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7/26/2019 m a t e m t i c a s Conicas

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A T E T I C A S

FORMULARIO

C I R C U N F E R E N C I A

Definicin: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijollamado centro.

Ecuacin General de la Circunferencia:


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Ax2+By

2+Cx+Dy+E=0

Nota:

Una circunferencia tiene los coeficientes x! " "! iguales.

Una circunferencia N# tiene trminos en x! " "!

Ecuacin Cannica:$i el centro se encuentra en elorigen de la Circunferencia

$i el centro se encuentra fuera del origende la Circunferencia

C=(0,0) x2+y

2=r

2

C=(h,k) (xh)2+(yk)2=r2

Gr%fica Gr%fica

Ecuacin de Distancia entre dos puntos:

dp2p

1

=(x2x1)2+(y

2y

1)2

Ecuacin para &allar el punto medio de un segmento

P1=(x1 , y1 ) " P2=(x2 , y2 )

x=x

2+x

1

2

y=y

2+y

1

2


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E L I P S E

Definicin: Es un lugar geomtrico de los puntos del plano cu"a suma de las distancias a dospuntos fijos llamados focos' es constante.

Ecuacin General de la Elipse:

Ax2+By2+Cx+Dy+E=0

Esta es la forma general de la ecuacin de la elipse' cuando el eje es paralelo acualquiera de los ejes de coordenadasNota:

Una Elipse tiene los coeficientes positi(os " distintos

Una Elipse N# tiene los trminos en x! " "!

)rtice ma"or: **+

)rtice menor: ,,+$emi-eje ma"or a$emi-eje menor /0elacin entre: a' /' c.

a2=b

2+c

2

Elementos de una Elipse: Eje Focal: Es la recta que pasa por los focos. Vrtices: $on los puntos de corte del eje focal con la Elipse 1*'*+2 Eje Mayor: Es el segmento del eje focal comprendido entre los (rtices' 1so/re l se

encuntralos focos2 es igual a 1a2. Eje Menor: Es la cuerda perpendicular al eje ma"or " que pasa por el centro3 es igual a

1/2 Distancia Focal: Es la distancia entre los focos3 es igual a 1c2 Centro de la Elipse: Es el punto medio entre los focos. Excentricidad: Es la relacin ente las distancias focal " el eje ma"or.

e=2c

2a e=

c

a 0


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4ado 0ecto de la Elipse: es la perpendicular al eje ma"or " que pasa por uno de los focos3

es igual a: LR=2b

2

a 140 " 4+0+2.

Elipse con centro en el origen " eje focal coincide con el eje x!1$i en la ecuacin cannica' el denominador de xes ma"or que "2

1Eje ma"or es 6ori7ontal2

Ecuacin Cannica:x

2

a2+y

2

b2=1 Gr%fica con centro C 18'82

1Donde a9/2oco: 1-c'82 +1c'82

)rtices: *1-a'82 *+1a'82

,18'/2 ,+18'-/2

Excentricidad: e=ca

4ado 0ecto: LR=2b

2

a 140 "

4+0+2

Directrices:x=

a

e 1l5' l2

Distancia focal: c

Eje ma"or: aEje menor: /

$emi-eje ma"or: a

$emi-eje menor: /

0elacin: a /; c

#rientacin: 6ori7ontal

Elipse con centro en el origen " eje focal coincide con el eje "!1$i en la ecuacin cannica' el denominador de "es ma"or que x2

1Eje ma"or es )ertical2

Ecuacin Cannica:x

2

b2+y

2

a2=1

Gr%fica con centro C 18'82

1Donde a9/2oco: 18'c2 +18'-c2

)rtices: *18'a2 *+18'-a2

,1/'82 ,+1/'82


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Excentricidad:e=

c

a

4ado 0ecto: LR=2b

2

a 140 " 4+0+2

Directrices: y=a

e 1l5' l2

Distancia focal: 2c

Eje ma"or: 2a

Eje menor: 2b

$emi-eje ma"or: a

$emi-eje menor: /

0elacin: a c; /

#rientacin: )ertical

Elipse con centro fuera del origen C1&'


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Elipse con centro fuera del origen C1&'


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Se%i & distancia $ocal: $on porciones iguales en las que el centro di(ide la distancia

focal en (12 dFF '=c) Eje Real 'o (rans)erso*: * " *+ se encuentran a una distancia a! del centro " la distancia

que los separa es a. Esa distancia es e real " los (rtices del eje real **+

Se%i & eje Real: Es la mitad del eje real3( 12 dAA '=a) Eje i%a+inario 'o Conj,+ado*: Es la recta que pasa por el centro " es perpendicular al

eje real. * una distancia /! a am/os lados del centro se=alamos los puntos , " ,+. 4a

distancia entre estos puntos es /.

Se%i & eje I%a+inario: es la mitad del eje imaginario (12 dBB '=b)

As-ntotas: $on dos rectas de pendiente m=b

a3 m=

a

b" que pasan por el centro

de la misma.

Excentricidad:Es la relacin entre la distancia focal3 el eje real e=c

a e=1+(

b

a )2

donde e>1 3 se caracteri7a la forma del rect%ngulo principal.

Rect.n+,lo Principal: 4as rectas perpendiculares de la &ipr/ola en los (rtices de sta

forman un rect%ngulo. Directrices: $on dos rectas perpendiculares al eje real " situadas a una distancia a>e del

centro de la &ipr/ola 1l5' l2. Lado Recto: Es la cuerda que pasa por uno de los focos " es perpendicular al eje rea 140

" 4+0+2. Ec/ Relaci0n: Es la relacin entre a' / " c.

c a; /

Elemento de la 6ipr/ola

Centro: C1?8' @82

ocos: " +

)rtices A * " *+ 3 , " ,+

4ados 0ectos: LR=L R =2.b

2

a

Eje 0eal A a

$emi-eje real:1

2dAA '=a

Eje Bmaginario A /


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$emi-eje imaginario:1

2dBB '=b

Distancia focal A c

$emi-distancia focal:1

2dFF '=c

Directrices A l5 " l a>e

Ec. 0elacin A c a; /

Excentricidad Ae=

c

a

*sntotas: l "lm=

b

a 3m=

a

b

Gr%fica 1Elementos de la 6ipr/ola2

6ipr/ola con centro el origen " eje real coincide con el eje ?!

1$i la ecuacin cnica ?" su di(isor precede del signo m%s 1;22

1Eje 0eal es 6ori7ontal


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Ecuacin Cannica:x

2

a2y

2

b2=1

1c9a2 1aes siempre el denominador de la fraccin

positi(a2

ocos A 1-c'823 +1c'82

)rtices A *1-a'823 *+1a'82 ,18'/23 ,+18'-/2

*sntotas AY=

b

ax

Directrices AX=

a

e

4ados recto A2b

2

a

Excentricidad A

e=c

a

0elacin A c2=a

2+b

2

Distancia focal A c

Eje real A a

$emi F eje real A a

Eje Bmaginario A /

$emi F eje Bmaginario A /

Gr%fica A C18'82

6ipr/ola con centro el origen " eje real coincide con el eje @!

1$i la ecuacin cnica @" su di(isor precede del signo m%s 1;22

1Eje 0eal es )ertical2

Ecuacin Cannica:x

2

a2 +

y2

b2=1

1c9a2 1aes siempre el denominador de la fraccin

positi(a2

ocos A 18'c23 +18'-c2Gr%fica A C 8 8


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)rtices A*18'a23 *+18'-a2

,1-/'823 ,+1/'82

*sntotas AY=

a

bx

Directrices A

Y=a

e

4ados recto A2b

2

a

Excentricidad Ae=

c

a

0elacin A c2=a

2+b

2

Distancia focal A c

Eje real A a$emi F eje real A a

Eje Bmaginario A /

$emi F eje Bmaginario A /

6ipr/ola con centro fuera del origen C1&'


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6ipr/ola con centro fuera del origen C1&'


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Una par%/ola tiene un trmino cuadr%tico en una de sus (aria/les " lineal respecto a laotra.

Elementos de la ar%/ola Eje de Si%etr-a: Es la perpendicular a la directri7 tra7ada por el foco. Vrtice: Es el punto en el que el eje inter-secta a la par%/ola.

Par.%etro: es la distancia del foco al (rtice " se designa como p Distancia: Es una recta perpendicular al eje de simetra. Excentricidad: En la par%/ola siempre es igual a uno 152. Lado Recto: Es la cuerda que pasa por el foco " es perpendicular al eje 1402.

oco: )rtices: lDirectri7: (

ar%metro: p4ado 0ecto: 40Eje: Contiene al oco "

al )rtice

ar%/ola con (rtice en el origen " eje de simetra coincide con el eje ?!1Eje 6ori7ontal2

ar%/ola que a/re &acia la derec&a " su(rtice es el punto de menor a/scisa.98 A )18'82


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Ecuacin Cannica

y2=4px

oco: 1p'82

Ecuacin Eje: @8

Ecuacin Directri7: x=p (l)

4ado 0ecto: p

Distancia: Directri7 " foco A p

ar%/ola que a/re &acia la i7quierda " su

(rtice es el punto de m%xima a/scisa.

H8 A )18'82

Ecuacin Cannica

y2=4px

oco: 1-p'82

Ecuacin Eje: @8

Ecuacin Directri7: x=

p (l)

4ado 0ecto: p


ar%/ola con (rtice en el origen " eje de simetra coincide con el eje @!1Eje )ertical2

ar%/ola que a/re &acia la arri/a " su(rtice es el punto de menor ordenada.98 A )18'82

Ecuacin Cannica

x2=4py

oco: 18'p2Ecuacin Eje: ?8

Ecuacin Directri7: y=p (l)

4ado 0ecto: p


ar%/ola que a/re &acia a/ajo " su (rticees el punto de m%xima ordenada.H8 A )18'82

Ecuacin Cannica

x2=4py

oco: 18'-p2Ecuacin Eje: ?8

Ecuacin Directri7: x=p (l)

4ado 0ecto: p


ar%/ola con (rtice )1&'


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1Eje 6ori7ontal2

ar%/ola que a/re &acia la derec&a " su(rtice es el punto de menor a/scisa.98 A )1&'


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Distancia: Directri7 " foco: p


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