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UNIDAD DOS
ANÁLISIS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD
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CAPÍTULO TRES: GENERALIDADES SOBRE LÍMITES
Lección No 9: Conceptualización Intuitiva de Límite:
Definamos la función P(n ) como un polígono regular de n lados, la idea es observar quepasaría si n se hace muy grande; es decir, cuando n tiende a infinito.
En la ilustración se muestra que cuando n aumenta, el polígono se acerca cada vez más alcírculo. Luego:
P = Polígono
C = Circunferencia
La expresión anterior, esta indicando que cuando el número de lados se hace muy grande, elpolígono se acerca al círculo.
Lección 10: Conceptualización Básica de Límite: (Método Inductivo)
Sea la función y = f (x), si se hace que la variable se acerque más y más a un valor fijo c ,entonces la función se acercará a un valor fijo L. Lo anterior se puede escribir simbólicamentede la siguiente manera:
(Se lee: limite cuando n tiene a c de la función f de x, es igual a L)
Si aplicamos la definición a un caso específico, se puede entender mejor el principio.
Sea
C P Limn
=∞→
( )n c
Lim f x L→
=
42
42
2=
−
−
→ x
x Lim
x
C P Limn
=∞→
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Lo que vamos a hacer es tabular algunos valores de x muy cercanos; por encima y por debajode 2 y, reemplazando en la función, se obtiene el valor del límite de la función.
Tomamos valores de la variable por debajo de 2:
x 1.90 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
Limite 3,9 3,99 3,999 3,9999 3,99999 3,999999
Tomamos valores de la variable por encima de 2:
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
Limite 4,1 4,01 4,001 4,0001 4,00001 4,000001
Los cuadros dejan ver claramente que a medida que la variable x se acerca a 2; por encima opor debajo, el límite de la función L se acerca a 4.
Lección 11: Conceptualización Formal de Límite:
La forma en que va a analizar la definición formal de límite, es por
el uso de la matemática axiomática, la cual desarrolla todo elcampo matemático a partir de axiomas, teoremas, postulados ydefiniciones. Fue precisamente Augustin-Louis Cauchy, quien diolos términos, para definir formalmente el concepto de límite, por locual se le llamó Definición ε – δ de límite.
Augustin-Louis Cauchy nació en París el 21 de agosto de 1789 y
murió el 23 de mayo de 1857 en Sceaux, Francia.
Fuente:http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/
Es pertinente recordar el concepto de vecindad tratado en la temática de convergencia desucesiones, ya que allí se analizó la cercanía de una vecindad según el tamaño del radio δ .
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Lo anterior indica, es que f(x) difiere de L en un valor ε, dado que x es suficientemente cercanoa δ, pero no igual.
Veamos esta situación:
ε ε +
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Ejemplo 32:
Demostrar: 7)12(3
=+→
x Lim x
Solución:
Se debe definir un ε > 0, tan pequeño como se quiera. Definamos una ε = 0.01, pero puede serotro, luego debe existir un δ, tal que:
01.07)12(
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Operando: 12
3
5
1
)12(5
3
)12(5
2455
−
−=
−
−=
−
+−−
x
x
x
x
x
x x
Por otro lado, como x tiende a 3, podemos asumir un δ como 1, ½, ¼, otros. Suponiendo:13
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3. Límite de Constante por Función : [ ] [ ])()( x f Limk xkf Lima xa x →→
=
4. Límite de Suma / Resta de funciones : [ ] [ ] [ ])()()()( xg Lim x f Lim xg x f Lima xa xa x →→→
±=±
5. Límite de Producto de Funciones : [ ] [ ] [ ])(*)()(*)( xg Lim x f Lim xg x f Lima xa xa x →→→
=
6. Límite de Cociente de Funciones :[ ]
[ ])(
)(
)(
)(
xg Lim
x f Lim
xg
x f Lim
a x
a x
a x
→
→
→
=
Para [ ] 0)( ≠
→
xg Lima x
7. Límite de una Potencia : [ ] [ ] na x
n
a x x f Lim x f Lim )()(
→→
= Para +∈ Z n
8. Límite de la Raíz : [ ]na x
n
a x x f Lim x f Lim )()(
→→
= Siempre que [ ] 0)( ≥→
x f Lima x
si n es par.
9. Límite de Función Exponencial : [ ] [ ])(
)( x f Lim
x f
a x
a xK K Lim →=→
K ≠ 0
10. Teorema del Emparedado : Sea f(x), g(x) y h(x) funciones definidas en el intervalo I ; el cualcontiene a c, excepto posiblemente en x = c.
Sea: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) y asumiendo que [ ] L x f Limc x
=→
)( y que [ ] L xh Limc x
=→
)( Por consiguiente:
[ ] L xg Limc x
=→
)(
Lección 13: Evaluar un Límite:
Evaluar un límite es reemplazar la tendencia de la variable en la función, para obtener su límite.
Ejemplo 34:
Sea la función x x x f 25)( 4 −= Evaluar el límite cuando x tiende a 3.
Solución:
Escribamos analíticamente la expresión anterior: )25( 43
x x Lim x
−→
Aplicando las propiedades de suma / resta y constante por función:
)(2)(5)2()5()25(3
4
33
4
3
4
3 x Lim x Lim x Lim x Lim x x Lim
x x x x x →→→→→−=−=−
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El siguiente paso es evaluar el límite: 3996405))3(2)3(5)(2)(5 43
4
3=−=−=−
→→
x Lim x Lim x x
Observemos que cuando se evalúa el limite, la expresióna x
Lim→
Desaparece, ya que la variable
es reemplazada por su tendencia.Ejemplo 35:
Hallar el límite de la función 643)( 23 −+= x x x f cuando x tiende a 4.
Solución:
Expresemos el ejercicio de manera analítica: [ ]643 234
−+→
x x Lim x
Aplicando la propiedad de suma: [ ] [ ] [ ] [ ]6436434
2
4
3
4
23
4 →→→→
−+=−+ x x x x
Lim x Lim x Lim x x Lim
El primer límite es de una constante por una función al igual que el segundo y el tercero es ellímite de una constante, entonces:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6436434
2
4
3
44
2
4
3
4 →→→→→→−+=−+
x x x x x x Lim x Lim x Lim Lim x Lim x Lim
Aplicando las propiedades 1 y 2, y evaluando obtenemos:
[ ] [ ] [ ] 2506641926)4(4)4(3643 234
2
4
3
4=−+=−+=−+
→→→ x x x Lim x Lim x Lim
Entonces: [ ] 250643 234
=−+→
x x Lim x
Es de anotar que en el desarrollo de un límite se pueden utilizar una o varias de las propiedadesmencionadas.
Ejemplo 36:
Resolver:5
142 2
2 +
−+
→ x
x x Lim
x
Solución:
Siguiendo un proceso secuencial, lógico y coherente tenemos:
+
−+
=
+
−+=
+
−+
→
→
→→ )5(
)142(
5
142
5
142
2
2
2
2
2
2
2 x Lim
x x Lim
x
x x Lim
x
x x Lim
x
x
x x
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Analizando los pasos anteriores, vemos que hemos aplicando: Limite de una raíz cuadrada,luego el límite de un cociente. Sigamos.
+
−+
=
+
−+
=
+
−+
→→
→→→
→→
→→→
→
→
)5()(
))1()(4)(2
)5()(
))1()4()2(
)5(
)142(
22
22
2
2
22
22
2
2
2
2
2
x x
x x x
x x
x x x
x
x
Lim x Lim
Lim x Lim x Lim
Lim x Lim
Lim x Lim x Lim
x Lim
x x Lim
En los pasos anteriores hemos aplicado límite de suma/resta y limite de constante por función.Finalmente lo que se hace es evaluar el límite:
4638,17
15
5)2(
)1)2(4)2(2
)5()(
))1()(4)(2 2
22
22
2
2≅
=
+
−+=
+
−+
→→
→→→
x x
x x x
Lim x Lim
Lim x Lim x Lim
Entonces: 7155142
2
2 =+
−+
→ x
x x Lim x
Ejemplo 37:
Sea: )()()( xh xg x f ≤≤ Siendo:4
32)(
2 x x f −=
32)(
2 x xh += Hallar el límite de g(x) cuando x
tiende a 0.
Solución:
La pregunta: [ ] ?)(0
=→
xg Lim x
Entonces:
24
32
2
0=
−
→
x Lim
x
y 23
22
0=
+
→
x Lim
x
Verificar estos límites con el grupo colaborativo .
Por el teorema del emparedado: [ ] 2)(0
=→
xg Lim x
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EJERCICIOS
1. Demostrar que el límite de la función (4x + 1), cuando x tiende a 2 es 9
2. Resolver los siguientes límites:
a-)
−
−
−→ 2
42
)2( x
x Lim
x
b-)
+
−
+→ 1
62 2
0 x
xe Lim x
x
3. Si [ ] 3)( =→
x f Lima x
Entonces:
a-) hallar [ ]4)( x f Lima x→
b-) hallar [ ]2)(3 −→
x f Lima x
4. Sea x Ln x f =)( y 3)( 2 −= x xg Hallar [ ] )(2
x fog Lim x→
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