MATEMATICAS IV – CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 3

OBJETIVO: Que el estudiante relacione conocimientos de diversas disciplinas (sistemas y reglas o principios medulares) para estructurar ideas, argumentos y crear modelos que den solución a problemas surgidos de la actividad humana.

INDICE :

Derivadas: Definición Razón de cambio promedio de interpretación geométrica Derivadas de funciones algebraicas Derivadas sucesivas

Videos y páginas web recomendados para esta unidad

Bibliografía

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LA DERIVADAD

DEFINICION En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

EXPLICACION

1º IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)

 

Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fijate en ellos, observa la figura 2 ¿Qué puedes asumir con relación a su inclinación?

Respuesta: que tendrás que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el último tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.

Si establecemos el ángulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reduciéndose.

Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ¼ ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es

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la división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades ¿Cuál sería la pendiente en este caso?

Respuesta: La pendiente en ese caso sería de 10/5= 2.

 Eso que acabamos de explicar es la clave de la derivada. Así de sencillo.

La derivada nos muestra la evolución de la inclinación de los tablones a lo largo del trayecto.

Así que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ángulos de los tablones con relación a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 el coeficiente director es 0 ya que el tablón está paralelo al suelo, si a partir de ahí se fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando, en lugar de subir, el coeficiente director sería negativo. Si fuese bajando de modo simétrico al que ha ido subiendo encontraríamos los mismos índices angulares pero negativos.

 La derivada muestra la evolución de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva. ¿Lo has entendido?

Así que si remplazamos todos esos tablones por una solo tablero flexible que se posiciona sobre la escalera, podríamos decir que es una subida continua ya que la rueda de mi carro no siente ningún tipo de discontinuidad a lo largo del trayecto (no hay rupturas entre tablones) y escribiríamos una función continua f(x) que nos indicaría por cada punto que avanzamos en que punto de la altura nos encontramos. Mientras que la derivada sería una función f’(x) derivada de la anterior función que ya no nos da la altura sino que nos dice de cuánto cambia aquella función primitiva y la pendiente que tiene en cada punto del tablero flexible.

 Los matemáticos dicen que la derivada es la función f’(x) que da la tangente en cada punto de la curva f(x).

De todo esto lo importante es que lleguemos a imaginar y a visualizar con algún ejemplo como la derivada mide las evoluciones y los cambios de una variable (en el

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ejemplo, la altura de la escalera del dibujo) con relación a otra (la profundidad de la escalera del dibujo).

Ahora vamos a imaginar otras funciones en las que hay una derivada. ¿Se te ocurre alguna?

Por ejemplo el incremento de peso que has ido generando en función de los años. ¿Qué me dará la derivada? Eso ya lo podéis responder: la evolución de ese incremento de peso que no es otra cosa la evolución del ángulo de los tablones sobre la horizontal.

 ¿Para qué sirve entonces la derivada?

La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos.

Ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en economía, se utiliza en gestión, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de cálculo de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que ésta sea suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la aceleración con relación al tiempo.

Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicándola al estudio de puntos máximos y mínimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quien la integró en un sistema matemático que es una genialidad y que se llama el Cálculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemática de la ciencia clásica

TAREA 1: ¿QUE ENTENDISTE POR EL TERMINO DERIVADA?

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RAZÓN DE CAMBIO Y PROMEDIO DE INTERPRETACIÓN GEOMETRICA 

La razón de cambio también conocida como taza de cambio, de variación o de transferencia de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, es la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h. Es decir, la medida en que una variable cambia con respecto a otra, como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de cambio del espacio con respecto al tiempo: lim(Dx/Dt, t tiende a cero).

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO es el cociente de las diferencias de f durante el intervalo [a, b]. A la diferencia en las coordenadas x de los puntos de la gráfica de una función f se le llama incremento de x, se le denota mediante Δx que es igual a x2 – x1 es decir, Δx = x2 – x1 asimismo, Δy = y2 – y1 al formar el consiente de cambio en y con los cambios en x 

DERIVADA Y LA REGLA DE LOS 4 PASOS

SEA una función, se define a su derivada como:

1. se da incremento tanto en Y como en X (2. Se resta la función origina

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3. Se dividen los términos por incremento de x ( ) a esto se llama razón de cambio

4. Calcular el limite donde = 0 (esto es la derivada de la función)

Ejemplo 1 Encuentra la derivada de la función

Aplicando la regla de los 4 pasos

1. se da incremento tanto en Y como en X (

2. Se resta la función origina

3. Se dividen los términos por incremento de x ( ) a esto se llama razón de cambio

4. Calcular el limite donde = 0 (esto es la derivada de la función)

Este resultado se obtiene también, cuando se aplica directamente la formula como sigue:

Por lo tanto, la derivada de la función

Ejemplo 2 Encuentra la derivada de la función

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Por consiguiente la derivada es:

Ejemplo 3 Encuentra la derivada de la función

Simplificando

Entonces

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Ejemplo 4 Encuentra la derivada de la función

Se debe racionalizar

El resultado

TAREA 2: DESARROLLA UNA PRESENTACIÓN EN POWER POINT DE CÓMO SE RESUELVE LAS DERIVADA UTILIZANDO LA FORMULA DE LOS 4 PASOS. SE DEBERÁ RESOLVER DOS EJERCICIOS COMO MÍNIMO. LA PRESENTACIÓN DEBERÁ SER ENVIADA AL CORREO DEL DOCENTE. FINALMENTE ESTA EXPOSICIÓN SERÁ EXPUESTA EN CLASE. ANEXO: 1 LA RÚBRICA PARA EVALUAR ESTA PRESENTACIÓN SE ENCUENTRA AL FINAL DE ESTE CUADERNILLO

Deriva las siguientes funciones utilizando la definición.

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DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Reglas para determinar la derivada de una función algebraica

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FORMULA 1

1.

2.

3.

4.

EJEMPLO FORMULA 2 Y 3

1.

2.

10

3.

4.

5.

FROMULA 5

FORMULA 6 y FROMULA 4

11

FORMULA 7

1.

2.

3.

Nota: esto es lo que derivamos

4 .

12

FORMULA 8

FORMULA 9

FORMULA 10

13

FORMULA 11

1.

2.

3.

FORMULA 12

1. =

2.

14

3.

4.

FORMULA 13

1. =

2. = NOTA = (am)n = am · n

3.

NOTA = am · a n = am + n

4 =

FROMULA

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ADAPTACIONES

Ejemplo 1 derivar la función

Aplicando la formula 6

Ejemplo 2 deriva la función

Ejemplo 3 deriva la función

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Se utiliza la formula 6

Ejemplo 4

Formula 6

Ejemplo 5

Formula

Formula

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= =

VIDEOS Y SITIOS WEB RECOMENDADOS PARA ESTA UNIDAD

TEMA VIDEOS DE MATH2ME

¿Qué es la derivada? - Definición. https://www.youtube.com/watch?v=CG7mQgmgXC0

Aplicación de la derivada en la caída de una escalera

https://www.youtube.com/watch?v=3yQRVIb0108

Razon de cambio https://www.youtube.com/watch?v=QMik3hHNHys

Derivadas de funciones algebraicas https://www.youtube.com/watch?v=-91UZ9S19Oo

Derivadas de funciones algebraicas ejemplo 17

https://www.youtube.com/watch?v=KSNaaSkM8g0

Derivadas sucesivas y regla de la cadena - Cálculo - Educatina

https://www.youtube.com/watch?v=6iK706xmSC8

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ANEXOS ECA3_2015Asignatura: Cálculo Diferencial Instrumento de evaluación: Rubrica 1 para

evaluar la TAREA 2(presentación de power point: Derivación por el método de los 4 pasos.

Alumno: Plantel: CETis No. 47

Grupo:

Profesor: Fecha: Puntaje obtenido:

Competencia a evaluar: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

Elementos a Evaluar Calificación10 - 9 8 -7 6 5

Dominio del tema Demuestra un gran dominio del tema.

Demuestra un buen conocimiento del tema

No parece conocer muy bien el tema

No conoce el tema

Seguimiento del tema

Las ideas se exponen con precisión, ordenadamente y con coherencia.

Las ideas se exponen con buen orden.

Existe poca claridad que genera confusión. Difícil seguimiento del tema

Fue difícil saber cuál fue el tema

Fundamento personal

Da a conocer su opinión respecto al tema, respaldado en la investigación realizada.

Duda al dar su opinión respecto al tema

Da a conocer su opinión en forma no clara o entendible

No da a conocer su opinión personal

Comprensión del tema

Puede con precisión contestar todas las preguntas planteadas sobre el tema, ya sea por sus compañeros o por su profesor

Puede con precisión contestar la mayoría de las preguntas planteadas sobre el tema, ya sea por sus compañeros o por su profesor

Puede con precisión contestar pocas preguntas planteadas sobre el tema, ya sea por sus compañeros o por su profesor

No puede contestar las preguntas planteadas sobre el tema, ya sea por sus compañeros o por su profesor

Seguridad en la exposición de su trabajo

Habla con voz clara y pausada, ve directamente a su audiencia, buena expresión corporal y entusiasmo.

Habla con voz clara y pausada, mantiene la vista en la presentación y ocasionalmente ve a la audiencia, muestra nerviosismo en su expresión corporal pero es entusiasta.

Habla rápido con voz media, se enfoca en el profesor o en las diapositivas. Muestra nerviosismo en su expresión corporal.

No se escucha cuando habla, se enfoca en su presentación y muestra nerviosismo.

Calidad de las Diapositivas

Las diapositivas tienen un buen balance en su contenido y en el diseño. Un buen balance en el contraste de colores que hace aprecia la información.

Las diapositivas tienen un buen balance en su contenido y en el diseño, pero la gama de colores y el tipo de letra no permiten apreciar bien la información del tema.

Las diapositivas muestran “copia y pega”, están saturadas de información, lo que dificulta apreciar la información.

Las diapositivas muestran “copia y pega”, están saturadas, mala elección de colores y la información no es legible.

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Calificación /60 =

BIBLOGRAFIA

Conamat (2009), Cálculo diferencial Primera edición, México: Editorial Pearson.

http://calculocbta127.blogspot.mx/2015/03/24-operaciones-con-funciones.html

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