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GUIA: GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA Elaborado por : M. en C. Elsa Quero Jiménez 1 I) ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 4 (−1) − 2 (+3) + 28=0 Sol: x = 2, x= 4.81 b) 2 −7+2 =1 Sol: x = 7 ±41 2 c) 5 + = 100 3 2− = 1000 Sol: x = 3.0497; y= -0.1883 d) 7 6+3 = 49 Sol: x = - (3/4) e) 5 3−2 = 625 Sol: x = 2 f) 2 2+1 −2 2−1 = 96 Sol: x = 3 g) 5 −5 +4 +5 −8 =2 +2 +6 −2 +9 h) 25 3−4 =5 2 Sol: x = 2 i) 3(8) 2+1 = 4 3− Sol: x = 0.1769 j) 5 +5 2 =2 Sol: x = 1.13 k) 3 2+2 =3 2 Sol: x = -1.3 l) 25 3+4 = 5 2 Sol: x = 2 m) 2 5+3 =3 2+1 Sol: x = -0.7730 n) 5−2 =[ 1 2 ] +3 Sol: x = -0.02151 o) 5 + 25(5 ) = 26 Sol: x = 2, x=0 p) [ 1 2 ] −+2 = 8 (2 −1 ) 2 Sol: x = -1 q) 4 −1 = 16 −1 Sol: x = 3 r) = 0 Sol: t = 0 s) 2 +2 =4 −1 : = 4 t) [ 1 2 ] = 16 Sol: x = -4 u) + −3=5 : = 9 7 2

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1

I) ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4(𝑥−1) − 2(𝑥+3) + 28 = 0 Sol: x = 2, x= 4.81

b) 𝑥𝑥2−7𝑥+2 = 1

Sol: x = 7 ±41

2

c) 5𝑥+𝑦 = 100 𝑦 32𝑥−𝑦 = 1000

Sol: x = 3.0497; y= -0.1883

d) 76𝑥+3 = 49𝑥 Sol: x = - (3/4)

e) 53𝑥−2 = 625 Sol: x = 2

f) 22𝑥+1 − 22𝑥−1 = 96 Sol: x = 3

g) 5𝑥 − 5𝑥+4 + 5𝑥−8 = 2𝑥 + 2𝑥+6 − 2𝑥+9

h) 253𝑥−4 = 52𝑥 Sol: x = 2

i) 3(8)2𝑥+1 = 43−𝑥 Sol: x = 0.1769

j) 5𝑥+5−𝑥

2= 2

Sol: x = 1.13

k) 32𝑥+2 = 3𝑥2

Sol: x = -1.3

l) 253𝑥+4 = 52𝑥 Sol: x = 2

m) 25𝑋+3 = 32𝑥+1 Sol: x = -0.7730

n) 𝑒5𝑥−2 = [1

2]

𝑥+3

Sol: x = -0.02151

o) 5𝑥 + 25(5−𝑥) = 26 Sol: x = 2, x=0

p) [1

2]

−𝑥+2= 8 (2𝑥−1)2

Sol: x = -1

q) 4𝑥−1 = 16𝑥−1 Sol: x = 3

r) 𝑃 = 𝑃0𝑒𝑘𝑡

Sol: t = 𝐼𝑛

𝑝

𝑝0

𝑘

s) 2𝑥+2 = 4𝑥−1 𝑆𝑜𝑙: 𝑥 = 4

t) [1

2]

𝑥= 16

Sol: x = -4

u) 𝑒𝑥+𝑒−𝑥

𝑒𝑥−𝑒−𝑥 − 3 =5

𝑆𝑜𝑙: 𝑥 =𝑙𝑛

9

7

2

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2

a) log 𝑥2 = log( −3𝑥 − 2)

Sol: -1,-2

b) log(𝑥3 − 1) = log (𝑥2 + 𝑥 + 1)

Sol: X= 2

C) 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥3 − 5𝑥2 − 4𝑥 + 21) = 0

Sol: X= 2, X= -2,X=5.

d) 𝑙𝑜𝑔7(8𝑥+3 − 8𝑥+2 + 8𝑥+1 − 8𝑥+0 +

8𝑥−1 − 8𝑥−2 =

𝑙𝑜𝑔7(−162−𝑥 + 161−𝑥 − 160−𝑥 + 161−𝑥

− 162−𝑥 + 163−𝑥)

Sol: x= 0.4536

e) 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 2) − 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 1

Sol: x= 1

f) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔4 256

Sol: x=4

g) log(𝑥 + 15) + 𝑙𝑜𝑔 x = 2

Sol: x=5

h) 𝑙𝑜𝑔6(𝑥 + 2) − 𝑙𝑜𝑔6𝑥 = 2

Sol: 𝑥 =2

35

i)𝑙𝑜𝑔4(𝑥 + 1) = 2 + 𝑙𝑜𝑔4(3𝑥 − 2)

sol: 𝑥 =33

47

j)log(𝑥 + 1) + log(𝑥 − 2) = 1 + log (𝑥 −

3)

Sol:𝑥 = 7, 𝑥 = 4

k) 𝑙𝑜𝑔7(𝑥2 − 2𝑥 − 15) = 1 + 𝑙𝑜𝑔7(𝑥 + 3)

Sol: X=12

l)2𝑙𝑜𝑔2𝑥 + 3𝑙𝑜𝑔22 = 3𝑙𝑜𝑔2𝑥 − 𝑙𝑜𝑔21

32

Sol:𝑥 =1

4

m) 10𝑙𝑜𝑔10(2𝑥+5)=7

sol: X= 1

n) log(𝑥3 + 27) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 − 3𝑥 + 9)

Sol: X= -2

0)𝑙𝑜𝑔5(𝑙𝑜𝑔32𝑥) = 0

Sol: 𝑋 =3

2

p) log(𝑥 − 4) − log(3𝑥 − 10) = 𝑙𝑜𝑔1

𝑥

Sol:𝑥 = 2, 𝑋 = 5

q)𝑙𝑜𝑔2𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 2) = 3

Sol:𝑥 = 4, 𝑥 = −2

r)𝑙𝑜𝑔18(𝑥 + 2) + 𝑙𝑜𝑔18(𝑥 − 1) = 1

Sol: x= -5, X=4

s) ln(𝑥2 − 9) − ln(𝑥 + 3) = −1

2

Sol: 𝑋 = 𝑒−1

2 +3

t)(1

2) 𝑙𝑜𝑔425 + 2𝑙𝑜𝑔4(𝑥 − 3) = 2

sol:𝑥 = 6.67

u)𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 6) + 𝑙𝑜𝑔33=2

Sol:𝑥 = −3

V) 𝑙𝑜𝑔5(3𝑥 + 6) − 𝑙𝑜𝑔5(𝑥 − 6) = 1

Sol:𝑥 = 18

w)log(𝑥 − 2) + log(𝑥 + 3) + 1 = log 40

Sol:𝑥 = − 1

2± √41

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3

x) 1

2(𝑙𝑜𝑔2𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2𝑦) = 1 Sol:𝑥 =

4

𝑦

Elabora la gráfica de las siguientes funciones

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥

b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥−2

c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥

2

d) 𝑓(𝑥) = 23𝑥

e) 𝑓(𝑥) = 2(𝑥−1)2

f) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2

g) 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑥

h) 𝑓(𝑥) = log1

2

𝑥

i) 𝑓(𝑥) = log2 𝑥

j) 𝑓(𝑥) = log10 𝑥

k) 𝑓(𝑥) = log10(𝑥 + 10)

l) 𝑓(𝑥) = log5 𝑥

m) 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 − 3)

n) 𝑓(𝑥) = log1

4

2𝑥

o) 𝑓(𝑥) = 1 − log2 𝑥

II) PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

1.- El aumento de la altura arbórea se describe a menudo mediante una ecuación

logística. Supón que la altura h (en pies) de un árbol de edad t ( en años) es 𝐻 = 120

1+200𝑒−0.2𝑡

Donde: H: Altura en pies t= tiempo en años

a) ¿Cuál será su altura a los 10 años?

b) ¿A qué edad medirá 50 pies?

Sol: a) H= 4.27 pies; b) t= 24.8 años

2.- La rapidez del viento a una altura ℎ0 es 𝑣0 y 𝑣1 a una altura ℎ1, la cortante vertical del

viento se describe mediante la ecuación

𝑣0

𝑣1= (

ℎ0

ℎ1)

𝑝

Donde p es una constante. Durante todo un año, en Montreal, el viento transversal

vertical máximo se presentó cuando los vientos a 200 pies del suelo eran de 25 mph,

en tanto que a 35 pies sobre el suelo eran de 6 mph. Encuentra p para estas

condiciones.

Sol: 0.8188

3.- Si un gene cambia con una rapidez constante m y si se desprecian otras fuerzas de

evolución, la frecuencia F del gene original, después de t generaciones, está dada por

𝐹 = 𝐹0 (1 − 𝑚)𝑡 , donde 𝐹0 es frecuencia en t = 0.

a) Despeja t utilizando logaritmos comunes. Sol: 𝑙𝑛

𝐹

𝐹0

ln (1−𝑚)= 𝑡

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4

b) Si m=5 𝑥 10−5, ¿Después de cuántas generaciones será F= 1

2𝐹0 ? Sol: 13861.65

4.- Se invierten 10,000 dólares en una cuenta de ahorros en que el interés es compuesto

continuamente a una tasa de 11 % por año. Si la fórmula de interés compuesto es:

𝐴 = 𝐶𝑒𝑖𝑡 dónde: C= Capital inicial

i= tasa de interés anual expresada como decimal,

t= los años que C está invertido

A= cantidad acumulada después de t años

a) ¿Cuándo tendrá 35,000 dólares la cuenta? Sol: t= 11.38 años

b) ¿Cuánto tarda el dinero en duplicarse? Sol: t= 6.3 años

5 .- La corriente 𝐼(𝑡) en cierto circuito eléctrico, en un tiempo t, está dada por 𝐼(𝑡) =

𝐼0 𝑒−𝑅𝑡

𝐿 , donde R es la resistencia, L es la inductancia e 𝐼0 es la corriente inicial en t=0.

Encuentra el valor de t, en términos de L y R para el que 𝐼(𝑡) es el 1% de 𝐼0.

Sol: 𝑡 =4.6051 𝐿

𝑅

6 La ley de Beer Lambert expresa que la cantidad de luz l que penetra a una cantidad de

x metros en el mar está dada por l=l0 Cx donde 0 < c < l e I0 es la cantidad de luz de la

superficie Despeje a x mediante logaritmos comunes Si c = ¼ calcula la profundidad a

la que I= 0.01

Sol: x= Log (I/I0 )/Log c ; x = 3.32

7 EL ahorro de muchas personas está en función de la formula c=d (1+r)2t Si un

ahorrador deposita 3,000.00 (d) al 18% de interés (r) ¿Cuántos años (t) deben pasar

para tener un capital (c) de $50,000.00?

Sol: 16.9977157, 17

8 Cuando David empezó su educación a los 6 años, su padre invirtió una cantidad de

dinero al 4% de interés anual compuesto, capitalizable, semestralmente, suficiente para

que al terminar su carrera a los 26 años tuviera $25,000.00 Calcular el capital invertido.

Recuerda que el interés compuesto está dado por la función:

𝑃(𝑡) = 𝑃𝑜(1 + 𝐼/𝑛)𝑛𝑡

Dónde:

𝑝𝑜 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝐼 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛

𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙

𝑛 = 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜

𝑡 = 𝐴ñ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒

𝑝(𝑡) = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠

Sol: 11,322.26

9 En 1867 Estados Unidos compró Alaska a los rusos en 7, 200, .00. Hay 586,400

metros cuadrados de tierra en Alaska. Supón que el valor de la tierra aumenta en forma

continua a razón de 3% por un año y que las tierras se pueden comprar a un precio

equivalente, determina el precio de un acre en el año 2010. (1000 metros cuadrados a

640 acres).

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐴 = 𝐶𝑒𝑖𝑡 Dónde:

𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑖 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

𝑡 = 𝐴ñ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒

𝐴(𝑡) =

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠

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5

Sol: 1.3998

10 La vida media del radio es de 1600 años, es decir, dada cierta cantidad, la mitad se

desintegrará en 1600 años. Sí la cantidad inicial es 𝑞0. Puede mostrarse que la

cantidad 𝑞(𝑡) restante después de "𝑡" años está dada por: 𝑞(𝑡) = 𝑞02𝑘𝑡 encuentra el

valor de "𝑘".

Sol: 𝑘 = −1

1600

11 La población de una cierta ciudad en el año 2000 es de un millón y crece

continuamente a una tasa de 3.5% anual, de acuerdo con la ley del crecimiento natural.

Determine la población aproximadamente que tendrá en 2006 y 2016.

𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑞 = 𝑞0𝑒𝑟𝑡

Dónde:

𝑞0 = 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑟 = % 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙.

12 El caudal (o rapidez de descarga de agua) en la desembocadura del río Orinoco en

Sudamérica se puede calcular mediante

𝐹(𝑡) = 26,000𝑠𝑒𝑛 [𝜋

6(𝑡−5.5)] + 34,000

En donde 𝑡 es el número de tiempo en meses y 𝐹(𝑡) es el caudal en 𝑚3

𝑠⁄ . ¿Durante

aproximadamente cuántos meses de cada año rebasará el caudal los 55,000 𝑚3

𝑠⁄ ?

Sol: 𝑡 = 7.29 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

13 El aumento de la altura arbórea se describe a menudo mediante la siguiente ecuación.

Suponer que la altura en ℎ en pies de un árbol de 𝑡 edad en años es:

𝐻 =120

𝐼 + 200𝑒0.2 𝑡

a) ¿Cuál será su altura a los 10 años?

b) ¿A qué edad medirá 50 pies?

Sol: a)ℎ = 4.27 𝑝𝑖𝑒𝑠; b)𝑡 = 24.8 𝑎ñ𝑜𝑠

III) SEMEJANZA DE TRIANGULOS.

a) En los siguientes triángulos determina el valor de X.

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6

Sol: 𝑥 =13

7 Sol:𝑋 = 15 Sol: 𝑥 = 15

b) Si el triángulo XYZ

es semejante al triangulo HYJ y el

YHJ = X , obtener el valor de m.

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7

c) Calcula la altura del árbol

d) Encontrar la longitud del lago si :

IV) TEOREMA DE PITAGORAS

a) Resuelve los siguientes triángulos rectángulos

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8

f) ¿Cuánto mide X?

v) POLIGONOS

a) Calcula el número total de diagonales de un eneágono regular

b) ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar un total de 14 diagonales?

c) Encuentre el número de lados de un polígono regular si cada Angulo interior mide 165°.

d) El ángulo exterior de un polígono regular mide 157°, 30’. Encuentre el número de lados.

e) Encuentre el valor de los siguientes ángulos y lados desconocidos

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9

V) CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA

a) Encuentre el valor del ángulo que se pide

Arco y=150° Angulo y=30° Angulo x=60° Calcular Z Calcular arco X Calcular y

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10

LB=60° Ly=95° y= 80° Hallar Z Hallar x Hallar Lx Calcular los ángulos indicados por cada letra

X= 78° Hallar el valor del ángulo y

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11

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12

A

C B

a = 6

B

C A 350

b = 10

∆𝑅𝑆𝑇 = 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∠𝑂, ∠𝑖, ∠𝑗 𝑦 ∠𝑘 ∠𝑂 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝑀 ∠𝑞, ∠𝑠, ∠𝑟 𝑦 ∠𝑡

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑃𝑄 ∥ 𝑅𝑆 𝑃 = 120°

∠𝑢, ∠𝑣∠, 𝑤, 𝑦 ∠𝑥 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 ∠𝑠 𝑦, 𝑧 𝑎

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∠𝑥

∠𝑦 = 112° ∠𝑦 = 75° 240y

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∠𝑥 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 X

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∠𝑥 𝑦 ∠𝑧

VI) TRIGONOMETRIA

1. Calcular los elementos faltantes de los siguientes triángulos rectángulos.

c

B

A

a

c

B

b=10

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13

2. Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC, sabiendo que a=5 y c=7.

3. Determinar las funciones trigonométricas para el ángulo A de un triángulo

rectángulo ABC, sabiendo que b= 102 y c = 7.

4. Sí él ,25.0BCos construye un triángulo rectángulo y determina el valor de las

funciones para el ángulo B.

5. Sí la ,75.0ATan construye el triángulo rectángulo y determina el valor de las

funciones del ángulo A.

6. Dado el ,7

5ACos hallar los valores de las demás funciones del ángulo A.

7. Dada la ,3

8BSec hallar los valores de las demás funciones del ángulo B.

8. Si 5

3ASen y el ángulo A se localiza en el tercer cuadrante, calcular el valor de

las demás funciones trigonométricas.

9. Si la 2

3BCot y el ángulo B pertenece al cuarto cuadrante, calcular el valor de

las demás funciones trigonométricas.

10. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones, utilizando valores exactos.

a) 4530 22 sensen

b) 45cos452 22sen

c) 45cot260230tan4

360cos 423 sen

d) 6030cot2

145tan3 222 sen b) Hallar el valor numérico de:

𝑒) 2𝑠𝑒𝑛230º +3

4𝑐𝑜𝑠360º −

1

2𝑡𝑎𝑛4(45º) =

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14

f) 𝑠𝑒𝑐230º + 2𝑡𝑎𝑛60º =

11) Dados los siguientes puntos hallar las funciones trigonométricas y el ángulo Ѳ

correspondiente.

a) F(-8,-2)

b) G(6,-5)

c) H(9,-13)

d) A(1,2)

e) E(-3,4)

VII) Problemas de aplicación de triángulos rectángulos.

a) Una cabaña de 6m de altura está localizada a la orilla de una laguna; desde la orilla opuesta, el ángulo de elevación al techo de la cabaña es de 4º. Calcula el ancho de la laguna.

b) El cordón de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 540 20’ con la horizontal. Encontrar la altura aproximada del cometa con respecto al suelo, si el cordón mide 86 metros y el extremo del cordón se sostiene a 1.65 metros del suelo.

c) A medida que un globo se eleva verticalmente, su ángulo de elevación desde un

punto P, en el suelo, situado a 110 Km. del punto Q, que esta directamente bajo el globo, cambia de 190 20’ a 310 50’. Determinar cuantos Km. se eleva el globo durante ese periodo.

d) Un estadio de fútbol se planea con un ángulo ascendente en las gradas de 180 20/

con la horizontal; si cada 0.79 metros horizontalmente puede haber una fila de asientos y se desean 45 filas ¿Qué altura deberá tener el estadio?

e) Desde un helicóptero que esta a 1,950 m sobre el centro de una ciudad, el ángulo

de depresión a otra población es de 10° 14’. Hallar la distancia entre las dos poblaciones.

f) Desde un helicóptero que está exactamente sobre el centro de una ciudad, el ángulo

de depresión a otra ciudad es de 10°45’.La distancia entre las dos poblaciones es de 6.3 km. Calcular a que altura se encuentra el helicóptero.

g) Desde la punta B de una torre, el ángulo de depresión D de otra torre, que dista 27

m de la primera es de 25°. Si la torre más alta mide 65 m. Calcula la altura de la torre menor.

VIII) TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS

Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, calcular su área.

a) Sabiendo que '2878,'757,50 CAmb

b) Sabiendo que '1514,'859,15 BAcmc

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15

c) Sabiendo que '10101,5.32,41 Acma

d) Sabiendo que mcmbma 70,50,60

e) Sabiendo que 120,5,4 Bmcma

VIII) PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.

a) Dos hombres están en un llano separados 3000 m uno del otro, observan un

helicóptero. Sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son de 600 y 750.

Determinar la altura a que se encuentra en ese momento el helicóptero.

b) Sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas de 17.5 y 22.5 Kg. Las direcciones de las

fuerzas forman un ángulo de 500 15´, encontrar la magnitud de la fuerza resultante y el

ángulo que forma con la fuerza mayor.

c) Tres circunferencias, cuyos radios miden 115, 150 y 225 cm, son tangentes

exteriormente entre si. Encontrar los ángulos que forman cuando se unen los centros de

dichas circunferencias.

d) Se va a construir un túnel a través de una montaña desde el punto A hasta el

punto B. Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 384 m de A y 555 m

de B. ¿Cuál será la longitud del túnel si el ángulo ACB mide 350 45/ ?

e) Se desea conocer cuánto hilo se requiere para hacer que un papalote llegue a una altura de 55m. Si debe elevarse por lo menos a 20m. de la persona que lo sostendrá ¿a qué ángulo deberá ser sostenido el papalote para mantener estas condiciones?

f) Calcula el ángulo de elevación del sol en cierto momento del día, si un árbol de 3m. de altura proyecta una sombra de 5.3m.

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g) Se requiere levantar la carpa de un circo, cuya entrada principal tiene forma de triángulo. La base de la entrada debe tener una medida de 22m. mientras que el cable que tensara el lado izquierdo de la entrada mide 27m. y el cable del lado derecho forma un ángulo de 30° con respecto al suelo. ¿Cuál es la medida que tendrá el cable que tensara el lado derecho tomando como referencia la siguiente figura?

h) Resuelve los siguientes triángulos:

i) Se sostiene un globo aerostático por medio de 2 cuerdas, tal como se muestra en

la siguiente figura. ¿Cuál es el valor de b?

j) Resuelve los siguientes triángulos

A)

B)

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k) Dos personas desean bajar un papalote atrapado en un árbol, según los datos de

la figura. Si suponemos que cada una de las personas coloca una escalera y

A=50° y B=49°, ¿Cuál será la longitud de cada escalera?

l) Dos personas separadas entre sí 45000m sobre un mismo plano, observan un

avión en pleno vuelo. El ángulo de elevación de cada uno respecto al avión en un

cierto momento es de 79.2° y 53.7° respectivamente, ¿será correcto decir que la

distancia de separación entre el avión y cada uno de los observadores es de

1651m?

m) Resuelve los siguientes triángulos:

a)

b)

c)

d)

e)

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IX) IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Demuestre que las siguientes igualdades son identidades

a) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = (1 − 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥 −

𝑐𝑜𝑠𝑥)

b) 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 +1

(2−2𝑠𝑒𝑛𝑥)−

1

(2+2𝑠𝑒𝑛𝑥)

c) 𝑡𝑎𝑛𝑥

1−𝑐𝑜𝑡𝑥+

𝑐𝑜𝑡𝑥

1−𝑡𝑎𝑛𝑥= 1 + 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

d) 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2

e) 𝑠𝑒𝑐𝑎

𝑡𝑎𝑛𝑎+𝑐𝑜𝑡𝑎= 𝑠𝑒𝑛𝑎

f) 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎

g) 1

𝑐𝑜𝑠2𝑥− 1 = 𝑡𝑎𝑛2𝑥

h) 𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑡𝑥

𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑡𝑥= 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

i) 𝑐𝑜𝑠𝜃

1−𝑡𝑎𝑛𝜃+

𝑠𝑒𝑛𝜃

1−𝑐𝑜𝑡𝜃= 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

j) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑥 =𝜋

2− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝛼

k) 𝑡𝑎𝑛2𝑎

1+𝑡𝑎𝑛2𝑎−

1+𝑐𝑜𝑡2𝑎

𝑐𝑜𝑡2𝑎= 𝑠𝑒𝑛2𝑎𝑠𝑒𝑐2𝑎

l) 𝑠𝑒𝑛2𝑎 + 𝑠𝑒𝑛2𝑎𝑡𝑎𝑛2𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2𝑎

m) 𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃= 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃

n) 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑐𝑠𝑐𝜃−1+

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑐𝑠𝑐𝜃−1= 2𝑡𝑎𝑛𝜃

o) 𝑠𝑒𝑐𝑧−𝑐𝑠𝑐𝑧

𝑠𝑒𝑐𝑧+𝑐𝑠𝑐𝑧=

𝑡𝑎𝑛𝑧−1

𝑡𝑎𝑛𝑧+1

p) 𝑐𝑠𝑐𝑥+𝑐𝑜𝑡𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑥= 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥

q) 𝑠𝑒𝑛𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥= 2𝑡𝑎𝑛𝑥

r) 2𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥+𝑠𝑒𝑐𝑥

3+𝑡𝑎𝑛𝑥−2𝑠𝑒𝑐2𝑥=

1

𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥

s) (𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)2 + (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)2

t) (𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)2 + (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = (1 − 𝑠𝑒𝑐𝜃)2

u) 𝑡𝑎𝑛𝑥

1−𝑐𝑜𝑡𝑥+

𝑐𝑜𝑡𝑥

1−𝑡𝑎𝑛𝑥= 1 − 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥

v) (𝑡𝑎𝑛𝑎 − 𝑠𝑒𝑛𝑎)2 + (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑎)2 = (1 − 𝑠𝑒𝑐𝑎)2

w) (𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)2 + (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = (1 − 𝑠𝑒𝑐𝑥)2

x) 4𝑠𝑒𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴 − 2𝑠𝑒𝑛𝐴 + 2𝑐𝑜𝑠𝐴 − 1 = 0

y) 1

𝑐𝑜𝑠𝑥+

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥=

1+𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

z) 𝑠𝑒𝑛𝑥

1+𝑐𝑜𝑠𝑥+

1+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥= 2𝑐𝑜𝑠𝑥

aa) 𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑦

𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦= 𝑐𝑜𝑡

1

2(𝑦 − 𝑥)

bb) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛3𝑥

cc) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥

dd) 𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛3𝑥=

𝑠𝑒𝑐𝑥

1+𝑐𝑜𝑠𝑥

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a) 𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

b) Sen x+cos xcot x=csc

c) 𝑠𝑒𝑐22𝑢−1

𝑠𝑒𝑐22𝑢= 𝑠𝑒𝑛22𝑢

d) Tan t + 2cos t csc t=sec t csc t + cot t

e) 𝑐𝑠𝑐2𝜃

1+𝑡𝑎𝑛2𝜃= 𝑐𝑜𝑡2𝜃

f) (tan u + cot u)(cos u + sen u)= csc u + sec u

g) 1+cos 3𝑡

𝑠𝑒𝑛 3𝑡+

𝑠𝑒𝑛 3𝑡

1+cos 3𝑡= 2 csc 3𝑡

h) 𝑡𝑎𝑛2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2𝑎 𝑠𝑒𝑛2𝑎 i)

1

1 − cos 𝑦+

1

1 + cos 𝑦= 2𝑐𝑠𝑐2𝑦

j) 1+csc 3𝐵

𝑠𝑒𝑐 3𝐵− cot 3𝐵 = cos 3𝐵

k) (Sec u – tan u)(csc u +1)=cot u

l) cot 𝜃−tan 𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑠𝑒𝑐𝜃

m) 𝑐𝑠𝑐4 𝑡 − 𝑐𝑜𝑡4 𝑡 = 𝑐𝑠𝑐2𝑡 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑡

n) 𝑐𝑜𝑠42𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠22𝜃 + 𝑠𝑒𝑛42𝜃

o) cos 𝐵

1−𝑠𝑒𝑛𝐵= sec 𝐵 + tan 𝐵

p) 1

csc 𝑦−cot 𝑦= csc 𝑦 + cot 𝑦

q) cot 𝑥

csc 𝑥+1=

csc 𝑥−1

cot 𝑥

r) cot 4𝑢−1

cot 4𝑢+1=

1−tan 4𝑢

1+𝑡𝑎𝑛4𝑢

s) 1+sec 4𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥+𝑡𝑎𝑛4𝑥= csc 4𝑥

t) 𝑠𝑒𝑛4𝑟 − 𝑐𝑜𝑠4𝑟 = 𝑠𝑒𝑛2𝑟 − 𝑐𝑜𝑠2𝑟

u) 𝑠𝑒𝑛4𝜃 + 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠4𝜃 = 1

v) 𝑡𝑎𝑛4𝑘 − 𝑠𝑒𝑐4𝑘 = 1 − 2𝑠𝑒𝑐2𝑘

w) 𝑠𝑒𝑐4𝑢 − 𝑠𝑒𝑐2𝑢 = 𝑡𝑎𝑛2𝑢 + 𝑡𝑎𝑛4𝑢

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x) (sec 𝑡 + tan 𝑡)2 =1+𝑠𝑒𝑛 𝑡

1−𝑠𝑒𝑛𝑡

y) 𝑠𝑒𝑐2𝑦 + 𝑡𝑎𝑛2𝑦 = (1 − 𝑠𝑒𝑛4𝑦)𝑠𝑒𝑐4𝑦

z) (𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)3 = 1

aa) 1+csc 𝐵

cot 𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐵= 𝑠𝑒𝑐𝐵

bb) 𝑐𝑜𝑠3𝑥−𝑠𝑒𝑛3𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥= 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

cc) (csc 𝑡 − cot 𝑡)4 (csc 𝑡 + cot 𝑡)4 = 1

dd) (acos 𝑡 − 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + (bcos 𝑡 + 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 = 𝑎2 + 𝑏2

ee) 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝐵+cos 𝑎 sen 𝐵

cos 𝑎 cos 𝐵−𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐵=

tan 𝑎+tan 𝐵

1−tan 𝑎 tan 𝐵

ff) tan 𝑢−tan 𝑣

1+tan 𝑢 tan 𝑣=

cot 𝑣−cot 𝑢

cot 𝑢 cot 𝑣+1

gg) tan 𝑎

1+sec 𝑎+

1+sec 𝑎

tan 𝑎= 2 csc 𝑎

hh) csc 𝑥

1+csc 𝑥−

csc 𝑥

1−csc 𝑥= 2𝑠𝑒𝑐2𝑥

ii) 1

tan 𝑏+cot 𝑏= 𝑠𝑒𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵

jj) cot 𝑦−tan 𝑦

𝑠𝑒𝑛𝑦 cos 𝑦= 𝑐𝑠𝑐2𝑦 − 𝑠𝑒𝑐2𝑦

kk) 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑡𝜃

ll) 𝑠𝑒𝑛3𝑡 + 𝑐𝑜𝑠3𝑡 = (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡)(𝑠𝑒𝑛𝑡 +𝑐𝑜𝑠𝑡)

mm)

(1 − 𝑡𝑎𝑛2𝜑)2 = 𝑠𝑒𝑐4𝜑 − 4𝑡𝑎𝑛2𝜑 𝑐𝑜𝑠4𝑤 + 1 − 𝑠𝑒𝑛4𝑤 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑤

nn) cot(−𝑡)+tan (−𝑡)

cot 𝑡= −𝑠𝑒𝑐2𝑡

oo) csc(−𝑡)−𝑠𝑒𝑛(−𝑡)

𝑠𝑒𝑛(−𝑡)= 𝑐𝑜𝑡2𝑡

X) Demostrar las siguientes

identidades.

a) 1seccos AA

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b) AA

A

sen

1

cos

cot

c) AAAtanA 22 cossencot

d) AAA cos1cos1sen2

e) AtanA

AAtanAcos2

sencos

f) AA

A2cos1

1

cos

cot

13. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas.

a) AsenA 2cos3

b) 022 senxxsen

c) 252 2 senAAsen

d) 3csc2 xsenx

e) 2

)1(3cos2

senxx

f) AA 22 sec1tan3

2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − √3 = 0

√3𝑡𝑎𝑛1

3𝑡 = 1

𝑠𝑒𝑛(𝜃 +𝜋

4) =

1

2

𝑠𝑒𝑛(2𝑥 −𝜋

3) =

1

2

2 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1 = 0 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 1 (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1)(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1) = 0

2𝑐𝑜𝑠𝑥 = √3 𝑠𝑒𝑐2𝑎 − 4 = 0

√3 + 2 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 0 𝑐𝑜𝑡2𝑥 − 3 = 0 (2 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1)(2 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 3) = 0

(2𝑠𝑒𝑛𝑢 − 1)(cos 𝑢 − √2) = 0 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 (csc 2𝑥 − 2) = 0 cos (ln 𝑥) = 0

2 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 + √2 = 0

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cos (1

4𝑥) = −

√2

2

cos (𝑥 −𝜋

3) = −1

cos (4𝑥 −𝜋

4) =

√2

2

𝑐𝑜𝑡𝜃 + 1 = 0 4𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2 = 0 3 − 𝑡𝑎𝑛2𝐵 = 0 4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3 = 0 cos 𝑡 (𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 1) = 0 tan 𝑎 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑎 = 0 ln (sen x) = 0

cos (2𝑥 −𝜋

4) = 0

2 − 8 𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 0 2 𝑠𝑒𝑛2𝑢 = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑢 2 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 3 cos 𝑡 + 1 = 0 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2𝑐𝑜𝑠2𝑦 + cos 𝑦 = 0 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 6 = 0 2𝑠𝑒𝑛2𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 − 6 = 0

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 = √3 cos 𝑡 cos 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 1 2 tan 𝑡 − 𝑠𝑒𝑐2𝑡 = 0 cot 𝑎 + tan 𝑎 = csc 𝑎 sec 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 cot 𝑥 = csc 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 = 0

𝑠𝑒𝑛(3𝑥 −𝜋

4) = 1

𝑐𝑜𝑡2𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 0 𝑠𝑒𝑐𝐵 csc 𝐵 = 2 𝑐𝑠𝑐 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 = 0 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 1

√3𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos 𝑡 = 1 𝑡𝑎𝑛𝜃 + sec 𝜃 = 1

1) cscθ – senθ = cotθ cosθ

7) 𝑠𝑒𝑐θ

𝑐𝑠𝑐θ= 𝑡𝑎𝑛θ

2 ) cosY cscY = cotY

8) (1+senZ)(1-senZ)=

1

𝑠𝑒𝑐2𝑍

2) cotθ senθ = cosθ

9) secT senT tangT= cosT

4) 𝑡𝑎𝑛𝑉

𝑠𝑒𝑛𝑉=

1

𝑐𝑜𝑠𝑉

10) 1−𝑐𝑠𝑐2𝑇

𝑐𝑠𝑐2𝑇=

−1

𝑠𝑒𝑐2𝑇

5) senX secX = tanX

11)

1

𝑠𝑒𝑛𝑇 𝑐𝑜𝑠𝑇−

𝑐𝑜𝑠𝑇

𝑠𝑒𝑛𝑇= 𝑡𝑎𝑛𝑇

6) tanY cosY = senY

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