIMAL HEXAGESIMAL

u

1°. cuadrante

2°. cuadrante

3°. cuadrante

4°. cuadrante

0°- 30° - 45° - 60° - 90°

120° - 135° - 150° - 180°

210° - 225° - 240° - 270°

300° - 315° - 330° - 360°

2/3/4/6/0 π−π−π−π−

π−π−π−π 6/54/33/2

2/33/44/56/7 π−π−π−π

π−π−π−π 26/114/73/5

hy

x

y = lado opuesto al ángulo ϕ

x = lado adyacente al ángulo ϕ

h= hipotenusa

( ) ( )hy

cschy

sen =ϕ=ϕ

( ) ( )xh

sechx

cos =ϕ=ϕ

( ) ( )yx

cotxy

tan =ϕ=ϕ

(Ver ejercicios: ángulos y sus conversiones página 237)

ϕ

UNAD

238

Se puede inferir según las relciones definidias, que el cociente es un valor real.

Por consiguiente las relaciones trigonométricas, son interacciones entre ángulos

y números reales.

Sea el triángulo cuyos lados miden x = 4 y y = 3, hallar las relaciones

trigonométricas correspondientes.

Solución: grafiquemos el triángulo,

primero calculemos h; por el teorema

de pitágoras:

525h

43hyxh 2222

==

+=⇒+=

Ahora sí calculamos las relaciones:

( ) ( ) 3/5csc5/3sen =ϕ=ϕ

De la definición podemos observar que las funciones, seno, coseno, tangente,

son las relaciones principales y las demás son recíprocas de las primeras.

Reducción de ángulos al primer cuadrante

Sabemos que los ángulos del primer cuadrante van de 2/a0 π . Cualquier

ángulo mayor a estos, se pueden reducir a un ángulo equivalente del primer

cuadrante. Lo anterior se debe a que la medida de los ángulos se hacen respecto

al eje x, luego en el plano cartesiano, para la circunferencia unidad, siempre

habrán 4 ángulos equivalentes respecto al eje x, solo que cada uno estará en

un cuadrante diferente, veámoslo gráficamente.

Ejemplo 1

h= 5

3

4

ϕ

( ) ( ) 4/5sec5/4cos =ϕ=ϕ

( ) ( ) 3/4cot4/3tan =ϕ=ϕ

u

UNAD

240

F

UNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Las funciones trigonométricas son relaciones donde a cada ángulo le

corresponde un único número real. El dominio de estas funciones son todas

las medidas de los ángulos, pero según la función definida, el dominio se puede

extender a otros ángulos. Esto quiere decir que para todas las funciones

trigonométricas, todos los ángulos agudos hacen parte de su dominio.

Vamos a estudiar cada función, para analizar sus particularidades, no sin antes

resaltar que este tipo de funciones son de tipo periódico, ya que se repite cada

cierto ángulo, es decir f(x) = f (x + p) para p > 0.

UNCIÓN SENO

Define la relación ( )ϕsen , podemos definir la función seno como sigue:

sea ( ) ( )xsenxf = , que define la función seno; donde x representa un ángulo y

( )xf un número real. Esto significa que cada ángulo le corresponde un número

real.

Dominio = son todos los reales, ya que x puede tomar cualquier valor real.

Imagen = la imagen de la función seno están en el intervalo [ ]1,1− , ya que el

cociente de la ecuación nunca puede superar la unidad. Ampliando un poco

esta parte; como sen(x) = y/h; siendo yh ≥ ; lo máximo es que h = y, así el

cociente será uno, pero si h > y; el cociente estará entre 0 y 1, siendo cero,

cuando y = 0, El signo negativo se da en los cuadrantes donde el eje y es

negativo.

Simetría = para la función ( )xsen se cumple: ( ) ( )xsenxsen −=− , luego es una

función impar, por consiguiente es simetría respecto al origen de coordenadas

cartesianas.

F

UNAD

244

F

Propiedades adicionales: por las características de la función seno, hay algunas

propiedades que merecen tenerse en cuenta:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )xcosx2/sen

xsenxsenxsenxsen

=−π=−π

−=π+

Las demostraciones son relativamente sencillas, recordando lo referente a

reducción de ángulos al primer cuadrante, es un buen camino para la

demostración.

UNCIÓN COSENO

Al igual que el seno; la función coseno se define: ( ) ( )xcosxf = , siendo x un

ángulo y ( )xf un número real.

La función coseno está definida en términos del eje x, recordemos la relacióncoseno.

Dominio = para el coseno, el dominio son todos los reales ( )αα− ,

Imagen = la imagen está en el intervalo [ ]1,1− , al igual que el seno, solo que

para el coseno; el cociente es x/h.

Simetría = en la función cos(x); se cumple ( ) ( )xfxf =− , luego esta función es

par, por consiguiente su simetría es respecto al eje y, de las coordenadas

cartesianas.

Valor de la función = las parejas ordenadas se obtienen a partir de la

circunferencia unidad, como se hizo en el seno; además, con el teorema definido

para el ángulo de 30° (recordarlo).

.

.

.

UNAD

246

F

Grafiquemos el coseno

Monotonía = la función coseno es decreciente de [ ]π,0 y creciente de ( ]ππ 2, . la

gráfica la ilustra visualmente.

Perioricidad = para la función coseno también se cumple que: ( ) ( )pxfxf += ,

ya que: ( ) ( ) π=π+= 2psiendo,2xcosxcos . Luego la función coseno se repite

en las mismas condiciones cada π2 .

Propiedades adicionales: veamos las propiedades que se deben tener en

cuenta para muchas situaciones.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )xsenx2/cos

xcosxcosxcosxcos

=−π−=π−−=π+

Las demostraciones se pueden hacer de igual manera que las realizadas parael seno.

UNCIÓN TANGENTE

Sea: ( ) ( )xtanxf = , definida como la función tangente, la cual está definida a

partir del cociente de los dos ejes; y/x. La palabra tangente significa que toca.

.

.

.

UNAD

250

Estas características están dadas en la circunferencia unidad

La función cotangente se interrumpe en ππ 2y . La curva se repite en π ysu simetría es respecto al origen.

La función cosecante se interrumpe en ππ 2y . Es simétrica respecto al

origen; además, la curva se repite cada π2 .

La función secante se interrumpe

en 2/π y 2/3π . Es simétrica

respecto al eje y. La curva se repitecada π2 .


251

Valores de la función = los valores para los ángulos notables para las funciones

cot (x) y sec (x) y csc (x), se obtienen de los triángulos de 30° y 45°; analizados

anteriormente.

Hagamos algunos ejemplos:

( )

( )

( )

( ) 22/1

1yh30csc

332

3

1

2/3

1xh

30sec

12/2

2/2yx

45cot

32/12/3

yx

30cot

===°

====°

===°

===°

Así para los demás.

Ejercicio: estimado estudiante, para afianzar lo relacionado con las funciones

trigonométricas, es pertinente que calcule los valores de las funciones cot (x),

sec (x) y csc (x); para los cuatro cuadrantes de los ángulos notables. Es un

ejercicio muy interesante.

ϕ

2/3y =

2/1y =

1h =1h =

°=ε°=ϕ

4530

2/2x =

2

2y =

α

UNAD

252

EJERCICIOS: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. Para el triángulo dado, hallar las 6 funciones trigonométricas

2. Para las funciones dadas hallar los restantes y hacer la gráfica

( ) ( )57tan

210sen =α=α

3. Dada la función f(x) = tan(x) cuáles son las intersecciones en x y y para la

circunferencia unidad.

4. Dada la función g(x) = cot (x); para π≤≤ 2x0 , cuáles son las asíntotas

verticales; si tiene.

5. Graficar las funciones

( ) ( )( ) ( )( ) ( )x3senxh

xcosxgxcotxf

=−=−=

6. Hallar el valor de:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )6/11sec26/7tan46/5cos3

4/cot6/csc6/sec0sen3/cot4/tan

6/cos2/sen

π+π−ππ+π+π

−π+ππ+π

α

80

8

α

α

3

5


253

UNCIONES HIPERBÓLICAS

Dentro de las funciones trascendentales, existen unas funciones que se obtienen

a partir de las funciones exponenciales, conocidas como las funciones

hiperbólicas, cuyo nombre está relacionado con una hipérbola; al igual que las

trigonométricas con un triángulo.

ENO HIPERBÓLICO

Denotado así: ( ) ( )xsenhxf = , se define de la siguiente manera:

( )2ee

xSenhxx −−

=

Dominio = son todos los reales, vemos que x puede tomar cualquier valor real.

Imagen = para cualquier valor de x, f(x) es real, luego la imagen son todos los

reales.

Simetría = para ( )xSenh ; se cumple que ( ) ( )xfxf −=− , luego es una función

impar, por consiguiente es simétrica respecto al origen de coordenadas

cartesianas.

Montonía = si tomamos ( ) ( ) 175,1xfy0xf;1xy0x 2121 ==== , luego

siendo ( ) ( )2121 xfxfxx <⇒< , por consiguiente la función es creciente en

todo su dominio.

Veamos la gráfica

F

S

UNAD

254

La función es la

composición

de las funcionesxx e

21

ye21 −−

OSENO HIPERBÓLICO

Denotado por: ( ) ( )xcoshxf = , se define de la siguiente manera:

( )2ee

xcoshxx −+

=

Dominio = aquí también x puede tomar cualquier valor, luego el dominio sontodos los reales.

Imagen = par acualquier valor de x, f(x) toma valores mayores o iguales a 1,luego la imagen son los 1y ≥ .

Simetría = esta función cumple ( ) ( )xfxf =− , luego la función es par, por

consiguiente es simétrica respecto al eje y.

Monotonía = la función es decreciente de ( )0,α− y creciente de [ )α,0 , veamos

la gráfica

En la gráfica se observa que a

partir de xx e21

ye21 − se

obtiene la función cosh(x)

C


255

C

T ANGENTE HIPERBÓPLICA

Se denota: f(x) = tanh (x), y se define como:

( )xx

xx

ee

eextanh

−

−

+

−=

Dominio = son todos los reales

Imagen = todos los reales entre 1y11y1 <<−−

Simetría = la ( )xtanh es una función impar, luego es simétrica respecto a

origen de coordenadas cartesianas

Monotonía = la función es creciente en todo su dominio.

Asíntotas = presenta dos asíntotas horizontales en y = 1 y y = -1

OTANGENTE HIPERBÓLICA

Denotado como: ( ) ( )xcothxf = , se define de la siguiente manera:

( )xx

xx

ee

eexf

−

−

−

+=


257

A

( )xx ee

2xhsec

−+=

Las funciones hiperbólicas tienen utilidades en electricidad, su gran ejemplo

es «la cutenaria», que es una cuerda pesada que está entre dos puntos de soporte,

como es el caso del cable de la luz suspendido entre dos postes.

(Ver ejercicios: funciones hiperbólicas página 258)

LGEBRA DE FUNCIONES

Como el recorrido que se ha hecho sobre las clases de funciones, ahora vamosa analizar las operaicones que se pueden hacer con funciones.

Suma: sean las funciones f(x) y g(x), la suma de las dos funciones nos originaotra función.

( ) ( ) ( )xgxfxh +=

El dominio de h(x), son los elementos comunes a f(x) y g(x). La operacióncumple las leyes básicas de la suma; conmutativa, clausurativa, asociativa.

( )xx ee

2xhcsc

−−=

UNAD

258

EJERCICIOS: FUNCIONES HIPERBÓLICAS

1. Hallar el valor de f(x = a) para las funciones dadas.

( ) ( )

1e

1e,

1e

1e:Rta4x;2parax)x(tanh)x(g

21ey0:Rta1x,0paraxxsenhxf

8

8

4

4

2

+

−

+

−===

−===

2. Dada la función f(x) = 4 cosh (x), cuánto vale la función para:

x = 0 Rta. 4

x = 2 24

e

2e2:Rta +

3. Verificar que:

x2

x

e)xsenh()x(cosh

e)xsenh()x(cosh

=+

=+

4. Para la función h(x) = f(x) + g(x), hallar el valor correspondiente para los x

dados:

( ) ( )xhsec4)x(gyxcoth3)x(f ==

1e

e8

1e

3e3:Rta5x

1e

e8

1e

3e3:Rta1x

10

5

10

10

22

2

++

−

+=

++

−

+=

5. En un cuadro hacer un paralelo entre las funciones senh(x), cosh(x) y tanh(x);respecto a sus características.


259

Resta: sean las funciones f(x) y g(x), la resta será:

( ) ( ) ( )xgxfxm −=

El dominio al igual que en la suma, son los elementos comunes de las dos

funciones. Esta operación sólo se cumple con la ley clausurativa; es decir; la

resta de dos funciones origina otra función.

Producto: para las funciones definidas en la suma y resta.

( ) ( ) ( )xg.xfxp =

El dominio es similar que el caso de la suma y resta. El producto entre funciones

cumple las leyes; clausurativa, conmutativa, asociativa.

Cociente: el cociente entre dos funciones es de la forma:

( ) ( )( )xgxf

xQ =

El dominio son todos los valores de x, excepto aquellos que hagan g(x) = 0

Sean ( ) ( ) 22 xxgy5x2x3xf =+−= , hallar f(x) + g(x), f(x) - g(x).

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) 11x2x26x5x2x3xgxf

1x2x46x5x2x3xgxf

222

222

+−=

−−

+−=−

−−=

−+

+−=+

Ejemplo 1

UNAD

260

Hallar

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 6xLnxgy4exf

:paraxg/xfyxgxfx2 −=+=

⋅

Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 6xLn4e

xg/xf

24xLn4e6xLne6xLn4exgxf

x2

x2x2x2

−+

=

−+−=−

+=⋅

Dadas las funciones:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxfxgyxhxgxf:hallar

xsenhxh;xxg;x2exf 3x3

−−−+==+=

Solución:

( ) ( ) ( )

( )

( )2

eee2x2x4xf

2eee2x2x4

2eeexx2xf

2ee

xx2exhxgxf

xxx33

xxx33xxx33

xx3x3

−

−−

−

+−++=

+−++=−−++=

−−++=−+

( ) ( ) ( )

( )2

eee2x2xL

2eex2exxhxfxg

xxx33

xxx33

−

−

+−=

−−

+−=−−

Ejemplo 2

Ejemplo 3

.

.


261

Composición de funciones

Una operación muy especial es la composición de funciones.

Sea ( )xgf o . Definida como f de g o g compuesta f.

Sea ( )xfg o . Definida como g de f o f compuesta g.

La composición de funciones la podemos ilustrar de la siguiente manera.

El dominio de la función compuesta, serán todos los x para el cual, ∈x Dominiode g y a su vez g(x) está en el dominio de f.

La función compuesta no es conmutativa; es decir ( ) fgxgf oo ≠ (x).

Sea ( ) ( ) ( ) )x(fgyxgfhallar,xxgy2xxf oo2 =+=

Solución:

( ) 2x2xgf2

o +=+= . La función g(x), hace las veces de variable para f (x)

2xfg 2o += . En esta, la función f(x) hace de variable para la función g(x)

Sea ( ) ( ) ( ) ( )3fgy2gfhallar,x

1xxgy2x3xf oo2 −

=−=

Solución: primero hallamos ( )xgf o y luego hallamos para x = 2

( )( ) ( )2

x

1x32

x1x

3xgfgf2

22o −

−=−

−

== , ahora hallamos

u

Ejemplo 1

Ejemplo 2

UNAD

262

( ) ( )( )

( )4/3

413

2

1232gf

2

2o ==

−=

( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) 25/243fyg4/33gf:teconsiguienpor

2524

233

3333fg

3fghallamosluego,2x3

3x3

2x3

12x3xfg

3fg:Ahora

oo

o

o

o

2

2

2

2

2

2

==

=−

−=

−

−=−

−

−

=

Hallar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x3Lnxgyx4senxfpara;xfgyxgf oo ==

Solución:

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )x4sen3Lnx4sen3Lnxfgfg

x3Ln4senx3Ln4senxgfgfo

o

======

Para el caso del ejemplo 3, hallar ( ) ( )8/fgy3/1gf oo π

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )3Ln8/fgy03/1gf:Entonces3Ln2/sen3Ln8/4sen3Ln8/fg00sen1Ln4sen3/13Ln4sen3/1gf

oo

o

o

=π==π=π=π

====

Ejemplo 3

Ejemplo 4


263

EJERCICIOS: ÁLGEBRA DE FUNCIONES

1. Dada las funciones: ( ) ( ) hallar,x34xxgy

4x1x5xf −=

−+=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )xfxg

xg.xfxfxgxgxf

÷

−+

2. Para las funciones: ( ) ( ) hallar,8y5y3yLy4y5yyh 22 +−=+−=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )yL3yh5yh5yLyL3yh

÷+−

3. Sea: ( ) ( ) hallar,e10xMye3xE x3x2x2 −==

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )2

xExM

xMxE

xMxE

23

−

−

⋅

−

4. Dadas: ( ) ( ) ( ) ( ) hallar,xcosxgyxsen4xf 22 ==

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] 1xgxf

xgxfxgxfxgxf

−⋅

÷÷+

5. Hallar ( ) ( ) para,xfgyxgf oo :

( ) ( )

( ) ( ) ( )x3senxgy2xf

2xxgy4x2

1xf

x

2

==

+=−

=


265

Funciones algebráicas inversas

Es pertinente tener en cuenta que para invertir una función, ésta debe ser

inyectiva, (uno a uno; biunívoca).

las funciones algebraicas cuyo polinomio es de grado 1 y 3 son inyectivas. La

función cuadrática No es inyectiva, la función radical también es inyectiva.

Para identificar una función inyectiva en la gráfica trazamos una línea

horizontal y si corta en un solo punto a la curva, dicha función es inyectiva.

No inyectiva Inyectiva

Vemos que 1L corta la curva en dos puntos; mientras que 2L corta la curva en

un solo punto; luego ( )xf no es inyectva, mientras que ( )xg ; si lo es.

Hallar la función inversa de ( )xf = 4x - 5

Solución: como es función lineal, ésta tiene inversa, para obtener la inversa

de ( )xf , debemos despejar x.

45y

xx45y5x4y+

=⇒=+⇒−= , luego expresamos de forma implícita y

explícita.

forma implícita ⇒ 45y

x+

= , forma explícita ⇒ ( )4

5xxf 1 +

=−

u

Ejemplo 1


267

u

F

Determinar la función inversa de ( )4x31xxg

+−= , comprobar la inversión.

Solución: despejamos x en la ecuación.

( ) 1xy4xy31xy4xy31xy4x34x3

1xy −=−+⇒−=+⇒−=+⇒+−=

( )1y31y4

x1y41y3x1y4xxy3−

−−=⇒−−=−⇒−−=−

entonces: ( )1x31x4

xg 1−−−

=−, comprobemos la inversión, para esto sólo se debe

probar ( ) xxgg 1 =

−

, entonces:

( )( ) x

70x7

1x3/4x123x121x3/1x31x4

41x31x4

3

11x31x4

1x31x4

g =−

+−=

−−+−−−+−−−

=+

−−−

−−−−

=

−−−

Nota: siempre que se invierta una función, es conveniente comprobar lainversión.

UNCIONES TRASCENDENTALES INVERSA

Función exponencial

La Función exponencial es inyecta, luego tiene inversa.

Sea: ( ) xaxf = , para hallar la inversa, como se ha dicho, despejamos la variable x

xyLogaLogyLogay ax

aax =⇒=⇒= , recordemos las propiedades de los

logaritmos, luego:

Ejemplo 4


269

EJERCICIOS: FUNCIONES INVERSAS

1. Dadas las siguientes funciones, determinar cuáles son inyectivas y cuáles

no, justificando la respuesta.

( )( )( )

( ) 2

2

x4xL

xxh

4xxg

6x5xf

−=

=

+=

−=

2. Las funciones dadas a continuación son inyectivas, hallar la función inversay su dominio.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 3 4xxP:Rtax4xP

x4x5

xN:Rtax5

x4xN

25

x41

xM:Rtax410xM

13

1

1

−=−=

−−=

+=

+−=−=

−

−

−

3. Hallar ( )xf 1− para las funciones:

4. Grafique las funciones y su inversa para:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xLog3xLx4Lnxh

exg10xf

2

x2x3

====

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )110

2L:Rta

xx2

LogxL

xLn4Lnxh:Rta4exh

exg:RtaxLn3xg

xLn21xf:Rtaexf

x1

1x

3x1

1x2

−=

+

=

+=÷=

=+=

==

−

−

−−

−

Rta: si

Rta: no

Rta: no

Rta: si


271

u

Hallar ( )2/1seny 1−=

Solución: debemos buscar en el rango de 2/,2/ ππ− , en donde el seno vale

1/2, luego ( ) 6/2/1sen 1 π=−

Determinar la solución para ( )1tany 1−=

Solución: en el intervalo ( )2/,2/ ππ− , debemos buscar en dónde la tangente

tiene el valor de 1, corresponde al ángulo de ( )°π 45.4/ .

Hallar la función de ( ) ( )3cos2/1cosy 11 −− +=

Solución: el conseno vale 1/2 en 3/π y cotangente vale 3 en 6/π , luego

2/6/36

26/3/y π=π=π+π=π+π=

Función hiperbólica

De las funciones hiperbólicas, senh(x), tanh(x), coth(x) y csch(x) son uno a uno,

luego tienen inversa. Para el caso de cosh(x) y sech(x), por no ser inyectivas, se

debe restringir el dominio, para poderlos invertir.

En el siguiente cuadro resumimos las funciones hiperbólicas inversas, en donde

se encuentran espacios para llenar, es para que el estudiante investigue.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3


279

EJERCICIOS: TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

1. Graficar las siguientes funciones, identificando el cambio que manifiesta,según

la función base:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) x31xgyx3xf

4xxgy4xxf

22xxgy22xxf

==

+=+=

−=+=

2. De las funciones dadas, graficarlas identificando si hubo corrimiento,

alargamiento o compresión de la curva.

( )

( )

( ) 3x8xL

x1

xk

66xh

−+=

−=

=

3. De las funciones dadas a continuación, compararlas con la función base y

decir cuáles fueron los cambios.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

=

=

=

=

==

2xtanxK

xtan2xJ2x

cosxI

xcos21xh

x4senxgxsen4xf

4. De cuánto fue el cambio de fase en las siguiente funciones

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )π+=π−=

π+=π+=xtan2xM3/xcosxg

2x2cos5xh2/xsenxf

UNAD

280

PLICACIÓN DE LAS FUNCIONES

Las funciones tienen una amplia utilidad en todas las disciplinas, vamos a analizar

diversos ejemplos modelos de éstas, con el fin de motivar para profundizar en dichas

aplicaciones en la disciplina de interés para los estudiantes.

LGEBRAICAS

La mejor manera de ver las aplicaciones es a través de ejemplos modelos.

El perímetro de un rectángulo mide 120 cm. Expresar el área del rectángulo

como función de la longitud de su largo.

Solución: una gráfica nos ayudará a resolver el problema.

x = largo

y = ancho

perímetro = 120y2x2 =+

p = x60y60yx −=⇒=+

Despejamos y, para expresar solo en función de x.

Como área = largo x ancho ⇒ A = x . y pero x60y −= , entonces ( )x60xA −=

Así queda expresada el área en función del largo del rectángulo.

Ejemplo 1

y

x

A

A


281

La relación entre la temperatura ambiente y la altitud es aproximadamente lineal

para 500.3y0 ≤≤ T = ºC y y = metros. La temperatura a nivel del mar es

del 16ºC aproximadamente, al aumenta la altitud a 1.500 metros, la temperatura

disminuye en 7ºC.

a. Hallar T (y); es decir, la temperatura en función de la altitud

b. Qué temperatura ambiental habrá a 2.000 metros de altura

c. A qué altitud la temperatura será de 0ºC

Solución:

a. Según las condiciones del problema T = m y + b, donde m y b son constantes.Ahora para T = 16ºC, y = 0, así:

( ) 16bb0m16 =⇒+= . la nueva ecuación será:

( ) 16ymT += , para hallar m, tenemos un dato, cuando y = 1.500 m,

Cº9716T =−= . Ahora

( ) 16500.1m9 += . El punto es (9ºC, 1.500 m), despejamos m, luego:

500.17

500.1169m −=−=

La función lineal obtenida es: ( ) 16y500.17T +−=

b. A ( ) Cº67,6162000500.17T:metros000.2 =+−=

c. A ( ) ( ) 16y500.1716y

500.170:seráaltitudla,Cº0 −=−⇒+−=

m57,428.3700.24

y000.24y7 ==⇒−=−

como y está en el rango de altura para el modelo que se construyó, el dato es

confiable.

Ejemplo 2


283

4hr

rh

520 =⇒= , despejamos r para reemplazarlo en la ecuación del volumen,

ahora:

48h

h.4h

3V

32 π=

π

= ; por consiguiente:

( ) 3h48

hV π=

Para el ejemplo anterior, ¿a qué altura estará el líquido, si el volumen es de 4m3?

Solución: como ya tenemos la función, reemplazamos volumen y despejamos altura.

m938,3m115,61h

m115,61192h192hh48

m4

3 3

33333

==

=π

=⇒=π⇒π=

En economía una función muy trabajada es la de interés compuesto. Si se invierte

c pesos a un interés i compuesto anualmente, en t años el monto inicial será de:

( )ti1cP +=si se invierten $500.000 al 10% interés anual compuesto ¿cuánto se tendrá al

tercer año y cuánto ganó de intereses?

Solución:

P = ? i = 0,1 = 10%

c = 500.000 t = 3

Ejemplo 5

Ejemplo 6

UNAD

284

Entonces: ( ) 500.665$1,01000.500p 3 =+=

Luego ganó intereses $165.500

El costo de producción de un artículo está compuesto por los costos fijos más los

costos variables. En una compañía los costos fijos para productir el artículo es de

$50.000. El costo de producir un artículo es de 200 pesos. ¿Cuál será el costo de

producir 1.000 artículos?

Solución:

Costo total = costos fijos + costos variables C (x) = k + n(x)

( ) ( )( ) ( ) 000.250000.1200000.50xc

000.1xparaAhora.x200000.50xc=+=

=+=

Luego, productir 1.000 unidades costará $250.000

(Ver ejercicios: aplicaciones funciones algebraicas, página 285)

RASCENDENTALES

Al igual que las funciones algebraicas, las trascendentales tienen inmensas

aplicaciones, en ciencias, economía, ingeniería, ciencias sociales y otras. Vamos

a analizar a continuación ejemplos modelos diversos.

Ejemplo 7

T


285

EJERCICIOS: APLICACIÓN FUNCIONES ALGEBRAICAS

1. Dado un cubo de lado l, expresar el volumen del cubo, como función del área de su

base.

3Av:Rta =

2. Dada la gráfica, el perímetro p corresponde al total de longitud, los dos rectángulos

son iguales. El área total es de 4.000 m2. Expresar p en términos de x.

( )x000.12

x2xp:Rta +=

3. El crecimiento de un bebé de más 84 días de gestación está dado por la expresión:

( ) 8.6t52.1tL −= . donde L es la longitud de centímetros y t es el tiempo en semanas.

¿Cuál será la edad de gestación de un bebé cuya longitud es de 35 cm?

semanas5,27t:Rta =

4. Un jugador de fútbol, tiene un récord de goles dados por 8 goles en 17 juegos.

El jugador fue alineado en 180 partidos manteniendo el récord de goles.

a. Expresar el número de goles como función del número de alineaciones donde

participó el jugador. ( ) l178lG:Rta =

b. ¿Cuántos goles anotó en la temporada de los 180 partidos?

Rta: aprox. 85 goles

5. Un cilindro circular recto de volumen v, altura h y radio r, tiene una altura

del doble del radio. Expresar el volumen del cilindro como función del radio.

( ) 32rv:Rta π=

6. Sea la función: ( ) 8xxg 2 −= ; el punto ( )y,xp está sobre la gráfica de ( )xg .

Expresar la distancia d que se presenta desde ( )y,xp al punto ( )1,0Q ; como

función de x. 64x15xd:Rta 24 +−=

x

UNAD

286

XPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

En medicina la recuperación normal de una herida se puede modelar por medio

de una función exponencial Sea 0A el área original de la herida y A es área de la

herida después de n días. Luego la función es de la siguiente manera:( )n35.0

0 eAA −=

En un proceso de recuperación, ¿cuánto medirá la herida a los 3 días, si el área

inicial era de 1,5 cm2?

Solución:

( )

( ) 205,1335.0

n35.00

cm525,0e5,1e5,1A

:entonces,días3nincógnitaA

eAA

===

==

=

−−

−

A los 3 días el área ha disminuido a 2cm525,0

La presión atmosférica p ejercida sobre un avión disminuye al aumentar la altura

y. La presión en mmHg está relacionada con la altura en kilómetros, por medio

de la ecuación: ( )y145.0e760p −= , vemos que la presión es función de la altura.

¿cuál será la altura, cuando la presión es de 570 mm Hg?

Solución:

En el problema nos dan la presión y se debe obtener la altura,, luego debemosdespejar y. Veamos:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

E


287

( ) ( ) ( )y145.0760

pLne

760p

e760p y145.0y145.0 −=

⇒=⇒= −−

Luego: ( ) ( )

km98,1145.0

2876.0145.0

760/570Ln145.0760/pLn

y =−

−=

−=

−=

cuando la presión es de 579 mm Hg, la altura es de 1,98 km.

El pH es una solución química está dada por la ecuación:

−= +HLogpH

Donde

+H , es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro, ¿cuál

será el pH de un litro de agua que tiene 810x2 − moles de hidrógeno?

Solución: reemplazamos en forma directa:

( ) 698,7698,710x2LogpH 8 =−−=

−= −

El pH = 7,698

En la escala de Richter para medir los sismos, se utiliza la función:

=

0IILogR

0I = intensidad mínima del sismo

I = intesidad dada del sismo en un instante dado

Si la intensidad de un sismo es 500 veces la intensidad mínima, ¿cuál será el

valor de R?

Ejemplo 3

Ejemplo 4

UNAD

288

Solución:

( )

( ) 6989,2500LogR

luego,500LogI

I500LogRluego,I500I

0

00

==

=

==

Para el ejemplo 4, si la intensidad mínima es 0I , cuál será la intensidad para

una escala de Richter de 4,5.

Solución: de la ecuación R, necesitamos despejar I, luego:

( )77,31622I10.II

:luego;5,4Rosreemplazam,10.II

II

101010II

LogR

05,4

0

R0

0

RIILog

R

0

0

==

==

=⇒=⇒

=

por consiguiente la intensidad será de 31.622,77 veces la intensidad mínima.

(Ver ejericicios: problemas funciones exponencial y logarítmica,página 289)

RIGONOMÉTRICAS

En este aparte vamos a resolver diversos tipos de problemas, tomando como base

el triángulo rectángulo; para lo cual debemos tener presente, el teorema de

pitágoras, las funciones trigonométricas, una calculadora científica que nos

permita apresurar los cálculos; ojo no simplificarlos. Es pertinente que todos los

cálculos sean planteados metódicamente para poder entender lo que se está

resolviendo y cómo se están resolviendo.

Ejemplo 5

T


289

EJERCICIOS: PROBLEMAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

La tasa de interés compuesto continuo está dado por la expresión: tiecA = , siendo:

A = cantidad acumulada a los t años

c = capital inicial

i = interés anual, expresado en tanto por uno

t = tiempo en años de c invertido

Aplicar esta fórmula a los siguientes problemas.

1. Si depositamos $1000 a un interés del 33/4 de interés anual, ¿cuál será el

saldo al os 5 años de hacer el ahorro?

Rta: A = $1.510,59

2. ¿En cuánto tiempo t en años, la cantidad acumulada es de $10.500 el capital

ahorrado de $8.500 y el interés fue de 9,2%. ¿Qué tiempo transcurrió para

obtener la cantidad acumulada?

Rta: años3,2t ≅

3. Después de 4 años del depósito, un capital presenta una cantidad acumuladade $26.300 al 7.8% anual. ¿De cuánto fue el depósito inicial?

252.19$c:Rta =

En una investigación se determinó que el área de cuerpo en su superficie está

dada por: ( ) ( ) ( )hLog725,0mLog425,0144,2ALog ++−= , donde m es masa

en kg y h la altura en metros.

4. Una persona tiene 75 kg de peso y 1,80 metros de altura, ¿cuál será el área

superficial de su cuerpo? 2m06886,0A:Rta =

5. ¿Cuál será la estatura de una persona que pesa 68 kg y su área superficial es

de 0,05615 m2? metros44,1h:Rta ≅

6. Una persona tiene un área superficial de 0,0725m2; su estatura es de 1,92m

¿cuál será la masa de la persona? kg86,75m:Rta ≅


295

EJERCICIOS: PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA

1. Un salvavidas está en su torre de observación a 20metros de altura, una

persona implora su ayuda con un ángulo de depresión de 35º. ¿A qué distancia

de la base de la torre de observación está la persona que solicitó ayuda?

Rta: d = 28,56 metros

2. Un poste de 35 metros de altura debe ser apoyado por unalambre que se fija a

tierra. Si el alambre forma un ángulo de 52º con la horizontal, ¿cuál será la

longitud del alambre?

Rta: 44,42 metros

3. Una persona de 1,62 metros; proyecta su sombra de 1,15 metros a lo largo del

suelo ¿cuál será el ángulo de elevación del sol sobre la sombra?

Rta: α = 54,63º

4. Un cohete se dispara y éste sube a un ángulo constante de 70º hasta llegar a

una distancia de 12.000 metros, ¿qué altitud alcanzó el cohete?

Rta: h = 11.276, 31 metros

5. El pentágono en los EEUU, tiene forma de pentágono regular; cuyo lado mide

921 pies, ¿cuál será el área del pentágono?

Rta: 2pies379.4591́A =

6. Un deslizadero forma un ángulo de 35º con la horizontal, si la disancia del

punto donde llega el deslizadero en tierra a la horizontal donde inicia éste es

de 100 metros, ¿qué longitud tiene el deslizadero?

Rta: L = 70 metros


297

En el contexto de este capítulo, cuando hablemos de trigonometría hacemos

referencia a triángulos y cuando se hable de hipernometría, estamos haciendo

referencia a funciones hiperbólicas.

Analizadas las funciones trigonométricas e hiperbólicas, es imporante profundizar

en estas temáticas que son necesarias para afianzar los conocimientos en este

campo, como son las identificadas y las ecuaciones trigonométricas, también

identidades hiperbólicas, cuyas temáticas inducirán al desarrollo en los estudiantes

competencias cognitivas muy importantes en el campo de las matemáticas.

Pero con la profundización no es suficiente; por lo cual, se hace un énfasis a la

transferencia, por medio de diversas aplicaciones a través del análisis de ejemplos

modelos, los cuales se deben estudiar con detenimiento para adquirir sólidosconocimientos y poder aplicarlos cuando así se requiera.

Esperando; como sabemos que es, que este capítulo sea de su agrado y les debuenos aportes en trigonometría y hipernometría.

Objetivo general

. Profundizar en los conceptos trigonometría analítica e hipernometría, quepermitan adquirir las herramientas para ser utilizadas cuando así se requiera.

Objetivos específícos

. Analizar las identidades trigonométricas e hiperbólicas.

. Resolver identidades trigonométricas e hiperbólicas.

. Desarrollar ecuaciones trigonométricas.

. Estudiar los triángulos no- rectángulos y sus aplicaciones.

TRIGONOMETRÍA

Introducción


299

Ahora realicemos los mismo, pero al contrario, es decir: )(sen)(cos

αα

, entonces:

yx

hy

hx

)(sen)(cos

==αα

. Cociente que por definición es )(cot α , luego:

)(sen)(cos

)(cotαα

=α

3. Identidades recíprocas: se llaman así debido a que por definición, al

intercambiar los términos del cociente de la relación trigonométrica se

obtienen éstas. Veámos:

)(cscy)(senentonces;yh

)(cscyhy

)(sen αα=α=α

son recíprocas, luego: )(csc1

)(senα

=α . Lo mismo con las demás.

xh

)(secyhx

)(cos =α=α , entonces )(secy)(cos αα son

recíprocas. En general:

)(csc1

)(senα

=α)(sen

1)(csc:también

α=α

)(sec1

)(cosα

=α)(cos

1)(sec:también

α=α

)(cot1

)(tanα

=α)(tan

1)(cot:también

α=α

4. Identidades pitagóricas: a partir de la identidad fundamental, a veces

llamada también pitagórica, se puede obtener las llamadas identidades

pitagóricas.

Si dividimos la identidad fundamental por )(cos α , tenemos otra identidad:

UNAD

300

)(sec1)(tan)(cos

1

)(cos

)(cos

)(cos

)(sen 2222

2

2

2α=+α⇒

α=

α

α+

α

α, entonces:

)(sec1)(tan 22 α=+α

Ahora, dividamos la identidad fundamental por )(sen α , luego:

),(csc)(cot1)(sen

1

)(sen

)(cos

)(sen

)(sen 2222

2

2

2α=α+⇒

α=

α

α+

α

α entonces:

)(csc1)(cot 22 α=+α

5. Identidades pares-impares: cuando definimos la simetría de las funciones

trigonométricas, identificamos las funciones pares e impares. De aquí se

pueden definir las identidades pares e impares.

Pares: )(cos)(cos α=α−

)(sec)(sec α=α−

Impares: )(sen)(sen α−=α− )(cot)(cot α−=α−

)(tan)(tan α−=α− )(csc)(csc α−=α−

6. Identidades de cofunción: cuando a 2π se le resta un ángulo cualquiera,

se obtiene la confunción: veamos:

a. )x(senx2

cosy)x(cosx2

sen =

−

π=

−

π

b. )x(tanx2

coty)x(cotx2

tan =

−

π=

−

π

c. )x(secx2

cscy)x(cscx2

sec =

−

π=

−

π

Para x medida en radianes de un ángulo agudo. De esta manera se dejan definidas

las identidades trigonométricas básicas.


301

t Identidades de suma y diferencia

En muchas ocasiones, se puede expresar un ángulo dado, como una suma o una

resta de ángulos notables, por ejemplo: 15º es igual a 45º - 30º; 75º es igual a 30º

+ 45º y así muchos más. Para este tipo de situaciones es que se utilizan las

llamadas identidades de suma y diferencia de ángulos.

Iniciemos con: cos ( a - b ); siendo a y b medidas de angulos y por conveniencia

a > b. Entonces:

cos ( a - b ) = cos ( a ) . cos ( b ) + sen ( a ) . sen ( b )

Demostración

Vamos a utilizar como herramienta la geometría del círculo trigonométrico

unitario.

Las coordenadas de cada punto son:

A ( 1, 0 )

B ( ))ba(sen,)ba(cos −−

P ( ) ( ))b(sen,)b(cosyx 1,1 =

Q ( ) ( ))a(sen,)a(cosyx 2,2 =

UNAD

302

La distancia de AB es igual a la distancia de PQ . Por la fórmula de distancia:

[ ] [ ] =−+−−⇒= 22 )ba(sen1)ba(cos)PQ(d)AB(d

[ ] [ ] 22 )b(sen)a(sen)b(cos)a(cos −+− elevamos al cuadrado ambos

términos de la ecuación, tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) 2222 ))b(sen)a(sen)b(cos)a(cos)ba(sen1)ba(cos −+−=−+−−

Desarrollando cuadrados:

)b(cos)a(cos2)a(cos)ba(sen1)ba(cos2)ba(cos 222 −=−++−−−

)b(sen)b(sen)a(sen2)a(sen)b(cos 222 +−++

Agrupamos términos:

+

+=+−−

−+− )a(sen)a(cos1)ba(cos2)ba(sen)ba(cos 2222

);b(sen)a(sen2)b(cos)a(cos2)b(sen)b(cos 22 −−

+ entonces:

1 - 2 cos ( a - b ) + 1 = 1 + 1 - 2 cos ( a ) cos ( b ) - 2 sen ( a ) sen ( b ).

Operando:

2 - 2 cos ( a - b ) = 2 - 2 cos ( a ) cos ( b ) - 2 sen ( a ) sen ( b ).

Simplificando:

cos ( a - b ) = cos ( a ) cos ( b ) + sen ( a ) sen ( b )

Asì queda demostrada la identidad de diferencia de coseno.

Ahora: cos ( a + b ); de igual manera que el caso anterior.

cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) - sen ( a ) sen ( b )


303

Demostración

Demostrando la diferencia de ángulos para coseno, lo podemos utilizar para otras

identidades como cos ( a + b ). Veámos:

cos ( a + b ) = cos ( a - ( - b ) ) = cos ( a ) . cos ( - b ) + sen ( a ) sen ( - b )

Sabemos que cos ( - b ) = cos ( b ) y sea ( - b ) = - sen ( b ), luego:

cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) - sen ( a ) sen ( b ).

En seguida analizamos la suma y diferencia para seno.

sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b )

Demostración

Para demostrar esta identidad vamos a utilizar la identidad de suma y diferencia

de coseno, la identidad de cofunción y algunas transformaciones sencillas.

Llamamos a ( a + b ) = w, entonces.

( ) )w(senw2cos =−π por la identidad de cofunción, ahora:

( ) ( ) ( )( )ba2cosba2cos)ba(2(cos −−π=−−π=+−π , pero:

( ) ( ) ( ) bsena2senbcosa2cosb)a2(cos −π+−π=−−π

pero: ( ) )a(sena2cos =−π , luego:

( )( ) )b(sen)a(cos)b(cos)a(senba2cos +=−−π . Finalmente como:

( )( ) ),ba(sen)w(senba2cos +==−−π entonces:

)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen +=+Así queda demostrada la identidad de suma de ángulos para seno.

Sigamos con )ba(sen −

)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen −=−

UNAD

304

Demostración

( ) )b(sen)a(cos)b(cos.)a(sen)b()a(sen)ba(sen −+−=−+=−

pero por identidades pares e impares:

:luego,)b(sen)b(seny)b(cos)b(cos −=−=−

)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen −=−

Finalmente veamos la suma y diferencia para tangente.

)b(tan.)a(tan1)b(tan)a(tan

)ba(tan−

+=+

Demostración:

Como )ba(cos)ba(sen

)ba(tan++

=+ desarrollemos el cociente.

)b(sen)a(sen)b(cos)a(cos)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen

)ba(tan−+

=+

dividimos todo por cos (a ) cos ( b )

)b(cos)a(cos)b(sen)a(sen

)b(cos)a(cos)b(cos)a(cos

)b(cos)a(cos)b(sen)a(cos

)b(cos)a(cos)b(cos)a(sen

)ba(tan−

+=+

Simplificando:

)b(tan)a(tan1)b(sen11)a(tan

)ba(tan•−

•+•=+ resumiendo:

)b(tan)a(tan1)b(tan)a(tan

)ba(tan•−

+=+

Ahora veamos la resta de dos ángulos para tangente:

)b(tan)a(tan1)b(tan)a(tan

)ba(tan•+

−=−

UNAD

306

Identidades de ángulo doble

Cuando en la suma o diferencia de ángulos, si a = b, entonces se obtienen los que

llamamos ángulos dobles, que son herramienta en el análisis del movimiento

curvilíneo.

1) )a(cos)a(sen2)a2(sen =

Demostración

Sabemos que sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b ), pero a = b, luego:sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( a ) + cos ( a ) sen ( a )

2) )a(sen)a(cos)a2(cos 22 −=

Demostración

Al igual que en el caso anterior:

cos ( a + a ) = cos ( a ) • cos ( a ) - sen ( a ) • sen ( a ) = cos2 ( a ) - sen2 ( a )

Luego:cos ( 2a ) = cos2 ( a ) - sen2( a )

3) )a(tan1

)a(tan2)a2(tan

2−=

Demostración

Se deja como ejercicio para realizar en pequeño grupo colaborativo.

Identidades de ángulo mitad

En matemáticas, especialmente en cálculo el ángulo mitad es muy utilizado, poresto es pertinente referenciar los ángulos mitad.


307

( )2

)a(cos12

asen −±=

Demostración

De la identidad de ángulo doble, podemos hacer esta demostración.

)a(sen1)a(cospero);a(sen)a(cos)a2(cos 2222 −=−= por la identidad

fundamental, luego:

),a(sen21)a(sen)a(sen1)a2(cos 222 −=−−== despejamos )a(sen 2

2)a2(cos1

)a(sen)a(sen21)a2(cos 22 −=⇒−=−

Hacemos un cambio así: 2x

a= y reemplazamos en la ecuación:

( ) ,2

)x(cos12

2x

2cos1

2xsen2 −

=

•−

= por consiguiente:

2)x(cos1

2x

sen−

±=

)a(cos1)a(sen

2a

tany2

)a(cos12a

cos+

=

+

±=

Demostración

La demostración de las dos anteriores identidades, se dejan como ejercicio para

resolver en pequeño grupo colaborativo o con asistencia del docente.

UNAD

308

Identidad de producto-suma

Vamos a referenciar este tipo de identidades; los demostraciones se dejan como

investigación, para que lo resuelvan individualmente y luego socializarlo con los

compañeros y el docente.

1. [ ])ba(sen)ba(sen21

)b(cos)a(sen −++=•

2. [ ])ba(cos)ba(cos21

)b(sen)a(sen −−−=•

3. [ ])ba(sen)ba(sen21

)b(sen)a(cos −−+=•

4. [ ])ba(cos)ba(cos21

)b(cos)a(cos −++=•

Identidades de suma-producto

Al igual que en el caso anterior, las demostraciones se dejan como investigación.

1.

−

•

+

=+2

bacos

2ba

sen2)b(sen)a(sen

2.

−

•

+

=−2

basen

2ba

cos2)b(sen)a(sen

3.

−

•

+

=+2

bacos

2ba

cos2)b(cos)a(cos

3.

−

•

+

−=−2

basen

2ba

sen2)b(cos)a(cos

Demostración de identidades trigonométricas

En el inicio de este capítulo se hizo referencia a las identidades básicas, en este

aparte se va a trabajar en la demostración de otras identidades, utilizando los

principios matemáticos que se conocen y las identidades básicas.


313

EJERCICIOS: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Para los ejercicios propuestos a continuación, reducir a una sola función las

expresiones dadas.

1. )x(sec1)x(tan)x(sec)x(tan

+•+

Rta. tan ( x )

2.)x(cot

1)x(csc2

2 −Rta. 1

3. )A(csc)A(cot)A(tan +

Rta. sec ( A )

4. )x(sen)x(cos1

)x(cos1)x(sen +

++ Rta. 2 csc ( x )

Demostrar las siguientes identidades.

5.( )

)x(tan)x(sec)x(sen1

2sen=−

−

π

6. [ ] [ ] 2)(cos)(sen)(cos)(sen 22 =σ−σ+σ+σ

7. )x(sen)º180x(sen −=+

8. )x(tan1)x(tan1

)º45x(tan−+

=+

9. 1)x(cos21

)x(cos)x(sen2

44=

−

−

10. ( ) ( ))t(sen)t(cos22

4tcos +=π−

11. )4(cot)(sen)7(sen)(cos()7(cos

σ=σ+σσ+σ

12. )y2(sen)x2(sen)y2(sen)x2(sen

)yx(tan)yx(tan

+−

=+−


319

Ahora:

( ) º5,67x21Tanx 1 −==⇒−−= − que es equivalente en ángulo positivo es:

813º5,292 π= . En el cuarto cuadrante, pero nos falta en el segundo cuadrante

donde también la tangente es negativa, en este el ángulo será:

85º5,1125,67º180 π==− Luego la solución general:

.813y8

9,85,8

ππππ

Estimado estudiante, compruebe la solución.

Podemos hacer una reflexión sobre la solución de ecuaciones trigonométricas. Es

importante conocer las identidades básicas, de ángulo suma y diferencia, de

ángulo doble y ángulo mitad; además de las herramientas algebráicas, para

resolverlas adecuadamente, pero también una buena gama de ejercicios permitirán

adquirir destreza, como se dijo antes: pedaliando, pedaliando, se llega lejos.

UNAD

320

EJERCICIOS: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas; para la circunferencia unidad.

1. 23)x(cos = Rta. x = 30º y 330º

2. 01)x(sen 2 =− Rta. 2

3y

2x

ππ=

3. 0332)(sec =−σ Rta. 6

11y6ππ=σ

4. )2(sen)4(cos σ=σ Rta. º135yº75,º15=σ

5. 0)(tan)(tan 2 =α+α Rta. π=απ=α y43

6. 01)(sen)(sen2 2 =−α+α Rta. 23;6

5;6π=απ=απ=α

7. 0)x5(sen)x3(sen =+ Rta. 23,4

5,,43,2,4,0x ππππππ=

8. )(sen2

cos2

3sen2 σ=

σ

σ

Rta. º270,º180,º90,º0=σ

9. 12

)x(cos21 =+Rta. 3

4y3

x ππ=

10. 0)(sen3)(sen2 =α+α Rta. π=α

UNAD

324

Ccosab2bac

Bcosac2cab

Acosbc2cba

222

222

222

−+=

−+=

=+=

La demostración ha haremos con un

triángulo, obtusángulo pues se puede

hacer con cualquiera. Las coordena-

das de cada vértice.

0 ( 0, 0 )

A ( b, 0 )

B ( x,y ) = ( a cos ( α ), a sen ( α ) )

Por medio de la ecuación de distancia euclidia, podemos hallar c, veamos:

212

212

2 )yy()xx(c −+−=

Pero: ))(sena0(yyy))(cosab(xx 1212 α−=−α−=− , luego:

222 ))(sena0())(cosab(c α−+α−=

)(sena)(cosa)(cosab2bc 222222 α+α+α−=

)(cosab2b))(sen)(cos(ac 22222 α−+α+α= por la identidad fundamental:

)(cosab2bac 222 α−+=

La demostración de 22 cyb ; se hace de forma similar; el estudiante debe

hacer las dos demostraciones faltantes y compartidas con los compañeros y eltutor.

UNAD

330

Solución

AB = Longitud de la puerta

del baúl = 1,10 m

UV = longitud del soporte extendido.

BC = espacio de apertura = 0,85 cm.

A = ángulo de apertura

Por triángulos semejantes:

84,085,0

65,0x10,1AU

:AUdespejamos,AU

65,010,185,0

AUUV

ABBC

==

=⇒=

Ahora calculamos el ángulo A:

)A(cos)AC()AB(2)AC()AB()BC( 222 −+=

Reemplazando valores:

)A(cos)10,1()10,1(2)10,1()10,1()85,0( 222 −+=

:luego)A(cos42,221,121,17225,0 −+=

º46,45A)7014,0(cosA

7014,042,2

6975,1)A(cos

1 =⇒=

=−

−=

−

A

B

C

v

u

0,85

m

0,65

m


331

EJERCICIOS: PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS NO-RECTÁNGULOS

1. Una circunferencia tiene un radio de 25 cm, suntendido por el ángulo

central de 36º. ¿Cuál será la longitud del arco de la circunferencia?

Rta. S= 15,71 cm.

2. Una persona se encuentra a 120 metros de la base de una torre inclinada,

el ángulo de elevación desde su posición a la punta de la torre es de 24º, a

su verz la torre forma un ángulo con el suelo de 72º. ¿Cuál es la altura de

la torre?

Rta. h = 49,08 metros.

3. Asumiendo que las órbitas de mercurio y tierra son circulares y se

encuentran en el mismo plano. La tierra se encuentra a 9,3 x 107 millas

del sol y mercurio se encuentra a 3,6 x 107 millas del sol. Si mercurio se ve

desde la tierra y el ángulo entre mercurio, tierra y sol es de 8,35º; seindo la

tierra el vértice. ¿Qué tan lejos esta la tierra de mercurio?

Rta: D = 1,25 x 108 millas

4. Las casas de José y Alberto están a los lados opuestos de un rio, un ingeniero

debe hacer un puente que comunique las dos casas, para esto ubica a 100

metros de la casa de José por la misma orilla el teodolito, obteniendo los

siguientes datos: el ángulo entre la casa de José, Alberto y el teodolito es de

50º, siendo ésto último el vértice. El ángulo enter la casa de José, Alberto

y el teodolito es de 40º, siendo la casa de José el vértice. ¡Cuál será la

longitud del puente entre las casas?

Rta. L = 76,604 metros

5. Para medir la altura de una montaña, un topográfo determina que el ángulo

de elevación desde su ubicación a lapunta de la montaña es de 25º, luego

camina 100 metros y mide el nuevo ángulo de elevación el cual fue de 15º.

¿Cuál será la longitud de la punta de la montaña hasta la ubicación inicial

del topógrafo?

UNAD

332

6. Dos autos parten de una intersección de dos conectores cuya separación es

de 80º, uno viaja a 80 km/hr y el otro a 100 km/hr. Al cabo de 45 minutos,

¿qué tan separados estarán los autos?

Rta. L = 87,53 km

UNAD

334

Ángulo doble:

21)x2(hcos

)x(senh2 −=

2)x2(hcos1

)x(cosh 2 +=

)x(hcos)x(hsen2)x2(hsen =

)x(hsen)x(hcos)x2(hcos 22 +=


335

AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1

1. Resolver la ecuación:

)1x(3x41

61

)1x(23x

−−

−=−

−

2. Hallar la solución para el siguiente sistema; utilice la metodología de

eliminación por cualquiera de sus métodos.

1y32x

21 −=−

25y

31x

43 =+

3. Resolver el siguiente sistema utilizando el método de Kramer.

0zx1z4y32yx18

=−=+=−

4. Un tanque de forma cilíndrica se puede llenar por medio de un tubo, unamanguera o los dos conductos. Utilizando el tubo para llenar el tanque

tarda 12 horas; utilizando el tubo y la manguera, el llenado tarda 748

horas. ¿Qué tiempo tardará en llenar el tanque la manguera?

5. Hallar el conjunto solución para la desigualdad:

2x

53x

2x4

<−

<−

6. Resolver:

4xx3 2 >−

7. Un ascensor para poder funcionar, máximo debe traer de carga 700 kg. Aél se subieron 5 mujeres y 5 hombres, cuyos peso promedio para las mujereses de 68 Kg. ¿Cuál será el peso promedio de los hombres, si el ascensorfuncionó con su límite de peso?

UNAD

336

8. Dada la función:

3)1x()x(f 3 +−=

Identificar su dominio, imagen, monotonía, simetría y su gráfica.

9. En la fabricación de un producto, el precio P está dado por la función:

80x21

P += y la función ingreso R es igual a la cantidad de unidades

vendidas por el precio unitario. ¿Cuál será el ingerso si en una transacción

el presio P fué de 200 millones?

10. Sea la función: 1)2x(

1)x(g

2+

−=

Hallar el dominio, imagen, monotonía y la gráfica.

11. Resolver la siguiente ecuación:

2x8x5 93 +− =

12. El conocimiento de una publicación está dada por la función:

te000.1)t(P = . Siendo t en años.

a. ¿Cuál será la población inicial?b. ¿En qué tiempo la población se triplica?

13. Dada la función 43

)(Tan =α .. Identificar las restantes funciones

trigonométricas.

14. Halalr el valor de cos (105°) utilizando identidades trigonométricas básicas.

15. Resolver la ecuación dada, dar el resultado en radianes.sen ( 2x ) = cos ( x ).

16. Un avión viaja a 1.200 metros de altura y desea iniciar su descenso paraaterrizar. El ángulo de depresión mide 30º al iniciar el descenso. ¿A quédistancia del inicio de la pista se encuentra el avión?

17. Demostrar que:

++=− 1xxLn)x(hsen 21


337

UNAD

334

Ángulo doble:

21)x2(hcos

)x(senh2 −=

2)x2(hcos1

)x(cosh 2 +=

)x(hcos)x(hsen2)x2(hsen =

)x(hsen)x(hcos)x2(hcos 22 +=


335


1. Resolver la ecuación:

)1x(3x41

61

)1x(23x

−−

−=−

−

2. Hallar la solución para el siguiente sistema; utilice la metodología de

eliminación por cualquiera de sus métodos.

1y32x

21 −=−

25y

31x

43 =+

3. Resolver el siguiente sistema utilizando el método de Kramer.

0zx1z4y32yx18

=−=+=−

4. Un tanque de forma cilíndrica se puede llenar por medio de un tubo, unamanguera o los dos conductos. Utilizando el tubo para llenar el tanque

tarda 12 horas; utilizando el tubo y la manguera, el llenado tarda 748

horas. ¿Qué tiempo tardará en llenar el tanque la manguera?

5. Hallar el conjunto solución para la desigualdad:

2x

53x

2x4

<−

<−

6. Resolver:

4xx3 2 >−

7. Un ascensor para poder funcionar, máximo debe traer de carga 700 kg. Aél se subieron 5 mujeres y 5 hombres, cuyos peso promedio para las mujereses de 68 Kg. ¿Cuál será el peso promedio de los hombres, si el ascensorfuncionó con su límite de peso?

UNAD

336

8. Dada la función:

3)1x()x(f 3 +−=

Identificar su dominio, imagen, monotonía, simetría y su gráfica.

9. En la fabricación de un producto, el precio P está dado por la función:

80x21

P += y la función ingreso R es igual a la cantidad de unidades

vendidas por el precio unitario. ¿Cuál será el ingerso si en una transacción

el presio P fué de 200 millones?

10. Sea la función: 1)2x(

1)x(g

2+

−=

Hallar el dominio, imagen, monotonía y la gráfica.

11. Resolver la siguiente ecuación:

2x8x5 93 +− =

12. El conocimiento de una publicación está dada por la función:

te000.1)t(P = . Siendo t en años.

a. ¿Cuál será la población inicial?b. ¿En qué tiempo la población se triplica?

13. Dada la función 43

)(Tan =α .. Identificar las restantes funciones

trigonométricas.

14. Halalr el valor de cos (105°) utilizando identidades trigonométricas básicas.

15. Resolver la ecuación dada, dar el resultado en radianes.sen ( 2x ) = cos ( x ).

16. Un avión viaja a 1.200 metros de altura y desea iniciar su descenso paraaterrizar. El ángulo de depresión mide 30º al iniciar el descenso. ¿A quédistancia del inicio de la pista se encuentra el avión?

17. Demostrar que:

++=− 1xxLn)x(hsen 21


337

UNAD

338


339

a geometría Analítica o llámada también la Geografía

Matemática, es la ciencia que combina el álgebra y la

geometría, para describir figuras geométricas planas desde el

punto de vista Algebraico y Geométrico. Esto se podría resumir

diciendo que dando una gráfica específica, se debe encontrar

una ecuación, hacer la gráfica que explique dicha ecuación.

Esta ciencia matemática fue desarrollada por el famoso filósofo

y matemático Renato Descartes (1596-1650); quien a partir

del planteamiento del plano cartesiano, también de su autoría,

desarrolla toda la teoría geométrica para darle nombre

matemático a las figuras como elipse, parabola, circunferencia

e hipérbola.

En este orden de ideas, el trabajo a desarrollar será el análisis

de diversas figuras geométricas como la recta, la

circunferencia, la elipse la parábola, a las cuales se les

identificará sus perímetros, que las describan claramente. Se

llegará hasta el análisis general de la ecuación de segundo

grado y la traslación de ejes coordenados. No sobra decir que

se estudiarán las aplicaciones que tienen estas figuras.

INTRODUCCIÓN

L

UNAD

340

OBJETIVO GENERAL

Analizar gráfica y matemáticamente la recta y las cónicas, identificando los

parámetros de cada una, su formula cónica y general, además de los campos de

aplicación de las mismas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

w Determinar analíticamente los parámetros de la recta y las cónicas.

w Obtener la ecuación de la figura geométrica, a partir de los parámetros

establecidos.

w Identificar la figura geométrica, utilizando la ecuación cónica o general.

w Resolver problemas de diferentes campos del saber utilizando la geometría

analítica.


341

Geo

met

ría

Ana

lític

a

cons

ta d

e

cara

cter

ístic

asso

n

tiene

tiene

cara

cter

ístic

as

en

Rec

taC

ónic

as

Grá

fica

Pará

met

ros

Ecu

ació

nC

ircun

fere

ncia

Elip

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bola

Pará

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ros

Grá

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Cie

ncia

sIn

geni

ería

Art

eO

tros

Can

ónic

a

Gen

eral

UNAD

342

UNAD

352

67

67

4234

m =−−

=−−−−

=

Luego la ecuación quedaría: bx67y += . Ahora hallamos b, lo cual se hace

reemplazando uno de los puntos conocidos y despejamos b.

Tomemos p ( 4, 3 ), luego:

35

3143bb

3143b)4(

673 −=−=⇒+=⇒+= , entonces:

35x

67y −= . Que es la ecuación cónica.

Para hallar la ecuación general: 610x7

6)5(2x7y −=−= , luego;

010x7y610x7y6 =+−⇒−=Para la ecuación punto-pendiente, tomamos la pendiente y uno de los puntos que

conocemos: tomamos )4,2(p2 −− .

))2(x(67

)4(y)xx(m)yy( 11 −−=−−⇒−=− entonces:

)2x(67

4y +=+


353

EJERCICIOS. ANÁLISIS DE LA RECTA

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados:

1. )3,2(y)7,4( −− Rta: 35m =

2. )2,3(y)3,4( −− Rta: 75m −=

3. )3,4(y)3,2( − Rta: m = 0

4. )4,5(y)4,5( − Rta: m = intederminada

Hallar la ecuaciòn de la recta que cumple las condiciones dadas.

5. Tiene pendiente 4 y el intercepto es 2− Rta. 2x4y −=

6. Pasa por el punto )2,2( − y pendiente 3− Rta: 4x3y +−=

7. Pasa por los puntos ( 8, 1 ) y )1,3( − Rta: y = 1

8. Intercepto en x = 4 y en 2y −= Rta: 2x21

y −=

Para las ecuaciones dadas, hallar los parámetros:

9. 08y5x2 =−+ Rta: 58by

52m =−=

10. 22y

4x3

=− Rta: 6by49m −==

11. 31

y4x32

=+ Rta:

23

by43

m =−=

12. Hallar la ecuación de la recta que se ve en la gráfica.


359

EJERCICIOS: RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

De cada par de rectas determinar si son paralelas, perpendiculares u oblicuas.

1. 010y6x4y08x2y3 =−+−=−− Rta. paralelas

2. 8x2yy05yx21

=−=−+ Rta. perpendiculares

3. 010x4y3y09y4x3 =−−=−+ Rta. perpendiculares

4. 9y2xy1y3x2 =−=+ Rta. oblicuas

Resolver los problemas propuestos:

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por )4,2( − y es paralela a la recta

02y3x =−+ .

Rta. 010xy3 =−+

6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )4,5( − , y es

perpendicular a la recta que pasa por (1,1) y (3,7 )

Rta. 07y3x =−+

7. ¿Cuál será la ecuación de la recta en forma general para aquella que pasapor el punto (3,4 ) y su pendiente es el doble de la pendiente de la recta

012y6x4 =−−

Rta. 024x4y3 =−+

8. Una recta corta al eje x en 5 y es paralela a la recta 05yx2 =−+ .

Rta. 010x2y =−+

9. Una recta cuya ecuación es 020x4y5 =−− , limita un triángulo rectángulocon los ejes coordenados. ¿Cuál es el área de dicho triángulo?

Rta. 10 unidades cuadradas.

UNAD

360


361

Introducción

La palabra cónica viene de la figura geométrica cono. Las secciones cónicas son

figuras geométricas que se obtienen al hacer pasar un plano de diferentes formas

a través de un par de conos invertidos y unidos por el vértice.

El trabajo con las cónicas, consiste en describir por medio de una ecuación

matemática, unas figuras geométricas específicas; o viceversa, por medio de una

ecuación matemática hacer la gráfica correspondiente.

Las figuras son en su orden: Circunferencia elipse, parábola e hipérbola.

LAS CÓNICAS

UNAD

362

IRCUNFERENCIA

La circunferencia es el perímetro del círculo, ésta no tiene área, sólo longitud y

los parámetros que la caracterizan.

Definición: La circunferencia es un conjunto de puntos en el plano cartesiano

que equidistan a un punto fijo llamado centro.

La distancia fija es llamada radio.

En el orden de ideas de la definición, la circunferencia queda descrita por medio

de su radio y su centro, además, del conjunto de puntos que la conforman.

c = centro

R = radio

Recordemos dos conceptos de la

circunferencia.

Diámetro D = 2R

Longitud: L = R2π

Conociendo las características básicas de la circunferencia, ahora busquemosuna ecuación matemática que la identifique.

Para obtener la ecuación, hacemos que

el centro de la circunferencia este en

(0,0). Ubicamos cualquier punto (x,y)

que satisfaga la ecuación.

Por el teorema de Pitágoras:

222 Ryx =+ Ecuación canónica

Todo punto ( x, y ) que satisfaga la anterior ecuación, hace parte de lacircunferencia que tiene centro ( 0,0 ) y radio R.

•R

C

•

R

Cx

y

y(x, y )

x


365

A V y V1 se le llama los vértices mayores y a u y u1 se le llaman los vértices

menores. De estos se originan los ejes mayor y menor de la elipse.

Eje mayor: 2a y Eje menor: 2b

Según la gráfica 2a > 2b, primer aspecto importante de la elipse.

Por definición:

a2)pF(d)'pF(d =+

Teorema: la ecuación canónica de la elipse con centro ( 0,0 ), eje mayor sobre eleje x, es de la forma:

1b

y

a

x2

2

2

2=+

Demostración

Identifiquemos las distancias:

( ) ( ) 221f 0y)c(xpd −+−−=

( ) ( ) ( ) 22f 0ycxpd −+−=

Ahora:

( ) ( ) a2ycxycx 2222 =+−+++

( ) ( ) 2222 ycxa2ycx +−−=++

( )2

22222 ycxa2y)cx(

++−=

+−

( ) ( ) ( ) 2222222 ycxycxa4a4ycx +++++−=+−

222222222 ycxc2xy)cx(a4a4ycxc2x ++++++−=++−

UNAD

366

Simplificando:

( ) 222 ycxa4a4xc2xc2 ++−=−− entonces:

( ) 222 ycxa4a4xc4 ++−=− reorganizando.

( ) xc4a4ycxa4 222 +=++ dividiendo todo por cuatro obtenemos:

xcay)cx(a 222 +=++ elevando al cuadrado, queda:

22242222 cxxca2aycxc2xa ++=

+++

22242222222 cxxca2ayacaxca2xa ++=+++

por trinomio cuadrado perfecto; reorganizando tenemos:

−=+

− 22222222 caayacax

Si dividimos todo por:

− 222 caa

:tenemoscaa

caa

caa

ya

caa

cax

222

222

222

22

222

222

=

−

−=

−

+

−

−

1ca

y

a

x22

2

2

2=

−+

Como a > c, ya que la distancia del eje mayor es mayor que la distancia focal,

luego 0caca 2222 >−⇒> , así podemos reemplazar 222 bca =− ,

entonces:

1b

y

a

x 2

2

2=+

UNAD

370

Eje mayor : 6)3(2a2 ==

Eje menor: 4)2(2b2 ==

Focos: ( ) ( )5,0y5,0)c,0(y)c,0( −⇒

V ( 0, 3 ) y V’ ( 0, - 3 )

( ) ( )5,0'Fy5,0F

)0,2('uy)0,2(u)3,0('Vy)3,0(V

−

−

19

y4

x 22=+←


371

EJERCICIOS: ELIPSE

1. Relacionar la gráfica con la ecuación correspondiente.

a. 116y

4x 24

=+

b. 14

y16x 22

=+

2. Dada la ecuación, hallar focos, vértices y hacer un bosquejo de la gráfica.

a. 125y

9x 22

=+ Rta. )4,0('Fy)4,0(F)5,0('Vy)5,0(V

−−

b. 16yx4 22 =+ Rta. ( ) ( )32,0'Fy32,0F

)4,0('Vy)4,0(V

−

−

3. Encontrar la ecuación analítica de la elipse que cumple los registros dados:

a. Centro ( 0, 0 ), foco ( 3, 0 ) y vértice ( 5, 0 )

Rta. 116y

25x 22

=+

b. Focos ( )3,0 ± , interjeción 2x ±= Rta. 113y

4x 22

=+

4. Determinar la ecuación y hacer la gráfica para la elipse que cumple:

a. Foco en ( )3,0 ± y eje mayor mide 4. Rta. 116y

13x 22

=+

b. Foco en ( 2, 0 ), centro ( 0, 0 ) y b = 3 Rta. 19

y13x 22

=+


373

ARÁBOLA

La parábola es una figura que describe diversos fenómenos, como la trayectoria

de un balón de fútbol o de un tejo, en el juego autóctono de Colombia, muchos

otros.

Definición

Una parábola es un conjunto de puntos en el plano p (x, y ) que se encuentran a

la misma distancia de un punto fijo F, llamado foco y una recta D llamada directriz.

Como consecuencia de la definición:

d ( PF ) = d ( PQ ).

De acuerdo con la definición y según la gráfica, podemos identificar en la parábola

los siguientes elementos:

Eje de simetría, directriz, vértice, foco y por supuesto los puntos

p (x, y ) que conforman la curva.

A continuación analizaremos la descripción matemática de la parábola para

facilitar el análisis, tomemos el eje de simetría como el eje Y, y su vértice es el

origen.


375

22222 pyp2ypyp2yx ++=+−+ Simplificando:

0yp4x0yp2yp2x 22 =−⇒=−− , luego:

Como la parábola tiene dos ramas que se abren a partir del vértice; debemos

tener presente lo siguiente:

Cuando P > 0: las ramas abren hacia arriba a partir del vértice

Cuando P < 0 : las ramas abren hacia abajo a partir del vértice.

También se debe resaltar que el vértice y el foco están sobre el eje de simetría;

además este último y la directriz son perpendiculares.

Teorema

Toda parábola con eje de simetría horizontal y vértice en el origen, tiene como

ecuación canónica:

Demostración

Se deja como ejercicio, para hacerlo en pequeño grupo colaborativo y corroborarlo

con el docente.

Para este caso:

Cuando P > 0: las ramas abren hacia la derecha a partir del vértice

Cuando P < 0: las ramas abren hacia la izquierda a partir del vértice.

x2 = 4py

x2 = 4py

UNAD

378

Vamos a resumir la forma estándar de la parábola:

Ecuación Vértice Eje de Foco Directriz Ramas canónica simetría

Py4x 2 = V ( 0, 0 ) x = 0 F ( 0,P) py −= P > 0: hacia arriba

p< 0: hacia abajo

Px4y 2 = V ( 0, 0 ) y = 0 F ( P, 0 ) px −= P > 0: hacia arriba

p< 0: hacia abajo

y

x

D

F

x = 4py2

p > 0

y

x

D

F

x = 4py2

p < 0

y

x

D

F

y = 4px2

p > 0

y

x

D

F

y = 4px2

p < 0


379

EJERCICIOS: PARÁBOLAS

Para las ecuaciones dadas, hallar vértice, foco y directriz.

1. x16y 2 = Rta. V (0,0 ) F (2,0 ) directriz 2x −=

2. y36x 2 = Rta. V (0,0) F (0,9) directriz 9y −=

3. 0yx12 2 =+ Rta. V (0,0 ) F ( 0,3− ) directriz x = 3

A partir de los datos dados hallar la ecuación:

4. Foco ( 3, 0 ); directriz 3x −= Rta. x12y 2 =

5. Vértice (0,0), eje simetría horizontal y pasa por )4,1( − Rta. x16y2 =

6. Foco (3,2) directriz 2y −= Rta. ( ) y83x 2 =−

7. La fachada de un edificio tiene forma parabólica, el largo es de 32.5 metrosy el ancho de la base 24,2 metros. Exprese la ecuación que modela la fachada.

Rta. y29

x 2 =

8. Un túnel tiene forma parabólica, su altura máxima es de 12,8 metros y el

ancho de la base es de 10,2 metros; cuál será el espacio libre vertical a 1,5

metros de la orilla del túnel.

Rta. y = 6,4 metros

UNAD

382

( )

)ac(aya)ac(x

acayaxacx

yacaxaacx

yacaxca2xaaxca2cx

ycxc2xaaxca2cx

ycxa)axc(

y)cx(aaxc

y)cx(a4a4xc4

22222222

422222222

222222422

22222224222

22224222

22222

222

222

−=−−

−=−−

++=+

++−=+−

++−=+−

+−=−

+−=−

+−=−

Como 0acca >−⇒< y 0ac 22 >− ; entonces; denominamos a

222 bac =− . Pero antes dividamos toda la ecuación por )ac(a 222 − ,

luego:

)ac(a

ac(a

)ac(a

ya

)ac(a

)ac(x222

222

222

22

222

222

−

−=

−−

−

−

1ac

y

a

x22

2

2

2=

−− , pero 222 acb −= , entonces:

1b

y

a

x2

2

2

2=−

Teorema: toda hipérbola con eje transverso paralelo al eje de las ordenadas y

centro en el origen de coordenadas, tiene como ecuación canónica:

222 acb −=y2 x2

- = 1a2 b2

UNAD

388

Solución

Según los datos: 2ay4c =±= ; como 222 acb −= , entonces

1241624b 222 =−=−= .

Por otro lado, como el foco está sobre la abscisa, el eje transverso estará en el ejex, luego la ecuación correspondiente es de la forma:

112y

4x

1b

y

a

x 22

2

2

2

2=−⇒=−

En el siguiente cuadro resuminos las características de la hipérbola.

Ecuación Vértice Eje de Foco Directriz Ramas canónica simetría

( 0, 0 ) )0,C(F ± )0,a(v ± 0Y:T.E = xaby ±=

( 0, 0 ) ),C,0(F ± )a,0(v ± 0x:T.E =

12b

2y2a

2x=−

12b

2x2a

2y=− x

bay ±=


389

EJERCICIOS: HIPÉRBOLA

Encontrar la ecuación de la hipérbola, según los datos dados:

1. Centro ( 0, 0 ), foco ( 3, 0 ), vértice ( 1, 0 )

Rta. 18

yx2

2 =−

2. Centro ( 0, 0 ), foco ( 6,0 − ), vértice (0, 4 )

Rta. 120x

16y 22

=−

3. Focos )0,5( ± , vértice )0,3( ±

Rta. 116y

9x 22

=−

4. Vértice )6,0( ± , asíntota x43

y ±=

Rta. 164x

36y 22

=−

A partir de la ecuación dada hallar, vértices, focos, eje transverso.

5. 14

y25x 22

=− Rta. )0,5(V;)0,29(F ±±

Eje transverso: 10

6. 18x3y6 22 =− Rta. ( ) ( )3,0V;9,0F ±±

Eje transverso = 32

7. 025yx 22 =−− Rta. ( ) ( )0,5V;0,50F ±±

Eje transverso = 10

UNAD

390

8. El techo de un auditorio de música tiene forma de hipérbola, cuya ecuación

es: 25xy 22 =− . Donde x y y están en metros. Cuál será la altura de las

paredes exteriores, según la siguiente figura.

y

x

h h

6 m 6 m


393

EJERCICIOS: TRASLACIÓN CIRCUNFERENCIA

Dados los parámetros de la circunferencia, hallar la ecuación canónica y general.

1. radio = 2 y centro ( 0, 2 ) Rta. 4)2y(x 22 =−+

2. radio = 5 y centro )3,4( − Rta. 0y6x8yx

25)3x()4x(22

2

=+−+

=++−

3. Los extremos del diámetro (3,3) y )14( − Rta. 029y12x2yx

8)6y()1x(22

22

=+−−+

=−+−

4. Centro ( 5, 6 ) y tangente al eje x Rta. 0y12x10yx

36)6y()5x(22

22

=−−+

=−+−

Para las ecuaciones dadas, hallar el centro y el radio.

5. 49)3y()1x( 2 =−+− Rta. centro )3,1( − ; radio:7

6. 12)4x()5y( 22 =−++ Rta. centro )3,1( − ; radio 32

7. 0112Y36X12Y6X6 22 =−+++ Rta. centro )3,1( −− ; radio 32

8. 024y8x12y2x2 22 =−+−+ Rta. centro )2,3( − , radio = 5

9. Un canal de conducción tiene forma semicircular de 10 metros de

profundidad en el centro, ¿cuál será la ecuación que describe el canal y

cuál será su profundidad a 4 metros del borde?

Rta. mts8y

100xy 22

==+


397

EJERCICIOS: TRASLACIÓN ELIPSE

Dada la ecuación de la elipse, identifique centro, focos y vértice respectivos.

1. 19

)1y(4

)3x( 22=++−

Rta. ( ) ( ))1,3(centro

31,3'Fy31,3F

)4,3('Vy)2,3(V

−

−−+−

−

2. 011y16x18y4x9 22 =−+−+ Rta. ( ) ( ))2,1(centro

32,1'F;32,1F

)5,1('Vy)1,1(V

−

−−+−

−

3. 125

)2x(9

)1y( 22=

−+

−Rta.

)1,2(centro)1,2('Fy)1,6(F

)1,3('Vy)1,7(V−

−

4. 018yx18x3 22 =+++ Rta. ( ) ( )

)1,3(centro

1,29'Fy1;2

3F

)1,4('Vy)1,2(V

−−

−−−

−−−

A partir de los parámetros dados, hallar la ecuación de la elipse

5. Centro en ( 3, 1 ); un foco en (0, 1 ) un vértice en )1,1( −

Rta. 17

)1y(16

)3x( 22=

−+

−

6. Vértices en

−−− 15

43

,0porpasa),,1(y)3,1(

Rta. 19

y16

)1x( 22=+

+

7. Centro en ( 1, 2 ), un vértice en (4,2 ) y pasa por el punto P (1,3)

Rta. 1)2y(9

)1x( 22

=−+−

8. En un terreno rectangular de 6 x 3 metros, hay una pista para atletismo,

ésta toca el centro de los lados del rectángulo. ¿Cuál es la ecuación que

gobierna al pista? Rta. 09y4x 22 =−+

UNAD

398

Parábola

Cuando el vértice de la parábola está en ( h , k ) la ecuación canónica; ya estudiada,

solo cambia al adicionar h y k a las variables X y Y respectivamente. El valor de

h y k al entrar a la ecuación cambia de signo y viceversa.

La ecuación canónica queda de

la forma:

)ky(4p)hx 2 −=−

Eje de simetría: x = h

Vértice: V ( h, k )

Foco: F ( h, k + p )

Directríz D = k - p

Recordemos que si p > 0, las ramas abren hacia arriba a partir del vértice y si

p < 0, las ramas abren hacia abajo a partir del vértice. Veamos ahora qué ocurre

cuando el eje de simetría es paralelo al eje X, es decir corta el eje Y.

La ecuación canónica es de la forma:

)hx(4p)ky 2 −=−

Eje de simetría: y = k

Vértice : V ( h, k )

Foco: F ( h + p, k )

Directríz Q = h - p

Aquí también se debe saber el signo de p para ver hacia donde van las ramas. Si

p > 0, las ramas abren hacia la derecha y si p < 0, las ramas abren hacia la

izquierda.

y

xD

K

FP

V

h

y

x

D

KF

h


401

. Si p < 0, y debe ser menor que cero, para que haya soluciòn, por consiguientey < 0, entonces las ramas van hacia abajo.

El otro caso:

px4y2 = , despejamos y, tenemos:

px2y ±= . Para que y tenga solución real, se debe cumplir:

. Si p > 0, entonces x debe ser mayor que cero, por consiguietne x > 0, luego las

ramas van hacia la derecha.

. Si p < 0, entonces x debe ser menor que cero, por consiguiente x < 0, luego las

ramas van hacia la derecha.

UNAD

402

EJERCICIOS: TRASLACIÓN PARÁBOLA

Encontrar los parámetros: vértices, foco, directriz y eje de simetría para la parábola

identificada por la ecuación dada.

1. x4)1y( 2 −=+ Rta. 1y:Eje

1xDirectríz),1(F),1,0(V

−==

−−−

2. )1y(4)2x( 2 −=− Rta. 2xeje;0y:Directríz)2,2(F,)1,2(V

==

3. 01y2x18x 2 =+−+ Rta.

( )

9x:Ej2

81YDirectríz2

799F),40,9(V

−=

−=

−−−−

4. 0x6y18y3 2 =+−− Rta.

( )

3y:Eje5x:Directriz

)3,4(F,3,29V

−=−=

−−−−

Hallar la ecuación de la parábola que cumple las condiciones dadas.

5. Directriz y = -1 ( 4, 5 ) Rta. 040y12x8x 2 =+−−

6. Vértice (4, - 6 ), eje de simetría x = 4, pasa por el punto p (0, - 8 )

Rta. 064y8x8x 2 =++−

7. Vértice )7,8( − , eje simetría es paralelo el eje x, pasa por el punto P(6,-8 )

Rta. 090xy28y2 2 =+−+

8. El arco de la ventana de una iglesia tiene forma parabólica, la altura delarco en el punto medio es de 16 pies y el ancho de la base es de 7 pies. Sedesea pasar una caja en forma rectangular a través de la ventana. Si lacaja tiene una altura de 12 pies, ¿ cuál debe ser el máximo ancho de la cajapara que pueda pasar por la ventana)

Rta. 3,5 pies


405

Solución

1b

)hx(

a

)ky(2

2

2

2=

−−

−

15

)4x(4

)2y(

:Luego54923b

:entonces,3cy2a

1b

)4x(

a

)2y(

22

222

2

2

2

2

=+

−+

=−=−=

==

=+−+

UNAD

406

EJERCICIOS: TRASLACIÓN HIPÉRBOLA

A partir de la ecuación dada, identificar centro, vértices, focos y asíntotas de la

hiperbola.

1. 136

)2y(25

)3x( 22=

+−

− Rta. Centro ( 3, -2 ), focos ( )2,613 −±

Vértice )2,2(),2,8( −−−

Asíntota )3x(562y −±=+

2. 1x25

)2y( 22

=−+ Rta. ( )262,0cosfo),2,6(centro ±−−

)7,0(),3,0(vértice −

x5I2y:Asíntota =+

3. 100)2y(25)1x(4 22 =−−− Rta. ( )2,291cosfo,)2,1(centro ±

)2,4();2,6(vértice −

)1x(522y:asíntota −±=−

4. 04x6y8xy4 22 =−−+− Rta.

−±−−− 1,

23

3cosfo);1,3(centro

)1,4(,)1,2(vértice −−−−

)3x(21

1yasíntota +±=+

Determinar la ecuación de la parábola, que cumple las condiciones dadas.

5. Centro )2,3(y)6,3(envértices)4,3(y)8,3(cosfo)2,3( −−−−−−−

Rta. 120

)3x(16

)2y( 22=+−−


407

6. Centro ( 0, 0 ), un vértice ( ) )0,2(focouny0,23 −−

Rta. 17y4

9x4 22

=−

7. Centro )2,2(envérticeuny)3,2(focoun),1,2( −−−

Rta. 13

)2x()1y(2

2 =−−+

8. Centro ( )5,53puntoelporpasay)1,4(envérticeun),1,3( −+−−

Rta. 14

)1y()3x(

22 =

+−−

UNAD

408

CUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Recorrido todo el análisis de las secciones cónicas, utilizando como fundamento

la distancia euclidia y además, conocidas las ecuaciones canónicas de la recta,

circunferencia , parábola elipse e hipérbola.

Ahora nos ocuparemos de expresar las cónicas por medio de una ecuación que se

le ha llamado ecuación general de la curva, para cada caso.

Circunferencia

A partir de la ecuación canónica podemos tomar un procedimiento algebraico

para llegar a la ecuación general. Con un ejemplo ilustramos este caso.

Sea la ecuación canónica de una circunferencia así: 25)2y()4x( 22 =−++

Cual sería la ecuación general. Para resolver el problema lo que se hace es

desarrollar los productos notables así:

254y4y16x8x25)2y()4x( 2222 =+−+++⇒=−++

Reagrupando y simplificando: 02520y4yx8x 22 =−+−++ , luego:

05y4x8yx 22 =−−++ . Corresponde a la ecuación general de la circunferencia dada.

Definición

Toda ecuación de la forma: 0feycxbyax 22 =++++ , corresponde a una

circunferencia, siempre y cuando 0ayba ≠= . Además de tener signos iguales.

Como podemos observar, la ecuación corresponde a una de segundo grado, donde

c y e indican que el centro está fuera del origen cuando c = 0 y e = 0, la

circunferencia tiene centro en el origen.

UNAD

416

EJERCICIOS: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Dada la ecuación de segundo grado, identificar su gráfico y sus parámetros.

1. 04x2y4y2 =−−− Rta. Parábola: )2,4(−

( ) cxeje25,4F −=−

23yDirectriz =

2. 036y6x4yx 22 =−+−+ Rta. Circunferencia centro ( 2, - 3 )

radio = 7

3. 019y2x16x4y 22 =−−−− Rta. Hiperbola: centro ( -2, 1 )

Vértice ( -2, 3 ) y ( -2, -1 )

Focos ( )51,2 ±−

4. 0541y16x250y4x25 22 =+−−+ Rta. Elipse: centro ( 5, 2 )

Vértice )52,5( ±

Focos: ( )212,5 ±

5. 015y4x12y2x2 22 =−+−+ Rta. Circunferencia: centro (3, - 1 )

Radio: 270

6. 0x12y8y2x6 22 =−+− Rta. Hipérbola: centro (1,2 )

Vértices: )2,11( ±

Focos:

± 2,3

321

7. 04y8x4x2 =−++ Rta. Parábola: vértice ( -2, 1 )

Foco 1y;eje).1,4( =+−Directriz: x = 0

8. 043y20x2y2x 22 =+−++ Rta. Elipse: centro ( -1, 5 )

Focos: ( - 3, 5 ) y ( 1, 5 )

Vértices: ( )5,18 ±


417

PLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría analítica es una fuerte herramienta matemática para resolver

problemas de la vida diaria. Inicialmente es pertinente recordar los principios de

cada figura estudiada, para poder seleccionar la que se aplica adecuadamente al

problema planteado.

Los ejemplos que se propondrán solo son una motivación para que con buenos

argumentos matemáticos, algo de astucia, pero ante todo buen sentido lógico, se

pueda resolver problemas donde la geometría analítica es protagonista.

Lo anterior significa que con solo estos ejemplos, no se aprenderá a resolver

problemas con geometría analítica, mas bien es una motivación, inducir a los

estudiantes a hacer mas y más ejemplos para adquirir buena destreza en este

campo.

A continuación vamos a dar unos lineamientos generales para la resolución de

problemas diversos.

1. Leer el problema las veces que sea necesario, hasta entender que se debe

hacer y como hacerlo.

2. Determinar la figura que se adapta al problema mostrado, identificarle

los datos dados y los datos a obtener, o a calcular.

3. Escoger los datos dados a la ecuación de la cónica seleccionada, realizando

las operaciones requeridas.

4. Obtener el valor o los valores preguntados en el problema y dar los

resultados del mismo.


419

a. Ubicar en el plano cartesiano los puntos correspondientes.

b. Establecer una recta de la forma y = a x + b, identificando los parámetros.

c. Con el modelo obtenido pronosticar el valor de la publicidad para los años 1982

y 1994.

Solución

Según los puntos ubicados en el plano,

los puntos tienden hacia una recta.

b. La ecuación a buscar es de la forma y = mx + b. Hallemos inicialmente m.

tenemos los primeros dos puntos: p1 (1980, 315 ) y p2 (1984, 385 ).

)550,1991(py)480,1987(PpendienteotraHallemos

5.174

7019801984315385

m

43

1 ==−−

=

5.174

7019871991480550

m2 ==−−

=

Igual con los dos últimos puntos )695,2000(py)625,1995(P 65

14570

19952000625695

m3 ==−−

=

Hallemos :

33,16m

33,163

145,175,173

mmmm 321

=

=++

=++

=

300

400

500

600

700

1980 1985 1990 1995 2000

costo

años

UNAD

422

8b8b20a40a2

=⇒==⇒=

La ecuación canónica, haciendoque el centro coincida con elorígen de coordenadas, será:

164y

400x

1)8(

y

)20(

x

22

2

2

2

2

=+

⇒=+

. La altura y, cuando x = 10 metros es:

34y48y48y

4192644

3y43

411

64y1

64y

400)10(

2

2222

=⇒=⇒=

=−=⇒=−=⇒=+

La altura a 10 metros del centro del punto es de aproximadamente 6,928 m.

. La altura y, cuando x = 15 metros será:

7228y

284

112400

200.1164x400175y

:luego,400175

4002251

64y1

64y

400)15(

2

222

==

====

=−=⇒=+

La altura del puente a 15 metros del centro es de aproximadamente 5,2915m.

40 m

8 m


423

EJERCICIOS: PROBLEMAS CON SECCIONES CÓNICAS

1. Un rayo de luz es emanado del foco de una parábola, cuya ecuación es

04yx2 =−+ , este toca con la parábola en el punto p ( - 1, 3 ). ¿Cuál será

la ecuación del rayo de luz?

Rta. 4y- 3x- 15 = 0

2. La superficie que describe la tierra tiene una ecuación de la forma.

04091y4x2yx 22 =−+++ . Un satélite da vuelta a la tierra en forma

circular a 0 , 6 unidades por encima de ésta. ¿Cual será la ecuación de la

órbita del satélite?

Rta. 04168y4x2yx 22 =−+++

3. Un puente esta construido en forma de aro semielíptica, su extensión es

de120 metros y la mínima altura del puente es de 25 metros. ¿Cuál será la

altura del arco a 50 metros del centro del puente?

Rta. 13,82 metros

4. En el punto (- 2.200,0 ) se produce una explosión, el sonido hace sonido en

un acantilado ¿ en ( 2.200 , 0 ). Una persona ubicada en p ( x, y ), escucha

el eco 6 seg después de oír la explosión. ¿Cuál será la ecuación de la curva

para el punto p ( x , y ) donde se encuentra la persona? La distancia en pies

y el sonido viajó a 1.100 pie/seg.

Rta. 163,3

y21,1

x 22=−

5. Un disco receptor de sonido esta construido en forma paraboloide, el foco

esta a 5 cm del vértice cual es el nudo del disco si la profundidad es de 2 cm.

Rta. 43,82 cm.

6. Una pista para maratón tiene forma elíptica, la distancia focal es de 40

metros y la longitud del eje menor que pasa por el centro es de 60 metros.

¿Cuál será la longitud del eje mayor de la pista.

Rta. 100 metros.


425

UNAD

426


427

entro del estudio de muchos fenómenos de la naturaleza,

la formulación del modelo que describe el comporta-

miento del mismo, puede estar bajo el uso de variables

discretas, siendo las sumatorias y productorias el

insumo fundamental.

Las sumatorias y productorias son dos procesos

matemáticos muy particulares de gran uso en ciencias

estadísticas, ciencias económicas y otras. Aun los

fundamentos del cálculo integral, tiene como insumo

sus sumatorias; es común hablar de las sumas de

Riemman. En el análisis de las series, las sumatorias

son el pan de cada día. Pero el caso de las productorias;

aunque su uso es muy particular; es pertinente hacerle

el espacio para su análisis.

En esta ultima parte del curso, se tratarán estos temas

de sumatorias y productorias, como una necesidad, para

poder abordar temáticas de calculo, estadística y

ciencias; donde son necesarias sus aplicaciones.

D

UCCIÓN

UNAD

428

OBJETIVO GENERAL

Comprender los principios, propiedades y nomenclatura de las sumatorias y

productorias, como herramienta matemática potente para diversos campos del

saber.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

w Conceptualizar la sumatoria y sus principios

w Comprender las propiedades de las sumatorias

w Conceptualizar la productoria y sus principios

w Analizar las propiedades de las productorias

w Desarrollar problemas de sumatorias y productorias, utilizando las

propiedades.


429

Sum

ator

ias

y pr

oduc

tori

as

sutie

ne

Sum

ator

iaPr

oduc

tori

as

Apl

icac

ione

s

Nom

encl

atur

a

Teor

emas

ypr

opie

dade

s

Ope

raci

ones

tiene

Con

cept

ualiz

ació

n

Prop

ieda

des

Ope

raci

ones

Fact

oria

ltiene

UNAD

430


435

Para facilitar las operaciones con sumatorias, vamos a estudiar a continuación

algunos teoremas y propiedades de las sumatorias.

Teoremas

Los siguientes teoremas permiten el buen desarrollo de las sumatorias, algunos

se demostraron, pero otros requieren conocimientos más avanzados, por lo cual

no serán demostrados; sólo se definirán por su utilidad.

1. tetanconscyRnparanCCn

1i

=∈= +∑=

Demostración

El teorema está indicando sumas n veces el valor de la constante, es decir:

∑=

•=++=n

1i

cnvecesn...ccc

2. n...,,2,1iyRnpara2

)1n(ni

n

1i

=∈+

= +∑=

Demostración

La demostración se le atribuye al gran matemático Gauss. (1777-1855) primerodesarrollamos:

∑=

+−+−++++=n

1i

n)1n()2n(...321i

Como la suma es conmutativa, podemos sumar el contrario.

∑=

++++−+−+=n

1i

123...)2n()1n(ni

Si sumamos las ecuaciones anteriores obtenemos:

UNAD

436

∑=

++−+++−++−+++=n

1i

)1n()1n2(...)2n3()1n2()1n(i2

∑∑=

+=++++++++++==

n

1i

n)1n(n2)1n()1n(...)1n()1n()1n(i2

1i

Finalmente:

∑=

+=

n

1i2

)1n(ni

3.+∈

++=∑

=

Rnpara6

)1n2()1n(ni2

n2

1i

Demostración

Como investigación. Buscar el método que se utiliza para demostrar este teorema.

4. ∑ ∑ ∑= = =

−−=

m 1n222

ni

m

1i 1i

iii

5.+∈

+

=∑=

Rnpara2

)1n(ni

23n

1i

6.+∈

−+++=∑

=

Rnpara30

)1n3n3()1n2()1n(ni

24

n

1i

Los teoremas anteriores son los básicos, su utilidad es amplia, por lo cual espertinente comprenderlos.

UNAD

438

296.14

5184

)2(

)72(2

)18(8iS

2

2283

1i

===

+

== ∑=

Las sumatorias también tienen diversas propiedades; además de los teoremas

estudiados.

Propiedades

A continuación enunciaremos algunas propiedades de las sumatorias, muy

pertinentes para la resolución de sumatorias, las demostraciones se pueden hacer

por inducción matemática, por las metas del curso, se omitirán dichas

demostraciones, sólo se recomienda comprenderlas para poder utilizarlas cuando

así se requiera.

1. +∈+=∑

=

Znpara)1n(ni2n

1i

Esta propiedad es consecuencia del teorema uno.

2. qpyZqyppara2

)1pq()pq(i

q

pi

<∈+−+

= +∑=

Esta propiedad nos permite hacer sumatorias, partiendo de cualquier i, diferente

de uno.

3. +∈=−∑

=

Rnparan)1i2( 2n

1i

4. +∈+=∑

=

Znpara)1n(n2i4n

1i


441

Demostración

nn332211

nn33

n

22ii

ba...bababa

)ba(...)ba()ba()ba(1i

++++++++=

++++++++∑=

Agrupamos todos los ia y todos los ib , luego:

)b...bbb()a...aaa()ba( n321n321

n

ii1i

+++++++++=+∑=

Por consiguiente, aplicando operador sumatoria a los dos grupos.

∑∑∑===

+=+n

1i

n

1i1i

)b()a()ba( ii

n

ii

2. ∑∑∑===

−=−n

1i

n

1ini

)b()a()ba( ii

n

ii

Demostración

Se deja como ejercicio, es muy sencillo.

3. ∑∑==

==n

1i1i

tetanconskparaaKaK i

n

i

Esto significa que la sumatoria del producto de una constante por una secuencia,

es equivalente al producto de la constante por la sumatoria de la secuencia.

Demostración

∑ ∑

∑

∑

=

=

=

==

++++=

++++=

n n

1iii

n321i

n

n32ii

1i

n

1i

1i

aKaK

luego)a...aaa(KKa

Ka...KaKaKaaK

UNAD

444

En la operación sumatoria, dentro de las propiedades se deben aclarar dossituaciones:

1. ∑ ∑= =

≠

n 22

1i

n

1i

xx

2. ∑ ∑∑= ==

≠

n

1i

n

1i

n

1i

yixiyixi

Estas dos observaciones se deben tener presentes cuando se trabaja con sumatorias.

Veámos un ejemplo para corroborar la primera observación.

∑ ∑= =

32

32

1i 1i

xiyx veámos.

∑=

++=3

2

1i

23

22

21 xxxx

2321 )xxx(x

3

1i1 ++=

∑=

Evidentemente ( )23x2x1x23X2

2x2

1x ++≠++

UNAD

450

EJERCICIOS: SUMATORIAS

Calcular las siguientes sumatorias:

1. i21n

1j∑=

+nn

41

.Rta 2

2. j15

4j∑=

Rta. 114

3.

+∑

=

ll212

1lRta. 728

4.4

8i6

1i∑

=Rta.52.632

5.( )12

18

7j∑=

Rta. 144

6.2

14K

5K∑

=Rta. 985

Resolver las siguientes dobles sumatorias:

7.( ) ( )1j1i

73

3j1i

−+∑∑==

Rta. 180

8.( )

+−∑∑

==

3i35

jj.22j0i

Rta. 105


451

Introducción

El operador productoria no es muy conocido o mejor muy divulgado, tal vez por

que su utilidad es muy particular, sin embargo este operador es fundamental en

algunos temas de matemáticas por ejemplo, hemos escuchado o aun trabajado

con el producto factorial, ( n! ) dicha operación es consecuencia de este operador.

Quizás existan mas razones, pero solo la mencionada nos induce a que debemos

analizar tan interesante operación matemática.

A PRODUCTORIA

Para simbolizar una productoria, se utiliza el símbolo griego Pi mayúscula π

Así, una productoria se define de la siguiente manera.

n321i

n

1i

ax...xaxaxaa =π=

Esto quiere decir que la productoria, es la multiplicación de todos los valores ai,

dado que i varia de 1 hasta n.

Podemos generalizar la definición comenzando en cualquier punto, así:

m2n1nni

m

nia...a.a.aa ++

==π

siendo mn ≤

PRODUCTORIAS


463

6. 2

26

ai )1i(

i

+π=

Rta. 2

2

)1b(

a

+

Resolver las siguientes operaciones:

7. )ij(7

2i

5

1j

+∑ ∑= =

Rta. 225

8.

•−+∑ π

= =j)1(i23 i

7

2i

5

4iRta.2.835

9. ∑ ∑π= =

−

=

+

3

1i2

j

1k

1i

1j )1j(

k

EJERCICIOS: PRODUCTORIAS

Calcular las siguientes productorias:

1.i

6

1i2π

=Rta. 2’097.152

2.

++π

= 2jj14

1jRta.1/3

3. ( )i10

61π=

Rta.30.240

4. ( )k

4

1Kx8π

=Rta. 4096 4321 x.x.x.x

5. ( )j520

1j+π

=Rta. 1,2926 x 1023

UNAD

466


467


1. Hallar la sumatoria propuesta

212

7i

j∑=

2. Cuál será el valor de:

−∑

=

4i3 25

1i

3. Resolver:

[ ])ji2(35

1i

7

3j

+∑∑==

4. Resolver la expresión:

[ ]j3i25

4i

7

3j

+π∑==

5. Hallar la solución de la siguiente productoria:

[ ]ji27

4j−π

=

6. Resolver:

2

2m

ni )1i(

i

+π=

UNAD

468


469

Informacionesde

Retorno

UNAD

470


471

1. )1x(3x41

61

)1x(23x

−−

−=−

−

Revisamos el común denominador y operamos: )1x(6 − , luego:

)1x(6)x41(21)1x(

)1x(6)3x(3

−−−•−

=−−

Operamos los numeradores y simplificamos denominadores:

3x99x3x821xx9x3 −=−⇒+−−=− , reorganizando:

1x6x693x9x3 −=⇒−⇒+=−

Solución

1−=

2. Primero concretamos las ecuaciones fraccionarias entonces:

6y4x316

y4x31y32x

21 −=−⇒−=−⇒−=−

30)12(25y4x9

25

12y4x9

25y

31x

43 ==+⇒=+⇒=+

Tenemos dos ecuaciones enteras, eliminamos y; por reducción:

24x1230y4x9

6y4x3

==−

−=−


UNAD

472

Despejando x, tenemos:

2x1224

x =⇒=

Con el valor de x, remplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones enteras,

veamos: tomemos la ecuación primera:

6y466y4)2(36y4x3 −=−⇒−=−⇒−=−

416

y12y466y4−−

=⇒−=−⇒−−=− ; luego y = 3

Solución

x = 2 y y = 3

3. Organizando el sistema:

0zy0x1z4y3x0

2z0yx18

=−+=++

=−

Por Kramer:

DDz

z;DDy

y;D

Dxx ===

Hallamos D:

( )[ ])4xx()0x0x0(1x3x18

43001181014300110

D ++−=−

−

−

=

58454D −=−−=

[ ])0x0x1)18x0x4()1x3x0( −++−


473

( )[ ])4x1x0()0x0x1(1x)x2

431012100431012

D −++−=−

−

−

=

7)1(6Dx −=−−=

Para resolver el determinante, utilizamos el método de sarros.

( )[ ])4x2x1()0x0x0(1x1x18

41002181014100218

D ++−=−=

10818Dy −=+−=

Ahora:

( )[ ])1x1x1()2x0x0(0x3x18

1302118

0011302118

D −++=−

−

=

7)6()1(Dz −=−−=

Ahora hallemos el valor de cada variable:

587

587

DDx

x =−−

==

295

5810

5810

DDy

y ==−−

==

587

587

DDz

z =−−

==

[ ])1x1x1()2x0x4()0x3x0( −−++−

[ ])20xx1()18x0x4()1x1x0( −++−

[ ])180x0()18x0x1()1x3x2( −++−

UNAD

474

4. El tubo tarda: T = 12 hr

El tubo y manguera tardan T +M = 748 hr.

La pregunta: M =.? hr.

Sea M = tiempo que tarda la manguera en llegar al tanque, luego: M1

es la parte

del tanque que es llenado por la manguera en 1 hora.

Como T = tiempo que tarda el tubo en llenar el tanque equivale a 12hr,

entonces;121

es la parte del tanque que es llenado por el tubo en 1 hora.

Ahora, la parte del tanque que es llenado por los dos, tubo y manguera; será:

607

121

M1

748

1121

M1

=+⇒=+. Despejamos M.

301

602

6057

121

607

M1 ==−⇒−+ entonces.

301

M1 = ; por consiguiente: M = 30 hr.

Luego el tanque es llenado pro la manguera en 30 hr.

5. Por ser una desigualdad compuesta, la podemos trabajar por partes.

2x

53x

2x4

<−

<− . Entonces se puede expresar como:

2x

53x

y5

3x2x

4<

−−<

−

Vemos que se prestan dos desigualdades conectadas con la y; es decir la conjunción,

lo que indica que las dos desigualdades intersectan para obtener la solución general.


475

Para resolver la primera desigualdad, utilizamos el método de ley de signos; es

decir ,por medio de puntos críticos.

X – 7: Parte crítica 7, los valores mayores a 7 darán positivo la resta y los menores

darán negativa la recta.

x - 7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +

- 2 0 2 7

x + 2: similar al caso anterior, el puntro centro - 2, luego:

- - - - + + + + + + + + + + + + +

-2 0 2 7

010

6x3y0

10x5)2x()7x(

010

6x3y0)2x(514x5x

010

6x3y0

)2x(514x5x

010

6x3y0

)2x(5206x5x

010

6x3y0

)2x(5)6x5x(20

010

x56x2y0)2x(5

)3x()2x(20

02x

53x

y05

3x2x

4

2x

53x

y5

3x2x

4

2

2

2

2

<−−

>−

+−

<−−>−

−−

<−−

<−

++−

<−−

<−

+−+−

<−−

<−

+−−

<−−<−

−−−

<−−

<−

−−

<−−

<−

UNAD

476

5x su punto crìtico en 2, entonces:

- - - - - - - - - - - + + + + + + + +

-2 0 2 7

Haciendo producto de signos, tenemos:

- - - + + + + + + + + - - - - + + + +

-2 0 2 7

Como la desigualdad dice que la fracción debe ser mayor que cero, la solución

sera la parte positiva; entonces:

Solución

),7()2,2( α∪−

La segunda desigualdad:

010

6x3 <−− esta será negativa cuando el numerador sea negativo, ya que el

denominador es positivo, luego:

2x36x6x306x3 −>⇒−>⇒<−⇒<−−

Solución

),2( α−

Finalmente: Las dos soluciones las intersectamos por el conectivo.

Primera solución:

Segunda solución:

-2 2 7

-2

α

α


477

Solución general:

Solución general: ),7()2,2( α∪−

6. Para 4xx3 2 >− ; entonces: 4xx3y4xx3 22 −<−>−

Luego:

04xx3Y04xx3 22 <+−>−−

para la primera:

03

)3x3()4x3(0

312)x3()x3( 2

>+−

⇒>−−

, simplificando:

0)1x()4x3( >+− . Por el método de producto signos.

+++−−−−−−−−−− 4x3

x + 1

El producto:

Como el producto debe ser positivo, entonces:

Solución

( )α∪−α− ,34)1,(

08xx3 2 <+− : por lo cual para el segundo término:

6471

64811

)3(2)4()5(411

x−±

=−±

=−±

=

Vemos que la solución es imaginaria.

Luego la solución general será: ( )α∪−α− ,34)1,(

-1 0 4/3

+++++++++−−−-1 0 4/3

+−−+-1 0 4/3

UNAD

478

7. Peso mujeres: 5.68= 340kg.

Peso hombre x.5.

Peso máximo 5x + 340 < 700

Resolvemos para x:

72x

360x5

340700x5

≤

≤

−≤

El peso promedio máximo del hombre es 72. kg.

8. Para la función

;4xy1xsea:Monotonía.Ry/yagenIm.Rx/xiominDo.3)1x()x(f

21

3

==∈∈+−=

entonces vemos que entonces vemos que, debemos hallar:

)x(fy)x(f 21 para compararlos:

30327)4(f33)0()1(f 2

=+==+=

Como )x(f)x(f 11 < la función es creciente en su dominio.

Simetría. Determinamos )x(f − ; si es igual a f ( x ) la forma es par, luego sería

simetría, respecto a y: pero si es igual a )x(f− , la función será impar y la

simetría sería respecto al origen, a ninguna de las dos. Veámos:

),3)1x((3)1x(3)1x()x(f 333 −+−=++−=+−−=− lo que no es igual

a )x(f− , luego no es par, tampoco impar, entonces no presenta simetría.


481

000.1000.1)0t(p 0 ===

Población inicial 1.000 personasl.

b. Cuando p ( t ) = 3 ( 1.000 ) = 3.000, luego:

años098,1t)3(Lnt)(LnZLn

310003000t

tt

==⇒=

=⇒=

ee

La población se triplica a dos 1,098 años.

13. Una gráfica nos ayuda a resolver el problema:

14. El ángulo de 105º, se pide descomponer en: 60º + 45º, luego cos (105º) = cos

(60º + 45 º ); por identidad de suma de ángulos para coseno:

cos ( 60º + 45º) = cos 60º . cos 45º º45senº60sen −−

46

42

2

2

2

3

3

2

21)º45º60(cos −=•−•=+ , luego

462

)º105(cos−

=

15. )x(cos)x2(sen = , primero reducimos el ángulo doble a ángulo sencillo.

sen ( 2x ) = 2sen ( x ) cos ( x ). luego:

0)x(cos)xcos()x(sen2)x(cos)x(cos)x(sen2 =−⇒=•

5169 =+

3

4

α

45)(csc

35)(sec;3

4)(cot

54)(cos;5

3)(sen

entonces,43

)(tan

=α

=α=α

=α=α

=α

UNAD

482

[ ] 01)x(sen2)x(cos =− , por la ley del producto nulo.

01)x(sen2ó0)x(cos =−= , despejamos el ángulo; así:

. )0(cosx)0(cos))x(cos(cos0)x(cos 111 −−− =⇒=⇒=

23,

2x

ππ= , ángulos donde el coseno vale 0.

.21

)x(sen1)x(sen201)x(sen2 =⇒=⇒=− . Luego:

65

,6

x21

sen))x(sen(sen 11 ππ=⇒

= −−

, ángulos donde el seno

vale 1/2.

16. avión

metros400.22

1200.1

)º30(senmetros200.1

)(seny

hhy

)(sen ===α

===α

El avión se encuentra a 2.400 metros de distancia de la pista de aterrizaje.

17.

cuadráticalapor.01x2

x21x2

1x21x2

2x

)x(hsenySea

yy2

:ndoreorganiza01y2yy2y

y

y2

yy

yy

1

eeeeee

ee

eeee

=−−

−⇒−=

−=⇒−=⇒

−=

=

=+

−

−

24x4x2

2)1()1(4x4x2 22

ye +±=

−−±= simplificando

y h

α

30º

pista

y = 1.200 metros

h = distancia del avión a la pista

º30=α por ángulos alternos inernos.

Luego:


483

1xx2

1x2x2 22

ye +±=+±

= , para despejar y, aplicamos función

inversa.

)1xx(LnLn 2ye ++= tomamos solo el valor postizo.

++= 1xxLny 2

UNAD

484


487

444)4y4y()1x(4 22 −+=++−− , reorganizando:

14

)2y()1x(

22 =

+−− Ecuación canónica.

De esta podemos hallar:

Centro ( 1, - 2 ).

a = 1 y b = 2

Focos: para hallar los focos, hallamos

222 bac:c += ; 5c541c2 =⇒=+= . Ahora si hallamos los focos. Como

el eje transverso está sobre x, ya que en la ecuación x es positivo y y negativo,luego;

( )2,51)k,ch(F −±=±

Vértices: ( ) )2,0('Vy)2,2(V2,11)k,ah( −−⇒−±=±

Asíntotas: 2)2x2y)2x2(2y −−±=⇒−=+

UNAD

488


489


1. Como la sumatoria es de tipo: 2

b

ai

i∑=

reemplazamos la propiedad que nos

lleva a i desde uno hasta n.

21a

ai

2b

ai

2b

ai

iii ∑∑∑−

===

−=

Para el caso que nos ocupa:

26

1i

212

1i

212

7i

iii ∑∑∑===

−= resolvemso:

6506

25x13x126

)1)12(2()112(12i2

12

1i

==++

=∑=

. Luego

916

13x7x66

)1)2(6()16(6i 2

6

1i

==++

=∑=

Finalmente:

55991650i26

1i

=−=∑=

2. Para resolver )4i3( 25

ni

−∑=

aplicamos las paorpiedades de sumatorias,

veámos;

206

)1)5(2()15(53)5(4i34i3 2

5

1i

5

1i

25

1i

−

++=−=− ∑∑∑

===

UNAD

490

145201654i3 25

1i

=−=

−∑

=

3. Se resuelve primero la sumatoria más interna y luego la más externa:

( )[ ] )j3i6(ji235

1i

7

3j

5

1i

7

3j

+=+ ∑∑∑∑====

Ahora:

[ ]j1590j532

)15(56

j3i6j3i6

7

1j

7

3j

5

1i

5

1i

7

3j

5

1i

5

1i

7

3j

+=

−+

+

=

+=

+

∑∑

∑∑∑∑∑∑

==

======

Ahora resolvemos para j:

∑ ∑∑∑∑= ====

−=+2

1j

7

3j

7

1j

7

3j

7

1j

j15*9090j1590

Resolviendo:

[ ] 825)ji2(3

entonces),25(15450)328(15450

2)12(2

2)17(715450jj15450

j1590.290.7j159090

5

1i

7

3j

2

1j

7

1j

7

3j

7

3j

2

1j

7

1j

=+

+=−+=

+−++=

−+

=+−=++

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

==

==

====


491

4. El problema tiene sumatoria y productorias, primero resolvemos la productoria.

[ ] [ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ]

++=

+++

=++=+•+

=+•+=+

∑∑

∑∑

∑π∑

==

==

==

280.1j864j144j144j480j384280.1

)j1240()j1232()j310(4()j38(4

j3)5(24j3)4(24j3i24

27

3j

27

3j

7

3j

7

3j

7

3j

57

3j

Por propiedades de sumatoria:

∑ ∑∑= ==

++7

3j

7

3j

7

3j

2 280.1j864j144 , resolvemos por separado y al final

agrupamos:

a. ∑ ∑ ∑ ∑= = = =

−==

7

3j

7

3j

7

1j

2

1j

2222 jj144j144j144 rsolviendo

440.19)5140(1446

122()12(26

)127()17(7144 =−•=

+•+−

+−+=

b. ∑ ∑ ∑ ∑= = = =

−==

7

3j

7

3j

7

1j

2

1j

2 jj864j864j864

+−

+=

2)12(2

2)17(7

864

600.2125864)328(864 =•=−=

c. 400.6560.2960.8

)280.1(2)280.1(7280.1280.1280.17

3j

7

1j

2

1j

=−=

−=−∑ ∑ ∑= = =

UNAD

492

Finalmente:

[ ] 440.47400.6600.21440.19j3i245

4i

7

3j

=++=+π∑==

5. )121()58()27()12(

72625242j2 7654j7

4j

=

−

−

−

−=

−π

=

Finalmente:

832.273.2j2i7

4j=

−π

=

6. Tenemos que hacer la expansi{on de la productoria.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2m

ni )1m(

)m(

m

)1m(...

)2n(

)1n(

)1n(

n

)1i(

i

+•

−

+

+•

+=

+π=

Si generalizamos ya que la secuencia de la productoria es evidente que:

2

2

2

2m

ni )1m(

n

)1i(

i

+=

+π=

Vemos que hay términos que se pueden simplificar para obtener finalmente la

productoria dada.

Algebra Trigonometria y Geometria Analitica

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