Introducción a la Programación LinealLa compan~ a desea determinar la cantidad de toneladas de...
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Introduccion a laProgramacion
Lineal
Introduccion
Ejemplo 1
Enunciado
Modelo
Variables de decision
funcion objetivo
Restricciones
Ejemplo 2
Enunciado
Modelo
Variables de decision
Restricciones
Ejemplo 3
Enunciado
Modelo
VD y F. Objetivo
Restricciones
Ejemplo 4
Enunciado
Modelo
Variables de decision
funcion objetivo
Restricciones
Conceptos
Linealidad
PL
Region factible
Introduccion a la Programacion Lineal
Matematicas
Introduccion a laProgramacion
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Introduccion
En esta lectura daremos una introduccion a la modelacion deproblemas mediante programacion lineal; pondremos enfasisen las etapas que componen la modelacion. Cerraremosestos ejemplos con algunos conceptos generales sobre el tipode problemas que nos interesa resolver. Despues de revisaralgunos ejemplos que ilustran el tipo de problema que nosinteresa resolver, daremos algunas definiciones sobre ellos.
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Ejemplo 1
La companıa de pinturas Manchita produce tres tipos depintura adicionando a una pintura base cuatro productos oaditivos quımicos (Q1 a Q4). Se tiene abundante pinturabase disponible y cuyo costo ya fue cubierto. La companıadesea determinar la cantidad de toneladas de cada tipo depintura que debe producir de manera que maximice laganancia total. Las unicas restricciones se deben a ladisponibilidad de los aditivos quımicos requeridos. Lasganancias obtenidas por las toneladas de pintura producidaaparecen en la tabla siguiente.
Tabla
Kg. de aditivo quımico requerido por tonelada
Aditivo Interior Exterior Especial Disponible
Q1 1 2 2 2 kg
Q2 2 1 1 1 kg
Q3 1 5 1 3 kg
Q4 0 0 1 0.8 kg
Gananciapor
tonelada15,000 25,000 19,000
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Construccion del Modelo: variables de decision
En la metodologıa de solucion a los problemas deinvestigacion de operaciones, el primer paso consiste enestablecer las acciones a tomar por la empresa para alcanzarsus objetivos. En este caso, la companıa tiene como metadeterminar el plan o programa productivo de maximaganancia. En este caso, tal plan o programa se determinaindicando el numero de toneladas de cada pintura que debeproducir. Esto define lo que se conoce como las variablesde decision:
I x = numero de toneladas de pintura interior
I y = numero de toneladas de pintura exterior
I z = numero de toneladas de pintura especial
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Construccion del Modelo: funcion objetivo
El siguiente paso es determinar la funcion objetivo. Estadebe ir acorde con la meta de la empresa y debe estar enfuncion de las variables de decision: La companıa deseamaximizar la ganancia. Un elemento clave en los modelos deprogramacion lineal es el supuesto de aditividad: Laganancia total de la companıa es la suma de las gananciaspor separado de la venta de cada uno de los productos. Estodescartarıa momentaneamente situaciones donde lasganancias estan condicionadas ante ventas combinadas deproductos. Otro supuesto importante es el deproporcionalidad: La contribucion de cada producto esdirectamente proporcional a la cantidad de producto.
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Si suponemos que toda la pintura producida es vendida, poraditividad
Ganancia total =Ganancia
Pintura
Interior
+Ganancia
Pintura
Exterior
+Ganancia
Pintura
Especial
y por proporcionalidad
Ganancia
Pintura
Interior
=Precio venta
por tonelada
pintura interior
×Total toneladas
pintura
interior
=(15, 000 dolares
ton
)× x
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Ganancia
Pintura
Exterior
=Precio venta
por tonelada
pintura exterior
×Total toneladas
pintura
exterior
=(25, 000 dolares
ton
)× y
Ganancia
Pintura
Especial
=Precio venta
por tonelada
pintura especial
×Total toneladas
pintura
especial
=(19, 000 dolares
ton
)× z
Finalmente, el objetivo queda
Max w = 15 x + 25 y + 19 z (en miles de dolares)
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Construccion del Modelo: restricciones
El siguiente paso es determinar las restricciones que soncondicionamientos a los valores que deben cumplir lasvariables de decision. En general, los condicionamientospueden ser muy diversos y podrıan estar asociados a losrecursos de la empresa, a las demandas del mercado o biencontroles de calidad, por citar algunos ejemplos. En nuestroejemplo, los recursos disponibles referentes a los aditivosquımicos son los que condicionan el plan productivo.
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Nuevamente, como en la funcion objetivo, las dossuposiciones de aditividad y proporcionalidad son unaexigencia en los modelos de programacion lineal: para cadaaditivo,
I el total consumido es la suma de lo consumido porseparado en cada producto y
I el total consumido por cada producto es directamenteproporcional a la cantidad de producto
El sentido comun indica que, para el aditivo 1, se debecumplir:
Total
utilizado
aditivo 1
≤Total
disponible
aditivo 1
Bajo el supuesto de aditividad se tiene:
Total
utilizado
aditivo 1
=
Total
utilizado
aditivo 1
en pintura interior
+
Total
utilizado
aditivo 1
en pintura exterior
+
Total
utilizado
aditivo 1
en pintura especial
Bajo el supuesto de proporcionalidad se tiene
Total
utilizado
aditivo 1
en pintura interior
=
Total
requerido
aditivo 1
por tonelada
en pintura interior
×Total toneladas
pintura
interior
=(
1 kgton
)× (x)
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Total
utilizado
aditivo 1
en pintura exterior
=
Total
requerido
aditivo 1
por tonelada
en pintura exterior
×Total toneladas
pintura
exterior
=(
2 kgton
)× (y)
Total
utilizado
aditivo 1
en pintura especial
=
Total
requerido
aditivo 1
por tonelada
en pintura especial
×Total toneladas
pintura
especial
=(
2 kgton
)× (z)
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Conceptos
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PL
Region factible
Resumiendo, las restricciones quedan:
I Aditivo 1:
1kg
tonx + 2
kg
tony + 2
kg
tonz ≤ 2 kg
I Aditivo 2:
2kg
tonx + 1
kg
tony + 1
kg
tonz ≤ 1 kg
I Aditivo 3:
1kg
tonx + 5
kg
tony + 1
kg
tonz ≤ 3 kg
I Aditivo 4:
0kg
tonx + 0
kg
tony + 1
kg
tonz ≤ 0.8 kg
Si regresamos a la naturaleza de nuestro problema,razonamos que las cantidades de pintura a producir debenser mayor o igual que cero: por tanto, x ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0.
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En terminos puramente matematicos, el problema de laempresa Manchita consiste en determinar x , y y z paramaximizar la funcion:
f (x , y , z) = 15 x + 25 y + 19 z
sujeto a las condiciones:
x + 2 y + 2 z ≤ 22 x + y + z ≤ 1
x + 5 y + z ≤ 3z ≤ 0.8
con x , y , z ≥ 0
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Ejemplo 2
Una companıa fabrica dos tipos de productos, el tipo A y eltipo B. Un producto A se vende en $27 y requiere materiaprima por un costo de $10. El costo de mano de obra decada producto A es de $14. Por otro lado, un producto B sevende en $21 y requiere materia prima por un costo de $9.El costo de mano de obra de cada producto B es de $10. Lamanufactura de los productos A y B requiere dos tipos delabor: carpinterıa y acabado. Cada producto A requiere 2horas de acabado y 1 de carpinterıa, mientras que unproducto B requiere 1 hora de acabado y 1 hora decarpinterıa. Cada semana la campanıa dispone de 100 horaspara acabado y 80 horas para carpinterıa. Mientras que lademanda de productos B es ilimitada, se estima que lacompanıa vende a lo mas 40 productos A por semana. Lacompanıa desea hacer un plan de produccion semanal quemaximice la ganancia.
Variables de decision y funcion objetivo
1 Variables de decisionI x = Cuantos productos A por semana deben producirse,I y = cuantos productos B por semana deben producirse.
2 Funcion Objetivo Bajo los supuestos de aditividad yproporcionalidad:
Ganancia = Ventas − CostosVentas = 27 dolares
producto A× x + 21 dolares
producto B× y
Costos = CostoMateria Prima + CostoMano ObraCostoMateria Prima = 10 dolares
producto A× x + 9 dolares
producto B× y
CostoMano Obra = 14 dolares
producto A× x + 10 dolares
producto B× y
Ası, la funcion a maximizar es:
Ganancia = 3 x + 2 y dolares
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VD y F. Objetivo
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Variables de decision
funcion objetivo
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PL
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Construccion del Modelo: restricciones
3 RestriccionesI (Recurso) Horas de carpinterıa:
2horas
producto A× x + 1
hora
producto B× y ≤ 100 horas
I (Recurso) Acabado:
1hora
producto A× x + 1
hora
producto A× y ≤ 80 horas
I (Condiciones de Mercado) Demanda:
x ≤ 40 productos A
I Naturales: x , y ≥ 0 y x y y enteros.
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Resumiendo, el problema matematico asociado a la fabricaconsiste en determinar los valores de x y de y quemaximizan la funcion:
f (x , y) = 3 x + 2 y
y que cumplen las restricciones:
2 x + y ≤ 100x + y ≤ 80x ≤ 40
con x y y ≥ 0 y ambos enteros.
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Ejemplo: Oficina postal
Una oficina postal requiere un cierto numero mınimo deempleados de tiempo completo dependiendo del dıa de lasemana. La siguiente tabla muestra los requisitos. La unionde trabajadores establece que un trabajador de tiempocompleto debe trabajar 5 dıas consecutivos y descansar lossiguientes 2. Formule el problema de determinar el numerode empleados de tiempo completo mınimo que debe tener laoficina postal.
Dıa Empleados de tiempo completo requeridos
Dıa1 = Lunes 17Dıa2 = Martes 13
Dıa3 = Miercoles 15Dıa4 = Jueves 14Dıa5 = Viernes 16Dıa6 = Sabado 16
Dıa7 = Domingo 11
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Variables de decision y funcion objetivo
Una primera tentacion es definir una variable de decisioncomo el total de empleados, pero desde el punto de vista deldepartamento de personal el problema de minimizaar no seresuelve conociendo el total de empleados contratados sinocon la especificacion de rol de trabajos; es decir, cuantosinician que dıa de la semana. Entonces observamos que esaes la clave para definir las variables de decision:
I xi= el numero de empleados que inicial su semanalaboral el dıa i (1=lunes, 2=martes, etc)
Note que entonces el total de empleados contratados es lasuma de los xi .Funcion objetivoEl objetivo de la empresa es claro: minimizar el total deempleados contratados:
Min z =7∑
i=1
xi
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Construccion del Modelo: restricciones
Nuestras restricciones se relacionan con cumplir con laoperatividad de la oficina postal en cada dıa de la semana:debemos garantizar que en cada dıa de la semana el numerode empleados que esten laborando (no solo los que inician susemana laboral tal dıa) son al menos los requeridos. Porejemplo, contemos el total de empleados que estanlaborando el dıa lunes. Seguro estan todos los que inician susemana el lunes (x1) (ellos descansan sabado y domingo),pero tambien estan todos los que la iniciaron el domingo(x7) (ellos descansan viernes y sabado), todos los que lainiciaron el sabado (x6) (ellos descansan jueves y viernes),todos los que la iniciaron el viernes (x5) (ellos descansanmiercoles y jueves), y todos los que la iniciaron el jueves (x4)(ellos descansan martes y miercoles). Todos los que incianen martes descansan domingo y lunes, y los que inician enmiercoles descansan lunes y martes. Resumiendo
total de trabajadores en lunes = x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17
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Siguiendo un analisis semejante para cada uno de los dıasrestantes concluimos que se requiere:
total de trabajadores en martes = x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13
total de trabajadores en miercoles = x1+x2+x3+x6+x7 ≥ 15
total de trabajadores en jueves = x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 14
total de trabajadores en viernes = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 16
total de trabajadores en sabado = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 16
y
total de trabajadores en domingo = x3+x4+x5+x6+x7 ≥ 11
Ademas, los valores de las variables xi deben ser enteros.
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funcion objetivo
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PL
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En terminos puramente matematicos, el problema de laoficina postal consiste en determinar los valores de xi parai = 1, 2, . . . , 7 tal que minimizan la funcion
z =7∑i
xi
y que cumplen las condiciones:
x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 15x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 14x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 16
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 16x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11
con xi ≥ 0 y xi entero para i = 1, 2, . . . , 7.
Ejemplo: SunCo
Sunco Oil produce tres tipos de gasolinas (G1, G2 y G3). Cada tipo es
producido refinando una mezcla tres tipos de crudo (C1, C2 y C3). Las ventas
en dolares por barril de gasolina son: G1 en 70, G2 en 60 y G3 en 50. Los costos
en dolares por barril de crudo son: C1 en 45, C2 en 35 y C3 en 25. Sunco
puede comprar hasta 5000 barriles de cada tipo de crudo al dıa. Los tres tipos
de gasolina difieren en octanaje y en porcentaje de azufre. Para G1 la mezcla de
crudos debe tener en promedio un octanaje almenos de 10 y contener no mas de
1% de azufre. Para G2, el octanaje promedio es de al menos 8 y contener no
mas de 2% de azufre. Para G3, el octanaje promedio es de al menos de 6 y
contener no mas de 1% de azufre. C1 posee un octanaje de 12 y 0.5% azufre,
C2 posee un octanaje de 6 y 2.0% de azufre, y C3 posee un octanaje de 8 y
3.0% de azufre. La refinacion de un barril de mezcla de crudos en uno de
gasolina cuesta 4 dolares. Sunco puede refinar a lo mas 14,000 barriles de
gasolina al dıa. Su clientes requieren 3,000 barriles de G1, 2,000 barriles de G2,
y 1,000 barriles de G3 por dıa. Sunco considera una obligacion satisfacer estos
requerimientos. La publicidad estimula la demanda de sus productos. Cada dolar
gastado en la publicidad de uno de sus productos aumenta la demanda diaria en
10 barriles. Formule un modelo de PL para maximizar ganancias diarias.
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funcion objetivo
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Construccion del Modelo: variables de decision
Notemos que por un lado estamos interesados en sabercuantos barriles de cada gasolina se deben refinar, y por otroestamos interesados en cuantos barriles de cada tipo crudocomprar. Sin embargo, aun con estos datos el departamentoencargado de la produccion debe decidir como se debenmezclar los crudos para producir cada tipo de gasolina. Esdecir, que las cantidades totales de gasolina y de crudo noresuelven el problema de la produccion. Lo que sı resuelve elproblema de la produccion es decidir exactamente lascantidades que deben mezclarse de cada uno de los tipos deinsumos para producir cada tipo de productos. Los totalespueden obtenerse sumando cada una de las partes.
Ası, las variables de decision deben ser
xi ,j = cantidad de barriles del crudo i utilizados para producir gasolina j
Esto por un lado. Pero otra parte pendiente son las decisiones que debetomarse en publicidad. Y para ello debemos precisar cuantos dolares sedebe invertir en la publicidad de cada tipo de gasolina:
yj = total de dolares aplicados en la publicidad de la gasolina j
Observemos que estas variables de decision permiten determinar el totalde barriles de cada tipo de crudo que debe comprarse y el total debarriles de cada tipo de gasolina que se produce:
I∑3
i=1 xi ,j es el total de barriles de gasolina j a refinar
I∑3
j=1 xi ,j es el total de barriles de crudo i en larefinacion
I∑3
i=1
∑3j=1 xi ,j es el total de barriles de crudo a
procesar (que sera el total de barriles de gasolina aproducir, suponiendo que un barril de mezcla de crudosse convierte en un barril de gasolina).
El objetivo de la empresa en maximizar las ganancias. Las gananciasseran las ventas menos los costos. Los costos en los que se incurre sonlos referentes a la materia prima, a la transformacion y a la publicidad.
I V = Venta de gasolina:
V = 70dolares
barril de G1×
3∑i=1
xi ,1+60dolares
barril de G2×
3∑i=1
xi ,2+50dolares
barril de G3×
3∑i=1
xi ,3
I CR = Costo de refinacion:
CT = 4dolares
barril×
3∑i=1
3∑j=1
xi ,j
I CMP = Costo de materia prima:
CMP = 45dolares
barril de C1×
3∑j=1
x1,j+35dolares
barril de C2×
3∑j=1
x2,j+25dolares
barril de C3×
3∑j=1
x3,j
I P = Costo de publicidad:
P = y1 + y2 + y3 =3∑
j=1
yj
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Construccion del Modelo: restricciones
En este problema las restricciones son de diferente tipo:
I La companıa tiene una capacidad instalada que nopuede exceder:
3∑i=1
3∑j=1
xi ,j≤14, 000
I Las companıas que proveen crudo tienen limitaciones; Alo mas 5 mil barriles de cada crudo estan disponibles:
3∑j=1
xi ,j≤5, 000 para i = 1, 2, 3
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I Como toda la gasolina producida debe venderse: Paracada gasolina, la totalidad de gasolina producida debeequiparar la demanda. Y por otro lado, la demanda serael resultado de la demanda natural mas la inducida porpublicidad:
3∑i=1
xi ,1=3, 000 + 10 y1
3∑i=1
xi ,2=2, 000 + 10 y2
3∑i=1
xi ,3=1, 000 + 10 y3
Cada gasolina producida tiene ciertos criterios de calidad a cuidar: elporcentaje de azufre y el octanaje. Supongamos que el porcentaje en lamezcla es proporcional al porcentaje en los componentes. Ası para lagasolina 1: El porcentaje de azufre no se debe exceder el 1%. El total degasolina 1:
∑3i=1 xi ,1 Aporte de azufre por cada tipo de crudo: C1:
0.5%, C2: 2.0% y C3: 3.0%. Suponiendo que el porcentaje de azufre enla mezcla obedezca los supuestos de aditividad y proporcionalidad:
0.5100 x1,1 + 2.0
100 x2,1 + 3.0100 x3,1∑3
i=1 xi ,1≤ 1.0
100
De donde, haciendo algebra lo anterior se transforma en:
(0.5 − 1.0) x1,1 + (2.0 − 1.0) x2,1 + (3.0 − 1.0) x3,1≤0.0
De manera analoga, para la gasolina 2:
(0.5 − 2.0) x1,2 + (2.0 − 2.0) x2,2 + (3.0 − 2.0) x3,2 ≤ 0.0
y para la gasolina 3:
(0.5 − 1.0) x1,3 + (2.0 − 1.0) x2,3 + (3.0 − 1.0) x3,3 ≤ 0.0
Si ahora suponemos que el octanaje en la mezcla obedece tambien alaporte proporcional del octanaje de cada crudo: Para la gasolina 1: Eloctanaje debe ser al menos 10.El octanaje de cada crudo es 12, 6 y 8.
12 x1,1 + 6 x2,1 + 8 x3,1∑3i=1 xi ,1
≥10
que haciendo algebra queda:
(12 − 10) x1,1 + (6 − 10) x2,1 + (8 − 10) x3,1≥0.0
De manera analoga, para la gasolina 2 la condicion de octanaje secodifica como:
(12 − 8) x1,2 + (6 − 8) x2,2 + (8 − 8) x3,2 ≥ 0.0
y para la gasolina 3:
(12 − 6) x1,3 + (6 − 6) x2,3 + (8 − 6) x3,3 ≥ 0.0
En terminos puramente matematicos, el problema de SunCo consiste en determinar xi,j para i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3 y yjpara j = 1, 2, 3 de manera que se maximice la funcion:
f = 21 x1,1 + 11 x1,2 + x1,3 + 11 x2,3 + 41 x3,1 + 31 x3,2 + 21 x3,3 + 31 x2,1 + 21 x2,2 − y3 − y1 − y2
donde las variables estan sujetas a las restricciones:
x1,1 + x1,2 + x1,3 + x2,1 + x2,2 + x2,3 + x3,1 + x3,2 + x3,3 ≤ 14, 000x1,1 + x1,2 + x1,3 ≤ 5, 000x2,1 + x2,2 + x2,3 ≤ 5, 000x3,1 + x3,2 + x3,3 ≤ 5, 000x1,1 + x2,1 + x3,1 = 3, 000 + 10 y1x1,2 + x2,2 + x3,2 = 2, 000 + 10 y2x1,3 + x2,3 + x3,3 = 1, 000 + 10 y3
−.5 x1,1 + 1.0 x2,1 + 2 x3,1 ≤ 0−1.5 x1,2 + x3,2 ≤ 0
−.5 x1,3 + 1.0 x2,3 + 2 x3,3 ≤ 02 x1,1 − 4 x2,1 − 2 x3,1 ≥ 0
4 x1,2 − 2 x2,2 ≥ 06 x1,3 + 2 x3,3 ≥ 0
con xi,j ≥ 0 y yj ≥ 0.
Introduccion a laProgramacion
Lineal
Introduccion
Ejemplo 1
Enunciado
Modelo
Variables de decision
funcion objetivo
Restricciones
Ejemplo 2
Enunciado
Modelo
Variables de decision
Restricciones
Ejemplo 3
Enunciado
Modelo
VD y F. Objetivo
Restricciones
Ejemplo 4
Enunciado
Modelo
Variables de decision
funcion objetivo
Restricciones
Conceptos
Linealidad
PL
Region factible
Veamos ahora algunos conceptos clave en el tipo deexpresiones matematicas que aparecen en el tipo deproblemas que nos interesan.
Definicion 1.1Una funcion f (x1, x2, . . . , xn) es funcion lineal en susvariables, si existen escalares c1, c2, . . . , cn tales que:
f (x1, x2, . . . , xn) = c1 × x1 + c2 × x2 + · · · + cn × xn
Y una definicion importante para las restricciones quedefiniran los problemas es la siguiente.
Definicion 1.2Una desigualdad lineal en las variables x1, x2, . . . , xn es unadesigualdad de que tiene alguna de las dos posibles formas:
f (x1, . . . , xn) ≤ b o f (x1, . . . , xn) ≥ b
donde f (x1, . . . , xn) es una funcion lineal y b es unaconstante.
Introduccion a laProgramacion
Lineal
Introduccion
Ejemplo 1
Enunciado
Modelo
Variables de decision
funcion objetivo
Restricciones
Ejemplo 2
Enunciado
Modelo
Variables de decision
Restricciones
Ejemplo 3
Enunciado
Modelo
VD y F. Objetivo
Restricciones
Ejemplo 4
Enunciado
Modelo
Variables de decision
funcion objetivo
Restricciones
Conceptos
Linealidad
PL
Region factible
Definiremos ahora el tipo de problemas en el cual estamosinteresados:
Definicion 1.3Un problema de programacion lineal (LP) es un problema deoptimizacion donde:
I Se pretende maximizar o minimizar una funcion linealen las variables de decision. Tal funcion se llamarafuncion objetivo.
I Los valores de decision deberan satisfacer un conjuntode restricciones. Cada una de las restricciones sera unaecuacion lineal o una desigualdad lineal en las variablesde decision.
I Las variables de decision en un PL son continuas.
I Asociada a cada variable de decision puede haber o nouna restriccion de signo sobre ella especificando si losvalores de la variable son no negativos (≥ 0).
Introduccion a laProgramacion
Lineal
Introduccion
Ejemplo 1
Enunciado
Modelo
Variables de decision
funcion objetivo
Restricciones
Ejemplo 2
Enunciado
Modelo
Variables de decision
Restricciones
Ejemplo 3
Enunciado
Modelo
VD y F. Objetivo
Restricciones
Ejemplo 4
Enunciado
Modelo
Variables de decision
funcion objetivo
Restricciones
Conceptos
Linealidad
PL
Region factible
Dos definiciones importantes:Definicion 1.4La Region Factible para un PL es el conjunto de todos lospuntos cuyas coordenadas son los valores de las variables dedecision que satisfacen todas las restriciones del PL y todaslas restricciones de signo.Y por ultimo:Definicion 1.5Para un problema de maximizacion, una Solucion Optima aun PL es un punto en la region factible con el valor mayorposible de la funcion objetivo (No existe otro punto en laregion factible con una mayor evaluacion de acuerdo a lafuncion objetivo). Similarmente, para problemas deminimizacion una solucion optima es un punto en la regionfactible con el menor valor posible de la funcion objetivo.