Lección 2. Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales

Matematicas III (GIC y GITI, curso 2015–2016)

Leccion 2. APLICACIONES GEOMETRICAS DE LASDERIVADAS PARCIALES

1. DERIVADAS DIRECCIONALES

En la leccion anterior hemos visto que la derivada parcial con respecto a x de un campo escalar f dedos variables en un punto (a, b) es el ritmo de variacion de f cuando nos acercamos al punto (a, b)manteniendo la segunda coordenada constante, o sea, cuando nos acercamos a dicho punto segunla direccion del vector (1, 0). Analogamente, la derivada parcial con respecto a y nos da la tasade cambio de f al acercarnos segun la direccion (0, 1). Mas generalmente, podemos plantearnos latasa de variacion de f cuando nos acercamos al punto segun otras direcciones.

Derivada direccional. Sean f :U → R un campo escalar de dos o tres variables y A un puntointerior de U . Dado un vector unitario u, la derivada direccional de f en la direccion u es, si existeel lımite, el numero

Duf(A) = lımt→0

f(A+ tu)− f(A)

t.

Para campos escalares de dos variables, la derivada direccional Duf(A) nos da la tasa de cambiode f al acercarnos al punto A = (a, b) segun la direccion marcada por el vector u = (u1, u2) yadmite una interpretacion geometrica analoga a la de las derivadas parciales.

Interpretacion geometrica de la derivada direccional. Si cortamos la grafica de f , es decir,la superficie S de ecuacion z = f(x, y), con el plano vertical que pasa por el punto P =

(a, b, f(a, b)

)y se apoya en la recta del plano XOY que pasa por (a, b) y tiene vector director u, obtenemosuna curva C que esta contenida en la superficie y pasa por P . Entonces la derivada direccionalDuf(A) representa la pendiente de la recta tangente a dicha curva plana en el punto P , recta quese conoce tambien como recta tangente a la grafica de f segun la direccion u.

Interpretacion geometrica de la derivada direccional.

Utilizar directamente la definicion para calcular las derivadas direccionales suele ser muy pesado.Afortunadamente, hay una formula muy simple para calcular la derivada direccional en terminosde las derivadas parciales.

Calculo de la derivada direccional. La curva C anterior podemos parametrizarla medianter(t) =

(a+ tu1, b+ tu2, f(a+ tu1, b+ tu2)

), con lo que P = r(0) y el vector tangente a esta curva en

el punto P es Tu = r ′(0) = (u1, u2, Duf(a, b)). Ahora, si f es de clase C1(U), entonces sabemos25

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que este vector tangente esta contenido en el plano tangente a S en P y, como consecuencia de lo

que vimos en la leccion anterior, debe ser combinacion lineal de los vectores T1 =(1, 0, fx(a, b)

)y

T2 =(0, 1, fy(a, b)

), es decir, existen dos numeros α1 y α2 tales que

(u1, u2, Duf(a, b)) = α1

(1, 0, fx(a, b)

)+ α2

(0, 1, fy(a, b)

).

Igualando las dos primeras componentes resulta α1 = u1 y α2 = u2, con lo que, para la tercera,

Duf(a, b) = u1∂f

∂x(a, b) + u2

∂f

∂y(a, b) = Df(A) · u,

que nos proporciona una forma muy util para calcular las derivadas direccionales.

Para campos escalares de tres variables se obtiene, de manera analoga, que si f es de clase C1(U),A es un punto interior de U y u es un vector unitario, entonces

Duf(A) = Df(A) · u = u1∂f

∂x(A) + u2

∂f

∂y(A) + u3

∂f

∂z(A).

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Calcula las derivadas direccionales en la direccion u que se indica de las siguientesfunciones en el origen de coordenadas y el punto (1,−1).

(1) f(x, y) = x2 + 2xy − y2 y u = (√2/2,

√2/2).

(2) f(x, y) = sen(π(x+ y)

)cos

(π(x− y)

)y u = (1/2,

√3/2).

(3) f(x, y) = 1 + 2x− 3xy + y2 y u = (−1, 0).

(4) f(x, y) = exy − log(1 + x) y u = (√3/2,−1/2).

Ejercicio 2. Sean r = (x, y, z) el vector de posicion de un punto en R3 y r = ∥r∥ su distanciaal origen. Determina las derivadas direccionales en la direccion u de los siguientes campos enterminos de las coordenadas de u.

(1) f (r) = rn para n = ±1,±2, . . . en su dominio de definicion (en el caso n = 1, hay queestudiar con detenimiento que pasa en el origen de coordenadas).

(2) La aplicacion lineal f (r) = c · r, siendo c un vector constante.(3) La forma cuadratica f (r) = r ·Ar, siendo A una matriz 3× 3 constante.

Ejercicio 3. De un campo escalar diferenciable f se sabe que en el punto P = (1, 2) su derivadadireccional en la direccion desde P hacia A = (1, 2) vale 2 y que su derivada direccional en P enla direccion desde P hacia B = (0, 1) vale −2. Halla la diferencial de f en P .

2. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

Gradiente de un campo escalar de dos variables. En las aplicaciones del calculo diferencial,las variables x e y de un campo escalar de dos variables f(x, y) pueden representar diversas magni-tudes: presion y temperatura, precios, voltios y amperios, cantidades de compuestos quımicos, etc.Sin embargo, en la construccion de muchos modelos de la fısica el contexto es, especıficamente, elplano bidimensional, en cuyo caso las variables cartesianas x e y corresponden a longitudes y seusan para representar posiciones r = (x, y); se dice entonces que son variables espaciales. Para

2. Aplicaciones geometricas de las derivadas parciales 27

este caso, el diferencial de un campo escalar Df (r) = (fx(r), fy (r)) recibe el nombre de vectorgradiente de f en r y se representa de las siguientes maneras (el sımbolo ∇ se lee nabla)

Df (r) = grad f (r) = ∇f (r) =∂f

∂xı+

∂f

∂yȷ.

En esta seccion estudiaremos las propiedades mas relevantes del gradiente de un campo escalar declase C1 en su dominio de definicion.

Observacion importante. Sea f el campo que a cada r = (x, y) ∈ R2 le asigna el cuadrado de

su distancia al origen. En coordenadas cartesianas tenemos f(x, y) = ∥r∥2 = x2 + y2. Entonces,fx = 2x y fy = 2y son funciones continuas, ası que f es diferenciable y su diferencial es el vectorDf(x, y) = (2x, 2y) que, por ser x e y las variables espaciales cartesianas, coincide con el gradientede f ; o sea, ∇f = (2x, 2y).

Para el mismo campo, pero dado en coordenadas polares, tenemos f(r, θ) = r2, y como fr = 2r yfθ = 0 son continuas, obtenemos que f(r, θ) es diferenciable y su diferencial es Df = (2r, 0). Lasvariables polares r y θ no son las variables espaciales cartesianas x e y, ası que Df(r, θ) = (2r, 0)no es el gradiente de f , como hemos comprobado.

En resumen, la nocion de diferencial de un campo escalar es abstracta, no depende del contextofısico en el que estemos trabajando. Por contra, la nocion de vector gradiente es de naturalezageometrica. Entonces, si tenemos un campo escalar definido en terminos, por ejemplo, de lascoordenadas polares ¿como calculamos su gradiente, el vector de las derivadas parciales con respectoa las variables espaciales?

Gradiente en coordenadas polares. Si f(r, θ) es un campo dado en coordenadas polares, vimosen la leccion anterior que, usando la regla de la cadena, se tiene

∂f

∂x=

∂f

∂rcos(θ) +

∂f

∂θ

sen(θ)

ry

∂f

∂y=

∂f

∂rsen(θ)− ∂f

∂θ

cos(θ)

r,

ası que la expresion del gradiente en coordenadas polares es

∇f =∂f

∂xı+

∂f

∂yȷ =

(∂f

∂rcos(θ)− ∂f

∂θ

sen(θ)

r

)ı+

(∂f

∂rsen(θ) +

∂f

∂θ

cos(θ)

r

)ȷ.

Entonces, para el ejemplo f(r, θ) = r2 se tiene que, efectivamente,

∇f =(2r cos(θ)

)ı+

(2r sen(θ)

)ȷ = (2x, 2y) = 2r.

Teorema del valor medio con el gradiente. Sean A y B puntos interiores de U de forma queel segmento que une A con B esta contenido en U . Entonces existe un punto C en dicho segmentotal que f(B)− f(A) = ∇f(C) · (B −A).

Propiedad de direccion optima del gradiente. Si (a, b) es un punto interior de U , entoncesel valor maximo de la derivada direccional Duf(a, b) se alcanza cuando u es el vector unitario dela misma direccion y mismo sentido que el gradiente ∇f(a, b) y dicho valor maximo es ∥∇f(A)∥.Por otro lado, el valor mınimo de Duf(a, b) se alcanza cuando u es el vector unitario de la mismadireccion y sentido contrario que ∇f(a, b) y dicho valor mınimo es −∥∇f(A)∥.Esto significa que si consideramos un mapa topografico de una montana como la representacion delas lıneas de nivel del campo escalar que indica la altura, el vector gradiente en un punto genericoindicara la direccion de maxima inclinacion de subida desde ese punto.


Propiedad de normalidad del gradiente. Sean (a, b) un punto interior de U y c = f(a, b).Si la curva de nivel f(x, y) = c es regular en el punto (a, b), entonces el vector gradiente ∇f(a, b)es normal a la curva de nivel f(x, y) = c en dicho punto. En otros terminos, si ∇f(a, b) no es elvector cero, entonces el vector

(−fy(a, b), fx(a, b)

)es tangente a la curva de nivel en (a, b).

Direccion optima y normalidad del gradiente a la curva de nivel.

Gradiente de un campo escalar de tres variables. Si tenemos un campo escalar f quedepende de la posicion espacial r = (x, y, z) ∈ R3 y es de clase C1 en su dominio de definicion U ,entonces el gradiente de f es Df (r) = (fx(r), fy (r), fz (r)) y se representa mediante

Df (r) = grad f (r) = ∇f (r) =∂f

∂xı+

∂f

∂yȷ+

∂f

∂zk.

Las propiedades anteriores tambien son validas en el caso de tres variables.


Ejercicio 1. Calcula los gradientes de los siguientes campos escalares

f1(x, y) = ex sen(y), f2(x, y) = ex cos(y), f3(x, y) = log(x2+y2), f4(x, y, z) = arctan(y/x)+z.

Ejercicio 2. Calcula el gradiente del campo escalar dado en coordenadas polares por f(r, θ) = rn

siendo n un numero entero.

Ejercicio 3. Calcula el gradiente del campo dado en coordenadas polares por f(r, θ) = tan(θ).

Ejercicio 4. Sea r(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 el campo que da la distancia desde un punto hasta

el origen de coordenadas en R3. Calcula el gradiente del campo escalar f(x, y, z) =[r(x, y, z)

]ndonde n es un numero entero.

Ejercicio 5. Sea f(x, y) un campo escalar diferenciable en el punto A = (−1, 0). Sabemos que elplano tangente a la superficie de ecuacion z = f(x, y) en el punto P = (−1, 0, f(A)) viene dado

por la ecuacion 2x− y + 2z + 4 = 0. Sea u = (√3/2,−1/2).

(1) Calcula f(A).(2) Calcula la derivada direccional Duf(−1, 0).(3) Halla la recta tangente a f en P segun la direccion u.(4) Halla la maxima de las derivadas direccionales de f en A.


Ejercicio 5. Se sabe que (1,−1,−2) es un punto de una superficie z = f(x, y) en la que el planotangente es 3x− 2y + z = 3. Sea C la curva de nivel de f que pasa por el punto (1,−1). ¿Cual esla recta tangente a C en el punto (1,−1)?

3. CURVAS PLANAS DEFINIDAS IMPLICITAMENTE

Ecuaciones implıcitas en el plano. A lo largo de las asignaturas de matematicas han ido apare-ciendo ejemplos de curvas planas definidas como los puntos (x, y) que cumplen una cierta ecuacionF (x, y) = 0 que establece una relacion entre las variables x e y. Dichas curvas reciben el nombre decurvas definidas implıcitamente y la ecuacion F (x, y) = 0 se llama ecuacion implıcita de la curva.El primer ejemplo que se suele ver es la circunferencia unidad, dada por la ecuacion implıcitaF (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0. Otros ejemplos son las conicas, las soluciones de algunas ecuacionesdiferenciales de variables separadas, las familias de curvas que dependen de un parametro o lascurvas de nivel de un campo escalar.

Para la circunferencia x2+y2−1 = 0, hemos visto que, segun convenga, podemos trabajar con estaecuacion despejando una de las variables en funcion de la otra o hallando una parametrizacion,pero eso puede ser muy complicado o imposible en otros casos, veamos un par de ejemplos.

Si consideramos la ecuacion F (x, y) = y5 + 16y − 32x3 + 32x = 0 y utilizamos alguno de losprogramas que se dan en la Bibliografıa para dibujar la curva formada por los puntos (x, y) quecumplen dicha ecuacion, obtenemos la siguiente figura.

La curva de ecuacion y5 + 16y − 32x3 + 32x = 0.

Aparentemente, deberıa ser posible representar esta curva en la forma y = y(x). Para ver esto, fijox, tendrıamos que hallar y(x) despejando y de y5 +16y− 32x3 +32x = 0. Ahora bien, la ecuaciong(y) = y5+16y−32x3+32x = 0 tiene una unica solucion en y porque g(y) es un polinomio de grado5, que pasa de negativo cuando y → −∞ a positivo cuando y → +∞, que es estrictamente crecienteporque su derivada g′(y) = 5y4+16 es estrictamente positiva. Es decir, dado x, la ecuacion g(y) = 0tiene una unica solucion y(x) y se dice que la ecuacion F (x, y) = y5 +16y− 32x3 +32x = 0 defineimplıcitamente la variable y como funcion y(x) de la variable x.

Sin embargo que la ecuacion g(y) = 0 tenga una unica solucion y(x) para cada valor de x no quieredecir que seamos capaces de despejar la y de manera efectiva, o sea, hallarla como una formula


y = y(x) en la que aparezca x. En algunos puntos aislados, como x = −1, 0, 1 sı podemos obtenerfacilmente y(x), que vale cero en los tres casos. En otros puntos, para hallar y(2) por ejemplo,sustituimos x = 2 en la ecuacion, que nos queda y5+16y− 192 = 0, y la resolvemos con el metodode Newton, obteniendo y ≈ 2.72. Esto nos permite determinar valores aproximados de y(x) enpuntos concretos pero, como decıamos, esta forma de trabajar no nos sirve para usar y(x) comouna funcion definida mediante una formula que podamos derivar, integrar o hallar su polinomiode Taylor.

En el ejemplo anterior hemos visto que en todos los puntos de la curva se puede despejar y enfuncion de x. Esto no siempre es ası: la circunferencia de ecuacion x2 + y2 = 1 es el caso tıpico decurva definida implıcitamente en la que no es posible despejar una de las variables para representartoda la circunferencia mediante una ecuacion del tipo y = y(x) o una del tipo x = x(y); comomucho, podemos aspirar a representar ası un trozo de la circunferencia. Por ejemplo, cerca delpunto A = (0.6, 0.8) podemos despejar la y para obtener y =

√1− x2 y se dice que la ecuacion

x2 + y2 = 1 define implıcitamente la variable y como funcion de x cerca del punto A. Asimismo,

cerca de A podemos despejar x =√1− y2 como funcion de y. Sin embargo, hay puntos en los que

solo podemos despejar una de las variables como funcion de la otra. Por ejemplo, por ambos ladosdel punto B = (1, 0) solo podemos despejar la x en funcion de la y pero no la y en funcion de la x.

Cerca del punto A podemos despejar y =√1− x2; cerca del punto B no podemos.

Un problema adicional que puede aparecer es el siguiente, si tenemos una ecuacion F (x, y) = 0,¿como podemos estar seguros de que el conjunto de puntos (x, y) del plano que la cumplen es unacurva regular? Por ejemplo, la ecuacion x2+y2 = 0 representa un punto, mientras que x2−y2 = 0representa dos rectas.

En esta seccion estudiaremos bajo que condiciones es posible asegurar que una ecuacion F (x, y) = 0representa una curva y cuando podemos despejar una de las variables en funcion de la otra y escribirla curva de forma explıcita como y = y(x) o x = x(y). Veremos, ademas, como podemos calcularlas derivadas de dichas funciones explıcitas para poder generar sus polinomios de Taylor o hallarsus maximos y mınimos locales, por ejemplo.

En la siguente seccion extenderemos nuestro estudio del caso plano al caso tridimensional en elque tenemos las variables x, y, z ligadas por una ecuacion (el caso de una superficie como la esferax2 + y2 + z2 = 1) o bien dos ecuaciones (el caso de una curva como la curva de Viviani, dada porlas ecuaciones x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 = y).

Observacion clave. La propiedad de normalidad del gradiente que vimos en la seccion anteriornos da la pista para ver que es razonable exigir como hipotesis para que F (x, y) represente unacurva y podamos hallar sus elementos principales.

Dada una funcion escalar de dos variables F (x, y) de clase C1, consideremos la ecuacion F (x, y) = 0,que podemos ver como la curva de nivel 0 del campo F . Si cerca de un punto (x, y) que cumplela ecuacion pudieramos despejar y = y(x) como funcion derivable de x, entonces la curva de nivelserıa una curva regular y

(1, y′(x)

)serıa un vector tangente a la curva. Ademas, por la propiedad


de normalidad del gradiente, se tendrıa que Fx+ y′(x)Fy = 0, con lo cual y′(x) = −Fx

/Fy, ası que

exigir Fy = 0 es una hipotesis natural. Esta hipotesis equivale a que la tangente no sea vertical, loque en el caso de la circunferencia corresponde exactamente a que podemos despejar y cerca delpunto. El teorema de la funcion implıcita asegura que eso es cierto en general.

Teorema de la funcion implıcita para una curva en el plano. Sea F (x, y) una funcionde clase Cn en una region U del plano. Sea (x0, y0) un punto interior del dominio U tal queF (x0, y0) = 0 y Fy(x0, y0) = 0. Entonces existen un intervalo I centrado en el punto x0 y unaunica funcion y : I → R de clase Cn(I) tal que y(x0) = y0 e y = y(x) es una solucion de la ecuacionF (x, y) = 0 para cada x ∈ I, o sea, F (x, y(x)) = 0 para cada x ∈ I. Ademas, usando la regla dela cadena, la derivada y′ cumple Fx + y′(x)Fy = 0, es decir

y′(x) = −∂F

∂x(x, y(x))

/∂F

∂y(x, y(x)) para cada x ∈ I.

Se dice, en este caso, que la ecuacion F (x, y) = 0 define implıcitamente la variable y como funcionde x en un entorno del punto (x0, y0).

Geometricamente, este teorema nos dice que las soluciones de F (x, y) = 0 forman cerca de (x0, y0)una curva que coincide con la grafica de la funcion y(x).

Interpretacion geometrica del teorema de la funcion implıcita.

El papel de la incognita que se despeja es intercambiable, o sea, se puede enunciar, lo que se dejacomo ejercicio, un teorema similar que nos da condiciones, la esencial es que Fx(x0, y0) = 0, bajolas que podemos despejar x en funcion de y.

Puntos crıticos. Los puntos donde ambas derivadas parciales se anulan se llaman puntos crıticosy en ellos no podemos asegurar que la ecuacion implıcita represente una curva. Veremos en lasiguiente leccion que los puntos en los que un campo alcanza sus maximos y sus mınimos relativosson, precisamente, puntos crıticos.

Ecuacion de la recta tangente a una curva dada por una ecuacion implıcita. La rectatangente a la grafica de la curva y = y(x) en el punto (x0, y0) viene dada por y−y0 = y′(x0)(x−x0),ecuacion que, usando y′(x0) = −Fx(x0, y(x0))

/Fy(x0, y(x0)) e y(x0) = y0, podemos escribir como

∂F

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂F

∂y(x0, y0)(y − y0) = 0.


Observemos en particular que, como ya sabıamos, DF (x0, y0) es un vector normal a la curvadefinida por F (x, y) = 0 en el punto (x0, y0).

Derivadas de orden superior de la funcion implıcita. Otra observacion importante es quesi F admite derivadas parciales de orden superior, entonces, usando la regla de la cadena, podemoscalcular derivadas de orden superior de y(x) para, por ejemplo, determinar los polinomios de Taylorde y centrados en x0. Ası, derivando implıcitamente en la expresion Fx + Fyy

′ = 0 obtenemos

Fxx + Fxyy′ +

(Fxy + Fyyy

′)y′ + Fyy′′ = 0 ≡ Fxx + 2Fxyy

′ + Fyy(y′)2 + Fyy

′′ = 0

de donde podemos obtener y′′(x0) y ası sucesivamente.

No hace falta recordar esta igualdad de memoria; la manera practica de utilizar el teorema de lafuncion implıcita es ir derivando con respecto a x en la expresion dada F (x, y(x)) = 0 usando quey = y(x) es funcion de x como en el siguiente ejemplo,

Ejemplo. En el caso de la circunferencia x2 + y2 = 1, derivamos y nos queda 2x + 2yy′ = 0,ası que en (0.6, 0.8), queda y′(0.6) = −0.6/0.8 = −0.75. La ecuacion de la recta tangente a lacircunferencia es, entonces y = 0.8− 0.75(x− 0.6).

Volviendo a derivar obtenemos 2 + 2(y′)2 + 2yy′′ = 0, ası que y′′(0.6) =−1− (y′(0.6))2

y(0.6)= 1.95.

Con estos datos, el polinomio de Taylor de orden 2 de y(x) centrado en x0 = 0.6 viene dado porp2(x) = 0.8− 0.75(x− 0.6) + 0.98(x− 0.6)2.


Ejercicio 1. Dada la curva de ecuacion implıcita x3y2 − 3xy+ 2 = 0, halla la recta tangente a lacurva en el punto P = (1, 2).

Ejercicio 2. Halla la recta tangente en el punto P = (π, 0) a la curva de ecuacion implıcitax2 − 3xy + 2y3 + cos(x) = π2 − 1.

Ejercicio 3. La ecuacion ay2+2bxy+cx2+αx+βy+γ = 0 define una conica (quizas degenerada)en el plano. Dado un punto P de la conica, halla la ecuacion de la recta tangente a la conica en P .

Ejercicio 4. Prueba que sen(y) = x define implıcitamente la variable y como una funcion de lavariable x alrededor de (0, 0) y calcula su polinomio de Maclaurin de grado 3.

Ejercicio 5. La ecuacion y3 + a2y − 2a3 + axy − x3 = 0 define y como funcion implıcita de xcerca del punto P = (0, a); determina el polinomio de Taylor de orden 3 de dicha funcion (este esel primer ejemplo usado por Newton en 1669). Haz lo mismo para el punto Q = (a, a).

Ejercicio 6. Prueba que la ecuacion y3+4y−x4+x = 0 define implıcitamente la variable y comouna funcion de la variable x en toda la recta real y halla su polinomio de Maclaurin de grado 2.Utiliza alguno de los programas sugeridos en las paginas de internet que se citan al final del guionpara dibujar la curva correspondiente.

Ejercicio 7. La ecuacion x3 − y3 + 2xy − x+ y = 0 tiene tres soluciones y1, y2, y3 para x = 0. Siutilizas alguno de los programas sugeridos en las paginas de internet que se citan al final del guionpara dibujar la curva correspondiente a esta ecuacion, veras que tiene dos ramas; una cerrada y otraabierta. Prueba que alrededor de cada uno de los puntos (0, y1), (0, y2), (0, y3) se puede obtener ycomo una funcion de x y calcula el polinomio de Maclaurin de grado 3 de dichas funciones.


Ejercicio 8. Utiliza alguno de los programas sugeridos en las paginas de internet que se citan alfinal del guion para dibujar la curva y2 + y = x3 − x. Determina en que puntos puedes aplicar elteorema de la funcion implıcita a esta ecuacion para asegurar que define implıcitamente la variabley como una funcion de la variable x y en cuales para asegurar que define implıcitamente la variablex como una funcion de la variable y. ¿Que pasa en el origen?

Ejercicio 9. Utiliza alguno de los programas sugeridos en las paginas de internet que se citan alfinal del guion para dibujar la curva x3 − axy + y3 = 0 (llamada folium de Descartes. Determinaen que puntos puedes aplicar el teorema de la funcion implıcita a esta ecuacion para asegurar quedefine implıcitamente la variable y como una funcion de la variable x y en cuales para asegurarque define implıcitamente la variable x como una funcion de la variable y. ¿Que pasa en el origen?

Ejercicio 10. La figura representa el contorno de la isla en la que el pirata Morgan escondio eltesoro. Fijado un sistema de coordenadas cartesianas en el que las abscisas representan la longitudy las ordenadas la latitud (como es lo habitual en los mapas), el contorno de la isla es la curva deecuacion implıcita x4 − 4x+ 4y2 + y4 = 2.

La isla.

Para encontrar el tesoro debes dar los siguientes pasos:

(1) Halla el punto N mas septentrional de la isla.(2) Comprueba que en dicho punto la curva define la latitud y como funcion de la longitud x

y halla el polinomio de Taylor de orden 2 de dicha funcion definida implıcitamente.(3) El tesoro esta en el punto T de la isla en el que la grafica de dicho polinomio corta el eje

de abcisas.(4) Dibuja la localizacion aproximada de los ejes coordenados, los puntos N y T y la grafica

del polinomio de Taylor mencionado.

Ejercicio 11. La ecuacion y − ϵ sen(y) = m se llama ecuacion de Kepler y relaciona varios para-metros importantes que caracterizan el movimiento orbital de un planeta1. Utiliza el teorema dela funcion implıcita para hallar el polinomio de Maclaurin de grado 3 de y = y(m) como funcionde m alrededor del punto (m = 0, y = 0).

En otras ocasiones puede interesar, para un valor dado m, hallar y en funcion de ϵ. Utilizael teorema de la funcion implıcita en el punto (ϵ = 0, y = m), para hallar el correspondientepolinomio de Maclaurin de grado 3.

Ejercicio 12. El teorema de la funcion implıcita no puede aplicarse en el origen de coordenadasa las siguientes ecuaciones porque en cada caso se tiene que Fx = Fy = 0. Analiza si podrıa ser

1En esta expresion, y es la anomalıa excentrica, ϵ, que es un numero pequeno, es la excentricidad de la orbitaelıptica y m es la anomalıa media.


posible despejar una de las variables como una funcion de la otra cerca de dicho punto.

(1) F (x, y) = x2 − y2 = 0, (2) F (x, y) = x− y3 = 0,(3) F (x, y) = x3 − y3 = 0, (4) F (x, y) = x2 − y4 = 0.

4. CURVAS Y SUPERFICIES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE EN EL ESPACIO

Ecuaciones implıcitas en el espacio. Si tenemos un campo escalar de tres variables F (x, y, z)de clase C1(U), los puntos (x, y, z) que cumplen F (x, y, z) = 0 forman habitualmente una superficieS contenida en U . Diremos entonces que define implıcitamente la superficie S, por lo que se llamaecuacion implıcita de S.

Conoces ya varios ejemplos de superficies definidas implıcitamente, como los planos (dados de formageneral por la ecuacion ax+ by + cz + d = 0), la esfera unidad (definida por x2 + y2 + z2 − 1 = 0)y, mas generalmente, las cuadricas.

La superficie 5(x4 + y4 + z4)− 5(x2 + y2 + z2) + 2 = 0.

Como hemos hecho en el caso de las curvas planas definidas implıcitamente, abordamos ahora elproblema de ver que condiciones permiten asegurar que una ecuacion F (x, y, z) = 0 representauna superficie y si, ademas, podemos despejar una de las variables en funcion de las otras dos;por ejemplo, si podemos escribir z en funcion de x e y para representar la superficie de maneraexplıcita mediante una ecuacion z = f(x, y).

Plano tangente a una superficie dada de forma implıcita. Supongamos que la ecuacionF (x, y, z) = 0 define implıcitamente una superficie S. Con la regla de la cadena podemos resolverde una manera sencilla el calculo del plano tangente a S en un punto P = (x0, y0, z0).

Normalidad del diferencial y plano tangente.

Sea C una curva regular dada por r(t) =(x(t), y(t), z(t)

), contenida en S y que pasa por P ,


digamos P = r(t0), entonces, puesto que F = 0 sobre todos los puntos de la curva, tenemos

0 =

(d

dtF(r(t)

))(t=t0)

= ∇F (P ) · r ′(t0).

Es decir, el vector ∇F (P ) es ortogonal al vector tangente a la curva en P . Como C es cualquiercurva regular contenida en C y que pasa por P , obtenemos que ∇F (P ) es un vector normal al

plano tangente a S en P . Dicho plano tangente vendra dado, si ∇F (P ) = 0, por la ecuacion

Fx(P )(x− x0) + Fy(P )(y − yo) + Fz(P )(z − z0) = 0.

Razonando ahora como en el caso de las curvas planas definidas implıcitamente, si pudieramosdespejar z = f(x, y) entonces (−fx,−fy, 1) serıa un vector normal a la superficie. Como el vector∇F = (Fx, Fy, Fz) tambien es normal a la superficie F (x, y, z) = 0, ambos deben ser paralelos y,por tanto, comparando sus componentes, tendrıa que cumplirse Fz = 0 y, ademas,

∂f

∂x= −∂F

∂x

/∂F

∂zy

∂f

∂y= −∂F

∂y

/∂F

∂z.

Entonces, la hipotesis natural ahora es exigir Fz = 0, es decir, que el plano tangente no sea vertical.

Teorema de la funcion implıcita para una superficie en el espacio. Sea F (x, y, z) unafuncion de clase Cn(U) y sea P = (x0, y0, z0) un punto interior de U tal que F (P ) = 0 y Fz(P ) = 0.Entonces existen un cırculo D ⊂ R2 centrado en (x0, y0) y una unica funcion f : D → R de claseCn(D) tales que z0 = f(x0, y0) y que z = f(x, y) es una solucion de la ecuacion F (x, y, z) = 0 paracada (x, y) ∈ D; o sea, F (x, y, f(x, y)) = 0 para cada (x, y) ∈ D. Ademas, las derivadas parcialesde la funcion f vienen dadas para cada (x, y) ∈ D por

∂f

∂x= −∂F

∂x

/∂F

∂zy

∂f

∂y= −∂F

∂y

/∂F

∂z.

Se dice, en este caso, que la ecuacion F (x, y, z) = 0 define implıcitamente la variable z comofuncion de las variables x, y en un entorno del punto P . Es decir, cerca de P , las soluciones de laecuacion F (x, y, z) = 0 forman una superficie que coincide con la grafica de la funcion f .

Los papeles de las variables son intercambiables; si Fx = 0 entonces podemos despejar x en funcionde y, z, mientras que si Fy = 0 entonces podemos despejar y en funcion de las otras.

Otra observacion importante es que si F es de clase C2(U), entonces, usando la regla de la cadenapara derivar implıcitamente F

(x, y, f(x, y)

)= 0, podemos calcular las derivadas parciales segundas

de z = f(x, y) para determinar su polinomio de Taylor de grado 2 centrado en (x0, y0). Esto nosproporciona buenas aproximaciones, que pueden ser de utilidad cuando sea imposible obtener fcomo una formula en terminos de x e y.

Curvas definidas como la interseccion de dos superficies implıcitas. La curva de Viviani,que vimos en “Matematicas II”, es la curva en forma de 8 dada por la interseccion de la esferax2 + y2 + z2 = 1 con el cilindro circular x2 + y2 = x. En otras palabras, es el conjunto de puntosque cumplen las ecuaciones F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0 y G(x, y, z) = x2 + y2 − x = 0.


La curva de Viviani.

El caso mas simple de curva dada por dos ecuaciones es la expresion de una recta como interseccionde dos planos, que ya conoces bien. Otros ejemplos que surgen en algunas aplicaciones son las curvasdadas por la interseccion de dos cuadricas.

Si tenemos dos campos escalares de tres variables F (x, y, z) y G(x, y, z) de clase C1(U), los puntos(x, y, z) que cumplen las ecuaciones F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 forman habitualmente una curvaC contenida en U . Diremos entonces que dichas ecuaciones definen implıcitamente la curva C, porlo que se llama ecuaciones implıcitas de C.

Curva dada por ecuaciones implıcitas.

Como en los casos anteriores, para ver que C es una curva y poder trabajar comodamente, lo idealserıa despejar dos de las variables en funcion de la tercera, que usarıamos como parametro. Delo que acabamos de ver para una superficie implıcita se deduce que el vector tangente a C en unpunto P debe ser ortogonal tanto a ∇F (P ) como a ∇G(P ). En consecuencia, el producto vectorial∇F (P ) ×∇G(P ) es un vector tangente a la curva en el punto P . Pero sabemos de la asignaturade “Matematicas II” que los puntos donde el vector tangente es cero suelen ser problematicos, asıque parece sensato imponer la condicion de que ∇F (P ) y ∇G(P ) sean linealmente independientespara obtener un vector tangente ∇F (P )×∇G(P ) no nulo.

Teorema de la funcion implıcita para una curva en el espacio. Supongamos que F y Gson funciones de clase Cn(U) y que tenemos un punto P = (x0, y0, z0) interior a la region U tal queF (P ) = 0 y G(P ) = 0. Si los vectores ∇F (P ) y ∇G(P ) son linealmente independientes, entoncescerca del punto P podemos parametrizar la curva usando una de las variables como parametro.

Concretamente, que los vectores ∇F (P ) y ∇G(P ) son linealmente independientes significa que[Fx(P ) Fy(P ) Fz(P )Gx(P ) Gy(P ) Gz(P )

]


es una matriz de rango dos y, por tanto, que alguno de los determinantes 2×2 que podemos extraerde ella no es cero. Entonces, la variable que podemos usar como parametro es la correspondientea la columna que no se usa en este determinante. En particular, si se da el caso∣∣∣∣ Fy(P ) Fz(P )

Gy(P ) Gz(P )

∣∣∣∣ = 0,

entonces existen un intervalo I ⊂ R centrado en el punto x0 y dos unicas funciones escalares f yg de clase Cn(I) tales que f(x0) = y0, g(x0) = z0 y

(x, y = f(x), z = g(x)

)es una solucion del

sistema de ecuaciones F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 para cada x ∈ I. Sus derivadas f ′(x) y g′(x)vienen dadas para cada x ∈ I por la solucion unica del sistema de ecuaciones lineales

Fyf′(x) + Fzg

′(x) = −Fx

Gyf′(x) +Gzg

′(x) = −Gx

Se dice, en este caso, que las ecuaciones F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 definen implıcitamente lasvariables y, z como funciones de la variable x en un entorno del punto P .

En estas condiciones, el trozo de curva C cerca de P podemos parametrizarlo, usando x comoparametro, mediante r : x ∈ I → r(x) = (x, f(x), g(x)). Entonces un vector tangente a la curvaen un punto (x, y = f(x), z = g(x)) es r ′(x) = (1, f ′(x), g′(x)) que, como se deduce del sistemade ecuaciones anterior, es ortogonal tanto a ∇F como a ∇G y, por tanto, paralelo al productovectorial ∇F ×∇G.


Ejercicio 1. Considera la superficie S de ecuacion x2 + y2 + 3xz + 3yz + x + y = 0. Calcula laecuacion del plano tangente a la superficie S en el punto (−1, 0, 0).

Ejercicio 2. Dada la superficie de ecuacion implıcita x3z − z3yx = 0 y el punto P = (1, 1, 1),halla el plano tangente a la superficie en P .

Ejercicio 3. Dada la superficie de ecuacion x3 − y3 + 6xy + z2x = 6, calcula el plano tangente ala superficie en el punto P = (1, 2, 1).

Ejercicio 4. Prueba que el volumen del tetraedro limitado por los planos coordenados y el planotangente a la superficie dada por xyz = 8 siempre vale 36 cualquiera que sea el punto de tangencia.

Ejercicio 5. Sea S la superficie dada en R3 por la ecuacion z3+zx3+zy4+y2+2xy−2x−4y+3 = 0.Prueba que en un entorno del punto P = (1, 1, 0) puede obtenerse la coordenada z de los puntosde S como una funcion explıcita z = f(x, y) de las otras dos coordenadas y calcula el polinomiode Taylor de grado 2 de f en el punto (1, 1).

Ejercicio 6. Consideremos la ecuacion x3 − z3 − y2 − yx+ 2z2 = 0. Prueba que mediante dichaecuacion queda definida z como funcion implıcita de x e y en un entorno del punto P = (1, 1, 1) ydetermina el polinomio de Taylor de segundo grado de dicha funcion implıcita z(x, y) en el punto(1, 1). Halla la ecuacion del plano tangente a la superficie en P .

Ejercicio 7. Prueba que la ecuacion z cos(z) + xy = 0 define implıcitamente z como funcion dex e y en un entorno del punto (0, 0, 0) y determina el polinomio de Taylor de grado 2 de dichafuncion z(x, y) en el origen.


Ejercicio 8. (1) Prueba que la ecuacion xz3 + z2y − zy2 − 2y + x2 + 2 = 0 define implıcitamentez como una funcion z = z(x, y) cerca del punto P = (0, 1, 1).

(2) Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de z(x, y) en el punto A = (0, 1).(3) Halla la ecuacion del plano tangente a la superficie z = z(x, y) en el punto P .(4) Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de z(x, y) en P segun la direccion (2, 3).

Ejercicio 9. Volvemos a la ecuacion de Kepler y − ϵ sen(y) = m. Prueba que cerca del punto(y = 0,m = 0, ϵ = 0) la ecuacion define la variable y como una funcion de ϵ y m y halla supolinomio de Taylor de grado 2. Haz lo mismo para el punto (y = m0,m = m0, ϵ = 0) donde m0

es un valor dado.

Ejercicio 10. Considera la superficie S de ecuacion implıcita x2 + y2 + z2 + 4xy + z − 1 = 0.

(1) Determina la ecuacion del plano tangente a S en P = (0,−1, 0).(2) Al cortar la superficie S con el cilindro de ecuacion x2+ y2 = 1 se obtiene una curva C que

pasa por P . Determina las ecuaciones de la recta tangente a C en el punto P .

Ejercicio 11. Sea C la curva de corte entre el elipsoide x2+4y2+3z2 = 16 y el plano x+y+2z = 5.Halla la ecuacion de la recta tangente a C en el punto (0, 1, 2).

Ejercicio 12. Determina la recta tangente en el punto P = (0, 0, 2) a la curva C definidaimplıcitamente por las ecuaciones x2 + y2 + z2 = 4 y x2 + z2 = y + 4.

Ejercicio 13. Considera la superficie S de ecuacion implıcita F (x, y, z) = x2+y2+z2+4xy+z = 1y el punto P = (0,−1, 0) de S.

(1) Prueba que dicha ecuacion implıcita permite definir z como una funcion de x e y, quedenotaremos por z = f(x, y), en un entorno de P .

(2) Determina la direccion segun la cual la derivada de f en el punto (0,−1) es maxima ycalcula el valor de dicha derivada direccional.

(3) Determina la ecuacion del plano tangente a S en P .(4) Al cortar la superficie S con el cilindro de ecuacion x2+ y2 = 1 se obtiene una curva C que

pasa por P . Determina las ecuaciones de la recta tangente a C en el punto P .

Ejercicio 14. Sea C la curva de corte entre el elipsoide x2+4y2+3z2 = 16 y el plano x+y+2z = 5.Prueba que en un entorno del punto (0, 1, 2) se pueden despejar las variables y y z de dicha elipseen funcion de la variable x y calcula los correspondientes polinomios de Maclaurin de grado 3.

Ejercicio 15. Sea C la curva dada por la interseccion de la esfera de ecuacion x2 + y2 + z2 = 3con el cilindro de ecuacion x2 + y2 = 2x. Prueba que en un entorno del punto (1, 1, 1) se puedendespejar las variables x e y de la curva como funciones de z y calcula los polinomios de Taylor deorden 2 de las correspondientes funciones alrededor del punto z0 = 1.

Ejercicio 16. Sea C la curva dada por las ecuaciones implıcitas x+y+z2 = 0 y x3+y3+z3 = 3xyz.Prueba que en un entorno del punto (1,−1, 0) se pueden despejar las variables y, z de la curva comofunciones de x y calcula los polinomios de Taylor de orden 2 de las correspondientes funcionesalrededor del punto x0 = 1.

Algunas notas historicas. R. Descartes fue el primero, en 1637, que trabajo con conicas definidas de formaimplıcita para calcular las rectas tangentes. I. Newton y G.W. Leibniz, a finales del siglo xvii, y los matematicos

del siguiente siglo trabajaron con curvas mas generales definidas de forma implıcita F (x, y) = 0, asumiendo contoda naturalidad que se puede despejar y en funcion de x como una funcion y = y(x) para hallar el desarrollo de


Taylor de y(x). A caballo entre los siglos xviii y xix, J.L. Lagrange y A.L. Cauchy dieron los primeros resultados deexistencia de la funcion y = y(x) para funciones que se pueden escribir como series de potencias. El resultado general

conocido como teorema de la funcion implıcita, que hemos visto para casos especiales, fue finalmente probado porel matematico italiano U. Dini en 1878.

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Capıtulo 12.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Capıtulo 12.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Capıtulo 14.

Ademas de la aplicacion GRAPES para curvas planas definidas implıcitamente, las siguientespaginas web permiten el dibujo de curvas y superficies definidas implıcitamente:

http://www.wolframalpha.com

http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm

http://www.desmos.com/

Lección 2. Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales

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