LA INESTABILIDAD OSCILATORIA Y SUS APLICACIONES EN...

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

0100125628


ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS

LA INESTABILIDAD OSCILATORIA

Y SUS APLICACIONES

EN MECÁNICA DE FLUIDOS

Y COMBUSTIÓN

Tesis Doctoral

por

Carlos Martel Escobar

Madrid, Febrero 1995




Y SUS APLICACIONES EN MECÁNICA DE FLUIDOS

Y COMBUSTIÓN

Tesis Doctoral

por



11

Departamento de Fundamentos Matemáticos


LA INESTABILIDAD OSCILATORIA Y SUS APLICACIONES

EN MECÁNICA DE FLUIDOS Y COMBUSTIÓN

Autor


Director

José Manuel Vega de Prada

Catedrático de Matemática Aplicada


111

R E S U M E N

Se analiza la aparición de la inestabilidad oscilatoria en sistemas tales que

una de sus dimensiones espaciales es grande frente a la longitud de onda típica de la

inestabilidad. Esta es una de las maneras genéricas en que los estados estacionarios

pierden estabilidad para dar paso a estados más complicados, que involucran una

frecuencia temporal y un número de onda espacial, y consisten en dos trenes de

ondas que se propagan en sentidos opuestos a lo largo de la dimensión espacial

grande. En las proximidades del punto de pérdida de estabilidad, se deducen las

ecuaciones (ya conocidas) que describen la evolución débilmente no lineal de las

amplitudes de los trenes de ondas, y se obtienen las cuatro condiciones de con-

torno (dos de ellas son nuevas) necesarias; estas condiciones expresan el efecto de

las paredes laterales en la dirección espacial en la que es grande. Se'trata de un

sistema de dos ecuaciones complejas acopladas de tipo Ginzburg-Landau para las

amplitudes, que contiene términos de distinto orden de magnitud; dependiendo de

los tamaños relativos de la longitud espacial grande (L ^> 1) y del parámetro de

bifurcación (£ < 1), se llega a dos límites distinguidos. En el primero, que es válido

en el comienzo de la bifurcación (sL2 ~ 1), se tiene un problema parabólico no local

cuyas soluciones se estudian en el caso de paredes laterales perfectamente reflec-

toras y de paredes con coeficientes de reflexión muy grandes o muy pequeños. El

segundo límite corresponde a valores mayores del parámetro de bifurcación (sL ~ 1)

y en él aparece una nueva longitud característica intermedia, pequeña frente a la

longitud total del dominio pero grande frente a la longitud de onda básica de la

inestabilidad. Suponiendo que sólo se tienen escalas del orden de L, se obtiene

un sistema de ecuaciones hiperbólicas no lineales para los módulos de las ampli-

tudes. Para este sistema se analizan las soluciones estacionarias y su estabilidad,

así como sus soluciones no estacionarias persistentes, encontrándose comportamien-

tos periódicos, casiperiódicos y caóticos. También se analiza la validez del modelo

hiperbólico, es decir, cuando las escalas intermedias permanecen efectivamente in-

hibidas. Por último, se comparan los resultados obtenidos con los de los de los

experimentos presentes en la literatura.

IV

A B S T R A C T

The onset of the oscillatory instability is analyzed, in systems whose

size in one spatial direction is large as compared with the characteristic wavelength

of the instability . This instability is one of the generic bifurcations form steady

states to more complex behavior; it involves a temporal frecuency and a spatial

wavenumber and yields a pair of counter propagating wavetrains along the large

spatial dimensión. The (already known) amplitude equations governing the weakly

nonlinear evolution of the system near the bifurcation point are obtained, along

with the four boundary conditions that are needed (two of them are new); those

conditions take account of the effect of the sidewalls. The amplitude equations are

two coupled complex Ginzburg-Landau equations that generically contains terms

of different order of magnitude; depending on the relative size of the- large sys-

tem length (L ^> 1) and the bifurcation parameter (e «C 1), two distinguished

limits are considered. In the first one, that applies at the begining of the bifur-

cation (eL2 ~ 1), the system evolves according to a nonlocal parabolic problem,

whose solutions are analyzed in the limiting cases of perfectly reflecting sidewalls

and sidewalls with very large or very small reflection coefflcient. The second limit

corresponds to higher valúes of the bifurcation parameter and involves a new in-

termedíate characteristic length. This scale is small as compared with the system

length but still large as compared with typical instablity wavelength. A nonlinear

hyperbolic system is derived for the evolution without intermediate scales. The

steady states of this system and their stability are analyzed, and also some more

complex large time behaviors (periodic, quasiperiodic and chaotic) are numerically

described for representative valúes of the parameters. It is also elucidated whether

these solutions without intermediate scales are good approximations of the solutions

of the original amplitude equations. Finally, some comparisons with experiments

in the literature are given.

V

A mis padres

Agradecimientos

Quiero agradecer al profesor José Manuel Vega su ayuda y apoyo, y la

dedicación con que ha dirigido esta tesis. También agradezco a Eva el esmero con

que ha transcrito este trabajo y a mis compañeros del Departamento de Funda-

mentos Matemáticos la colaboración que me han prestado en todo momento.

Parte de los medios materiales utilizados para la realización de esta tesis

han sido obtenidos a través de los contratos de investigación DGICYT PB 90-0271,

DGICYT PB 93-0413 y CHRX-CT93-0413.

vii

ÍNDICE

1.- LA INESTABILIDAD OSCILATORIA 1

1.1 Introducción 1

1.2 Contenido de la Tesis 7

2.- ECUACIONES DE AMPLITUD Y LÍMITES DISTINGUIDOS . . . . 9

2.1 Ecuaciones de amplitud y condiciones de contorno 9

2.2 Primer límite distinguido: Problema parabólico no local 24

2.3 Segundo límite distinguido: Sistema hiperbólico 28

3.- PROBLEMA PARABÓLICO NO LOCAL 34

3.1 Propiedades generales 34

3.2 Solución nula. Estabildad *. 35

3.3 Soluciones de módulo constante. Estabilidad 36

3.4 Límite | log |r|| > 1 47

4.- SISTEMA HIPERBÓLICO . 49

4.1 Propiedades generales 49

4.2 Soluciones estacionarias 59

4.3 Estabilidad de las soluciones estacionarias 79

4.4 Soluciones no estacionarias 87

4.5 Validez del sistema hiperbólico 120

5.- RESULTADOS EXPERIMENTALES Y EXTENSIONES

PREVISIBLES 129

5.1 Resultados experimentales 129

5.2 Extensiones previsibles 134

APÉNDICE A: DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE A M P L I T U D

PARA U N SISTEMA DE ECUACIONES REACCIÓN-DIFUSIÓN . . 136

APÉNDICE B: MÉTODOS NUMÉRICOS 145

REFERENCIAS 152

§í . i Introducción 1

CAPÍTULO 1


1.1 INTRODUCCIÓN

Cuando se analizan los cambios de comportamiento que se producen en un de-

terminado sistema físico, al partir de una configuración inicial sencilla y variar alguno de

los parámetros de los que depende, una manera posible de proceder es localizar el punto

en el que se produce la transición y tratar de dar una descripción simplificada del sistema

en las proximidades de este punto. Se supone que la evolución del sistema físico que se

estudia viene dada por un determinado modelo matemático (formulado como un sistema

de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con las condiciones de contorno apro-

piadas), y que el cambio de comportamiento que sobreviene cuando se varía el parámetro

corresponde a la pérdida de estabilidad de una solución estacionaria y la aparición de una

nueva solución estable más complicada. Para conocer la estabilidad de la solución básica

se calculan los autovalores del problema linealizado en torno a ella y el punto de pérdida

de estabilidad es aquel en el que la parte real de algún autovalor se hace positiva por

primera vez. La manera en que se produce este cambio de signo permite clasificar los tipos

de cambio de estabilidad que pueden aparecer de una manera universal, de modo que es

posible predecir comportamientos similares en problemas completamente diferentes tales

que sus autovalores cambian de signo de la misma forma.

Los sistemas que se van a estudiar son muy grandes en una de sus dimensiones

espaciales; esto hace que si, en primera aproximación, se supone que el sistema es infinto,

el correspondiente problema linealizado posee un continuo de autovalores (uno para cada

valor real del número de onda asociado a esta dimensión espacial infinita); si el sistema

tiene más dimensiones espaciales de extensión finita, se obtienen^ usualmente, una cantidad

infinita numerable de estas ramas de autovalores. Se supone además que las ecuaciones en

derivadas parciales que modelan el proceso son invariantes frente a traslaciones y reflexiones

en la dirección en la que el sistema es muy grande.

1.1 Introducción 2

La llamada inestabilidad oscilatoria aparece cuando, justo en el punto de pérdida

de estabilidad, se tiene un autovalor imaginario puro (y su complejo conjugado), correspon-

dientes a un determinado número de onda no nulo y a su opuesto (debido a la invarianza

frente a reflexiones); se supone además que se está en la situación genérica en que la

derivada de la parte imaginaria del autovalor respecto al número de onda (es decir, la

velocidad de grupo del tren de ondas asociado) es no nula (Figura 2.1.3 del Capítulo 2).

Para valores menores del parámetro de bifurcación la solución básica es estable, es decir,

todos los autovalores del problema linealizado tienen parte real estrictamente negativa.

El resultado de este tipo de inestabilidad es la aparición de dos trenes de ondas

que se propagan, en sentidos contrarios, a lo largo de la dimensión espacial de extensión

muy grande, y la evolución del sistema, en las proximidades de la transición, es esencial-

mente unidimensional aunque el sistema posea más dimensiones.

En la vecindad del punto de pérdida de estabilidad se puede llevar a cabo un

análisis débilmente no lineal para obtener las ecuaciones de amplitud correspondientes

[1-4]. La idea clave para este tipo de análisis es que, a la vista del espectro del sistema

linealizado, al variar en pequeñas cantidades el parámetro de control alrededor del punto de

transición, todos los modos, salvo los correspondientes a los autovalores próximos a aquellos

cuya parte real cambia de signo, se amortiguan exponencialmente rápido en tiempos del

orden del periodo de la oscilación que no se amortigua. Los autovalores de los modos con

números de onda próximos a los críticos tienen partes reales muy pequeñas, por lo que

su evolución se produce en tiempos grandes frente al periodo de la oscilación que no se

amortigua. La solución del problema, en un entorno de esta transición, se puede expresar

como la solución básica más los modos que no se amortiguan, correspondientes al valor

crítico del parámetro de control, multiplicados por unas amplitudes complejas pequeñas,

A y B, que dependen de una escala espacial y una temporal lentas, x y t :

u = básica + A(x, t)U0eikoX+l^t + B{x, ^Voe-^+^t + ce. + • • •

siendo &o, ^o-, UQ y VQ son el número de onda, la frecuencia de oscilación y las autofun-

ciones correspondientes a los modos críticos. Estas amplitudes son pequeñas porque se

analiza la evolución cerca del punto de pérdida de estabilidad (variaciones pequeñas del

parámetro de bifurcación respecto al punto crítico) y en esta zona la solución ha de ser una

pequeña perturbación de la solución básica para que los resultados del sistema linealizado

sean aplicables. La dependencia espacial de estas amplitudes tiene en cuenta el efecto de

los modos con números de onda próximos a los que se vuelven inestables, en forma de una

§1.1 Introducción 3

modulación espacial lenta. La escala temporal lenta se debe al tiempo lento de evolución

de estos modos, que, al corresponder a autovalores con partes reales pequeñas, no se amor-

tiguan rápidamente. Desarrollando la solución y el sistema de ecuaciones en potencias de

los parámetros pequeños mencionados anteriormente se llega a las ecuaciones de amplitud

deseadas que, en el caso de la inestabilidad oscilatoria, son

At =cAxx + bAx + A(de + nx\A\2 + n2\B\

2)

Bt =cBxx - bBx + B(de + m\B\2 + n2\A\

2)

donde A y B son las amplitudes complejas de los dos trenes de onda contrapuestos, que

dependen de la variables lentas espacial y temporal x y t, y e es el parámetro de control.

El problema físico particular que se estudia queda reflejado en el valor de los coeficientes

de estas ecuaciones; la forma de las ecuaciones, en cambio, sólo depende del tipo de ines-

tabilidad que se presenta, la inestabilidad oscilatoria en este caso. Es esencial que en

estas ecuaciones la velocidad de grupo, que es el parámetro real b asociado a la pendiente

de la parte imaginaria de los autovalores en el punto de pérdida de estabilidad, sea de

orden unidad. Esto hace que la ecuación anterior, convenientemente reescalda, contenga

términos de distintos órdenes y dé lugar a distintos límites distinguidos.

Este sistema de dos ecuaciones acopladas de tipo Ginzburg-Landau fue obtenido

por primera vez por Coullet, Fauve y Tirapegui [5], que también analizaron algunas de sus

soluciones más sencillas y la estabilidad de las mismas (para ello impusieron condiciones

de contorno de periodicidad espacial a las ecuaciones anteriores), ver también [6-8].

En el caso más realista en que el sistema a estudiar no sea infinito (en una de

sus dimensiones espaciales) sino finito pero muy grande (muy grande frente a la longitud

de onda de los modos que se desestabilizan), las ecuaciones anteriores siguen siendo una

aproximación válida del problema (salvo en las cercanías de las paredes laterales), pero

hay que completarlas con las condiciones de contorno apropiadas, que tienen en cuenta el

efecto de las paredes laterales. El primer par de condiciones de contorno fue deducido en

[9] y expresa la reflexión lineal de los trenes de ondas en las paredes; estas condiciones se

obtienen mediante el análisis lineal de las regiones próximas a los extremos del cilindro

[10-13]. Las dos condiciones de contorno que hacen falta todavía se deducen en esta Tesis

mediante el estudio de la evolución débilmente no lineal del sistema en la región próxima

a los extremos y el acoplamiento de esta solución con la correspondiente a la zona central,

alejada de los extremos, donde son válidas las ecuaciones de amplitud anteriores; estas

§J[.i Introducción 4

condiciones de contorno son, salvo en el caso particular de paredes laterales perfectamente

reflectoras, no lineales.

Hasta ahora, para evitar la falta de condiciones de contorno al analizar las ecua-

ciones anteriores en dominios finitos se habían utilizado, o bien condiciones de periodicidad

espacial, o condiciones de contorno lineales con coeficientes que debían ser ajustados, in-

troducidas mediante argumento fenomenológicos [12]. También se había recurrido en la

literatura a suponer determinados comportamientos espaciales de A y B para convertir

el sistema anterior en uno de ecuaciones diferenciales ordinarias más fácilmente aborda-

ble [14-20]; pero esta aproximación, evidentemente, puede no describir (y de hecho, no

describe) toda la riqueza fenomenológica de esta inestabilidad.

Los experimentos realizados en los que aparece este tipo de inestabilidad po-

nen de manifiesto que da lugar a una gran cantidad de estructuras espacio-temporales

diferentes. A continuación se enumeran algunos de los sistemas físicos el los que se ha

encontrado este tipo de inestabilidad y se escriben las ecuaciones que rigen la evolución de

los mismos.

• Ondas espirales en el flujo de Taylor-Couette entre dos cilindros circulares

coaxiales que giran con velocidades angulares opuestas [And,Tagg,Di-Pri]. Ambos cilindros

son de longitud /, el cilindro exterior gira con velocidad angular Í7e y tiene radio re y el

cilindro interior tiene radio r¿ y gira a velocidad angular f¿¿. Utilizando coordenadas

cilindricas (r,d,x), con x a lo largo del eje común de los cilindros, las ecuaciones que se

tienen son

V - v = 0

v¿ + Ri(v • V)v = A v - Vp

junto con las condiciones de contorno de no deslizamiento

v = (0,1,0) en r = - 5 - , i G [ - ^ ] , 0 e [0,2vr] 1 — r¡ 2 2

v = (0A0) en r = —!—, xe [--,-}; 0 G [0, 2TT] rj 1 — 77 2 2

v = ( 0 , 7 7 ^ — ^ , 0 ) en x = ±-, r

1.1 Introducción 5

variable 9. En las ecuaciones anteriores se han adimensionalizado las longitudes con re — ri,

las velocidades con la velocidad del cilindro interior, r¿í2¿, y el tiempo con el tiempo de

difusión viscosa v e~ rv . Los parámetros adimensionales de los que depende este problema

son 77 = ^ < 1, A* = fh < 0 ' e l número de Reynolds i?¿ = ^ r»(^- r») y la esbeltez

del cilindro L = —^— ^> 1. Fijado apropiadamente el valor de Í2e, para valores del

número de Reynolds del cilindro interior, i?¿, menores que un cierto valor crítico se tiene

el flujo unidimensional de Taylor-Couette y, para valores mayores, aparece la inestabilidad

oscilatoria en la dirección del eje de los cilindros; las ondas que aparecen propagándose

según la dirección del eje de los cilindros tienen también un cierto número de onda azimutal,

lo que les confiere su aspecto típico helicoidal.

• Inestabilidad secundaria en la convección de Rayleigh-Bénard en forma de

rollos en un fluido puro [25-27]. El sistema consiste en un lámina de fluido que llena el

espacio entre dos placas rectangulares horizontales, separadas una distancia h. Se utilizan

coordenadas cartesianas (x,y, z) con los ejes x y z contenidos en la placa inferior y el

eje y perpendicular a ellas, y se adimensionalizan las longitudes con h. De este modo, la

coordenada y varía entre 0 y 1, y en la dirección x la celda tiene longitud I > 1 y acaba

en dos paredes verticales. Se buscan soluciones que sean periódicas en la dirección z con

periodo d (se pretende tener , en una celda, únicamente dos rollos contrapuestos con ejes

paralelos a x). Con la aproximación usual de Boussinesq, las ecuaciones que rigen este

proceso, adimensionalizadas de forma usual, son

V - v = 0

v¿ + (v • V)v = crAv - Vp +

§i. i Introducción 6

del perfil lineal estacionario correspondiente a v = 0. Para valores del número de Rayleigh

superiores a un cierto valor crítico el estado de conducción pura (con v = 0) se hace

inestable y aparece covección en forma de rollos paralelos. Al seguir aumentando el número

de Rayleigh estos rollos paralelos se vuelven inestables y sus ejes comienzan a oscilar al

aparecer la inestabilidad oscilatoria a lo largo de ellos. La condición de periodicidad

en z equivale a no permitir que los despazamientos de los ejes de los rollos tengan una

modulación lenta en z\ en cada celda de anchura d, dos rollos opuestos que tienen sus ejes

a lo largo del eje x y que se repiten periódicamente en z.

• Convección isoterma en mezclas ternarias [28]. En estos experimentos se tiene

un paralelepípedo de altura y anchura pequeñas frente a su longitud, lleno de un fluido

(generalmente agua) que contiene dos solutos, ambos más pesados que el disolvente. Si

en la paredes superior e inferior se fijan las concentraciones de los dos solutos, c\ y c2,

de modo que los gradientes verticales de concentración sean opuestos, al aumentar uno de

estos gradientes se consigue que aparezca convección a temperatura constante. Utilizando

la aproximación de Boussinesq y despreciando los efectos Soret y Dufour y las difusiones

cruzadas [28], las ecuaciones que rigen la evolución de este sistema, convenientemente

adimensionalizadas, son

V - v = 0

v¿ + (v • V)v = crAv - Vp -

1.2 Resumen 7

• Sistemas de ecuaciones de reacción difusión en cilindros esbeltos. Las ecua-

ciones y condiciones de contorno correspondientes son

ut = M M + f{u,fi)

Cu + Euu = 0

Cu ± Eux = 0

donde Q, es un dominio acotado de R2 con frontera ¿Í2, v es la normal exterior a 1 la longitud del sistema y e < l

el parámetro de bifurcación del mismo. Para el primero de ellos se obtiene una ecuación

compleja de tipo Ginzburg-Landau no local y para el segundo se llega a un sistema de

en - -

§1.2 Resumen 8

dos ecuaciones hiperbólicas reales. Para este último modelo se deduce también un sistema

de ecuaciones hiperbólicas lineales que describen la evolución de las escalas intermedias e

indican cuando es válido o no este submodelo como aproximación del sistema parabólico

original.

En el Capítulo 3 se analiza la ecuación no local. Dada la cantidad de parámetros

que posee este submodelo se ha renunciado a emprender un análisis medianamente sis-

temático de sus posibles soluciones. Teniendo en cuenta, además, que este modelo es válido

únicamente para un rango muy pequeño de valores del parámetro de bifurcación, ha pare-

cido conveniente restringir el análisis a unas pocas cuestiones de interés. En particular se

discute la estabilidad lineal de algunas soluciones sencillas y se consideran algunos límites

de interés: paredes perfectamente reflectoras, soluciones con amplitudes muy pequeñas y

coeficientes de reflexión muy grandes o muy pequeños.

El Capítulo 4 está dedicado al estudio del modelo hiperbólico. Se comienza

demostrando algunas propiedades relativas a la existencia, acotación de sus soluciones y

a la estabilidad global de las soluciones estacionarias. A continuación se analizan, para

valores arbitrarios de los parámetros, los tipos de soluciones estacionarias que posee y la

estabilidad lineal de las mismas. Finalmente, para situaciones en que todas las soluciones

estacionarias son inestables, se analiza el comportamiento de las soluciones para tiempos

grandes. En particular, se analizan algunas bifurcaciones dinámicas que dan lugar a una

gran variedad de situaciones, incluyendo comportamientos caóticos a los que se llega a

través de cascadas de duplicación de periodo e intermitencias, crisis, aparición de soluciones

casiperiódicas, etc. También se analiza el sistema lineal que rige la validez de este modelo

y se propone un criterio muy sencillo para conocer cuando son válidas estas soluciones.

En el Capítulo 5 se comparan los resultados obtenidos con los de algunos expe-

rimentos encontrados en la literatura y se indican las previsibles extensiones más directas

de este trabajo.

Por último, el Apéndice A se dedica a repetir la deducción llevada a cabo en el

Capítulo 2, pero para el caso más sencillo de un sistema de reacción difusión unidimen-

sional. En el Apéndice B se describen los métodos numéricos utilizados para integrar los

distintos modelos que se manejan en esta Tesis.

$2.1 Ecuaciones de amplitud y condiciones de contorno 9

CAPÍTULO 2

ECUACIONES DE AMPLITUD Y LÍMITES

DISTINGUIDOS

Este Capítulo está organizado del siguiente modo. En el apartado 2.1 se de-

ducen las ecuaciones de amplitud y las condiciones de contorno que deben aplicarse en

los extremos del dominio, y se consideran dos límites distinguidos que conducen a dos

submodelos esencialmente distintos. El primero de ellos se deduce en el apartado 2.2. El

segundo submodelo se deduce en el apartado 2.3, donde también se deduce un sistema

lineal que rige la estabilidad de ciertas escalas intermedias que juegan un papel esencial en

la validez de este submodelo.

2.1 ECUACIONES DE AMPLITUD Y CONDICIONES DE C O N T O R N O

Para cubrir todos los problemas mencionados en el Capítulo anterior, el modelo

que se considera está definido sobre un dominio cilindrico esbelto de M3 : [— ̂ , |r] x Í2

(Fig. 2.1.1) y consta de n variables dependientes agrupadas en el vector U, cuya evolución

se rige por un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de la forma

DUt = F{U;e) en

Condiciones lineales sobre Uz, Uy y U en

CU ± EUX = V en

donde Í2 es un dominio acotado de R2, L ^> 1 (siendo de orden unidad la longitud car-

acterística de la inestabilidad que aparece), F es un operador^diferencial no lineal cuyos

coeficientes pueden depender de las variables transversales (y, z) pero no dependen de x,

C, D y E son matrices reales de tamaño n x n (no necesariamente regulares), V(y, z) es

un vector de W1 y e es el parámetro de bifurcación del problema.

~~2

§2.1 Ecuaciones de amplitud y condiciones de contorno 10

Figura 2.1.1: Dominio cilindrico utilizado.

Se tiene además una solución estacionaria, Us (F(US; e) = 0), que también puede depender

de las variables transversales, (y, z), pero que, en primera aproximación, no depende de x

salvo quizá en dos zonas de anchura de orden unidad situadas en las bases del cilindro (Fig.

2.1.2). Para el caso L = +oo, la solución Us es independiente de x y el sistema anterior

(ahora sin las condiciones de contorno x = ± | r ) es invariante frente a traslaciones en x,

también se exige que sea invariante frente a transformaciones del tipo x —> —x, U —• JU

(reflexiones en x) y que JUS = Us, siendo J una matriz diagonal de tamaño n x n tal que

J2 = I.

U ~1

L» l

Figura 2.1.2: Aspecto de la solución estacionaria básica.

ve vx P)

,D = 0 1 0 0 l 0 0 1 0 Vo 0 0 0/

Por ejemplo, el problema del flujo entre dos cilindros circulares mencionado en

el apartado 1.1, reescrito en la formulación anterior sería

Vr\ / l 0 0 0 \ / ^

U=\V9\,D=\° X ° ° | y F= - ^ ( v ' V ) v - V ^ + A v

V - V - v ) y la solución estacionaria básica, Us, sería el flujo axilsimétrico estacionario, que es, en

primera aproximación, el flujo unidimensional de Taylor-Couetté salvo en dos capas límite

cercanas a las bases del cilindro.

Se pretende analizar la evolución débilmente no lineal del sistema en las cer-


canias del punto en el que la solución estacionaria deja de ser estable, asumiendo que la

inestabilidad que aparece es la inestabilidad oscilatoria. Para ello es conveniente hacer el

cambio de variable u = U — Us (con el que la solución estacionaria pasa a ser u = 0), para

reescribir las ecuaciones en la forma

Dut=F(u;£) en - - < x < - , (yiz)eíl (2.1.1)

Condiciones lineales sobre w2, uy y u en < x < —, (y,z) £ dQ, (2.1.2)

Cu±Eux = 0 en x = ± - , (y,z)ett (2.1.3)

donde el operador diferencial J- viene dado por T(u\ e) — F(u + US;£), verifica ^"(0; e) = 0

y sus coeficientes dependen de x del mismo modo que Us. En lo que sigue se obtendrán

las ecuaciones de amplitud aplicables en la zona central del cilindro y, del estudio de las

zonas próximas a los extremos, se obtendrán las condiciones de contorno aplicables a estas

ecuaciones. En el Apéndice A se repite esta deducción para el caso más simple de un

sistema de ecuaciones de reacción-difusión 1-D.

, , . - £ . L L

Zona central: |cc± — | ^>1 , — — < x < — A ¿i ¿i

En esta región los coeficientes del operador T de (2.1.1) son independientes de

x. Considerando el cilindro de logitud infinita, las ecuaciones que se tienen son

Dut=T(u\e) en — oo < x < + oo, (y,z)eQ, (2.1.4)

Condiciones (2.1.2) en —oo < x < + oo, (y, z) £ díl (2.1.5)

u acotada para x —> ± oo, (y, z) G fl (2.1.6)

Para conocer estabilidad de la solución u — 0 hay que resolver el problema linealizado de

(2.1.4-6)

Dut = C(u;e) en — oo < x < + oo, (y,z)e£l (2.1.7)

Condiciones (2.1.2) en —oo < x < + oo, (y, z) G díl (2.1.8)

u acotada para x —> ± oo, ~(y, z) E íl (2.1.9)

(T(u;s) = C(u;e) + o(||tí||)), cuyas soluciones son de la forma* u — jje'lkx+UJt _|_ CiC., con

U(y, z) G Cn , UJ G C y k G R. Llevando esta expresión de u a C y definiendo

C(Ueikx+ut; e) = l(U, ik\ e)eikx+ut, (2.1.9')

§i?.1 Ecuaciones de amplitud y condiciones de contorno 12

el problema (2.1.7-9) se convierte en el problema de autovalores

LÜDU = l(U,ik;s) en (y,z)eti (2.1.10)

Condiciones (2.1.2) en (y,z) G 0, /¿o > 0, b / 0, Re(c) > 0, Re(d) > 0 y e, / G C (el desarrollo para las ramas

conjugadas es el conjugado de (2.1.11)).

Así pues, en e = 0 las soluciones de (2.1.7-9) que no se amortiguan están

formadas por la superposición de dos trenes de ondas que viajan a lo largo del eje x con

velocidades opuestas

u = AU0eiUot+ikoX + BV0e

iü,ot-ikoX + c e ,

donde A y B son dos constantes complejas arbitrarias y UQ y VQ (VQ = JUQ) son las

autofunciones correspondientes al autovalor ÍUÚQ, con números de onda &o y ~&o respec-

tivamente. Para que estas autofunciones queden definidas completamente se añaden las

condiciones de normalización «

(Uo,Üo} = (Vo,V0) = l

(el producto escalar que se utiliza es (U, V) — -¿y /Q UTV).


Im(co)

Re(co)

Figura 2.1.3: Autovalores que se hacen inestables.

Los coeficientes del desarrollo de u (2.1.11) se pueden calcular desarrollando las autofun-

ciones correspondientes U(ik;e) (sólo se hace para u+)

U = Uo + {ik-iko)U1 + (ik-iko)2U2+eU3+e(ik-iko)U4+e

2U5+o(£2 + (k - k0)

2) (2.1.12)

e insertando estos desarrollos, (2.1.11) y (2.1.12), en el problema lineal (2.1.10) y en la

condición de normalización

(U,Ü0) = 1 (2.1.12')

De esta manera se obtienen, para E/o,..., E/5, los siguientes problemas lineales

ÍLÜQDUO -l(U0,iko)0) = 0

{U0lÜ0) = l si

iuQDU1 - l(Uuiko;0) = -bDU0 + --—(Uo,iko;0) ó{ik)

(2.1.13)

(2.1.14) (UuÜ0) = 0

81 ÍÜJ0DU2 - /(E/2, ik0; 0) = -cDU0 - bDUx + J7J^.(

U^iko; 0)

1 ¿ 2 ¿ / r r -, .X + T T 7 T 7 T T T ( C / O ^ A ; O ; 0 )

(2.1.15) 2 8{ik)'

(U2,Ü0) = 0

81 ÍÜJ0DU3 - l(U3, ik0- 0) = -dDU0 + —(E/o, ik0\ 0)

os (U3i Ü0) = 0

(2.1.16)

81 ÍUÜ0DU4 - /(E/4, ik0; 0) = -eDU0 - dDU± - bDU3 + ^7777(^3, ik0; 0)

o(ik)

+ Te(Ul'i^0) + Mffi(~Uo'iko;0)

(2.1.17)

(U4,Ü0) = 0


ÍLÜODUS - l(U5l ik0; 0) = -fDU0 - dDU3 + —(C/3, ik0; 0) os:

J2i + ¿7-7(^0, * ; o)

I Í 2 ^ ^ . m (2.1-18) 2


donde la variable espacial lenta varía en — ̂ < x < | s Se añaden las condiciones

• 27r/fco />2TV/UJO

4TT2

k0iüo r2n/ko r27r/uo

/ / (w, Ü0)e-iUot-ikoX dtdx = A

Jo Jo

A 0 / / {u,Vo)e-luJot+ikoX dtdx = B

4?r2 JO JO

para definir completamente las amplitudes A y B.

Nótese que no se está reescalando el tamaño de las amplitudes complejas ni se

están introduciendo explícitamente variables espaciales y temporales lentas reescaladas,

para no restar generalidad a las ecuaciones de amplitud que van a obtenerse. De este

modo (i.e., utilizando solamente las hipótesis (2.1.24')), se obtendrán ecuaciones de am-

plitud generales, válidas en los dos límites distinguidos que se considerarán al final de

este apartado; cada uno de estos dos límites conduce a un escalado distinto, tanto de las

amplitudes complejas como de las variables espaciales y temporales lentas (de hecho, en el

segundo límite deberán considerarse dos escales espaciales y dos escalas,temporales lentas,

como se verá más adelante).

Se buscan desarrollos de u y de las ecuaciones de amplitud en potencias de las

variables pequeñas e, A, B, Au Bt, Ax, Bx, Axx, Bxx, ...

u = (AU0elUot+ikoX + BVoe1^-^* + ce.) + Axux + Bxvx + Axxu2 + Bxxv2 + . . .

(2.1.26)

At = aiAx + a2Axx + . . . (2.1.27)

Bt = PiBx + P2BXX + . . .

Para calcular estos desarrollos se llevan (2.1.26) y (2.1.27) al desarrollo del operador T

T(u\ z) = C(u; e) + A4(u, u\ e) + Af(u, w, u; e) + o(||w||3)

con Á4 un operador bilineal en u y Ai trilineal. Estos operadores, cuando actúan sobre

expresiones de la forma aU(y, z)eUJt+lhx con \a\


M(aUeut+ikx, OL'U'eu't+ik'x\ e) = e ( w + w ' ) t + i ( f c + f c ' ) x [aa 'm(^ U\ ik, ik'; 0)

+ o(\aa'\)} (2.1.29)

AÍ(aUeut+ikx, a'U'e"'1^'*, a"U"e""t+ik"x+-s) = e ( " W W')t+í(*H-fc'+fc")*

[aa'a"n(U, U', U", ik, ik', ik"; 0) + o{\aa'a"\)} (2.1.30)

donde el operador lineal / se definió en (2.1.9'), m es un operador diferencial bilineal en

U y n un operador diferencial trilineal, cuyos coeficientes sólo dependen de las variables

transversales y que contienen, a lo sumo, derivadas respecto a estas variables.

En cada orden hay que resolver un problema lineal no homogéneo que proporciona el

término correspondiente del desarrollo (2.1.26) de u. Aplicando condiciones de resolu-

bilidad (acotación de las soluciones en la escala temporal t ~ 1) a los problemas que

involucran términos no homogéneos resonantes (proporcionales a e± í a ; o í ± z / c o : E ) , se obtienen

los coeficientes de las ecuaciones de amplitud (2.1.27); salvo para los últimos órdenes, debe

resolverse el problema resultante, pues su solución (acotada en la escala t ~ 1) aparece

explícitamente en la parte no homogénea de los términos de orden superior. Procediendo

de este modo se llega a los desarrollos

u = [(AUo + AxUx + AXXU2 + eAU3 + eAxU4 + s2AU5 + A\A\

2U8 + A\B\2U9)e!

u°t+ik°x

+ {BV0 - BXVY + BXXV2 + sBV3 - sBxV4 + e2BV5 + B\B\

2V8 + B^V^e1^-1^

4-c.c. + TROS ] + (ABWxe2^01 + ABW2e2ik°x + A2U6e

2iu°t+2ik°x + B2V6e2luJot-2lkoX

+c.c.) + \A\2U7 + \B\2V7 + TNROS. (2.1.31)

At = cAxx + bAx + de A + esAx + fe2 A + n!A|A|2 + n2A\B\

2 + TROS. (2.1.32)

Bt = cBxx - bBx + deB - eeBx + fe2B + n i £ | £ | 2 + n2B\A\

2 + TROS.

donde

TROS: términos resonantes de orden superior, de la forma

o {\Axx\ + \Bxx\ + \s$\Ax\ + \Bx$ + (|A| + |£|)( |£2 | + |A|2 + |# |2)) (2.1.33)

TNROS: términos no resonantes de orden superior, de la forma

o (\A\2 + \B\2) e¿P"ot+¿


V7, Ug, Vg, Ug y Vg y los constantes complejas n\ y n2 vienen dados por los problemas

lineales regulares

2ZCJ0£WI - l(Wu 0; 0) = m{U0, V0, ik0, -ik0; 0) + m{V0, U0, -ik0, ik0; 0) (2.1.35)

-l(W2, 2ik0; 0) = m(U0, V0, ik0, ik0; 0) + m(V0, U0, ik0, ik0; 0) (2.1.36)

2iu0DU6 - l(U6, 2ik0; 0) = m(U0, ô, * , ¿ko; °) (2.1.37)

-/(C/7,0; 0) = m(U0, Ü0, ik0, -ik0; 0) + m(ÜQ, U0, -ik0, ik0; 0) (2.1.38)

y los singulares

iiüoDUg - 1{U8, ik0; 0) = m{U0, U7, ik0, 0; 0) + m(U7, U0, 0, ik0; 0)

+ m(U6, Ü0, 2ik0, -¿/¿o; 0) + m(Ü0, U6, -ik0, 2ik0; 0)

+ n(U0, U0, Ü0, ¿fc0, ¿feo? - iô; 0) + n(U0, Ü0, U0, ik0, -ik0, ik0; 0)

+ n(Ü0, U0, U0, -ik0, ik0, ik0; 0) - UIDUQ

= W8-n1DU0; (U8,Ü0) = 0 (2.1.39)

iuoDUg - l(U9, ¿fc0; 0) = m{U0, VV, ¿fc0,0; 0) + m(V7, U0, 0, ik0; 0)

+ ?7i(VF2, VQ, 2ik0, -ik0; 0) + m(V0, W2, -ik0, 2ik0; 0)

+ m(Wu Vb, 0, z/c0; 0) + ra(Vb, ^ i , ¿fco, 0; 0)

+ n(U0, Vb, Vb, ÍÔ, -¿feo, ¿feo; 0) + n(U0, Vb, Vb, ¿A:0, ¿fc0, -¿fcol 0)

+ rc(Vo, U0, Vb, -¿feo, «ô, ̂ o ; 0) + rc(Vb, Vb, C/o, -iko, ik0, ik0; 0)

+ n(Vb, C/0, Vb, ¿feo, ̂ o , -iko; 0) + n(Vb, Vb, U0, ik0, -ik0, ik0; 0)

- n2DU0 = Wg - n2DU0; (Ug,Ü0}=0 (2.1.40)

y Vb = JUQ, V7 = JU7, Vg = JUg y V9 = JUg, con sus condiciones de resolubilidad

ni = (W8, U5)/{DU0i USh n2 = (W9, U¿)/(DU0, U¡); (2.1.41)

a todos ellos deben aplicarse además las condiciones de contorno de (2.1.2).

Para esta descripción débilmente no lineal, sólo es necesario retener en (2.1.32)

los primeros términos no lineales que aparecen. Los términos lineales de (2.1.32) se co-

rresponden con los del desarrollo de u± en el entorno de e — 0, k = ±ko (2.1.11) y basta

con llegar hasta el segundo orden para describir localmente la forma de u±. Retener

términos con derivadas espaciales de mayor orden sólo produciría correcciones pequeñas


que se manifestarían en tiempos aún más largos, estas derivadas serían importantes si hu-

biera escalas espaciales pequeñas frente a l / y | e | , |fc =F fco| grande frente a y/\e\, y éstas,

son amortiguadas (Fig. 2.1.3).

Las ecuaciones de amplitud (2.1.32) tienen sentido en—^


siendo UQ y VQ las autofunciones normalizadas que aparecían en la solución en la zona

central, ro una constante compleja y TEP= términos exponencialmente pequeños. Es

decir, la pérdida de estabilidad en la capa límite ha de deberse solamente a la inestabilidad

en la zona central.

Procediendo de manera semejante a como se hizo en la zona central, la evolución

débilmente no lineal en la capa límite viene dada por

u = ([aU° + asU1 + a\a\2U4 + atU5 + TROS] eiujQt + a2U2e2iuJot + ce.)

+ \a\2U3 + TNROS (2.1.50)

donde

TROS: términos resonantes de orden superior, de la forma

o (\sa\ + \at\ + |a|3)

TNROS: términos no resonantes de orden superior, de la forma

o (\a\2) eipuJ°, conpeZy p¿ ± 1 .

Las funciones U°, C/1, . . . , U5 se obtienen resolviendo los problemas lineales

ÍLÜQDU0 - £(E/°; 0) =0 (2.1.51)

ÍÜÜQDU1 - C(Ul-Q) = — {U°; 0) (2.1.52) 06

2ÍLÜQDU2 - £(U2; 0) =M(U°, U°; 0) (2.1.53)

-£{U3; 0) =M(U°, Ü°; 0) + M(Ü°, U°; 0) (2.1.54)

ÍLÜQDU4 - C(UA; 0) =M{U°, U3; 0) + M{U3, U°; 0) + M(Ü°, U2; 0)

+ M{U2, Ü°- 0) + AÍ{U°, C/°, Ü°- 0) + AT(C7°, Ü°, U°- 0)

+ ÁÍ{Ü°,U°,U0;0) (2.1.55)

ÍLÜQDU5 - £{U5] 0)=-U° (2.1.56)

todos ellos con las condiciones de contorno (2.1.46), (2.1.47) y (2.1.48). En las ecuaciones

anteriores T{u\ e) = C(u;s)-\-Á4(u,u; e)+Af(u,u, i¿;e) + . . . , donde M. y ÁÍ son operadores

diferenciales bi y trilineales es u, y ^j(w; e) es el operador diferencial lineal que se obtiene

al derivar los coeficientes de C(u; s) respecto a e. Para f —> +oo todos estos operadores

tienden a sus homólogos independientes de f de la zona central.


En la expresión (2.1.50) la amplitud a depende únicamente de una variable temporal lenta

••• < \at\ < |a| < 1 (2.1.57)

pues en la capa límite, £ ~ 1, no "cabe" una escala espacial lenta. No se obtiene una

ecuación para la evolución de la amplitud a porque no hay condiciones de resolubilidad

que imponer: los problemas (2.1.52-56) tienen soluciones que divergen algebraicamente

a lo sumo para £ —+ oo- La expresión (2.1.50) representa una familia de soluciones de

(2.1.42-44) en función de la amplitud a; esta amplitud se determinará acoplando con la

solución en la zona central.

Con vistas a acoplar con la solución de la zona central se necesitan las expre-

siones de U1, U2, U3, UA y U5 para f $̂> 1. En los problemas resonantes (2.1.52), (2.1.55)

y (2.1.56) (que tienen sus segundos miembros términos proporcionales a e±lk°^) sólo es

necesario calcular la parte secular (i.e., la dominante para £ —>• oo) de la solución

U1 = -éu0elk°í + dv0e-

ik^r0 + o(£) * (2.1.58) o o

U2 = U6e2lk°^ + rlV6e-

2ik°Z + r0W1 + TEP (2.1.59)

U3 = U7 + \r0\2V7 + (f0W2e

2ik^ + ce.) + TEP (2.1.60)

„ 4 = _̂ ( ! i±M^j UQ€^ + ^ ^ r o f + n ^ Voe_lko, + o(0 {2im)

U5 = í ic/0ei f c o í - r 0 ^Vbe-

i f c o í + o(£) (2.1.62)

donde Uj, Vj, b, c/, n\ y n2 son los calculados en la zona central.

Acoplamiento entre la zona central y las capas límite de los extremos

Las condiciones de contorno necesarias para las ecuaciones de amplitud (2.1.32)

se obtienen del acoplamiento de las soluciones en las dos regiones. Para ello se escriben

los dos desarrollos utilizando la variable intermedia f, de tamaño

l « ( = x + - « A 2

siendo A la longitud espacial típica en la zona central, es decir, A es tal que

L L \\AX ~ L4 , \\BX\~ \B\ en < te < —.

Sólo es necesario acoplar los términos resonantes (i.e., los proporcionales a e±luJot±ik0$,y^

los términos restantes acoplan automáticamente pues son soluciones de problemas lineales


regulares con términos no homogéneos formados por combinaciones de los términos ya

acoplados. El desarrollo de u en la capa límite es

u = a (U0elk°S + r0V0e-

iko(í) + | (at - das - a|a|2(n! + |r0 |

2n2)) U0eik°^

- | (at - dea - a\a\2{n2 + ni | r0 |

2)) VQe~ik^ + TROS eiUot + c.c. + TNROS

y en la zona central

u {A0 + ^Aox)U0elk^-^2) + (B0 + f J30a!)V

roe-ifco^-L/2) + TROS

+ TNROS

eiUot + c.c.

donde A0 = A(-^,t),B0 = B(-%,t),A0x = Ax{-í¡,í) y B0x = Bx(-%,t). Identificando

los términos de estos dos desarrollos se obtiene

a = A0e~ikoL/2, A0xe-

ikoL/2 = [at - das - a|a|2(ni + |r0f

2n2)]

r0a = B0eikoL/2, B0xe

ik°L/2 = -r0 [at - das - a\a\2(n2 + |r0 | V ) ]

de donde se deducen las condiciones de contorno

B = rA y b(Bx + rAx) = r(\r\2 - l ) (m - n2)A\A\

2 en x = (2.1.63)

en las que se ha hecho r = roe~lk°L. Para x — ^ se obtiene, de manera idéntica,

A = rB y b(Ax + rBx) = -r(\r\2 - l ) (m - n2)B\B\

2 en x = - (2.1.64)

El primer par de condiciones expresa la reflexión lineal de las ondas en las paredes, con

coeficiente de reflexión r. Las otras dos condiciones (no lineales si (|r|2 — l)(ni — n2)

es distinto de 0) son, como se verá más adelante, las apropiadas para que la descripción

débilmente no lineal sea consistente.

Las ecuaciones (2.1.32) y las condiciones de contorno (2.1.63) y (2.1.64) han

sido deducidas exigiendo únicamente que L^> 1, |e|


El sistema de ecuaciones y condiciones de contorno al que se llega es (ver (2.1.32) y

(2.1.63,64))

At = cAxx + bAx + deA + ceAx + fe2 A + niA|A|2 + n2A\B\

2

Bt = cBxx - bBx + dsB - ceBx + fe2B + nxB\B\

2 + n2B\A\2

B - r A = 0

b(Bx + rAx) = r(\r\2 - l ) (m - n2)A\A\

2

A - rB = 0

6(AX + r £ x ) = r( |r |2 - l)(n2 - rn)B\B\

2

que, si 6 > 0, se simplifica con los cambios

L en a: =

2

L en x = —

2

~, - L~ ~- Re(d)Re(c) ~ _ X — J_yX, t — ~r~ t , £ — 77: £ , JL/ — i /

(A B) = L|Re(rai)|

b2 ~' ~ ~Re(c) '

¿ e ( l m ( d ) + e l m ( / ) ) t / ^ m

Im(c) —Re(ni) —Im(ni) —Re(n2) —Im(n2) a l = -^ / x > a 2 = T^~^ ~ ' a ' 3 = "7^~7 7T> « 4 = 7^~7 ~ > Q 5 — Re(c)' |Re(m) | '

Re(e)fr Re(d)Re(c)'

proporcionando, tras quitar las "

a6 Ctj

|Re(ni)| '

Im(e)6 Re(d)Re(c) y OÍS

|Re(ni)| '

Re(/)62 |Re(n!)r

Re(d)2Re(c)

At =

£t =

5 -

5* +

A-

Ax +

1 + lOí

L

1 + io¿ L

-rA =

rAx =

-rB =

r £ x =

1 A

1 o

0

r ( l -

0

r( |r

+ Ax( l + e(a6 + ¿0:7)) + Le(l + eag)^.

- (Q 2 + ¿a3)A|A|2 - (a4 + ¿ a 5 ) ^ | £ |

2

- J3*( l + £ ( Q 6 +

— (Q 2 + ¿a3)

- | H 2 ) ( « 2 -

2 - l ) ( a 2 -

- a4 +

- a 4 +

¿Q7)) + Le(l + eag)^

£ | £ | 2 - (a4 + ^ 5 ) ^ | ^ |2

en x = i(a3 - a5))A\A\

2

en x ==

i(a3-a5))B\B\2

1

~ 2

1

2

(2.1.65)

con a1? a 2 , . . . , a& G R, r G C, L ^> 1 y |e| «C 1. Si b hubiese sido negativa, cambiando

^ 4 f ^ 5 y r ^ - s e obtiene el mismo problema pero con 6 > 0. Así pues, si la velocidad r

de grupo es negativa, se obtienen coeficientes de reflexión \r\ > 1 con paredes absorbentes.

%2.1 Ecuaciones de amplitud y condiciones de contorno 23

Para el caso de longitud infinita, sin las condiciones de contorno en ± ^ , se puede

ver que hay soluciones que divergen cuando t —»• 4-oo si Re(ni) > 0, sin más que estudiar

las soluciones de módulo constante en x y con una de las amplitudes idénticamente nula.

Cuando se tienen las condiciones de contorno no se pueden tomar soluciones con una de las

amplitudes nula; lo que ocurre ahora, a la vista de las simulaciones numéricas realizadas,

es que si Re(ni) > 0 la divergencia se produce de forma localizada espacialmente. Por esto

se toma Re(ni) < 0 que proporciona, de acuerdo con los cambios de variables realizados,

a2 = 1.

La solución A = B = 0 de (2.1.65) es linealmente estable si y sólo si

log Ir I ( 1 e 1) lo adelantan, si la velocidad de grupo es

positiva; si es negativa, sucede al contrario.

En el sistema (2.1.65) hay términos de distintos órdenes, ésto va a permitir que

en los apartados siguientes se obtengan para los límites distinguidos

(i)

(2)

\£ — £r\ rsj V

£r\ ~ L - 1

(Fig. 2.1.4) dos submodelos más sencillos que el sistema parabólico original (2.1.65).

Ilull

~ L 2

O

ec~ L1

~ L '

/ Q p * e

Figura 2.1 A: Regiones de validez de los límites distinguidos.

$2.2 Primer límite distinguido. Problema parabólico no local 24

2.2 P R I M E R L I M I T E D I S T I N G U I D O . P R O B L E M A P A R A B Ó L I C O

NO LOCAL

Llevando a cabo en el sistema (2.1.65) el cambio de variables

A = a e^t-izr+(^g\r\+i9)x

(2.2.1) g = l ei¿t+i?±-(log\r\+ie)x

siendo k un número entero arbitrario que se fijará más adelante , 9 — arg (r) + itk y

S = 9 + •£• ((log2 \r\ — 62)o¿i + 2#log \r\) + s(9ae + a7 log |r |), se consigue que las paredes

aparezcan como perfectamente reflectoras en las nuevas variables. El problema (2.1.65) se

reescribe en la forma

\ _|_ ¿O;, 2

át = áxx + áx(l + e(a6 + ia7) + y ( l + ¿Qi)(log \r\ + ¿0))

+ á(Z,£ + log|r| + e(a 6 log | r | - a76 + a8Le) + y(log2 |r| - 9,2 - 2c*i01og|r|)

LJ

- (a2 + m3) |á |2 | r |2 x - (a4 + m5) |&|

2 | r |_ 2 x)

1 + i(X\ ~ 2 bt = - bxx - bx(l + e(a6 + ia7) + —(1 + zai)(log \r\ + i9))

LJ LJ

+ b(Le + log\r\ + e(a 6 log | r | - a79 + a8Le) + y (log2 \r\ - 92 - 2a19\og \r\)

LJ

- (a2 + za3)|6|2|r|~2a: - (a4 + ¿a5) |a |

2 | r |2 x)

a = b

( \ \ en x = ± -ax + bx = ± [ —- - \r\ ) (a2 - &4 + ¿(o!3 - a5))a|a| 2

\M / quedando así de manifiesto explícitamente que el efecto del coeficiente de reflexión sobre

los términos lineales de las ecuaciones es, como se indicó en el apartado anterior, añadir

un cierto incremento al parámetro de bifurcación.

De las ecuaciones anteriores se deducen dos posibles longitudes características,

¿1 y 62, que se obtienen imponiendo que el término porporcional a a (que es básicamente

aL(e — ec)) sea del mismo orden que las derivadas segundas

61 1 (2.2.2) Ly/\e-£c\

y del mismo orden que las derivadas primeras

¿2 ~ y r ^ r (¿2 > ¿1). (2.2.3) L\£ — £r\

§2.2 Primer límite distinguido. Problema parabólico no local 25 \

Además está la longitud 6 ~ 1 que viene marcada por el tamaño del intercalo.

V- , El límite distinguido correspondiente a este apartado es 8\ ~ r5 1, no puede aparecer pues no

cabe en el dominio. Haciendo que los términos no lineales sean también del orden de los

proporcionales a a se obtiene \a\2 ~ \b\2 ~ -4= y las variables y el parámetro de bifurcación

de orden unidad apropiados para describir este límite son

(a,b) = vL (a,6),

A = L2 (e + l^i\ + bg 2 |r |(l + a8 - a6) + 6>log \r\(a7 - 2OL{) - 62,

que permiten reescribir las ecuaciones anteriores en la forma

/ OL'Q + ia'7\ (1 + iai at= ax[l-\ = + f l r a L 7 V L

+ I (A - (a2 + ia3)\a\2\r\2x - (a4 + ia5)\b\

2\r\~2x) + O (j^\

h = ~ bx 1 + 6

r 7 + &** ' L J V L (2.2.5)

+ ^ (A - (a2 + ia3) |6 |2 | r | -2 x - (Q 4 + ia5)\a\

2\r\2x) + O (j^j

a = b

1 / 1 \ e n x = ± -ax + bx = ±— ( -¡—¡- — |r| ) (a2 - a4 + ¿(a3 - a5))a|a|

2

£ vn /

donde a'6 + za'y = — log|r|(ü:6 + ^7) + 2(log |r| + i9)(l + ¿ai) y k de (2.2.1) se elige de

modo que a'7 G] — 7r, 7r].

En primera aproximación se tienen la ecuación de ondas de primer orden para a

y 6, con condiciones de contorno de reflexión perfecta, cuyas-soluciones únicamente viajan

de un extremo a otro del dominio, sin crecer ni decrecer; es en un tiempo más largo, de

orden 1/L, cuando actúan los términos no lineales y las derivadas segundas modulando

estas ondas. Utilizando un método de las escalas múltiples, se pueden encontrar desarrollos

para a y b de la forma

a = CLQ(X, t, T) + —ai(x, t, r) + . . .

b = b0(x, t, r) + jbi(x, t,r) + ...

$2.2 Primer limite distinguido. Problema parabólico no local 26

(2.2.6)

(2.2.7)

con r = t/L, que llevados a (2.2.5) proporcionan

O>0t — &Qx — 0

bot + b0x = 0

d\t - a>ix = - «Or + aox(«6 + ^i) + a0xx(l + ÍOL\)

+ a0 (A - (Q 2 + ^ 3 ) k |2 x | a 0 |

2 - (a4 + ¿a5)|r |-2x |&0 |

2)

+ 60 (A - (a2 + ¿a3)k|"2a!|6o|2 - ( IOE, Í ,T )

las ecuaciones (2.2.6-7) escritas en estas nuevas variables pasan a ser

Wot-W0x= 0 (2.2.10)

Wlt - Wlx = -W0r + W0x(a'6 + ia'7) + W0xx(l + ¿ai)

+W0 (A - (a2 + ia3)\r\2^\W0\

2 - (a4 + ia5)\r\~2^\W0(l - x , t , r ) |

2 ) (2.2.11)

en —oo < x < +oo, junto con las condiciones de periodicidad (2.2.9) y

§2.2 Primer límite distinguido. Problema parabólico no local 27

Utilizando ahora las variables características £> = t + xyr¡ = t — x, (2.2.10) se reduce a

2W0r] = 0

que integrada proporciona W0 = V7(£,r), W(£ + 2, r) — W(£,T) y (2.2.11) se convierte en

2Wlr] = - WT + W^(a'6 + ia'7) 4- W«( l + %*{)

+ W(X - (a2 + ia3)\r\2lf(^\W\2 - (a4 + iab)\r\~'

2^L^1) \W(l + 77, r) |2)

Anulando términos seculares en esta última ecuación para asegurar que W\ se mantiene

acotada cuando 77 —> +00 (i.e., cuando ¿ —• 00), se obtiene la ecuación de evolución de W

en el tiempo largo r

WT = (aQ + ia'^Wz + íl + ia^Wtf+W (\- (a2 + ia3)M\W\2 - (Q 4 + ¿ Q 5 ) M I ) (2.2.12)

donde los términos promedio M y Mi vienen dados por los límites

M = lim - / \r\2^^r)du

1 rv M1 = lim - / \r\

2^^)\W(l + u,T)\2du 10

para ( y r fijos. Estos dos límites no dependen del valor de 770 escogido y, utilizando las

propiedades de periodicidad de

$2.3 Segundo límite distinguido. Sistema hiperbólico 28

con A, a i , «2, 0:3, «4, 0:5, a 7 y \r\ G R y a'7 G] — 7r, 7r]. Como esta ecuación es invariante

frente a los cambios de la forma: x —» —x, 0:7 —> —a'7 y |r| —» —-, basta con considerar \r\

a¡7 G [0,7r].

Una vez obtenida F(X,T) de (2.2.13), para volver a las variables A y B de

(2.1.65) se deshacen todos los cambios de variable realizados y se obtiene

ei6t+i**- + (\og\r\+i0)x / t t \ ( 1 \ A{x't)=—vm—F{t+x+a«L

$2.3 Segundo limite distinguido. Sistema hiperbólico 29

Las soluciones de (2.1.65) que sólo tienen escalas espaciales de orden unidad

(sin escalas intermedias) tienen derivadas espaciales también de orden unidad y para ellas

j\Axx\ < 1 y -\BXX\ < 1 (2.3.2)

en (2.1.65). Para calcular este tipo de soluciones se desarrollan A y B como

A = A0(x,t) + -Ai(x,t) + ...

B = B0(x,t) + -B1(x,t) + ...

y se llevan a (2.1.65). Esto proporciona, en primera aproximación, las ecuaciones

Aot - A0x = A0(/3- (a2 + ia3)\A0\2 - («4 + ia5)\B0\

2)

Bot + B0x = B0(P- (a2 + ia3)\B0\2 - (a4 + iab)\A0\

2)

1 (2.3.3) rA0 = B0 en x = - -

•¿ .

1 rB0 = A0 en x = -

Las soluciones de este sistema hiperbólico satisfacen también las condiciones de contorno de

(2.1.65) sobre las derivadas de A y B; estas condiciones de contorno resultan ser justamente

las apropiadas para que en x = ± ^ no sean necesarias más capas límite que las calculadas

en el apartado 2.1. Descomponiendo Ao y BQ en módulo y argumento, AQ — uel6 y

BQ = vellf, las ecuaciones (2.3.3) se convierten en

ut — ux = u((3 — a2u2 — a^v2)

vt + vx = v(/3 - a2v2 - a4u

2)

Ot - 0X = -asu2 - a5v

2

¥t + Vx = -ct3v2 - a5u

2

con las condiciones de contorno

v = \r\u, Lp = arg (r) 4- 2ra7r + 9 en ~x = — —

u = \r\v, 9 = arg (r) + 2n7r + ip en x = —.

donde m y n son dos números enteros arbitarios. Si hacemos los cambios a — u2, b = v2,

9 = 9 + (arg (r) + 7r(ra + n))(t + x) + 7rny(¿? = (¿? + (arg (r) + 7r(ra + n))(t — x) + 7r?n, las

§2.3 Segundo límite distinguido. Sistema hiperbólico 30

ecuaciones anteriores pasan a ser

at- ax = 2a((3 -

bt + bx = 2b(p -

b = \r\2a

a = \r\2b

- OL


y linealizando se obtiene

1 + ia\ . Asx. ¡3, . s^ at = [axx + 2ax——) + (1 + j{a6 + ia7))ax

- {a2 + ia3)\As\2(a + a) - (a4 + ia5)\Bs\

2(b + b)

1 + ioti( Bsx ¡3 bt = z (oxx + 2bx~—) - (1 + — ( Q 6 + ia7))bx L £>s L

- (a2 + ia3)\Bs\2(b + b) - (a4 + za5) |A s |

2(a + a)

junto con

a = 6 y ax + 6X = (|r2| - l ) (a 2 - a4 + i(a3 - a5))\As\

2(a + a) en x = - -

a = b y ax + 6X = ~(\r2\ - l ) (a 2 - « 4 + ¿(«3 - a 5 ) ) |# s |

2 (6 + ¿>) en # = -

Como (AS,BS) no tienen escalas intermedias

As= Ao + oíj-

Bs= BQ + OÍJ-

donde (AQ^BQ) es una solución de (2.3.3) y, utilizando un método de escalas múltiples, la

perturbación se desarrolla como

a = a0(x, t; f, r) + -j=ax(x, t\ f, r) + . . .

6 = b0(x, t; f, r) + -y=bi(x, t; f, r) + . . .

donde £ = XA/Z y r = ¿v^- Con todo esto las ecuaciones anteriores proporcionan, para

los dos primeros órdenes,

«Or — &0£ = 0 (2.3.6)

bor + bot =0

«ir - flií = - «Oí + aox + (1 + iai)a0££

- (a2 + ¿a3)|Ao|2(ao + ao) - («4 + 2a5)|.Bo|

2(&o + M ) (2.3.7)

&lr + &1£ = ( ~ ^ 0 í - ¿>0x + (1 + ÍO¿i)b0tf

- (a2 + ia3)\B0\2{b0 + b0) - (a4 + za5)|A0 |

2(ao + ao))

La solución de (2.3.6) es una superposición de modos de la fopma

ag(x,f)e i f c (T+0

6S(x,í)e i fc(r~°


donde k es un número real cualquiera. Para que (2.3.7) tenga solución acotada, sin términos

seculares, en las variables ( y r , sus segundos miembros no deben contener términos de la

forma elk^T±^. Esta condición de resolubilidad proporciona las siguientes ecuaciones de

evolución de CLQ y 6Q que están acopladas con las correspondientes a a0fc y b~$ a causa de

los conjugados que aparecen en (2.3.7), que provienen de la linealización de los módulos al

cuadrado de (2.1.65).

aot - aL = - £ 2 ( ! + «*i)ao - (Ü!2 + ia3)\A0\2(a% -a0

k)

aot -a Ox •k2(l + ¿ai)a¿* - (a2 + ia3)\A0\

2 (a0k - ag)

bot + bL = ~k2(l + iai)bk0 - {a2 + ia3)\B0\2{bk - bj)

tó + b-0kx = -k

2{l + iai)b-0k - {a2 + ia3)\B0\

2{b-0k - 6g) 'Oí

Las condiciones de contorno CIQ = bo en x = ±\ de (2.3.6) proporcionan

a ±k 0

,±fc

±fc i i l / | . = &o""e

fcT = a ±k ±iuk en £ = ± —

2 /Q — WQ O

siendo i/*, el resto de dividir kL entre 2TT. Mediante el cambio de variables

a

a~

b+

b~

+ _ (ak + a^)eiv^t+x)

(bk0+ b^)eiUk{t-x)

i{bk -~^)elUk{t-x)

se elimina v^ y se obtiene el sistema lineal, acoplado únicamente a través de las condiciones

de contorno, de ecuaciones hiperbólicas

at - at = a7 - ax =

bt + bt =

K + K =

a± = b±

— (k2 + 2a2a)a+ + k2a\a

— {a\k2 + 2a3a)a+ — k2a~

-{k2 + 2a2b)b+ + k2axb~

-{aik2 + 2a3b)b+ - k2bZ

en x = ± — 2

(2.3.8)

Así pues, las soluciones de (2.3.4) no desarrollarán escalas intermedias si, para t —• +oo,

todas las soluciones del problema lineal (2.3.8) tienden a 0 para todo valor de k. Como

§2.3 Segundo límite distinguido. Sistema hiperbólico 33

(2.3.8) es un sistema lineal de coeficientes reales, las partes real e imaginaria de a± y b±

verifican también las ecuaciones (2.3.8). Esto hace posible que al analizar este sistema en

el Capítulo 4 se puedan tomar ai*1 y b± como reales.

§3.1 Propiedades generales 34

CAPITULO 3

PROBLEMA PARABÓLICO NO LOCAL

En este Capítulo se estudia el problema parabólico no local deducido en el

apartado 2.2. En el apartado 3.1 se consideran algunas propiedades generales del mismo,

en el apartado 3.2 se analiza la estabilidad de la solución nula y el apartado 3.3 se dedica

a las soluciones de módulo espacialmente constante. Finalmente, en el apartado 3.4 se

considera el caso de paredes con coeficientes de reflexión grandes o pequeños frente a la

unidad.

3.1 P R O P I E D A D E S G E N E R A L E S

En este apartado se estudiarán algunas propiedades relativas a la ecuación que

se dedujo en el apartado 2 del capítulo 2,

dF , . ,d2F . , dF

1 í1

+F(X - (1 + ia3)\F\2 - (Q4 + ia5)— J_ |rf |F(1 + X + f, T)|

2d{) ( 3 > L 1 ) F(X,T) =F(X + 2,T)

F(X,0)=F0(X)

que depende de los parámetros reales a i , as, «4, a'7, A y |r|, con 0 < a'7 < 7r, \r\ > 0 y M,

que está definida como

!

1 si \r\ = 1

21og \r\

El modelo (3.1.1), para el caso particular \r\ = 1, fue deducido por primera vez

de forma independiente por [43-45] y [46] mediante técnicas asintóticas de escalas múltiples

en ambos casos. En [47] se lleva a cabo la deducción rigurosa del modelo (3.1.1), también

$3.2 Solución nula. Estabilidad 35

para el caso particular \r\ = 1, y se demuestra que es un modelo bien planteado y que,

si 1 + 0:4 > 0, todas sus soluciones y sus derivadas se mantienen acotadas. Mediante un

análisis similar al realizado en [47] se puede demostrar que (3.1.1) es un problema que

tiene solución única, que esta depende de forma continua de los parámetros y que todas

sus soluciones se mantienen acotadas para todo T > 0 si 1 + 04 > 0. Para ver que 1 + 0 4

ha de ser positivo para que todas las soluciones se mantengan acotadas, basta con analizar

el comportamiento de las soluciones de módulo espacialmente uniforme, para las que la

ecuación (3.1.1) se convierte en

^ = 2 | F | 2 ( A - ( l + a 4 ) |F |2 ) (3.1.2)

Esta última ecuación se obtiene multiplicando (3.1.1) por F y sumando al resultado su

conjugada. Si 1 + 04 < 0 las soluciones de (3.1.2) con A > 0 divergen para t —> +00.

Demostrar que, recíprocamente, si I+Q4 > 0, todas las soluciones de (3.1.1) están acotadas

es un poco más laborioso.

En lo que sigue, se supone que 1 + 04 > 0, y esta condición puede interpretrarse

como una condición de supercriticalidad de la bifurcación local que se está analizando.

3.2 SOLUCIÓN NULA. ESTABILIDAD

La solución F(X,T) = 0 verifica (3.1.1) para todos los valores posibles de los

parámetros, su estabilidad viene dada por la ecuación

dF ,., . . d2F . ,dF ^ = (l + z o i ) , , n + ia7—~- + Xr dT v JdX2 7dX (3.2.1)

F(X + 2,T) = F(X,T)

que resulta de linealizar (3.1.1) y cuyas soluciones, al ser de coeficientes constantes, son de

la forma

F(X, T) = Fkeik7rX+UJkT, (3.2.2)

con Fk,cük G C y k G Z. Introduciendo (3.2.2) en (3.2.1) se obtienen los autovalores

Lük = —(1 + zoi)(A:7r)2 — a'7(k7r) + A*

cuya parte real es Re^/c) = — (/en-)2 — a'7(k7r) + A, que se anula en (Figura 3.2.1) Ac =

(&7r)2 + o'7(A;7r).

3.3 Soluciones de módulo constante. Estabilidad 36

2,7T - f l ,

Q i

Q f—2^

a7 ^ 7r

kir

- 2 ? r I i i . •

é"

AAc

-ir-""---.,

a j

a>7

,0 TT 1

>

= 7T

2TT^

I &7T

k = -

Figura 3.2.1: Pérdida de estabilidad de la solución nula.

Como a7 G [0,7r], min(Ac) = 0, que se alcanza en k — 0 si a'7 / TI y en k = 0 y

1 si a'7 — 7r. Asi pues, si A < 0 la solución nula es estable y si A > 0 es inestable.

3.3 SOLUCIONES DE MODULO CONSTANTE. ESTABILIDAD

Además de la solución nula, (3.1.1) posee soluciones de la forma

F{X,T) = R0eiqoT+ipoX (3.3.1)

con RQ, qo E R, Ro > 0 y po £ Z, que se pueden calcular explícitamente sin más que llevar

(3.3.1) a (3.1.1) e igualar las partes real e imaginaria de la ecuación compleja que resulta.

Se obtiene así la familia de soluciones

2 A - (PQTT)2 - a7{p0TT) ría =

0 l + a4 (3.3.2)

q0 = - a i ( p o 7 r )2 _ (Q;3 + a5)Rl

parametrizada con po £ Z. Como se muestra en la Figura 3.3.1 estas soluciones bifurcan

desde la solución nula, y comienzan a aparecer a partir del punto de pérdida de estabilidad

de esta última, A = 0.

Para analizar la estabilidad lineal de estas soluciones es conveniente escribir

primero la ecuación compleja (3.1.1) como dos ecuaciones reales, una para el módulo de F

y otra para su argumento. Haciendo en (3.1.1)

F{X,T) = i?(X,T)e 2 0 ( x 'T ) ,

§3.5 Soluciones de módulo constante. Estabilidad

con R, 4> 6 R y R > 0, se llega al sistema de ecuaciones reales

RT = Rxx - R(f>x ~ 0.

Linealizando ahora (3.3.3) entorno a una solución de la familia (3.3.2)

R = RQ(1 4- p)

(j) = PQTTX + qot +

§3.3 Soluciones de módulo constante. Estabilidad 38

se obtiene el sistema lineal

PT = Pxx ~ 2(p07r) 0.


Si k = O, de (3.3.6) se obtienen los autovalores

UJ0 = 0 y (j0 = -2Rl(l + aA) < 0.

El autovalor nulo tiene por autovector < Pk > = < > y está asociado a la invarianza de

(3.3.3) frente a traslaciones en la fase de la forma


Estable

Estable

loglrl

Estable

Estable

a) p0=0 b) p0=-l

Figura 3.3.2: Regiones de estabilidad para RQ


podido llevar a cabo un análisis general de la misma. A continuación es estudiar el caso

particular de interés correspondiente a \r\ = 1 (paredes perfectamente reflectoras) y i ? o >

1. Este límite es interesante porque corresponde a valores grandes de A y proporciona

información acerca de como acoplan las soluciones de este modelo con las del modelo

hiperbólico que, de acuerdo con lo visto en el capítulo 2, corresponde a A - > +oo.

Para \r\ — 1, escalando las variables en la forma

uk + 2iai(p0ir)(kir) n R2

k = ^ (3.3.7)

a'7 + 2(p07r)

-fío

la ecuación (3.3.6) se reescribe como

(O + P + 2)(ñ + P ) + ( a i P - iká7)(ot1k2 - iká7 + 2a3) = 0, (3.3.8)

y posee las soluciones

ñ = - ( P + 1) ± yjx + iy, (3.3.9)

donde las cantidades reales x e y vienen dadas por

x + iy = 1 — ( a i P — iká-T)(aik — ikáj + 2a3).

La parte real de la solución (3.3.9) de (3.3.8) es

2 , IN , W x + Vx2 + y2 Re(ft) = - ( P + l) +

y, de acuerdo con (3.3.7), el signo de la parte real de LÜJ, coincide con el signo de la parte

real de fi,

sig (Re (W*)) = sig (Re (ft)) = sig í -(*» + 1) + ]jX + ^f + y" J

X + ^ x 2 + y2 Multiplicando esta última expresión por 2 I (k2 + 1) + \l——^—:-^— I , se llega a

sig (Re (uk)) = sig ( - 2 ( P + 1) + x + xA2 + y2}


y multiplicando de nuevo por [2(k2 + l ) 2 — x + A/X2 + y2 j > 0 se elimina la raíz cuadrada

y se obtiene la expresión

sig (Re (cok)) = sig (y2 - 4 ( P + 1) 2 ( (P + l ) 2 - *)) ,

que, al sustituir x e ?/, proporciona

sig (Re (wfc)) = sig (o2(l + a2) - 2(1 + 01O3) + P ( 2 ( l + a1a3)(á

2 - 2) - (1 + a2))

+ fc4((l + o2)(o? - 2) - 2(1 + a i a 3 ) ) - k6{l + a?)) (3.3.10)

Para conocer la estabilidad de las soluciones correspondientes a \r\ = 1 y RQ ̂ > 1 hay que

estudiar el signo del polinomio cúbico en k2 que aparece en (3.3.10). Para ello se toma k

como una variable continua, ya que la separación entre valores consecutivos es —- 0, de modo que, para todo valor de Q 2 , siempre hay

valores de k2 para los que f(k2) > 0. Por tanto, todas las soluciones de módulo constante

son inestables.

• Si 1 + 0:10:3 > 0, para o2 = 0 la solución es estable pues la cantidad

f{k2) = -2 (1 + 010-3) - P ( 4 ( l + Oi03) + (1 + al)) - 2fc4(l + aj + 1 + 01O3) - A;6(l + o?)

es estrictamente negativa para todo k2 > 0. Al ir aumentando el valor de o 2 , el valor de

f(k2) crece en todos los k2 > 0 al ser

^ p - = (1 + o2) + 2(1 + 0 ! 0 3 ) P + (1 + al)k4 - (1 + P ) 2 + (03 4- O i P ) 2 > 0

¿7O7 *

para todo k2 > 0, y la aparición de valores positivos de f(k2) puede producirse, como se

ve en la Figura 3.3.4, primero en k2 = 0 o en k2 = k*2 > 0.

§3.5 Soluciones de módulo constante. Estabilidad

a) / ( ¿ 2 )A

b) f(k2)l ^ Ó 7 Í

"••> á7 t

Figura 3.3.4: Cambios de signo de f(k2).

La pérdida de estabilidad se producirá de una u otra manera dependiendo del 2(1 + Q1Q3)

comportamiento de la función f(k2) para a2 — ^— > ®-> c L u e e s e l valor para el

que /(O) = 0. En este valor de a2

f(k2) =k< (1 + Q i Q 3 )

:

! +


estabilidad para Re (iük) en función de k se representa en la Figura 3.3.5a, y en la transición

debe aparecer una ecuación para la evolución de la fase del t ipo

1 2 tpt + ipxxxx + -ipxxx - ^xx + ^x = °

£

que es una mezcla entre la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky y la de Korteweg-de Vries.

(ii) si 01O3 > 1, se tiene A > 0 y cuando ocurre que /(O) = 0, ya se ha hecho

antes / positiva para algún valor de k2 = k*2 > 0 (Figura 3.3.4b), y esto ocurre para

^,2 _ áj = c, con 0 < c < 2(1 + 0:103)

T+~oT Al igual que en el caso anterior si áj < c todas las

soluciones de módulo constante son estables y, si á2 > c, todas son inestables. En este

caso la relación de dispersión, Re(cjfc), durante el cambio de estabilidad se representa en

la Figura 3.3.5b y en la transición se tiene de nuevo la inestabilidad oscilatoria.

a)

/ , , • - - • ' " ' " "

1 Re(uk) a\as > 1

b) Re{ujk) a±as < 1

* j b

Figura 3.3.5: Tipos de cambio de estabilidad.

Por tanto, en el caso 1 + 010:3 > 0 las soluciones se vuelven inestables si á2

supera un cierto valor positivo o 2 (que depende de si estamos en el subcaso (i) o en el (ii)).

Como RQ ^> 1, en primera aproximación se tiene

, (POTT)2

Rl A - (PQTT)2

1 + o 4

y el límite de estabilidad o 2 = o 2 se traduce en RQ

Rr

X

1 + 04 + ¥• Las soluciones son


estables para valores de RQ superiores al anterior e inestables para valores de RQ inferiores,

teniendo en cuenta que este criterio es sólo válido para RQ >> 1. En la Figura 3.3.6

se muestran esquemáticamente las soluciones de módulo constante y los resultados de

estabilidad obtenidos para los distintos valores de 1 -f a i«3 .

R0 1 + «10:3 < 0

///////////// /////////////

///////////// /////////////

///////////// /////////////

///////////// /////////////

///////////// /////////////

/////////////

\ A

R0 1 + aias > 0

A Figura 3.3.6: Estabil idad de las soluciones de módulo constante .

Conviene resaltar que, si 1 + «10:3 < 0, todas las soluciones de módulo uni-

forme acaban siendo inestables al crecer A; ésto hace suponer que el comportamiento de

la ecuación parabólica en la zona correspondiente al modelo hiperbólico (A —>• +00) va a

ser muy complicado; en cambio, si 1 + «10:3 > 0 todas estas soluciones acaban haciéndose

estables. En la Figura 3.3.7 se muestra la historia de las soluciones de (3.1.1) para un caso

con 1 -\-a1a3 < 0. En esta figura se dibuja la norma de la solución en función del tiempo en

línea continua y el valor del módulo de la solución e n x = 0 y a : = l e n función del tiempo,

con trazo discontinuo y discontinuo con puntos respectivamente. En la primera gráfica,

correspondiente a ¡3 = 8, se tiene una solución estacionaria de módulo constante estable,

al aumentar (3 hasta 14 las soluciones de módulo constante §e hacen todas inestables y

aparecen soluciones estacionarias de módulo no uniforme (en la Figura 3.3.8 se muestran

los perfiles de |F | frente a x para estos dos casos de solución estacionaria).

file://-/-a1a3


t 10

IIFII 1.5

IF(x=0)l

IF(x=l)l

9 t 10

3

2.5

2

1.5

1

r \ / X / ^ / ' x / \ / ^ / \ / N 7 ^ ' ^ / ^ '"~x / ^ •

t io

t io

Figura 3.3.7: Soluciones para r = l,ai = — 1, c*2 = 1? «3 = 5, Q4 = 3, 05 = 0, Q^ = 0.

%3.4 Límite | l o g | r | | > 1 47

Como se observa en las dos últimas gráficas de la Figura 3.3.7, para valores aún

mayores de ¡3 aparecen soluciones periódicas y después soluciones más complejas tanto

temporal como espacialmente.

0 0.2 0.4 0.6 o. 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Y- 2

Figura 3.3.8: Perfiles para los dos primeros casos de la Figura 3.3.7.

3.4 L Í M I T E |log|r | | > 1

En este caso es posible simplificar la ecuación (3.3.1) pues , integrando por

partes, el término integral se puede escribir como

iF(i + x + e,r)i:

i

2M u

= \F(X,T)\2-

log|r i

í = i

1

í = _ x 2Mlog

rf(|F(l + X + £ , T ) | 2 ) ^

^j\H\F{l + X + ^T)\\ di

El segundo sumando de la expresión anterior es pequeño frente a la unidad si

log |r|| ^> 1 (|r| ^> 1 o \r\ «C 1) y las derivadas espaciales de |F | 2 son de orden unidad, ya

§5.4 Límite | log |r| | > 1 48

que la función , j ^ _ se hace muy pequeña en casi todos los puntos del intervalo [—1,1].

En este caso (3.1.1) pasa a ser, en primera aproximación,

dF d2F dF — =(1 + *ai)^p + ia^~dX + F ( A " ( 1 + " 4 + ' ( a 3 + a 5 ) ) l F l 2 )

F ( X + 2 , T ) = F ( X , T )

que es una ecuación de Ginzburg-Landau. Este tipo de ecuaciones ha sido estudiado muy

extensamente [48,63,64] y la condición de estabilidad de las soluciones de módulo constante

viene dada por l-{-ai(as~\-as) > 0. Para valores negativos de esta cantidad estas soluciones

son inestables y si A ̂ > 1 se tienen soluciones caóticas. Esto último ocurrirá para valores

de A suficientemente grandes como para que muchos modos se desestabilicen, pero no tan

grandes como para que se viole la hipótesis de que (|F|2)^ sea de orden unidad.

§^.i Propiedades generales 49

CAPÍTULO 4

SISTEMA HIPERBÓLICO

En este Capítulo se analiza el segundo submodelo, deducido en el apartado 2.3.

En el apartado 4.1 se utilizan técnicas de comparación para deducir algunas propiedades

de acotación y estabilidad de sus soluciones (si 0:4 < —1, existen soluciones no acotadas

y si CÜ4 > — 1, todas las soluciones son acotadas). En el apartado 4.2 se hace un estudio

completo de las soluciones estacionarias. La estabilidad de estas soluciones se analiza en el

apartado 4.3. Para «4 > 1 (es el único caso en el que hay comportamientos no estacionarios

persistentes), en el apartado 4.4, se analizan los comportamientos no,estacionarios para

tiempos largos en varios casos representativos; se comprueba así que el sistema hiperbólico

posee una gran riqueza de comportamientos dinámicos. Finalmente, en el apartado 4.5 se

analiza la estabilidad lineal de las escalas intermedias.

4.1 PROPIEDADES GENERALES

De acuerdo con lo visto en el Capítulo 2, el modelo hiperbólico (2.3.4) se obtiene

como primera aproximación del sistema parabólico original (2.2.65) cuando las únicas

escalas espaciales y temporales presentes son del orden de la longitud total del dominio y

el parámetro de bifurcación es del orden del inverso de dicha longitud. Haciendo «2 = 1

en (2.3.4), el sistema a estudiar es

at — ax = 2a((3 — a — a^b)

bt + bx = 2b{(3 - b - aAa)

o = Ka en x — — 2

a — Rb en x = -2

que depende de tres parámetros reales «4, ¡3 y R = \r\2 > 0. Las soluciones buscadas han de

ser siempre positivas, ya que (a, b) provienen de los módulos al cuadrado de las amplitudes

$4-1 Propiedades generales 50

complejas (A, B) de los trenes de ondas que aparecen en la inestabilidad oscilatoria.

Este sistema posee dos familias de características muy sencillas

y r - dx - 1 dx

y, a lo largo de ellas, puede escribirse como

da ~dt

db dt

Cx

2a((3 — a — a^b)

= 2b(/3 - b - aAa) c2

En los extremos el intervalo, x = ± ^ , las condiciones de contorno obligan a que las

características que parten hacia el interior de [— | , ^] lo hagan con un valor igual a R veces

el valor que traía la característica incidente (Figura 4.1.1).

-1/2 0 1/2

Figura 4.1.1: Familias de características del sistema (4.1.1).

En este apartado se analiza la existencia y unicidad de solución del problema

hiperbólico (4.1.1) y se demuestran algunas propiedades relativas a la acotación de sus

soluciones y a la estabilidad de las mismas.

Propiedad 1

El sistema hiperbólico (4.1.1) con condiciones inicíales

a(x, 0) = a0(x) y b(x, 0) = b0(x),

siendo a® y 6o funciones de clase C1 en [—|, ^] que verifican las condiciones de contorno

1 ™ 1 oo = -Rao en x = — - y ÜQ = it&o en x = —


y las condiciones de compatibilidad

^dür\ dun ^ . „ . . . o 1 R~d + i¿= 2R{1 ~R){1 ~ ai)a° en x = ~i y ^dbr\ dan _ . _ w , , 0 1 R-¿ + - ¿ = -2Ü(1 - ñ ) ( l - «4)6g en x = - ,

tiene una única solución (a,b) — (a(x, t), b(x, t)), que es de clase ¿J1 en [— ,̂ i] x [0, Tb] y

que depnde, de manera continua, de /?, #4, i? y de las condiciones iniciales. El tiempo

TQ > 0, viene dado, aparte de por los parámetros R, /3 y «4, por una cota k > 0 de la

condición inicial

|ao(x)|, |60(^)| < ^ para todo xG[—,-]

Además, la solución y sus derivadas primeras están acotadas en [— -|, ^] x [0, Tb] , estas

cotas son funciones únicamente de R, (3, a^ y k.

Demostración

Es un caso particular de la demostración para sistemas hiperbólicos de primer

orden del Capítulo V, sección 6, apartados 3, 4 y 5 del volumen II de [49]. Si se quisieran

obtener soluciones más regulares que C1, las condiciones iniciales deberían verificar más

condiciones de compatibilidad. Estas condiciones de compatibilidad se obtienen derivando

respecto al tiempo las condiciones de contorno y eliminando las derivadas temporales con

las ecuaciones de evolución.

Con esta propiedad se consigue obtener la solución de (4.1.1) en [0, To], como

en i = TQ la solución está acotada, se puede aplicar de nuevo la propiedad 1, que asegura

que hay solución para t G [Tb,Ti], con Ti > To. Repitiendo este razonamiento se obtiene

una sucesión de intervalos cosecutivos, llamando a la unión de todos estos intervalos

[o,T[=[o,r0]u[r0,Ti]u.../

sólo pueden darse dos casos: o bien T = 00 y la solución de (4.1.1) existe para todo t > 0,

o bien T G R y la solución de (4.1.1) diverge para t —• T, ya-que, de no ser así, se podría

extender la solución hasta t = T y avanzar más en t aplicando la propiedad 1. Se tiene así

el siguiente

Corolario: La solución anterior existe en un intervalo maximal 0 < t < T, y se da una de

las dos posibilidades siguientes: o bien es T = 00, o \a\ + \b\ —> 00 para t —• T~.


Propiedad 2

Si, además de las hipótesis de la propiedad 1, se tiene CLQ(X) > 0 y bo(x) > 0

para todo x G [— \, \], entonces a(x,t) > 0 y b(x,t) > 0 para todo x G [—•§, | ] y para todo

¿G[O,T[.

.Demosíradon

Si no fuese cierta esta propiedad, existiría un tiempo t\ y un punto #i , con

— \ < Xi < \ y i\ > 0, para los que a(x,t) se anularía por primera vez, es decir,

a(xi,ti) = 0 y a(x,t) > 0, b(x, t) > 0 para todo (x, ?/) G [ , - ] x [ 0 , ¿ i [ .

Integrando hacia atrás a lo largo de la característica C\ que pasa por (x\,t\) resulta

con f > 0, y se llega a una contradicción pues se encuentran valores nulos de a para t

%4-l Propiedades generales 53

i

que implica que / \og(ab) —>• +00 cuando t —*• tf, siendo

' f < T77~; r l o g 1 — ]—¡3-e 2 / - 2 ( l + a4)

6 l 0 + ^

donde Jo es el valor de / log(afc) en t = 0. Por último, si diverge la integral de los

logaritmos, se sigue que a o b divergen para t —> tf.

Si 1 + «4 = 0, integrando en t la ecuación anterior se llega a que

£loS(ab) = C + (í3+l-^-)t,

con C e l , que asegura que a o b divergen para t —*• 00.

Se pasa ahora a demostrar una serie de propiedades que aseguran que las solu-

ciones positivas de (4.1.1), para el caso 1 + 0:4 > 0, se mantienen acotadas superiormente.

Para esto es necesario utilizar el hecho de que, como se verá en el apartado siguiente, siem-

pre es posible encontrar soluciones estacionarias simétricas de (4.1.1) tan grandes como se

desee sin más que tomar (3 suficientemente grande.

Propiedad 4

Si —1 < 0:4 < 0 y (ai, 61) y (a2,b2) son dos soluciones del sistema (4.1.1) que

verifican lo exigido en las propiedades 1 y 2 y tales que en t = 0

ai(x,0) < a2(x,0) y bi(x, 0) < b2(x, 0)

para todo x G [— ̂ , ^] , entonces

ai(x,t) < a2(x,t) y bi(x,t) < b2(x,t)

para todo i e [ - | , | ] y para todo t > 0. Es decir, el flujo que define el sistema (4.1.1) es

monótono.

Demostración

Dado e > 0, sea (a£, b£) la solución del sistema

a\ -a£x = 2a£{P + e - a£ - aAb

£)

b¡ + b£x = 2b£(P + s-b£ - aAa

£)

§^.J Propiedades generales 54

con las condiciones de contorno

be — Ra£ en x = — y as = Rb£ en x = -2 J 2

y las condiciones iniciales

a£(x,0) = a2(x,0) y 6£(x,0) = &2(z,0)

En ¿ = 0 se verifica que

a£(x,0) > ai(x,0) y 6£(x, 0) > 6i(a:,0) para todo xe[—,-]

Estas últimas desigualdades también son válidas para todo t > 0. Si no fuese así, existiría

una pareja (xi , í i ) con — | < £ i < ^ y ¿ i > 0 para la que a£(xi,ti) — a$xi,ti) y tal que

a£(x,t) > ai(x,t) y b£(x,t) > bi(x,t) para todo x G [— ,̂ 5] y para todo t < ¿i, es decir,

(xi,ti) es el primer punto en el que no se verifica alguna de las desigualdades anteriores (si

fuese la desigualdad correspondiente a b la que primero deja de ser cierta la demostración

se hace de manera similar). En (x\,ti) se tiene (a£ — a$t < 0 y (ae — a\)x = 0, pero

restando a la ecuación de a£ la de ai se obtiene, en (xi,ti),

(a£ - di)t - (a£ - ai)x = 2a

£e - 2aAa£(b£ - bx) > 0

que proporciona la contradicción buscada. Si x\ = — | , 6e(xi,í i) = bi(xi',t\) por la

condición de contorno, (a£ — ai)t{xi,t\) < 0 y (a£ — ai)x(xi,ti) > 0 y se obtiene la misma

contradicción (el caso x\ = ^ es idéntico). Por tanto

a£(x,t) > ai(x,t) y b£(x,t) > b\(x,t)

para todo x G [—|, ^] y para todo t > 0. Por último, haciendo el límite e —> 0 en las

desigualdades anteriores y utilizando la continuidad respecto a los parámetros se obtiene

el resultado deseado.

Propiedad 5

Si —1 < 0:4 < 0 y (a, b) y es una solución del sistema (4.1.1) que verifica lo

exigido en las propiedades 1 y 2 y tal que en t = 0

at(x, 0) > 0 y bt(x, 0) > 0 (resp. at(x, 0) < 0 ^y bt(x, 0) < 0)

para todo x G [— | , | ] , entonces

at{x,t)>0 y bt(x,t)>0 (resp. at(x,t)


para todo x G [— ̂ , \] y para todo / > 0.

Demostración

Como [—\, \] es compacto, existe t$ > 0 tal que

a(x,r) > a(x, 0) y 6(x, r) > b(x, 0) (resp. a(x, r ) < a(x, 0) y 6(x, r) < 6(x, 0))

para todo x G [— ̂ , | ] y para todo r G]0,¿0[- Basta con aplicar ahora la propiedad 4

tomando (ai,&i)(x,0) = (a, 6)(x,0) y (a2,&2)(£,0) = (a, 6)(x,r) (resp. (ai,6i)(rr, 0) =

(a, 6)(rr, r) y (a2, &2)(#5 0) = (a, &)(#, 0)) para llegar al resultado deseado.

Propiedad 6

Si — 1 < a¡4 < 0, toda solución del sistema (4.1.1) que verifica lo exigido en las

propiedades 1 y 2 está acotada superiormente.

Demostración

Tomando la solución de (4.1.1) («i,¿i) que tiene por condición inicial

ai(x,0) = ae(x) > a(x,0) y &i(:r,0) = be(x) > b(x, 0),

con (ae,6e) una solución estacionaria simétrica de (4.1.1) correspondiente a cierto (3\ > (3

suficientemente grande para que las desigualdades anteriores sean ciertas. Esta solución

verifica

alt(x,0) = -2{(31-(3)ae(x) < 0 y bu(xt0) = -2(/?i - /3)be(x) < 0

por lo que, de acuerdo con la propiedad 5, ai y bi son decrecientes con t y, por la propiedad

4, a(x,t) < ai(x,t) y b(x,t) < bi(x,t) para todo x G [— ,̂ | ] y para todo t > 0. Por lo

tanto, a y b están acotadas superiormente por una cota superior de (ae, be).

Propiedad 7

Sean (a, b) y (ai,&i) dos soluciones del sistema (4.1.1) que verifican lo exigido

en las propiedades 1 y 2, correspondientes a a^ > 0 y a¡4 = 0 respectivamente. Si en t = 0

se verifica que

a(x,0) < ai(x,0) y b(x,0) < bi(xj))

para todo x G [— ̂ , ^] , entonces

a(x,t) < ai(x,í) y b(x,t) < bi(x,t)


para todo x G [— \, \] y para todo t > 0.

.Demostración

Si esta propiedad no fuese cierta, existiría una pareja (#i, ti) con — ̂ < reí < \

y ¿i > 0 tal que a(xi , í i ) = oi(^i,¿i) y tal que a(x,t) < ai(x,t) y b(x,t) < b\(x,t) para

todo re G [— | , 5] y para todo t 0

que proporciona la contradicción buscada. Si fuese x\ = — \ (el caso x\ — ^ es idéntico)

b(x\,ti) = 6i(xi, ti), por la condición de contorno, (ai — a)t(xi,ti) < 0 y (ai—a)x(xi, ti) >

0 y se obtiene la misma contradicción.

Propiedad 8

Si «4 > 0, toda solución del sistema (4.1.1) que verifica lo exigido en las

propiedades 1 y 2 está acotada superiormente.

Demostración

Para cada solución de (4.1.1) con a4 > 0 basta con tomar otra solución de (4.1.1)

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