Magnitudes proporcionales. 1º ESO -...

Matemáticas 1º de ESO. Capítulo 9: Magnitudes proporcionales. Porcentajes Autora: Nieves Zuasti Soravilla

www.apuntesmareaverde.org.es Revisoras: Milagros Latasa y Fernanda Ramos

LibrosMareaVerde.tk Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF

Magnitudes proporcionales. 1º ESO 208

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www.apuntesmareaverde.org.es

Autora: Nieves Zuasti

Revisoras: Milagros Latasa y Fernanda Ramos

Ilustraciones: Banco de imágenes del INTEF

1º ESO CAPÍTULO 9: MAGNITUDES PROPORCIONALES. PORCENTAJES





Índice

1. RAZÓN Y PROPORCIÓN 1.1. RAZÓN

1.2. PROPORCIÓN

2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES 2.1. PROPORCIONALIDAD DIRECTA

2.2. REGLA DE TRES DIRECTA

2.3. PORCENTAJES

3. ESCALAS: PLANOS Y MAPAS

Resumen

En este capítulo aprenderemos a utilizar instrumentos que nos permitan establecer comparaciones entre magnitudes.

Estudiaremos los procedimientos de la proporcionalidad directa como la regla de tres y el cálculo de porcentajes, en la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana.

Si conoces la escala o proporción de una fotografía, una fotocopia… puedes saber el tamaño real del objeto midiendo sobre la foto o fotocopia.

Si conoces la escala o proporción de esta fotografía puedes saber el tamaño real de estas flores midiendo sobre la foto.





RAZÓN Y PROPORCIÓN

1.1. Razón

Razón, en Matemáticas, es una comparación entre los valores de dos variables.

Se expresa en forma de cociente, de forma similar a una fracción y se lee “A es a B”

Ejemplo:

Compramos 3 kg de cerezas por 6 €. Podemos establecer la relación entre el precio (6 €) y la cantidad (3 kg)

6 : 3 = 2 € el kilo

3

6 es la razón entre euros y cerezas.

De esta manera si compramos otras cantidades de cerezas podremos calcular el precio a pagar.

Ejemplo:

La razón que relaciona el gasto de 4 personas y los 200 litros de agua que gastan en un día, puede escribirse:

litros

personas

200

4 o bien

personas

litros

4

200

En cualquiera de los casos estamos expresando que la razón entre litros de agua y personas es:

200 : 4 = 50 litros por persona

Si son 40 personas, la cantidad de agua será 2000 litros, si son dos personas la cantidad de agua será 100 litros, es decir:

50

1

100

2

2000

40

200

4 === o bien 1

50

2

100

40

2000

4

200 ===

Ideas claras

Una razón es un cociente. Se expresa en forma de fracción pero sus términos no expresan una parte de una misma magnitud sino la relación entre dos magnitudes. Los términos de la razón pueden ser números enteros o decimales.

Actividades propuestas

1. Tres personas gastan 150 litros de agua diariamente. ¿Cuál es la razón entre los litros consumidos y el número de personas? ¿Cuál es la razón entre las personas y los litros consumidos?

2. Seis kilos de naranjas costaron 6,90 €. Expresa la razón entre kilos y euros. 3. La razón entre dos magnitudes es 56. Escribe un ejemplo de los valores que pueden tener estas dos

magnitudes

Observa:

Una fracción expresa una parte de un todo de una única magnitud, mediante sus términos, numerador (las partes que se toman) y denominador (el total de las partes en las que se ha dividido ese todo)

Sin embargo, los términos de una razón se refieren a cantidades de dos magnitudes, el primero se llama “antecedente” y el segundo “consecuente”





1.2. Proporción

Una proporción es la igualdad entre dos razones.

Los términos primero y cuarto son los extremos y el segundo y tercero son los medios.

medio

extremo =

extremo

medio

Se llama “razón de proporcionalidad” al cociente entre dos variables. Y su valor constante nos permite obtener razones semejantes.

Cuando manejamos una serie de datos de dos pares de magnitudes que presentan una misma razón, se pueden ordenar en un cuadro de proporcionalidad.

Ejemplo:

En el cuadro de abajo se observa que cada árbol da 4

200 = 50 kg

de fruta. Es la razón de proporcionalidad.

Con ese dato podemos completar el cuadro para los siguientes casos.

Propiedad fundamental de las proporciones:

En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Ejemplo:

2730184518

30

27

45 ⋅=⋅⇒=

Ideas claras

Observa que la razón de proporcionalidad nos sirve para establecer una relación entre las dos variables para cualquiera de los valores que puedan adoptar


4. Completa las siguientes proporciones:

a) x

30

12

18 = b) 9

64,0 =x

c) 4,2

6,3

5,7=x

d) 30010

05,0 x=

5. Ordena estos datos para componer una proporción:

a) 12, 3, 40, 10 b) 24, 40, 50, 30 c) 0,36; 0,06; 0,3; 1,8 6. Copia en tu cuaderno y completa la tabla sabiendo que la razón de proporcionalidad es 4,5:

0,5 7 3 20 3,6

13,5 36 45 18

kg de fruta 200 400 100 50 500 150 3000 1000

nº de árboles 4 8 2 1 10 3 60 20





2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

2.1. Proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir a la primera por un número, la segunda queda multiplicada o dividida por el mismo número.

Ejemplo:

El número de personas que vienen a comer y la cantidad de comida que necesito. Por ejemplo si el número de personas es el triple habrá que preparar triple cantidad de comida.

Sin embargo, hay relaciones entre magnitudes que no son de proporcionalidad porque cuando una se multiplica o se divide por un número, la otra no queda multiplicada o dividida de la misma forma. Ejemplo:

El peso y la edad de una persona no son magnitudes proporcionales: El doble de la edad no significa el doble de peso

Ideas claras

Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, el doble, triple, … de la primera supone el doble, triple ... de la segunda

Hay magnitudes que no se relacionan proporcionalmente.


7. Señala de estos pares de magnitudes, las que son directamente proporcionales:

� El tamaño de un recipiente y el número de litros que puede contener

� La edad de una persona y su altura

� El número de pisos que sube un ascensor y las personas que caben en él

� Los kilos de pienso y el número de animales que podemos alimentar

� Las entradas vendidas para un concierto y el dinero recaudado

� El número de calzado y la edad de la persona

8. Calcula los términos que faltan para completar las proporciones:

a) x

30

24

18 = b) x

40

100

25 = c) 36,21

6,3 x=

9. Ordena estos valores de manera que formen una proporción directa:

a) 3,9 0,3 1,3 0,1 b) 5, 12, 6,10 c) 0,18 4 0,4 18

¿Hay más de una solución?





2.2. Regla de tres directa

Para resolver problemas de proporcionalidad directa, podemos utilizar el método de reducción a la unidad.

Ejemplo:

Cinco billetes de avión costaron 690 €. ¿Cuánto pagaremos por 18 billetes para el mismo recorrido?

Primero calculamos el precio de un billete, 690 : 5 = 138 €.

Después calculamos el coste de los 18 billetes: 138 · 18 = 2484 €

La regla de tres es otro procedimiento para calcular el cuarto término de una proporción

Ejemplo:

Con dos kilos de pienso mis gatos comen durante 6 días. ¿Cuántos kilos necesitaré para darles de comer 15 días?

Formamos la proporción ordenando los datos: días

días

kgx

kg

15

62= ⇒ kgx 5

6

152 =⋅=

Otra forma habitual de plantear la regla de tres es situando los datos de esta forma:

2 kg 6días kgx 56

152 =⋅=

x kg 15 días

Ideas claras

En la regla de tres directa ordenamos los datos de forma que el valor desconocido se obtiene multiplicando en cruz y dividiendo por el tercer término.

Reducir a la unidad significa calcular el valor de uno para poder calcular cualquier otra cantidad.


10. Un coche gasta 7 litros de gasolina cada 100 km, ¿cuántos litros

gastará en un viaje de 825 km?

11. En una rifa se han vendido 320 papeletas y se han recaudado 640 euros. ¿A cuánto se vendía cada papeleta? ¿Cuánto habrían recaudado si hubieran vendido 1000 papeletas?

12. Una paella para 6 personas necesita 750 g de arroz, ¿cuántas personas pueden comer paella si utilizamos 9 kg de arroz?

13. Tres camisetas nos costaron 24,90 €, ¿cuánto pagaremos por 11 camisetas iguales?





2.3. Porcentajes

El porcentaje o tanto por ciento es la proporción directa más utilizada en nuestra vida cotidiana.

En los comercios, informaciones periodísticas, o en los análisis de resultados de cualquier actividad aparecen porcentajes.

Un porcentaje es una razón con denominador 100.

Su símbolo es %.

Su aplicación se realiza mediante un sencillo procedimiento:

“Para calcular el % de una cantidad se multiplica por el tanto y se divide entre 100”

Ejemplo:

Calcula el 23 % de 800 El 23 % de 800 = 184100

80023 =⋅

Algunos porcentajes se pueden calcular mentalmente al tratarse de un cálculo sencillo:

El 50 % equivale a la mitad de la cantidad

El 25 % es la cuarta parte de la cantidad

El 75 % son las tres cuartas partes de la cantidad

El 10 % es la décima parte de la cantidad

El 200 % es el doble de la cantidad

Ejemplo:

El 25 % de 600 es la cuarta parte de 600, por tanto es 600 : 4 = 150

Ideas claras

Si cualquier cantidad la divides en 100 partes, el 22 % son veintidós partes de esas cien. El total de una cantidad se expresa como el 100 %


14. Calcula mentalmente:

a) El 50 % de 190 b) el 1 % 360 c) el 10 % de 200 d) el 300 % de 7

15. Completa la tabla:

Cantidad inicial % Resultado

280 16

720 108

60 140

60 294

16. En un hotel están alojadas 320 personas. De ellas, 40 son italianas, 120 francesas, 100 son alemanas y el resto rusas. Calcula el % que representa cada grupo sobre el total.

¡¡GRANDES REBAJAS!!

40 % DE DESCUENTO

EN TODOS LOS ARTÍCULOS





3. ESCALAS: PLANOS Y MAPAS Los dibujos, fotografías, mapas o maquetas representan objetos, personas, edificios, superficies, distancias...

Para que la representación sea perfecta, deben guardar en todos sus elementos una misma razón de proporcionalidad que denominamos “escala”

La escala es una razón de proporcionalidad entre la medida representada y la medida real, expresadas en una misma unidad de medida

Ejemplo:

En un mapa aparece señalada la siguiente escala 1 : 20 000 y se interpreta que 1 cm del mapa representa 20 000 cm en la realidad.

Ejemplo:

Hemos fotografiado la catedral de Santiago de Compostela. El tamaño de la foto nos da una escala:

1 : 600.

Las dos torres de la fachada tienen en la foto una altura de 3,5 cm. La altura real de las torres será:

3,5 · 600 = 2100 cm = 21 m.

Las escalas nos permiten observar que la imagen real y la del dibujo son semejantes.

Ideas claras

La escala utiliza el cm como unidad de referencia y se expresa en comparación a la unidad. Por ejemplo: 1 : 70000 Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus lados son proporcionales.

Actividades propuestas 17. Escribe cuatro ejemplos en los que se utilicen escalas.

18. La distancia entre Madrid y Burgos es 243 km. En el mapa, la distancia entre ambas ciudades es 8,1 cm, ¿a qué escala está dibujado el mapa?

19. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que la escala aplicada es 1 : 5000

Dibujo Medida real

18 cm

3 km

0,008 m

20. Calcula la escala correspondiente en cada ejemplo de la tabla:

Dibujo Medida real Escala

2,5 cm 800 m

4 cm 6,4 hm

5 cm 9 km

CATEDRAL DE SANTIAGO DE

COMPOSTELA





CURIOSIDADES. REVISTA

.

Si el planeta Tierra fuera una canica de 1 cm de diámetro, Júpiter sería una bola de 11,20 cm de diámetro, ya que sus diámetros son 12.756 km y 142.984 km

El perezoso de tres dedos se

mueve a una velocidad de 2,2

metros por hora.

El caracol tarda una hora en

caminar medio metro.

PROPORCIONALMENTE UNA HORMIGA COMÚN

ES MÁS FUERTE QUE UN ELEFANTE, porque es

capaz de levantar, gracias a sus músculos, 50

veces su propio peso y 30 veces el volumen de

su cuerpo. Algunos tipos más de 80 veces. Es el

animal con el cerebro más grande respecto a su

tamaño

El corazón impulsa 80 ml de sangre por latido, alrededor de 5 litros de sangre por minuto. Late entre 60 y 80 veces por minuto, lo que supone más de 30 millones de veces al año y 2000 millones de veces en toda la vida.

Si por alguna razón el sol dejara de emitir

luz, en la tierra tardaríamos 8 minutos en

darnos cuenta ya que estamos a

149.600.000 km de distancia





La velocidad como objetivo

En el mundo moderno, la gestión del tiempo ha primado frente a otros objetivos.

Esto se refleja en la incorporación masiva de la alta velocidad en nuestros trenes. El AVE puede alcanzar los 300 km por hora.

Un ascensor de alta velocidad es capaz de subir, sin realizar paradas, hasta la planta 80 en 48 segundos

TORTILLA RECORD

16000 huevos, 1600 kg de patatas, 26 kg de cebolla, 150 litros de aceite y 15 kg de sal han permitido conseguir el record de la tortilla de patatas más grande cocinada. Esta súper tortilla midió 5,20 metros de diámetro, 7 cm de grosor y una tonelada y media de peso

Este record se consiguió el 2 de agosto en Vitoria-Gasteiz.

EL PESO DE LAS HORMIGAS

Estudios recientes afirman que el 10 % de la biomasa animal está formada por hormigas. La biomasa, el peso total de todos los individuos del planeta. Se estima que hay unos 7000 billones de hormigas, es decir un millón por cada humano.

Teniendo en cuenta que el peso medio de una hormiga es de 0,000065 kg y que el peso de las personas vivas se estima en 455 gigatoneladas, se puede concluir que las hormigas llegan a igualar el peso de los humanos a pesar de su pequeño tamaño.

Suponiendo un peso medio unitario de 65 kilos, todos los humanos vivos juntos pesamos 455

gigatoneladas , un peso parecido, según Wilson, al de todas las hormigas pero con un pequeño

matiz: ellas son 7.000 billones, a razón de un millón por cada uno de nosotros . Y no pienses que son todas iguales, pues la mayor de todas, la

hormiga gigante (formicium giganteum) podría albergar en su cabeza una colonia entera de la más

pequeña (pheidole).

Si nos ceñimos a la biomasa, es decir, al peso total de todos los individuos, las hormigas ganan de

calle la competición por ser el animal más abundante del planeta , igualando el peso de todos los hombres (y mujeres) juntos. Lo cual tiene mucho

mérito, teniendo en cuenta que la hormiga media pesa una millonésima parte del humano medio, es

decir 0,000065 kilos.

Según los cálculos de Bert Hölldobler y Edward Osborne Wilson en su maravilloso compendio “Las

hormigas” (1990), las hormigas y sus lejanas parientes las termitas acapararían “un tercio de

toda la biomasa animal terrestre”. Un estudio realizado en Finlandia concluyó que el 10 % de la biomasa animal estaba formada por hormigas , una cifra que se elevaba hasta el 15 % en el caso de la selva de Brasil . En el Amazonas, nos cuenta Wilson, “las hormigas tienen más de cuatro veces la biomasas de todos los vertebrados terrestres juntos:

aves reptiles, anfibios y mamíferos”.





RESUMEN

Concepto Definición Ejemplo

Razón Comparación entre los valores de dos variables

Precio y cantidad

Proporción Igualdad entre dos razones A es a B como C es a D

Magnitudes directamente proporcionales

Si se multiplica o divide una de las magnitudes por un número, la otra queda

multiplicada o dividida por el mismo número

24 es a 10 como 240 es a 100

Razón de Proporcionalidad directa

Cociente entre los valores de dos magnitudes

300

25

Porcentajes Razón con denominador 100 23

100

Escalas y planos Comparación entre tamaño real y tamaño representado

1 : 20000

PORCENTAJE CON CALCULADORA

En la calculadora puedes encontrar una función que te permite calcular el % de manera directa.

Para ello debes seguir los siguientes pasos:

1. Escribe la cantidad

2. Multiplica por el tanto

3. Pulsa SHIFT y %. El resultado que aparece en la pantalla es la solución.

Ejemplo:

650 * 16 SHIF % = 104

Una forma fácil de añadir o restar el importe del tanto por ciento a la cantidad final puede hacerse

de la siguiente forma:

� Sigue los pasos 1, 2 y 3 anteriores

� Pulsa la tecla + si lo que quieres es un aumento porcentual

� Pulsa la tecla − para una disminución porcentual

Ejemplo:

1370 * 12 SHIFT % 164.4 + 1534.4

1370 * 12 SHIFT % 164.4 − 1205.6





EJERCICIOS Y PROBLEMAS de 1º de ESO

1. Expresa la razón entre las edades de Jorge, 26 años, y Andrés, 32 años

2. Expresa la razón entre las 20 personas que acuden a comer un restaurante y los 440 € que se recaudan.

3. En un examen de 30 preguntas un estudiante ha contestado 21 bien y 9 mal. Expresa las razones entre estos resultados y el total de las preguntas

4. Copia en tu cuaderno y relaciona las magnitudes de ambas columnas para que cada ejemplo responda a pares de magnitudes directamente proporcionales:

Número de kilos de patatas y Litros de gasolina necesarios,

Cantidad de agua necesaria y Personas que viven en un edificio

Dinero disponible y Vestidos confeccionados

Kilómetros a recorrer y Número de personas que vienen a comer

Metros de tela y Prendas que podemos comprar

5. Con estas seis magnitudes debes elaborar tres razones:

Número de personas, horas, cantidad de leche, litros de refresco, distancia entre dos ciudades, número de vacas

6. Calcula el cuarto término de las siguientes proporciones:

a) x

45

20

36 = b) 5.0

2,06,12 =x

c) 325,0

1 x= d) 5

35

2=x

7. Esta receta es para 4 personas. Elabora dos recetas similares para 6 personas y para 15 personas

8. Completa la tabla de proporcionalidad directa:

Distancia 100 240 360

Litros 6,5 52 2,6

9. Una lata de mejillones de 200 g vale 2,40 €. Otra lata de 700 g se vende a 7,20 €, ¿cuál de las dos es

proporcionalmente más barata?

ARROZ CON VERDURAS 380 g de arroz 1 kg de tomate triturado 800 g de calabacín 3 dientes de ajo 120 cl de aceite 1 kg champiñón 1/2 kg pimientos rojos y verdes





10. ¿Cuánto dinero nos costarán 6 ordenadores sabiendo que 56 ordenadores han costado 28 000 €?

11. Cálculo Mental

3 % de 40 20 % de 800 12 % de 70 3 % de 120 25 % de 300 15 % de 60 150 % de 30 200 % de 2

12. Completa mentalmente:

a) El …………..% de 30 es 3 b) El …………..% de 500 es 250 c) El ……….% de 400 es 4

d) El 20% de …………. es 8 e) El 75% de ………………… es 30 f) El 150% de …….. es 60

13. Calcula el 300 % del 10 % de 480.

14. ¿Qué porcentaje ocupan los cuadros negros?

15. Copia esta tabla en tu cuaderno y colorea un porcentaje que represente el 40 %.

16. Rosana gasta el 15 % de su dinero y Marta gasta el 50 % del suyo. Sin embargo Marta ha gastado

menos dinero que Rosana, ¿cómo es posible?

17. Completa la tabla:

% Cantidad Resultado

45 1024

23 115

18 162

18. ¿Cuál de estos dibujos contiene mayor proporción de color naranja en relación a su tamaño?

19. ¿Cuál de estos dibujos contiene mayor proporción de color naranja en relación a su tamaño? ¿Y de rayas? ¿y de cuadros?

b

a c

Haz una estimación en tantos por ciento para cada cilindro y cada parte.

20. En la oficina de mi madre, el 18 % de sus compañeros juegan a la BONOLOTO, el 56 % juegan al EUROMILLÓN, el 20 % juegan a la PRIMITIVA, y los 3 trabajadores restantes no juegan a nada. ¿Cuántas personas trabajan en esa oficina?

21. Un adulto respira unos 5 litros de aire por minuto. ¿Cuántos litros respira en una semana?





22. En 2 km ascendemos 40 m, respecto a la horizontal, ¿qué % hemos ascendido?

23. El guepardo es el animal terrestre más rápido, ya que es capaz de alcanzar una velocidad máxima de 130 km hora. ¿Cuántas horas tardaría un guepardo, sin parar, en viajar desde Valencia hasta Barcelona? ¿Y de Palencia hasta Cádiz?

24. Haz un informe sobre el animal que más corre, el que más vive, el que más come, el que más tiempo puede pasar sin comer o sin beber.

25. Si el dólar se cotiza a 1,12 €, ¿Cuántos dólares obtendremos al cambiar 360 €?

26. En estadística se utilizan los gráficos para expresar la evolución de los valores de una variable respecto a otra.

Si asignamos a la barra más alta el valor 100, calcula de forma aproximada la altura de las demás.

Si la barra más pequeña pesa 0,5 kg. ¿Cuánto pesarán cada una de las otras barras?

27. En un plano de carreteras la distancia entre dos ciudades es de 6 cm. Si la escala es 1 : 40000

28. Calcula la escala a la que está dibujado un plano sabiendo que 15 cm del plano corresponden a 375 km.

29. En el antiguo Egipto, para definir la proporción de las diferentes partes del cuerpo, se usaba la longitud de los dedos y para el canon, los puños. Una cabeza debía medir dos puños. Los griegos utilizaban, al igual que los egipcios, la proporción para valorar los distintos cánones de belleza. Un cuerpo bien proporcionado debía tener una longitud proporcional a la cabeza. Alguno de los más conocidos corresponden a famosos escultores:

Canon de Praxíteles Canon de Polikletos Canon egipcio

Medida del cuerpo Ocho cabezas Siete cabezas 16 puños

Con estos datos puedes investigar sobre qué proporción es la más frecuente entre tus amigos

30. Hay otras maneras de estudiar la proporción en la figura humana. La proporción áurea, conocida por los griegos y desarrollada de manera brillante por Leonardo de Vinci nos ha dejado imágenes como el famoso “Hombre de Vitrubio”. Busca información sobre esta figura.





AUTOEVALUACIÓN de 1º de ESO

1. El valor de x en la proporción 3

8,04,2 =x

es:

a) 0,9 b) 1,2 c) 9 d) 0,9

2. En una caja por cada tres bolas blancas hay cinco bolas rojas. Si hay 108 bolas rojas, las bolas

blancas son:

a) 200 b) 180 c) 220 d) 210

3. Para una excursión un grupo de 28 personas contrató un autobús. Cada una debe pagar 45 €. Como quedaban plazas libres, a última hora se han apuntado 7 personas más. ¿Cuánto deben pagar finalmente cada una?

a) 36 € b) 30 € c) 38 € d) 40 €

4. Una bicicleta se vende por 225 €. Si hacen un descuento del 14 % ¿Cuánto tendremos que pagar?

a) 201,50 € b) 198,50 € c)214 € d) 193,50 €

5. En un mapa 16 cm equivalen a 208 km. La escala es:

a) 1: 320000 b) 1: 2100000 c) 1: 20800000 d) 1: 2220000

6. Los valores que completan la tabla de proporcionalidad directa son:

Personas 8 11 46

Kg de comida 12 72

a) 24, 69,48 b) 16, 49, 68 c) 16.5 , 69, 48

7. Los valores que completan la tabla de proporcionalidad inversa son:

Nº de trabajadores 12 7 21

Horas diarias 35 10 7

a) 60, 60, 42, 20 b) 60, 42, 42, 20 c) 60, 21, 42, 20

8. Los valores que completan las operaciones siguientes son: El 25% de 0,28 es ………. El …….. de 630 es 63 El 150% de ……… es 120 a) 0.07, 10, 80 b) 0.7, 10, 90 c) 0.7, 3, 80

9. Al efectuar un incremento porcentual del 18% sobre estas tres cantidades, 350, 99 y 6 obtenemos:

a) 413, 116,82 , 7.08 b) 630, 116.82, 7.08 c) 403, 112, 7.08

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