matematicas administrativas unidad 1

7/29/2019 matematicas administrativas unidad 1

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Matemticas Administrativas

Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Sociales y Administrativas

CUATRIMESTRE DOS

Programa de la asignatura:


Clave:

ESAD

Agosto, 2010


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INDICEI. Informacin general de la asignatura ......................................................................................... 3

Ficha de identificacin .................................................................................................................... 3Descripcin ..................................................................................................................................... 3

Propsito ......................................................................................................................................... 5

II. Competencia(s) a desarrollar ...................................................................................................... 6Competencia general: ..................................................................................................................... 6

Competencias especficas: .............................................................................................................. 6

III. Temario ................................................................................................................................... 7IV. Metodologa de trabajo .......................................................................................................... 9V. Evaluacin ............................................................................................................................. 11VI. Materiales de apoyo ............................................................................................................. 13

VII. Desarrollo de contenidos por unidad .................................................................................... 15UNIDAD 1: Funciones y sus aplicaciones ...................................................................................... 15

UNIDAD 2: Lmites y continuidad .................................................................................................. 37

UNIDAD 3: Clculo diferencial y sus aplicaciones ......................................................................... 51

UNIDAD 4: Clculo integral y sus aplicaciones .............................................................................. 91


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I. Informacin general de la asignatura

Ficha de identificacin

Nombre de la Licenciatura oIngeniera:

LicenciaturasenAdministracin de Empresas Tursticas,Mercadotecnia Internacional, y Administracin y Gestin dePequeas y Medianas Empresas (PYMES)

Nombre del curso o asignatura Matemticas Administrativas

Clave de asignatura:

Seriacin: Sin seriacin

Cuatrimestre: Dos

Horas contempladas: 72

Descripcin

La Secretara de Educacin Pblica (SEP) cre el programa de Educacin Superior Abierta y

a Distancia (PESAD) apoyado en el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin (TIC),

con el fin de satisfacer las necesidades de profesionalizacin de diversos grupos en el nivel

superior. Su principal objetivo es impartir una formacin integral que promueva el desarrollo de

conocimientos, capacidades, habilidades, actitudes, valores y la autogestin del conocimiento en

cada una de sus carreras, mediante la aplicacin del modelo por competencias.

Las carreras tcnicas y licenciaturas ofrecidas por el PESAD estn organizadas de acuerdo

al rea del conocimiento a la que pertenecen, por ejemplo la de Ciencias Sociales y la

administrativa, entre otras. El rea administrativa engloba las licenciaturasenAdministracin de

Empresas Tursticas, Mercadotecnia Internacional, y Administracin y Gestin de Pequeas y

Medianas Empresas (PYMES), para las cuales se ha diseado un mapa curricular conformado por

mdulos. Entre los cuales se encuentra la asignatura de Matemticas Administrativas, impartido

en el segundo cuatrimestre y cuyo propsito es proporcionar al estudiante las herramientas


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necesarias para el desarrollo de sus habilidades en el pensamiento y razonamiento lgico, para la

solucin de problemas, toma de decisiones y anlisis de situaciones que se presenten a lo largo de

su trayectoria acadmica, profesional y personal.

El programa de la asignatura de Matemticas Administrativas est estructurado por

cuatro unidades, cada una de las cuales involucrar gradualmente al estudiante en los diversos

conceptos y frmulas que puede utilizar durante su trayectoria acadmica y profesional. La

primera unidad comienza con el concepto de funcin, los diferentes tipos de funcin y las

operaciones que se pueden realizar con ellas, conocimientos indispensables para comprender las

siguientes unidades temticas que abarcan los conceptos de clculo diferencial e integral. Lasegunda unidad permite lograr un entendimiento de los lmites de una funcin, su importancia en

una funcin continua y su aplicacin prctica en el rea econmico-administrativa. La tercera

unidad inicia con el concepto de la derivada, las frmulas y los mtodos de derivacin, adems

abarca el concepto de la diferencial, con lo cual se proporciona al estudiante los conocimientos

necesarios para comprender el anlisis marginal y sus implicaciones en los procesos econmicos y

administrativos de una empresa. Finalmente, la cuartaunidad establece los principios del clculo

integral para que el estudiante pueda utilizarlos en la solucin de problemas relacionados con

utilidades, asignacin de recursos e inventarios, temas de gran importancia dentro del rea de las

matemticas financieras.

Los propsitos de la asignatura, en relacin al tronco bsico, son que el estudiante:

1. Adquiera la capacidad de identificar, plantear y resolver problemas para desarrollarse deforma competitiva durante su trayectoria estudiantil y su vida profesional.

2.

Desarrolle sus habilidades de organizacin, planificacin del tiempo, su capacidad de trabajoen equipo, y aprendizaje y actualizacin permanente, lo que influir de manera positiva en

su actuar ante nuevas situaciones que se le presenten a lo largo de su vida como estudiante

y futuro profesionista.


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3. Identifique, dentro del contexto socioeconmico mexicano, la importancia y utilidad de lasmatemticas administrativas para buscar, procesar y analizar informacin procedente de

diversas fuentes, as como para aplicar sus conocimientos en la prctica como estudiante y

futuro profesionista.

4. Se conduzcan de manera tica y responsable en el manejo y anlisis de la informacin, ascomo en la toma de decisiones.

Propsito

Esta asignatura tiene como propsito proporcionar al estudiante los conceptos y las

herramientas de las matemticas administrativas, como operaciones con funciones, lmites y

continuidad, derivadas, diferenciales e integrales, que le facilitarn de manera prctica solucionar

problemas vinculados con el rea econmico-administrativa. Por ejemplo, ingresos, costos,

utilidades, recursos materiales y humanos, e inventarios.


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II. Competencia(s) a desarrollar

Competencia general:

Utiliza las funciones algebraicas, los lmites y la continuidad de funciones, as como el

clculo diferencial e integral para resolver problemas vinculados con el mbito econmico-

administrativo, a travs de la aplicacin de frmulas, interpretacin de grficos y desarrollo de

operaciones algebraicas.

Competencias especficas:

Identifica los tipos de funciones, variables y sus aplicaciones para resolver problemas que sepresentan en situaciones de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demanda, a travs de

conceptos, tipos de funciones y modelos grficos.

Determina el comportamiento de una funcin de acuerdo a los lmites de la misma paraconocer su impacto en los procesos econmico-administrativos, mediante la aplicacin de los

teoremas de lmites de una funcin y su relacin con funciones continuas y discontinuas.

Aplica el clculo diferencial para la solucin de problemas de lmites y continuidad de unafuncin y de terminar su impacto a travs de frmulas y conceptos del clculo diferencial

integral y su aplicacin en las matemticas financieras.

Aplica los elementos de los diferentes mtodos de integracin y las funciones de lasmatemticas financieras para el planteamiento y resolucin de problemas de utilidad,

asignacin y agotamiento de recursos e inventarios, mediante el uso de de las frmulas y

conceptos del clculo integral.


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III. Temario

1.

Funciones y sus aplicaciones1.1Funciones y variables

1.1.1 Conceptos relacionados a las funciones, variables dependientes eindependientes

1.2Tipos de funciones y su aplicacin1.2.1 Tipos de funciones y sus grficas1.2.2 Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio1.2.3 Modelo grfico del punto de equilibrio

2. Lmites y continuidad2.1lgebra de lmites

2.1.1 Lmite de una funcin y sus propiedades2.1.2 Lmites de una funcin cuando la variable tiende al infinito

2.2Funciones continuas y discontinuas2.2.1 Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una funcin2.2.2 Aplicacin de funciones continuas y discontinuas

3. Clculo diferencial y sus aplicaciones3.1La derivada

3.1.1 Concepto, frmulas y reglas de derivacin3.1.2 Razn o tasa promedio e instantnea de cambio3.1.3 Derivadas de orden superior3.1.4 Ingreso, costo y utilidad marginal3.1.5 Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad

3.2Clculo de mximos y mnimos3.2.1 Funciones crecientes y decrecientes3.2.2 Criterio de la primera y segunda derivada


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3.2.3 Interpretacin del concepto de ingreso y costo marginal3.2.4 Aplicacin de la funcin de ingresos, beneficios y costos en problemas de

maximizacin

3.3La diferencial3.3.1 Incremento de una funcin3.3.2 Diferencial de una funcin3.3.3 Diferencial implcita3.3.4 Diferencial logartmica3.3.5 Elasticidad

4. Clculo integral y sus aplicaciones4.1La integral

4.1.1 Conceptos relacionados con la integral y frmulas bsicas de integracin4.1.2 Integracin por sustitucin4.1.3 Integracin por partes

4.2La integral y sus aplicaciones en las matemticas financieras4.2.1

La funcin de utilidad

4.2.2 Asignacin y agotamiento de recursos4.2.3 Inventarios


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IV. Metodologa de trabajo

Para el logro de la competencia, es fundamental que los conceptos y los procedimientos

presentados se ejerciten todo el tiempo. De esta forma, los contenidos no slo se comprendern

sino que se aplicarn en la solucin de problemas relacionados con situaciones que los estudiantes

pueden enfrentar en su trayectoria acadmica y profesional.

Por lo anterior, las estrategias metodolgicas de enseanza-aprendizaje se conforman por

dos secciones. La primera consiste en la solucin de ejercicios, como actividades formativas y

problemas tipo de cada uno de los temas que se abordan durante el curso, con el fin de que los

estudiantes ejerciten el uso, la aplicacin y el manejo de frmulas y contenidos procedimentales.

En la segunda, los facilitadores de la asignatura tendrn que orientar la aplicacin de cada uno de

estos procedimientos a las reas especficas de inters de los estudiantes. De esta forma, dentro

de la asignatura los contenidos se trabajarn de manera aislada; sin embargo, los facilitadores

tendrn que ejemplificar y presentar casos y situaciones aplicables en las diferentes carreras, que

complementen los ejercicios planteados, lo cual podr realizar con la orientacin del experto.

Como estrategia de evaluacin se resolvern problemas aplicados a las reas econmico-

administrativas, en los que el estudiante pondr en prctica todo lo que se trabaj en el curso. As

mismo, durante el desarrollo del programa, se les presentar a los alumnos actividades de

aprendizaje con ejercitacin, con el fin de que puedan observar sus avances e identificar cules

son las dificultades que presentan en el aprendizaje de los temas.

Se espera que las estrategias de enseanza propicien un aprendizaje verdaderamente

significativo, facilitando la comprensin del contenido y relacionando ste con los conocimientos

previos del estudiante, as como con sus reas especficas de estudio, mediante la revisin y

resolucin de problemas relacionados con el hacer cotidiano, donde los estudiantes puedan

aplicar y ejercitar lo aprendido.


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El facilitador desempea un papel muy importante dentro del curso, pues se espera que

dirija y oriente todo el proceso de aprendizaje, aplicando las estrategias propuestas por el experto.

Adems de orientar las discusiones y sesiones de trabajo que se plantean en los espacios de

aprendizaje colaborativo. Su funcin durante la revisin de trabajos no es solamente evaluar el

trabajo de los estudiantes y asignarles una calificacin, se espera que utilice la evaluacin como un

proceso de revisin de los avances y/o dificultades que el estudiante presenta a la hora de trabajar

los contenidos, que retroalimente a los alumnos con base en las observaciones de sus trabajos,

participaciones, preguntas y/o dudas, con la finalidad de facilitar y propiciar el aprendizaje

significativo y que desde esta perspectiva, haga del error una oportunidad para aprender.

Con el objetivo de promover el aprendizaje colaborativo, se utilizarn diferentes

herramientas (foros, cuaderno de trabajo, tareas entregables y bases de datos) que propicien el

intercambio, no slo de informacin, sino de ideas entre los estudiantes, de tal forma, estos

espacios enriquecern el trabajo individual y colectivo de los alumnos, sirviendo como material de

consulta y espacios de reflexin. Para ello, se espera que los estudiantes participen activamente

en estos espacios, motivados en todo momento por el facilitador, quien fungir como moderador

del trabajo realizado en los mismos.


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V. Evaluacin

En el marco del Programa de la ESAD, la evaluacin se conceptualiza como un proceso

participativo, sistemtico y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al

aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera la participacin responsable y activa del

estudiante as como una comunicacin estrecha con su facilitador para que pueda evaluar

objetivamente su desempeo. Para lo cual es necesaria la recoleccin de evidencias que permitan

apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.

En este contexto la evaluacin es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentacin

permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es

requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias as

como la participacin en foros y dems actividades programadas en cada una de las unidades, y

conforme a las indicaciones dadas. La calificacin se asignar de acuerdo con la rbrica establecida

para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes realizarla.

A continuacin presentamos el esquema general de evaluacin.

ESQUEMA DE EVALUACIN

Foros y base de datos 10%

Actividades formativas 30%

E-portafolio. 50%Evidencias 40%

Autorreflexiones 10%Examen final 10%

CALIFICACIN FINAL 100%


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Cabe sealar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificacin mnima indicada

por la ESAD.

Los trabajos que se tomarn como evidencias de evaluacin son:

Unidad 1:

La solucin de problemas de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demandautilizando funciones algebraicas.

Unidad 2:

Solucin de problemas de lmites y continuidad de una funcin para determinar suimpacto en los procesos econmico-administrativos.

Unidad 3:

Ejercicios resueltos de problemas de anlisis marginal, la elasticidad de la demanda y lasfunciones de ingreso, beneficio, costos y maximizacin.

Unidad 4:

Ejercicios resueltos de problemas de utilidad, asignacin y agotamiento de recursos einventarios que se presentan en los procesos econmico-administrativos.


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VI. Materiales de apoyo

Bibliografa bsica:

Render, B., Stair, M. y Hanna, M. (2006). Mtodos cuantitativos para los negocios. Mxico:Pearson.

Chiang, A. (2006). Mtodos fundamentales en economa matemtica (4a. ed.). Mxico:McGraw-Hill.

Harshbarger, R. y Reynolds, J. (2005). Matemticas aplicadas a la Administracin,Economa y Ciencias Sociales (7a. ed.). Mxico: McGraw-Hill.

Leithold, L. (2006). El clculo (7a. ed.). Oxford: Cspide. Thomas. (2006). Clculo de una variable. Prentice Hall.

Bibliografa complementaria:

Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemticas financieras (2a. ed.) Mxico:CECSA.

Garca, E. (1998). Matemticas financieras por medio de algoritmos, calculadora financieray PC. Mxico: McGraw-Hill.

Hernndez, A. (1998). Matemticas financieras. Teora y prctica (4a. ed.). Mxico:Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.

Motoyuki, A. (2000). Matemticas financieras. Crdoba, Argentina: Despeignes Editora. Spiegel, M., Abellanas, L. y Liu, J. (1994). Manual de frmulas y tablas matemticas.

Mxico: McGraw-Hill.

Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. (1984). Matemticas financieras.Mxico: CECSA.

Vidaurri, H. (2001). Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico: Ediciones Contables,Administrativas y Fiscales-Thompson Learning.


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VII. Desarrollo de contenidos por unidad

UNIDAD 1: Funciones y sus aplicaciones

Propsitos de la unidad

En esta unidad:

Relacionars la importancia de las funciones algebraicas y su representacin grfica en lasolucin de problemas en el rea econmico-administrativa.

Aplicars los tipos de funciones algebraicas que intervienen en la solucin de problemasen el rea econmico-administrativo.

Interpretars las funciones de costo, ingreso y utilidad, y el punto de equilibrio.

Competencia especfica

Identifica los tipos de funciones, variables y sus aplicaciones para resolver problemas que

se presentan en situaciones de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demanda, a travs de

conceptos, tipos de funciones y modelos grficos.

Introduccin

Las matemticas son una herramienta que nos permite verificar mediante modelos

grfico-numricos los efectos que pueden generar las variaciones de los elementos o factores que

intervienen en los fenmenos y sucesos que se presentan a lo largo de nuestra vida. En esta

primera unidad, presentamos el concepto de funcin, as como las diversas formas para su

representacin.

Se analizarn tambin los tipos de funciones, la forma de graficarlas y las operaciones que

puede existir entre ellas, con el fin de crear bases slidas que permitan dar solucin prctica a los


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diversos problemas que se presentan en el rea econmico-administrativa, a travs del anlisis de

situaciones de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demanda, as como mediante el uso de

los diferentes tipos de funciones y modelos grficos.

1.1 Funciones y variables

La relacin funcional o funcin nos ayuda a describir de manera prctica situaciones que

estn presentes en la vida real, en las que un valor o cantidad vara dependiendo del valor de otro

elemento. Por ejemplo:

1. La cantidad de impuestos que paga una persona o empresa depende de los ingresos de sta.2. Los costos de produccin varan de acuerdo al valor de la materia prima.3. La calidad de oxgeno en el aire en una ciudad est en funcin del nmero de automotores

que circulan por ella.

Con esto podemos comprender que hay variables o valores que dependen o cambian si un

valor determinante vara. Otro ejemplo representativo es el puntaje obtenido en un juego de tiro

al blanco, en el que hay dibujados en un tablero 5 crculos concntricos, en donde cada crculo

puede tener los siguientes valores, iniciando desde el exterior hasta el centro del tablero: 5, 10,

15, 20 y 25:

2520

15

10


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La mxima puntuacin se obtiene atinndole al crculo que queda en el centro del tablero

(25 puntos), y va disminuyendo conforme nos alejamos del centro. De esta forma obtenemos dos

conjuntos, uno correspondiente a los crculos que definiremos como el conjunto C, y el otro

correspondiente a la puntuacin y que llamaremos P, esto es:

C = {1, 2, 3, 4, 5}

P = {5, 10, 15, 20, 25}

Ambos conjuntos estn relacionados entre s, es decir que ambos dependen el uno del

otro y lo podemos representar mediante una tabulacin:

TABLA DE PUNTUACIN

CRCULO PUNTUACIN

1 5

2 10

3 15

4 20

5 25


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O mediante una grfica:

En ambas representaciones podemos comprobar que para cada elemento del conjunto P

(puntuacin), slo hay un valor o elemento que le corresponde del conjunto C (crculo). Es decir,

que se cuenta con las siguientes parejas ordenadas:

(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20) y (5, 25)

Otra forma de representar estos conjuntos es con un modelo matemtico. Si

consideramos los datos del ejemplo anterior, podemos observar que si se acierta en el crculo del

centro se tendrn 25 puntos y si se acierta al crculo ms alejado del centro se obtendrn 5

puntos; as puede comprenderse que existe una situacin de dependencia, en la que el puntaje

est determinado por el crculo del tablero al que se atine y cada acierto tiene un valor que resulta

de multiplicar el nmero del crculo acertado por 5. Para llevar a cabo esta operacin, es necesario

conocer el nmero de crculo al que se acierta, ya que sin este dato no es posible obtener el

puntaje. El nmero de crculo es el valor que alimenta al modelo matemtico, representa losvalores de entrada que hay que multiplicar por 5, para que d el resultado del puntaje obtenido,

que sern los valores de salida. Si, adems, se utilizan variables que permitan identificar a cada

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5

Tabla de puntuacin

i


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uno de los valores (y para el puntaje y x para los crculos) podremos obtener la siguiente

expresin:

= en donde y corresponde a una variable dependiente y x a una variable independiente, que

conforman lo que se conoce como funcin.

1.1.1 Conceptos relacionados a las funciones, variables dependientes e independientes

a. Funcin: Es la correspondencia entre dos conjuntos: uno de valores de entrada y otro devalores de salida, en donde existe una regla u operacin que determina para cada valor de

entrada un solo valor de salida.

b. Variable dependiente: Es aquella cuyo valor, propiedad o caracterstica se trata de cambiar

mediante la manipulacin de la variable independiente.

c. Variable independiente: Es aquella que es manipulada en un experimento o evento con el

objeto de estudiar cmo incide sobre la variable dependiente. Esto significa que las

variaciones en la variable independiente repercutirn en variaciones en la variable

dependiente.

1.2 Tipos de funciones y su aplicacin

1.2.1 Tipos de funciones y sus grficas

Funcin constante:

Una funcin constante es aquella que tiene la forma:

= en donde c es un nmero real.


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Ejemplo: Sea f(x) = 10, debido a la forma de la funcin, a la variable x se le puede asignar cualquier

valor que se desee, sin embargo, el resultado de la funcin ser siempre 10:

X f(x)=10Pares

ordenadosGrfica

-15 10 (-15, 10)

-10 10 (-10, 10)

-5 10 (-5, 10)

0 10 (0, 10)

5 10 (5, 10)

10 10 (10, 10)

15 10 (15, 10)

Se observa que la grfica es una recta paralela al eje de las X (abscisas) y que f(x) = 10,

corta el eje de las Y (ordenadas) en el punto (0, 10).

Funcin lineal:

Una funcin lineal es aquella que se tiene la forma:() = + en donde m y b, son cualquier nmero real y adems m 0.

m = pendiente de la recta.

Si m > 0, conforme los valores de x aumentan, tambin lo hacen los de y.

Si m < 0, conforme los valores de x aumentan, los valores de y disminuyen.

b = ordenada al origen (punto donde la recta corta el eje de las ordenadas).

Ejemplo: Sea f(x) = 2x + 4, se observa que se trata de una funcin lineal en donde:

m = 2 y

f(x) = y = 10

0

2

4

6

8

10

12

14

-15 -5 5 15

y

x


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b = 4

es decir que cuando x = 0, f(x) = y = 4.

x f(x)=2x + 4Pares

ordenadosGrfica

-3 -2 (-3, -2)

-2 0 (-2, 0)

-1 2 (-1, 2)

0 4 (0, 4)

1 6 (1, 6)

2 8 (2, 8)

3 10 (3, 10)

Se observa que la grfica es una lnea recta creciente, esto se debe a que m > 0, por lo que

conforme x aumenta, tambin lo hace y. Por tanto, se trata de una funcin creciente.

Funcin cuadrtica:

Una funcin cuadrtica es aquella que se tiene la forma:() = + + En donde a, b y c, son nmeros reales.

a 0, mientras que b y c, pueden valer cero.

La forma de la grfica de una funcin cuadrtica es una parbola, en donde el vrtice es el

punto ms bajo si la parbola abre hacia arriba y el vrtice es el punto ms bajo cuando la

parbola abre hacia abajo.

f(x) = y = 2x + 4

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

X


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Si a > 0, la parbola abre hacia arriba.

Si a < 0, la parbola abre hacia abajo.

El vrtice est dado por las coordenadas V(xv, yv), que se calcula con las siguientes

frmulas:

= 2 = 4 24 Ejemplo: Sea f(x) = x2 + 4x -2, se observa que se trata de una funcin cuadrtica en donde:

a = 1,

b = 4 y

c = -2;

y las coordenadas del vrtice:

= 42(1) = 42 = 2 = 41(2) (4)24(1) = 8 164 = 6Por lo que el vrtice ser: (,)

xf(x)=x

2

+ 4X - 2Pares

ordenadosGrfica

-3 -5 (-3, -5)

-2 -6 (-2, -6)

-1 -5 (-1, -5)

0 -2 (0, -2)

1 3 (1, 3)

2 10 (2, 10)

y = x2 + 4x - 2

0

5

10

15

20

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y


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3 19 (3, 19)

Se observa que la grfica es una parbola que abre hacia arriba y que su punto ms bajo se

encuentra en las coordenadas del vrtice: (-2, 6).

Funcin polinomial:

Una funcin es polinomial si:() = + + + + en donde a, b, ydson nmeros reales y a 0; mientras que b, c y d pueden valer cero.

El valor de n determina el grado de la funcin polinomial, que puede ser lineal, cuadrtica,

cbica, de cuarto grado, de quinto grado, etc., dependiendo del valor de n. El valor ms alto del

exponente de la funcin es el que determinar el grado de la funcin.

Ejemplo:

f(x) = 8x3 + 5x2 8 Funcin cbica

f(x) = x5 3x3 -5x + 1 Funcin de quinto grado

Funcin racional:

Una funcin racional es el cociente de dos funciones polinomiales y se representa como:

= ()() ()


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Ejemplo: Sea = 2+1x = 2 + 1 Paresordenados Grfica-3 3 (-3, -3)

-2 4 (-2, 4)

-1 (-1, )

0 0 (0, 0)

1 1 (1, 1)

2 1.33 (2, 1.33)

3 1.5 (3, 1.5)

As, se observa que en -1 la funcin crece al infinito .

Funcin exponencial:

Una funcin exponencial es aquella en la que la variable independiente se encuentra como

exponente de un nmero constante: = La grfica es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-8 -6 -4 -2 0 2 4

Y

X


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Ejemplo: Sea = 2 x = 2 Pares

ordenadosGrfica

-2 0.25 (-2, 0.25)

-1 0.5 (-1, 0.5)

0 1 (0, 1)

1 2 (1, 2)

2 4 (2, 4)

3 8 (3, 8)

Funcin logartmica:

Una funcin logartmica se define como la inversa de la exponencial y puede ser

representada de la siguiente manera:

a. La funcin logaritmo de base b, se define como:

= = = b. La funcin logaritmo natural se define como:

= = = Donde e 2.7182881828

0

2

4

6

8

10

-3 -1 1 3 5

Y

X


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Ejemplo: Sea

=

2

x = 2 Paresordenados Grfica0.25 -2 (0.25, -2)

0.5 -1 (0.5, -1)

1 0 (1, 0)

2 1 (2, 1)

4 2 (4, 2)

8 3 (8, 3)

Actividad 1. Tipos y funciones

Resuelve el ejercicio 1. Tipos de funciones que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios:

Funciones.

Guarda el documento y envalo a la seccin de Tareas.

1.2.2 Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio

1. Ingreso: La funcin de ingreso total se define como: = donde: x = nmero de artculos vendidos.p = precio de venta unitario.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

Y

X


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NOTA: Es importante mencionar que la funcin de ingresos tambin puede seguir cualquier

otro comportamiento algebraico.

Ejemplo: Un club social que cuenta con 2,300 afiliados est por incrementar las cuotas

mensuales a los asociados, que actualmente pagan $500.00 mensuales. Sin embargo, antes

de realizar dicha operacin, el consejo directivo realiz una encuesta con la que determin

que por cada incremento de $50.00 podran perder a 15 socios. Calcula cul ser el

comportamiento del ingreso del club al incrementar en $50.00 la cuota mensual.

Solucin: Si se considera determinar el ingreso mensual en funcin de la cuota (precio) quepaga cada socio, se tiene las siguientes variables:

x = nueva cuota

y = nmero de socios

y1 = nmero de socios antes del incremento en la cuota

y2 = nmero de socios despus del incremento en la cuota

As se tiene que la nueva cuota menos la cuota anterior representar el incremento de la

cuota, esto es: = 400La cantidad de aumentos de $50.00 en el incremento de la cuota estar representada por la

siguiente funcin:

= 400

50

De esta forma, el nmero de socios que se retirar por el aumento de la cuota ser:


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2 = 400 40050 2 = 8 3200

El nmero de socios nuevos es: = 1 2 = 2300 8 3200= 5500

8

Finalmente, tomando en cuenta la funcin general de ingreso:

= Se tiene que para este caso: = = = 5500 8Por tanto, el ingreso mensual en el club social al aplicar la nueva cuota estar dado por la

siguiente funcin cuadrtica:

= 2. Costo: La funcin de costo total se define como:

= x + = + = +


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Donde: ax = costo por unidad

x = nmero de artculos vendidos o producidos

= costos fijos de produccinEjemplo: Una maquiladora de pantalones de mezclilla ha calculado que sus costos fijos

mensuales son de $125,000.00 y que cada pantaln le genera un costo de $35.00. Determina

el costo total de fabricacin en el siguiente mes si se van a elaborar 1,500 pantalones de

mezclilla.

Solucin: Lo primero que se deber determinar es la funcin de costo total: = + En donde para este caso en particular:

a = $35.00

x = nmero de pantalones

= $125,000.00

Sustituyendo en la funcin de costo total tenemos:

= + Finalmente, el costo de produccin de 1500 pantalones el siguiente mes ser de:

=

+

= $,


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a. Costo promedio o costo medio: Est relacionado con el costo total C(x) de produccin oventa dexartculos o servicios y se obtiene al dividir el costo total de entre el nmero de

unidades producidas o servicios ofertados:

= () Donde: C(x) = funcin de costo

x= nmero de artculos o servicios

Ejemplo: El costo total de producir x libretas escolares por semana sigue el

comportamiento de la siguiente funcin cuadrtica:

= 0.632 + 233 + 250 Determina cul ser el costo promedio de producir 10000 unidades mensualmente,

considerando que el mes tiene 4 semanas.

Solucin: Lo primero que se deber realizar ser determinar la funcin de costo promedio,es decir, dividiendo la funcin de costo entrex:

= = 0.632 + 233 + 250 = = 0.632 + 233 + 250

= 0.63

+ 233+

250

Finalmente, sustituyendo el nmero de libretas que se desea producir: x = 10000, se tiene

que:

10000 = 0.6310000+ 233+ 25010000


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10000 = 6300 + 233 + 0.025Con lo que se obtiene que el costo promedio de produccin semanal es de:

= .Por tanto, el costo promedio de produccin mensual ser de:

10000 = 46533.025

= .3. Utilidad: Se obtiene restando los costos de los ingresos:

= ()Ejemplo: Un fabricante de cremas faciales mensualmente tiene costos de produccin de

$15,000.00 y el costo de fabricacin por crema es de $4.50. Si cada crema la vende por

mayoreo a las tiendas departamentales en $25.00, determina las utilidades que genera en su

empresa la venta de cremas faciales, considerando que el fabricante vende mensualmente

2,000 cremas, en exclusiva, a una cadena de SPA.

Solucin: Si se sabe que las utilidades estn representadas por: = ()Entonces es necesario determinar tanto la funcin de ingresos como la de costo total. En este

caso se tienen los siguientes datos:

x = nmero de cremas = $15,000.00 = 4.50x


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Cremas vendidas por mes = 2,000

p = $25.00

Entonces para los ingresos: = Sustituyendo los datos del problema: = Y los costos estarn dados por: = + Sustituyendo los datos del problema: = .+ y sustituyendo en la funcin de utilidad:

= () = 25 4.50 + 15000= 25 4.50 15000 = .

Si mensualmente vende 2000 cremas faciales:

200

= 20.5(2000)

15000

200 = 41000 15000 = Mensualmente la crema facial le genera al fabricante utilidades de $26,000.


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4. Punto de equilibrio: Es el punto en que el importe de las ventas de una empresa es igual al delos costos y gastos que dichas ventas originan.

= ()Consideraciones:

Si el costo total de produccin supera a los ingresos que se obtienen por las ventas de losobjetos producidos o servicios vendidos, la empresa sufre una prdida.

Si los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia. Si los ingresos logrados por las ventas igualan a los costos de produccin, se dice que el

negocio est en el punto de equilibrio o de beneficio cero.

Actividad 2. Funciones

Resuelve el ejercicio 2. Funciones, que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Funciones.


1.2.3 Modelo grfico del punto de equilibrio

Grficamente, el punto de equilibrio es el que est representado por la interseccin de las rectas

que representan a la funcin de costos e ingresos.

Si I(x) < C(x), entonces la empresa tiene prdidas. Si I(x) = C(x) la empresa no gana ni pierde, est en el punto de equilibrio. Si I(x) > C(x) la empresa tiene ganancias.


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Evidencia de aprendizaje: Aplicacin de funciones

Resuelve los problemas del archivoAplicacin de funciones:

1. Costos2.

Ingresos, costos y utilidad

Guarda el documento y consulta la escala de evaluacin.

Envalo al Portafolio de evidencias.


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Consideraciones especficas de la unidad

En esta unidad se resolvern ejercicios para reforzar el aprendizaje.

Tendrs que solucionar problemas de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demanda

utilizando funciones algebraicas, con lo que podrs aplicar los conceptos aprendidos durante la

unidad 1, los cuales te servirn de base para lograr un aprendizaje significativo en las unidades

siguientes. Una vez terminada de revisar la unidad tendrs que ir a tu cuadernillo de ejercicios y

resolver los ejercicios correspondientes a sta.

Referencias:

Bsica:

Barry, R., Stair, R. y Hanna, M. (2006). Mtodos cuantitativos para los negocios. Mxico:Pearson.

Chiang. (2006). Mtodos fundamentales en economa matemtica. (4a. ed.). Mxico:McGraw-Hill.


Leithold, L. (2006). El clculo. (7a. ed). Oxford: Cspide. Thomas. (2006). Clculo de una variable. Mxico: Prentice Hall.


Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico:CECSA.



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Motoyuki, A. (2000). Matemticas financieras. Crdoba, Argentina: Despeignes Editora,Crdoba.

Spiegel, M. (1994). Manual de frmulas y tablas matemticas. Mxico: McGraw-Hill. Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. Matemticas financieras. Mxico:

CECSA.

Vidaurri, H. (2001). Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico: Ediciones Contables,Administrativas y Fiscales-Thompson Learning.


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UNIDAD 2: Lmites y continuidad

Propsitos

En esta unidad:

Identificars los elementos del lgebra de lmites y terico prctico de la continuidad de unafuncin.

Aplicars los elementos del lgebra de lmites para determinar el alcance de un procesodesde el punto de vista econmico-administrativo.

Calculars la continuidad de una funcin en relacin a los puntos en los que el proceso deproduccin presenta una tendencia diferente de costos.


Determina el comportamiento de una funcin de acuerdo a los lmites de la misma para

conocer su impacto en los procesos econmico-administrativos, mediante la aplicacin de los

teoremas de lmites de una funcin y su relacin con funciones continuas y discontinuas.

Introduccin

En la unidad anterior vimos el concepto de funcin y algunos de los diferentes tipos de

funciones, as como su aplicacin para describir el comportamiento de las diversas situaciones que

se presentan dentro del rea econmico-administrativa, tales como ingresos, costos, utilidades y

punto de equilibrio.

En la presente unidad estudiaremos el concepto de lmite y cmo describe precisamente el

comportamiento de una funcin cuando los valores de la variable independiente estn muy

prximos, aunque nunca igual, a un valor constante y su utilidad en los procesos econmico-


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administrativos, como rendimiento y produccin mxima. Asimismo, determinaremos cuando una

funcin es continua y revisaremos su aplicacin en procesos productivos y su impacto en los

costos de produccin.

2.1 lgebra de lmites

Conceptos bsicos:

El lmite de una funcin describe el comportamiento de una funcin f(x) conforme la

variable independiente se aproxima a un valor constante.

Ejemplo: Se tiene la funcin = 32 11 y se requiere determinar su comportamientocuando los valores de x tienden o se acercan a 1.

Solucin: Podemos observar que la funcin no est definida en x = 1, es decir, que cuando

x toma el valor de 1 la funcin tiende al infinito:

1 = 3(1)2 11 1 = 3 10 = 20 =

Ya que cualquier nmero dividi entre cero es igual a infinito.

Sin embargo, si se podemos determinar el comportamiento o valores que va tomando la

funcin cuando x 1 (x tiende a 1), ya sea con valores ms pequeos a uno o, bien, ms grandes

a uno: 1 > x > 1.


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As tenemos que:

X = 32 1 1 Grfica-0.5 0.166667

0.5 0.500000

0.6 -0.200000

0.7 -1.566667

0.8 -4.600000

0.9 -14.300000

0.95 -34.150000

0.98 -94.060000

0.999 -1994.00300.9999 -19994.0003

1

1.0001 20006.0003

1.001 2006.003

1.01 206.03

1.1 26.3

1.5 11.5

Se puede observar que conforme x se acerca a 1 la funcin es igual a 20000,

dependiendo de si se va acercando por la derecha o por la izquierda a 1, es decir:

lim1 32 1 1 = 20000En conclusin, tenemos que:

Cuando f(x) se acerca cada vez ms a un nmero lmite (C), conforme x se aproxima a un valor

constante a por cualquier lado, entonces C ser el lmite de la funcin y se escribe:

lim() =

-20000.000000

-15000.000000

-10000.000000

-5000.000000

0.000000

5000.000000

10000.000000

15000.000000

20000.000000

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Y

X


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Algebra de lmites: A continuacin se muestran la frmula y las operaciones que se realizan para

determinar los lmites de una funcin:

Sean dos funciones cuya variable independiente tiene a un valor a:

lim = y lim = Entonces:

1. lim () = lim lim = 2. lim () = lim lim = 3. lim () = limlim = 04. lim = 5. lim =

2.1.1 Lmite de una funcin y sus propiedades

1. Lmite de una funcin constante: Si se tiene una funcin constante f(x) = C, el lmite de lafuncin cuando x tienda a un valor a, ser siempre C. Esto es:

lim = lim =

Ejemplo: Determina el lmite de la funcin: f(x) = 10, cuando x 8.

Solucin: Siguiendo el razonamiento de la frmula general anterior, se tiene que:


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lim8 = 10

=

2. Lmite de una funcin idntica: Si se considera la funcin idntica f(x) = x, cuando x tiendea un valor a, su lmite ser siempre el valor constante a, es decir:

lim = lim =

Ejemplo: Determina el lmite de la funcin: f(x) = x, cuando x 3.

Solucin: Siguiendo el razonamiento de la frmula general anterior, se tiene que:

lim3 = = 3. Lmites infinitos: Cuando se tiene una funcin racional

=

(

)

() en la que q(x) se hace

cero cuando x tiende a un valor constante a, entonces, f(x) = , es decir:

= = , = Ejemplo: Determina el lmite de la funcin:

=

+3

2

1cuando x 1.

Solucin: Sustituyendo el valor de x, en la funcin se tiene que:


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lim

1

= + 3

2

1

+ 32 1 = 1 + 3(1)2 1 = = 4. Lmite de cualquier funcin: Para cualquier funcin f(x), se tiene que el lmite de la

funcin cuando x a. El lmite es el nmero constante que resulta de sustituir el valor de

a en la funcin.

Ejemplo: Determina el lmite de la funcin: f(x) =

3 + 3

2, cuando x 0 y cuando x

5.

Solucin: Sustituyendo el valor de x, en la funcin para cada caso se tiene que:

lim0 = 3 + 3 2 3 + 3 2 = + =

Y

lim5 = 3 + 3 2 3 + 3 2 = + = Ejemplo: Determina el lmite de la funcin: = 5+3

221cuando x 0 y cuando x 2.Solucin: Sustituyendo el valor de x, en la funcin para cada caso se tiene que:

lim0 = 5 + 322 1


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5 + 3

2

2

1

=

5(0) + 3

2(0)2

1

=

Y

lim2 = 5 + 322 1 5 + 322 1 = = 5(2) + 32(2)2 1 =

2.1.2 Lmites de una funcin cuando la variable tiende al infinito

Cuando x , el valor de la funcin puede crecer o decrecer indefinidamente. Sin

embargo, existen casos en los que la funcin adquiere valores reales. A continuacin veremos

ejemplo para el clculo de lmite de una funcin cuando la variable independiente tiende al

infinito.

Ejemplo. Cul ser el lmite de f(x) = 7x4 2x3 + x2+100, cuando x ?

Solucin: Al aplicar el lmite infinito en la funcin, se tiene que:

lim = 74 23 + 2 + 100lim74 23 + 2 + 100 = + + =

NOTA: Es suficiente observar que el coeficiente con mayor potencia tendr como resultado un

valor infinito, al sustituir el lmite en la funcin.

Ejemplo: En una fbrica de electrodomsticos, se tienen costos fijos de produccin de

$1000,000.00 anuales y sus costos especficos son del orden de $430.00 por electrodomstico.

Hasta qu punto puede reducir los costos promedio de produccin al aumentar la produccin

indefinidamente?


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Solucin: Se observa que la funcin de costo tendr la forma C(x)=430x + 1000,000, en

donde x representa la cantidad de electrodomsticos producidos. Para determinar el costo

promedio de produccin, se tendr que dividir la funcin de costo entre el nmero de artculos a

producir, x: = 430 + 1000,000 = 430 + 1000,000 Y si lo que se desea conocer es el costo promedio de produccin cuando el nivel de

produccin se eleve indefinidamente se tiene que:

lim = 430 + 1000,000 := lim430 + lim1

000,000= 430 + 0

= 430

Por tanto, el costo promedio de produccin ser de $430.00 cuando el nivel de fabricacin

de productos electrodomsticos crezca indefinidamente.

NOTA: Es importante notar que cuando se divide un nmero cualquiera entre , el resultado

siempre ser cero, ya que el valor del divisor siempre ser mucho ms grande que el valor

del nmero que se quiere dividir.

Ejemplo. El nivel de satisfaccin (%) de clientes en un autoservicio, de acuerdo al nmero

de artculos comprados, fue medido mediante la siguiente funcin:

= 250232 + 0.25 0.001


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En donde x representa el nmero de artculos comprados. Determina cul ser el nivel de

satisfaccin del cliente (%) conforme aumentan sus compras?

Solucin: Si se considera que el cliente comprar un nmero infinito de artculos

podremos observar cul ser el comportamiento del nivel de satisfaccin del cliente en el punto

ms alto de sus compras:

lim 250232 + 0.25 0.001Con el fin de eliminar la indeterminacin, en el caso de una funcin racional es

conveniente dividir cada uno de los factores de la funcin entre la variable independiente con la

potencia ms alta, as se tiene que, para este caso en particular, se tiene que:

lim 25022

322 + 0.252 0.0012 = lim 250

3 +0.25 0.0012 =

250

3 +0.25 0.0012

= + = = .Por lo que el nivel de satisfaccin del cliente ser del 83.33% y nunca podr ser mayor a

ste.

Actividad 1. Maximizacin de costo promedio

Resuelve el ejercicio 1. Maximizacin de costo promedio que se encuentra en el Cuadernillo de

ejercicios: Los lmites y aplicacin en funciones.Guarda el documento y envalo a la seccin de Tareas.

Tema 2.2 Funciones continuas y discontinuas


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2.2.1 Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una funcin

Segn se pudo observar, al realizar el clculo de lmites de una funcin, no siempre el

lmite coincide con el valor de la funcin en el punto hacia el cual se aproxima la variable

independiente. Esto es fcil de detectar al graficar la funcin en los valores cercanos al lmite, ya

que la grfica de la funcin se puede cortar o tener una interrupcin en algn punto cercano al

lmite.

Por ejemplo, se tiene la siguiente funcin:

=

32 1

1en la que se dice que x 1 . Al

graficar las coordenadas que van acercndose al lmite, se tiene la siguiente grfica:

En donde se observa que hay un punto exactamente cuando x = 1, en el que la grfica de

la lnea ya no contina con el resto de los valores, es decir, que hay un ruptura en la grfica.

-20000.000000

-15000.000000

-10000.000000

-5000.000000

0.000000

5000.000000

10000.000000

15000.000000

20000.000000

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Y

X


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De esta forma, podemos definir que una funcin es continua cuando no se presenta un

corte en la lnea que representa su grfica, y una funcin es discontinua cuando se presentan

cortes en la lnea que representa la grfica de la funcin.

Existen tres condiciones que nos permiten descubrir si una funcin es continua o

discontinua:

1. Una funcin ser continua si f(x) est definida en x = a, es decir, si sus valores son reales.2. Una funcin ser continua si el lmite de la funcin f(x) cuando x a existe.3. Una funcin ser continua si: lim =()

Si una de las condiciones anteriores no se cumple la funcin ser discontinua.

Operaciones con funciones continuas

1. Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en un punto a, entonces las funciones podrnsumarse, multiplicarse o dividirse (para g(x) 0 en el caso de divisin).

2. Toda funcin polinomial es continua.2.2.2 Aplicacin de funciones continuas y discontinuas

EJEMPLO: Oferta y demanda. Un vendedor de aceites orgnicos en frascos de 250 ml,

vende aceite de uva a $90.00 cada frasco, pero si le compran ms de 5 frascos, el precio por frasco

es de $68.00. Qu se le podra recomendar al vendedor para que pueda conservar su escala de

precios de mayoreo sin que se le presenten problemas econmicos con su promocin?

Solucin: Si definimos como p(x) a la funcin de precio de x frascos de aceite de uva, se

tiene la siguiente funcin:


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= 90

10

85 > 10

El modelo grfico que representa esta funcin de oferta versus demanda es:

Con esto se observa que el precio de 10 frascos es de $900.00, y de 11 frascos es de

$935.00, por lo que para evitar contradicciones, el precio de 11 frascos debe ser superior al de 10.

Si decimos que p es el precio de cada frasco de aceite cuando se compran ms de 10 frascos, se

debe cumplir que 11p > 900. Es decir, p > 900/11 = $81.81. Por tanto, el vendedor debe asignar un

precio superior a $81.81 para cada frasco cuando le compren ms de 10 frascos de aceite de uva.

y = 90x

y = 85x

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

p(x),preciod

ea

ceited

eu

va

(pesos)

Frascos de aceite de uva vendidos

(10, 900)

(11, 935)

La funcin no es continua enx = 10


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Actividad 2. Costo total

Resuelve el ejercicio 2. Costo total que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Los lmites y

aplicacin en funciones.


Evidencia de aprendizaje. lgebra de lmites y continuidad

Resuelve los ejercicios del archivolgebra de lmites y continuidad:1. Clculo de lmites, que consiste en relacionar columnas, para saber la respuesta se

deben elaborar clculos necesarios.

2. Rentabilidad con lmites al infinito.Guarda el documento y consulta la escala de evaluacin.

Envalo al Portafolio de evidencias.

Consideraciones especficas de la unidad

En esta unidad se resolvern ejercicios para practicar el uso de las frmulas y la aplicacin

de lmites.

La evidencia con la que se evaluar la unidad 2 ser la solucin de problemas de lmites y

continuidad de una funcin para determinar su impacto en los procesos econmico-

administrativos y una vez terminada de revisar la unidad tendrs que ir a tu cuadernillo de

ejercicios y resolver los ejercicios correspondientes a sta.

Referencias:


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Bibliografa bsica:

Barry, R., Stair, M. y Hanna, M. (2006). Mtodos cuantitativos para los negocios. Mxico:Pearson.

Chiang, A. (2006) Mtodos fundamentales en economa matemtica (4a. ed.). Mxico:McGraw-Hill.


Leithold, L. (2006). El clculo (7a. ed.). Oxford: Editorial Cspide. Thomas. (2006). Clculo de una variable. Mxico: Prentice Hall.


Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico:CECSA.



Motoyuki, A. (2000). Matemticas financieras. Crdoba, Argentina: Despeignes Editora. Spiegel, M. (1994). Manual de frmulas y tablas matemticas. Mxico: McGraw-Hill. Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. (1984). Matemticas financieras,

Mxico: Editorial CECSA.

Vidaurri, H., Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico: Ediciones Contables,Administrativas y Fiscales-Thompson Learning.


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UNIDAD 3: Clculo diferencial y sus aplicaciones

Propsitos de la unidad

En esta unidad:

Identificars los elementos del lgebra de lmites y terico prctico de la continuidad deuna funcin.

Aplicars los elementos del lgebra de lmites para determinar el alcance de un procesodesde el punto de vista econmico-administrativo.

Calculars la continuidad de una funcin en relacin a los puntos en los que el proceso deproduccin presenta una tendencia diferente de costos.


Aplica el clculo diferencial para la solucin de problemas de lmites y continuidad de una

funcin y de terminar su impacto a travs de frmulas y conceptos del clculo diferencial integral y

su aplicacin en las matemticas financieras.

Introduccin

En las unidades anteriores vimos las funciones ms comunes, los lmites y la continuidad

de una funcin, as como los conceptos derivados de dichos temas. En la presente unidad se

estudiarn las definiciones y las reglas de derivacin que nos ayudarn a solucionar problemas de

optimizacin de utilidades y su impacto en las funciones de ingreso y costo total. Adems veremos

la aplicacin e interpretacin de la derivada en el anlisis marginal y su definicin, como la razn o

tasa promedio e instantnea de cambio, y su aplicacin en los conceptos de elasticidad de

demanda.


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Finalmente, estudiaremos la diferencial cuyo significado se encuentra implcito dentro de

la derivada, as como su importancia para generar resultados que permitan dar una mejor

interpretacin a los problemas de las reas econmico-administrativas que se pueden presentar.

3.1 La derivada

Introduccin

El modelado de los procesos econmico-administrativos est asociado a la identificacin

del valor que optimiza a una funcin. Por ejemplo, si se trata de un problema de costos se

requiere conocer el costo mnimo y el valor para el que se produce, as como para ingresos y

utilidades nos interesa saber cmo alcanzamos los valores mximos que podemos tener a partir de

una produccin o venta, ya sea de un producto o un servicio. De esta forma, puede verse la

importancia de la derivada dentro de los problemas de optimizacin, sus aplicaciones en las

situaciones de oferta, demanda, elasticidad y productividad.

3.1.1 Concepto, frmulas y reglas de derivacin

La derivada: Es la representacin del cambio infinitesimal de una funcin a medida que va

cambiando el valor de la variable independiente. La derivada de una funcin f(x) se representa

comof(x), que se lee:f prima y se define para cualquier funcin f(x) de la siguiente manera:

= lim

0

En donde:

1. xy y: Incrementos de las variablesx, y, respectivamente


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2. =() representa la razn o tasa promedio de cambio de y con respecto a xen el intervalo (x1, x2). Esto es qu tanto vara el valor de ypor cada unidad de cambioenx.

3. = , se interpreta como la razn o tasa instantnea de cambio de ycon respecto ax, en el puntox1.

De manera prctica la notacin para la derivada es:

que se lee: la derivada de ycon respecto ax.Reglas y frmulas de derivacin: Al igual que con los lmites, existen frmulas y reglas que

nos permiten calcular las derivadas de funciones algebraicas. A continuacin se presenta un

formulario para el cual se deber tomar en cuenta que:

1. u, v, w: son funciones cuya variable independiente es x2. a, b, c, n: son nmeros constantes3. e: 2.718284. Ln u: es el logaritmo natural de u, en donde u > 0

Frmulas y reglas de derivacin:

1. ()

= 0

2. ( ) = 3. ( ) = 1

8. ( )

=

+

+

9. = 2 10. = 1


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4. ( ) = 5.

(

)

= 6. ( ) = + 7. = Regla de la cadena

11. = 1 12. = 13. = 14. = 1 +

Ejemplo: En seguida se resuelven las derivadas de algunas funciones, utilizando las frmulas y

reglas de derivacin:

1. Si f(x) = 4, cul ser su derivada?

Solucin: Se tiene que para una funcin constante, se utiliza la frmula 1:() = 0en donde para este caso: c = 4, por lo que sustituyendo se tiene que:

4

= 0 = 02. Determina la derivada de: f(x) = x5

Solucin: De acuerdo a la regla de derivacin 3:

() = 1se tiene que para este caso:

c = 1, x = x, n = 5


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por lo que:

15 = 5 = 5151= 54 = 54

3. Sea la funcin = 46 + 54 73 + 12, determina su derivada:Solucin: Aplicando la regla 4 de derivacin, se tiene que:

( ) = en donde:

u = 4x6 v = 5x4 w = -7x3 y = -x z = 12

para las cuales aplican las siguiente reglas:

() = 0 () = () = 1De esta forma, se tiene que la derivada de la funcin h(x) es:

= 6461 + 4541 3731 1111 + 0

=

+

4. Cul es la derivada de la funcin = 3232+5?Solucin: Para este caso la frmula a aplicar es:


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= 2 Para la cual:

u = x3 2x v = -3x2 + 5 = = + As, sustituyendo en la frmula, la derivada de la funcin g(x) con respecto a x: g(x), queda:

= +

+ = + + + + = + +

5. Determina la derivada de la funcin: = 64 Solucin: En este caso en particular, lo conveniente es plantear la funcin de la siguiente

manera:

= 6 4 Para la que aplica la frmula:

(

)

=

1

Para la cual en este caso:


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c = 1 x = x n = 6/4

As, se tiene que:

= 1 64 641

=6

41 2

1. Regla de la cadena: Es aplicada cuando se tiene una funcin dentro de una funcin elevada auna potencia. Por ejemplo:

= 22 3 + 23La frmula general de la regla de la cadena nos dice que: = Sin embargo, una manera ms fcil de interpretarla es mediante el siguiente

enunciado:

Calcular la derivada de la funcin en el interior del parntesis y multiplicarla por la

derivada del exterior

Es decir, si tomamos en cuenta la funcin mostrada en el ejemplo, tenemos que:

1. 22 3 + 2 Representa a la funcin en el interior del parntesis y cuya derivada es:2. 4 3 Que corresponde a la derivada del interior.3. Con respecto a la derivada del exterior, se refiere al exponente fuera del parntesis que

encierra a la funcin, as se tomara como funcin exterior a:

4. 22 3 + 23 y considerando a la funcin dentro del parntesis como si fuera una solavariable. De esta forma, la derivada del exterior estara dada de la siguiente manera:


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5. 22 3 + 2 = 22 3 + 26. Finalmente siguiendo el enunciado que dice que se debe multiplicar la derivada del interior

por la derivada del exterior, tenemos que la derivada de:

= 22 3 + 23Ser:

= 4 3322 3 + 22 = () +

3.1.2 Razn o tasa promedio e instantnea de cambio e incertidumbre

Como se vio anteriormente, la razn o tasa promedio de cambio se define como:

=2 (1)

2

1

Ejemplo: Considerando que la oferta O de un determinado artculo en funcin del precio

p sigue la siguiente funcin: = 72Determina cul es ser la razn promedio de cambio en la oferta cuando el precio vara de

p = 10 a p = 11.

Solucin: De acuerdo a la definicin de razn o tasa promedio de cambio, tenemos que:

= 11

10

11 10 =7112 7102

11 10 =

847 7001


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=

Asimismo, la razn o tasa instantnea de cambio, se define como:

= Ejemplo: Tomando en cuenta los datos del problema anterior, determina cul ser la

razn de cambio en la oferta con respecto al precio de venta, cuando p = 10, (cambio

instantneo)?

Solucin: De acuerdo a la definicin de razn o tasa cambio instantnea, tenemos que

calcular la derivada de la funcin de oferta: = = De manera que cuando el precio de venta es: p = 10, la razn de cambio instantneo ser: =

= 140

Es decir que cuando el precio es de 10, la oferta cambia 140 unidades cuando se modifica

una unidad en el precio.

3.1.3 Derivadas de orden superior

Hasta ahora hemos estado calculando la primera derivada de una funcin. Sin embargo,

tambin es posible, siempre que no lleguemos a un valor de cero, obtener la segunda, tercera,

cuarta, quinta y ensima derivada de una funcin.

La primera derivada se representa o denota como:() o La segunda derivada se representa o denota como: () o


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La tercera derivada se representa o denota como: () o Y as sucesivamente hasta llegar a la ensima derivada de una funcin.

Ejemplo: Determina la tercera derivada de la = 4 23 2 + 3.Solucin: La primera derivada estar dada por: = 43 62 2As, la segunda derivada ser:

= 12

2

12

2


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3.1.4 Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal

Ingreso marginal: Describe cmo se ven afectados los ingresos por cada unidad nueva que se

produce y se vende, se determina como la derivada de la funcin de ingresos,

lo que representa una aproximacin del ingreso real cuando se vende una

unidad ms de cierto producto o servicio.

As, considerando que () representa a los ingresos obtenidos al vender x nmero deartculos, el ingreso marginal nos muestra cul ser el ingreso que se obtiene al vender el artculo

x + 1. Esto es: + ()Es decir, los ingresos de venta de x nmero de artculos incrementada en 1, menos los

ingresos de la venta dexartculos.

Finalmente, como se considera el incremento de unidades de artculos, esto es: = loque implica una razn de cambio de los ingresos cuando aumenta la produccin en una unidad. Es

decir:

= + ()Lo que corresponde a la derivada de la funcin de ingreso, la cual representa el ingreso

marginal. () + ()Ejemplo: Una compaa turstica, tiene un ingreso mensual en la venta de sus paquetes

regionales representado por la siguiente funcin:

= 45000 5.72 pesos cuando produce y vende x unidades por mes.


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Hasta el da de hoy, la compaa ofrece 20 paquetes vacacionales, sin embargo planea

aumentarlos a 21. Cul ser el ingreso que generar la implementacin y venta del paquete

vacacional nmero 21?

Solucin: Para calcular el ingreso adicional que genera la implementacin y venta del

paquete turstico nmero 21, con la funcin de ingreso marginal, que es la derivada de la funcin

de ingreso, se tiene que: = .Y para el caso particular del paquete nmero 20, se obtiene que:

= .= = ,.

Este valor sera una aproximacin al ingreso que generara incorporar en sus paquetes

tursticos regionales el paquete 21.

No obstante, si se desea conocer cul sera el ingreso exacto al incorporar y vender el

paquete 21, se tiene que

+ 1 = 45000 + 1 5.7 + 12 (45000 5.72)= 45000 + 45000 5.72 + 2 + 1 45000 + 5.72= 45000 + 45000 5.72 11.4 5.7 45000 + 5.72

= 45000 11.4 5.7= ..

Como dentro de esta operacin ya est incorporado el paquete 21, en (x + 1), entonces se

sustituyexpor 20 en la expresin encontrada:

2 0 + 1 20 = 45005.7 11.421 20 = 45005.7 11.420


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= .Que representara el ingreso exacto al incorporar y vender el paquete 21 en la lista de

paquetes tursticos regionales en la compaa turstica.

Costo marginal: Es la derivada de la funcin de costo: (). El valor que se obtiene de ella es unaaproximacin al costo verdadero cuando se produce o genera una unidad ms de

cierto producto o servicio.

Si se requiere saber el costo que implica producir x unidades de un artculo ms unaunidad, es recomendable recurrir a la derivada del costo y, de manera similar, al ingreso marginal

que se tiene para los costos marginales:

() + ()Ejemplo: Los costos de produccin de x tarjetas de felicitacin en una imprenta se

representan por la siguiente funcin:

= 20000 + 12 + 0.52 + 0.00053 pesosDetermina cul ser el costo de producir 200 tarjetas con respecto a la produccin de 201.

Solucin: Primero determinaremos la funcin de costo marginal:

= 1 2 + + 0.00152

De acuerdo con esto, se tiene que el costo aproximado de producir 201 tarjetas de

felicitacin, ser de:


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200 = 12 + 200 + 0.00152002

=

Como se requiere conocer cul es el costo aproximado con respecto al real, se tiene que: + 1 = 20000 + 12 + 1 + 0.5( + 1)2 + 0.0005( + 1)3 20000 + 12 + 0.52 + 0.00053

= 20000 + 12 + 12 + 0.5(2 + 2 + 1) + 0.0005(3 + 32 + 3 + 1)

20000 + 12

+ 0.5

2 + 0.0005

3

= 20000 + 12 + 12+ 0. 52 + + 0.5 + 0.00053 + 0.00152 + 0.0015 + 0.0005 20000 12 0.52 0.00053= 12.5005 + 1.0015 + 0.00152

Sustituyendo ahora el valor de x = 200, para as obtener el costo de produccin de 201

tarjetas de felicitacin:

200+ 1 200 = 12.5005 + 1.0015200+ 0.00152002

201

200

= 12.5005 + 200.3 + 60

= .Se observa que la diferencia entre el costo exacto y el costo marginal es mnima: 0.8005

pesos, as podemos concluir que con el costo marginal tambin obtenemos resultados confiables

al igual que con la frmula de ingreso marginal.

Costo promedio o medio marginal: Es la derivada de la funcin de costo promedio: (). Elvalor que se obtiene con ella es una medida de la razn de cambio de la funcinde costo promedio en funcin del nmero de unidades o servicios producidos/

vendidos.

= ()


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Ejemplo: El costo total de produccin mensual de x nmero de taparroscas, para envases

de agua embotellada est dado por:

= 500000 + 25 + 0.852 pesosDetermina cmo ser el costo de producir la unidad 1001 de taparroscas, si actualmente

se producen 1000 tapas por mes.

Solucin: Primero determinaremos la funcin de costo promedio:() = = 500000 + 25 + 0.852 () = 500000 + 25 + 0.85

A continuacin obtenemos la funcin de costo promedio marginal, derivando la funcin de

costo promedio:

(

) = 500000

1 + 25 + 0.85

= 150000011 + (1)0.8511 = 5000002 + 0.85 = + .

De acuerdo con esto, se tiene que el costo aproximado de producir 1001 de taparroscas,

ser de:

1000 = 500000

10002 + 0.85

= ..


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Utilidad marginal: Es la derivada de la funcin de utilidad: () y es una aproximacin a lautilidad obtenida de la produccin y venta de una unidad ms de cierto

producto o servicio.

De esta forma si se requiere saber cules son las utilidades que generar el producir x

unidades de un artculo ms una unidad, es recomendable recurrir a la derivada de las utilidades,

con lo que se demuestra que: () + ()Ejemplo: En una fbrica se determin que cuando se producen x nmero de artculos, se

tena que: = 120000 + 8 + 0.32 miles de pesosY que cada artculo vendido generaba ingresos de $10.00. Determina las utilidades que se

generarn si se producen y venden 100 unidades.

Solucin: Primero determinaremos la funcin de utilidad, si se sabe que:

= ()En donde para este caso: = 10 = 120000 + 8 + 0.32 miles de pesos

Se tiene que:

= 10 120000 + 8 + 0.332

= 10 120000 8 0.332 = .


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Por lo que la utilidad marginal ser:

() = 2111 120000 (2)0.3321 = .De acuerdo con esto, se tiene que las utilidades generadas aproximadamente al producir

100 artculos, ser de: = .()

=

.

Lo que significa que se tienen -63.34 miles de pesos de prdidas en este proceso.

3.1.5 Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad

La elasticidad de la demanda, , es una aproximacin del cambio porcentual de la

demanda y es originado por un incremento del 1% en el precio y est representada por la

siguiente frmula:

= En donde:

p = precio

q = demanda

= .Y se interpreta de la siguiente manera:


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Cuando > 1, la disminucin porcentual de la demanda es mayor que el incrementoporcentual en el precio que la genera. La demanda es relativamente sensible a los cambios

del precio, por lo que la demanda es elstica con respecto al precio.

Cuando < 1, la disminucin porcentual de la demanda es menor al incremento porcentualen el precio que la genera, es decir, que la demanda es poco sensible a los cambios en el

precio, por tanto, es inelstica con respecto al precio.

Cuando = , los cambios porcentuales en la demanda son iguales a los incrementos en elprecio y se dice que la demanda es de elasticidad unitaria.

Ejemplo: Si la demanda y el precio de ciertos envases de plstico estn representados por:

= 930 5Para 0 p , determina el punto de elasticidad de la demanda en que es elstica la

demanda, en funcin de los precios de los envases de plstico.

Solucin: Se sabe que:

= Para este caso particular: = As, la elasticidad de la demanda ser:

=

= La demanda de los envases ser elstica si > 1, por lo que:


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5

930

5

> 1

5930 5 > 15 > 930 55 + 5 > 930

10 > 930 > 930

10

> 93Por lo que la demanda ser elstica cuando el precio sea superior a 93.

3.2 Clculo de mximos y mnimos

3.2.1 Funciones crecientes y decrecientes

Una funcin es creciente en el intervalo I, si para dos nmerosx1, x2 cualesquiera en I,

tales quex1 < x2, se tiene quef(x1) < f(x2).

Una funcin es decreciente en el intervalo I, si para dos nmerosx1, x2 cualesquiera en I,

tales quex1 < x2, se tiene quef(x1) > f(x2).

A continuacin se muestra grficamente como decrece y crece una funcin:


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3.2.2 Criterio de la primera y segunda derivada

Los criterios de la primera y la segunda derivada nos ayudan a determinar el

comportamiento de una funcin mediante un clculo exacto y analtico.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(x)=

-0.6667x3

+

2E-14x2

+

18x

-8E-1

3

x

intervalodecreciente intervalo creciente

intervalodecreciente


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Criterio de la primera derivada

1. Si > 0 cuando < < , entoncesfes una funcin creciente en < < .2. Si < 0 cuando < < , entoncesfes una funcin decreciente en < < .3. Si = cuando < < , entoncesfes una funcin constante en < < .

Los pasos a seguir para evaluar una funcin con el criterio de la primera derivada son:

1. Obtener la derivada de la funcin.2. Determinar los valores crticos, esto es los valores de xen la derivada de la funcin cuando = .3. Se marcan los valores crticos en la recta numrica y se escoge un valor cualquiera entre cada

intervalo, despus se sustituye el valor seleccionado en la derivada, con lo que se

determinar el signo de la derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y

despus del valor crtico.

4. De acuerdo con los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica elsiguiente criterio:

a. Si los signos son (+)(), se tiene un mximo local.b. Si los signos son ()(), se tiene un mnimo local.c. Si los signos son (+)(+) o ()(), no hay extremo local.

Ejemplo: Considerando el criterio de la primera derivada, determina los intervalos en

donde la funcin = es creciente o decreciente.Solucin: Aplicando el criterio de la primera derivada, tenemos lo siguiente:

1. Calculado la primera derivada de la funcin: =


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Igualando a cero la derivada de la funcin:

0 = 62 44 = 624

6= 2

46

= 2

=

4

6

= Que son las races o valores dex, con lo que se puede observar que los intervalos

establecidos paraxen la derivada sern: (valores crticos en la recta numrica):

+

2. Evaluando la derivada de la funcin en los intervalos establecidos:a. Para los valores entre ,, como por ejemplo entonces se tiene que la derivada

de la funcin en ese punto dar:

1 = 612 4 = Y como > 0, entonces la funcin es creciente en ( , +)


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b. Para los valores entre ,, como por ejemplo entonces se tiene que laderivada de la funcin en ese punto dar:

1 = 612 4 = Y como > 0, entonces la funcin es creciente en ( ,).

c. Parax = 0, se tiene que la derivada de la funcin en ese punto dar

0 = 602 4 = Y como < 0, entonces la funcin es decreciente en ( , ).

Es decir, que si se aplica el criterio de la primera derivada para determinar si hay

extremos locales, se tiene:

++ - +

Creciente Decreciente Creciente

Criterio de la segunda derivada

1.

Si > 0 cuando < < , entonces f es una funcin cncava hacia arriba en < < .2. Si < 0 cuando < < , entonces f es una funcin cncava hacia abajo en < < .


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Los pasos a seguir para evaluar una funcin con el criterio de la segunda derivada son:

1. Obtener la segunda derivada de la funcin.2. Determinar los puntos de inflexin, esto es los valores de x en la segunda derivada de la

funcin cuando = .3. Se marcan los puntos de inflexin en la recta numrica y se escoge un valor cualquiera entre

cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la segunda derivada, con lo que se

determinar el signo de la segunda derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos

antes y despus de los puntos de inflexin.4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el

siguiente criterio:

a. Si > 0, entonces la funcin es cncava hacia arriba en ese intervalo.b. Si < 0, entonces la funcin es cncava hacia abajo en ese intervalo.

Ejemplo: Considerando el criterio de la segunda derivada, determina los intervalos en

donde la funcin = es cncava hacia arriba o hacia abajo.Solucin: Aplicando el criterio de la segunda derivada, tenemos lo siguiente:

Calculado hasta la segunda derivada de la funcin: = = Igualando a cero la segunda derivada de la funcin:

0 = 12 2424 = 12

24

12=


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= Que son las races o valores de x, con lo que se puede observar que los intervalos

establecidos paraxen la derivada sern: (puntos de inflexin en la recta numrica):

+Evaluando la derivada de la funcin en los intervalos establecidos:

a. Para los valores entre ,, como por ejemplo entonces se tiene que la segundaderivada de la funcin en ese punto dar: 5 = 125 24

= Y como > 0, entonces la funcin es cncava hacia arriba en (, +)

b. Para los valores entre ,, como por ejemplo entonces se tiene que laderivada de la funcin en ese punto dar:

5 = 125 24 =

Y como > 0, ent

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