Limites y Continuidad Modulo Calculo U2

8/19/2019 Limites y Continuidad Modulo Calculo U2

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ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIA

CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100410 CLCULO DIFERENCIAL

UNIDAD DOS

ANÁLISIS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD


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CAPÍTULO TRES: GENERALIDADES SOBRE LÍMITES

Lección No 9: Conceptualización Intuitiva de Límite:

Definamos la función P(n ) como un polígono regular de n lados, la idea es observar quepasaría si n se hace muy grande; es decir, cuando n tiende a infinito.

En la ilustración se muestra que cuando n aumenta, el polígono se acerca cada vez más alcírculo. Luego:

P = Polígono

C = Circunferencia

La expresión anterior, esta indicando que cuando el número de lados se hace muy grande, elpolígono se acerca al círculo.

Lección 10: Conceptualización Básica de Límite: (Método Inductivo)

Sea la función y = f (x), si se hace que la variable se acerque más y más a un valor fijo c ,entonces la función se acercará a un valor fijo L. Lo anterior se puede escribir simbólicamentede la siguiente manera:

(Se lee: limite cuando n tiene a c de la función f de x, es igual a L)

Si aplicamos la definición a un caso específico, se puede entender mejor el principio.

Sea

C P Limn

=∞→

( )n c

Lim f x L→

=

42

42

2=

−

−

→ x

x Lim

x

C P Limn

=∞→


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Lo que vamos a hacer es tabular algunos valores de x muy cercanos; por encima y por debajode 2 y, reemplazando en la función, se obtiene el valor del límite de la función.

Tomamos valores de la variable por debajo de 2:

x 1.90 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999

Limite 3,9 3,99 3,999 3,9999 3,99999 3,999999

Tomamos valores de la variable por encima de 2:

x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001

Limite 4,1 4,01 4,001 4,0001 4,00001 4,000001

Los cuadros dejan ver claramente que a medida que la variable x se acerca a 2; por encima opor debajo, el límite de la función L se acerca a 4.

Lección 11: Conceptualización Formal de Límite:

La forma en que va a analizar la definición formal de límite, es por

el uso de la matemática axiomática, la cual desarrolla todo elcampo matemático a partir de axiomas, teoremas, postulados ydefiniciones. Fue precisamente Augustin-Louis Cauchy, quien diolos términos, para definir formalmente el concepto de límite, por locual se le llamó Definición ε – δ de límite.

Augustin-Louis Cauchy nació en París el 21 de agosto de 1789 y

murió el 23 de mayo de 1857 en Sceaux, Francia.

Fuente:http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/

Es pertinente recordar el concepto de vecindad tratado en la temática de convergencia desucesiones, ya que allí se analizó la cercanía de una vecindad según el tamaño del radio δ .


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Lo anterior indica, es que f(x) difiere de L en un valor ε, dado que x es suficientemente cercanoa δ, pero no igual.

Veamos esta situación:

ε ε +


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Ejemplo 32:

Demostrar: 7)12(3

=+→

x Lim x

Solución:

Se debe definir un ε > 0, tan pequeño como se quiera. Definamos una ε = 0.01, pero puede serotro, luego debe existir un δ, tal que:

01.07)12(


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Operando: 12

3

5

1

)12(5

3

)12(5

2455

−

−=

−

−=

−

+−−

x

x

x

x

x

x x

Por otro lado, como x tiende a 3, podemos asumir un δ como 1, ½, ¼, otros. Suponiendo:13


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3. Límite de Constante por Función : [ ] [ ])()( x f Limk xkf Lima xa x →→

=

4. Límite de Suma / Resta de funciones : [ ] [ ] [ ])()()()( xg Lim x f Lim xg x f Lima xa xa x →→→

±=±

5. Límite de Producto de Funciones : [ ] [ ] [ ])(*)()(*)( xg Lim x f Lim xg x f Lima xa xa x →→→

=

6. Límite de Cociente de Funciones :[ ]

[ ])(

)(

)(

)(

xg Lim

x f Lim

xg

x f Lim

a x

a x

a x

→

→

→

=

Para [ ] 0)( ≠

→

xg Lima x

7. Límite de una Potencia : [ ] [ ] na x

n

a x x f Lim x f Lim )()(

→→

= Para +∈ Z n

8. Límite de la Raíz : [ ]na x

n

a x x f Lim x f Lim )()(

→→

= Siempre que [ ] 0)( ≥→

x f Lima x

si n es par.

9. Límite de Función Exponencial : [ ] [ ])(

)( x f Lim

x f

a x

a xK K Lim →=→

K ≠ 0

10. Teorema del Emparedado : Sea f(x), g(x) y h(x) funciones definidas en el intervalo I ; el cualcontiene a c, excepto posiblemente en x = c.

Sea: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) y asumiendo que [ ] L x f Limc x

=→

)( y que [ ] L xh Limc x

=→

)( Por consiguiente:

[ ] L xg Limc x

=→

)(

Lección 13: Evaluar un Límite:

Evaluar un límite es reemplazar la tendencia de la variable en la función, para obtener su límite.

Ejemplo 34:

Sea la función x x x f 25)( 4 −= Evaluar el límite cuando x tiende a 3.

Solución:

Escribamos analíticamente la expresión anterior: )25( 43

x x Lim x

−→

Aplicando las propiedades de suma / resta y constante por función:

)(2)(5)2()5()25(3

4

33

4

3

4

3 x Lim x Lim x Lim x Lim x x Lim

x x x x x →→→→→−=−=−


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El siguiente paso es evaluar el límite: 3996405))3(2)3(5)(2)(5 43

4

3=−=−=−

→→

x Lim x Lim x x

Observemos que cuando se evalúa el limite, la expresióna x

Lim→

Desaparece, ya que la variable

es reemplazada por su tendencia.Ejemplo 35:

Hallar el límite de la función 643)( 23 −+= x x x f cuando x tiende a 4.

Solución:

Expresemos el ejercicio de manera analítica: [ ]643 234

−+→

x x Lim x

Aplicando la propiedad de suma: [ ] [ ] [ ] [ ]6436434

2

4

3

4

23

4 →→→→

−+=−+ x x x x

Lim x Lim x Lim x x Lim

El primer límite es de una constante por una función al igual que el segundo y el tercero es ellímite de una constante, entonces:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6436434

2

4

3

44

2

4

3

4 →→→→→→−+=−+

x x x x x x Lim x Lim x Lim Lim x Lim x Lim

Aplicando las propiedades 1 y 2, y evaluando obtenemos:

[ ] [ ] [ ] 2506641926)4(4)4(3643 234

2

4

3

4=−+=−+=−+

→→→ x x x Lim x Lim x Lim

Entonces: [ ] 250643 234

=−+→

x x Lim x

Es de anotar que en el desarrollo de un límite se pueden utilizar una o varias de las propiedadesmencionadas.

Ejemplo 36:

Resolver:5

142 2

2 +

−+

→ x

x x Lim

x

Solución:

Siguiendo un proceso secuencial, lógico y coherente tenemos:

+

−+

=

+

−+=

+

−+

→

→

→→ )5(

)142(

5

142

5

142

2

2

2

2

2

2

2 x Lim

x x Lim

x

x x Lim

x

x x Lim

x

x

x x


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Analizando los pasos anteriores, vemos que hemos aplicando: Limite de una raíz cuadrada,luego el límite de un cociente. Sigamos.

+

−+

=

+

−+

=

+

−+

→→

→→→

→→

→→→

→

→

)5()(

))1()(4)(2

)5()(

))1()4()2(

)5(

)142(

22

22

2

2

22

22

2

2

2

2

2

x x

x x x

x x

x x x

x

x

Lim x Lim

Lim x Lim x Lim

Lim x Lim

Lim x Lim x Lim

x Lim

x x Lim

En los pasos anteriores hemos aplicado límite de suma/resta y limite de constante por función.Finalmente lo que se hace es evaluar el límite:

4638,17

15

5)2(

)1)2(4)2(2

)5()(

))1()(4)(2 2

22

22

2

2≅

=

+

−+=

+

−+

→→

→→→

x x

x x x

Lim x Lim

Lim x Lim x Lim

Entonces: 7155142

2

2 =+

−+

→ x

x x Lim x

Ejemplo 37:

Sea: )()()( xh xg x f ≤≤ Siendo:4

32)(

2 x x f −=

32)(

2 x xh += Hallar el límite de g(x) cuando x

tiende a 0.

Solución:

La pregunta: [ ] ?)(0

=→

xg Lim x

Entonces:

24

32

2

0=

−

→

x Lim

x

y 23

22

0=

+

→

x Lim

x

Verificar estos límites con el grupo colaborativo .

Por el teorema del emparedado: [ ] 2)(0

=→

xg Lim x


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EJERCICIOS

1. Demostrar que el límite de la función (4x + 1), cuando x tiende a 2 es 9

2. Resolver los siguientes límites:

a-)

−

−

−→ 2

42

)2( x

x Lim

x

b-)

+

−

+→ 1

62 2

0 x

xe Lim x

x

3. Si [ ] 3)( =→

x f Lima x

Entonces:

a-) hallar [ ]4)( x f Lima x→

b-) hallar [ ]2)(3 −→

x f Lima x

4. Sea x Ln x f =)( y 3)( 2 −= x xg Hallar [ ] )(2

x fog Lim x→

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