6. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES.

Se entiende por ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) cualquier expresión de la forma:

(15.1)

Que contenga varias variables independientes x, y…, una función incógnita u y sus derivadas parciales sucesivas En lo que sigue se utilizará esta notación de subíndices para representar las derivadas parciales. Así por ejemplo:

6.1 DEFINICIONES

La ecuación 15.1 se considerará siempre definida en un cierto dominio , si n es el número de variables independientes. Estaremos entonces interesados en encontrar funciones u(x, y,…..) que verifiquen (15.1) idénticamente en D, funciones que, si existen, llamaremos soluciones de la correspondiente ecuación diferencial en derivadas parciales.

El orden de una ecuación diferencial en derivadas parciales es el mayor orden de las derivadas parciales que en ella aparezcan. Por ejemplo, la ecuación:

es de segundo orden, mientras que:

es una ecuación diferencial en derivadas parciales de tercer orden.

DEFINICIÓN (15.2). Un ecuación diferencial en derivadas parciales (15.1) se dice lineal si la función f es lineal en la variable dependiente u y en todas sus derivadas parciales.

6.2 FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DE SEGUNDO ORDEN.

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden con coeficientes constantes, grupo al que pertenecen las denominadas ecuaciones de la Física Matemática. Si es dos el número de variables independientes y las denotamos por x e y, la expresión más general de este tipo de ecuaciones es:

(15.2 )

donde son constantes, y g(x,y) es una función de las variables x e y denominada término independiente. Al igual que ocurría con las ecuaciones diferenciales ordinarias, si g(x, y) es idénticamente nula, la ecuación diferencial en derivadas parciales se denomina homogénea; en caso contrario se hablará de ecuación no homogénea o completa.A la hora de obtener las soluciones de (15.2), se presentan varias diferencias importantes con respecto a las ecuaciones diferenciales ordinarias, entre las que destacaremos las dos siguientes:

La primera está relacionada con el concepto de solución general para una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n N, es un conjunto de funciones dependientes de n constantes arbitrarias. En lo que a las ecuaciones diferenciales parciales se refiere, en lugar de constantes, la solución general depende de constantes arbitrarias. Para ilustrar esto considere la ecuación:

(15.3)

Manteniendo x fija e integrando con respecto a y, se obtiene:

Una segunda integración con respecto a x, mientras ahora consideramos a y fija, da

(15.4)

Que es la solución general de (15.3), siendo g y h funciones arbitrarias. Para obtener de (15.4) una solución particular, será necesario añadir ciertas condiciones adicionales que permitan determinar las funciones g y h explícitamente, lo que puede resultar incluso más difícil que la obtención de la propia solución general. Esta dificultad no aparece en el caso ordinario, en el que la obtención de soluciones particulares requiere solamente la determinación de constantes arbitrarias. Por este motivo, en lugar de obtener soluciones generales y a partir de ellas las correspondientes particulares que verifiquen ciertas condiciones prescritas, consideraremos solamente procedimientos que permitan obtener directamente estas soluciones particulares.

La segunda diferencia se refiere al conjunto de soluciones de la ecuación homogénea. Para las ecuaciones ordinarias lineales de orden , constituye un espacio vectorial de dimensión n, igual al orden de la ecuación. Esto viene a significar que toda solución se puede expresar como una combinación lineal de soluciones linealmente independientes. Desafortunadamente esto no es cierto, en general, para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales homogéneas, debido a que, aunque el conjunto formado por sus soluciones tiene también estructuras de espacio vectorial (puesto que la ecuación el lineal), sin embargo, su dimensión es infinita. Este hecho se pone de manifiesto en el siguiente ejemplo:Efectuando el cambio de variables

r = x + y ; s = x – y

en la ecuación diferencial en derivadas parciales

obtenemos la ecuación

de la que deducimos como solución general

y, deshaciendo el cambio anterior:

donde es una función arbitraria con la sola restricción de ser diferenciable. De aquí se sigue que cada una de las funciones:

Es una solución de la ecuación de partida, y es evidente que todas ellas son linealmente independientes. Debido a este hecho, en principio se puede considerar la posibilidad de construir soluciones en forma de sumas infinitas de soluciones linealmente independientes. Sin embargo como existen problemas de convergencia, no es inmediato el que una suma infinita de soluciones sea una solución. Nótese que debido al carácter lineal de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que estamos considerando, la suma infinita de soluciones siempre es solución; es decir, al igual que en el caso ordinario, para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales también se verifica el Principio de Superposición. Sin embargo, como se acaba de comentar, este principio presenta problemas en el caso de superposiciones infinitas. Este tipo de cuestiones relacionadas con la convergencia, será contemplado con detalle mas adelante.

En si, se describirá, con carácter general, el tipo de problema que vamos a abordar relacionados con las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, así como los métodos que se utilizarán para su resolución. Todo ello se hará para el caso de variables independientes. También se dará una clasificación de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales con coeficientes constantes en dos variables independientes. Después se definirá el tipo de condiciones el tipo de condiciones adicionales, que, añadidas a la ecuación diferencial lineal en derivadas parciales correspondiente, proporcionarán los problemas en cuyas soluciones se centrará el interés. Posteriormente se describirán los métodos que se emplearán para la obtención de estas soluciones particulares en las distintas situaciones. Los métodos que se emplearán se fundamenten en la denominada separación de variables y en el uso de la transformada de Laplace. También se incluirá el operador laplaciano, dándose su representación en distintos sistemas de coordenadas (cartesianas y polares en el plano; cartesianas, esféricas y cilíndricas en el espacio de tres dimensiones). Este operador jugará un importante papel al estudiar la ecuación de Laplace y, en general, cuando se traten las ecuaciones de la Física Matemática en el caso de tres variables independientes.

6.3. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN (ELÍPTICAS, PARABÓLICAS E HIPERBÓLICAS).

La clasificación de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (15.2) surge por su analogía con la ecuación de las canónicas en el plano

Así, dependiendo de que la cantidad sea positiva, negativa o nula, hablaremos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales hiperbólicas, elípticas o parabólicas; es decir:

La utilidad de esta clasificación se basa, esencialmente, en la posibilidad de reducir (15.2) (en cada uno de los tres casos anteriores) a una forma canónica, mediante un adecuado cambio de variables independientes.

Para determinar estas formas canónicas, empezamos por considerar un cambio de variables independientes genérico:

Donde supondremos que r y s son funciones de x e y dos veces derivables, de manera que el jacobiano de la transformación

Es distinto de cero en la región en que estamos interesados. Entonces, suponiendo que x e y son, a su vez, funciones de r y s dos veces derivables, podemos introducir el cambio en (15.2) sin más que tener en cuenta que:

(15.5)

Sustituyendo estos valores en (15.2) se obtiene:

(15.6)

(15.7)

Observación. La ecuación resultante (15.6) va a tener coeficientes variables. Sin embargo, posee la misma estructura que la original (15.2) y , además, su naturaleza permanece invariante ante la transformación efectuada puesto que, como puede comprobarse fácilmente:

Y, por tanto, si inicialmente la ecuación era parabólica, hiperbólica o elíptica, después del cambio continúa perteneciendo a la misma clase, sin más que exigir que el Jacobiano sea distinto de cero.Supongamos entonces que , en (15.2). En estas condiciones para obtener las formas canónicas buscadas, tratamos de determinar r y s como funciones de x e y de forma que en la ecuación transformada, y sean idénticamente cero.Esta condición proporciona las ecuaciones:

Puesto que estas dos ecuaciones tienen la misma estructura, podemos estudiarlas como si de una sola se tratase. Representándola por:

(15.8)

Si dividimos por obtenemos

(15.9)

Ahora bien, sobre las cuevas , se tiene , es decir:

Con lo que en este caso, (15.9) puede escribirse como

Cuyas raíces son

(15.10)

Definición. Las dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden anteriores se denominan ecuaciones características de la ecuación diferencial en derivadas parciales y sus soluciones, que obtenemos por integración directa

Reciben el nombre de curvas características.

Puesto que las dos curvas características dependen de una constante arbitraria, basta elegir r como una de ellas y s como la otra, para obtener el cambio de variables buscado que viene dado por:

(15.11)

Observación. La transformación (15.11) es tal que los coeficientes de la ecuación transformada (15.6) son también constantes, como puede comprobarse utilizando las expresiones

(15.7). En consecuencia, las formas canónicas que a continuación obtendremos para cada uno de los tipos hiperbólico, parabólico y elíptico, tendrán coeficientes constantes.

ECUACIONES HIPERBÓLICAS

En este caso y, por tanto, las dos ecuaciones características (15.10) son reales y distintas. El cambio de variables es entonces el dado por (15.11) y la ecuación diferencial en derivadas parciales (15.2) se transforma en:

Expresión que se denomina primera forma canónica de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales hiperbólicas. Si en esta última ecuación se introduce el cambio de variables

Obtenemos

Donde , son constantes. Esta expresión se denomina segunda forma canónica de las ecuaciones hiperbólicas y será la que utilicemos en el método de separación de variables.Observación. en (15.2), las ecuaciones (15.10) dejan de ser válidas. En este caso, escribimos (15.8) en la forma

De donde obtenemos las ecuaciones características:

;

Cuyas soluciones son

Eligiendo ahora

La ecuación transformada de (15.2) mediante este cambio tiene ya la estructura de la primera forma canónica de la que podemos obtener la segunda forma canónica mediante el mismo cambio anterior.

Observación. A este tipo de ecuaciones pertenece la denominada ecuación de ondas, cuya expresión es Donde t representa el tiempo y x representa la variable espacial.

ECUACIONES PARABÓLICAS

y por tanto, solo disponemos e una curva característica

Puesto que en (15.10). Así, eligiendo , podemos considerar , siendo

y constantes cualesquiera, con la sola condición de que el correspondiente Jacobiano sea distinto de cero. Con la elección adecuada de las constantes y , el cambio anterior transforma (15.2) en

Que es la forma canónica para las ecuaciones d tipo parabólico , son constantes.

Observación. Si entonces es también cero y la ecuación, en este caso viene ya expresada en forma canónica

Observación. A este tipo de ecuaciones pertenece la denominada ecuación de difusión, cuya expresión es

Donde t y x son las mismas variables que aparecen en la ecuación de ondas.

ECUACIONES ELIPTICAS

, con lo que las curvas características son

Donde y son números complejos conjugados, cuyo valor es

; ;

Consideramos entonces el cambio:

Introduciendo ahora las nuevas variables

La ecuación (15.2) se transforma en

Donde: , son constantes. Esta expresión es la forma canónica correspondiente a las ecuaciones elípticas.

Observación. En este caso se tiene y por tanto las constantes y de

(15.2) no pueden ser cero ya que entonces sería un número complejo.

Observación. A este tipo de ecuaciones pertenece la denominada ecuación de Laplace, cuya expresión es

Donde representa el operador laplaciano que en coordenadas cartesianas en el plano está definido por la expresión

Obtenga la forma canónica de la ecuación diferencial en derivadas parciales

Solución Puesto que , y , se tiene , por tanto la ecuación es hiperbólica. Las ecuaciones características son:

y, en consecuencia, las curvas características vienen dadas por

Así pues la transformación

Reduce la ecuación dada a la forma “canónica”

6.4. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES.

PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Distinguiremos entre las ecuaciones de evolución (ecuaciones de ondas y difusión) que describen procesos que cambian con el tiempo y que, por tanto, contienen a este como variable independiente y las ecuaciones estacionarias (ecuación de Laplace) que describen procesos estáticos y, en consecuencia, no dependen del tiempo.

Para las primeras aparecen de forma natural en las aplicaciones dos tipos de condiciones auxiliares. Condiciones iniciales: al igual que en el caso de las ecuaciones ordinarias, prescriben el valor

de la función y/o sus derivadas en cierto instante . Supondremos siempre que , lo que no restará generalidad a los resultados que se obtengan. El número de condiciones iniciales a considerar depende del orden de la derivada parcial con respecto al tiempo que contenga la ecuación y coincide con este. Así, para las ondas ( ) se considerarán dos condiciones iniciales:

Mientras que para la difusión ( ), solamente una:

Condiciones de frontera (o contorno): están asociadas a variables que representan alguna dimensión espacial y que, por tanto se hallan restringidas a una cierta región finita o semi-infinita en el espacio. Si la ecuación diferencial en derivadas parciales es de segundo orden, v a ser necesario conocer el valor de la solución, de su derivada o d una combinación lineal de ellas, en la frontera de la región considerada. Así pues trataremos tres tipos de condiciones de frontera:

1) Condiciones de Dirichlet: consisten en preescribir el valor de la solución en la frontera y pueden representarse por

2) Condiciones de Neumann: consisten en preescribir el valor de la derivada según la dirección normal de la solución en la frontera y pueden representarse por

3) Condiciones de Robin: son de carácter mixto pues prescriben el valor de una combinación lineal de la solución y su derivada según la dirección normal en la frontera. Se pueden representar por:

Donde x representa el conjunto de variables que definen la región del espacio.

En síntesis, para las ecuaciones de evolución nos ocuparemos de resolver problemas de valores iniciales con condiciones de frontera de uno de los tres tipos anteriores.

a) Problema de Dirichlet para la ecuación de ondas: ; ;

; (condiciones de frontera)

; (condiciones iniciales)

b) Problema de Neumann para la ecuación de difusión:

; ;

; (condiciones de frontera) (condiciones iniciales)

c) Problema de Robin para la ecuación de ondas:

; ;

(condiciones de frontera)

; (condiciones iniciales)

Abordaremos por tanto los problemas de Dirichlet, Neumann y Robin para este tipo de ecuaciones. Ejemplos de este tipo de problemas, formulados en coordenadas cartesianas para un rectángulo de longitud y anchura b, son:

i. Problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace

; ; ; (condiciones de frontera en x)

; (condiciones de frontera en y)

ii. Problema de Neumann para la ecuación de Poisson: ; ;

; (condiciones de frontera en x)

; (condiciones de frontera en y)

iii. Problema de Robin para la ecuación de Laplace:

; ;

(condiciones de frontera en x)

Análogas en y y condiciones de frontera a análogas en y.

OBTENCIÓN DE SOLUCIONES PARTICULARES

Se describirá a continuación los dos tipos de métodos que utilizaremos para la resolución de los problemas de valor inicial y/o de frontera propuestos en el apartado anterior. El primero de ellos se conoce con el nombre de método de separación de variables, y se fundamenta en la construcción de un adecuado problema de Sturm-Liouville, del que se obtiene un conjunto de autofunciones en términos de las cuales se construye la solución. En el segundo utilizaremos la transformada de Laplace.

MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES

Presentamos aquí el método de separación de variables aplicado a la resolución de los problemas de valor inicial y/o de frontera definidos en el apartado anterior, para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en dominios acotados, situación en la que este método resulta más apropiado. Consideremos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales homogéneas en dos variables independientes y condiciones de frontera también homogéneas.

Considérense los problemas:

1. Para las ecuaciones hiperbólicas ( ; )

2. Para las ecuaciones parabólicas ( ; )

3. Para las ecuaciones elípticas ( ; )

El método de separación de variables consiste en buscar la solución como un producto de dos funciones, dependientes cada una de ellas de una de las variables.Es decir, supondremos

Para los casos hiperbólico y parabólico, y

Para el caso elíptico. Cambiando u por esta expresión en la correspondiente ecuación diferencial en derivadas parciales y dividiendo a continuación por la propia función, se obtiene

(caso hiperbólico)

(caso parabólico)

(caso elíptico)

Ya que los dos miembros de estas expresiones dependen de variables distintas, ambos deben ser iguales a una constante. Denotando por esta constante de separación, se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias para M y N:

(c. de frontera) (15.12)(c. iniciales)

(c. de frontera) (15.13)(c. inicial)

(c. de frontera en x) (15.14)(c. de frontera en y)

(en los tres casos) (15.15)

y

Así pues se ha pasado de una ecuación diferencial en derivadas parciales en dos variables independientes a dos ecuaciones diferenciales ordinarias separadas para cada una de ellas.

TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace proporciona un método efectivo para obtener la solución de algunos problemas de frontera y/o de valor inicial asociados a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Incluso en determinados casos, aunque se puedan usar técnicas más sencillas (como la de separación de variables que se acaba de exponer), este método puede dar información adicional de interés. Sin embargo, conviene tener presente que, en otros casos, el uso de la transformada de Laplace no es apropiado, pues lo único que hace es añadir complicaciones sin proporcionar más información.

En principio, las características de un problema de frontera y/o de valor inicial para una ecuación diferencial en derivadas parciales que aconsejan el uso de la transformada de Laplace para su resolución, se pueden resumir en los siguientes puntos:

1. la ecuación diferencial en derivadas parciales es lineal (condición necesaria)2. la ecuación diferencial en derivadas parciales tiene coeficientes constantes.3. al menos una de las variables independientes (t), recorre el intervalo .4. el problema incluye apropiadas condiciones iniciales (t=0) en la variable de la condición tres

anterior.

Para ilustrar este procedimiento considérese el problema:

; , ;

;

En él, las dos variables x y t, recorren el intervalo ; sin embargo, la variable x, presenta una sola condición en x=0 y, se necesitan dos condiciones para transformar por Laplace una derivada segunda.

Por tanto será más conveniente abordar este problema mediante la transformada de Laplace con respecto a la variable t.Sea

Donde la variable x se considera como un parámetro. Suponiendo que en la ecuación diferencial en derivadas parciales, las operaciones de derivación con respecto a x y transformación por Laplace con respecto a t son permutables, su transformada es:

(caso hiperbólico)(caso parabólico) (15.16)(caso elíptico)

Que puede considerarse como una ecuación diferencial ordinaria en la variable x, en la que ahora s es un parámetro. Su solución general es

Transformando nuevamente con respecto a t las condiciones dadas sobre x:

Y, por tanto:

Finalmente podemos escribir la solución buscada en la forma

6.5 APLICACIONES

Un problema de conducción de calor de una lámina.

Entre las ecuaciones de matemáticas aplicadas se encuentra la ecuación de difusión de calor en coordenadas rectangulares,

(1)

En la que:

x,y,z = coordenadas rectangulares del espacio, t = coordenada de tiempo, h² = difusividad térmica, u = temperatura.

La constante h² y las variables x, y, z, t y u pueden darse en cualquier conjunto consistente de unidades. Por ejemplo, podemos medir x, y y z en pies, t en horas, u en grados Fahrenheit y h² en pies cuadrados por hora. La difusividad (que se supondrá constante en este caso), puede definirse por

En términos de cantidades físicas elementales,

k =conductividad térmica =calor específico =densidad

Todas relativas al material de que está hecho el objeto sólido cuya temperatura buscamos.

Para este problema de ecuaciones diferenciales parciales con valores en la frontera, parece deseable simplificarlo tanto como sea posible. Así construimos un problema de temperatura en el que ésta es independiente de dos variables espaciales; por ejemplo, y y z. para tal problema u será una función de solo dos variables independientes (x y t), que es el número mas pequeño posible de variables independientes que puede haber en una ecuación diferencial parcial.

Sea f(x) la temperatura inicial de la lámina (t=0), una función exclusiva de x y suponga que las superficies x=0, x=c se mantienen a una temperatura de cero para toda t>0. si la lámina se considera infinita en las direcciones y y z, o más específicamente, si solo tratamos las secciones transversales cercanas (lejos de las superficies distantes de la lámina), entonces la temperatura u a cualquier tiempo t y posición x esta determinada por el problema con valores en la frontera:

para (2)

Cuando , para (3)

Cuando , para (4)

Cuando , para (5)

En el problema con valores en la frontera de (2) a (5), el cero en la escala de temperatura a la que se mantienen las superficies de la lámina. Entonces la f(x) en realidad es la diferencia entre la temperatura inicial real y la temperatura constante y subsecuente en la frontera.

El conjunto de símbolos significa que t tiende a cero por medio de valores mayores que cero. Análogamente, significa que x tiende a c con valores menores que c, “c menos algo” en cada paso durante la aproximación. Podemos decir por ejemplo, que x tiende a c por la izquierda.Es particularmente notable que no requiramos una condición tal como que la función u(x, t) sea f(x) cuando t=0. Solo necesitamos que cuando , para cada x en el rango 0<x<c.La pregunta de cuántas condiciones en la frontera, y de qué naturaleza, están asociadas a una ecuación diferencial parcial dada para asegurar la existencia y unicidad de una solución, implica una dificultad considerable. Ahora intentaremos resolver el problema con valores en la frontera, esto es, buscaremos una función u(x, t) que satisfaga la ecuación diferencial parcial (2) y las condiciones (3), (4) y (5).Existen algunas soluciones de la ecuación diferencial y en efecto son:

(6)

Con valores para A, B y cualesquiera.Ahora es necesario intentar ajustar las soluciones (6) y (7) para que satisfagan las condiciones en la frontera (3), (4) y (5). Los intentos preliminares muestran rápidamente que es mas sencillos satisfacer las condiciones (4) y (5) y tratar luego la condición (3).Trataremos de satisfacer (4) y (5) con soluciones en la forma de la ecuación (6) anterior.Ahora la condición (4) requiere que cuando hagamos , para toda t positiva.Haciendo en la ecuación (6) concluimos que:

para 0<t.Así estamos obligados a concluir que , de modo que la solución (6) se convierte en:

(8)

Para la condición (5) debemos pedir que cuando , entonces otra vez , para toda t positiva; esto es, de la ecuación (8) y la condición (5) obtenemos:

para 0<t.

La exponencial no puede anularse. Para valores reales de β y c la función es cero solo si βc = 0. de aquí se deduce que β=0 o b=0, de modo que y no tenemos elección para satisfacer la condición restante, (3). Por tanto, abandonamos la ecuación (6) y nos concentramos en las soluciones:

(7)

Impondremos las condiciones (4) y (5) sobre u de la ecuación (7), primero hacemos y concluimos que:

para 0<t

Así debemos elegir A = 0. Entonces (7) se reduce a:

para 0<t (9)

No debemos elegir B = O si queremos tener éxito en satisfacer la condición adicional (3). La función no se anula. Por lo tanto, para que u de (9) satisfaga la condición de (5) es necesario

que:

(10)

La función seno es cero exclusivamente cuando su argumento es un múltiplo entero de π, esto es, senz es cero cuando z = 0, ± π, ± 2π, . . . ., ± nπ. Por lo tanto, de (10) se deduce que:

ac= nπ, n es un entero (11)

ya que c está dada, la ecuación (11) sirve que restringir los valores de . Con , las soluciones (9) se convierten en

Con n siendo un entero y B elegida arbitrariamente. Ya que no necesitamos utilizar la misma constante B para diferentes valores de n, no es más común escribir las soluciones así:

n es un entero (12)

No perdemos nada restringiendo la n en la ecuación (12) a enteros positivos 1,2,3,….., para n = 0 tenemos la solución trivial y los valores negativos de n conducen esencialmente a las mismas soluciones encontradas para los valores enteros positivos.. Veamos donde nos encontramos en este momento. Cada una de las funciones definida por el ecuación (12) es una solución de la ecuación diferencial:

para (3)

Y cada una de dichas funciones satisface las dos condiciones:

Cuando , para (4)

y

Cuando , para (5)

Falta por encontrar a partir de las soluciones una solución u(x, t) que también satisfaga la condición de la frontera (o inicial):

Cuando , para (3)

Ya que la ecuación diferencial parcial involucrada es lineal y homogénea en u y sus derivadas, una suma de las soluciones también será una solución. Por lo tanto, a partir de las soluciones conocidas

, podemos construir otras. Dadas ciertas condiciones de convergencia lo suficientemente fuertes, es cierto que aun la serie infinita:

También es una solución de la ecuación diferencial (2).La u(x, t) de la ecuación (13) satisface la ecuación (2) y las condiciones en la frontera (4) y (5). Si u(x, t) satisface también la condición (3), entonces para cada x en el intervalo el miembro derecho de la ecuación (13) debe tender a f(x) cuando . Supondremos que es posible intercambiar el orden del límite (cuando ) y la suma y así concluir que la condición (3) requiere formalmente que:

para (14)

Así podremos resolver el problema bajo consideración si es posible elegir las constantes de modo que la serie infinita del lado derecho en (14) tenga a f(x) como su suma para cada x en el intervalo

Que existen tales coeficientes está muy lejos de ser evidente. Para una clase grande de funciones f(x), existe un desarrollo del tipo de la ecuación (14), como ser verá en el capítulo 22. una vez que las son conocidas se insertan en el lado derecho de la ecuación (13), lo cual resulta entonces ser la solución final del problema con valores en la frontera dado en la ecuación (2) y las condiciones (3), (4) y (5).Para poder completar la solución de problemas con valores en la frontera de la clase que se ha considerado, es necesario conocer varios métodos de desarrollo de funciones en series trigonométricas.

Una serie que tenga la forma

(1)

Se llama serie de Fourier. Supongamos, primeramente que puede desarrollarse en una serie de Fourier cierta función f(x)

(2)

Que es uniformemente convergente en el intervalo tratemos de hallar expresiones para los coeficientes y .

Hallemos, en primer lugar, por cálculo directo de integrales

(3)

(4)

Donde m y n representan números enteros.

Como el miembro de la derecha de (2) multiplicado por cosnx es uniformemente continuo, se puede aplicar la integración término a término al integrar su miembro de la derecha. Multiplicando (2) por cosnxdx, igualando las integrales definidas de sus miembros, siendo a el intervalo de integración, y teniendo en cuenta (3) y (4), resulta

(5)

Análogamente, multiplicando (2) por sennxdx y procediendo como antes, se obtiene

(6)

También, de forma análoga, se tiene

(7)

Se ha demostrado que si f(x) es uniforme y finita en el intervalo y tiene solamente un número finito de discontinuidades de máximos y mínimos en este intervalo, entonces la serie de Fourier que resulta de (2) sustituyendo en ella los valores , , y de (5), (6) y (7),

m= 1, 2, …………………………………….. (8)

Es igual a f(x) para todos los valores de x en el intervalo excepto en los puntos de discontinuidad. En un punto de discontinuidad donde x =a, el valor de la serie es

(9)

Cuando x= y cuando x= , el valor de la serie para f(x) es

(10)

Tanto senmx como cosmx tienen el periodo , de modo que, donde m y k son números enteros. Por tanto, los

valores supuestos para la serie (2) en el intervalo , se suponen también para ella en cualquier otro intervalo . dicho de otra forma, (2) junto con (8), (9) y (10)define una función siendo k un número entero.En la figura 1 se indica lo que se acaba de exponer, representando la gráfica de una función de a

y varias repeticiones de ella.

La serie de Fourier que representa , se pueden obtener integrando término a

término, la serie de Fourier para f(x), pero solo bajo ciertas condiciones se obtendrá la serie de Fourier para df(x)/dx por derivación, término a término, de la serie de Fourier para f(x).

Ejemplo

Aplicación a la fisión nuclear.

Los átomos constan esencialmente de núcleos cargados positivamente y electrones, o partículas de electricidad, cargados negativamente. El núcleo contiene protones y neutrones. Un protón lleva una carga positiva de electricidad que puede arrastrar una carga de electrones de igual magnitud. Los neutrones no llevan carga. Se puede liberar energía, llamada energía nuclear, por una redistribución de las partículas de un núcleo.La fisión es un proceso en que los átomos capturan neutrones y después se dividen en partes diferentes de los átomos originales y liberan energía nuclear. Sustancias radioactivas, como torio,

radio y uranio, se desintegran y emiten varias clases de partículas. Estas se emplean para bombardear otras sustancias, tales como uranio 235, con neutrones y originar fisión. Si un átomo absorbe un neutrón, se desprenden otros neutrones. Cuando para una distribución dada de sustancias en un reactor el número de neutrones perdidos por fugas y absorciones es igual al número liberado por fisión, la distribución o régimen se llama crítica. La siguiente ecuación es fundamental en la teoría nuclear:

(17)

Donde es una constante positiva denominada Buckling y (x,y,z), denominada flujo de neutrones, es la suma de4 las distancias recorridas por segundo, por centímetro cúbico, en (x,y,z) por los neutrones que bombardean. Para un cierto valor de llamado material Buckling, la distribución de la sustancia es crítica. Nuestro problema será deducir relaciones entre dimensiones y volúmenes mínimos de reactores llenos de sustancias sujetas a (17).Consideremos, primeramente, un reactor de forma paralelepipédica con dimensiones a, b y c como se indica en la figura 5. Tomemos el origen de coordenadas en el centro del paralelepípedo, y los ejes coordenados paralelos a las aristas según se indican. Ya que no hay flujo exterior al reactor se tiene como condiciones límites de:

(18)

Se supone también la simetría de (x,y,z) con respecto a los planos coordenados. Aplicando el método de separación de variables, para resolver (17), se tiene

(19)

Sustituyendo este valor en (17) y dividiendo por XYZ se obtiene

(20)

Igualando la primera fracción a y resolviendo la ecuación resultante, se tiene

La condición cuando implica, debido a (19) y la simetría, que X=0 cuando

; por tanto, debemos tomar y . De aquí, escogiendo para a, el

menor valor positivo, se tiene

Aplicando el mismo proceso a cada una de las fracciones resulta,

(21)

Y, de (19),

(22)

La constante A depende de la potencia del reactor. La sustitución de (22) en (20) conduce a

(23)

Para un valor dado de , el volumen del reactor será mínimo si tiene la forma de un cubo. En este caso se ve, de (23), que

(24)

La distribución será crítica si tiene un cierto valor llamado del material Buckling.

Fuente

J. M. Kells, Aplicaciones diferenciales elementales, México-Mc. Graw Hill, 1969.

Ecuaciones diferenciales problemas lineales y aplicaciones, f. maecellan, l. casasús, a. zarco. España, mc. Graw-hill, 1990