8/6/2019 Limites y Continuidad - Dos Variables

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Limites y continuidad - dos variables

Al calcular el lmite de una funcin en un punto nos interesamos por los valores que toma la

funcin en los alrededores del punto. El lmite de la funcin en un punto va a ser el valor quedebera tomar la funcin endicho punto, de acuerdo con los valores que toma en los

alrededores del mismo. Este valor puede coincidir o no con el valor que realmente toma la

funcin en el punto en cuestin. Es decir, el lmite de una funcin en un punto P es 1 si los

valores que toma la funcin en los alrededores de P estn tan cerca de 1 como queramos. El

valor que tome la funcin en P no interesa a la hora de calcular el lmite.

Para poder hablar de l mite de una funcin en un punto, la funcin tiene que estar definida en

los alrededores del punto. Formalmente la definicin de lmite es esta:

Hay que tener en cuenta que para que exista el lmite todos los puntos del entorno tienen que

tener su imagen aprox. A la misma altura. Si unos puntos del entorno se aproximan a un valor

y otros a otros, entonces el lmite no existe. El punto en cuestin no cuenta.

Continuidad

Una funcin es continua en un punto, si el valor que toma la funcin en el punto coincide con

el lmite en dicho punto.

Ejemplo:

Dada la funcin

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Hallar grficamente

Solucin: para hallar el lmite de la funcin en cada uno de los puntos especificados hallamos

las imgenes de los puntos de un entorno de cada uno de los puntos. En un entorno del punto

(0,0) todos los puntos tienen como imagen F(x, y)=1, luego el lmite en dicho punto tambin es

1.

En un entorno del punto (1,0) una parte de los puntos tienen como imagen F(x, y)=1, y otra

parte de los puntos tiene como imagen F(x, y)=0, luego el lmite en dicho punto no existe, ya

que todos los puntos del entorno deberan orientas su imagen hacia el mismo sitio.

Ejemplo # 1

, Existe?

Proponemos:

Ahora proponemos:

El l mite no existe.

Ejemplo # 2

En este caso probamos con la ecuacin de la recta, ya que con esta ecuacin podemos ver de

forma general si existe o no el lmite, ya que la ecuacin de la recta es todos los puntos pordonde pasa la recta en una circunferencia.

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Existe?

Proponemos:

Proponemos:

Proponemos:

m puedes ser cualquier nmero que pertenece a los reales, por lo tanto

El lmite no existe.

Ejemplo # 3

, Existe?Proponemos:

Ahora proponemos:

Ahora proponemos:

Ahora proponemos:

El l mite no existe.

Ejemplo # 4

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, Existe?Proponemos:

Ahora proponemos:

Ahora proponemos:

Ahora proponemos:

Ahora proponemos:

El l mite no existe.