Unidad i las matematicas en las finanzas

UNIDAD I LAS MATEMATICAS EN LAS

FINANZAS

IDENTIFICAR OPORTUNIDADES DE FINANCIAMIENTO QUE OFRECEN UNA TASA ADECUADA DE INTERES, CON EL PROPOSITO DE PROPONER SOLUCIONES AUTOMATIZADAS QUE FACILITEN A LA GERENCIA LA TOMA DE DECISIONES.

Del latín interesse (“importar”), el término interés tiene un uso en las finanzas vinculado al valor, la utilidad y la ganancia. Por eso se conoce como interés al lucro que produce el capital.

SE LLAMA INTERÉS SIMPLE A LA OPERACIÓN FINANCIERA DONDE INTERVIENE UN CAPITAL, UN TIEMPO PREDETERMINADO DE PAGO Y UNA TASA O RAZÓN, PARA OBTENER UN CIERTO BENEFICIO ECONÓMICO LLAMADO INTERÉS.

En cuanto a la definición de interés simple, se trata de los intereses que produce una inversión en el tiempo gracias al capital inicial. Por lo tanto, el interés simple se calcula en base al capital principal, la tasa de interés y el periodo (el tiempo de la inversión).

LO IMPORTANTE A LA HORA DE CONSIDERAR AL INTERÉS SIMPLE ES QUE LOS INTERESES PRODUCIDOS POR EL CAPITAL EN UN DETERMINADO PERIODO NO SE ACUMULAN AL MISMO PARA GENERAR LOS INTERESES CORRESPONDIENTES AL SIGUIENTE PERIODO.

ESTO QUIERE DECIR QUE EL INTERÉS SIMPLE QUE GENERE EL CAPITAL INVERTIDO SERÁ IGUAL EN TODOS LOS PERIODOS DE DURACIÓN DE LA INVERSIÓN, SIEMPRE QUE LA TASA Y EL PLAZO NO VARÍEN.

LA FÓRMULA MAS CONOCIDA DE INTERÉS SIMPLE ES:

ut

TRCI

.100

..

DONDE :

I es el interés o dinero a cobrar o pagar C es el capital o dinero a considerar R es la tasa o razón T es el tiempo pactado de la operación ut es la unidad del tiempo considerado.

ut

TRCI

.100

..

FORMULA DE INTERES SIMPLE

LA UNIDAD DE TIEMPO ES EL VALOR NUMÉRICO DE LA FRASE QUE APARECE EN LA RAZÓN

ejemplo : razón 4 % anual

representa: 1 año = 12 meses = 2 semestres = 3

cuatrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 360 días

El tiempo dado T y la razón deben tener las

mismas unidades antes de sacar cuentas

Calcular el interés Simple producido por un capital de $5,000.00 colocado durante 3 años al 9 % anual.

FORMULA =

DATOS SOLUCION: C = $5,000.00 T = 3 años I= $5,000.00 * 9 *3 I=1,350.00 R = 9% Anual 100 * 1 ut = 1 año I=$5,000.00 *9 = $45,000.00 I=$45,000.00 *3 =$135,000.00 ut =100 * 1 = 100 I = $135,000.00/100 =

RESULTADO DE I $1,350.00

ut

TRCI

.100

..

Un capital de $4,000.00 es colocado al 5 % mensual durante 3 Trimestres, calcular en interés ganado:

FORMULA DATOS SOLUCION DONDE: C =$4,000.00 I=$4,000.00 * 5 * 9 =

R = 5 % mensual I= $4,000.00 *5 = $20,000.00 ut = 1 mes I=$20,000.00*9 = 180,000.00 T = 3 trimestres = 9 meses ut= 100*1=100

I= $180,000.00/100= $1,800.00

I = C .i . n

La matemática financiera comienza luego de este tema a utilizar una fórmula reducida de interés simple con el objeto de poder llegar a deducir otras más complejas, por lo tanto se realizan las siguientes modificaciones:

I es el interés o dinero a cobrar o pagar C es el capital o dinero a considerar =$3,000.00 R es la tasa o razón = 5% anual T es el tiempo pactado de la operación = 2 semestres ut es la unidad del tiempo considerado. = 1

Tasa i = R Período > n = T despejamos 5/100=0.05 y 12/1=12 100 ut ahora se reemplazan la tasa ( i ) y el período (n) en la fórmula primitiva :

La fórmula principal queda reducida a I = C .i . n

=$3,000.00*0.05*12= $1,800.00

1.- Calcular el interés Simple producido por un capital de $2,000.00 colocado durante 2 años al 5 % anual.



EJERCICIOS PARA RESOLVER

UNIVERSIDAD JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO

EJERCICIO RESUELTO


DATOS FORMULA SOLUCION

I= ?C= $2,000.00R= 5% ANUALT = 2 AÑOSUt = 1 ANUAL

C.R.T 100.utI=

I =C.i.n

I= $2,000.00(5)(24)I=$2,000.00*5=10,000.00I=$10,000.00*24=240,000.00Ut=100*1=100I= 240,000/100=$2,400.00

I= $2,000.00*0.05*24=$2,400.00


EJERCICIOS RESUELTOS



I= ?C= $3,000.00R= 4% ANUALT = 6 AÑOSUt = 1

I= C.R.T 100.ut

I =C.i.n

I= $3,000.00(4)(72)I=$3,000.00*4=$12,000.00I=$12,000.00*72=$864,000.00Ut=100*1=100I= $864,000.00/100=$8,640.00

I= $3,000.00*0.04*72=$8,640.00





I= ?C= $8,000.00R= 6% ANUALT = 3 AÑOSUt = 1

I= C.R.T 100.ut

I =C.i.n

I= $8,000.00(6)(36)I=$8,000.00*6=$48,000.00I=$48,000.00*36=$1,728,000.00Ut=100*1=100I= $1,728,000.00/100=$17,280.00

I=$8,000.00*0.06*36=$17,280.00

1.-Un capital de $3,000.00 es colocado al 2 % mensual durante 2 Trimestres, calcular en interés ganado:


3.-Un capital de $1,000.00 es colocado al 10 % mensual durante 2 bimestres, calcular en interés ganado:



I= ?C= $3,000.00R= 2% ANUALT = 2 TRIMESTRES= 6 MESES

Ut = 1

I= C.R.T 100.ut

I= $3,000.00(2)(6)I=$8,000.00*2=$6,000.00I=$6,000.00*6=$36,000.00Ut=100*1=100I= $36,000/100=$360.00

I=$3,000.00*0.02*6=$360I =C.i.n





I= ?C= $10,000.00R= 4% ANUALT = 3 TRIMESTRES= 9 MESES

Ut = 1

I= C.R.T 100.ut

I= $10,000.00(4)(9)I=$10,000.00*4=$40,000.00I=$40,000.00*9=$360,000.00Ut=100*1=100I= $360,000/100=$3,600.00

I=$10,000.00*0.04*9=$3,600.00I =C.i.n




3.-Un capital de $1,000.00 es colocado al 10 % mensual durante 2 bimestres, calcular en interés ganado:

I= ?C= $1,000.00R= 10% ANUALT = 2 BIMESTRES= 4MESES

Ut = 1

I= C.R.T 100.ut

I= $1,000.00(10)(4)I=$1,000.00*10=$10,000.00I=$10,000.00*4=$40,000.00Ut=100*1=100I= $40,000/100=$400.00

I=$1,000.00*0.1*4=400.00I =C.i.n



MONTO

ES EL CAPITAL COLOCADO MAS EL INTERES GANADO.

El monto se obtiene al sumar el capital con el interés simple, al final del tiempo de préstamo. El monto se representará con la letra M. De acuerdo a lo indicado en la definición, se puede decir que el monto es igual a: M = C + I

M = C + I

Combinando ambas fórmulas >> M = C + C .i . n

Factoreando (factor común, inversa de la

propiedad distributiva) >>>>>>>>>M = C . ( 1 + i . n )

I = C .i . n

MONTO

Un capital de $5,000.00 se colocan en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar el valor del interés y del monto.

C= $5,000.00 T = 8 bimestres = 16 meses Primero se debe “arreglar” los tiempos…R = 4 %

mensual Luego si R = 4% entonces i = 0,04 Al estar los tiempos convertidos el Tiempo es igual

al período “n” ….n = 16

DATOS FORMULA RESULTADO

C= $5,000.00 I = C . i . n = $5,000.00 * 0.04*16= I=$3200.00 T = 8 bimestres n = 16 R= 4% mensual i = 0.04 M = C + I = $5,000.00+$3,200.00 M=$8,200.00

En este caso se podría hallar también con la otra fórmula: M = C . ( 1 + i .n ) M = $5,000.00 .( 1 + 0.04 .16 )=1.64 M= $5,000.00 .( 1.64) M= $5,000.00 . 1,64 = $8,200.00

M=8,200.00

Un capital de $800.00 se transformó en $850.00 en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual. DATOS FORMULASC =$ 800.00 I = C . i . nM =$850.00 por lo tanto I = $50 I C nT = 2 bimestres = 4 meses. $50 = $800 .i . 4i=? $50 =$3,200.00 .i $50 / 3,200.00 = i 0,015 = i

Esto significa que la tasa mensual es 0,015 o la razón 1,5 % mensual.

i=

MC t

-1

Un cierto capital se transformó en $25,000.00 en dos trimestres, si se aplicó un 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital inicial ?

C = x ( hay que averiguar) M = $25,000.00 T = 2 trimestres = 6 meses R = 3 % MENSUAL i = 3 /100 = 0. 03

Con estos datos la única fórmula capaz de resolver el problema es:

FORMULA = C . ( 1 + i . n )

M= $25,000.00 = x . ( 1 + 0,03 . 6 ) M= $25,000.00 = x . ( 1 + 0.18 ) M= $25,000.00 = x . 1,18 M= $25,000.00 / 1.18 = x C= $21,186,44 = x >>>> C = $ 21,186.44

C= M1+it

UNA PERSONA COMPRA UN REPRODUCTOR DE DISCO COMPACTOS QUE CUESTA $1,500.00. PAGA UN ENGANCHE DE $800.00 Y ACUERDA PAGAR OTROS $800.00 TRES MESES DESPUES. ¿QUE TIPO DE INTERES SIMPLE PAGO?

SOLUCION:

C= $1,500.00- $800.00=700.00 , LA CANTIDAD QUE QUEDA A DEBERt= 3/12=0.25I = $800.00 - $700 =$100

Y, CON I = Cit

$100.00 = $700.00 i (0.25)$100.00 = i (700.00) (0.25) = $175.00 i= (100.00/175.00) i=0.57142857

PAGO UN INTERES SIMPLE DE 57.14%, 4.76% MENSUAL

I C X t

UNA PERSONA COMPRA UN AUTOMOVIL EL PRIMERO DE ENERO EN $195,000.00 Y LO VENDIO 17 MESES DESPUES EN $256,000.00 .

¿QUE TASA DE INTERES SIMPLE ANUAL LE RINDIO SU INVERSION?

SOLUCION:

C=$195,000.00 De M =C(1+it) $256,000.00= $195,000.00 [1+i(17/12)]

M=$256,000.00 $256,000.00 = 1+17/12 i= 1.312821

t = 17/12 meses $195,000.00

I = ? 17i = 1.312821 -1 = 0.312821

12

I= 12 (0.312821) = 0.220814

17

La tasa es de 0.2208 anual simple.

Nótese que si se hubiera preguntado el tipo de interés la respuesta hubiera sido, convirtiendo simplemente a porcentaje: 22.08% de interés anual simple.

¿Cuál ES LA TASA DE INTERES SIMPLE MENSUAL EQUIVALENTE A UNA TASA DEL 54% ANUAL?

i= 0.54 = 0.045 o 4.5% mensual. 12

¿Cuál ES EL TIPO DE INTERES MENSUAL SIMPLE EQUIVALENTE A UNA TASA DEL 0.165 SEMESTRAL?

i = 0.165 = 0.0275 = 2.75 % mensual

6

EN CUANTO TIEMPO SE DUPLICA UN CAPITAL INVERTIDO AL 49% DE INTERES ANUAL SIMPLE?

De M= C(1+it) Suponiendo M= 2 y C = 1 2= 1[1+(0.49)t] 1+0.49 t = 2 0.49 t=2-1=1 t=1/0.49 t=2.04 años.04años =365(.040) días = 14.84 días t= 2 años y 15 días, aproximadamenteNótese que para calcular esto solo se necesito suponer un monto

del doble de cualquier capital. Utilizando M=30 C= 15 30 = 15(1+0.49 t) 30/15= 1+0.49 t 2= 1+0.49 t que es la misma expresión anterior.

¿en cuanto tiempo se acumularían $5,000.00 si se depositaran hoy $3,000.00 en un fondo que paga 4% simple mensual?.

M=$5,000.00 C=$3,000.00 i = 0.04 mensual $5,000.00 = $3,000.00 (1+0.04t) 5,000.00 3,000.00

1.66667= 1+0.04t 0.04t = 0.666667 t=0.666667/0.04 t= 16.67 meses Como la tasa i esta dada en meses, el resultado que se obtiene en t

también esta en meses, y 0.67 meses = 0.67 (30) días = 20.1 días; entonces, se acumulan $5,000.00, si se depositan hoy$3,000.00 a 4% mensual simple en 16 meses y 20 días, aproximadamente

= 1+0.04 t

ES IMPORTANTE ACLARAR QUE EL CAPITAL Y EL VALOR REPRESENTA LO MISMO, SOLO QUE EN CONTEXTOS DIFERENTES: EL CAPITAL ES UNA CANTIDAD QUE SE INVIERTE PARA OBTENER DESPUES UN MONTO SUPERIOR, Y EL VALOR ACTUAL, PRECISAMENTE, EL QUE TIENE EN ESTE MOMENTO UNA CANTIDAD CUYO VALOR SE HA PLANTEDO EN UNA FECHA FUTURA, EN ULTIMA INSTANCIA, AMBOS CONCEPTOS SE PUEDEN PENSAR Y PLANTEAR UNO EN FUNCION DEL OTRO.

EL SEÑOR CHAVEZ TIENE UNA DEUDA DE$21,400.00 QUE DEBE PAGAR DENTRO DE DOS MESES. SI LA OPERACIÓN ESTA PACTADA A 42% ANUAL DE INTERES SIMPLE, ¿CUANTO DEBERIA PAGAR PARA SALDAR SU DEUDA EL DIA DE HOY?.

RESUMIENDO Y ABUNDANDO SOBRE EL EJEMPLO: C=$20,000.00 I=$1,400.00 t= 1/6 i= 0.42 M=$21,400.00 Y SE PUEDE OBSERVAR QUE, EN GENERAL M = C + I $21,400.00 = $20,000.00 $1,400.00 EL MONTO ES IGUAL AL CAPITAL MAS LOS INTERESES

I = C i t 1,400.00 = $20,000.00 (0.42) (1/6) EL INTERES ES IGUAL AL CAPITAL MULTIPLICADO POR LA TASA Y LUEGO POR EL

TIEMPO. COMBINANDO LAS DOS EXPRESIONES ANTERIORES: M= C + Cit M=C(1-it)=20 000.00[1+0.42(1/6)]=20 000.00(1.07)=21 400.00

AL FACTOR (1 + it) SE LE CONOCE COMO FACTOR DE ACUMULACION DE INTERES SIMPLE. OTRA RELACIÓN QUE SE PUEDE OBSERVAR ES:

M = C (1 + it)

C =__M__= M (1 + it)-1 = 21 400. 00 (1.07)-1 = 21 400.00(0.934579) (1 + it)

C= 20 000.00


ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES

ES UN CASO MUY FRECUENTE, Y POR ESO ES MAS IMPORTANTE, QUE EN LAS OPERACIONES FINANCIERAS HAYA DOS O MÁS TRANSACCIONES DIFERENTES QUE DEBAN REPLANTEARSE PARA EXPRESARLAS EN UNA OPERACIÓN UNICA.

ESTE CONCEPTO DE ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES ES UNO DE LO MAS IMPORTANTES EN MATEMATICAS FINANCIERAS.



LAS ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES SURGEN CUANDO DE UN FLUJO DE EFECTIVO SE QUIERE DETERMINAR EL VALOR DE UNO A VARIOS DE ELLOS BAJO DETERMINADAS CONDICIONES; POR EJEMPLO, UN VALOR DE CONTADO SE SUSTITUYE POR UN CONJUNTO DE 1 O MAS PAGOS. PARA PLANTEAR LAS ECUACIONES EQUIVALENTES SIEMPRE USAN LAS FORMULAS YA VISTAS DEL INTERES SIMPLE, A SABER: EL INTERES, EL MONTO Y EL DESCUENTO.

M= C(1 + it)

EL MONTO M ES EQUIVALENTE A UN CAPITAL C, COLOCADO A UN TIEMPO t Y UNA TASA i.



EN LOS EJEMPLOS SIGUIENTES SE MUESTRA EL PLANTEAMIENTO Y LA SOLUCION DE ALGUNOS PROBLEMAS DE INVERSIÓN CON INTERESES, DONDE SE APLICAN LAS ECUCACIONES DE VALORES EQUIVALENTES.

1.UNA INVERSIÓN DE $45,000 SE RECUPERA CON TRES PAGOS IGUALES, UNO A TRES MESES, EL SEGUNDO A CINCO MESES Y EL ULTIMO A SIETE MESES. CON LA TASA DEL 12% ANUAL, DETERMINA EL VALOR EN CADA PAGO.

ECUACIÓN:

C= M 45,000= 15,745.83 + 15,745.83 + 15,745.83

1+ it 1+0.1(3) 1+0.1(5) 1+0.01(7)X= $ 15,745.83



2. EL 15 DE JUNIO DE ESTE AÑO, UN EMPRESARIO CONTRATO LOS SIGUIENTES CREDITOS QUE YA INCLUYEN INTERESES: $ 100,000, PAGADEROS EL 15 DE AGOSTO; $ 200, 000, CON VENCIMIENTO EL 15 DE OCTUBRE, Y $ 300, 000, QUE DEBEN SALDARSE EL 15 DE DICIEMBRE. DETERMINA EL VALOR PRESENTE DE LAS TRES DEUDAS, APLICANDO LA TASA DEL 15% ANUAL SIMPLE.

ECUACIÓN:

C= 100,000 + 200,000 + 300, 000 1+ 0.125(2) 1+ 0.125(4) 1+ 0.0125(6)

C = $ 567, 106.93



3. EN CIERTA FECHA UNA PERSONA FIRMO UN PAGARE POR $ 120 000 A 90 DIAS, A 25%. TREINTA DIAS DESPUÉS, CONTRAJO UNA DEUDA POR 100 000 PARA PAGARLA A 12 MESES DESPUÉS, SIN INTERESES. DOS MESES DESPUÉS DE LA PRIMERA FECHA, ACORDO CON UN ACREEDOR PAGAR $ 150 000 EN ESE MOMENTO Y, PARA SALDAR EL RESTO DE LA DEUDA, HACER UN PAGO FINAL 3 MESES DESPUES DE LA ULTIMA FECHA, CON INTERESES DEL 30%. DETERMINESE EL PAGO FINAL CONVENIDO.

SOLUCION

EN PRIMER LUGAR, CONVIENE IDENTIFICAR QUE SON 4 LAS OPERACIONES IMPLICADAS, 2 DE CONTRATACIÓN DE DEUDA Y 2 DE PAGO. POR OTRO LADO OBSERVESE QUE EL VALOR TOTAL DE LAS OPERACIONES DE ADEUDO DEBE SER IGUAL AL VALOR TOTAL DE LAS OPERACIONES DE PAGO:



OPERACIONES DE CONTRATACIÓN DE DEUDA

OPERACIONES DE PAGO

I. $ 120 000 A 90 DIAS A 25% A. $ 150 000 2 MESES DESPUES

II. 30 DIAS DESPUÉS $ 100 000 A DOS MESES, SIN INTERES.

B. PAGO FINAL (DESCONOCIDO), 5 MESES DESPUES DE LA PRIMERA FECHA.



CON BASE EN EL CUADRO ANTERIOR SE PUEDE PLANTEAR LA EQUIVALENCIA EN ESTE SIMPLE EJEMPLO, COMO:

I + II = A+ BDE ESTA IDEA PROVIENE EL NOMBRE DE ECUACIONES EQUIVALENTES.

SE ACOSTUMBRA A UTILIZAR LO QUE SE CONOCE COMO “DIAGRAMA DE TIEMPO Y VALOR” PARA REPRESENTAR LA SITUACIÓN GRAFICAMENTE:



0 1 2 3 4 5

120 000I

100 000II

150 000A

X

B

SOBRE LA RECTA SE PRESENTA EL TIEMPO; EN ESTE CASO, EN MESES.

SOBRE EL TIEMPO 0 ESTA MARCADA LA OPERACIÓN I

SOBRE EL TIEMPO 1 ESTA MARCADA LA OPERACIÓN II

SOBRE EL TIEMPO 2 ESTA MARCADA LA OPERACIÓN A

SOBRE EL TIEMPO 5 ESTA MARCADA LA OPERACIÓN B



EN ESTA ULTIMA OPERACIÓN, LA X REPRESENTA LA CANTIDAD QUE ESTA BUSCANDO.

AHORA BIEN, PARA DETERMINAR LA EQUIVALENCIA ES NECESARIO ENCONTRAR EL VALOR DE LAS DIFERENTES OPERACIONES EN UNA SOLA FECHA PARA QUE SEA POSIBLE COMPARARLAS. ESTO ES ASI POR QUE, COMO SE SABE, EL VALOR DEL DINERO ES DIFERENTES EN TIEMPOS DIFERENTES, Y LAS OPERACIONES ESTAN PLANTEADAS EN TIEMPOS DISTINTOS.

LA FECHA QUE SE ELIGE PARA HACER COINCIDIR EL VALOR DE LAS DIFERENTES OPERACIONES SE CONOCE COMO FECHA FOCAL, Y EN EJEMPLO ES FACIL VER QUE RESULTA CONVENIENTE ESCOGER COMO FECHA FOCAL EL MOMENTO EN QUE SE DEBE REALIZAR EL PAGO FINAL PARA SALDAR TODAS LAS OPERACIONES (5 MESES DESPUÉS DE LA PRIMERA FECHA.



ASI,

I.EL VALOR DE LA OPERACIÓN I DENTRO DE 5 MESES ES:

120 000 [1 + (0.25)(3/12)]= 127 500 QUE ES SU VALOR A LOS 90 DIAS (3 MESES)

Y LUEGO DE SU VALOR A 90 DIAS HASTA 5º. MES (2 MESES MAS), A 30% QUE FUE LO CONVENIDO PARA SALDAR LA OPERACIÓN.

127 500 [1 + (0.30)(2/12)]= 127 500(1.0500)= 133 875

LA OPERACIÓN I (120 000 EN EL TIEMPO 0) EQUIVALE A $ 133 875 EN 5 MESES.



II. PARA LA OPERACIÓN II:

ESTA OPERACIÓN SE CONTRATO SIN INTERESES, POR ELLO VALE 100 000 DOS MESES ANTES DE LA FECHA FOCAL Y EN ESTA SU VALOR SERA:

100 000 [1 + (0.30)(2/12)]= 100 000 (1.0500)= 105 000

A.PARA ESTA, LOS $ 150 000 QUE PAGO A LOS 2 MESES, VALEN AL QUINTO MES:

150 000 [1 + (0.30)(3/12)]= 150 000(1.075)= $161 250

B. FINALMENTE, X SE REALIZARA EN LA FECHA FOCAL POR LO QUE ESTARA DADO A SU VALOR EN ESE MOMENTO.



SIGUIENDO CON EL PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN DE VALORES EQUIVALENTES.

VALOR TOTAL DE LAS DEUDAS = VALOR TOTAL DE LOS PAGOSI+II= A + B

133 875 + 105 000= 161 250 + XX= 133 875 + 105 000- 161 250

X=77 625CANTIDAD QUE HABRA DE PAGAR EN EL QUINTO MES PARA SALDAR TODAS LAS OPERACIONES.



AHORA OBSERVEMOS EN FORMA RESUMIDA TODO LO QUE SE HIZO PARA LLEGAR A LA SOLUCIÓN.

VALOR TOTAL DE LAS DEUDAS= VALOR TOTAL DE LOS PAGOS

I+II= A+B133 875 + 105 000 = 161 250 + X

127 500(1.0500)+100 000(1.0500)=150 000(1.0750)+ X120 000(1.0625)(1.0500)+100 000(1.0500)=150 000(1.0750) + X120 000 [1 + (0.25)(3/12)] [1 + (0.30)(2/12)]+100 000 [1 + (0.30)(2/12)]= 150 000 [1 + (0.30)(3/12)]+ X

ESTA EXPRESION REPRESENTA EL PLANTEAMIENTO COMPLETO, DONDE A CADA CANTIDAD SE LE APLICARAN LOS VALORES CORRESPONDIENTES DE TIEMPOS Y TASAS DE INTERES PARA ENCONTRAR SU VALOR EN LA FECHA FOCAL.

EN LOS CASOS DE INTERES SIMPLE ES MUY IMPORTANTE IDENTIFICAR LA FECHA FOCAL DE ACUERDO CON LO PACTADO EN LAS OPERACIONES, PUES EL CAMBIO DE FECHA FOCAL PRODUCE VARIACIONES EN LAS CANTIDADES.


EJERCICIO 2

UNA PERSONA CONTRAJO UNA DEUDA HACE 8 MESES POR $200,000.00 CON 40% DE INTERES SIMPLE, Y QUE VENCE DENTRO DE 4 MESES. ADEMAS, DEBE PAGAR OTRA DEUDA DE $150,000.00 CONTRAIDAS HACE 2 MESES, CON 35% DE INTERES SIMPLE Y QUE VENCE DENTRO DE DOS MESES. CONSIDERANDO UN INTERES DE 42%, ¿Qué PAGO DEBERA HACER HOY PARA SALDAR SUS DEUDAS, SI SE COMPROMETE A PAGAR $100,000.00 DENTRO DE 6 MESES?


SOLUCION DEL EJERCICIO.

LA FECHA FOCAL ES EL DIA DE HOY.

EL DIAGRAMA DE TIEMPO Y VALOR ES:

-8

$200,000

-7 1-5 -4 -3 -2 -1 0X

-6 2 3 4 5 6

$150,000

$100,000


SOLUCION EJERCICIO

EL VALOR DE LA PRIMERA DEUDA A SU VENCIMIENTO ES:

200,000.00 [1+0.40(12/12)]200,000.00(1.4) = $280,000.00

Y SU VALOR EN LA FECHA FOCAL

280,000.00 = 280,000.00 =$245,614.04 1+(0.42)(4/12) 1.14

EL VALOR DE LA SEGUNDA DEUDA A SU VENCIMIENTO ES:150,000 [1+0.35(4/12)] = 167,500.00

Y SU VALOR EN LA FECHA FOCAL167,500.00 = 167,500 = 156,542.061+(0.42)(2/12) 1.07

EL VALOR DE 100,000.00 EN LA FECHA FOCAL100,000.00 = 100,000.00 = $82,644.631+(0.42)(6/12) 1.21

EN DONDE X= 245,614.04 + 156,542.06 – 82,644.63X= $319,511.47


1.2. INTERÉS COMPUESTO

INTRODUCCIÓN

EL DINERO Y EL TIEMPO SON DOS FACTORES QUE SE ENCUENTRAN ESTRECHAMENTE LIGADOS CON LA VIDA DE LAS PERSONAS Y DE LOS NEGOCIOS. CUANDO SE GENERAN EXEDENTES DE EFECTIVO, SE AHORRAN DURANTE UN PERIODO DETERMINADO A FIN DE GANAR UN INTERES QUE AUMENTE EL CAPITAL ORIGINAL DISPONIBLE; EN OTRAS OCASIONES, EN CAMBIO, SE TIENE NECESIDAD DE RECURSOS FINANCIEROS DURANTE UN TIEMPO Y SE DEBE PAGAR UN INTERES POR SU USO.

EN PERIODOS CORTOS POR LO GENERAL SE UTILIZA, EL INTERES SIMPLE. EN PERIODOS LARGOS, SIN EMBARGO, SE UTILIZARÁ CASI EXCLUSIVAMENTE EL INTERES COMPUESTO.



EN EL INTERES SIMPLE EL CAPITAL ORIGINAL SOBRE EL CUAL SE CALCULAN LOS INTERESES PERMANECEN SIN VARIACIÓN ALGUNA DURANTE TODO EL TIEMPO QUE DURA LA OPERACIÓN. EN EL INTERES COMPUESTO, EN CAMBIO, LOS INTERESES QUE VAN GENERANDO SE VAN INCREMENTANDO AL CAPITAL ORIGINAL EN PERIODOS ESTABLECIDOS Y, A SU VEZ, VAN A GENERAR UN NUEVO INTERES ADICIONAL PARA EL SIGUIENTE LAPSO.

SE DICE ENTONCES QUE EL INTERES SE CAPITALIZA Y QUE SE ESTA EN PRESENCIA DE UNA OPERACIÓN DE INTERESES COMPUESTOS.

EN ESTAS OPERACIONES, EL CAPITAL NO ES CONSTANTE A TRAVÉS DEL TIEMPO, PUES AUMENTA AL FINAL DE CADA PERIODO POR LA ADICION DE LOS INTERESES GANADOS DE ACUERDO CON LA TASA CONVENIDA.


1.2. INTERÉS COMPUESTOEJEMPLO:

SUPONGASE QUE SE DEPOSITAN $ 100 000 EN UNA CUENTA DE AHORROS QUE PAGA 10% DE INTERES SEMESTRAL (20% DE INTERES ANUAL):

¿CUÁL SERÁ EL INTERÉS GANADO AL CABO DE 6 MESES?

I=CitI= 100 000(0.10)(1)

I= 10 000

SUPÓNGASE QUE SE DEPOSITAN OTROS $ 100 000 EN UNA CUENTA DE VALORES QUE PAGA EL 20% DE INTERES CONVERTIBLE TRISMETRALMENTE. ¿CUÁL SERÁ EL INTERES GANADO AL CABO DE 6 MESES? (NOTA: LA TASA DE INTERES NOMINAL ES LA MISMA EN AMBOS CASOS: 5% TRIMESTRAL= 20% ANUAL.)



i trimestral= 20% anual 4 trimestres 1er. Trimestre I= Cit I= 100 000(0.05)(1) I= 5 000 2º. Trimestre I=(C+I)it I=(100 000+ 5 000)(0.05)(1) I=105 000 I=5 250 I TOTAL= I 1er. Trimestre + I 2º trimestre I TOTAL= 5 000 + 5 250 I= 10 250EL INTERES EN EL SEGUNDO CASO ES SUPERIOR AL GANADO EN EL PRIMERO PUES, AL ACUMULAR AL FIN DEL 1ER. TRIMESTRE AL CAPITAL ORIGINAL EL INTERES GANADO, EL PRODUCTO DEL SEGUNDO TRIMESTRE SERÁ SUPERIOR AL DEL PRIMERO.

= 5%

UNIVERSIDAD JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO1.2. INTERÉS COMPUESTO

EL CAPITAL EN ESTE CASO SE INCREMENTA POR LA ADICION DE LOS INTERESES AL FINAL DE CADA PERIODO Y ESTOS, A SU VEZ, SE INCREMENTAN AL SER CALCULADO SOBRE UNA BASE CADA VEZ MAYOR. LA CANTIDAD ACUMULADA AL FINAL DE LA OPERACIÓN ES CONOCIDA COMO MONTO COMPUESTO. LA DIFERENCIA ENTRE EL MONTO COMPUESTO Y EL CAPITAL ORIGINAL ES EL INTERES COMPUESTO.


MONTO COMPUESTO

EN UNA DEMANDA CIVIL POR EL COBRO DE $25,000.00 EL JUEZ ORDENA A LUCIA EL PAGO DE LA CANTIDAD ADEUDADA, CON LA TASA DE INTERES COMPUESTO DEL 9% ANUAL DURANTE 3 AÑOS. QUE FUE ELPLAZO EN QUE LA DEUDOR DEJO DE CUMPLIR CON SU COMPROMISO.

LA DEUDA QUE LUCIA ESTA OBLIGADA A CUBRIR SE CALCULA DE LA SIGUIENTE MANERA:

1RO. EL CAPITAL ORIGINAL ES DE $25,000.00, LOS MONTOS POR PERIODOS SE REGISTRAN EN LA SIGUIENTE TABLA:

EL INTERES EN EL PRIMER AÑO (25,000.00(0.09)=$2,250.00

EL MONTO AL FINAL DEL PRIMER AÑO (NUEVO CAPITAL)

25,000.00 + 2,250 = 27,250.00

EL INTERES EN EL SEGUNDO AÑO (27,250.00)(0.09) = 2,452.50

MONTO AL FINAL DEL SEGUNDO AÑO

27,250.00+2452.50= 29,702.50

EL INTERES EN EL TERCER AÑO ES

(29,702.50)(0.09) = 2,673.23


MONTO COMPUESTO

ENTONCES LOS SALDOS ANUALES DE LA DEUDA SE RESUMEN EN LA TABLA:

DEUDA 27,250.00 29,702.50 32,375.70

TIEMPO 1 2 3TABLA 1.- MONTO CON INTERES COMPUESTO

EN ESTE EJEMPLO EL PERIODO ES ANUAL, POR ESO EL MONTO DE LA INVERSION SE CALCULA CADA AÑO, QUE ES EL TIEMPO EN QUE EL INTERESSE CONVIERTE EN CAPITAL.LA REPRESENTACION GRAFICA DEL MONTO DE UNA INVERSION CON EL INTERES COMPUESTO ES UNA CURVA QUE SE DENOMINA EXPONENCIAL LACUAL SE MUESTRA DE LA SIGUIENTE MANERA: MONTO

35,000

30,000

25,000

20,000

15,000

10,000

5,000

1 2 3 AÑOS

1 - - - -1

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

- - - -

Y - - - -


INTERES COMPUESTO

DE LO ANTERIOR CONCLUIMOS:

EL INTERES COMPUESTO ES UNA OPERACIÓN FINANCIERA DONDE SE REINVIERTE EL INTERES QUE SE GENERA POR UN CAPITAL INICIAL. EL INTERES ES CAPITALIZABLE O COVERTIBLE EN CAPITAL EN CADA PERIODO; COMO CONSECUENCIA, EL INTERES GANA INTERES.

EL NUMERO DE VECES QUE SE CAPITALIZA EL INTERES EN UN AÑO SE LE CONOCE COMO FRECUENCIA DE CAPITALIZACION. SI LA CAPITALIZACION ES TRIMESTRAL EN EL COBRO DE LOS INTERESES SIGNIFICA QUE LA FRECUENCIA ES 4 (HAY 4 TRIMESTRES AL AÑO).

TASA DE INTERES COMPUESTO.LA TASA DE INETERES SE EXPRESA COMUNMENTE EN FORMA ANUAL INDICANDO, SI ES NECESARIO, SU PERIODO DE CAPITALIZACION.

28% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE20% ANUAL CAPITALIZABLE SEMESTRALMENTE14% ANUAL CAPITALIZABLE TRIMESTRALMENTE.

SI EL INTERES SE EXPRESA SIN MENCION ALGUNA RESPECTO A SU CAPITALIZACION SE ENTIENDE QUE ESTE OCURRE ANUALMENTE.


INTERES COMPUESTO.

PERIODO DE CAPITALIZACION FRECUENCIA DE CAPITALIZACION

DIARIODIARIO

365 (PARA EL INTERES EXACTO)360 (PARA EL INTERES COMERCIAL O APROXIMADO.)

SEMANAQUINCENA

5224

MES 12

BIMESTRE 6

TRIMESTRE 4

CUATRIMESTRE 3

SEMESTREANUAL

21


INTERES COMPUESTO

ES MUY IMPORTANTE QUE, PARA LA SOLUCION DE CUALQUIER PROBLEMA DE INTERES COMPUESTO EL INTERES ANUAL SEA CONVERTIDO A LA TASA QUE CORRESPONDA DE ACUERDO CON EL PERIODO DE CAPITALIZACION QUE SE ESTABLEZCA; SI EL INTERES SE CAPITALIZA MENSUALMENTE DEBE TRANSFORMARSE EL INTERES ANUAL AL INTERES MENSUAL; SI ES TRIMESTRALMENTE, A INTERES TRIMESTRAL, ETC.

EL PERIODO DE CAPITALIZACION Y LA TASA DE INTERES COMPUESTO SIEMPRE DEBERAN SER EQUIVALENTES. ASI EN EL EJEMPLO INICIAL, EL INTERES DE 20% ANUAL FUE TRANSFORMADO EN INTERES TRIMESTRAL DE 5% PARA HACERLO EQUIVALENTE AL PERIODO DE CAPITALIZACION QUE SE ESTABA MANEJANDO.

DOS CONCLUSIONES PUEDEN ESTABLECERSE EN ESTE MOMENTO:A)EL INTERES COMPUESTO ES MAYOR QUE EL INTERES SIMPLE. ESTO RESULTA ASI, PUES EL PRIMERO GANA INTERES POR SI MISMO, EN TANTO QUE EL SEGUNDO NO.B) A MAYOR FRECUENCIA DE CONVERSION, MAYOR SERA EL INTERES QUE SE OBTENGA INTERESE EN FORMA MENSUAL TENDRA MAYOR RENDIMIENTO QUE UNO QUE LOS OBTENGA TRIMESTRALMENTE Y ESTE, A SU VEZ SERA MAYOR QUE OTRO QUE LO OBTENGA CADA SEMESTRE.


INTERES COMPUESTO

EJERCICIOS :¿CUÁL ES LA TASA DE INTERES POR PERIODO DE:?

A)30% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTEB)16% SEMESTRAL CAPITALIZABLE TRIMESTRALMENTEC)2% TRIMESTRALD)15% ANUALE)18% ANUAL CAPITALIZABLE SEMESTRALMENTEF)18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTEG)0.5% MENSUAL.


MONTO COMPUESTO

EJERCICIOS :¿CUÁL ES LA TASA DE INTERES POR PERIODO DE:?

A)30% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE 30% ANUAL 12

B) 16% SEMESTRAL CAPITALIZABLE TRIMESTRALMENTE 16% SEMESTRAL 2C) 2% TRIMESTRAL 2%TRIMESTRAL 1D) 15% ANUAL = 15% ANUAL

E) 18% ANUAL CAPITALIZABLE SEMESTRALMENTE 18%ANUAL 2 F) 18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE 18% ANUAL 12

G) 0.5% MENSUAL. = 5%

=8%

=9%

0.5*100 = 5%

=2%

=1.5%

=2. 5%


EJERCICIOS DE INTERES COMPUESTO

QUE CRECIMIENTO TENDRA UNA INVERSION DE $1,000.00 EN UN AÑO, SI SE DEPOSITA EN UNA CUENTA DE VALORES QUE PAGA:A)10% ANUAL CONVERTIBLE SEMESTRALMENTEB)20% ANUAL CONVERTIBLE SEMESTRALMENTEC)30% ANUAL CONVERTIBLE TRIMESTRALMNETED)40% ANUAL CONVERTIBLE TRIMESTRALMENTEE)50% ANUAL CONVERTIBLE TRIMESTRALMENTEF)50% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTEG)60% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTEH)70% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTEI)80% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTE


MONTO COMPUESTO

EL MONTO COMPUESTO, COMO YA SE HABIA ESTABLECIDO, ES EL RESULTADO QUE SE OBTIENE AL INCREMENTAR AL CAPITAL ORIGINAL EL INTERES COMPUESTO. SI SE DISPONE DE UN CAPITAL C Y SE INTERVIENE EN UN BANCO Y SE DECEA CONOCER EL MONTO M DEL CUAL SE DISPONDRA AL FINAL DEL PERIODO, SOLO DEBERA AGREGARSELE AL INTERES I GANADO.

M= C+ I PERO I= Cit CUANDO t= 1, I= Ci ASI M= C + Ci QUE FACTORIZANDO

M= C(1 + i)


MONTO COMPUESTO

COMO PUEDE VERSE, EL MONTO DE UN CAPITAL AL FINAL DE UN PERIODO SE OBTIENE MULTIPLICANDO DICHO CAPITAL POR EL FACTOR (1 + i). DE ESTA MANERA, AL FINAL DEL SEGUNDO PERIODO SE TIENE QUE:

M= C(1 + i)(1+i)

CAPITAL ALINICIAR EL

2º. PERIODO

M= C(1+i)²

AL FINAL DEL TERCER PERIODO SE TIENE:

M= C(1+i)²(1+i)


MONTO COMPUESTO

ESTA SUSECIÓN DE MONTOS FORMA UNA PROGRESIÓN GEOMETRICA CUYO n-ESTIMO TERMINO ES IGUAL A:

M = C(1+ i)

ESTA ECUACIÓN ES CONOCIDA COMO FORMULA DEL MONTO A INTERES COMPUESTO.


TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES.

TASA NOMINAL

ES LA TASA ANUAL PACTADA PARA LA REALIZACION DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS. ESTA TASA NOMINAL PUEDE ESTAR SUJETA A UNA CAPITALIZACION EN PERIODOS MENORES AL ESTABLECIDO; POR EJEMPLO, EN UNA ACTIVIDAD FINANCIERA SE PUEDE ESPECIFICAR UNA TASA DEL 18% ANUAL COMPUESTO MENSUALMENTE. ESTO IMPLICA QUE EL COBRO O LA CAPITALIZACIONH DEL DINERO ES MENSUAL, POR LO QUE LA TASA NOMINAL SE CONVIERTE EN UNA TASA EQUIVALENTE A LA INDICADA POR EL PERIODO DE CAPITALIZACION.

ES COMUN EL USO DE UNA TASA NOMINAL CON CAPITALIZACIONES O COBRO DE INTERESES EN MENORES PERIODOS POR QUE DE ESTA MANERA EL CAPITAL GENERA MAYOR UTILIDAD, POR EJEMPLO.


EJEMPLOEJERCICIO 1

UNA TASA DEL 18% COMPUESTA ANUALMENTE PRODUCIRA MENOS MONTO QUE LA MISMA TASA CON CAPTALIZACION MENSUAL, COMO SE MUESTRA A CONTINUACION.

SE INVIERTEN 175,000 EN UN PLAZO DE UN AÑO A UNA TASA DE:A)18% ANUALB)18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE

¿CUAL ES EL MONTO QUE PRODUCE CADA OPCIÓN?


DATOS FORMULA SOLUCION a): SOLUCION b):

C=$175,000.00 M=C(1+I) M=175,500(1.18) M=175,000(1.015)

i=0.18 ANUAL M=$206,500.00 M=$209,233.00

i=0.015 MENSUAL

t= 1 AÑO

t 12

EJERCICIO 1

LA DETERMINACION DE LA TASA NOMINAL j CON m CAPITALIZACIONES EN 1 AÑO, SE CALCULA:

FORMULA PARA DETERMINAR LA TASA NOMINAL

J = m[ (1+i)1m -1

]J= m [ √ 1+i -1

m

]ój= LA TASA ANUAL NOMINALm= ES EL NUMEO DE PERIODOS DE CAPITALIZACION EN UN AÑO DE LA TASA NOMINAL.


TASA EFECTIVA O REAL

LA TASA REAL DE INTERES NOS INDICA EL CRECIMIENTO REAL DEL DINERO PORQUE NO SE COBRA EL INTERES EN MENORES PERIODOS. ESTO QUIERE DECIR QUE UNA TASA REAL NO ACEPTA CAPITALIZACIONES, YA QUE DE SER ASI, EL MONTO DE LA INVERSION SE INCREMENTA. COMO SE MUESTRA EN EL SIGUIENTE EJEMPLO YA VISTO EN EL TEMA DE LA TASA NOMINAL.

UNA TASA DEL 18% COMPUESTA ANUALMENTE PRODUCIRA MENOS MONTO QUE LA MISMA TASA CON CAPTALIZACION MENSUAL, COMO SE MUESTRA A CONTINUACION.

SE INVIERTEN 175,000 EN UN PLAZO DE UN AÑO A UNA TASA DE:A)18% ANUALB)18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE


DATOS FORMULA SOLUCION a): SOLUCION b):

C=$175,000.00 M=C(1+I) M=175,500(1.18) M=175,000(1.015)

i=0.18 ANUAL M=$206,500 M=$209,233.00

i=0.015 MENSUAL M=$206,500.00

t= 1 AÑO

COMO SE PUEDE OBSERVAR, A MAYORES PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN SE OBTIENE UN MAYOR MONTO, LO CUAL SIGNIFICA QUE LA TASA NOMINAL DEL 18% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE NO ES LA TASA QUE REALMENTE SE ESTA APLICANDO.

ENTONCES, ¿Cuál ES LA TASA REAL ANUAL QUE CORRESPONDE A LA DEL 18% NOMINAL CON CAPITALIZACIÓN MENSUAL?

¿Cuál ES EL MONTO QUE PRODUCE CADA OPCIÓN?


LA RELACION ENTRE LAS TASAS REAL Y NOMINAL PUEDE ESTABLECERSE DE LA SIGUIENTE MANERA. DENOTEMOS CON: j-inv. = LA TASA REAL ANUAL DE INTERESj= LA TASA ANUAL NOMINALm= ES EL NUMEO DE PERIODOS DE CAPITALIZACION EN UN AÑO DE LA TASA NOMINAL.

LA RELACION PRINCIPAL ENTRE LA TASA REAL Y NOMINAL ES QUE LAS DOS DEBEN PRODUCIR MONTOS IGUALES EN UN MISMO PERIODO DE INVERSION, AUNQUE AMBAS TASAS SON DIFERENTES, YA QUE LA TASA REAL POR AÑO ES MAYOR QUE LA TASA NOMINAL ANUAL, DEBIDO A QUE LA TASA NOMINAL ESTA SUJETA A CAPITALIZACIONES EN PERIODOS MENORES DE TIEMPO, POR EJEMPLO: SI LA INVERSION ES C, ENTONCES LOS MONTOS ANUALES SON LOS SGUIENTES.


PARA LA TASA REAL: M=C(1+ j-invertida)

PARA LA TASA NOMINAL: M=(1+j ) m

m

COMO LOS MONTOS SON IGUALES, LA SIGUIENTE ECUACION NOS DA LA POSIBILIDAD DE CONOCER ALGUNAS DE LAS TASAS.

C(1+i) = C(1+ j ) m

m

PARA DETERMINAR LA TASA REAL ANUAL j-inv. DESPEJAMOS ESTE PARAME-TRO DE LA ECUACION PARA DETERMINAR LA TASA NOMINA. Y LA FORMULAQUEDA:

i = ( 1+ j ) m

m-1

Formula tasa efectiva o real


TASAS EQUIVALENTES

SE ESTABLECE QUE DOS TASAS SON EQUIVALENTES CUANDO PRODUCEN UN MISMO MONTO O TIENEN UNA MISMA TASA REAL ANUAL. SEAN p y q DOS TASAS NOMINALES ANUALES CON FRECUENCIA DE CONVERSION m y n RESPECTIVAMENTE. ENTONCES p y q SON EQUIVALENTES SI:

FORMULA EN PINTARRON:

UNA OBSERVACION IMPORTANTE ES QUE AMBAS TASAS NOMINALES DEBEN TENER UNA MISMA TASA REAL, POR LO QUE AL BUSCAR LA EQUIVALENCIA DE UNA CON OTRA SE PUEDE CALCULAR PRIMERO LA TASA REAL Y DESPUES PASAR A LA TASA NOMINAL QUE SE REQUIERE.

LA EQUIVALENCIA DE DOS TASAS, SEAN EFECTIVAS O NOMINALES, SURGE EN RELACION AL MONTO QUE PRODUCE CON UNA MISMA INVERSION EN UN PLAZO IGUAL DE TIEMPO. DE ESTA MANERA, LA TASA NOMINAL j = 21.73% ANUAL CONVERTIBLE TRIMESTRALMENTE RESULTA EQUIVAENTE A LA TASA j-inv = 23.56% AFECTIVA ANUAL, PORQUE AMBAS PRODUCEN UN MISMO MONTO EN TIEMPOS IGUALES PARA UN CAPITAL INVERTIDO.


SI SUPONEMOS UNA INVERSIÓN INICIAL DE C=$13,580, EL MONTO PRODUCIDO EN UN AÑO POR CADA TASA ES:

DATOS FÓRMULA SOLUCIÓN

M=? M= C(1+i) M=13,580 (1.2356)

C=$13,580 M= 16,779.40

t= 1 año M= $16,799.40

i= 0.2356 EFECTIVA

j= 0.2173 NOMINAL

M=13,580 (1+0.2173/4)

M= 16,780.20

M= $16,780.20

t1

t

1

1

2

4

2

2


DEL DESARROLLO ANTERIOR CONCLUIMOS:

TASAS EQUIVALENTES: SE CONSIDERA QUE DOS TASAS DE INTERES SON EQUIVALENTES CUANDO, CON DIFERENTES PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN, PRODUCEN EL MISMO INTERES COMPUESTO AL CABO DEL MISMO PERIODO.


1.2.2 VALOR ACTUAL

VALOR ACTUAL O VALOR PRESENTE, SIMBOLIZADO POR VP, PODEMOS DECIR QUE EL VALOR PRESENTE DE UN MONTO O VALOR FUTURO M QUE SE VENCE EN UNA FECHA FUTURA ES LA CANTIDAD DE DINERO QUE, INVERTIDA HOY A UNA TASA DE INTERES DADA PRODUCIRA EL MONTO M.

VALOR PRESENTE SIGNIFICA EL VALOR DEL DINERO EN CUALQUIER FECHA CONVENIENTE, POR TANTO, NO SIEMPRE COINCIDE EL VALOR PRESENTE CON EL CAPITAL ORIGINALMENTE PRESTADO O INVERTIDO.


ENCUENTRA EL VALOR PRESENTE DE $ 16 000 QUE VENCEN DENTRO DE 5 MESES, SI LA TASA DE INTERES ES DE 27.48%

MP=

1 + it= VP

FORMULA DE VALOR PRESENTE

1600

P=

1 +

= 14356.21

0.2748 12

SUSTITUYENDO

(5)


$ 14 356.21 INVERTIDOS HOY, DURANTE 5 MESES, A 27.48%, SE CONVERTIRAN EN 16 000. TAMBIEN SE DICE QUE $14 356.21 SON EQUIVALENTES A $ 16 000 SI EL TIEMPO ES DE 5 MESES Y LA TASA DE INTERES ES DE 27.48% ANUAL SIMPLE. LOS $14 356.21 NO NECESARIAMENTE CORRESPONDE AL CAPITAL ORIGINAL.


UN PROCEDIMIENTO DE MUCHA APLICACIÓN EN EL INTERES COMPUESTO ES LA CAPITALIZACION DEL DINERO QUE INDICA EL PERIODO EN EL CUAL SE DEBE COBRAR EL INTERES.

EN EL INTERES COMPUESTO EL PERIODO QUE SE ACUERDA PARA CONVERTIR EL INTERES EN CAPITAL SE LLAMA PERIODO DE CAPITALIZACIÓN SEA TRIMESTRAL SIGNIFICA QUE EL INTERES GENERADO SE SUMA AL CAPITAL AL FINAL DE CADA TRES MESES.

EL NUMERO DE VECES QUE SE CAPITALIZA EL INTERES EN UN AÑO SE LE CONOCE COMO FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN. SI LA CAPITALIZACION ES SIMESTRAL EN EL COBRO DE LOS INTERESES SIGNIFICA QUE LA FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN ES 4(HAY 4 TRIMESTRES EN EL AÑO).


PERIODO DE CAPITALIZACIÓN FRECUENCIA DE CAPITALIZACION

DIARIO 365 (PARA INTERES EXACTO)

DIARIO 360 (PARA EL INTERES COMERCIAL O APROXIMDO)

SEMANA 52

QUINCENA 24

MES 12

BIMESTRE 6

TRIMESTRE 4

CUATRIMESTRE 3

SEMESTRE 2

ANUAL 1

TABLA DE FRECUENCIAS DE CAPITALIZACION MAS USADAS.


SI UNA TASA ES DEL 14% ANUAL CON CAPITALIZACIÓN MENSUAL SIGNIFICA QUE EL COBRO DE INTERES DEBE HACERCE CADA MES, LO QUE OBLIGA A REALIZAR LA CONVERSION DE LA TASA ANUAL A UNA TASA MENSUAL.


1.3 ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS

UNA ANUALIDAD SE DEFINE COMO UNA SERIE DE PAGOS GENERALMENTE IGUALES REALIZADOS EN INTERVALOS DE TIEMPOS IGUALES. EL TERMINO ANUALIDAD PARECE IMPLICAR QUE LOS PAGOS SE EFECTUAN CADA AÑO, SIN EMBARGO, ESTO NO ES NECESARIAMENTE ASI, YA QUE LOS PAGOS PUEDEN SER MENSUALES, QUINCENALES, ETC..

ES MUY FRECUENTE QUE LAS TRANSACCIONES COMERCIALES IMPLIQUEN UNA SERIE DE PAGOS HECHOS EN INTERVALOS IGUALES DE TIEMPO, EN VEZ DE UN PAGO UNICO REALIZADO AL FINAL DEL PLAZO.


ANUALIDAD SIMPLEANUALIDAD SIMPLE

ES AQUELLA CUYO PERIODO DE PAGO COINCIDE CON EL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN DE LOS INTERESES. POR EJEMPLO, REALIZAR DEPÓSITOS MENSUALES EN UNA CUENTA DE AHORRO QUE PAGA INTERES CAPITALIZABLES CADA MES.

ANUALIDAD CIERTAANUALIDAD CIERTA

ES AQUELLA EN LA CUAL LOS PAGOS COMIENZAN Y TERMINAN EN FECHAS PERFECTAMENTE DEFINIDAS.


ANUALIDADES VENCIDASANUALIDADES VENCIDAS

LAS ANUALIDADES VENCIDAS, LLAMADAS TAMBIEN ANUALIDADES ORDINARIAS, SON AQUELLAS CUYOS PAGOS SE REALIZAN AL FINAL DE CADA PERIODO DE PAGO.

ANUALIDADES INMEDIATASANUALIDADES INMEDIATAS

LA ANUALIDAD INMEDIATA ES AQUELLA EN LA QUE NO EXISTE LA ANUALIDAD INMEDIATA ES AQUELLA EN LA QUE NO EXISTE APLAZAMIENTO ALGUNO DE LOS PAGOS, ES DECIR, LOS PAGOS SE APLAZAMIENTO ALGUNO DE LOS PAGOS, ES DECIR, LOS PAGOS SE REALIZAN DESDE EL PRIMER PERIODO DE PAGO.REALIZAN DESDE EL PRIMER PERIODO DE PAGO.


EXISTEN CUATRO FORMAS DE CLASIFICAR LAS ANUALIDADES. UTILIZANDO EL TIEMPO COMO CRITERIO DE CLAIFICACION, LAS ANUALIDADES PUEDEN SER: CIERTAS Y CONTINGENTES.

UTILIZANDO LOS PAGOS O ABONOS COMO CRITERIO DE CLASIFICACION, LAS ANUALIDADES PUEDEN SER: VENCIDAS, ANTICIPADAS, SIMPLES Y GENERALES.

POR ULTIMO, SI SE UTILIZA EL MOMENTO DE INICIACIÓN DE LA UNUALIDAD COMO CRITERIO DE CLASIFICACIÓN, LAS ANUALIDADES PUEDEN SER: INMEDIATAS Y DIFERIDAS


LOS ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN ESTE TIPO DE ANALUIDADES SON:

R LA RENTA O PAGO PERIODO

C EL VALOR ACTUAL O CAPITAL DE LA ANALUIDAD. ES EL VALOR TOTAL DE LOS PAGOS EN EL MOMENTO PRESENTE.

M EL VALOR EN EL MOMENTO DE SU VENCIMIENTO, O MONTO. ES EL VALOR DE TODOS LOS PAGOS AL FINAL DE LA OPERACIÓN.


MONTO

DADA SU IMPORTANCIA, VALE LA PENA DESCARTAR LAS CARACTERISTICAS DE ESTE TIPO DE ANUALIDADES:

SIMPLES: EL PERIODO DE PAGO COINCIDE CON EL DE CAPITALIZACION.

CIERTAS: LAS FECHAS DE LOS PAGOS SON CNOCIDAS Y FIJADAS CON ANTICIPACIÓN.

VENCIDAS: LOS PAGOS SE REALIZAN AL FINAL DE LOS CORRESPONDIENTES PERIODOS.

INMEDIATOS: LOS PAGOS COMIENZAN A HACER DESDE EL MISMO PERIODO EN EL QUE SE REALIZA LA OPERACION.


QUE CANTIDAD SE ACUMULARIA EN UN SEMESTRE SI SE DEPOSITARAN $ 10 000 AL FINALIZAR CADA MES EN UNA CUENTA DE INVERSION QUE RINDE EL 36% ANUAL CONVERTIBLE MENSUALMENTE?

SOLUCION:

PRIMERO, SE REPRESENTA LA SITUACION EN UN DIAGRAMA DE TIEMPO Y VALOR.

100 000 100 000100 000 100 000 100 000

GRAFICA 4.1

EL INTERES POR PERIODO, i, ES 0.36/12=0.03, Y EL MONTO DE LA ANUALIDAD SERIA IGUAL A LA SUMA DE LOS MONTOS DE CADA UNO DE LOS DEPOSITOS AL FINAL DEL SEMESTRE. COMO SE MUESTRA MEDIANTE CURVAS EN EL DIAGRAMA, DONDE EL ULTIMO DEPOSITO NO AUMENTA EL VALOR, PUESTO QUE SE DEPOSITA EN EL SEXTO MES.


EN TÉRMINOS DEL MONTO A INTERES COMPUESTO YA CONOCIDO, EL PLANTEAMIENTO SERIA:

M=100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+ 100 000(1.03)+100 000 ó INVIRTIENDO EL ORDEN,

5 4 3 2

M=100 000+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000(1.03)+100 000

2 4 53

M=100 000+100 000(1.03)+100 000(1.0609)+100 000(1.092727)+100 000(1.125509)+100 000(1.159274)

M=100 000+103 000+106 090+109 273+112 551+115927

M= $646 841


EN ESTE PLANTEAMIENTO CON EL ORDEN INVERTIDO SE PUEDE VER QUE EL MONTO ES UNA PROGRESION GEOMETRICA.

t= 1000 000, EL PRIMER TERMINO

r=1.03, LA RAZON

n=6, EL NUMERO DE TERMINOS

1

Y DE LA FORMULA 1.15, DE LOS REMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA:

S= t(1-r )1 - r

=t - t r

1 - r

n

1

1 1n


SUSTITUYENDO LOS TERMINOS DE ANUALIDADES:

M =R- R(1+ i)

n

1 – (1 + i)

=1- (1 + i)R

n

=R

n1- (1 + i)

=1 –(1 +i)

n

1 – 1 - i -i -i

MULTIPLICADO LA FRACCIONPOR - 1,

M = R(1 + i) - 1

n

i


QUE ES LA VERSION DE ESTA FORMULA ANTERIOR QUE COMUNMENTE SE UTILIZA. APLICANDOLA PARA RESOLVER EL EJEMPLO ANTERIOR:

M = 100 000(1.03) - 1

6

0.03= 100 000(6.468409) =646 841

RESULTADO QUE ES IGUAL AL OBTENIDO ANTES.


EJEMPLO:

¿Cuál ES EL MONTO DE $ 20 000 SEMESTRAL DEPOSITADO DURANTE 4 AÑOS Y MEDIO EN UNA CUENTA BANCARIA QUE RINDE 18% CAPITALIZABLE SEMESTRALMENTE?

SOLUCION:

R = 20 000

i = 0.18/2= 0.09

n = 4.5(2) = 9

M = 20 000(1.09) - 1

0.09

9

= 20 0001.171893

0.09= 20 000 (13.021036)

M = 260 420.73


VALOR ACTUAL

¿Cuál ES EL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA BIMESTRAL DE $ 4 500 DEPOSITADOS AL FINAL DE CADA UNO DE 7 TRIMESTRES, SI LA TASA DE INTERES ES DE 9% TRIMESTRAL?

SOLUCION:

0 1 2 3 4 5 6 7

C 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500

C =?R = 4 500i = 0.09n = 7

ESTE ES EL CASO INVERSO DEL MONTO. EL VALOR ACTUAL DE LA ANUALIDAD SERIA LA SUMA DE LOS VALORES ACTUALES DE LAS 7 RENTAS, O:


C = 4 500(1.09)-1+ 4 500(1.09)-2 + 4 500(1.09)-3 + 4 500(1.09)-4 + 4 500(1.09)-5 + 4 500(1.09) -6 + 4 500(1.09) -7

C = 4 500(0.91743119) + 4 500(0.84167999) + 4 500(0.77218348) + 4 500(0.70842521) + 4 500(0.64993139) + 4 500(0.59626733) + 4 500(0.54703424)

C = 4 128.44 + 3 787.56 + 3 474.83 + 3 187.91 + 2 924.69 + 2 683.20 +2 461.65

C = 22 648.28

Y AL IGUAL QUE ANTES; PUEDE VERSE QUE ESA SUMA DE TERMINOS ES UNA PROGRESION GEOMETRICACON:

t1= 4 500(1.09)-1 = R(1 + i)-1

n = 7

r = (1.09)-1 = (1 + i)-1

S =t1 - t 1 rn

1 - r= 4 500(1.09)-1 – 4 500(1.09)-1 (1.09)-7

1 – (1.09)-1

S = 22 648.28

Y LA CORRESPONDIENTE FORMULA:

C =R(1 + i)-1 – R(1+ i)-1 (1 + i)-1 n

1 – (1 + i)-1

=

C =R(1 + i)-1 – R(1+ i)-1 (1 + i)-n

1 - 1

(1 + i)

C =R(1 + i)-1 1 –(1 + i)-n

i

1 + i

C =(1+ i) R(1 + i)-1 1- (1 + i)-n

i

C = R1 – (1+ i )-n

= Ai

QUE ES LA FORMULA MAS QUE ES LA FORMULA MAS COMUN DEL VALOR ACTUAL COMUN DEL VALOR ACTUAL DE LAS DE LAS ANUALIDADESSIMPLES, ANUALIDADESSIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS.INMEDIATAS.

UTILIZANDO ESTA FORMULA UTILIZANDO ESTA FORMULA PARA RESOLVER EL MISMO PARA RESOLVER EL MISMO EJEMPLO:EJEMPLO:

C = 4 5001-(1.09)-7

0.09= 4 500(5.03295284)

C = 22 648.28


EJEMPLO

¿Cuál ES EL VALOREN EFECTIVO DE UNA ANUALIDAD DE $1000. 00 AL FINAL DE CADA TRES MESES DURANTE 5 AÑOS, SUPONIENDO UN INTERES ANUAL DEL 16% CONVERTIBLE TRIMESTRALMENTE?

SOLUCION R =1 000

n = 5(4) = 20(5 POR 4 TRIMESTRE DE CADA AÑO

i = 0.16/4 = 0.04

C = 1 0001- (1.04)-20

0.04

C =1 0000(13.590326

C = $ 13 590.33


RENTA

SE CONOCE COMO RENTA AL PAGO PERIODICO QUE SE REALIZA CON INTERVALOS IGUALES A UN TIEMPO

UNA PERSONA ADQUIERE HOY A CREDITO UNA COMPUTADORA. LA COMPUTADORA CUESTA $19 750 Y CONVIENE EN PAGARLA CON 4 MENSUALIDADES VENCIDAS. ¿Cuánto TENDRA QUE PAGAR CADA MES SI LE COBRAN EL 1. 8% MENSUAL DE INTERES?

SOLUCION

SE PUDE VER QUE LOS DATOS CON QUE SE CUENTAN SON:

C = 19 750

R =?

i = 1.8%

n = 4


Y DESPEJANDO LA FORMULA

A = R1 – (1 + i)-n

i

R =1 – (1 + i)-n

Ai=

19 750(0.018)

1 – (1.018)-4=

355.500.068873

R = $5 161.67


PLAZO

EL PLAZO O TIEMPO DE UNA ANUALIDAD SE CALCULA POR MEDIO DEL NUMERO DE PERIODOS DE PAGO n.n.

¿Cuántos PAGOS DE $ 607.96 AL FINAL DE MES TENDRIA QUE HACER EL COMPRADOR DE UNA LAVADORA QUE CUESTA $ 8 500, SI DA $ 2 550 DE ENGANCHE Y ACUERDA PAGAR 24% DE INTERES CAPITALIZABLE MENSUALMENTE SOBRE EL SALDO?

SOLUCION:n = ?

R = 607.96

C = 8 500 – 2 550 = 5 950

i = 0.24/12= 0.02

C = R1 – (1 + i)-n

i

5 950 = 607.961 – (1.02)-n

0.02

5 950(0.02)

607.96= 1 – (1.02)-n

0.195736- 1 = – (1.02)-n

(1.02)-n = 0.80426343

1

(1.02)-n= 0.80426343

(1.02)-n=

1

0.80426343= 1.24337369


n log. 1.02 = log 1.24337369

n =log 1.24337369

log 1.02=

0.09460167

0.00860017

n = 11


TASA DE INTERES

PARA QUE TERMINEMO ESTE TEMA, VEREMOS UN EJEMPLO EN LOS CUALES LO QUE INTERESA ES DETERMINAR EL INTERES QUE SE PAGA

EJERCICIO

LUCERO DE LA MAÑANA DEBE PAGAR HOY $ 350 000. COMO NO TIENE ESA CANTIDAD DISPONIBLE, PLATICA CON SU ACREEDOR Y ACUERDA PAGARLE MEDIANTE 6 ABONOS MENSUALES DE $ 62 000, EL PRIMERO DE ELLOS DENTRO DE UN MES. ¿ QUE TASA DE INTERES VA A PAGAR?

SOLUCION R = $ 62 000

C = $ 350 000

n = 6

i = ?

350 000 = 62 0001 – (1 + i)-6

i

1 – (1 + i)-6

i=

350 000

62 000= 5.645161

COMO NO ES POSIBLE DESPEJAR LA i, SE TIENE QUE SEGUIR UN PROCEDIMIENTO DEAPROXIMACION PARA ENCONTRAR SU VALOR. ESTE PROCEDIMIENTO CONSTA DE 2 PASOS:

1. ENSAYAR VALORES EN LA EXPRESION DONDE SE ENCUENTRA LA

i =1 – (1 + i)-6

i

PARA ENCONTRAR DOS VALORES DE ELLA QUE ESTEN CERCANOS A 5.645161, UNO MAYOR Y OTRO MENOR.


2. INTERPOLAR ENTRE LOS DOS VALORES ENCONTRADOS EN 1 PARA DETERMINAR EL VALOR DE i. ENTONCES, EN PRIMER LUGAR SE ENSAYAN VALORES PARA 1 – (1 + i)-6

i

Si i = 0.021 – (1 + i)-6

i=

1 – (1. 02)-6

0.02= 5.601431

QUE ES BASTANTE CERCANO AL VALOR DE 5.645161QUE SE BUSCA, SE CONTINUA ENSAYANDO DOS VALORES PARA APROXIMAR MAS. CABE DESTACAR QUE, AL DISMINUIR LA TASA DE INTERES SE INCREMENTA EL VALOR PRESENTE, Y VICEVERSA, AL INCREMENTAR LA TASA DE INTERES, DISMINUYE EL VALOR PRESENTE.

Si i = 0.0171 – (1.017)-6

0.017= 5.658585


ESTE ES MAYOR QUE EL VALOR QUE SE BUSCA; AHORA UNO UN POCO MENOR, PARA LO CUAL SE INCREMENTA LA TASA DE INTERES.

0.018Si i = 0.018 1 – (1+ .018)-6

= 5.639435

Si i = 0.01751 – (1+ 0.0175)-6

0.0175= 5.648998

AHORA YA SE TIENEN DOS VALORES MUY CERCANOSAL VALOR DESEADO, UNO MAYOR Y OTRO MENOR. EL SEGUNDO PASO ES INTERPOLAR ENTRE ESTOS DOS VALORES PARA DETERMINAR EN FORMA MAS EXACTA LA TASA DE INTERES QUE SE NECESITA.

EL RAZONAMIENTO ES EL SIGIENTE:

SE NECESITA ENCONTRAR EL VALOR DE i QUE HAGA QUE 1 – (1+ i)-6

i

SEA IGUAL A 5.645161, POR QUE ESTA i ES LA QUE HACE QUE SE CUMPLAN LAS CONDICIONES PLANTEADAS EN EL EJEMPLO Y ES, POR LO TANTO, LA i QUE SE BUSCA.

YA SE DETERMINO EN EL PASO ANTERIOR QUE:

Si i = 0.01751 – (1.0175)-6

0.0175= 5.648998

Y QUE

0.018Si i = 0.018 1 – (1 .018)-6

= 5.639435

DONDE SE CONCLUYE QUE LA TASA i QUE SE BUSCA ESTA ENTRE 0.018 Y 0.0175.


1.4. AMORTIZACION

AMORTIZACION CON INTERES SIMPLE

MUCHAS DEUDAS SE LIQUIDAN MEDIANTE UN PAGO UNICO EN LA FECHA DE VENCIMIENTO; SIN EMBARGO, ES COMUN QUE LOS CREDITOS SE CONTRATEN PARA PAGARLOS MEDIANTE ABONOS O PAGOS PARCIALES. EN ESTE CASO SE DICE QUE EL PRESTAMO SE AMORTIZA.

AMORTIZAR. SIGNIFICA SALDAR UNA DEUDA Y SUS INTERESES MEDIANTE PAGOS PARCIALES O ABONOS, LOS CUALES PUEDEN SER IGUALES EN VALOR O VARIABLES, EFECTUADOS A INTERVALOS DE TIEMPO IGUALES O DIFERENTES. EN LA MAYORIA DE LAS OPERACIONES A CREDITO SE ACOSTUMBRA A SALDAR LAS DEUDAS MEDIANTE ABONOS DE IGUAL CUANTIA, DE MANERA QUE INCLUYAN CAPITAL E INTERESES, Y REALIZADOS A INTERVALOS DE TIEMPO IGUALES. PARA QUE ESTO SEA ASI, BASTA DIVIDIR EL MONTO DE LA CUENTA ENTRE EL NUMERO DE PAGOS, ES DECIR,


ABONO =MONTO DE LA DEUDA

NUMERO DE PAGOS

LA AMORTIZACIÓN DE UNA DEUDA PUEDE LLEVARSE A CABO UTILIZANDO INTERES SIMPLE O COMPUESTO. LA AMORTIZACION CON INTERES SIMPLE SE LLEVA ACABO DE DOS MANERAS DISTINTAS:

CON EL INTERES GLOBLAL

CON INTERES SOBRE SALDOS SOLUTOS


AMORTIZACIÓN CON INTERES GLOBAL

EN ESTE TIPO DE AMORTIZACIÓN LOS INTERESES SE CALCULAN SOBRE EL TOTAL DE LA DEUDA, SIN TOMAR ENCUENTA LOS PAGOS PARCIALES EFECTUADOS.

EJEMPLO:

EL SEÑOR MEDINA COMPRA UN REFRIGERADOR A CREDITO, CUYO PRECIO DE CONTADO ES DE $ 6 000, BAJO LAS SIGUIENTES CONDICIONES DE PAGO: TASA DE INTERES GLOBAL DE 39.84% Y 6 MESES PARA PAGAR, DANDO ABONOS MENSUALES IGUALES EN CANTIDAD. CALCULE EL VALOR DEL ABONO MENSUAL.


SOLUCIÓN

M= 6000 1+ 0.398412

(6) = $ 7,195.20

EL MONTO DE LA DEUDA ES

AL DIVIDIR ESTE MONTO ENTRE LOS 6 MESES, SE OBTENDRA EL VALOR DEL ABONO MENSUAL:

ABONO MENUAL=7195.20 6 =$ 1,199.20


AMORTIZACION CON INTERES SOBRE SALDOS INSOLUTOS

SI LA PALABRA INSOLUTO SIGNIFICA LO NO PAGADO, ENTONCES LOS INTERESES COBRADOS SOBRE SALDO INSOLUTO SIGNIFICA EL INTERES CALCULADO EN UNA DEUDA SOBRE EL SALDO QUE QUEDA POR PAGAR CADA VEZ QUE SE REALIZA UN ABONO.

EJEMPLO

EL SEÑOR MEDINA COMPRA UN REFRIGERADOR A CREDITO, CUYO PRECIO DE CONTADO ES DE $ 6 000, BAJO LAS SIGUIENTES CONDICIONES DE PAGO: TASA DE INTERES GLOBAL DE 39.84% Y 6 MESES PARA PAGAR, DANDO ABONOS MENSUALES IGUALES EN CANTIDAD. CALCULE EL VALOR DEL ABONO MENSUAL.


SOLUCIÓN

EL PROBLEMA SE RESUELVE DE DOS FORMAS; EN PRIMER LUGAR SE RESOLVERA DESARROLLANDO UNA TABLA DE AMORTIZACIÓN, LA CUAL MUESTRA LA EVOLUCIÓN DE LA DEUDA, PERIODO A PERIODO.

ES NECESARIO MENCIONAR LA DIFERENCIA QUE EXISTE ENTRE ABONO Y AMORTIZACIÓN. AMORTIZAR SIGNIFICA LIQUIDAR EL CAPITAL MEDIANTE UNA SERIE DE PAGOS, GENERALMENTE IGUALES, MIENTRAS QUE EL ABONO ES LA SUMA DE LA AMORTIZACIÓN MAS EL INTERES GENERADO EN EL PERIODO. POR LO ANTERIOR, LA AMORTIZACION ES LA PARTE DEL ABONO QUE REDUCE EL CAPITAL DE LA DEUDA. EN EL EJEMPLO ANTERIOR, LA AMORTIZACION MENSUAL ES:

AMORTIZACION=a=6000 6

= $ 1000


LOS INTERESES MENSUALES SE DEBEN DE CALCULAR SOBRE LA PARTE NO PAGADA DEL CAPITAL (SALDO INSOLUTO) QUE VA QUEDANDO DESPUES DE CADA AMORTIZACIÓN. DESDE EL INICIO DEL CREDITO HASTA EL FINAL DEL PRIMER MES, EL SALDO INSOLUTO ES DE $ 6 000. POR TANTO, EL INTERES A PAGAR AL EFECTUAR LA PRIMERA AMORTIZACIÓN SERA:

I=(6000) 0.3984 12

(1) = 199.20


AL FINAL EL PRIMER MES SE TENDRA QUE PAGAR $ 1000 DE AMORTIZACION MAS $ 199.20 DE INTERES ES DECIR, SE TENDRA QUE DAR UN ABONO DE $ 1199.20.EL SALDO INSOLUTO AL INICIO DEL SEGUNDO MES ES DE $6000- $1000=$5000.EL INTERES A PAGAR AL FINAL DEL SEGUNDO MES ES:

I=(5000) 0.3984 12

(1) = 166.00


EL SEGUNDO ABONO SERA DE $ 1000 + 166 =$ 1 166.00.AL PAGAR EL SEGUNDO ABONO EL SALDO INSOLUTO DE $ 5000- $1000=4000.EL INTERES A PAGAR AL FINAL DEL TERCER MES ES:

I=(4000) 0.3984 12

(1) = 132.80

EL TERCER ABONO SERA DE $1000+ 132.80=$1 132.80.

CONTINUANDO DE ESTA MANERA, ES POSIBLE ELABORAR LA SIGUIENTE TABLA DE AMORTIZACIÓN:


MES AMORTIZACION INTERES ABONO SALDO INSOLUTO

0 $6 000.00

1 $1000 $199.20 $1 199.20 $5 000.00

2 $1000 $166.00 $1 166.00 $4 000.00

3 $1000 $132.80 $1 132.80 $3 000.00

4 $1000 $99.60 $1 099.60 $2 000.00

5 $1000 $66.40 $1 066.40 $1 000.00

6 $1000 $33.20 $1033.20 $0.00

TOTAL $6000 $697.20 $6 697.20

TABLA DE AMORTIZACIÓN


EL PRECIO TOTAL PAGADO POR EL REFRIGERADOR ES DE $ 6,697.20, DE LOS CUALES $6 000 CORRESPONDEN AL CAPITAL Y $697.20 A LOS INTERESES. COMO SE OBSERVA, EL INTERES COBRADO SOBRE LOS SALDOS INSOLUTOS ES MENOR QUE EL COBRADO MEDIANTE EL INTERES GLOBAL. TAMBIEN SE OBSERVA QUE EL ABONO ES CADA VEZ MENOR DEBIDO A QUE LOS INTERESES VAN DECRECIENDO MES A MES.

ES PRACTICA COMUN QUE EL ABONO SEA IGUAL CASA MES. EN ESTE CASO, EL ABONO MENSUAL CONSTANTE ES:

ABONO=6697.20 6

= $ 1 116.20


LA FORMULA SE DEDUCE ANTE EL HECHO DE QUE LOS INTERESES FORMAN UNA SECESIÓN ARITMETICA.SEA P EL VALOR DE LA DEUDA; n, EL NUMERO DE PERIODOS; i, LA TASA DE INTERES (EXPRESADA EN FORMA DECIMAL) Y a, LA AMORTIZACIÓN. AL DIVIDIR EL VALOR DE LA DEUDA ENTRE EL NUMERO DE PERIODOS SE OBTIENE a,

a=Pn

SI P ES EL SALDO INSOLUTO AL INICIO, EL INTERES POR PAGAR AL FINAL DEL PRIMER PERIODO SERA DE Pi. EN EL SEGUNDO PERIODO EL SALDO INSOLUTO ES (P-a) Y EL INTERES POR PAGAR SERA (P-a)i. EL SALDO INSOLUTO EN EL TERCER PERIODO ES (P-2a) Y EL INTERES A PAGAR SERA (P-2a)i, Y ASI SUSECIVAMENTE, DE TAL FORMA QUE SE TIENE EL SIGUIENTE CONJUNTO DE ELEMENTOS:


Pi,(P-a)i, (P-2a)i, (P- 3a)i………….

EL CONJUNTO ANTERIOR FORMA UNA SUCESIÓN ARITMETICA CON DIFERENCIA COMUN –ai. POR TANTO, ES POSIBLE CALCULAR EL VALOR DE n-ÉSIMO TERMINO DE LA SUCESION ME DIANTE LA SIGUIENTE ECUACION.

a=n Pi+ (n-1)(-ai)=Pi-ai(n-1)

AL SUMAR LOS TERMINOS DE LA SUCESIÓN SE OBTIENE EL INTERES TOTAL, I. LA SUMA SE OBTIENE LA ECUACIÓN.

S=n I=n2 Pi+Pi-ai(-1)

SIMPLIFICADO I=ni2

2P-a(n-1)


AMORTIZACION CON INTERES COMPUESTO.

EL PAGO DE LA DEUDA SE LLEVA ACABO DE TAL MANERA QUE LA CANTIDAD DESTINADA A REDUCIR EL CAPITAL AUMENTA GRADUALMENTE, ES DECIR, SE TIENE UNA AMORTIZACIÓN GRADUAL Y LOS ABONOS SON SIEMPRE IGUALES.

EN ESTE CASO EL ABONO SE CALCULA MEDIANTE LA FORMULA DEL VALOR PESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.

CADA ABONO EFECTUADO SE DIVIDE EN DOS PARTES: EN PRIMER LUGAR SE PAGAN LOS INTERESES ADECUADOS AL MOMENTO EN QUE SE EFECTUA EL PAGO Y EL RESTO SE APLICA A DISMINUIR EL CAPITAL. COMO CADA PAGO REDUCE AL CAPITAL, LOS INTERESES QUE SE PAGAN EN CADA PERIODO VAN DISMINUYENDO; POR TANTO, RESULTA EVIDENTE QUE LA AMORTIZACIÓN GRADUAL DE UNA DEUDA SE LLEVA A CABO CALCULANDO LOS INTERESES SOBRE EL SALDO INSOLUTO


EJEMPLO:

UN PRESTAMO DE $6000 SE VA A MORTIZAR POR MEDIO DE 6 PAGOS MENSUALES IGUALES. OBTENGA EL ABONO MENSUAL SI LA TASA DE INTERES ES DE 33% CAPITALIZABLE MENSUALMENTE.

SOLUCIÓN:

EN ESTE PROBLEMA SE NOS PIDE QUE CALCULEMOS EL VALOR DE UNA ANUALIDAD CUYO VALOR PRESENTE ES DE $6000. DESPEJANDO A DE LA ECUACIÓN, SE TIENE,

A= Pi1-(1+i) -n =

(6000) 0.33 12

0.33 12

1+1--6


A=$1098.4250PARA AMORTIZAR LA DEUDA ES NECESARIO REALIZAR 6 PAGOS MENSUALES $1098.4250.

LA TABLA DE AMORTIZACIÓN MUESTRA LA FORMA COMO SE AMORTIZA UNA DEUDA; ESTO ES, NOS PERMITE VER COMO SE VA REDUCIENDO LA DEUDA CON CADA ABONO EFECTUADO.


MES AMORTIZACION INTERES ABONO SALDO INSOLUTO

0 $6000.000

1 $933.4250 $165.0000 $1098.4250 $5066.5770

2 $959.0942 $139.3308 $1098.4250 $4107.4808

3 $985.4653 $112.9557 $1098.4250 $3122.0115

4 $1012.5697 $85.8553 $1098.4250 $2109.4418

5 $1040.4154 $58.0096 $1098.4250 $1069.0264

6 $1069.0268 $29.3982 $1098.4250 $-0.0004

2

3


EXPLICACION DE CÓMO SE ELABORO LA TABLA DE AMORTIZACIÓN.

EL SALDO INSOLUTO DE LA COLUMNA 5 AL PRINCIPIO DEL PRIMER MES (MES 0) ES LA DEUDA ORIGINAL DE $6000. EL INTERES VENCIDO AL FINAL DEL PRIMER MES (MES 1) SE DETERMINO UTILIZANDO LA FORMULA DE INTERES SIMPLE.

I=(6000) 0.33 12

(1) = 165

EL PAGO MENSUAL O ABONO (COLUMNA 4), HECHO AL FINAL DEL PRIMER MES, ES DE $1098.4250, DE LOS CUALES SE UTILIZAN $165 PARA EL PAGO DEL INTERES VENCIDO Y EL RESTO, $1098.4250-165=933.4250 SE UTILIZA COMO ABONO AL CAPITAL (AMORTIZACIÓN). AL FINAL DEL PRIMER MES SE TIENE UN SALDO INSOLUTO DE $ 6000-$933.4250=5066.5750.


AL TERMINO DEL SEGUNDO MES, EL INTERES VENCIDO ES:

I=(5066.5750) 0.33 12

(1) = 139.3308

DEL ABONO MENSUAL HECHO AL FINAL DEL SEGUNDO MES, SE DESTINAN $139.3308 PARA PAGAR EL INTERES VENCIDO Y EL RESTO, $1098.4250- $139.3308=$959.0942, COMO ABONO AL CAPITAL. AL FINAL DEL SEGUNDO MES EL SALDO INSOLUTO ES DE $5066.5750-$959.0942=$4107.4808, Y ASI SUSECIVAMENTE.

Unidad i las matematicas en las finanzas

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