Unidad 4 matematicas 5

7/25/2019 Unidad 4 matematicas 5

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Pgina del Colegio de Matemticas de la ENP-UNAM Sistemas de coordenadas y conceptos bsicos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

1

IV. 1 SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL

Existe una correspondencia biyectiva o biunvoca entre el conjunto de los nmeros reales y el de lospuntos de una recta. A esta recta que tiene un origen, un sentido y en donde se pueden ubicar todos losnmeros reales se le conoce como sistema coordenado unidimensional. Grficamente esto es:

La notacin habitual para localizar un punto es: ( )xP . Por ejemplo, para ubicar los puntos( ) ( ) ( ) ( )5745062 4321 P,.P,.P,.P , simplemente se localiza su respectivo valor en la numeracin y se le

marca.

Se define como abscisade un punto a la distancia del origen al punto en magnitud y signo.

La distancia dirigida ( )dd que existe de un punto 1P a un 2P viene dada por el valor final menos el

inicial: 12 PPdd = .

La distancia ( )d entre dos puntos 1P y 2P est dada por el valor final menos el inicial pero en valor

absoluto, esto es: 12 PPd = .

Es decir, la diferencia que existe entre distancia dirigida y distancia entre dos puntos es que en la primera setoma en cuenta el signo y su magnitud, y en la segunda slo se toma su magnitud. Se mide en unidades ( ).u

Ejemplo.Encontrar la distancia dirigida y la distancia entre los siguientes pares de puntos:

1) ( )31P y ( )62 P Solucin:

.udd 936 == y .ud 9936 ===

P1

x0 1 432 5-1-2-3-4-5

P4 P2 P3


2/22


2

2) ( )1P y

6

352P

Solucin:

141593. y 833356

35.

( ) .u...dd 69214159383335 == ( ) .u....d 69269214159383335 ===

IV. 2 SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL

Es un sistema formado por dos ejes numricos perpendiculares donde su origen es el punto en que secruzan.

Se genera estableciendo una correspondencia biunvoca entre los puntos de un plano y los elementos detodas las parejas ordenadas de nmeros reales. Esto quiere decir que se genera un plano a partir de unainfinidad de puntos.

Se forman cuatro regiones llamadas cuadrantes.

El eje horizontal ( )x recibe el nombre de eje de las abscisas.El eje vertical ( )y recibe el nombre de eje de las ordenadas.

Para ubicar un punto en el plano se utiliza la siguiente notacin: ( )y,xP

Ejemplo.Ubicar los siguientes parejas ordenadas en el plano:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )054205431123

842 7654321 ,.P,,P,,P,,P,,P,,P,,P

Solucin:

x1 432 5-1-2-3-4-5

Cuadrante I

(+, +)

1

2

3

4

5

y

-1

-2-3

-4

-5

Cuadrante IV

(+, -)

Cuadrante III

(-, -)

Cuadrante II

(-, +)


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3

Ejemplos.

Dados los siguientes conjuntos, obtener el producto cartesiano correspondiente:

1) { } { }210321 ,,B,,,A == Solucin.El conjunto solucin a este producto cartesiano son nueve puntos discretos formado por las parejas

ordenadas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }231303221202211101 ,,,,,,,,,,,,,,,,,BA = Grficamente esto es:

x1 432 5-1-2-3-4-5

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3

2) }= x,xxA 31 , { }== y,xyB 20 Solucin.El conjunto solucin a este producto cartesiano es una superficie plana de forma rectangular limitadatanto en x como en y . Grficamente esto es:

x1 432 5-1-2-3-4-5

P2 (-2.66,-2)

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3

P3 (-1,1)

P1 (2,4)

P4 (3,-4)

P5 (-5, )

P6 (0,2)P7 (4.5,0)


4/22


4

3) { }= xxA , { }== yyB Solucin.El conjunto solucin a este producto cartesiano es una superficie plana ilimitada tanto en x como en y .Grficamente esto es:

Como puede deducirse, el sistema coordenado bidimensional est constituido por el producto cartesianode los nmeros reales (en x ) por los nmeros reales (en y ), es decir, .

IV. 3 SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL

Es un sistema formado por tres ejes numricos perpendiculares donde su origen es el punto en que secruzan.

Se forma estableciendo una correspondencia biunvoca entre los puntos de un espacio y los elementosde todas las ternas ordenadas de nmeros reales. Esto quiere decir que se genera un volumen a partir deuna infinidad de puntos.

x1 432 5-1-2-3-4-5

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3

x1 432 5-1-2-3-4-5

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3


5/22


5

Se forman ocho regiones llamadas octantes.

El eje x recibe el nombre de eje de las abscisas.El eje y recibe el nombre de eje de las ordenadas.El eje z recibe el nombre de eje de las cotas.

Para ubicar un punto en el espacio se utiliza la siguiente notacin: ( )z,y,xP , es decir de forma similarque en un plano.

IV. 4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean ( )111 y,xP y ( )222 y,xP dos puntos cualesquiera en el plano:

Al formarse un tringulo, se observa que los catetos son las diferencias de ordenadas y de abscisas.

Ahora, recordando el teorema de Pitgoras expuesto en la unidad II: 222 bac += y aplicndolo se tiene:

( ) ( )2122

122 yyxxd +=

despejando d se obtiene la frmula para encontrar la distancia entre dos puntos:

y

z

xx1

z1

y1

P(x1, y1, z1)

y

x

x2

y2

y1

d

x1

P(x2, y2)

P(x1, y1)

x2-x1

y2-y1


6/22


6

( ) ( )2122

12 yyxxd +=

Ejemplos.Obtener la distancia entre los siguientes pares de puntos:

1) ( )541 ,P y ( )172 ,P Solucin.

( ) ( )( ) .ud 525169435147 2222 ==+=+=+=

2) ( )1161 ,P y ( )1312 ,P Solucin.

( )( ) ( )( ) .ud 2562557649247111361 2222 ==+=+=+=

3)

4

7

4

11 ,P y

8

15

8

32 ,P

Solucin.

.ud8

26

64

26

64

1

64

25

8

1

8

5

4

7

8

15

4

1

8

3 2222

==+=

+

=

+

=

4) ( ),P 21 y ( )170052 .,P Solucin.Utilizando tres cifras decimales:

( ) ( ) ( ) ( ) 9621051213311367631413170041412362 2222 ........d +=+=+=

.u.. 947447424 =

Ejemplo.

Si los puntos ( )221 ,P , ( )312 ,P y ( )353 ,P son los vrtices de un tringulo, obtener su permetro.

x1 432 5-1-2-3-4-5

1

2

4

5

y

-1

-2

-3

-4

-5

3P1 (1,3)

P2 (-2,-2)

P3 (5,-3)


7/22


7

la distancia entre 1P y 2P es: ( )( ) ( )( ) 34259532321 2222

1 =+=+=+=d

la distancia entre 1P y 3P es: ( ) ( ) ( ) 523616643315 2222

2 =+=+=+=d

la distancia entre 2P y 3P es: ( )( ) ( )( ) ( ) 50149172325 2222

3 =+=+=+=d

Por tanto, el permetro viene dado por la suma de sus tres lados:.u....dddP 1120077217835505234321 ++++=++=

Ejemplo.

Sea el punto ( )341 ,P y el punto ( )102 ,xP , obtener la abscisa de 2P de tal manera que la distanciaque los separe sea 15 unidades.

Solucin.Sustituyendo los datos en la frmula se tiene:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 1694134310415 22222 +=+=+= xxx

despejandox

se tendrn dos soluciones de 2x

:( ) ( ) 564564169225169415 222 ===+= xxx

48.111 x y 48.32 x , por lo que los puntos buscados son aproximadamente:

( )1048111 ,.P y el punto ( )104831 ,.P

En el espacio, la frmula de distancia entre dos puntos se deduce de forma similar que en dosdimensiones, considerando que la distancia es un segmento de recta que pertenece a un plano. Esto es,si se tienen los puntos ( )1111 z,y,xP y ( )2222 z,y,xP , la distancia que los separa es:

( ) ( ) ( )2122

12

2

12 zzyyxxd ++=

Grficamente, es:

y

z

xx1

z1

y1

P1 (x1, y1, z1)

P2 (x2, y2, z2)

d

z2

x2

y2


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8

Ejemplo.Obtener la distancia entre los puntos: ( )5721 ,,P y ( )21182 ,,P

Solucin.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ud 12591610034105271128 222222 =++=++=++=

IV. 5 DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN DADA

Dividir un segmento dirigido en una razn dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se

encuentren las coordenadas de un punto ( )y,xP que satisface la comparacin entre dos magnitudes.

En general, si la razn es de la formab

ar= , implica que el segmento se divide en ba + partes. Por

ejemplo, si4

7=r , el segmento se divide en 11 partes iguales.

Sean los puntos ( )111 y,xP y ( )222 y,xP , as como el segmento de recta que los une:

Sea un punto ( )y,xP que pertenezca al segmento. Si se forman los tringulos mostrados, se observaque son semejantes. Esto es:

rxx

xx=

2

1 y r

yy

yy=

2

1

donde res la razn de proporcionalidad de semejanza.

Si se despeja x de la primera ecuacin se tiene:( )xxrxx = 21

xrxrxx = 21

21 rxxrxx +=+

( ) 211 xrxrx +=+ , que implica:

y

x

P(x,y)

P2(x2, y2)

P1(x1, y1)x-x1

y2-y

y-y1

x2-x


9/22


9

r

xrxx

+

+=

1

21

anlogamente se puede encontrar que:

r

yry

y +

+

= 121

expresiones que sirven para obtener las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razn dada.

En el caso particular en que se trate del punto medio, rvale 11

1==r , y las ecuaciones se convierten en:

2

21 xxx +

= y2

21 yyy +

=

Ejemplos.

Obtener las coordenadas de un punto ( )y,xP que divida al segmento de recta que se forma al unir lossiguientes pares de puntos en la razn dada:

1) ( ) ( )2

35934 21 = r,,P,,P

Solucin.

( )7

5

35

2

52

35

2

31

2

274

2

31

92

34

===

+

+=

+

+=x ;

Por lo tanto, el punto buscado es:

5

9

7,P

2) ( ) ( )5

44782 21 = r,,P,,P

Solucin.

;

( )

3

8

9

24

5

9

5

24

5

41

5

168

5

41

45

48

===

+

=

+

+=y


3

82,P

Ejemplo.

Encontrar el punto medio del segmento de recta unido por los puntos ( )58,A y ( )63,B

Solucin.

Aplicando las frmulas del punto medio:2

5

2

38 =

+=x ;

( )2

1

2

65 =

+=y . El punto es:

2

1

2

5,P .

( )

5

9

2

52

9

2

31

2

153

2

31

52

33

==

+

+=

+

+=y

( )2

9

18

5

9

5

18

5

41

5

282

5

41

75

42

===

+

+=

+

+=x


10/22


10

Ejemplo.Hallar las coordenadas de dos puntos ( )111 y,xP y ( )222 y,xP , que dividan al segmento que une a los

puntos ( )13,k y ( )79,B en tres partes iguales.

Solucin:

El primer punto est al final del primer tercio, es decir a razn uno a dos: 2

1=r :

( )5

3

15

2

32

15

2

11

2

93

2

11

92

13

===

+

+=

+

+=x ;

( )

3

5

2

3

2

5

2

11

2

71

2

11

72

11

==

+

+=

+

+=y

el primer punto buscado es:

3

551 ,P

El segundo punto est al final del segundo tercio, es decir a razn dos a uno:1

2=r :

( )7

3

21

1

3121

1

21

1183

1

21

9123

===

+

+=

+

+=x ;

( )

3

13

1

3

1

13

1

21

1

141

1

21

71

21

==

+

+=

+

+=y

el segundo punto buscado es:

3

1372 ,P

Ejemplo.Sabiendo que el punto ( )29,P divide al segmento que determina la unin de los puntos ( )861 ,P y

( )222 y,xP en la razn7

3=r , hallar las coordenadas de 2P .

Solucin.

r

xrxx

+

+=

1

21, despejando 2x :

( ) ( ) ( )

r

xrxxxrxrxrxxrx 121221

111 +

=+=+=+

procediendo de forma similar se obtiene:( )

r

yryy 12

1 +=

sustituyendo en ambas expresiones:

163

48

7

3

7

48

7

3

67

90

7

3

67

10

9

7

3

67

3

19

2 ===

=

=

+

=x

123

36

7

37

36

7

3

87

20

7

3

87

102

7

3

87

312

2 =

=

=

=

=

+

=y


11/22


11

Por lo tanto, el punto buscado es: ( )12162 ,P

Ejemplo.

Hallar las coordenadas de un punto ( )y,xP que divida al segmento unido por los puntos ( )1041 ,P y( )6122 ,P en las siguientes razones:

a)7

1=r b)9

8=r c) 1=r d)10

11=r e)2

500=r f) 0=r

g)6

1=r h)

24

23=r i) 1=r j)

15

16=r k)

2

600=r

y establecer una conclusin del comportamiento de los puntos con respecto a las relaciones.

Solucin:

Al ser fijos 1P y 2P , las frmulas r

xrxx

+

+=

1

21 y

r

yryy

+

+=

1

21 se aplican fcilmente a todas las

relaciones dadas puesto que las coordenadas no cambian.

Procediendo repetidamente se obtienen los siguientes puntos de divisin:

( )8,2 aP

( )47.2,52.3 bP ( )2,4 cP ( )61.1,38.4 dP ( )93.5,93.11eP ( )10,4 fP

( )14.11,14.5 gP

( )378,372 hP

iP (No existe)

( )246,252jP

( )05.6,05.12kP

A partir de los resultados, se puede concluir que:

Con 0=r , el punto ( )y,xP se ubica en 1P

A medida que r va creciendo ( )y,xP se desplaza hacia 2P En su punto medio r vale 1 Cuando r es negativa, el punto se ubica en su prolongacin hacia abajo alejndose hasta que llega

a 1=r donde es infinito y cambia de sentido. Al seguir decreciendo, tiende a 2P .

Geomtricamente, lo anterior se puede representar como:


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12

En el espacio, las frmulas divisin de un segmento en una razn dada se deduce de forma similar queen dos dimensiones ya que el segmento puede ser parte de un plano que une dichos puntos. Esto es, sise tienen los puntos ( )1111 z,y,xP , ( )2222 z,y,xP como extremos de un segmento y una razn r, elpunto que lo divide se puede encontrar por medio de:

r

xrxx

+

+=

1

21;

r

yryy

+

+=

1

21;

r

xzzz

+

+=

1

21

Grficamente, es:

x

y

P1 (4,-10)

4 8-4-8

4

8

12

-4

-8

-12

P2 (12,6)

Pa

Pb PcPd

Pe

Pf

Pg

Ph

Pi no existe, pero geometricamente implica

Pk

Pj

0


13/22


13

Ejemplo.

Obtener las coordenadas de un punto ( )z,y,xP que divida al segmento de recta que se forma al unir los

puntos ( )11651 ,,P y ( )4182 ,,P con la razn5

14=r .

Solucin.

( )

19

87

5

19

5

87

5

141

5

1125

5

141

85

145

==

+

+=

+

+=x

( )

1944

5

195

44

5

141

5

146

5

141

1

5

146

=

=+

=+

+

=y

( )

19

1

5

19

5

1

5

141

5

5611

5

141

45

1411

=

=

+

=

+

+=z


19

1

19

44

19

87,,P

IV. 6 CLASIFICACIN DE POLGONOS

La geometra plana se relaciona con el estudio de todas las formas que se presentan en el plano: puntos,segmentos de rectas y ngulos. Dentro de esta larga lista se encuentran los polgonos y la circunferencia.

Un polgonoes la figura geomtrica formada por segmentos de rectas unidos entre s, de manera queencierran una regin del plano. Sus elementos fundamentales los lados, los vrtices, los ngulosinterioresy los ngulos exteriores. Grficamente es:

y

z

xx1

z1

y1

P1 (x1, y1, z1)

P2(x

2, y

2, z

2)z2

x2

y2

P (x, y, z)


14/22


14

A B

C

D

Lado

Vrtice

nguloexteriorngulo

interior

F

E

Apotema

Lados: son los segmentos de recta que forman la frontera o polgono. Vrtices: Son los puntos de interseccin de dos lados de un polgono. Dichos puntos permiten

nombrar al polgono. ngulos interiores: son aquellos formados por dos lados del polgono y su regin angular queda en la

regin interior. ngulos exteriores: se forman a partir de un lado del polgono y la prolongacin del otro adyacente a

l. Apotema: es el segmento que va desde el centro del polgono regular a la mitad de un lado.

Los polgonos tienen el mismo nmero de lados, apotemas, vrtices y ngulos.

Los polgonos se pueden clasificar de acuerdo a sus lados y a su regin interior. Hay polgonos quereciben nombres especiales de acuerdo a su nmero de lados 1. Estos nombres de polgonos se agrupan

en la siguiente tabla:

LADOS NOMBRE3 Tringulo4 Cuadriltero5 Pentgono6 Hexgono7 Heptgono8 Octgono9 Enegono10 Decgono11 Endecgono12 Dodecgono15 Pentadecgono20 Isodecgono

Segn la medida de sus lados, los polgonos pueden ser regulares e irregulares.

Son polgonos regulareslos que tienen todos sus lados y ngulos congruentes, es decir, tienen la mismamedida.

1Los que no tienen un nombre especial, se designan por el nmero de lados, por ejemplo, polgono de 27 lados.


15/22


15

Los polgonos irregularestienen, a lo menos, un lado con distinta medida o sus ngulos son diferentes.

Los polgonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posicin que ocupan los primeros conrespecto a la circunferencia. Es as como se tienen las siguientes situaciones.

Polgono inscrito a la circunferencia. En este caso los vrtices del polgono son puntos de lacircunferencia y sta queda circunscrita al polgono. Los lados del polgono son cuerdas de lacircunferencia.

A B

CD

AB=BC=CD=DA=90

Todos sus ngulosmiden 90

AB

C

ABBCCA

A B

C


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16

Polgono circunscrito a la circunferencia. Todos los lados del polgono son tangentes de lacircunferencia. La circunferencia queda inscrita al polgono.

CLASIFICACIN DE TRINGULOS

Los tringulos son los polgonos que poseen tres lados y cuya suma de sus ngulos es de 180. Laclasificacin de los tringulos segn sus lados es:

Escaleno: No tiene lados iguales Issceles: Tiene dos lados iguales Equiltero: Tiene los tres lados iguales

La clasificacin de los tringulos segn sus ngulos es:

Rectngulo: Tiene un ngulo recto Obtusngulo: Tiene un ngulo obtuso Acutngulo: Tiene sus tres ngulos agudos

D

A

C

B

A

C

B

Tringulo escalenoC

C

A

A B

B

Tringulo equiltero

Tringulo issceles


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17

Semejanza

2

. La semejanza de tringulos puede establecerse a travs de dos criterios bsicos:1. Dos tringulos con ngulos respectivos iguales.2. Dos tringulos con lados homlogos proporcionales.

Congruencia3. La congruencia de tringulos est determinada en cualquiera de los siguientes casos:

1. Tienen los tres lados iguales2. Tienen dos ngulos y un lado igual3. Tienen dos lados iguales e igual el ngulo comprendido.

2En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma.3 En general, dos figuras son congruentes si coinciden cuando se coloca una sobre otra. Por ejemplo, dos segmentos soncongruentes si tienen la misma longitud, dos circunferencias son congruentes si tienen el mismo radio, dos cuadrados soncongruentes si tienen el mismo lado.

Tringulo rectngulo

A B

C

C

C

A

A

B

B

Tringulo acutngulo

Tringulo obtusngulo

1 1

1

2

2

1= 2

1= 2

1= 2

2


18/22


18

En un tringulo cualquiera, existen puntos notablesque a continuacin se describen: Una alturaes un segmento rectilneo que pasa por un vrtice y es perpendicular al lado opuesto o su

prolongacin. Las tres alturas de un tringulo se cortan en un punto comn denominado ortocentro.

A B

C

Alturas

Ortocentro

Una mediana es un segmento que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto. Las tresmedianas se cortan en un punto llamado baricentro. El baricentro tambin es conocido como elcentro de gravedad y divide a las medianas en dos segmentos, siendo el que corta al vrtice delongitud doble que el otro.

a1

b1

c1

a1

b1

c1

a1= a2

b1= b2

c1= c2


19/22


19

A

C

B

Medianas

Baricentro

Una bisectriz interiores la recta que pasa por un vrtice y divide al ngulo interior en dicho vrtice endos partes iguales. Las tres bisectrices internas se cortan en un punto denominado incentroque es elcentro de la circunferencia inscrita en un tringulo.

A

C

Bisectricesinteriores

Incentro

B

Una bisectriz exteriordivide en dos partes iguales al ngulo exterior en dicho vrtice. Las tres bisectricesexternas se cortan en tres puntos llamados excentros. El incentro y los tres excentros son los centros decircunferencias tangentes a los lados de un tringulo o sus prolongaciones.


20/22


20

BA

C

Bisectrices

exteriores

Excentros

Una mediatriz es una recta perpendicular a un lado en su punto medio (los trminos bisectriz ymediatriz tambin se usan para designar a los segmentos rectilneos correspondientes contenidosdentro del tringulo). Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro que es elcentro de la circunferencia que pasa por los tres vrtices del tringulo.

A

C

B

Mediatrices

Circuncentro

CLASIFICACIN DE CUADRILTEROS

Los cuadrilteros son los polgonos que poseen cuatro lados y cuya suma de sus ngulos es de 360.

Todos los polgonos regulares pueden estar inscritos o circunscritos a una circunferencia. Los msrelevantes son:


21/22


21

Cuadrado. Es un cuadriltero que tiene lados iguales y ngulos iguales (90). Los cuadrados tienendos diagonales iguales y su ngulo formado es tambin de 90.

Rectngulo: Es un cuadriltero que posee dos pares de lados iguales y tienen los ngulos iguales. Rombo. El rombo es un polgono que tiene los cuatro lados iguales y los ngulos son iguales en

pares (dos ngulos son agudos y los otros dos obtusos). Trapecio. El trapecio es un polgono que tiene 4 lados, de ellos, dos son paralelos. Los cuatro

ngulos son distintos de 90. La suma de los 4 ngulos es 360 grados. Trapecio issceles. Es un trapecio que tiene dos pares de lados iguales . Esto es , losngulos son iguales en pares.

PERMETROS Y REAS DE POLGONOS

Dadas las siguientes figuras:

Cuadrado Rectngulo

Rombo

Trapecio

Trapecioissceles

b

h

aaaa

aaaa h

b

h

b

r

b

aaaa

h1 h2

h1 h2

aaaa


22/22


22

El clculo del rea y el permetro se calculan mediante las frmulas condensadas en la siguiente tabla:

Figura rea Permetro

Tringulo2

bhA= 21 hhbP ++=

Cuadrado2

aA = aP =4 Rectngulo bhA = ( )hbP +=2

Trapezoide( )

2

hbaA

+= ( ) 212 hhbaP +++=

Circunferencia 2rA = rP =2

Polgono regularde n caras 2

PaA= nbP=

IV.7 APLICACIONES

La utilidad de los sistemas coordenados es especial en la Geografa, la Topografa y en la Aeronutica,principalmente a travs de la utilizacin de mapas y en radares. Por ejemplo, se puede determinar laposicin de algn objeto, utilizando un sistema coordenado teniendo el eje y , hacia el Norte y el eje x ,hacia el Este. Esto define las coordenadas de un punto, que puede ser una casa, una ciudad, un avin,una montaa, etc.

Los sistemas coordenados tambin sirven para conocer el punto en que se encuentran dos mviles quese desplazan en direcciones distintas a una misma velocidad. O bien conocer la distancia de dos objetossi estn inmviles.

Los sistemas coordenados son esenciales para realizar mapas precisos, pero hay algunas sutilezas. Porejemplo, la superficie esfrica aproximada de la Tierra no se puede representar sobre un mapa plano sinque haya distorsin. A unas cuantas decenas de kilmetros, el problema es muy poco notorio, pero a una

escala de cientos o miles de kilmetros, la distorsin aparece necesariamente. Se puede hacer unavariedad de representaciones aproximadas y cada una implica un tipo algo diferente en la distorsin deforma, rea o distancia4.

Tanto la figura como la escala pueden tener consecuencias importantes en procesos de Ingeniera. Porejemplo, las conexiones triangulares maximizan la rigidez, las superficies lisas disminuyen la turbulenciay los recipientes esfricos minimizan el rea de la superficie para cualquier volumen o masa dada.Cambiar el tamao de objetos manteniendo la misma forma puede tener efectos profundos debido a lageometra de la escala: el rea vara como el cuadrado de las dimensiones lineales, y el volumen lo hacecomo el cubo.

4Un tipo comn de mapa exagera las reas aparentes de las regiones cercanas a los polos (por ejemplo, Groenlandia y Alaska),mientras que otros tipos especficos representan de manera engaosa la distancia ms corta entre dos lugares, o aun qu punto esadyacente a qu otro.

Unidad 4 matematicas 5

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